K 原子核の研究において必要なこと

K 原子核の研究において必要なこと

ＫＥＫ　土手昭伸

理研 RIBF ミニワークショップ「不安定核・ストレンジハドロン原子核の合同理論研究会 ─── 軽いエキゾチック系の構造を中心として ───」　　　　　　　　２００７年７月１７日　理化学研究所仁科ホール

1. イントロダクション

2. ＡＭＤによるＫ原子核の研究のまとめ　　　　　　　　　　　（赤石さん、山崎さんとの共同研究）

3. 最近の研究　（ｐｐＫ）　　　　　　　　　　　（Ｗ．Ｗｅｉｓｅ氏との共同研究）

4. 他の原子核研究との繋がり

5. まとめ

Introduction

What are kaonic nuclei (K nuclei)?

K- meson is bound in a nucleus by strong interaction.

cf) Kaonic atom K- meson is around a nucleus, bound by Coulomb interaction.

K nuclei can exist as discrete states, since K- meson is deeply bound below Σπ threshold.

KNNN…

ΣπNN…

K nuclear state

K nuclear state

Deeply bound; Binding energy of K- > 100 MeVDiscrete state; Below Σπ threshold

Very attractive I=0 KN interaction makes …

... Deeply bound kaonic nuclei

1. free KN scattering data2. 1s level shift of kaonic hydrogen atom3. binding energy and width of Λ(1405)

Phenomenological KN potential (Akaishi-Yamazaki KN potential)

Strongly attractive.

0KN

IV 0KN

IV

Y. Akaishi and T. Yamazaki, PRC 52 (2002) 044005

= K- + proton

0 11 34

4 4I Ig g

0 1

2

13

2

1 I Ig g

0 1

2

13

2

1 I Ig g

Kbar nuclei studied with AMD

Antisymmetrized Molecular Dynamics （ AMD ）Antisymmetrized Molecular Dynamics （ AMD ）Fully microscopic treatment

No assumption on nuclear structure; cluster, deformation …

System self-organizes only following energy variation.

p

n

Normal nucleus

p

n

normal nucleus

? ?? ?? ?? ?

Kaonic nucleus

What kind of structure does A+1 system favor?

From Tensor force to KN interaction

In the study of tensor force,

n

Extension 2: Flexibility of isospin wave function + Charge-number projection

The same technique can be applied to the study of K nuclei.Systematic study of K nuclei became possible.

The same technique can be applied to the study of K nuclei.Systematic study of K nuclei became possible.

p

n pK 0K

1 2

TVTV( 0)IKNV ( 0)IKNV

In the study of Kbar nuclei,

0

proton neutronN a b

K x K y K

+ Charge projection of total wave function

Single nucleon/kaon wave function

Wave function

det[ ] K

P

Total wave function

2

1 1

2

exp

or

2

iin

i i

i

i

C

p n

Zr

Nucleon’s wave functionNucleon’s wave function

p-n mixingp-n mixing

2

1 1

2

p

2

ex K

K K o K

KkK

K

K

C

K

Zr

Anti-kaon’s wave functionAnti-kaon’s wave function

0K -K mixing

ˆexpM ZP d i T M

Charge projection

as a trial function

0

proton neutronN a b

K x K y K

Essence of mixing0-K p/K n

Hamiltonian in AMD calculation

CMNN KN CoulombH T V V V T

: effective NN int. 　　　　　　　　 Tamagaki potential (OPEG)

: effective KN int. 　　　　　　　　 AY KN potential

NNV

KNV

Y. Akaishi and T. Yamazaki, PRC 52 (2002) 044005

G-matrix method

A. D., H. Horiuchi, Y. Akaishi and T. Yamazaki, PLB 590 (2004) 51; PRC 70 (2004) 044313.

AMD studies revealed …

1. E(K) > 100 MeV for various light nuclei

2. Drastic change of the structure of 8Be, isovector deformation in 8BeK-

3. Highly dense state is formed in K nuclei. maximum density > 4ρ0

averaged density 2 ～ 4ρ0

4. Proton satellite in pppK-

Rrms = 2.46 fmβ = 0.63

Central density = 0.10 /fm^3

8Be

Density (/fm^3) 0.0 0.10 0.20

-160.0

-140.0

-120.0

-100.0

-80.0

-60.0

-40.0

-20.0

0.0ppnK pppK pppnK 6BeK 8BeK 9BK

E(K)

[M

eV]

Nucleus-K- 　 threshold

Σπ threshold

(simple AMD)

Width (Σπ, Λπ)

Rrms = 1.42 fmβ = 0.55

Central density = 0.76 /fm^3

8BeK-

Density (/fm^3) 0.0 0.41 0.83

4.5 normal density

Binding energy of K- = 104 MeV

Isovector deformation

0 1KN

IIKNVV

K p K nV V

pppK-

Proton satellite

total B.E. = 221 MeVcentral density = 3.01 fm-3

Rrms= 0.69 fm

ppnK-K-

total B.E. = 118 MeVcentral density = 1.50 fm-3

Rrms= 0.72 fm

total B.E. = 6.0 MeVcentral density = 0.14 fm-3

Rrms= 1.59 fm

Double kaonic nucleus // ppnK-K- //

ppnK- ppn

Density [fm-3]0.0 1.5 3.0

Density [fm-3]0.00 0.75 1.50

Density [fm-3]0.00 0.07 0.14

4 fm

E(K) = 110 MeV E(2K) = 213 MeV

4 fm 4 fm

問題点・疑問点高密度状態？

KN 相互作用が非常に引力的

我々（土手・赤石・山崎）は

　　　 Conventional な核物理の方法＝ G-matrix 法

に基づき、適切に NN 斥力芯を処理し計算を行った。その結果、高密度状態が得られた。

G-matrix 法の適用限界を超えていたのでは？斥力芯がなまされすぎた結果の高密度状態？

Kaon の近くに核子が引き寄せられ、高密度状態が形成される可能性

平均二核子間距離が小さくなり、核子間斥力芯が重要に。

G-matrix 法は“ 独立核子

対模型”

問題点・疑問点

“ 現象論的” KbarN 相互作用？

　 S-wave 型以外は？

Chiral Lagrangian では KbarN 相互作用はエネルギー依存性を持っている。

… 元々の AY KN 相互作用はエネルギー依存性は無い。

　　（有効相互作用化した後には、 Σπ ・ Λπ チャンネルを消去したことで　　　エネルギー依存性が生じるが。）

N

st N N

Qg v v g

E Q TQ

　エネルギー依存性

Deeply bound and Dense

Kbar nuclei

Strongly attractive0

KNIV 0KN

IV

Resent study of ppK-

AMD

G-matrix

AY KN potential

+

+

Collaborated with Y. Akaishi and T. Yamazaki

… Smoothed out NN repulsive core adequately

… Phenomenological

FINUDA experiment ppK- “Prototype K cluster”B. E. = 116 MeV, Γ=61 MeV

Av18-like

Chiral SU(3)-based KN potential … Theoretical

… Respect the NN short-range correlationSimple Correlated Model

… Respect the NN repulsive core

Collaborating with W. Weise

FINUDA group H. Fujioka, T. Nagae et al

• e+e- collider DAΦNE, FINUDA spectrometer• K- absorbtion at rest on various nuclei• Invariant-mass method

Strong correlation between emitted p and Λ(back-to-back) Invariant mass of p and Λ

ppK-

Total binding energy = 115 MeVDecay width = 67 MeV

PRL 94, 212303 (2005)

6 35 4

14 211 3

Simple Correlated Model

1/ 21 2 1 1/ 2, 1/ 2, , 0

NSCM K T T Tz

N r r r S NN K

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

Model wave function of ppK-

NN spin: S=0NN isopin: TN=1Total isospin: T=1/2

NN spin: S=0NN isopin: TN=1Total isospin: T=1/2

Spatial part

1 2 1 2 1 2' , ' , ' ,K K KG r G r G r F r r F r r F r rCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

Single-particle motion of nucleons and a kaon

Correlations

2

2

exp

' exp

i i

K K

G r r

G r r

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC


nucleon

kaon

NN correlation functionNN correlation function

2

1 2 1 2, 1 expNN NNn n

n

F r r f r r CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

KN correlation ' , 1i KF r r CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

Model wave function of ppK-

Isospin state

Λ （１４０５）：　

ppK- ：　 1 1/ 2NT TNN K

Deuteron+K- ：　 0 1/ 2NT TNN K

0TN K

0Iv KN v

0 1

3 1

4 4I Iv KN v v

0 1

1 3

4 4I Iv KN v v

nucleon isospin=1

nucleon isospin=0

Very attractiv

e

Simple Correlated Model

CMNN KN SH T V V T

CMNN KN SH T V V T

2 22

1

22

1

2 2

, 2 ,2

i K

i N K

CM N K i Ki

Tm m

T M m mM

p p

PP p p

2

,1

,KN S KN S K ii

V v

r r

21 11 2expNN NN n n

n

V V E V E b r r

Coulomb force is neglected.

Hamiltonian

, 0 1

3 1, , ,

4 4KN S K i I K i I K iv v v r r r r r r

0 , ,

1 ,

, 2

,

K p K nI K i WT eff WT eff

K nI K i WT eff

v V V

v V

r r

r r Later will be explained.

Av18-like potential

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0.0 0.5 1.0

• Short-range part; referring to Av18, fitted with a few range Gaussians. • Long-range part; Akaishi-san’s effective NN interaction for ppnK- (ρmax=9ρ0)

[fm]

[Me

V]

Av18-like

Av18

Akaishi

Respect the repulsive-core part

1E1EImportant in ppK-

NN potential

KN potentialNs M

1, Gaussian shape

2

2, 3/ 2 3

1 4 1, exp

2K N

KN S wave K N KNsN s

sv F

aM a

r rr r

2

2, 3/ 2 3

1 4 1, exp

2K N

KN P wave K N KNPN P

sv C

aM a

r rr r


S-wave potential

P-wave potential

2, Energy dependent

as=ap=a

KNF : KN scattering amplitude

KNC : KN scattering volume

3, P-wave potential including derivative operator.

Chiral SU(3) theory

S-wave scattering amplitude

KN potential

- 1.0

- 0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

300 350 400 450 500

Kaon's energy w [MeV]

Fcm

[fm

]

Re F(Kp)sIm F(Kp)sRe F(Kn)sIm F(Kn)s

1405

Ns M

B. Borasoy, R. Niβler, and W. Weise, Euro. Phys. J. A 25, 79-96 (2005)

- 0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

300 350 400 450 500

Kaon's energy w [MeV]

Cp,

cm [

fm3 ]

Re CpIm Cp

1385

R. Brockmann, W. Weise, and L. Taucher, Nucl. Phys. A 308, 365 (1978)※updated version

P-wave scattering volume

2n pC C

Result obtained so far is …

However, the KN potential used there has so called “Double Counting Problem”,

because it was derived from the t-matrix …

However, the KN potential used there has so called “Double Counting Problem”,

because it was derived from the t-matrix …

Self-consistency on the energy-dependence of the KN potential is taken into account.

The total binding energy is 42 ～ 76 MeV, when the range parameter of KN potential changes from 1.00 fm to 0.67 fm.

There exists a lower limit in the range parameter due to the self consistency.

The mean distance between the two nucleons is larger than 1fm.

Double Counting Problem

+ … + + … …= K

N

K

N

K K

N N

π π π

Σ Σ Σ

K

N

K

N

t matrix

K

N

N

,full t effv

Although it has already been considered that a KN pair interacts infinite times, such a process is incorporated again and again in the three-body calculation…

In the , the KN pair interacts again and again, coupling to the Σπ pair.

,full t effv

If we solve the three body system, ppK-, with this …,full t eff

v

Λ(1405) ppK-

M0 Γ0 B. E. Γ B.E. B(K) Γ Rel (NN) Rel (KN)

a=0.6 fm 1557.0 120 27.1 50.9 18.2 38.6 34.7 1.90 1.63

γ0=211.13 MeV a=0.7 fm 1508.0 68 27.1 46.8 20.5 40.3 34.0 1.88 1.60

a=0.8 fm 1479.0 51 27.0 50.1 20.8 39.1 36.4 1.89 1.59

a=0.6 fm 1513.0 86 27.0 51.4

γ0=150 MeV a=0.7 fm 1478.0 50 27.0 48.5 19.4 38.8 33.4 1.90 1.61

a=0.8 fm 1458.0 36 27.0 49.6

a=0.6 fm 1478.0 56 27.0 49.7

γ0=100 MeV a=0.7 fm 1453.0 35 27.4 52.6 17.7 36.1 31.9 1.93 1.64

a=0.8 fm 1440.6 24 27.1 49.8

ppK-ppK-

• The solution of ppK- is almost independent of the range parameter of the KN potential, and also of the parameter γ0.

• But the total binding energy is very small, about 20 MeV.

Result of ppK- calculated withΛ(1405)-reproducing potential

他の原子核研究との繋がりー　他の分野から教えてもらいたこと　ー

1. Few-body accurate calculation

今、ホットなのは ppK- 　＝　３体系

常套手段としては、 Faddeev eq. を解く。しかし

• 波動関数がないので物理量の計算が出来ない。• 簡単に計算しようとすると separable potential に限られる。（ AGS eq. ）•N. V. Schevchenko, A. Gal, J. Mares,

PRL 98, 082301 (2007)•Y. Ikeda and T. Sato, nucl-th/0704.1978

やはりその構造に関して詳しく知りたい。

少数系の精密計算



重要な点　…　“ Channel Coupling”

ハイパー核

ΣNNN …

ΛNNN …

ハイパー核

Couple するチャンネルが上にあり閉じている。

…K

N

K

N

K K

N N

π π π

Σ Σ Σ

KN だけはなく、Σπ 、 Λπ との結合がある。

Ｋ原子核 ( 特に ppK-)

K NNN …

πΣNN …

Ｋ原子核

Couple するチャンネルが下にあり開いている。



•Σπ チャネルを消し、 KN チャネルのみで行う。

複素ポテンシャルの取り扱い方

•Σπ チャネルを消さず、 KN, Σπ チャネルの Coupled Channel 計算をする。

Resonance state の取り扱い方…　 Complex scaling 法？

対角化で解くとして、どのような基底を用意したら良いのでしょうか？

2expi i iC i D b r みたいな？ , , :i i iC D b real

2. 軽いＫ原子核の系統的研究

AMD with G-matrix に戻ってしまうのか？？？

3. Ｋ bar Ｎ相互作用

依然、（生の） KbarN 相互作用がよく分かっていない。

NN 相互作用の場合と同様に、 Lattice QCD から何か教えてくれないものか？

• 出来れば、ｒ表示。• 相互作用のエネルギー依存性を調べることは可能か？

高密度状態の可能性つきまとうＮＮ斥力芯の問題…

• Unitary correlator の使用 T. Neff and H. Feldmeier, Nucl. Phys. A713, 311 (2003)

• Brueckner AMD T. Togashi and K. Kato, PTP117, 189 (2007)

† †effU H U U HU H Correlation をハミルトニアンに押し付ける。

その際、二体演算子までで止めてしまう。

他の原子核研究との繋がりー　他の分野に使えそうなこと　ー

AMD

Hypernuclei studied with Coupled Channel calculation

Neutron-rich 　　　 Hypernuclei !!

Unstable nuclei studied with Different Width Gaussian （幅変えガウス）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…古立（東京理科大）、木村（筑波大）、土手（ＫＥＫ）

＋＋～＋　・・・iN

秋の学会２２日午前

• Charge projection with Charge-mixed state

• Coupled Channel AMD (ccAMD) 　…松宮（北大）、大西（北大）

一粒子状態の段階で粒子混合 0,i i iN a p b n K x K y K

粒子の異なるスレーター行列式の重ね合わせ12 11 - 11 0

5 6 4 7Be det B + det Be +

秋の学会２１日午前

他の原子核研究との繋がり

安定核Ｎ＝ＺＳ＝０

Isospin(RIBF)

不安定核（中性子・陽子過剰核）

• skin 、 halo といった新しい構造• shell structure の変化、新しい魔法数 N=16

ダブル Λ ハイパー核Ξ ハイパー核

• YY 相互作用• Ξ Ｎ相互作用、　　より複雑なカップリング　　（ Ξ Ｎ－ ΣΣ－ ΛΛ ）

Strangeness(J-PARC)

S= -2

S= -1

• YN 相互作用• Λ Ｎ－ Σ Ｎ coupling (coherent)• 5

ΛHe における α の変化

Λ ハイパー核

他の原子核研究との繋がり

安定核Ｎ＝ＺＳ＝０

Isospin(RIBF)

不安定核（中性子・陽子過剰核）

• skin 、 halo といった新しい構造• shell structure の変化、新しい魔法数 N=16

ダブル Λ ハイパー核Ξ ハイパー核

• YY 相互作用• Ξ Ｎ相互作用、　　より複雑なカップリング　　（ Ξ Ｎ－ ΣΣ－ ΛΛ ）

Strangeness(J-PARC)

S= -2

S= -1

• YN 相互作用• Λ Ｎ－ Σ Ｎ coupling (coherent)• 5

ΛHe における α の変化

Λ ハイパー核

Λ Ｎ ⇔ Σ Ｎ

Neutron-richHypernuclei

Neutron-richHypernuclei

• ハロー構造のような面白い構造を持つ？

• Λ Ｎ－ Σ Ｎ coupling が良く起きる？

まとめＡＭＤによるＫ原子核の系統的研究　（赤石さん、山崎さんとの共同研究）

　 G-matrix 法で処理した有効ＮＮ／ＫｂａｒＮ相互作用を使用。

　　　生のＮＮは Tamagaki potential 、生のＫｂａｒＮは赤石・山崎の現象論的ポテンシャル。

　ＡＭＤ法により構造に関して全く仮定をおかずに解いた結果、

• ppnK- から 11CK- で kaon が１００ＭｅＶ以上束縛。 Σπ より下。

• 高密度状態の形成…最大密度で４ ρ ０以上、平均密度で２ ρ ０以上。

• 面白い構造… 8Be での激しい構造変化、アイソベクトル変形、 pppK- での proton satellite 。

最近の研究（ ppK- ）　（Ｗ．Ｗｅｉｓｅ氏との共同研究）

　生のＮＮ相互作用（斥力芯を持つ、 Av18 を参考）、 Chiral SU(3) に基づくＫｂａｒＮポテンシャルを使用。

　斥力芯を尊重した簡単な模型を用い、ＫｂａｒＮポテンシャルのエネルギー依存性を考慮した結果、

• ppK- は４２ＭｅＶ～７６ＭｅＶ束縛。

• ＫｂａｒＮポテンシャルのレンジに下限。（０．６７ｆｍ）

• 平均核子間距離は１ｆｍを割らない。

但し、この結果は” Double Counting Problem” を持っている。この問題が除かれると、束縛は浅くなり、またＫＮポテンシャルのレンジ依存性も弱くなる、と思われる。

但し、この結果は” Double Counting Problem” を持っている。この問題が除かれると、束縛は浅くなり、またＫＮポテンシャルのレンジ依存性も弱くなる、と思われる。

模型の欠陥：この段階では核子系アイソスピンが１の成分しか取れないが、０に組んだ成分とのカップリングも重要。

模型の欠陥：この段階では核子系アイソスピンが１の成分しか取れないが、０に組んだ成分とのカップリングも重要。

まとめＫ原子核研究に必要と思われること

　予期しない構造が現れるかも知れないので、柔軟に構造を記述できる模型。

　高密度状態になる可能性があるので、適切にＮＮの斥力芯を扱える模型。

　最近話題の ppK- は Σπ threshold の上にあるかも？　　　 resonance 状態の適切な取り扱い。

　ＫＮ相互作用は？

その他

Neutron-rich Hypernuclei って面白そうですね。

不安定核物理とハイパー核物理の出会い？

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K 原子核の研究において必要なこと