BỘ MÔN

KỸ THUẬT ĐIỆN

Trao đổi trực tuyến tại:

http://www.mientayvn.com/chat_box_li.html

Mục đích:

Chƣơng 4

NHỮNG TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA MẠCH ĐIỆN TUYẾN TÍNH

Cung cấp cho sinh viên kiến thức về các

tính chất của mạch điện tuyến tính và áp dụng

chúng để phân tích mạch điện

Yêu cầu sinh viên phải nắm đƣợc:

- Ba tính chất cơ bản của mạch điện tuyến tính:

Tính chất xếp chồng; Tính chất tuyến tính; Tính

chất tƣơng hỗ; cách áp dụng các tính chất này

để phân tích mạch điện.

- Khái niệm và cách xác định các thông số

phức trong mạch điện tuyến tính.

4.1 TÍNH CHẤT XẾP CHỒNG

(TÍNH CHỒNG CHẤT NGHIỆM)

Chƣơng 4

NHỮNG TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA

MẠCH ĐIỆN TUYẾN TÍNH

4.2 TÍNH CHẤT TUYẾN TÍNH

4.3 CÁC TH«NG SỐ PHỨC TRONG MẠCH ĐIỆN

TUYẾN TÍNH Ở CHẾ ĐỘ XÁC LẬP ĐIỀU HOÀ

4.4 TÍNH CHẤT TƢƠNG HỖ

4.1 TÍNH CHẤT XẾP CHỒNG (TÍNH CHỒNG CHẤT NGHIỆM)

4.1.1 Phát biểu

Trong mạch tuyến tÝnh dßng vµ ¸p trªn 1 nh¸nh nµo

®ã cña nhiều nguồn t¸c ®éng bằng tổng đại số c¸c

dßng vµ ¸p trªn nh¸nh ®ã do từng nguồn t¸c ®éng.

Nếu các nguồn cùng tần số thì xếp chồng ở dạng

phức, còn các nguồn khác tần số thì xếp chồng dạng

tức thời.

Chó ý: C«ng suất kh«ng cã tÝnh xếp chồng

M¹ch ®iÖn phi tuyÕn kh«ng cã tÝnh xÕp chång

4.1.2 Chứng minh

Để đơn giản ta dùng mạch điện: gồm

3 phần tử R-L-C nối tiếp và có hai nguồn

e1 và e2 đồng thời cùng tác động hình a.

R i1 i2

L

i C

L

C

e1

e2

e1L

C

e2

R R

a) b) c)

i1

= +

Ta phải chứng minh i = + i2

4.1.2 Chứng minhR

L

i C

e1

e2

a)

Phƣơng trình Kiếchốp

2 cho sơ đồ hình a:

diL

dtRi +

1idt

C+ = e1 + e2

(a)

Ta đã biết nghiệm của phƣơng trình vi

phân tuyến tính dạng (a) có tính chất xếp

chồng với các nguồn - tức là nếu i1 và i2

lần lƣợt nghiệm đúng phƣơng trình với

vế phải là mỗi hàm e1, e2 riêng rẽ thì

nghiệm của phƣơng trình với vế phải là

tổng của (e1+e2 ) sẽ bằng tổng (i1+i2).

1diL

dtRi1 + (b) 1

1i dt

C = e1

Thật vậy: nếu i1 và i2 lần lƣợt nghiệm đúng:

2diL

dtRi2 + = e2 2

1i dt

C (c)

Cộng từng vế (b) và (c) ta đƣợc:

= e1+ e2

)1 2d(i + iL

dtR(i1 +i2) + 1 2

1(i + i )dt

C (d)

So sánh (d) và (a)

diL

dtRi +

1idt

C+ = e1 + e2

(a)

= e1+ e2

)1 2d(i + iL

dtR(i1 +i2) + 1 2

1(i + i )dt

C (d)

ta rút ra: i = i1 + i2

Chứng minh tính chất xếp chồng cho các

đáp ứng điện áp khác nhƣ ur; uL; uC: tự đọc

* Chú ý:

- Công suất không có tính xếp chồng vì

nó tỷ lệ bậc 2 với dòng điện:

p = Ri2 2

1 2R(i +i )

- Mạch phi tuyến không có tính chất

xếp chồng.

- Cách loại bỏ nguồn: với nguồn điện áp

cắt bỏ đi, đoạn cắt bỏ đƣợc nối ngắn

mạch; với nguồn dòng điện cắt bỏ hẳn.

a)

Z1 Z2

Z3

1E

I1 I3 I2

VÝ dụ:

J

Jb) c)

I11I31 I21

Z1 Z2

Z3Z3

Z1 Z2

1E

I12 I32 I22

= +

J

J

NÕu kh¸c ω th×:

I I I I I I I I I 1 11 12 2 22 21 3 31 32; + ; += - = =

NÕu cïng ω th×: J 1E ,

i1= i11- i12; i2= i22+ i21; i3= i31+ i32

J 1E ,

4.1.3 Ứng dụng tính chất xếp chồng để

phân tích mạch điện- Việc ứng dụng tính chất xếp chồng để

phân tích (giải) mạch điện gọi là phƣơng

pháp xếp chồng.

- Phƣơng pháp này ứng dụng trong việc phân

tích mạch điện tuyến tính khi mà việc phân

tích mạch dƣới tác dụng của mỗi nguồn riêng

rẽ đơn giản hơn việc phân tích mạch dƣới tác

dụng đồng thời của nhiều nguồn, trƣờng hợp

mạch có nhiều nguồn không cùng tần số

(nguồn không sin) tác động và mạch 3 pha.

- Nội dung phƣơng pháp: xét đáp ứng với

từng nguồn tác động riêng rẽ sau đó xếp

chồng các kết quả đó lại.

a. Trƣờng hợp trong mạch có nhiều

nguồn cùng tần số đồng thời cùng tác

động: khi cho từng nguồn tác dụng riêng

rẽ ta dùng số phức để tính các đáp ứng

và dùng số phức để xếp chồng kết quả.

b. Trƣờng hợp trong mạch có nhiều

nguồn cùng tác động nhƣng các

nguồn không cùng tần số: khi cho

từng nguồn tác dụng riêng rẽ ta dùng

số phức để tính các đáp ứng, nhƣng

khi xếp chồng kết quả phải xếp chồng

dƣới dạng tức thời (ta xét kỹ trƣờng

hợp này tại chƣơng 7).

Ví dụ : Tính dòng điện trong các nhánh

của mạch điện sau bằng phƣơng pháp

xếp chồng?

Z1 Z2

Z31E

2E

1I

3I

2I

Z1 Z2

Z31E

2E

11I

31I

21I

Z1 Z2

Z3 2E

1E

22I

31I

12I

+

Z1

Z2Z31E

11I

31I

21I

1E

2ECho nguồn tác động riêng, cho bằng số 0

11I =

21I =

31I =

1

2 31

2 3

E

Z .ZZ +

Z + Z

1

1 23

E=

Z + Z

2311

2

ZI =

Z

311

2 3

ZI .

Z + Z

211

2 3

ZI .

Z + Z

2E

1ECho nguồn tác động riêng, cho bằng số 0

Z1

Z2

Z3 2E

22I

31I

12I

22I =

12I =

31I =

2

1 32

1 3

E

Z .ZZ +

Z + Z

2

2 13

E=

Z + Z

322

1 3

ZI .

Z + Z

122

1 3

ZI .

Z + Z

Xếp chồng kết quả ta đƣợc dòng trong các

nhánh do cả 2 nguồn đồng thời sinh ra

Z1 Z2

Z31E

2E

1I

3I

2I

Z1

Z2

Z3 2E

31I

12I

Z1

Z2Z31E

11I

31I

21I

22I

1 11 12I =I - I

2 22 21I =I - I

3 31 32I =I + I

4.2 TÍNH CHẤT TUYẾN TÍNH

4.2.1 Định nghĩa 2 đại lƣợng tuyến tính

Hai lƣợng x(t), y(t) của một hệ thống

đƣợc gọi là có quan hệ tuyến tính với nhau

nếu chúng liên hệ nhau bởi phƣơng trình

vi phân tuyến tính có dạng tổng quát:

n n-1

n n-1 0n n-1

d x d xa + a + ... + a x =

dt dt

m m-1

m m-1 0m m-1

a y d y= b + b + ... + b y

dt dt(4.1)

Trong đó: các hệ số a0 . . . an; b0 . . . bm là

những hằng số hoặc hàm thời gian.

Trong giáo trình ta chỉ xét khi chúng là

hằng số, lúc đó ta có phƣơng trình vi

phân tuyến tính hệ số hằng.

Nếu x(t), y(t) là những hàm điều hoà ta có

thể biểu diễn quan hệ tuyến tính trên dƣới

dạng số phức:

n n-1

n n-1 0a jω +a jω + ... +a X =

m m-1m m-1 0= b (jω) +b (jω) + ... + b Y

AX = BY

BX = Y

A X = KYhay

và quan hệ tuyến tính với nhau qua

hệ số phức K gọi là hệ số truyền đạt.

X Y

(4.2)

AX = BY

4.2.2 Quan hệ tuyến tính giữa các

lƣợng trong mạch điện tuyến tính

a. Trong mạch có một nguồn tác động

+ Phát biểu: trong mạch điện tuyến

tính có một nguồn kích thích duy nhất tác

động, đáp ứng dòng điện hoặc điện áp trên

mọi phần tử đều liên hệ tuyến tính với

nguồn kích thích và với các đáp ứng khác

tức là giữa chúng lấy quan hệ đôi một luôn

có quan hệ dạng X = KY

+ Chứng minh: xét mạch đơn giản hình 4.3LRi

Ce

Hình 4.3

-Phƣơng trình Kiếchôp 2

cho mạch:

Ri + Li’ + 1

idtC

= e (1)

*(1) có dạng giống (4.1) cho ta quan hệ

tuyến tính giữa đáp ứng là dòng điện i

với kích thích là e.

- Đạo hàm 2 vế (1): Ri’ + L i’’ + = e’ (2)i

C

thay i = uR/R vào (2) ta đƣợc:

(2),, , ,R R R

L 1u +u + u =e

R RC

*(2) cho ta quan hệ tuyến tính giữa đáp

ứng là điện áp uR với kích thích là e.

- Thay vào (1):,Ci=Cu {Ri + Li’ +

1idt

C= e} (1)

LC + RC + uC = e,,Cu ,

Cu (3)

*(3) cho ta quan hệ tuyến tính giữa đáp

ứng là điện áp uC với kích thích là e.

* Cân bằng (1) với (3) cho ta quan hệ

tuyến tính giữa đáp ứng dòng điện i với

đáp ứng điện áp uC:

+ Biểu diễn dạng phức của các quan

hệ tuyến tính trên:

- Nếu kích thích e và các đáp ứng

dòng điện hoặc điện áp có dạng sin ta

biểu diễn đƣợc quan hệ tuyến tính giữa

mọi lƣợng đáp ứng với nhau và với

kích thích dƣới dạng (4.2):

­ E,J X = KY

= KE ¦ = KJ ¦

1 2 ¦ = A ¦

hoặc

và(4.3)

(a)

(b)

Ví dụ:

- Chuyển về dạng phức:{Ri + Li’ + 1

idtC

= e} (1)

1(R + jωL- j )I = E

ωC

L C{R+ j(x - x )}I = E

ZI = EE

I = = KEZ

cho ta quan hệ = KE ¦

b. Trong mạch có nhiều nguồn:

+ Trong mạch có nhiều nguồn hình sin

cùng tần số: Theo tính chất xếp chồng

các đáp ứng, mỗi đáp ứng sẽ gồm

những thành phần ứng với mỗi nguồn

tác dụng riêng rẽ, nói khác đi nó liên hệ

tuyến tính với tất cả các nguồn:

1 1 2 2 k kn n K E + K E + .... + K E + ... = K E¦= (4.4)

+ Trong mạch có nhiều nguồn hình sin

cùng tần số nhƣng có 1 nguồn có khả

năng biến đổi đƣợc (trị số hoặc góc pha)

còn các nguồn khác đều không đổi, ta

chứng minh đƣợc rằng mỗi đáp ứng bất

kỳ đều liên hệ tuyến tính với ít nhất 1

lƣợng khác theo dạng:

X

Y

X=AY+B (4.4)

+ Trong mạch có nhiều nguồn hình sin

cùng tần số nhƣng có 2 nguồn có khả

năng biến đổi đƣợc (trị số hoặc góc pha)

còn các nguồn khác đều không đổi, ta

chứng minh đƣợc rằng mỗi đáp ứng bất

kỳ đều liên hệ tuyến tính với ít nhất 2

lƣợng và khác theo dạng:

X

Y

X=AY+BZ + C

Z

(4.5)

Một máy phát điện một

chiều nối với tải Rt cố định hình

4.4. Làm thí nghiệm ta đo đƣợc

các giá trị quan hệ giữa điện áp U

và dòng điện I nhƣ sau:

c. Ứng dụng

Áp dụng tính chất tuyến tính để tính các đáp

ứng dòng điện, điện áp hoặc để tìm quan hệ giữa

2 hay 3 lƣợng bất kỳ trong mạch.

U

Rt

I

Hình 4.4

MP

Ví dụ

- Khi U = 118V thì I = 4A

- Khi U = 116V thì I = 2A.

- Tìm quan hệ tuyến tính giữa áp U và dòng điện I?

- Hỏi điện áp U bằng bao nhiêu để có I = 2,5A

- Đây là bài toán có một phần tử biên

động, áp dụng ta viết đƣợc

quan hệ tuyến tính giữa dòng điện và điện

áp dƣới dạng:

X=AY+B

Giải:

I = AU + B (a)

2 = A .116 + B

4 = A .118 + B

Giải ra ta đƣợc: A = 1s; B = -114A,

thay vào (a) ta có quan hệ tuyến tính giữa

điện áp U và dòng điện I: I = U -114

Để có I = 2,5A, điện áp: U = 2,5 + 114 = 116,5V

4.3 CÁC THÔNG SỐ PHỨC TRONG MẠCH ĐIỆN

TUYẾN TÍNH Ở CHẾ ĐỘ XÁC LẬP ĐIỀU HOÀ

4.3.1 Tổng trở vào Zkk, tổng dẫn vào Ykk

a. Khái niệm

kkU

Hình 4.5

kI

Giả sử trong mạch điện hình 4.5

chỉ để một nguồn kích thích

duy nhất ở lối vào thứ k nào đó

còn các nguồn khác bằng

không.

Theo quan hệ tuyến tính dạng hoặc

- điện áp và dòng trên lối vào đó

phải tỷ lệ với nhau thông qua một hệ số

phức có thứ nguyên tổng dẫn hoặc tổng trở:

kI = KE ¦

= KJ ¦

kU

k kk kkI =Y .U

k

kk

k

IY =

Uk

kU

kI

k kk kU =Z .I

k

kk

k

UZ =

IYkk; Zkk- gọi là tổng dẫn; tổng trở vào

nhìn từ lối vào thứ k.

b. Ý nghĩa của Zkk và Ykk .

+ Từ ta thấy khi thì : 0j0

kU =1.e V k kk kkI =Y .U

(A)k kkI =Y

Vậy, Ykk nói lên mức độ áp ứng dòng điện

ở nhánh k khi kích thích là nguồn điện áp

chuẩn 1V đặt ở lối vào thứ k.

+ Từ ta thấy khi thì :A 0j0

kI =1.e k kk kU =Z .I

(V)k kkU =Z

Vậy, Zkk nói lên mức độ áp ứng điện

áp ở nhánh k khi kích thích là nguồn

dòng điện chuẩn 1A bơm vào lối vào

thứ k.

4.3.2 Tổng trở, tổng dẫn tƣơng hỗ Zlk, Ylk

a. Khái niệm ý nghĩa của Ylk

lI

Zk Zl

kU lk

lI =

l

lkk

IY =

U

lk kY U

Ylk - gọi là tổng dẫn

tƣơng hỗ giữa nhánh l

với nhánh thứ k.

+ Ylk là một thông số của mạch, nó nói lên

phản ứng dòng điện ở nhánh l dƣới tác dụng

của điện áp đặt ở nhánh k. Về trị số, Ylk bằng

đáp ứng dòng điện ở nhánh l khi kích thích là

điện áp chuẩn 1V đặt ở nhánh k.

a. Khái niệm ý nghĩa của Ylk

kI

lk

lU

lU

lk k= Z I

l

lkk

UZ =

I

Zlk -Tổng trở tƣơng hỗ

giữa cặp nút thứ l với

cặp nút thứ k.

+ Zlk là một thông số của mạch, nó nói lên

phản ứng điện áp trên cặp nút thứ l dƣới

tác dụng nguồn dòng đặt ở cặp nút thứ k.

Về trị số, Zlk bằng đáp ứng điện áp trên

cặp nút thứ l khi kích thích là dòng điện

chuẩn 1A bơm vào cặp nút thứ k.

Ví dụ: tính tổng trở vào từ nhánh 1 và tổng

dẫn tƣơng hỗ giữa nhánh 2 và nhánh 1 trong

mạch điện sau

1E

Z1 Z2

Z3

Z1 Z2

Z3

1I

2I

2 311 1

1 2 2 3 1 32 31

2 3

Z + ZEI = = E

Z Z + Z Z + Z ZZ .ZZ +

Z + Z

2 3 32 1 1

2 3 2 1 2 2 3 1 3

Z .Z Z1I = I . = E

Z + Z Z Z Z + Z Z + Z Z

Giải:

cần tìm

Z11; Y21

11

2 31

2 3

2 31

1 2 2 3 1 3

EI = =

Z .ZZ +

Z + Z

Z + ZE

Z Z + Z Z + Z Z

2 3 32 1 1

2 3 2 1 2 2 3 1 3

Z .Z Z1I = I . = E

Z + Z Z Z Z + Z Z + Z Z

1E

Z1 Z3

Z2

1I

2I

11Z =

1

1

E=

I

1 2 2 3 1 3

2 3

Z Z + Z Z + Z Z

Z + Z

21Y =

2

1

I=

E

3

1 2 2 3 1 3

Z

Z Z + Z Z + Z Z

Ví dụ : Tính tổng trở tƣơng hỗ Z21 giữa 2

cặp nút 2-2' và 1-1' trong mạch điện sau

1

2'

2

1'

1nZ2nZ

Zd

Giải:

ta bơm vào cặp nút 1-1' một nguồn

dòng điện và tính điện áp ở cặp nút 2-2':

1

2'

2

1'

1nZ2nZ

Zd1I

1I

2U

1

2'

2

1'

1nZ2nZ

Zd1I

1I

2U

; 22 n 2U = Z I

1 2

1 2 2

n d n

2 1n d n d n

Z (Z + Z ) 1I = I . .

Z + Z + Z Z + Z

1

1 2

n

2 1n d n

ZI = I .

Z + Z + Z

1 2

1 2

n n

2 1n d n

Z .ZU = I .

Z + Z + Z

2

211

UZ = =

I

1 2

1 2

n n

n d n

Z .Z

Z + Z + Z

4.3.3 Hệ số truyền áp Ku, hệ số truyền dòng Ki

kU

Zl

kI

lU

k l

lI

l u kU =K .U

l

uk

Uhay K =

U

l i kI =K .I

l

ik

Ihay K =

I

- Ku, Ki - các hệ số truyền đạt điện áp,

dòng điện từ phía thứ k sang phía thứ lKu, (Ki) nói lên mức độ truyền đạt tín hiệu

điện áp (dòng điện) từ lối vào k đến lối vào

l, chúng phụ thuộc kết cấu, thông số của

mạch và tổng trở nối vào thứ l nếu có.

Ví dụ 4.5: Tìm Ku , Ki từ nhánh 1 đến

nhánh 2 trong sơ đồ sau

Z1 Z2

Z3

1E

Z1

Z2Z3

1I

2I

2U

;2 31 1

1 2 2 3 1 3

Z + ZI = E

Z Z + Z Z + Z Z 3

2 11 2 2 3 1 3

ZI =E

Z Z + Z Z + Z Z

2 32 2 2 1

1 2 2 3 1 3

Z .ZU = Z I =E

Z Z + Z Z + Z Z

1E

Z1

Z2Z3

1I

2I

2U

2 31 1

1 2 2 3 1 3

Z + ZI = E

Z Z + Z Z + Z Z

32 1

1 2 2 3 1 3

ZI =E

Z Z + Z Z + Z Z

2 32 2 2 1

1 2 2 3 1 3

Z .ZU = Z I =E

Z Z + Z Z + Z Z

2 32

u1 2 2 3 1 31

Z .ZUK = =

Z Z + Z Z + Z ZE

32

i2 31

ZIK =

Z + ZI

4.4 TÍNH CHẤT TƢƠNG HỖ

4.4.1 Phát biểu

Trong mạch tuyến tính tổng dẫn

(hoặc tổng trở) tƣơng hỗ của nhánh

(hoặc cặp nút) thứ k đối với nhánh (hoặc

cặp nút) thứ l tức Ykl (Zkl) bằng tổng dẫn

(hoặc tổng trở) tƣơng hỗ của nhánh

(hoặc cặp nút) thứ l đối với nhánh (hoặc

cặp nút) thứ k tức Ylk (Zlk):

kl lk

kl lk

Y = Y

Z = Z

4.4.2 Nhắc lại ý nghĩa của Ylk và Zlk, Ykl và Zkl:

klkYl

1Vk

klY l1V=

k l

1A

Zlkk l

1A

Zkl=

- Từ đó suy ra nếu nguồn điện áp đặt

trong nhánh k gây nên đáp ứng dòng

điện ở nhánh l là nào đó thì khi đặt ở

nhánh l thì nó sẽ sinh ra trong nhánh k

một dòng đúng bằng

I

I

U

U

k l k lU I I U

k l

I

Tƣơng tự nếu có một nguồn dòng

bơm vào cặp nút k gây trên cặp nút l một

điện áp nào đó thì khi bơm nguồn

dòng vào cặp nút thứ l thì nó sẽ sinh ra

trên cặp nút thứ k điện áp đúng bằng .

I

U

U

I

Uk l

U

I

4.4.3 Chứng minh: tự đọc

4.4.4 Ứng dụng tính chất tƣơng hỗ.

- Khi cần tính các cặp thông số Ylk,

Ykl cũng nhƣ Zlk, Zkl cho một mạch, dựa

vào tính chất tƣơng hỗ ta chỉ cần tính

một lƣợng (chọn lƣợng dễ tính hơn) rồi

suy ra lƣợng kia, làm nhƣ vậy khối

lƣợng tính toán giảm đáng kể.

- Tính chất tƣơng hỗ đôi khi cũng đƣợc

ứng dụng để tính mạch điện, bổ sung vào

các phƣơng pháp cơ bản đã xét.

Ví dụ Tính dòng I5 và tổng dẫn tƣơng hỗ giữa

nhánh 5 và nhánh 6 trong mạch điện sau. Biết

R1 = R2 = R3 = 20 ; R4 = 30 ; R5 = 8 ; E6 = 6V

R1 R3

R2 R4

'6I

R5

6E

Giải:

R1 R3

R2 R4

6E

R5

5I

5I='6I

R1 R3

R2 R4

'6I

R5

6E'4I

'3I

6E

'5I

R1

R3

R2

R4

R5

,6

51 3 2 4

51 3 2 4

EI = = 0,2A

R .R R .RR + +

R + R R + R

, ,2

4 52 4

RI = I = 0,08A

R + R

, ,1

3 51 3

RI = I = 0,1A

R + R

I’6 = I’3 - I’4 =

= 0,1 - 0,08 = 0,02A

Vấn đề cần nhớ

- Nắm vững ba tính chất cơ bản của

mạch điện tuyến tính và biết cách áp

dụng chúng để phân tích mạch điện.

- Khái niệm và cách xác định các thông

số phức trong mạch điện tuyến tính.

CẢM ƠN!