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Juegos Dinámicos Tema 4: Aplicaciones Económicas
Universidad Carlos III
Aplicaciones Económicas
Ø JDIP Ø Competencia en can?dades secuencial: Stackelberg Ø Sindicatos y empresas: la Negociación Colec?va Ø Otras: elección de esfuerzos en una sociedad, contribuciones secuenciales a un bien público, competencia secuencial en precios, etc...
Ø JDII Ø Votación
Ø Votar sincera o estratégicamente Ø Manipulación de la agenda
JDIP y variable con?nua
Ø Dos jugadores. El Jugador 1 debe elegir x, x≥0, y el Jugador 2 debe elegir z, z ≥ 0. Sus pagos son:
u1(x, z) y u2(x, z) Ø El Jugador 1 mueve primero, y su elección será conocida por 2 antes de elegir z.
Ø El jugador 1 ?ene un conjunto de información. Su estrategia será un número, un valor concreto de x.
Ø El jugador 2 ?ene infinitos conjuntos de información (uno por cada posible valor de x), por ello pondremos un asterisco (*) para indicarlo. Su estrategia debe contener infinitos valores. Será una función, z = f (x).
Jugador 1
J2*
u1(x, z) u2(x, z)
ENPS: Resolución Ø Por inducción hacia atrás, comenzamos con el Jugador 2. Elegirá
z para maximizar sus beneficios dado el valor de x, esto es, Ø Sus?tuimos la función de reacción de 2 en la u?lidad de 1. El
Jugador 1 elegirá aquel x* que maximice sus beneficios
Maxzu2 (x, z) → z = f (z) donde f ≡ Función de Reacción
Maxx
u1(x, f (x)) → x*
ENPS = (x*, f (x))
Competencia secuencial en can?dades Ø 2 empresas producen un bien homogéneo Ø Demanda lineal: P=a-‐Q Ø Coste marginal constante e igual para ambas empresas: c<a
Ø Secuencia de Decisiones: Ø La empresa Líder (Empresa 1) decide su producción Ø La empresa Seguidora (Empresa 2) observa la producción del Líder y decide su producción
Ø La diferencia básica con el modelo de Cournot es que ahora las empresas toman sus decisiones de forma secuencial y no de forma simultánea.
La forma extensiva: Líder
Seg*
∏l (ql, qs) ∏s(ql, qs)
Estrategias Ø En una situación de información perfecta, la empresa líder ?ene un
conjunto de información y la seguidora infinitos, por ello pondremos un asterisco (*) para indicarlo.
Ø Hay infinitos subjuegos, uno para cada posible valor de . Estrategias: Una estrategia de la líder es una acción: un varlor de . Una
estrategia para la seguidora debe tener infinitos elementos uno para cada uno de sus conjuntos de información. La estrategia de la seguidora será por tanto una función.
ql
ql
Inducción hacia atrás Ø Para computar el conjunto de ENPS resolvemos hacia atrás
desde el úl?mo subjuego, en que el seguidor produce la can?dad que maximiza su beneficio dada la can?dad elegida previamente por el líder:
de la condición de primer orden obtendremos la mejor respuesta:
Ø Nótese que su mejor respuesta es idén?ca a la que
obtendríamos si el juego fuera simultáneo.
∂ sΠ∂
sq= a− lq − 2 sq − c = 0⇒ sq = sMR ( lq ) =
a− c− lq2
sqMax sΠ = (P(Q)− c) sq = (a− lq − sq − c) sq
Dada la mejor respuesta del seguidor, el líder maximiza sus beneficios (an?cipa esa mejor respuesta y la ?ene en cuenta a la hora de resolver su problema de op?mización), es decir, resolvemos hacia atrás la etapa anterior del juego:
Sus?tuyendo la restricción en la función obje?vo y calculando la condición de primer orden:
lqMax (P(Q)− c) lq = (a− lq − sq − c) lq t.q. sq =
a− c− lq2
lΠ = (a− lq −a− c− lq2
#
$%
&
'(− c) lq =
a− c− lq2
#
$%
&
'( lq
ENPS = a− c2, a− c− lq
2#
$%
&
'(
Precios y Beneficios en ENPS
Ø Aunque las empresas ?enen la misma eficiencia tecnológica, la líder gana más que la seguidora.
Q = lq + sq =a− c
2+a− c− a− c
2"
#$
%
&'
2=
34a− c( )
P(Q) = a− 34a− c( ) = 1
4a+ 3
4c
Los beneficios de cada empresa:
lΠ =14a+ 3
4c− c
"
#$
%
&'a− c
2"
#$
%
&'=
18a− c( )2
sΠ =14a+ 3
4c− c
"
#$
%
&'a− c
4"
#$
%
&'=
116
a− c( )2
Cournot versus Stackelberg Ø En Cournot: Ø La líder gana más que en Cournot y la seguidora gana menos. Ø Hay una ventaja estratégica en mover primero • Intuición la Líder ?ene la opción de elegir a lo que la seguidora responderá con dado que es su mejor respuesta, por lo tanto . Pero puede hacer algo mejor, elegir una can?dad mayor sabiendo que la seguidora responderá reduciendo su can?dad (recordemos que son sus?tutos estratégicos).
qcqc
ΠΠ ≥COURl
STl
1q = 2q =a− c3
⇒Q = 2 a− c3
#
$%
&
'(⇒ 1Π = 2Π =
2(a− c)9
Ventaja de Mover primero/ventaja de mover segundo
Ventaja de mover primero Cuando la reacción de los demás se mueve en dirección contraria a la del que juega primero. Por ejemplo competencia en can?dades
Ventaja de mover segundo Cuando la reacción de los demás se mueve en la misma dirección de la del que juega primero. Por ejemplo competencia en precios
Conclusiones 1. La empresa L produce más que en el equilibrio simultáneo para que la Empresa S reaccione produciendo menos.
2. La empresa L puede elegir individualmente el nivel de producción que maximiza sus beneficios, teniendo en cuenta la reacción de la Empresa S. Por definición obtendrá los mismos o más beneficios que en el juego simultáneo.
3. El problema es la credibilidad: instalar capacidad previamente, lanzar una imagen de marca al mercado, etc. En general, incurrir en costes irrecuperables para conver?rse en la líder.
La Negociación Colec?va En una economía hay un sindicato y una empresa. El sindicato es el único proveedor de empleo y ?ene poder exclusivo sobre el salario w. Por su parte, la empresa es quien decide la can?dad de trabajo L El obje?vo del sindicato es maximizar las rentas salariales wL. La empresa sólo usa trabajo en la producción. Su obje?vo es elegir el nivel de empleo L que maximiza su beneficio
El juego ?ene la siguiente estructura temporal 1. El sindicato elige un salario 2. La empresa tras conocer w elige un nivel de empleo
LMax F(L)−wL, sea F(L) = 8L −
2L2
ENPS
Resolvemos el juego usando la inducción hacia atrás, por lo que empezamos por la decisión de la empresa
Sus?tuimos la función de reacción de la Empresa en la función obje?vo del sindicato:
ENPS = (4, 8-‐w) Acciones de Equilibrio : w = 4, L = 4
Pagos en ENPS : U = 16, ∏ = 8
LMax 8L −
2L2−wL
cpo :8− L −w = 0→ L(w) = 8−w
4*)8( =→−≡ wwwwLMaxw
JDII: juegos de votación Ø Supongamos que en un comité parlamentario hay tres posibles
propuestas de ley: la A, B y C Ø El comité está compuesto por tres parlamentarios: 1, 2 y 3. Ø El procedimiento de votación es como sigue. Primero los parlamentarios
votan entre A y B. Después, los parlamentarios votan entre la opción que obtenga más votos en la primera fase y la opción C. La opción que obtenga más votos en esta segunda fase es la que se implementa finalmente.
Ø Las preferencias de los parlamentarios son: Votante 1 : Votante 2 : Votante 3 :
Ø Para hacer el problema más sencillo pongamos que la mejor opción reporta una u?lidad de 3, la segunda mejor, de 2 y la tercera, de 1.
A C BB A CC A B
Subjuegos y estrategias Ø Enfrentamos un JDII que ?ene 9 subjuegos: los 8 subjuegos
que comienzan tras la primera fase de votación (uno para cada posible combinación de votos: AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB) y el juego completo.
Ø La estrategia de cada jugador ha de contener 9 elementos: indicará qué votará en el etapa 1 y qué votará en cada subjuego
Ø Calculamos primero los EN de los 8 subjuegos. Sus?tuimos los subjuegos por sus pagos en el EN y calculamos el EN del juego en el que los pagos son los EN de los subjuego
Subjuegos Los podemos agrupar en 2 ?pos: aquellos en los que gana A y aquellos en los que gana B Gana A en AAA, AAB, ABA, BAA Gana B en ABB, BAB, BBA, BBB
EN de los subjuegos En aquellos que gana A los tres votantes ?enen dos acciones: votar por A o por C. Si suponemos que en caso de indiferencia siempre votan por su mejor opción, o, equivalentemente, si no permi?mos a los jugadores usar estrategias débilmente dominadas, el EN es: (A,A,C). (Notemos que (A,A,A) es un EN pero viola el requerimiento que planteamos)
En aquellos que gana B los tres votantes ?enen dos acciones: votar por B o por C. Si suponemos que en caso de indiferencia siempre votan por su mejor opción, el EN es: (C,B,C).
U(EN) = (2, 1, 3)
U(EN ) = (u1(A), u2 (A),u3(A)) = (3, 2, 2)
Sus?tuyendo los subjuegos por sus pagos en EN
Votación Estratégica Ø Vamos a ver que (AAB) es un EN del juego anterior (Hay otros EN,
por ejemplo, (AAA), pero (AAB) sa?sface que ningún jugador usa una estrategia débilmente dominada u1(AAB) = 3 > u1 (BAB) = 2 (sale B y entre B y C, C gana) u2 (AAB) = 2 > u2 (ABB) = 1 (sale B y entre B y C, C gana) u3 (AAB) = 2 = u3 (AAA) = 2 sale A en ambas
Ø Notemos que el Votante 2 vota por A en la primera ronda a pesar de que prefiere B: Votación estratégica
Ø Las siguientes estrategias cons?tuyen un ENPS: s1 = (A, A si gana A, C si gana B), s2 = (A, A si gana A, B si gana B), S3 = (B, C si gana A, C si gana B)
Manipulación de la Agenda
Consideremos el problema de votación anterior con preferencias Votante 1 : Votante 2 : Votante 3 : Si el presidente de la comisión parlamentaria perteneciera al par?do del Parlamentario 1 (y por tanto tuviera sus mismas preferencias), ¿Hay algo que pueda hacer? Comparemos empezar eligiendo entre A y B con comenzar eligiendo entre A y C. En ambos casos asumiremos votación sincera en t=2.
A B CB C AC A B
Orden 1) AB En la PRIMERA etapa hay dos resultados posibles: gana A o gana B: Si gana A, entre A y C los votos son (A, C, C) U = (1, 2, 3) Si gana B, entre B y C los votos son (B, B, C) U = (2, 3, 1) Por inducción hacia atrás, votos en t=1: (B,B,A)
GANA B
C→
B→
Orden 2) AC En la PRIMERA etapa hay dos resultados posibles: gana A o gana C: Si gana A, entre A y B los votos son (A, B, A) U = (3, 1, 2) Si gana C, entre B y C los votos son (B, B, C) U = (2, 3, 1) Inducción hacia atrás, votos en t=1: (A,C,A)
GANA A Hay incen?vos a manipular la agenda y establecer el segundo orden.
A→
B→
