Embed Size (px)
Citation preview
I.________________________________________________________________
1. 4 4 1A vlejnë barazimet 1 dhe 1 për ?k ki i k ...................................................................................
2. 4 4 1A vlejnë barazimet 1 dhe për ? k ki i i k ...............................................................................
3. Në qoftë se atëherë pjesa imagjinare e numrit është Im .z x iy z z iy
Në qoftë se atëherë pjesa imagjinare e numrit është Im . z x iy z z y .....................................
4. Në qoftë se atëherë 2 Im . z x iy z z i z
Në qoftë se atëherë 2 Im .z x iy z z z .....................................................................................
5. Në qoftë se atëherë 2Re .z x iy z z z
Në qoftë se atëherë 2 Im . z x iy z z z .....................................................................................
6. 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
A vlen barazimi ?x iy x x y y y x x y
ix iy x y x y
....................................................................
7. 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
A vlen barazimi ?
x iy x x y y y x x yi
x iy x y x y...................................................................
8. 2 2A vlejnë barazimet dhe + ?z z z z x y ..........................................................................
9. 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2A vlen barazimi ( ) ( ) ( ) ?x iy x iy x x y y i y x x y ..................................................
10. 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2A vlen barazimi ( ) ( ) ( ) ? x iy x iy x x y y i y x x y .................................................
11. Dy numra kompleks janë të barabartë atëherë dhe vetëm atëherë kur kanë modulet dhe
argumentet e barabarta..................
12. Dy numra kompleks janë të barabartë atëherë dhe vetëm atëherë kur kanë modulet
e barabarta.......................
II._____________________________________________________________________________
13. 2Pjesa reale dhe imagjinare e numrit kompleks është:
3 2 Re (6 2) /13 dhe Im (3 2 2) /13
iz
iz z
...................................................
14. 2Pjesa reale dhe imagjinare e numrit kompleks është:
3 2 Re (6 2) /11 dhe Im (3 2 2) /11
iz
iz z
...................................................
15. 2 2
3 3Forma trigonometrike e numrit kompleks 1 3 është: 2(cos sin ).z i i
......................
16. 3 3
Forma trigonometrike e numrit kompleks 1 3 është: 2(cos sin ). z i i ..........................
17. 2 2
A vlen barazimi 2(cos +isin ) 2(cos +isin ) 2 2 ?3 3 3 3
................................................
18. 2 2
A vlen barazimi 2(cos +isin ) 2(cos +isin ) 2 2 ?3 3 3 3
............................................
19. 6 6
A vlen barazimi 3 cos( ) sin( ) ?i i
...........................................................................
20. 6 6
A vlen barazimi 3 2cos( ) sin( ) ?
i i .........................................................................
21. 5 5
6 6A vlen barazimi 3 2(cos sin ) ?i i
.............................................................................
22. 5 5
6 6A vlen barazimi 3 2(cos sin ) ?
i i .............................................................................
23. A vlen barazimi 3 4 25 ?i ....................................................................................................
24. A vlen barazimi 3 4 5 ? i ......................................................................................................
25. 7
5
(1 )A vlen barazimi 2 ?
(1 )
i
i
..................................................................................................................
26. 7
5
(1 )A vlen barazimi 2 ?
(1 )
ii
i.......................................................................................................
27. Në qoftë se 1 2 , Re 2 dhe Im{ } 2, atëherë do të jetë 2 6 .w
z i z w w iz
..............................
III._____________________________________________________________________________
28. 1 1 1 1 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
Në qoftë se (cos sin ), (cos sin ) atëherë
[cos( ) sin( )].
z r i z r i
z z r r i
.......................................................
29. 1 1 1 1 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
Në qoftë se (cos sin ), (cos sin ) atëherë
[sin( ) cos( )].
z r i z r i
z z r r i................................................
30. 1 1 1 1 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
Në qoftë se (cos sin ), (cos sin ) atëherë
/ / [cos( ) sin( )].
z r i z r i
z z r r i
................................................
31. 1 1 1 1 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
Në qoftë se (cos sin ), (cos sin ) atëherë
/ / [cos( ) sin( )].
z r i z r i
z z r r i................................................
32. Në qoftë se (sin cos ) atëherë (sin cos ).n nz r i z r n i n .................................................
33. Në qoftë se (cos sin ) atëherë (cos sin ). n nz r i z r n i n .................................................
34. 2 2
Në qoftë se (cos sin ) atëherë (cos sin ), 0,1, 2,..., 1.n n k kz r i z r i k n
n n
.... ................
35. 2 2
Në qoftë se (cos sin ) atëherë (sin cos ), 0,1,2,..., 1.
n n k kz r i z r i k n
n n..............
36. Në qoftë se (cos sin ) atëherë (cos sin ), 0,1,2,..., 1.
n n k kz r i z r i k n
n n............
37. 0 0Bashkësia { : } është rreth me qendër në pikën dhe me rreze .z z z r z r
0 0Bashkësia { : } është rreth me qendër në pikën dhe me rreze . z z z r z r ...............................
38. A vlejnë barazimet (cos sin ) dhe (cos sin )?x iy x x iy xe e y i y e e y i y .............................................
39. A vlejnë barazimet (cos sin ) dhe (cos sin )? x iy x x iy xe e y i y e e y i y ......................................
40. Pikat që u përgjigjen vlerave paraqesin kulme të një -këndëshi të rregullt të
brendashkruar në rrethin me rreze e me qendër në origjinën e sistemit koordinativ.
n
n
z n
r
Pikat që u përgjigjen vlerave paraqesin kulme të një -këndëshi të rregullt të
brendashkruar në rrethin me rreze e me qendër në boshtin real.
n
n
z n
r...........................
IV._____________________________________________________________________________
41. Në qoftë se 1 2 , Re 2 dhe Im{ } 2, atëherë do të jetë 2 6 .
wz i z w w i
z.......................
42. 2
Në qoftë se 3 , arg dhe arg atëherë numrat kompleks dhe 6 3
janë: 2 3 2 , dhe 3 3 .
z w i z w z w
z i w i
....................... o
43. 2
Në qoftë se 3 , arg dhe arg atëherë numrat kompleks dhe 6 3
janë: 2 3 2 , dhe 3 3 .
z w i z w z w
z i w i
..................
44. 4 4
Forma trigonometrike e numrit kompleks 2 2 është: 2[cos( ) sin( )].z i i
.......................
45. 3 3
4 4Forma trigonometrike e numrit kompleks 2 2 është: 2[cos( ) sin( )].
z i i ...................
46. 5 5
6 6Forma trigonometrike e numrit kompleks 3 3 është: 2 3(cos sin ).z i i
...........................
47. 5 5
6 6Forma trigonometrike e numrit kompleks 3 3 është: 2(cos sin ).
z i i ..........................
48. 4 2 2 2 2Vlerat e 1 janë 1, 1, dhe .
2 2 2 2i i .............................................................................
49. 4Vlerat e 1 janë 1, 1, , . i i ..........................................................................................................
50. Forma trigonometrike e numrit kompleks për të cilin vlenë 3, | | 2, 0
është: 2(cos sin ).3 3
z y z x
z i
................................
51. Forma trigonometrike e numrit kompleks për të cilin vlenë 3, | | 2, 0
është: 2(cos sin ).3 3
z y z x
z i..........................
52. 553 31 1
A vlen barazimi ?2 22 2
( )i i ................................................................................................
53.
55
31A vlen barazimi 1 ?2 2
i ...................................................................................................
54. 10
A vlen barazimi 1 64 ?( )i i .................................................................................................................
55. 10
A vlen barazimi 1 32 ?( ) i i ...........................................................................................................
V._______________________________________________________________________________
56. Matrica quhet në qoftë se ajo është matricë e rendit 1.A mmatricë rresht ............................................
57. Matrica quhet në qoftë se ajo është matricë e rendit 1 .matricë rresht A m ......................................
58. Matrica quhet në qoftë se ajo është matricë e rendit 1.A mmatricë shtyllë .......................................... .
59. Matrica quhet në qoftë se ajo është matricë e rendit 1 .matricë shtyllë A m ....................................
60. Matrica quhet në qoftë se 0, për çdo 1,2,..., ; 1,2,..., .i jm nO a i m j n zero - matricë .........................
61. Matrica quhet në qoftë se të gjithë elementet e një rrjeshti janë zero.zero - matricëm nO ...............
62. Shuma e dy matricve dhe të rendit është matrica e rendit .A B m n C n m ....................................
63. Shuma e dy matricve dhe të rendit është matrica e rendit . A B m n C m n ....................................
64. Produkti i matricës me një skalar merret duke e shumëzuar cilindo rresht apo cilendo shtyllë të matricës me skalarin .
kA A kA k
....................
65. Produkti i matricës me një skalar merret duke e shumëzuar secilin element të matricës me skalarin .
kA A kA k
.................................................
66. Dy matrica dhe mund të shumëzohen në qoftë se matrica ka aq rreshta sa ka shtylla matrica , dmth. matrica A është e rendit , ndërsa matrica B është e rendit .
A B AB m n k n
............
67. Produkti është i mundshëm në qoftë se matrica ka aq shtylla sa ka rreshta matrica , dmth. matrica A është e rendit , ndërsa matrica B është e rendit .
A B AB m p p n
...................
68. 1
1 1
Matrica quhet e matricës në qoftë se vlen:
, për matricë njësi e rendit të njëjtë me
A A
A A A A E E A
matricë inverze
.............................................................
69. 1
1 1 1
Matrica quhet e matricës në qoftë se vlen:
, për matricë njësi e rendit të njëjtë me
matricë inverze
A A
A A A E A E A
......................................................
70.
Për produktin e matricave vlen vetia komutative si dhe vetitë
shumëzimit ndaj mbledhjës dh
distributive të
e .A
A B
B C AB AC A B C AC BC
B A
........................
VI.______________________________________________________________________________________
71.
11 0 1 0
Për çdo vlen 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1
xxx R
. .............................................................................................
72.
11 0 1 0 0
Për çdo vlen 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0
xx R
x
......................................................................................
73. 1 1 1 0
2 1Zgjidhja e ekuacionit matricial 0 0 është 0 0
0 01 1 1 2
X X X
...............................................
74. 1 1 1 0
2 1Zgjidhja e ekuacionit matricial 0 0 është 0 0
0 01 1 1 1
X X X .........................................
75. 3 3
3
0 0A vlen barazimi ?
3
a ab a b a
.......................................................................................................
76. 3 3
2 3
0 0A vlen barazimi ?
3
a ab a a b a
..............................................................................................
77. 6
1 2 3 1 1 1 1 1 0A vlen barazimi 0 4 5 0 1 1 0 4 1 ?
0 0 6 0 0 1 0 0
.....................................................................
78. 5
1 2 3 1 1 1 1 1 0A vlen barazimi 0 4 5 0 1 1 0 4 1 ?
0 0 6 0 0 1 0 0
.....................................................................
79. t
1 1 1 1 1 1 1 1A vlen barazimi =3 ?
1 1 1 1 1 1 1 1
..........................................................................
80. 1 1 1 1 1 1 1 1
A vlen barazimi =3 ?1 1 1 1 1 1 1 1
.....................................................................
81. 11 0 1
1Për matricën 0 0 vlen në qoftë se është 2.
21 0 1
tA x A A x
..........................................
82. 11 0 1
1Për matricën 0 0 vlen në qoftë se është 3.2
1 0 1
tA x A A x ..........................................
83. 1 2 3 1 1 1 1 1 0
A vlen barazimi 0 4 5 0 1 1 0 4 1 ?0 0 6 0 0 1 0 0 6
.....................................................................
84. 1 2 3 1 1 0 1 1 3
A vlen barazimi 0 4 5 0 1 0 0 4 5 ?0 0 6 0 0 1 0 0 6
........................................................................
85. 8
11 1 8A vlen barazimi = ?
0 1 0 1
............................................................................................
VII.___________________________________________________________________________
86.
shumëzimit ndaj mblPër produktin e mat edhjës ricave vlen vetia d
dhe
istributiv
.kur është i mundur
e
A B C AB AC A B C CA CB
................................
87. Në qoftë se 0 dhe 0 janë dy matrica të përshtatshme për tu shumëzuar,
a mund të rrjedh që 0?
A B
A B
A vlen ligji komutativ i shumzimit të matricave çdo herë ? A B B A.............................................
88. Nga brazimi a rrjedh gjithmonë se 0 ose 0?AB AC A B .................................................................
89. Nga brazimi a rrjedh gjithmonë se AB AC B C ...........................................................................
90. Matrica quhet në qoftë se është e rendit për .A m n m n matricë katrore ............................................
91. Matrica quhet në qoftë se 0, për .i jA a i j matricë diagonale .............................................................
92. Matrica quhet në qoftë se 0, për .matricë diagonale i jA a i j ........................................................
93. Matrica quhet në qoftë se 0, për .i jA a i j matricë diagonale .............................................................
94. Matrica quhet në qoftë se 0, për .i jA a i j matricë trekëndshe e poshtme ....................................
95. Matrica quhet në qoftë se 0, për .i jA a i j matricë trekëndshe e sipërme ........................................
96. Matrica quhet në qoftë se 0, për .i jA a i j matricë trekëndshe e sipërme .....................................
97. Matricë të transponuar të matricës do të quajmë matricën e cila fitohet duke i
ndërruar rreshtat me shtyllat e matricës .
tA A
A ..............................
98. Matricë të transponuar të matricës do të quajmë matricën e cila fitohet duke i
ndërruar dy rreshta me cilat do dy shtylla të matricës .
tA A
A.........................
99. Matricë të konjuguar të matricës do të quajmë matricën A e cila fitohet duke e
zëvendësuar secilin elementet të sajë me elementin përgjegjës të konjuguar.
A............................
VIII.____________________________________________________________________________
100. 8
11 1 8A vlen barazimi = ?
0 1 0 1
.....................................................................................................
101. 1
2
10 0Për 0 vlen .
a aa
b a b aa. ..............................................................................................
102. 1
0 0Për 0 vlen .
2
a aa
b a ab a...................................................................................................
103.
21 1 1 1 1 1
A është i saktë barazimi 1 1 1 3 1 1 1 ?1 1 1 1 1 1
..................................................................
104.
21 1 1 1 1 1
A është i saktë barazimi 1 1 1 3 1 1 1 ?1 1 1 1 1 1
....................................................................
105. 2 1 3Në qoftë se ( ) 5, atëherë ( ) ?
2 1F x x x A F A A
........................................................
106. 2 1 3Në qoftë se ( ) 5, atëherë ( ) 2 ?
2 1
F x x x A F A A ......................................................
107. 1
1 1 1 1 1 1A është i saktë barazimi 1 1 1 3 1 1 1 , për ?
1 1 1 1 1 1
n
n
n N
..........................................
108. 1
1 1 1 1 1 1A është i saktë barazimi 1 1 1 3 1 1 1 , për ?
1 1 1 1 1 1
n
n
n ..........................................
109. 4 2 2 1 11 6Në qoftë se ( ) 1 dhe atëherë ( ) ?
3 0 18 1F x x x A F A
...................................
110. 4 2 2 1 11 6Në qoftë se ( ) 1 dhe atëherë ( ) ?
3 0 18 10
F x x x A F A ....................................
111. 21 1 1 1 1 4Në qoftë se dhe atëherë 2 2 ?
0 1 0 1 0 4A B A A B B
.......................................
112. 21 1 1 1 1 4Në qoftë se dhe atëherë 2 2 ?
0 1 0 1 0 1A B A A B B
.......................................
113.
2 1 3 4 28 28
3 4 2 5 2 94 1
4 2
Zgjidhja e ekuacionit për , ,
është .
A X B C A B C
X
.............................
IX.______________________________________________________________________________
114. 4 11/23 2 1 54 02 1 2 3
Zgjidhja e ekuacionit 3 2 për , është .A X B A B X
................
115. ( )A vlen barazimi det ( ) det ?tA A .....................................................................................................
116. ( )A vlen barazimi det ( ) det ?A A ......................................................................................................
117. Në qoftë se dy rreshtave (shtyllave) fqinje të determinantes ua ndërrojmë vendet atëherë
determinanta e ndërron dy herë parashenjën. ..............
118. Në qoftë se dy rreshtave (shtyllave) fqinje të determinantes ua ndërrojmë vendet atëherë
determinanta e ndërron parashenjën...............
119. Në qoftë se në determinantë ndërrojnë vendet cilëtdo dy rreshta (shtylla) fqinje,
atëherë determinanta e ndërron shenjën. .....................
120. Në qoftë se në determinantë ndërrojnë vendet cilëtdo dy rreshta me dy (shtylla) ,
atëherë determinanta e ndërron shenjën...........................
121. Në qoftë se dy rreshtave (shtyllave) të çfarëdoshme të determinantes ua ndërrojmë
vendet atëherë determinanta e ndërron parashenjën..........................
122. Në qoftë se dy rreshtave (shtyllave) të çfarëdoshme të determinantes ua ndërrojmë
vendet atëherë determinanta nuk e ndërron parashenjën..........................
123. Në qoftë se dy rreshta (shtylla) të determinantes janë proporcionale atëherë vlera e
determinantes është e barabartë me zero. ..........................
124. Në qoftë se dy rreshta (shtylla) të determinantes janë proporcionale atëherë vlera e
determinantes nuk është e barabartë me zero..........................
125. Në qoftë se matrica fitohet nga matrica duke kaluar rreshtin (shtyllën) e -të
mbi rreshta (shtylla), atëherë: | | ( 1) | | .k
B A i
k B A ...................................
126. 1
Në qoftë se matrica fitohet nga matrica duke kaluar rreshtin (shtyllën) e -të
mbi rreshta (shtylla), atëherë: | | ( 1) | | . k
B A i
k B A............................
127. Në qoftë se cilëtdo dy rreshta (shtylla) të determinantës janë identik, atëherë
vlera e determinantës ndryshon nga zero. .........................................
128. Në qoftë se cilëtdo dy rreshta (shtylla) të determinantës janë identik, atëherë
vlera e determinantës është e barabart me zero.
..................................
129. Matricë e quajmë matricën për të cilën vlen det 0.A A josingulare ......................................................
X.______________________________________________________________________________
130. 4 7 1 1 7 4
3 6 9 9 6 3
6 3 5 5 3 6
A është i saktë barazimi ?
. ....................................................................................
131. 4 7 1 1 7 4
3 6 9 9 6 3
6 3 5 5 3 6
A është i saktë barazimi ?
................................................................................
132. 1
A është i saktë barazimi 1 ?1
x y zy x z x y zz x y
................................................................................
133. 1
A është i saktë barazimi 1 0?1
x y zy x zz x y
.......................................................................................
134. 2 3 3 7
A është i saktë barazimi 1?3 7 2 3
....................................................................................
135. 2 3 3 7
A është i saktë barazimi 1?3 7 2 3
.................................................................................
136. 1
A është i saktë barazimi 1 0?1
a p cp c ac a p
.........................................................................................
137. 1 1 1
A është i saktë barazimi 4 5 6 0?7 8 9
n n nn n n
...............................................................................
138. 1 1 1
A është i saktë barazimi 4 5 6 2 3?7 8 9
n n n nn n n
........................................................................
139. A është i saktë barazimi 2 ?
a b c da b c d abca b c da b c d
..............................................................................
140. A është i saktë barazimi 8 ?
a b c da b c d abcda b c da b c d
...........................................................................
141. 2
3
2
1 1 (1 )
1 2 (1 )
1 3 (1 )
A është i saktë barazimi ( 1) ?
x
x
x
x x
................................................................................
142. 2
3
2
1 1 (1 )
1 2 (1 )
1 3 (1 )
A është i saktë barazimi ( 1) ?
x
x
x
x x ..........................................................................
143. 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
A është i saktë barazimi 2 ?
y c y c
x x c c y c x y c
x y x y
......................................
144.
1 2 3 . . .1 0 3 . . .
. . .1 2 0
1 2 3 . . . 0
Vlera e determinantës është !
nnn n
...................................................................................
XI.______________________________________________________________________________
145. Matricë e quajmë matricën për të cilën vlen det 0.josingulare A A `..............................................
146. Matricë e quajmë matricën për të cilën vlen det 0.A A singulare .........................................................
147. Matricë e quajmë matricën për të cilën vlen det 0.singulare A A .................................................
148. Determinanta e matricës e formuar nga matrica katrore prej të cilës është larguar
rreshti i -të dhe shtylla e -të, quhet i elementit .minorij
ij
A A
i j a ..........................
149. Determinanta e matricës e formuar nga matrica katrore prej të cilës është larguar
rreshti i parë dhe shtylla e -të, quhet i elementit , 1.minor ij
ij
A A
j a i....................
150. Numri ( 1) , ku është matrica e formuar nga katrore prej të cilës është
larguar rreshti i -të dhe shtylla e -të, quhet i elementit .
i j
ij ij ij
ij
A A A
i j a
komplement algjebrik ...........................
151. Numri ( 1) , ku është matrica e formuar nga katrore prej të cilës është
larguar rreshti -të dhe shtylla e -të, quhet i elementit .ij ij ij
ij
A A A
j i a
komplement algjebrik.........................
152. Komplementi algjebrik paraqet koeficientin e elementit në determinantën e zhvilluar | | .ij ija A .............
153. Komplementi algjebrik paraqet koeficientin e elementit në determinantën e zhvilluar | | .ij jia A ....
154. Determinanta është e barabartë me shumën e produkteve të elementeve të cilit do rresht
(shtylle) me komplementet algjebrike të një rreshti (shtylle) tjetër. ................
155. Determinanta është e barabartë me shumën e produkteve të elementeve të cilit do rresht
(shtylle) me komplementet algjebrike të atij rreshti (shtylle) ...............
156. Determinanta e matricës trekëndëshe është e barabartë me produktin e elementeve në diagonale. ......
157. Determinanta e matricës trekëndëshe nuk është e barabartë me produktin e
elementeve në diagonale........................................
158. Shuma e produkteve të elementeve të cilit do rresht (shtyllë) me komplementet algjebrike
të elementeve respektivë të një rreshti (shtylle) tjetër është e barabartë me zero. .....................
159. Shuma e produkteve të elementeve të cilit do rresht (shtyllë) me elementet e diagonales
së determinantes është e barabartë me zero.
...................
XII.____________________________________________________________________________
160. 1 2 3 . . .1 0 3 . . .
. . .1 2 0
1 2 3 . . . 0
Vlera e determinantës është 1 !
nnn n ....................................................................
161.
1 1 1 1. . .1 2 1 . . . 1
. . .1 1 3 1
1 1 1 . . .
Vlera e determinantës është ( 1)!
n
n ............................................................................
162.
1 1 1 1. . .1 2 1 . . . 1
. . .1 1 3 1
1 1 1 . . .
Vlera e determinantës është ( 1)!
n
n
.....................................................................
163.
1 2 0 12 3 1 00 1 2 41 0 4 1
Determinanta e matricës është 24.A
..............................................................................
164.
1 2 0 12 3 1 00 1 2 41 0 4 1
Determinanta e matricës është 6.
A ......................................................................
165.
1 2 0 12 3 1 00 1 2 41 0 4 1
Determinanta e matricës është 4.
A ..........................................................................
166.
1 2 0 12 3 1 00 1 2 41 0 4 1
Determinanta e matricës është (=0).A
........................................................................
167. 2 2 2
1 1 1
Vlera e determinantës është ( )( )( ).a b c b a c a c ba b c
....................................................................
168. 2 2 2
1 1 1
Vlera e determinantës është ( )( )( ). a b c a b c a c ba b c
.............................................................
169. 3 2
7 5
log 5 log 7Vlera e determinantës është 1.
log 2 log 3....................................................................................
170. 3 2
7 5
log 5 log 7Vlera e determinantës është 0.
log 2 log 3....................................................................................
171.
n n
31 2 . . .0 1 2 . . . 10 0 1 . . . 2
0 0 0 . . . 1
Determinanta e matricës është .
nnnA n .........................................................
172.
n n
31 2 . . .0 1 2 . . . 10 0 1 . . . 2
0 0 0 . . . 1
Determinanta e matricës është 1.
nnnA ........................................................
173. 1
1 . . .2 . . .
3 . . .
. . .
Determinanta e matricës është (-1) !n
n n nn n nn n n
n n n n
A n
......................................................
174.
1 . . .2 . . .
3 . . .
. . .
Determinanta e matricës është (-1) !
n
n n nn n nn n n
n n n n
A n ........................................................
XIII.____________________________________________________________________________
175. Shumëzimi i elementeve të cilitdo rresht të matricës me një skalar 0, është
një transformim elementar rreshtor ( ) i matricës . i
i A k
R k A
..........................
176. Shumëzimi i elementeve të cilitdo rresht të matricës me një skalar 0, është
një transformim elementar rreshtor ( ) i matricës . i
i A k
R k A
..........................
177. Ndërrimi i elementeve të rreshtit të -të me elementet e rreshtit të -të matricës ,
është transformim elementar rreshtor i matricës dhe e shënojmë me . i j
i j A
A R...........................
178. Ndërrimi i elementeve të shtyllë së -të me elementet e shtyllës -të të matricës ,
është transformim elementar i matricës dhe e shënojmë me . i j
s i j A
A K..............................
179. Transformim elementar rreshtor ( ) i matrices është mbledhja e elementeve të rreshtit
-të me elementet korresponduese të rreshtit më parë të shumëzuar me një skalar .ijR k A
i j k ..........
180. Transformim elementar rreshtor ( ) i matrices është mbledhja e elementeve të rreshtit
-të me elementet korresponduese të shtyllës më parë të shumëzuar me një skalar .ijR k A
i j k..........
181. Ndërrimi i elementeve të shtyllës së -të me elementet e shtyllës së -të matricës ,
është transformim elementar i matricës dhe e shënojmë me . i j
i j A
A K.........................
182. 1
1
të transformimit elementar do ta quajmë transformimin
të tillë
( ( )q ) ë
T
A
T
T T A
Transformim invers.....................
183. 1
1
të transformimit elementar do ta quajmë transformi min
të tillë që ( ( )) .
Transformim invers
T
T
T
T A A
....................
184. rang në qoftë se së paku njëri prej minorëve të rendit ndryshon nga zero,
kurse të gjithë minorët e rendit 1 nëse ekzistojnë janë të barabartë me zero.
A k k
k ..........................
185. rang në qoftë se së paku njëri prej minorëve të rendit ndryshon nga zero,
kurse të gjithë minorët e rendit 1 janë të barabartë me zero.
A k k
k..........................
186. Dy matrica dhe quhen , në qoftë se njëra prej tyre fitohet nga tjetra
me një numër të fundmë transformimesh elementare dhe shënojmë: .
ekuivalenteA B
A B ......................
187. Matricat ektuivalente i kanë rangjet e barabarta.
...............................................................................
188. Dy matrica dhe quhen , në qoftë se ato kanë numër të njëjtë
rreshtash dhe shtyllash. Matricat ekuivalente simbolikisht i shënojmë: .
A B
A B
ekuivalente.................................
189. Matrica e cila fitohet nga matrica njësi e rendit , pas një numri të fundmë të
transformimeve elementare quhet nE n
matricë joelementare. ..........................
XIV.____________________________________________________________________________
190. 1 2 3 1 2 32 0 1 0 4 55 2 7 0 0 12
Me transformime elementare rrjedh .A
...........................................................
191. 1 2 3 1 2 32 0 1 0 4 55 2 7 0 0 12
Me transformime elementare rrjedh .
A .....................................................
192.
1 2 3 4 1 2 3 42 1 0 5 0 5 6 131 3 4 1 0 0 7 80 2 6 9 0 0 0 1
Me transformime elementare rrjedh .A
....................................................
193.
1 2 3 4 1 2 3 42 1 0 5 0 5 6 131 3 4 1 0 0 7 80 2 6 9 0 0 0 1
Me transformime elementare rrjedh .
A ...............................................
194. 1
1 2 1 3 3 2 10 52 3 1 3 2 1 6 30 0 1 2 0 0 1 20 0 1 1 0 0 1 1
Me transformime elementare gjendet .A A
................................
195. 1
1 2 1 3 3 2 10 52 3 1 3 2 1 6 30 0 1 2 0 0 1 20 0 1 1 0 0 0 1
Me transformime elementare gjendet .
A A ................................
196. 1 3 0 2
Rangu i matricës 4 1 2 3 është rang 3 ?3 2 2 5
A A
......................................................................
197. 1 3 0 2
Rangu i matricës 4 1 2 3 është rang 2 ?3 2 2 5
A A ......................................................................
198. 1 3 0 2
Rangu i matricës 4 1 2 3 është rang 4?3 2 2 5
A A .......................................................................
199. 1 1 2
Rangu i matricës 2 3 1 është rang 2 ?0 1 2
A A
..........................................................................
200. 1 1 2
Rangu i matricës 2 3 1 është rang 3 ?0 1 2
A A ...........................................................................
201. 1 1
Për matricën 0 2 1 vlen rang 3 në qoftë se 3 ?2 0 1
aA A a
.......................................................
202. 1 1
Për matricën 0 2 1 vlen rang 3 në qoftë se 3 ?2 0 1
aA A a ......................................................
203. 2
2
1 1 1Për 1 vlen: për 1, rang 1; për 0 dhe 2, rang 2.
1A a a a A a a A
a a
.......................................
204. 2
2
1 1 1Në qoftë se 1 vlen: për 1, rang 1; kurse për 2, rang 2.
1
A a a a A a Aa a
........................
XV._____________________________________________________________________________
205. Matrica e cila fitohet nga matrica njësi e rendit , pas një numri të fundmë të
transformimeve elementare quhet matricë elementare.nE n ............................
206. A është i saktë pohimi: Çdo transformim elementar rreshtor është ekuivalent me produktin
nga e majta e matricës me një matricë elementare në të cilën është krye ndonjë transformim.A ..............
207. A është i saktë pohimi: Çdo transformim elementar rreshtor është ekuivalent me produktin
nga e majta e matricës me një matricë elementare në të cilën është krye i njejti transformim.A
........
208. *Matrica (ose Adj ) e fituar kur në matricën e transponuar të matricës elementet e
saj zëvendësohen me komplementet algjebrike të tyre, quhet . ji
tA A A A
matricë e adjunguar ................
209. *Matrica (ose Adj ) e fituar kur në matricën e konjuguar të matricës elementet e
saj zëvendësohen me komplementet algjebrike të tyre, quhet . matricë e adjunguar ji
A A A A....................
210. *Matrica e fituar kur në matricën e transponuar të matricës elementet e
saj zëvendësohen me komplementet algjebrike të tyre, quhet . ji
tA A A
matricë e konjunguar ................
211. Matrica e fituar kur në matricën elementet e saj zëvendësohen
me elementet ekonjuguara, quhet . matricë e konjunguar
A A.................................................
212. 1
Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që matrica katrore të ketë matricë
inverse është që det 0.
A
A A .........................................
213. 1Konditë e nevojshme që matrica katrore të ketë matricë inverse
është që ajo të jetë josingulare, dmth. det 0.
A A
A
.....................................................
214. 1
Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që matrica katrore të ketë matricë
inverse është që det 0.
A
A A..................................
215. 1 1 *
*|
1Matrica inverze e matricës njehsohet me formulën ,
|ku është matrica e transponuar e matricës .
A A A AA
A A ....................................................
216. 1 1 *
*|
1Matrica inverze e matricës njehsohet me formulën , 0
|ku është matrica e adjunguar e matricës .
A A A A AA
A A
....................................
217. Matricat ekuivalente i kanë rangjet e barabarta, kurse dimensionet e ndryshme.................................
218. Matricat ekuivalente i kanë rangjet e barabarta....................................................................................
219. Matrica është simetrike në qoftë se . tA A A.......................................................................................
XVI.____________________________________________________________________________
220. 1 1 1 1
Për 2 2 2 vlen: për 2, rang 2; për 2, rang 34 0 2
A a a A a Aa
.........................................
221. 1 1 1 1
Për 2 2 2 vlen: për 2, rang 2dhe për 3, rang 24 0 2
A a a A a Aa
...............................
222.
1 7 17 32 2 33 1 10 10 1
Për vlen: për 4, rang 2; për 4, rang 4.aa
a
A a A a A
...................................................
223.
1 7 17 32 2 33 1 10 10 1
Për vlen: për 4, rang 2; për 4, rang 3.
aa
a
A a A a A ............................................
224.
1
1
1 0 11 0 1 1Në qoftë se 0, atëherë 0 0 0 2 0 .
21 0 1 1 0 1a a a
.........................................................................
225.
1
1
1 0 11 0 1 1Në qoftë se 0, atëherë 0 0 0 2 0 .
21 0 1 1 0 1a a a
.......................................................................
226. 11 1
Matrica inverze e matricës 0 1 0 atëherë 0 1 0 .0 0 1 0 0 1
a b a bA A .......................................................
227. 11 1
Matrica inverze e matricës 0 1 0 atëherë 0 2 0 .0 0 1 0 0 1
a b a bA A ...............................................
228. 11 1
Matrica inverze e matricës 0 1 0 atëherë 0 3 0 .0 0 1 0 0 1
a b a bA A ..............................................
229. 11 2 3 7 6 1
Matrica inverze e matricës 1 3 4 atëherë 2 1 0 1 .1 4 3 1 2 1
A A ......................................
230. 11 2 3 7 6 11
Matrica inverze e matricës 1 3 4 atëherë 1 0 1 .21 4 3 1 2 1
A A .......................................
231. 1
1 1 1 3 3 1Matrica inverze e matricës 1 2 3 është 3 5 2 .
1 3 6 1 2 1A A
...........................................
232. 1
1 1 1 3 3 1Matrica inverze e matricës 1 2 3 është 3 5 2 .
1 3 6 1 2 1
A A .............................................
233. 1
2 3 0 17 21 1511 1 5 13 14 10
734 2 7 6 16 1Matrica inverze e matricës është .A A
.................................
234. 1
2 3 0 17 21 1511 1 5 13 14 10
734 2 7 6 1Matrica inverze e matricës është .
16A A
...................................
XVII.__________________________________________________________________________
235. Sistemi i ekuacioneve lineare quhet ose ,
në qoftë se ka vetëm një zgjidhje.
sistem i pajtueshëm i zgjidhshëm...................................
236. Sistemi i ekuacioneve lineare quhet ose ,
në qoftë se ka një zgjidhje ose zgjidhje të panumërta.
sistem i pajtueshëm i zgjidhshëm...................................
237. Sistemi i zgjidhshëm i cili ka një zgjidhje të vetme quhet .sistem i përcaktuar ...............................
238. Sistemi i zgjidhshëm i cili ka një zgjidhje të vetme quhet sistem i papërcaktuar ............................
239. Çdo zgjidhje e sistemit të papërcaktuar quhet , ndërsa bashkësia
e të gjitha zgjidhjeve të veçanta quhet .
zgjidhje e veçantë
zgjidhje e përgjithshme .........................
240. Çdo zgjidhje e sistemit të papërcaktuar quhet , ndërsa bashkësia
e të gjitha zgjidhjeve të veçanta quhet .
zgjidhje e veçantë
zgjidhje e vetme.........................
241. Dy sisteme të ekuacioneve lineare me të njëjtin numër të të panjohurave i quajmë
, në qoftë se ndonjë zgjidhje e njërit sistem është zgjidhje edhe për sistemin tjetër.
sisteme
ekuivalente .......
242. Dy sisteme të ekuacioneve lineare me të njëjtin numër të të panjohurave i quajmë
, në qoftë se çdo zgjidhje e njërit sistem është zgjidhje edhe për sistemin tjetër.
sisteme
ekuivalente.........
243. Sistemi i ekuacioneve lineare quhet , në qoftë se së paku një nga
koeficientet e lirë të tij është i barabartë me zero.
sistem homogjen..........................
244. Sistemi i ekuacioneve lineare quhet , në qoftë se të gjithë
koeficientet e lirë të tij janë të barabartë me zero.
sistem homogjen......................................
245. Sistemi i ekuacioneve lineare quhet , në qoftë se së paku një nga
koeficientet e lirë të tij është i ndryshueshëm prej zeros.
sistem homogjen............................
246. Sistemi i ekuacioneve lineare quhet , në qoftë se së paku një nga
koeficientet e lirë të tij është i ndryshueshëm prej zeros.
sistem johomogjen........................
247. Në qoftë se determinanta e sistemit linear johomogjen me ekuacione dhe të panjohura,ndryshon prej zeros, atëherë sistemi është i pajtueshëm dhe ka zgjidhje të vetme: | | | |, 1,2,..., ./j j
n n
x A A j n ..................
248. Në qoftë se determinanta e sistemit linear johomogjen me ekuacione dhe të panjohura,është zero, atëherë sistemi është i pajtueshëm ose kontradiktor varsisht nga vlerat e: | |, 1, 2,..., .j
n n
A j n...................
249. Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve linear homogjen për të cilën çdo e panjohur është e barabartë me zero e quajmë . zgjidhje jotriviale
......................
XVIII.____________________________________________________________________________
250.
2 5 2 51 2 3 1 2 3
2 2 3 8 4 8 12 1 2 3 1 2 3
0 01 2 1 2
Sistemet dhe janë ekuivalente.
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
......................
251.
2 5 2 51 2 3 1 2 3
2 2 3 8 4 8 6 1 2 3 1 2 3
0 01 2 1 2
Sistemet dhe janë ekuivalente.
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
.........................
252. 1
Sistemi 0 ka pakufi shumë zgjidhje. 1
x y zx y
y z
...........................................................................
253. 1
Sistemi 0 ka zgjidhje të vetme. 1
x y zx y
y z.................................................................................
254.
1011
Sistemi është i pazgjidhshëm.
x y zx y
y zy
................................................................................
255.
1011
Sistemi ka zgjidhje të panumërta.
x y zx y
y zy
..........................................................................
256.
1011
Sistemi ka zgjidhje të vetme.
x y zx y
y zy
.................................................................................
257.
1 1 1 0Sistemi i shënuar në formë matriciale 1 1 1 0 ka zgjidhje të vetme.
1 1 1 0
xyz
.....................
258.
1 1 1 0Sistemi i shënuar në formë matriciale 1 1 1 0 ka zgjidhje jotriviale.
1 1 1 0
xyz
................
259. 1 1 1
Sistemi i shënuar në formë matriciale 1 1 1 3 ka pakufi shumë zgjidhje.1 1 1
x xy yz z
............
260. 1 1 1
Sistemi i shënuar në formë matriciale 1 1 1 3 ka zgjidhje unike.1 1 1
x xy yz z
.......................
261. 2
Zgjidhjet e sistemit 2 0 janë: 1/3, 7/6, 1/2.1
x y zx y z x y zx y z
................................................
262. 2
Zgjidhjet e sistemit 2 0 janë: 3, 6, 2.1
x y zx y z x y zx y z
.........................................................
263. 1
Sistemi 3 2 është kontradiktor për 3.2 3 3
x y zx ay z ax y az
...........................................................
264. 1
Sistemi 3 2 është kontradiktor për 2.2 3 3
x y zx ay z ax y az
.............................................................
XIX.____________________________________________________________________________
265. Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve linear homogjen për të cilën çdo e panjohur është e barabartë me zero e quajmë . zgjidhje triviale
...................
266. Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve linear homogjen për të cilën çdo e panjohur është e ndryshueshme prej zeros e quajmë . zgjidhje triviale
...................
267. Çdo sistem homogjen në të cilin numri i të panjohurave është më i vogël se numri i ekuacioneve ka zgjidhje jotriviale. ......................
268. Çdo sistem homogjen në të cilin numri i ekuacioneve është më i vogël se numri i të panjohurave ka zgjidhje jotriviale.
...........................
269. Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që sistemi i ekuacioneve homogjene, i cili e ka numrin e ekuacioneve të barabartë me numrin e të panjohurave, të ketë zgjidhje jotriviale është që determinanta e tij të jetë e barabartë me zero, pra | | 0.A
...............
270. Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që sistemi i ekuacioneve homogjene, i cili e ka numrin e ekuacioneve të barabartë me numrin e të panjohurave, të ketë zgjidhje jotriviale është që determinanta e tij të jetë e ndryshueshme prej zeros, pra | | 0.A
.................
271. Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që sistemi i ekuacioneve homogjene, i cili e ka numrin e ekuacioneve të barabartë me numrin e të panjohurave, të ketë zgjidhje triviale është që determinanta e tij të jetë e ndryshuesme prej zeros, pra | | 0.A
...................
272. Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që sistemi i ekuacioneve homogjene, i cili e ka numrin e ekuacioneve të barabartë me numrin e të panjohurave, të ketë zgjidhje triviale është që determinanta e tij të jetë e barabartë me zero, pra | | 0.A
...................
273. Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që sistemi homogjen të ketë zgjidhje jotrivialeështë: rang (ku, - është numri i të panjohurave).A n n ....................
274. Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që sistemi homogjen të ketë zgjidhje jotrivialeështë: rang (ku, - është numri i të panjohurave).A n n
....................
275. Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që sistemi i ekuacioneve lineare të jetë i pajtueshëmështë që rang rang , ku është matrica e zgjeruar e sistemit të ekuacioneve. A A A ...........
276. Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që sistemi i ekuacioneve lineare të jetë i pajtueshëmështë që rang rang , ku është matrica e zgjeruar e sistemit të ekuacioneve.A A A
...........
277. Në qoftë se rang rang ; min( , ), për ( - numri i të panjohurave)
sistemi është i pajtueshëm dhe ka vetëm një zgjidhje.
A A k k m n k n n ......................
278. Në qoftë se rang rang ; min( , ), për atëherë ( ) të panjohura
merren si të panjohura të lira dhe sistemi do të ketë zgjidhje të panumërta.
A A k k m n k n k n ......................
279. Në qoftë se rang rang ; min( , ), për ( - numri i të panjohurave)
sistemi është i papajtueshëm apo kontradiktor.
A A k k m n k n n ...................
XX.______________________________________________________________________________
280. 1
Sistemi 1 është i zgjidhshëm por i papërcaktuar për 2.1
ax y zx ay z ax y az
......................................
281. 1
Sistemi 1 është i zgjidhshëm por i papërcaktuar për 1.1
ax y zx ay z ax y az
........................................
282. 1
Sistemi 1 është i zgjidhshëm por i përcaktuar për 1.1
ax y zx ay z ax y az
...........................................
283. 2 3 2
Sistemi 4 3 2 3 është i papërcaktuar.3 4 5 0
x y zx y zx y z
................................................................................
284. 2 3 2 1
Zgjidhje e sistemit 4 3 2 3 është 1, , 1.23 4 5 0
x y zx y z x y zx y z
................................................
285. 3 0
( 1) 0(2 1) 2 4 0
Sistemi ka zgjidhje jotriviale për 2 dhe 3ax y z
x a y za x y z
a a
.............................
286. 3 0
( 1) 02(2 1) 2 4 0
3Sistemi ka zgjidhje jotriviale për 2 dhe
ax y zx a y z
a x y za a ..........................
287. 3 2
3 2 55
Sistemi ka zgjidhje jotriviale për 2, 3 dhe 5.x y z kx
x y z kyx y z kz
k k k
.................................
288. 3 2
3 2 55
Sistemi ka zgjidhje jotriviale për 2, 3 dhe 5.
x y z kx
x y z kyx y z kz
k k k ......................
289. (5 ) 3 2 0
6 (4 ) 4 04 4 (5 ) 0
Sistemi ka zgjidhje jotriviale për 2, 3 dhe 5.a x y z
x a y zx y a z
a a a
...............................
290. (1 ) 2 3
(2 ) 3(3 )
Sistemi ka vetëm zgjidhje triviale për 0.k x y z kx
x k y z kyx y k z kz
k
..................................................
291. (1 ) 2 3
(2 ) 3(3 )
Sistemi ka zgjidhje jotriviale për 0.
k x y z kx
x k y z kyx y k z kz
k .....................................................
292. (1 ) 2 3
(2 ) 3(3 )
Sistemi ka zgjidhje jotriviale për 3.
k x y z kx
x k y z kyx y k z kz
k .....................................................
293.
(1 ) 2 3ë s (2 ) 3
(3 )ë 3 , 0, ; 0
Zgjidhjet jotriviale t istemit për 0,
jan
\
k x y z kxx k y z kyx y k z kz
x t y z t t
k................................................
294. 1
Sistemi i ekuacioneve 1 është i papërcaktuar për 1, dhe kontradiktor për 2.1
x y zx y zx y z
........
