73

6. Krivocrtno gibanje, gibanje po kružnici, normalna i tangencijalna akceleracija, centrifugalna i centripetalna sila, rotacija tijela, Newtonov opći zakon gravitacije

KRIVOCRTNO GIBANJE

Krivocrtno gibanje je gibanje po zakrivljenoj putanji, kod kojeg je vektor brzine u smjeru tangente na putanju, a vektor ubrzanja se sastoji od normalne i tangencijalne komponente. Normalna je komponenta orijentirana prema središtu zakrivljenosti putanje, a tangencijalna je u smjeru tangente na putanju.

Ako su brzina i tangencijalna komponenta ubrzanja istog predznaka, radi se o ubrzanom gibanju, a ako su suprotnog, onda je gibanje usporeno.

Normalna komponenta ubrzanja se pojavljuje zbog promjene smjera brzine i uvijek je pozitivnog predznaka.

Pri pravocrtnom gibanju polumjer zakrivljenosti je stalno beskonačan, pa je normalna komponenta ubrzanja jednaka nuli. Kod ovog gibanja ostaje samo tangencijalna komponenta ubrzanja:

dt

dvaa T

v

a

Na

Ta

S

kvjvivv zyx

TN aaa

22TN aaa

2vaN

dt

dvaT

dt

rdv

dt

dsv

kajaiaa zyx

74

GIBANJE PO KRUŽNICI Kružnica je takva krivulja kod koje je polumjer zakrivljenosti stalan, pa

je: ρ = R = r = konst.

S1r

2r 1v

2v

s

rrr 21

Kut je definiran kao omjer duljine luka i pripadajućeg polumjera:

r

s , pa je: rs

Ako je Δs prijeđeni put po luku kružnice, trenutna je brzina točke koja se giba po kružnici:

rdt

dr

tr

t

sv

tt 00limlim ,

gdje je:

s

rad

dt

d,

kutna brzina

Normalna komponenta akceleracije može se tada izračunati prema:

2

222

r

r

r

r

vaN

Tangencijalna komponenta uzrokuje promjenu iznosa brzine:

75

r

dt

dr

dt

rd

dt

dvaT ,

gdje je:

dt

d , 2s

rad - kutno ubrzanje

GIBANJE PO KRUŽNICI KONSTANTNIM KUTNIM

UBRZANJEM Ako je kutno ubrzanje konstantno (ε = konst.), integriranjem

diferencijalnih jednadžbi:

dω = ε · dt i dφ = ω · dt

dobiju se slijedeće ovisnosti:

ω = ω0 + ε · t

200 2

1tt

ω2 – ω02 = 2 · ε · φ,

gdje su:

ω0 – početna kutna brzina, rad/s

ω – konačna kutna brzina, rad/s

φ0 – početni kut, rad

φ – konačni kut, rad. Ako je kutno ubrzanje konstantno, tada je tangencijalna komponenta

akceleracije konstantna, jer vrijedi:

aT = ε · r.

Iznos brzine mijenja se linearno, prema jednadžbi dobivenoj integriranjem diferencijalne jednadžbe dv = aT · dt:

v = v0 + aT · t

76

Normalna se komponenta akceleracije mijenja, pošto se mijenjaju i brzina i kutna brzina:

2

222

r

r

r

r

vaN

JEDNOLIKO GIBANJE PO KRUŽNICI

Gibanje po kružnici je posebni slučaj krivocrtnog gibanja, kod kojeg je polumjer zakrivljenosti stalan ( ).

Pri jednolikom gibanju po kružnici brzina je konstantna (stalna) po iznosu, ali se mijenja njezin pravac ( , ). Zbog toga postoji akceleracija, odnosno samo njezina normalna komponenta.

Pošto je iznos brzine konstantan, tangencijalna je komponenta jednaka nuli.

.konstR

.konstv

.konstv

Kako je iznos brzine konstantan, tada je i kutna brzina konstantna

(ω = konst.), jer vrijedi odnos:

v = ω · r

Integriranjem diferencijalne jednadžbe dφ = ω · dt, dobije se ovisnost prijeđenog kuta o vremenu:

φ = φ0 + ω · t

77

Kako je iznos brzine stalan, može se izračunati prema:

Čestica prijeđe put jednak duljini kružnice za vrijeme jednog ophoda (perioda), T, pa je:

Normalno ubrzanje je:

Fizikalna veličina koja opisuje koliko ophoda čestica načini u jedinici vremena naziva se frekvencija:

, Hz

v

v

NaR

S

Na

t

sv

T

Rv

2

2

22 4

T

R

r

vaN

Tf

1

CENTRIPETALNA I CENTRIFUGALNA SILA

Kod gibanja po kružnici stalnom brzinom po iznosu, postoji akceleracija, koja uzrokuje promjenu smjera brzine. Ovu normalnu ili centripetalnu komponentu akceleracije uzrokuje centripetalna sila, koja je, kao i akceleracija, orijentirana prema središtu kružnice.

Da bi se ostvarilo gibanje po kružnici, mora postojati centripetalna sila. Ona je jednaka umnošku mase i normalne akceleracije:

r

vmamF Ncp

2

78

Prema D’ Alembertovom principu, suprotno normalnom ubrzanju, pojavit će se inercijska sila koja će sa centripetalnom silom stajati u dinamičkoj ravnoteži. Kod gibanja po kružnici stalnom brzinom, ova se inercijska sila obično naziva centrifugalnom.

r

S

v

mcpF

cfF

0

cfcp FF

cfcp FF

Pri nejednolikom kružnom gibanju, osim centripetalne sile koja uzrokuje promjenu smjera brzine, djeluje u tangencijalna sila koja mijenja iznos brzine, pa je rezultantna (ukupna) sila jednaka njihovom vektorskom zbroju:

Tcp FFF

Prema drugom Newtonovom aksiomu, iznos je tangencijalne sile:

FT = m · aT

U ovom će slučaju, prema D´ Alembertovom principu, inercijska sila stajati u dinamičkoj ravnoteži s rezultantnom silom:

0 FFi

79

ROTACIJA KRUTOG TIJELA

Rotacija je gibanje oko najmanje dvije nepomične točke, kroz koje prolazi os rotacije. Sve točke na tijelu gibaju se po kružnicama čija su središta na osi rotacije.

Rotacija je definirana s dvije diferencijalne jednadžbe:

dt

d i dt

d

Kako se sve točke na tijelu (osim onih na osi rotacije) gibaju po kružnicama, za njihove brzine i njihova ubrzanja vrijede iste zakonitosti kao i za gibanje po kružnici!

Znači da je brzina neke točke na tijelu koje rotira:

v = ω · r,

gdje je:

ω – kutna brzina rotacije tijela, rad/s

r – udaljenost točke od osi rotacije, m!!! U tehničkoj praksi brzina se rotacije često izražava brojem okretaja u

sekundi ili u minuti. Tada se ta brzina naziva brzinom vrtnje. Odnos između kutne brzine rotacije i brzine vrtnje dan je izrazom:

ω = 2 · π · n, rad/s ,

gdje je: n – brzina vrtnje u okretajima u sekundi, okr/s.

80

Odnos između prijeđenog kuta i broja načinjenih okretaja:

φ = 2 · π · N, rad ,

gdje je: N – ukupni broj načinjenih okretaja.

Ako je rotacija konstantnim kutnom ubrzanjem (ε = konst.), dobiju

se slijedeće ovisnosti:

ω = ω0 + ε · t

200 2

1tt

ω2 – ω02 = 2 · ε · φ,

Ako je kutno ubrzanje konstantno, tada je i tangencijalna komponenta

akceleracije točke konstantna, jer vrijedi:

aT = ε · r.

Iznos brzine je:

v = v0 + aT · t Normalna se komponenta akceleracije mijenja, pošto se mijenja i

brzina:

2

222

r

r

r

r

vaN

Pri rotaciji konstantnom kutnom brzinom (ω = konst.) i brzina točke

je konstantna, jer vrijedi odnos:

v = ω · r

Ovisnost prijeđenog kuta o vremenu je:

φ = φ0 + ω · t Kutno ubrzanje i tangencijalna komponenta ubrzanja jednake su nuli, a

normalna je komponenta konstantna:

2

222

r

r

r

r

vaN

81

NEWTONOV OPĆI ZAKON GRAVITACIJE

Newtonov zakon gravitacije je prirodni zakon koji opisuje pojavu općeg privlačenja među svim tijelima u Svemiru. Smatra se jednim od „najveličanstvenijih poopćenja koje je ikad učinio ljudski um“: ista ona sila, koja privlači jabuku tlu, održava Mjesec u njegovoj putanji oko Zemlje i planete u njihovim putanjama oko Sunca, a jasno je da se to privlačenje prostire i dalje, u međuzvjezdana i međugalaktička prostranstva.

Uvažavajući prva dva Keplerova zakona, Newton pokazuje da iz njih slijedi da dva tijela djeluju jedno na drugo silom koja je proporcionalna umnošku njihovih masa, a obrnuto proporcionalna kvadratu njihove međusobne udaljenosti, odnosno međusobne udaljenosti njihovih težišta:

221

r

mmGFG

,

gdje je: G = 6,67 . 10-11 m3/(kg . s2) - univerzalna gravitacijska konstanta čija je vrijednost eksperimentalno utvrđena m1, m2 – mase tijela koja se privlače, kg r – udaljenost težišta tijela, m

Gravitacijska je sila razmjerno slaba (omjer električnog odbijanja i gravitacijskog privlačenja dvaju elektrona je 4,17 . 1042). Težina je tijela na Zemlji zamjetna, ali samo zato što je masa Zemlje izuzetno velika.

Pri gibanju nebeskih tijela gravitacijska je sila obično ona koja uzrokuje gibanje po kružnici, elipsi ili nekoj drugoj krivulji, te je u tim slučajevima centripetalna sila.

82

Riješeni primjeri: 6.1. Čestica se giba krivocrtno i u trenutku kad joj je brzina 4 m/s, polumjer

zakrivljenosti putanje je 5 m. Ako je tada ukupna akceleracija čestice 5 m/s2, koliko iznosi tangencijalna komponenta akceleracije?

v = 4 m/s ρ = 5 m a = 5 m/s2 _____________________________ aT = ? Pri krivocrtnom gibanju akceleracija se sastoji iz normalne i

tangencijalne komponente i iznosi:

22TN aaa

Odavde je: 22NT aaa

Normalna se komponenta može izračunati prema:

2

22

/2,35

4sm

vaN

,

Pa je:

222 /84,32,35 smaT

6.2. Njihalo s utegom mase 0,4 kg prolazi položajem ravnoteže brzinom

0,7 m/s. Nit njihala dugačka je 1 m. Kolika je napetost niti u trenutku kad uteg prolazi položajem ravnoteže?

m = 0,4 kg v = 0,7 m/s l = r = 1 m _____________________________ S = ?

Uteg se giba po luku kružnice polumjera r = l, sa središtem u točki O. Potrebno je skicirati njihalo u trenutku kad prolazi ravnotežnim položajem, odnosno položajem kad je nit vertikalna, a uteg je u najnižem položaju. U tom se položaju ucrtaju sve sile koje djeluju na uteg:

- težina – mg – vertikalno dolje (prema središtu Zemlje) - sila napetosti niti – S – reakcija u niti je uvijek tlačna

83

- D´ Alembertova, centrifugalna sila – maN – inercijska sila je suprotne orijentacije od aN.

mgNma

S

O

rm

Na

v

y

Sve sile su na istom pravcu (kolinearne su), a ucrtavanjem centrifugalne

sile ostvarena je dinamička ravnoteža u smjeru osi y:

NSr

vS

mamgS

F

N

y

12,4

4,081,94,0

0

0

2

r

vaN

2

6.3. U vagonu visi njihalo. Pri stalnoj brzini 72 km/h vlak se giba po

kružnom zavoju polumjera 500 m. Za koliki je kut (u odnosu na ravnotežni položaj) otklonjeno njihalo?

v = 72 km/h = 20 m/s r = 500 m __________________ φ = ?

Pri gibanju po horizontalnoj pruzi stalnom brzinom, njihalo je u ravnotežnom položaju – nit stoji vertikalno (nema ubrzanja!).

U kružnom zavoju na uteg njihala djeluje centrifugalna sila, maN, orijentirana suprotno od normalne komponente ubrzanja. Ta je sila otklonila

84

njihalo za kut φ, prema skici, koju je potrebno nacrtati. Na uteg njihala djeluju još sila teža – mg – i sila u užetu – S. Ove su tri sile u ravnoteži, a kako se radi o konkurentnom sustavu sila (sve sile prolaze kroz jednu točku),

uvjeti statičke ravnoteže su: 0xF i 0yF .

mgNma

S

O

m

Na

x

y

Prije postavljanja jednadžbi ravnoteže potrebno je silu S rastaviti u

komponente u smjeru koordinatnih osi x i y. U negativnom je smjeru osi x komponenta S · sinφ, a u pozitivnom smjeru osi y je S · cosφ. Ostale su dvije sile u smjerovima koordinatnih osi, pa ih ne treba rastavljati.

(1)

sin

0sin

0

Sam

Sam

F

N

N

x

(2)

cos

0cos

0

gmS

gmS

Fy

Druga se jednadžba ubaci u prvu:

sincos

gm

am N /: 0m

Poznato je:

tancos

sin

pa je:

aN = g · tanφ , 2

2

8,0 msr

vaN

konačno:

85

81,9

8,0tan

g

aN i φ = 4,6620

6.4. Posuda s vodom privezana je na uže duljine 60 cm. Kolikom

najmanjom brzinom treba vrtiti posudu po krugu u vertikalnoj ravnini da voda ne istječe iz nje?

r = 0,6 m _________________ vmin = ?

Najveća je opasnost od istjecanja vode u trenutku kad je posuda u najvišem položaju i okrenuta je tako da je otvor prema dolje. Sila težine vode djeluje prema dolje i „želi“ da voda istječe. Zbog gibanja po kružnici na vodu djeluje i centrifugalna sila orijentirana suprotno od aN, odnosno suprotno od središta kružnice, prema gore. Ove dvije sile su u dinamičkoj ravnoteži upravo kada je gibanje graničnom, najmanjim brzinom. Tada je sila u užetu jednaka nuli, a ove su dvije sile jednake (iz uvjeta ravnoteže kolinearnog sustava sila)!

mg

Nma

Or

m

uže

minv

1min

2min

2min

426,2

81,96,0

0:/

msv

v

gr

v

mgmam N

6.5. Osovina polumjera 0,2 m konstantnim kutnim ubrzanjem povećava

kutnu brzinu s 20 rad/s na 30 rad/s za vrijeme 5 s. Koliko okretaja načini osovina tijekom ubrzavanja? Kolika je brzina i normalno ubrzanje točke na obodu osovine u trenutku t = 5 s?

86

r = 0,2 m ω0 = 20 rad/s ω = 30 rad/s t = 5 s ______________________ N(5) = ? ; v(5) = ? ; aN(5) = ?

Kod zadanog gibanja kutno je ubrzanje konstantno i može se izračunati:

ω = ω0 + ε · t 30 = 20 + ε · 5 ε = 2 rad/s2

Načinjeni broj okretaja za 5 s može se dobiti iz kuta φ:

rad

tt

125

2522

1520

2

1 20

okrN

N

N

9,19

2125

2

Točka na obodu udaljena je za r = 0,2 m od osi rotacije. Brzina i ubrzanje odrede se iz poznatih jednadžbi:

v = ω · r v(5) = ω(5) · r = 30 · 0,2 = 6 m/s

aN = ω2 · r aN(5) = ω2(5) · r = 302 · 0,2 = 180 m/s2 6.6. Kolikom kutnom brzinom rotira Zemlja oko svoje osi? Koliku zbog

toga ima obodnu brzinu neka točka na zemljopisnoj širini 450, a koliko je njezino ubrzanje? Zadano: rZ = 6,37 · 106 m (polumjer Zemlje).

φ = 450

rZ = 6,37 · 106 m __________________________ ω = ? ; v = ? ; a = ?

Kutna će se brzina izračunati iz poznate brzine vrtnje, n (okr/s): Poznato je da Zemlja načini jedan okretaj za jedan dan, pa je:

s

okr

s

okr

dan

okrn 510157,1

360024

1

1

1

87

Kutna je brzina rotacije: ω = 2 · π · n = 7,268 · 10-5 rad/s

Brzina točke na tijelu koje rotira je:

v = ω · r, gdje je r udaljenost od osi rotacije. Oprez! To nije polumjer Zemlje!

Zr

r

Zr

Zr

O

r se dobije iz trigonometrijskog odnosa u pravokutnom trokutu:

Zr

rcos

r = rZ · cosφ = 4,504 · 106 m

v = ω · r = 327,4 m/s = 1178,5 km/h

Kako Zemlja rotira približno konstantnom kutnom brzinom, kutno je ubrzanje jednako nuli, pa je i tangencijalna komponenta ubrzanja jednaka nuli! Ostaje samo normalna komponenta:

a = aN = ω2 · r = 0,0238 m/s2 6.7. Planet se oko središnje zvijezde giba na srednjoj udaljenosti rP. Kolika

mu je srednja brzina? Koliko mu vremena treba da jednom obiđe oko središnje zvijezde? Zadano: mZ (masa zvijezde), G (gravitacijska konstanta).

rP , mZ , G ____________________________ vP ; T = ?

Pri gibanju planeta oko zvijezde na planet djeluju slijedeće sile: - FG – gravitacijska sila kojom se međusobno privlače zvijezda i

planet (centripetalna sila)

88

- mP · aN – inercijska, centrifugalna sila suprotne orijentacije od normalnog ubrzanja.

Ove dvije sile omogućuju gibanje planeta oko zvijezde približno konstantnom brzinom po kružnici (odnosno elipsi)! U tom su slučaju one jednake:

FG = mP · aN

P

ZNa

Nma

vGF

Zm

Pm

Znajući da je: 221

r

mmGFG

i r

vaN

2

,

uvrštavanjem u gornju jednadžbu dobije se:

P

ZP

PP

P

ZP

r

mGv

r

vm

r

mmG

2

2

Poznato je da je brzina kruženja planeta oko zvijezde: T

rv P

P

2,

pa se dva izraza za brzinu mogu izjednačiti, iz čega se dobije vrijeme jednog ophoda:

Z

P

P

P

Z

PP

mG

rT

T

r

r

mG

vv

3

2

2

89

Zadaci za rješavanje: 6.8. Čestica mase 0,5 kg giba se po kružnici polumjera 40 cm stalnom

frekvencijom 4 Hz. Kolike su brzina i akceleracija čestice, te kolika centrifugalna sila djeluje na nju?

6.9. Pri gibanju po kružnici polumjera 0,4 m stalnom brzinom 10 m/s treba

izračunati koliko je vrijeme jednog ophoda i kolika je kutna brzina. 6.10. Kolika je brzina točke koja se nalazi na rubu kružne ploče polumjera

40 cm, ako kružna ploča rotira oko osi kroz težište tako da načini 10 okretaja u minuti?

6.11. Iz stanja mirovanja vratilo počinje rotirati konstantnim kutnim

ubrzanjem tako da nakon 20 sekundi postigne kutnu brzinu 34 rad/s. Koliko okretaja učini za 8 sekundi od početka rotacije? Kolika je u tom trenutku brzina točke na vratilu koja je udaljena za 0,4 m od osi rotacije?

6.12. Kutna brzina rotacije vratila jednoliko se povećava od ω0 = 5 rad/s do

ω = 60 rad/s za vrijeme 20 sekundi. Koliko je kutno ubrzanje? 6.13. Kružna ploča polumjera 120 cm rotira konstantnom kutnom brzinom,

tako da načini 340 okretaja za 2,2 minute. Kolika je normalna komponenta ubrzanja točke na obodu (rubu) kružne ploče?

6.14. Čestica mase 6 kg nalazi se na tijelu koje rotira konstantnom brzinom

tako da načini 60 okretaja u jednoj minuti. Kolika centrifugalna sila djeluje na česticu, ako se ona nalazi 50 cm udaljena od osi rotacije?

6.15. Čestica se nalazi na tijelu koje rotira konstantnom kutnom brzinom tako

da načini 240 okretaja u dvije minute. Čestica se nalazi na udaljenosti 500 mm od osi rotacije i na nju djeluje centrifugalna sila iznosa 60 N. Kolika je masa čestice?

90

6.16. U autobusu visi njihalo. Pri brzini autobusa 64,8 km/h u kružnom

zavoju njihalo se otkloni od ravnotežnog položaja za kut 60. Koliki je polumjer kružnog zavoja? Obavezno popratiti skicom!

6.17. Na stropu željezničkog vagona visi kuglica na niti njihala. Za koliki se

kut (od ravnotežnog položaja) otkloni nit s kuglicom dok vlak prolazi kružnim zavojem polumjera 250 m brzinom 54 km/h? Obavezno popratiti skicom!

6.18. Iz stanja mirovanja tijelo počinje rotirati konstantnim kutnim ubrzanjem

tako da nakon 5 sekundi načini 10 okretaja. Kutno ubrzavanje traje 10 sekundi, nakon čega tijelo nastavlja rotaciju kutnom brzinom koju je postiglo nakon 10 sekundi. Kolika je normalna komponenta akceleracije točke na tijelu koja se nalazi na udaljenosti 1 cm od osi rotacije u trenutku t1 = 8 sekundi od početka rotacije, a kolika u trenutku t2 = 15 sekundi?

6.19. Kamen mase 1 kg vrtimo u vertikalnoj ravnini konstantnom brzinom

3 ms-1. Kamen je vezan užetom zanemarive mase i duljine 0,7 m. Koliko je puta sila u užetu u najnižem položaju veća od sile u užetu u najvišem položaju kamena? Obavezno popratiti skicom!

6.20. Vratilo počinje rotirati iz stanja mirovanja stalnim kutnim ubrzanjem

2 rad/s2. Nakon koliko će vremena rotirati s n = 10 okr/s? Koliko će u tom trenutku iznositi ubrzanje točke na obodu vratila, ako je njegov polumjer 0,2 m?

6.21. Rotor turbine rotira s n0 = 2 okr/s. U tom trenutku počinje jednoliko

kutno ubrzavati s ε = 0,05 rad/s2. Nakon koliko će vremena postići brzinu vrtnje n = 50 okr/s? Kolika je u tom trenutku brzina kapljice vode na lopatici turbine koja je od osi rotacije udaljena za 1,5 m? Kolika centrifugalna sila djeluje na kapljicu, ako je njezina masa 0,2 g?

6.22. Bubanj perilice za rublje, koji se okreće brzinom vrtnje 900 okr/min,

jednoliko usporava na 300 okr/min, pri čemu načini 50 okretaja. Kolika mu je kutna akceleracija? Koliko je vremena trajalo ovo usporavanje?

91

6.23. Avion napravi petlju u obliku kružnice polumjera 400 m u vertikalnoj

ravnini. Kolikom silom pritišće pilot sjedalo u najvišoj točki petlje, ako je masa pilota 70 kg, a brzina aviona 360 km/h?

6.24. Zamašnjak stroja rotira brzinom vrtnje od 600 okr/min. Koliko će

okretaja napraviti zamašnjak od trenutka kad ga počne zaustavljati neka tangencijalna sila, do zaustavljanja, ako se zaustavi za 5 s?

6.25. Elektron atoma vodika kruži oko pozitivne jezgre na udaljenosti

0,5 · 10-10 m. Centripetalna sila nastaje zbog električnog privlačenja pozitivne jezgre i negativnog elektrona. Koliki je iznos te sile, ako je brzina elektrona 2,3 · 106 m/s, a njegova masa 9 · 10-31 kg?

6.26. Čestica mase 1 kg giba se po kružnici polumjera 80 cm zbog djelovanja

centripetalne sile stalnog iznosa 125 N. Koliko okretaja u minuti napravi čestica?

6.27. Zamašnjak, koji je na početku imao kutnu brzinu 12 rad/s, zaustavio se

uslijed različitih otpora nakon načinjenih 100 okretaja. Kolika je bila kutna akceleracija, ako se pretpostavi da je rotacija zamašnjaka bila jednoliko usporena?

6.28. Kolikom gravitacijskom silom Mjesec privlači tijelo mase 1 kg na

visini 600 km iznad površine Mjeseca? Zadano: RM = 1700 km (polumjer Mjeseca), mM = 7,3 · 1022 kg (masa Mjeseca), G = 6,67 · 10-11 Nm2/kg2 (gravitacijska konstanta).

6.29. Kolikom gravitacijskom silom nebesko tijelo polumjera RNT = 2000 km

i mase mNT = 66 1022 kg privlači kamen mase m = 10 kg koji se nalazi na površini nebeskog tijela? Gravitacijska konstanta iznosi G = 6,67 10-11 Nm2/kg2.

6.30. Kolikom gravitacijskom silom Mjesec privlači aluminijsku kocku

stranice 7,181 cm na visini 1200 km iznad površine Mjeseca? Zadano: ρAl = 2700 kg/m3 (gustoća aluminija), RM = 1700 km (polumjer Mjeseca),

92

mM = 7,3 · 1022 kg (masa Mjeseca), G = 6,67 · 10-11 Nm2/kg2 (gravitacijska konstanta).

6.31. Kolikom gravitacijskom silom nebesko tijelo mase 1022 kg i polumjera

103 km privlači željezno tijelo volumena 0,01 m3 na visini 6000 km iznad površine nebeskog tijela? Zadano: ρFe = 7800 kg/m3 (gustoća željeza), G = 6,67 · 10-11 Nm2/kg2 (gravitacijska konstanta).

6.32. Kolikom gravitacijskom silom nebesko tijelo mase 1023 kg i polumjera

3 · 103 km privlači tijelo koje je na površini Zemlje teško 98,1 N, ako se to tijelo nalazi na visini 6000 km iznad nebeskog tijela? Zadana je gravitacijska konstanta: G = 6,67 · 10-11 Nm2/kg2.

6.33. Masa satelita iznosi 5850 kg i on se giba po kružnoj putanji (orbiti) na

visini 4,1 · 105 m iznad površine planeta, čiji je polumjer 4,15 · 106 m. Koliko je ubrzanje sile teže na površini planeta? Kolika bi bila težina satelita kada bi on mirovao na površini tog planeta? Zadana je gravitacijska konstanta: G = 6,67 · 10-11 Nm2/kg2.

6.34. Kolika je brzina umjetnog satelita koji obilazi Zemlju po kružnoj stazi s

ophodnim vremenom 150 min? Zadano: mZ = 5,96 · 1024 kg (masa Zemlje), G = 6,67 · 10-11 Nm2/kg2 (gravitacijska konstanta).

6.35. Mačak na Zemlji ima težinu 24 N. Koliko je težak na površini Mjeseca,

gdje je jakost gravitacijskog polja šest puta manja nego na Zemlji? Isto izračunati za Jupiter, gdje je jakost gravitacijskog polja 2,6 puta veća nego na Zemlji? Kolika je masa mačka na svakoj od ove tri lokacije?

6.36. Marsov prirodni satelit Fobos (Phobos – strah) kruži oko Marsa na

udaljenosti 9500 km od središta Marsa. Koliki je period kruženja Fobosa? Kolika mu je brzina kruženja? Zadano: mM = 0,642 · 1024 kg (masa Marsa), G = 6,67 · 10-11 Nm2/kg2 (gravitacijska konstanta).

6.37. Na kolikoj visini iznad površine Zemlje je ubrzanje Zemljine sile teže

jednako 7 m/s2? Zadano: RZ = 6400 km (polumjer Zemlje), mZ = 6 · 1024 kg (masa Zemlje), G = 6,67 · 10-11 m3kg-1s-2 (gravitacijska konstanta).

93

6.38. Na kolikoj visini iznad površine Mjeseca je ubrzanje Mjesečeve sile

teže jednako 0,8 m/s2? Zadano: RM = 1,7 · 106 m (polumjer Mjeseca), mM = 7,3 · 1022 kg (masa Mjeseca), G = 6,67 · 10-11 m3kg-1s-2 (gravitacijska konstanta).

6.39. Željezna kocka duljine brida 10 cm nalazi se na visini 2000 km iznad

površine Zemlje. Kolikom gravitacijskom silom Zemlja privlači željeznu kocku? Zadano: RZ = 6400 km (polumjer Zemlje), mZ = 6 · 1024 kg (masa Zemlje), G = 6,67 · 10-11 m3kg-1s-2 (gravitacijska konstanta), ρFe = 7800 kg/m3 (gustoća željeza).

6.40. Planet Saturn giba se oko Sunca na srednjoj udaljenosti 1,43 · 109 km.

Kolikom se prosječnom brzinom, u km/s, Saturn giba oko Sunca? Koliko mu zemaljskih godina treba da jednom obiđe oko Sunca? Uzeti da jedna zemaljska godina ima 365,25 dana. Zadano: mSU = 2 · 1030 kg (masa Sunca), G = 6,67 · 10-11 Nm2kg-2 (gravitacijska konstanta).

6.41. Na kolikoj visini iznad površine Zemlje se težina tijela smanji na

polovinu težine u odnosu na težinu koju tijelo ima na površini Zemlje? Zadano: rZ = 6,37 · 106 m (polumjer Zemlje)!

6.42. Na kolikoj visini iznad površine Zemlje se težina tijela smanji na

četvrtinu težine u odnosu na težinu koju tijelo ima na površini Zemlje? Zadano: rZ = 6,37 · 106 m (polumjer Zemlje)!

94

Rješenja zadataka: 6.8. v = 10,05 m/s ; aN = 252,4 m/s2 ; Fcf = 126,2 N 6.9. T = 0,25 s ; ω = 25 rad/s 6.10. v = 0,419 m/s 6.11. N = 8,66 okr ; v = 5,44 m/s 6.12. ε = 0,25 rad/s2 6.13. aN = 314 m/s2 6.14. Fcf = 118,44 N 6.15. m = 0,76 kg 6.16. r = 314,3 m 6.17. φ = 5,2430 6.18. aN (8) = 16,17 m/s2 ; aN (15) = 25,266 m/s2 6.19. SD/SG = 7,439 6.20. t = 31,42 s ; a = 790 m/s2 (tangencijalna komponenta ubrzanja

je zanemarivo mala u odnosu na normalnu, pa je ukupno ubrzanje približno jednako normalnom)

6.21. t = 6032 s = 1,676 h ; v = 471,2 m/s ; Fcf = 29,6 N 6.22. ε = - 4 · π rad/s2 = - 12,56 rad/s2 ; t = 5 s 6.23. FN = FP = 1063,3 N 6.24. N = 25 okretaja 6.25. Fcp = 9,5 · 10-8 N 6.26. n = 119,4 okr/min 6.27. ε = - 0,1146 rad/s2 6.28. FG = 0,9204 N 6.29. FG = 110,1 N 6.30. FG = 0,579 N 6.31. FG = 1,062 N 6.32. FG = 0,823 N 6.33. gP = 4,19 m/s2 ; FG = 24.517 N 6.34. v = 6,52 · 103 m/s 6.35. FGM = 4 N ; FGJ = 62,4 N ; m = 2,4465 kg (na svakoj lokaciji

masa ostaje nepromijenjena!) 6.36. T = 28.100 s = 7,81 h ; v = 2124 m/s 6.37. h = 1,161 · 106 m = 1161 km 6.38. h = 0,767 · 106 m = 767 km 6.39. FG = 44,24 N 6.40. v = 9,659 km/s ; T = 29,46 god 6.41. h = 2,6385 · 106 m = 2638,5 km 6.42. h = 6,37 · 106 m = 6370 km