Juegos Repetidos

Tema 2: Juegos repetidos un número infinito de veces

Universidad Carlos III de Madrid

Sabemos que… §  Si se juega un juego de etapa con un único EN

un número finito de veces, haciendo inducción hacia atrás, observamos: Ø Periodo T: no hay incentivos a cooperar.

•  No hay una pérdida en el futuro de la que preocuparse.

Ø Periodo T-1: no hay incentivos a cooperar. •  No hay un “coste de oportunidad” de desviarse en

T-1, porque en T no se cooperará nunca. §  De ahí se deduce que no se coopera en ningún

período.

La interacción finita

§  Cuando hay un único EN la cooperación es imposible si la relación entre los jugadores tiene una duración fija y conocida.

§  Esto sugiere estudiar otras posibilidades: Ø La duración es incierta Ø La duración es desconocida Ø La duración es por un número infinito de

períodos

Juego repetido un número infinito de veces

§  Se juega un juego simultáneo o de etapa en los períodos 1, 2, 3, ..., t-1, t, t+1, ..... En cada período t se observan los resultados de todas las etapas anteriores, desde 1 hasta t-1.

§  Cada jugador descuenta sus pagos futuros δ, 0< δ < 1.

§  El pago de un jugador es el valor presente de sus pagos futuros: ∑ δ t-1 πt. Si πt es constante, entonces:

π+ δ π + δ 2π + δ 3π ….= π 1

1-δ

ENPS §  Consideremos el juego repetido consistente en

jugar un número infinito de veces el siguiente juego de etapa.

§  ¿Es posible sostener la cooperación? ¿Es posible jugar (R1, R2) en un ENPS?

Jugador 2

L2 R2

Jugador1 L1 1 , 1 5 , 0

R1 0 , 5 4 , 4

1 L1 R1

2

L2 R2

2

L2 R2

L1 R1

2

L2 R2

2

L2 R2

L1 R1

2

L2 R2

2

L2 R2

L1 R1

2

L2 R2

2

L2 R2

L1 R1

2

L2 R2

2

L2 R2

1 1 1 1 (1, 1) (5, 0) (0, 5) (4, 4)

HASTA INFINITO

Subjuegos y Estrategias

§  Hay infinitos subjuegos. §  Cada subjuego es idéntico al juego completo. §  Usaremos estrategias resorte o de gatillo:

Ø Cooperar hasta que se produzca una desviación Ø Tras una desviación, jugar no cooperativamente (el

EN del juego de etapa) para siempre.

Estrategias “de gatillo” §  Estrategia de gatillo (o resorte) para el Jugador i: juega Ri en la primera etapa, y en la t, si en TODAS las anteriores, de 1 a t-1 se jugó (R1, R2); si en alguna etapa anterior no se jugó (R1, R2) entonces juega Li.

§  Veamos que estas estrategias generan un ENPS.

§  Dos pasos: Ø 1: Comprobar que constituyen un EN del juego

repetido. Ø 2: Comprobar que constituyen un EN de cada

subjuego.

Pagos descontados

δδδδ

−=++++11......1 32

1 xz z...xxxx xz...xxxx 1 z

Define

432

432

=−

++++=

+++++=

x11 z −

=

Paso 1 t= 1: (R1, R2)

t= 2: (R1, R2)

t-1: (R1, R2)

t: (R1, L2)

t+1: (L1, L2)

t+2: (L1, L2)

• Supongamos que 1 juega la estrategia de gatillo. • Gana algo el 2 si se desvía en t? • Si no se desvía: tendrá una secuencia de pagos 4, 4,

4, ... (de t a +∞). Descontando esos pagos

δδδδ

−=++++

14......4444 32

• Si se desvía: 1 jugará L1 de t+1 en adelante. El 2

responderá con L2. La secuencia de pagos será 5, 1, 1, 1 .... Descontando esos pagos

δδ

δδδ−

+=++++1

5......1115 32

Paso 1 (cont.) Etapa 1: (R1, R2)

Etapa 2: (R1, R2)

t-1: (R1, R2)

t: (R1, L2)

t+1: (L1, L2)

t+2: (L1, L2)

41

15

14

≥⇔−

+≥−

δδδ

δ

• Si 41

≥δ , el jugador 2 no mejora con la

desviación. • Por lo tanto la estrategia de gatillo del 2 es

mejor respuesta a la estrategia de gatillo del 1 si

41

≥δ .

• Simétricamente para el 1 • Hay un EN en el que ambos juegan las

estrategias de gatillo si 41

≥δ .

Paso 2 §  Comprobar que las estrategias inducen un EN en cada

subjuego del juego. §  Hay dos familias de subjuegos:

Ø  Los que comienzan tras una secuencia de (R1, R2). Ø  Los que comienzan tras una historia en la que en alguna

etapa no se jugó (R1, R2).

§  Para la primera familia, las estrategias inducen un EN (Recordemos que cada subjuego del juego es idéntico al juego completo).

§  La segunda familia induce un EN en el que (L1, L2) se juega para siempre (como es EN del juego estático, su repetición constituye un EN en esta familia de subjuegos).

Juego infinito como juego con duración incierta

§  Si solo hay un EN en el juego estático sabemos que la cooperación no es posible si el número de períodos es fijo y conocido.

§  Terminación incierta Ø El juego continúa el período siguiente con probabilidad p:

§  Equivalente a un juego infinito: Ø Recordemos que si la tasa de descuento es δ, 1 euro

mañana vale δ euros hoy. Ø Si a esto añadimos la probabilidad p de que haya un

mañana, 1 euro mañana vale δp euros hoy. Ø El pago de un jugador es el valor presente de sus pagos

futuros: ∑ (δp) t-1 πt. Si πt es constante, entonces: π+ δp π + (δp)2π + (δp)3π ….= π/(1- δp).

Aplicación: la colusión §  Las empresas interactúan un numero infinito de

veces (o con un final sin precisar): Ø Pueden aprender a coordinar sus estrategias Ø Pueden amenazar con periodos de castigo

(beneficios bajos) en caso de desvío. §  Implicaciones:

Ø Si las empresas son suficientemente pacientes, se sostienen precios cercanos a los de monopolio en cada período.

Ø Cuanto mayor es el número de empresas, mas difícil es la colusión.

Duopolio de Cournot repetido un número infinito de veces

§  Juego de etapa, Jugador 1:

Max (a-q1-q2-c) q1

q1>0 §  En Cournot (costes simétricos):

qi = (a-c)/3 Π i = (a-c)2/9

Cantidad cooperativa §  En un monopolio:

Max (a-Q-c)Q

Q>0

c.p.o.: QM= (a-c)/2

P= (a+c)/2 §  En el duopolio colusivo:

qi = (a-c)/4 , cada una produce la mitad de QM

Π i = (a-c)2/8

§  Estrategia de gatillo: Ø Cada jugador produce inicialmente la mitad

de la cantidad de monopolio. Ø Tras un desvío produce la cantidad de

Cournot para siempre. Ø Si no hay desvíos continúa con la mitad de la

cantidad de monopolio. §  Veamos si esta estrategia permite

sostener la cantidad de monopolio en ENPS

¿Es un EN? Supongamos que 1 juega la estrategia de gatillo.

Gana algo el 2 si se desvía en t?

• Si no se desvía: tendrá una secuencia de pagos 8)( 2ca −

. Descontando esos pagos (a− c)2

8(1−δ)

• Si se desvía: Lo hará jugando la mejor respuesta a QM/2 que es 8)(3 ca −

=

• Sus beneficios descontados son

)1(9)(......

9)(

9)(

9)( 2

32

222

δδ

δδδ−

−+Π=+

−+

−+

−+Π

cacacaca DD

- 64)(9

8)(3

8)(3

4)( 2cacacacacaD −

=−

"#

$%&

' −−

−−−=Π

• Sus beneficios descontados si se desvía son

)1(9)(

64)(9 22

δδ

−

−+

− caca

• Por lo tanto para que no se desvíe, será necesario δ≥9/17, según se desprende de:

)1(9649

)1(81

)1(9)(

64)(9

)1(8)( 222

δδ

δ

δδ

δ

−+>

−

−

−+

−>

−

− cacaca

Cantidad de monopolio en un ENPS

§  Las estrategias que hemos propuesto constituyen un EN del juego completo si el factor de descuento es suficientemente grande.

§  Además inducen un EN en cada subjuego del juego:

Ø Los que comienzan tras una secuencia de (qM1, qM

2). Ø Los que comienzan tras una historia en la que en

alguna etapa no se jugó (qM1, qM

2).

•  Para la primera familia, las estrategias inducen un EN. •  La segunda familia induce un EN en el que se juegan las

cantidades de Cournot para siempre (como es EN del juego estático, es EN).

Resumen

§  La cooperación es factible si el horizonte temporal es incierto o infinito.

§  Se evitan los desvíos usando castigos creíbles: jugar el EN del juego estático.