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2 José Wammes, Toledo, Paraná, 2012
© José Wammes
Coordenação Editorial: Osmar Antonio Conte
Editoração: José Wammes
Ficha Catalográfica: Rute Teresinha Schio - CRB 1095
Direitos desta edição reservados à: José Wammes
Av. Ministro Cirne Lima, 2565
CEP 85903-590 – Toledo – Paraná
Tel. (45) 3277-4000 - e-mail: [email protected]
É proibida a reprodução parcial ou total desta obra, sem autorização prévia do autor.
Impresso no Brasil – 2012
3 José Wammes, Toledo, Paraná, 2012
SUCESSÃO OU SEQUÊNCIA
Antes de iniciarmos o estudo de progressão aritmética, vamos conceituar
sucessão ou sequência, visto ser a base do que se deseja explorar.
Exemplos:
O conjunto ordenado (janeiro, fevereiro,..., dezembro) é chamado
sequência ou sucessão dos meses do ano;
O conjunto ordenado (0,1,2,3, . . .) é chamado sequência ou
sucessão dos números naturais;
O conjunto ordenado (0,2,4,6,...) é chamado sequência ou
sucessão dos números naturais pares;
E, assim, sucessivamente.
Se os elementos de uma sequência forem números reais, a sequência é
denominada sequência numérica.
(2, 5, 8, 11, 14) é uma sequência numérica finita;
(-3, 0, 3, 6, 9...) é uma sequência numérica infinita.
REPRESENTAÇÃO DE UMA SUCESSÃO
A representação matemática de uma sucessão é dada por (a1, a2 , a3 . . .
an-1, an) .
E, graficamente, temos:
a1 a2 a3 . . . an-1 an
em que:
a1 é o primeiro termo (lê-se: a índice 1);
a2 é o segundo termo (lê-se: a índice 2);
an é o enésimo termo (lê-se: a índice n)
Exemplo:
Dada a sequência (2, 5, 9, 14, 20, 27), calcular:
a) a4 b) a1-2 a52
Resolução:
a) a4 é o 4º termo da sucessão. Logo, 14.
b) a1-2 a52 = 2 -2(20)2 = 2 – 2(400) = 2 – 800 = -798
DETERMINAÇÃO DE UMA SUCESSÃO
As sucessões são dadas, em sua maioria, por meio de uma regra chamada
lei de formação, que nos permite calcular qualquer termo da sucessão.
Exemplificando, vamos escrever a sucessão em que an = 2n e n E{1,2,3,}.
Temos:
Para n= 1, temos: a1 = 2(1) = 2
Para n= 2, temos: a2 = 2(2) = 4
Para n= 3, temos: a3 = 2(3) = 6
A sucessão procurada é (2, 4, 6).
Sucessão ou sequência é todo conjunto em que consideramos os
elementos dispostos em certa ordem. Pode ser finita ou infinita.
4 José Wammes, Toledo, Paraná, 2012
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Exemplo:
(2, 5, 8, 11, 14, ...)
2 5 8 11 14
a1 a2 a3 a4 a5
Nesta sequência, 3 é a razão da progressão aritmética.
(12, 7, 2, -3, -8, -13)
(12, 7, 2, -3, -8, -13)
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r a3 = a1 + 2r
a4 = a3 + r a4 = a1 + 3r
a5 = a4 + r a5 = a1 + 4r
a6 = a5 + r a6 = a1 + 5r
12 7 2 -3 -8 -13
a1 a2 a3 a4 a5 a6
(12, 7, 2, -3, -8, -13)
a2 = 12 + (-5) = 7
a3 = 7 +(-5) = 2 a3 = 12 + 2(-5) = 2
a4 = 2 +(-5) = - 3 a4 = 12 + 3(-5) = -3
a5 = -3 +(-5) = - 8 a5 = 12 + 4(-5) = - 8
a6 = - 8 +(-5) = - 13 a6 = 12 + 5(-5) = -13
Nesta sequência, - 5 é a razão da progressão aritmética.
Podemos classificar as progressões aritméticas em:
Crescentes r > 0
Decrescentes r < 0
Constantes ou estacionárias r = 0
(2, 5, 8, 11, 14, . . .)
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r a3 = a1 + 2r
a4 = a3 + r a4 = a1 + 3r
a5 = a4 + r a5 = a1 + 4r
(2, 5, 8, 11, 14, . . .)
a2 = 2 + 3 = 5
a3 = 5 + 3 = 8 a3 = 2 + 2(3) = 8
a4 = 8 + 3 = 11 a4 = 2 + 3(3) = 11
a5 = 11 + 3 = 14 a5 = 2 + 4(3) = 14
É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do
segundo, é igual ao anterior somado com um número fixo,
chamado razão (r) da progressão.
5 José Wammes, Toledo, Paraná, 2012
Exemplos:
(3, 4, 5, 6, 7)
3 4 5 6 7
a1 a2 a3 a4 a5
É uma progressão aritmética crescente, pois r = 1, (r >0);
(10, 8, 6, 4, 2)
10 8 6 4 2
a1 a2 a3 a4 a5
É uma progressão aritmética decrescente, pois r = -2, (r <0);
(5, 5, 5, 5, 5)
5 5 5 5 5
a1 a2 a3 a4 a5
É uma progressão aritmética constante, pois r = 0.
REPRESENTAÇÃO GERAL DE UMA PROGRESSÃO
ARITMÉTICA – P.A.
A representação matemática de uma progressão aritmética (P.A.) é dada
por (a1, a2, a3, . . . an-1, an, an+1, ...). Logo, an+1 = an +r.
EXPRESSÃO GERAL DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO
ARITMÉTICA – P.A.
A fórmula acima nos permite calcular qualquer termo de uma progressão
aritmética sem precisar escrevê-la por inteiro. Identificando os termos:
Para a definição do termo geral de uma progressão aritmética, ao
utilizarmos o formulário, teremos o resultado. Acompanhe.
Dada a progressão aritmética: 4, 7, . . . encontrar o termo geral da mesma
(desta progressão aritmética).
Resolução:
an = a1 + (n – 1)r
an = é o enésimo termo (último termo);
a1 = é o primeiro termo;
n = é o número de termos;
r = é a razão.
6 José Wammes, Toledo, Paraná, 2012
a1 r n
4 3 n = n
(a2 – a1)
(7 – 4)
an = a1 + (n-1)r an = 4 + 3n - 3
an = 4 + (n -1)3 an = 1 + 3n
an = 3n + 1
Tendo o termo geral da progressão aritmética, com ele, podemos definir,
rapidamente, qualquer termo an. Observe.
Quais são os termos de ordem 3 e 21 da progressão aritmética dada no
modelo acima? (4, 7, . . .)
a3 = ? a21 = ?
an = 3n + 1 an = 3n + 1
a3 = 3(3) + 1 a21 = 3(21) + 1
a3 = 9 + 1 a21 = 63 + 1
a3 = 10 a21 = 64
Acompanhe, agora, a mesma resolução, porém com a utilização da
fórmula do termo geral de uma progressão aritmética.
an = a1 + (n-1)r an = a1 + (n-1)r
a3 = 4 + (3-1)3 a21 = 4 + (21-1)3
a3 = 4 + (2)3 a21 = 4 + (20)3
a3 = 4 + 6 a21 = 4 + 60
a3 = 10 a21 = 64
Indiferente, portanto, a forma de resolução. Na prática, utilizamos a
fórmula do termo geral das progressões aritméticas.
Acompanhe alguns exemplos.
a) Determinar o 12º termo da progressão aritmética (5, 10, 15, 20...)
Resolução:
an = a1 + (n-1)r a12 = 5 + 55
a12 = 5 + (12-1)5
a12 = 5 + (11)5 a12 = 60
b) Determinar o número de termos da progressão aritmética (-3, 1, 5,
..., 113).
Resolução:
an = a1 + (n-1)r 116 ÷ 4 = n – 1
113 = -3 + (n-1)4 29 + 1 = n
113 + 3 = (n-1)4 n = 30
c) Achar o número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21 e 623.
Resolução:
21 25 30 . . . 620 623.
a1 an
an = a1 + (n-1)r 595 ÷ 5 = n – 1
620 = 25 + (n-1)5 119 + 1 = n
620 – 25 = (n-1)5 n = 120
Esta é a fórmula do termo geral DESTA progressão aritmética.
7 José Wammes, Toledo, Paraná, 2012
d) Interpolar cinco meios aritméticos entre 6 e 30.
Resolução:
Interpolar cinco meios aritméticos entre 6 e 30 é formar uma P.A. de sete
termos (os dois dados, a1 e an, mais os cinco do enunciado) em que o a1 =
6 e a7 = 30, ou seja:
6, __, __, __, __, __, 30
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
a1 an r n a2...a6
6 30 ? 7 ?
Inicialmente, para definir os termos da progressão aritmética, precisamos
apurar a razão de seu crescimento. Assim, calculamos a razão da P.A.
an = a1 + (n-1)r 24 ÷ 6
30 = 6 + (7-1)r
30 – 6 = 6r r = 4
Definida a razão, podemos estabelecer os termos da progressão
aritmética. Acompanhe:
a1 =6 Ou
a2 = a1 + r 6 + 4 = 10 a2 = a1 + 1r 6 + 4 = 10
a3 = a2 + r 10 + 4 = 14 a3 = a1 +2r 6 + 2(4) = 14
a4 = a3 + r 14 + 4 = 18 a4 = a1 + 3r 6 + 3(4) = 18
a5 = a4 + r 18 + 4 = 22 a5 = a1 + 4r 6 + 4(4) = 22
a6 = a5 +r 22 + 4 = 26 a6 = a1 +5r 6 + 5(4) = 26
a7 = a6 +r 26 + 4 = 30 a7 = a1 +6r 6 + 6(4) = 30
Logo, a progressão aritmética é:
6 10 14 18 22 26 30
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
e) Numa progressão aritmética, tem-se que a2 + a6 = 20 e, a4 + a9 =35.
Escrever a progressão aritmética.
Resolução:
Vamos escrever os dados do enunciado em função de a1 e r:
a2 = a1 + r a6 = a1 + 5r
a4 = a1 + 3r a9 = a1 + 8r
Podemos formar o sistema com duas variáveis:
(a1 + r) + (a1 + 5r) = 20 2 a1 + 6r = 20
(a1 + 3r) +( a1 + 8r) = 35 2 a1 + 11r = 35
Resolvendo o sistema:
2 a1 + 6r = 20 (-1) -2 a1 - 6r =-20
2 a1 + 11r = 35 2 a1 + 11r = 35 r = 15 ÷ 5
5r = 15 r = 3
Como a razão r é igual a 3, temos:
2 a1 + 6r = 20 2 a1 = 2
2 a1 + 6(3) = 20 a1 = 2 ÷ 2
2 a1 = 20 – 18 a1 = 1
8 José Wammes, Toledo, Paraná, 2012
Assim, a progressão aritmética solicitada é dada por:
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
1 4 7 10 13 16 19 22 25
Confirmando a condição da progressão aritmética em que
a2 + a6 = 20 a4 + a9 =35
4 + 16 = 20 10 + 25 = 35
20 = 20 35 = 35
f) Três números estão em progressão aritmética de tal forma que a soma
entre eles é 18 e o produto é 66. Calcular os três números.
Resolução:
Vamos indicar:
(a1, a2, a3) (x-r, x, x+r)
x-r x x+r
a1 a2 a3
Podemos formar o sistema com duas variáveis (x e r)
(x - r) + x + (x + r) = 18 3x = 18
(x - r) .x. (x + r) = 66 x(x2 - r2) = 66
Resolvendo o sistema, temos:
3x = 18 x= 18 ÷ 3 x = 6
x(x2 - r2) = 66 36 - r2 = 66 ÷ 6 - r2 = -25 (-1)
6(62 - r2) = 66 36 - r2 = 11 r2 = 25 r = √25
6(36 - r2) = 66 - r2 = 11-36 r = + - 5
Sendo (se):
r = +5
(x-r) + x + (x+r) = 18
(6-5) + 6 + (6+5) = 18
(1) + 6 + (11) = 18 18 = 18
Testando, temos:
a1 = (x-r) a2 = x a3 = (x+r)
a1 = (6-5) a3 = (6 + 5)
a1 = 1 a2 = 6 a3 = 11
Sendo (se):
r = - 5
a1 = (x-r) a2 = x a3 = (x+r)
a1 = 6 -(-5) a3 = 6 +(- 5)
a1 = 11 a2 = 6 a3 = 1
Os números pedidos são 1, 6 e 11.
E, confirmando o enunciado:
a1 + a2 + a3 = 18 1 + 6 + 11= 18 18 = 18
a1 . a2 . a3 = 66 1 . 6 . 11 = 66 66 = 66
9 José Wammes, Toledo, Paraná, 2012
g) Determinar 5 números em progressão aritmética, sabendo-se que o
produto dos dois extremos é 220 e a soma dos outros três vale 48.
Resolução:
x-2r x-r x x+r x+2r
a1 a2 a3 a4 a5
Podemos formar o sistema com duas variáveis (x+r):
(x – 2r) (x + 2r) = 220 x2 – 4r2 = 220
(x – r) + x + (x + r) = 48 3x = 48
Resolvendo o sistema, temos:
3x = 48 x = 48 ÷ 3 x = 16
x2 – 4r2 = 220 - 4r2 = 220 – 256 r2 = 36 ÷ 4
162 – 4r2 = 220 - 4r2 = -36 (-1) r2 = 9 r = √9
256 - 4r2 = 220 4r2 = 36 r = + - 3
Sendo (se):
r = +3
a1 = x-2r a1 = 16 – 2(3) a1 = 16 – 6 a1 = 10
a2 = x-r a2 = 16 – 3 - a2 = 13
a3 = x - - x= 16
a4 = x + r a4 = 16 + 3 - a4 = 19
a5 = 16 +2(3) a5 = 16 + 2(3) a1 = 16 + 6 a1 = 22
Sendo (se):
r = -3
a1 = x-2(-3) a1 = 16 – (-6) a1 = 16 + 6 a1 = 22
a2 = x-r a2 = 16 – (-3) a2 = 16 + 3 a2 = 19
a3 = x - - x = 16
a4 = x + r a4 = 16 + (-3) a4 = 16 -3 a4 = 13
a5 = 16 +2(-3) a5 = 16 + (-6) a1 = 16 - 6 a1 = 10
Os números pedidos são 10, 13, 16, 19 e 22.
E, confirmando o enunciado:
a1 . a5 = 220 10 . 22 = 220 220 = 220
a2 + a3 + a4 = 48 13 + 16 + 19 = 48 48 = 48
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Encontre o termo geral da progressão aritmética (2, 7,...);
2) Qual é o 15º termo da progressão aritmética (4, 10, ...)?
3) Qual é o 100º número natural par?
4) Ache o 60º número natural impar;
5) Numa progressão aritmética de razão 5, a1 = 4. Qual é a posição
do termo igual a 44?
6) Quantos termos têm uma progressão aritmética finita, onde a
razão é 3, o a1 = -5 e o an= 16?
7) Calcule o número de termos da progressão aritmética (5,10, ...,
785);
10 José Wammes, Toledo, Paraná, 2012
8) Qual é o a1 de uma progressão aritmética cujo a7 = 46, sendo o
termo precedente 39?
9) Quantos múltiplos de 7 podemos escrever com 3 algarismos?
10) Quantos são os números naturais menores que 98 e divisíveis por
5?
11) Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37;
12) Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para
que a razão da interpolação seja 8?
13) Determine a média aritmética dos seis meios aritméticos que
podem ser interpolados entre 10 e 500;
14) Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento:
um no quilômetro 3 e outro no quilômetro 88. Entre eles serão
colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones
consecutivos sempre a mesma distância. Determine em quais
marcos quilométricos deverão ficar esses novos telefones.
15) Uma fábrica produziu, em 1986, 6530 unidades de um
determinado produto e, em 1988, produziu 23330 unidades do
mesmo produto. Sabendo-se que a produção anual desse produto
vem crescendo em progressão aritmética, pede-se:
15.1) Quantas unidades do produto essa fábrica produziu em 1987?
15.2) Quantas unidades serão produzidas em 1991?
QUADRO DE RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
Questão Resposta
1 an = 5n - 3
2 88
3 200
4 119
5 9º
6 8
7 8
8 4
9 128
10 19
11 (1, 4, 7, 10, 13,..., 34, 37)
12 7
13 255
14 Km 8, 13, 18, 23,..., 78, 83.
15.1 14930
15.2 48530
11 José Wammes, Toledo, Paraná, 2012
PARA SABER MAIS
Vieira Sobrinho, José Dutra. Matemática Financeira. 7ª edição, Atlas,
2000, São Paulo. CDD 513.93 – FASUL.
Paiva, Manoel. Matemática. 1ª edição, Editora Moderna, 2000, São Paulo.
CDD 510.7 – FASUL.
Barreto Filho, Benigno; Silva, Cláudio Xavier da. Matemática. Volume
único, FTD, 2000, São Paulo. CDD 510.7 - FASUL.
Iezzi, Gelson; Hazzan, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar.
6ª edição, Atual Editora. CDD 510.07 – FASUL.
Wikipedia
http://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C3%A3o_aritm%C3%A9tica
Youtube
http://www.youtube.com/watch?v=962PPICCDEk
BIBLIOGRAFIA
Giovani, José Ruy. et al. Matemática fundamental. 2º Grau – Volume
único. 1ª edição. Editora FTD S/A. São Paulo. Sem ano de publicação.
Yamada, Akihiro. Curso de Matemática Financeira. Matemática básica.
Módulo I. Apostila. Curitiba. Sem ano de publicação.
12 José Wammes, Toledo, Paraná, 2012
SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
FINITA
Admita que lhe fosse apresentada a seguinte progressão aritmética:
2 4 6 8 10
a1 a2 a3 a4 a5
Nela, podemos deduzir algumas informações, como:
a1 n r an
2 5 a2 – a1 a5
2 10
Outro dado que se pode extrair, é a soma de seus termos.
a1 a2 a3 a4 a5
2 4 6 8 10
Soma an 6 12 20 30
Numa situação como a acima, não é difícil a obtenção da soma dos seus
termos. Porém, em situações outras, poderemos ter algumas dificuldades.
Assim, recorremos a um algoritmo de cálculo, dada pela fórmula algébrica
da soma dos termos de uma progressão aritmética finita.
Acompanhe o modelo a seguir, na evolução do assunto.
6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
a1 a8
6 34 São os extremos.
a2 10
a7 30 São termos
a3 14
a6 26 eqüidistantes
a4 18
a5 22 dos extremos
Verifica-se, facilmente, que:
6 + 34 = 40 Soma dos extremos
10 + 30 = 40 Soma de dois termos eqüidistantes dos
extremos
14 + 26 = 40 Soma de dois termos eqüidistantes dos
extremos
18 + 22 = 40 Soma de dois termos eqüidistantes dos
extremos
13 José Wammes, Toledo, Paraná, 2012
PROPRIEDADE
Assim, podemos demonstrar:
(a1, a2, a3, . . . an-2, an-1, an),
E x t r e m o s equidistantes
Temos que:
a2 + an-1 = a1 + an
a3 + an-2 = a1 + an
Se voltarmos ao modelo anterior, iremos confirmar a propriedade.
Observe o quadro em que está feita a demonstração de cálculo.
FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. FINITA
A soma dos termos da progressão aritmética é obtida pela média
aritmética da mesma vezes o número de termos que contem.
Onde:
Alguns exemplos para fixação do conteúdo:
a) Qual a soma dos 30 primeiros termos da progressão aritmética (2,
5, ...)?
Resolução:
a1 an n r Sn
2 ? 30 5 – 2 ?
3
Numa progressão aritmética finita, a soma de dois termos
eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
Sn = [n( a1 + an )] ÷ 2
Sn = Soma dos “n” termos de uma progressão aritmética finita;
a1 = primeiro termo;
an = último termo;
n = número de termos da progressão aritmética.
14 José Wammes, Toledo, Paraná, 2012
Cálculo do último termo an da progressão aritmética
an = a1 + (n – 1) r a30= 2 + 87
a30 = 2 + (30 – 1 ) 3
a30 = 2 + (29) 3 a30= 89
Cálculo da soma dos termos Sn da progressão aritmética
Sn = n ( a1 + an ) / 2 S30 = 2730 / 2
S30 = 30 (2 + 89) / 2
S30 = 30(91) / 2 S30 = 1365
b) Resolver a equação 1 + 7 + ... + x = 280, sabendo-se que os termos
do 1º membro formam uma progressão aritmética.
Resolução: Temos
a1 an r Sn
1 x 6 280
Cálculo do número de termos n da progressão aritmética
an = a1 + (n – 1) r x = 6n – 5
x = 1 + (n -1) 6 6n = x+ 5
x= 1 + 6n – 6 n =(x + 5) / 6
Substituindo na fórmula da soma dos termos Sn da progressão aritmética
Sn = n ( a1 + an ) / 2 280 =[( x2 + 6x + 5 )/6] / 2 3360 = x
2 + 6x + 5
280 = [(x+5)/6](1 +x)]/ 2 280 (2) =( x2 + 6x + 5 )/6 3360 - 5= x
2 + 6x
280 =[ (x + x2 + 5 + 5x)/6] / 2 560 (6) = ( x
2 + 6x + 5 ) 3355 = x2 + 6x
Temos uma equação do 2º grau. Resolvendo-a.
x2 + 6x – 3355 = 0 x= - 6 +- √13456 / 2
x= -b + - √b2 – 4ac / 2a x = (- 6 + - 116) / 2
x = -6 + - √62 – 4.1.(- 3355) / 2.1 x’ = (-6 + 116 / 2) + 55
x = -6 +- √36 + 13420 / 2 x’’ = (-6 - 116 / 2) - 61
Resolvendo “n” e “Sn”, temos:
n =(x + 5) / 6 n = (55 + 5) / 6
n = (55 + 5) / 6 n = 10
Sn = n ( a1 + an ) / 2 280 = 560 /2
280 = 10 ( 1 + 55 ) / 2
280 = 10 (56) / 2 280 = 280
c) Calcular a soma dos 9 termos da progressão aritmética (1, 3, 5, . . .
17).
Sn = n( a1 + an ) /2 S9 = 162 /2
S9 = 9( 1 + 17 ) /2
S9 = 9 (18 ) /2 S9 = 81
Logo, fechando o cálculo, temos:
O número de termos (n) é 10; o valor de “x” é 55 ( -61 não é verdadeiro
pois a P.A. é crescente) (1, 7, . . . x) e a soma dos termos, como
informado no modelo, 280, confere quando fazemos a prova.
15 José Wammes, Toledo, Paraná, 2012
d) Calcular a soma dos 41 primeiros números pares e impares,
positivo.
Impares:
a41 = ? a41 = a1 + 40r Sn = n( a1 + an ) /2
a41 = 1 + 40(2) S41 = 41( 1 + 81 ) /2
a41 = 1 + 80 S41 = 41 (82) /2
S41 = 3362 /2
a41 = 81 S41 = 1681
Pares:
a41 = ? a41 =a1 + 40r Sn = n( a1 + an ) /2
a41 = 2 + 40(2) S41 = 41 ( 2 + 82 ) /2
a41 = 2 + 80 S41 = 41(84) 41 /2
S41 = 3444 /2
a41 = 82 S41 = 1722
e) Determine a soma dos múltiplos de 9 compreendidos entre 1 e
100.
Resolução: 1 9 99 100
a1 an
Temos:
a1 an n r
9 99 ? 9
an= a1 + (n -1)r Sn = n( a1 + an ) /2
99 = 9 +( n - 1) 9 S11 = 11( 9 + 99 ) /2
99 -9 = (n - 1) 9 S11 = 11( 108 ) /2
90 / 9 = n - 1 S11 = 1188 /2
10 + 1 = n
n = 11 S11 = 594
f) Qual a soma dos termos da progressão aritmética (1, 2, 3, . . . 9,
10)?
Resolução:
Temos:
a1 an n r S10
1 10 10 1 ?
Sn = n( a1 + an ) /2 S10 = 10 (11 ) /2
S10 = 10( 1 + 10 ) /2 S10 = 110 /2
S10 = 55
g) A soma (Sn) dos “n” primeiros termos de uma progressão
aritmética é dado por Sn =n2 + n para todo “n”. Determine a
progressão aritmética.
16 José Wammes, Toledo, Paraná, 2012
Resolução:
Sn =n2 + n
n = 1 Sn = 12 + 1 Sn = 1 + 1 Sn = 2
n = 2 Sn = 22 + 2 Sn = 4 + 2 Sn = 6
n = 3 Sn = 32 + 3 Sn = 9 + 3 Sn = 12
Onde:
a1 = 2 S1 = 2
a2 = 4 S2 = a1 + a2 S2 = 2 + 4 S2 = 6
a3 = 6 S3 = a1 + a2+ a3 S3 = 2 + 4 + 6 S3 =12
Se:
a2 – a1 = r r = 4 – 2 r = 2
Logo:
a1 = 2 r = 2
Então:
2 4 6 ...
a1 a2 a3 an
Que é a sequência dos números naturais positivos, pares.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1) Calcular a soma dos termos da progressão aritmética (3, 6, 9 . . .
24, 27).
2) Calcule a soma dos 30 primeiros termos da progressão aritmética
(5, 8, 11. . .).
3) Determine a soma dos múltiplos de 3, compreendidos entre 100 e
200.
4) Se a soma dos “n” primeiros termos da sucessão em progressão
aritmética (6, 10 . . .) é 510, determine “n”.
5) Calcular a soma dos 11 termos da progressão aritmética (2, 5, ...
32).
6) Determine a soma dos 15 primeiros termos da progressão
aritmética (4, 7, 10 . . .).
7) Determine a soma dos 7 números em progressão aritmética cujo
1º termo é 3 e a razão é 5.
8) Quantos múltiplos de 11 há entre 100 e 1000?
9) Numa progressão aritmética de 10 termos, o último termo é 22 e
a razão é 2. Qual é o 1º termo e qual a soma dos termos dessa
progressão aritmética?
10) Calcule a soma dos múltiplos positivos de 10 que se escrevem
com 3 algarismos.
11) Calcule a soma dos 100 primeiros números naturais positivos.
17 José Wammes, Toledo, Paraná, 2012
QUADRO GERAL DE RESPOSTAS
Questão Resposta
1 135
2 1455
3 4950
4 + 15
5 187
6 375
7 126
8 81
9 a1 = 4 S10 = 130
10 49050
11 5050
BIBLIOGRAFIA
Giovani, José Ruy. et al. Matemática fundamental. 2º. Grau – Volume
único. 1ª. Edição. Editora FTD S/A. São Paulo. Sem ano de publicação.
Yamada, Akihiro. Curso de Matemática Financeira. Matemática básica.
Módulo I. Apostila. Curitiba. Sem ano de publicação.