Kako podijeliti plijen?

Franka Miriam BrücklerPMF – Matematički odjel,

Zagreb06. 02. 2007.

Pričica...Crni Jack istresao je vreću na stol. Barica, Katica i Kumpić gotovo su pali u nesvijest vidjevši kako se stol pretrpava novčanicama, kovanicama, draguljima i zlatnim polugama. Završio je lakši dio posla, ostao je teži: podjela plijena. Znajući se dovoljno dobro međusobno, nitko ne vjeruje nikome. Lako je podijeliti novac na 4 jednaka dijela. S polugama je već malo teže ako nisu sve jednake i njihov broj djeljiv s 4. A dragulji? Au! Svatko ima svoj stav koliko što vrijedi. I što slijedi? Svađa. Ili: matematika.

O problemu...Ukoliko ne žele da svađa potraje predugo, moraju naći strategiju kojom će plijen podijeliti na 4 dijela tako da svi budu zadovoljni tj. tako 1. da je svatko na kraju raspodjele uvjeren da je dobio barem koliko je pravedno za njega i2. da nitko na kraju ne misli da je netko drugi dobio više od njega.Gdje je problem? Nemaju svi isti stav o vrijednostima stvari koje se dijele!

Pravedno i bez zavistiUočimo: nije isto ako svatko vjeruje da je dobio bar koliko ga ide i ako svatko vjeruje da nitko nije dobio više!Ako uspijemo napraviti podjelu bez zavisti, ona je sigurno pravedna, ali moguće su pravedne podjele u kojima ima zavisti....

Primjer3 osobe (A, B, C) žele raspodijeliti među sobom prsten, ogrlicu i narukvicu (recimo da nijedno nije moguće rastaviti na manje dijelove). Svatko je relativno vrednovao ta tri predmeta: ogrlic

anarukvica

prsten

A 50 40 10B 50 30 20C 20 30 50Ako A uzme narukvicu, B ogrlicu i C

prsten, podjela jest pravedna, ali je A zavidan na B!

Što ako dvoje dijeli plijen?Lako! Prvi raspodijeli plijen na pola prema

svojim predodžbama, ali prvi uzima drugi. Pravedno i bez zavisti!

ogrlica

narukvica

prsten

A 50 40 10B 20 30 50A stavi na jednu stranu ogrlicu, a na drugu narukvicu i prsten. B odabere narukvicu i prsten, A-u ostane ogrlica. Što se desi pokušamo li taktiku kopirati za troje?

Utroje (učetvero, upetero...) je veselije

Hugo Steinhaus, 1944., Lwow, Poljska... da ne misli na rat, pokušao je smisliti strategiju za troje. Jedan, slučajno odabran, dijeli.

A B

ili

uzimaju redom C, B, AB:

NE!B:

NE!

C

ili

uzimaju redom B, C, A

B, C:

NEB:NE

C:NE A uzima komad

koji neće ni B ni C, B onaj koji neće C, a C onaj koji neće B

Steinhausov postupak ne garantira da nema zavisti, ali daje pravednu podjelu. Za više sudionika poopćen je 1967. (Harold Kuhn).Ovaj postupak poznat je kao “lone divider method”.

PrimjerA

B1/31/3

1/3

1/31/6

1/2

C1/6

1/31/2

BA

CA je dobio 1/3 i nije zavidanB je dobio 1/3 i zavidan je CC je dobio 1/2 i nije zavidan

Matematički model• n sudionikasudionika A1,A2,...An koji trebaju raspodijeliti

skup dobaraskup dobara S tako da svaki dobije pravedan dio

• pravedanpravedan dio za Ai je dio dobara iz S koje Ai smatra (u vlastitom sustavu vrijednosti) da vrijede bar 1/n ukupne vrijednosti od S

• rješenje je protokolprotokol tj. niz postupaka koje sudionici trebaju provesti (očekuje se da uvijek bude konačan); ne traži se najbolje rj.

• protokol je pravedanpravedan ako njime svi i u svakom slučaju (za svaki n i S) dobiju pravedan dio

• pretpostavke:pretpostavke:• svi su u stanju za sebe vrednovati svaki dio od S• svi pristaju na poštivanje pravila protokola• svi su racionalni i neskloni riziku (tj. žele si

osigurati maxmin-dio i njega neće riskirati čak ni ako rizik znači mogućnost većeg udjela)

• moguće poželjne dodatne osobine protokola:moguće poželjne dodatne osobine protokola:1.1. nema zavistinema zavisti2.2. Pareto-optimalnost iliti efikasnostPareto-optimalnost iliti efikasnost: ne

postoji raspodjela koja bi za nekog bila bolja, bez da je slabija za nekog drugog

3.3. jednakostjednakost: svi vjeruju da su dobili točno 1/n vrijednosti S (ako ih je bilo n) – ovo recimo ne zadovoljava protokol “ja režem, ti biraš”

Za 3 ili više osoba ne može se naći protokol koji je uvijek (za sve n i sve S) i 2. i 4.!

Vrste protokola

• neprekidni neprekidni – za slučaj kad je S moguće raspodijeliti na beskonačno mnogo načina i proizvoljno male dijelove

• diskretni diskretni – za slučaj kad se S sastoji od nedjeljivih objekata (ili bar ne lako djeljivih)

• mješovitimješoviti

Neprekidni protokoli

Lone-chooser protokol

1964. A. M. Fink1.Bira se jedan “chooser” C, ostali su

“divider”-i2.Svi osim C dijele kolač na n-1 pravedan dio.3.Svaki dijeli svoj dio na n jednakovrijednih

dijelova.4.C bira po jedan dio od svakog.Rekurzivni algoritam!!!Slijedi primjer za troje...

Chooser: C, Divider: A,B

A: 1/2

B: 1/2

A: 1/6B: 1/6

B: 1/6

A: 1/6

B: 1/6

A: 1/6

C: 1/6B: 1/6

C: 1/6

A: 1/6

B: 1/6

A: 1/6A

BC

BC

Banach-Knasterov protokol (“last-diminisher”)

Steinhaus-ovi prijatelji S. Banach i B. Knaster našli su poopćenje Steinhausovog protokola na više od 3 sudionika raspodjele. Sudionici trebaju raditi iduće:1.Definira se redoslijed među sudionicima.2.Prvi odvoji jedan pošten dio C (dakle, po njegovom mjerilu, vrijedan 1/n). Sve ostalo je R.3.Drugi može, ako C smatra prevelikim, od C oduzeti višak, tako da C ostane pošten komad; višak stavlja u R.

3. Treći ima isto pravo kao i drugi itd. svi do zadnjeg od C, ako to smatraju potrebnim, oduzimaju višak i stavljaju u R.4. Ukoliko nitko nije smanjio C, onda ga dobiva prvi sudionik; inače se dio dodjeljuje zadnjem koji ga je smanjio. Onaj koji je sad dobio C ispada iz nastavka podjele.5. Sad se postupak ponavlja s R i sudionikom manje sve dok ne ostanu samo 2 sudionika (koji dijele standardnom strategijom).Nažalost: nije bez zavisti!

Petero brodolomaca na pustom otoku odlučilo je podijeliti otok...

Neka su to 1,2,3,4,5.

CR

1 smatra da C vrijedi 1/5

2 smatra da C vrijedi <1/5, 3 smatra da vrijedi >1/5

CR

4 smatra da C vrijedi >1/5, 5 nakon toga da je <1/5 4 dobiva C

CR

1.

2. (više ne “igra” 4)

1 smatra da C vrijedi 1/4

2 i 3 se slažu, 5 smatra da C vrijedi >1/5

5 dobiva C

4CR

4CR

45

3. (više ne “igraju” 4 i 5)

45CR

1 smatra da C vrijedi 1/3

45CR

2 smatra da C vrijedi >1/3

452

3 smatra da C vrijedi <1/3 2 dobiva C

4. (ostali su 1 i 3) – 1 dijeli, 3 bira

452

452 1

3

5. gotovo!

Selfridge-Conway-ev protokol za troje

Početkom 60ih godina 20. stoljeća John Selfridge i John Horton su nezavisno jedan od drugog našli pravedan protokol za troje koji garantira da nema zavisti. Slijedi algoritam.1. A dijeli na 3 pravedna dijela (x,y,z)2. B (u sebi) reda ta tri dijela po vrijednosti (recimo x,y,z) i od najvrednijeg (x) odreže onoliko koliko treba da ostane jednako vrijedan komad (w) kao što mu je drugi po vrijednosti (y); odrezani dio se stavlja na stranu.

3. Sad u redoslijedu C, B, A sudionici uzimaju po jedan dio od x,y,z. Ako C ne uzme x, mora ga uzeti B.

4. Ukoliko je u 2. koraku bilo oduzimanja, potrebno je raspodijeliti i ostatak w (inače smo gotovi). Korak 1. na taj ostatak primjenjuje B ili C (onaj koji nije uzeo komad w). Od toga prvo bira onaj koji nije dijelio w, pa A pa tek onda onaj koji je dijelio w.

A Byz

x

CAx-w

B Cz

yx-ww C, B, A

CA

B B,A,CC

AB

AC

B

Pokretni nožZa dvoje: Nož ide neprekidno slijeva udesno. Kad jedan vikne “reži” on dobiva lijevi dio, a drugi ostatak. Za troje: Stromquistov postupak (1980)Uz troje sudionika potreban je i “sudac” koji pomiče nož polako slijeva udesno. Svaki od sudionika također ima nož (svi noževi su paralelni) i pomiče ga tako da u svakom trenutku smatra da njegov nož raspolavlja dio kolača desno od sučeva noža. Svaki sudionik smije viknuti “reži” u bilo kojem trenutku. Tada se kolač reže na 3 dijela sučevim nožem i srednjim od noževa sudionika. Lijevi dio dobiva onaj koji je viknuo “reži”, srednji onaj od druge dvojice čiji nož je bliži sučevom.

Diskretni protokoli

Tajna aukcija (Steinhaus-Knaster)Zgodna kad sudionika ima približno jednako koliko i

dobara za raspodijeliti. Uvjet je da je svaki u stanju i voljan mijenjati bilo koje dobro za novac.1. Svaki dodijeli subjektivnu vrijednost svakoj stvari (koliko bi novaca bio spreman dati za nju) i stavlja te ponude u zatvorenu kovertu. Prosječna cijena koju nudi za stvari jednaka je njegovoj procjeni pravednog dijela. Bitno je da nijedan ne zna procjene drugih. Koverte se istovremeno otvaraju i svaka stvar ide onom koji je najviše ponudio.2. Svaki koji je dobio više od svog pravednog dijela plaća višak u zajednički fond. Svakom koji je dobio manje, isplaćuje se ta razlika. Ukoliko ostane višak novca, on se raspodijeli.

Stvar Ana Boris Marko Petra Tomislav

Kuća 200000

215000

195000

175000 205000

Vikendica 60000 49000 62500 59500 55000BMW 29000 24500 25000 27500 27500Saab 25000 19000 22500 24500 19500Jahta 12000

012500

011900

012900

0 132500Mondrian 95000 89000 50000 75000 65000

Escher 150000

135000 99000 17900

0 149000

Ukupno 679000

656500

573000

669500 653500

Pravedno

135800

131300

114600

133900 130700

Razlika +13200

+83700

-52100

+45100 +1800

5 nasljednika treba podijeliti nasljedstvo ...

Višak novca: 91700 tj. svaki dobije još i 18340.

Metoda markera (W. F. Lucas)Primjenjiva je ako se dijeli puno stvari slične vrijednosti, npr. bomboni.Te se stvari poredaju u niz.Svaki igrač stavlja n-1 markera kojima raspodjeljuje niz na segmente koje smatra jednako vrijednima, tj. spreman je uzeti bilo koji dio između dva svoja markera.Prvo pogledamo čiji je prvi prvi marker toj osobi ide prvi dio niza ispred markera, njegovi markeri se mičuSad prvi od drugih markera...Može se desiti da neki dijelovi ostanu neraspodijeljeni (raspodijele se nekim slučajnim načinom).

4 osobe dijele 20 pića i jela ...

Ograničenja i pitanja• svijet nije idealno matematički, a ponekad je ipak

jednostavnije bez algoritma...• alternative: odoka, grubom silom, metoda pokušaja

i pogreški, varanje, moljenje većeg dijela, ...• otvoren problem: 1944; donekle zatvoren: 1995

(prvi protokol bez zavisti za proizvoljan n)• postoji li rješenje? postoji li protokol? ako ne, postoji

li aproksimativna procedura? gornja međa broja koraka (u općem diskretnom slučaju neodređena!)?

• što se može postići ograničavanjem broja rezova? protokoli s minimalnim brojem koraka (n-1)? Zasad samo dva za troje i jedan za četvero.

• samo povezani dijelovi?• ako interesi nisu dijametralno suprotni protokoli

često dovode do boljeg od maxmin rješenja za sve! S druge strane, što su različitiji interesi, lakše je podijeliti.

Čemu sve ovo?- svakodnevni problemi raspodjele- raspodjela pri brakorazvodnim

parnicama, razdvajanju firmi i nasljeđivanju

- određivanje granica na moru ili izbornih jedinica, podjela zemljišta...

- bliske matematičke discipline: teorija grafova, kombinatorna topologija, računarstvo, teorija mjere, teorija igara

Određivanje granica izbornih jedinica

Dvostranački sustav... Stranka na vlasti može odrediti granice kako hoće (uvjet je podjednak broj građana u izbornim jedinicama i da je izborna jedinica “povezana” uz još neke tradicionalne uvjete).“Gerrymandering” je pojam koji označava odabir granica izbornih jedinica kako bi se politički profitiralo (Elbridge Gerry, 1812. je kreirao jedinicu oblika guštera).

Ukupno: Roza : crni = 13:12

Dobiveni zastupniciGore:Roza : crni = 4:1Desno:Roza : crni = 1:4

Protokol za 2 stranke i 1 neutralca• stranke: roza i crna; treba podijeliti teritorij na n

izbornih jedinica s po d stanovnika• neutralac crta n-1 podjelu teritorija na dva

dijela (zvat ćemo ih Xi i Yi) tako da svaki idući X sadrži prethodni i da je redom odnos stanovnika u podjeli d:(n-1)d, 2d:(n-2)d, ...

• za svaku takvu podjelu i roza i crna stranka biraju: a) roza dijeli Xi na i dijelova, a crni Yi na n-i dijelova ili b) roza dijeli Yi na n-i dijelova, a crni Xi na i dijelova (nitko neće htjeti dijeliti X1 i Yn-1 jer su oni veličine jedne izborne jedinice)

• ako su obje stranke za neki i izabrale istu od gornje dvije opcije, neka tako i učine; inače: nađi in-2 za koji je roza birala b), ali u idućem koraku a), pa slučajnim izborom napravi podjelu po jednoj od dvije opcije za i ili i+1

i=1Roza: opcija b)Crni: opcija a)

i=2Roza: opcija b)Crni: opcija a)

i=3roza: opcija a)crni: opcija b)

i=4roza: opcija a)crni: opcija b)

roza mijenja opciju između koraka i=2 i i+1=3 biramo jednu od opcija a) ili b) za i=2 ili 3, recimo i=3 i opcija b) tj. roza dijeli desni, a crni lijevi dio

stvar donekle ovisi o podjeli na X-eve i Y-e, no može se raditi više raznih takvih podjela t.d. obje stranke rangiraju dobivene rezultate i onda se odabere ona podjela čije najslabije mjesto je najbolje

Literatura• S. J. Brams, M. A. Jones & C. Klamler: Better Ways to Cut a Cake,

Notices of the AMS 11(52) 2006 1314-1321• Z. Landau, O. Reid, I. Yershov: A Fair Division Solution to the Problem

of Redistricting, 2006.• J. Robertson & W. Webb: Cake-Cutting Algorithms, Amer. Math.

Monthly 107 (2000)185-188• P. Tannenbaum: Excursions in Modern Mathematics, Pearson

Education, 2004.• Wikipedia: Fair Division http://en.wikipedia.org/wiki/Fair_division• Su, Francis E., et al. "Envy-free Cake Division. Mudd Math Fun Facts”

http://www.math.hmc.edu/funfacts• Fair Division Problems and Fair Division Schemes:

http://www.colorado.edu/education/DMP/fair_division.html• A. Bogomolny: Cut the Knot

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/index.shtml (točke 301, 302, 303)

• Extra Cake-Cutting Practice: http://www.merrimack.edu/~krunge/applets/CakePractice.htm

• Fair Division Calculator: http://3quarksdaily.blogs.com/3quarksdaily/2005/04/3qd_monday_musi.html