Upload
duongthuan
View
363
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
001
y Dx f
0 a x b x
Daerah D dibatasi kurva y = f (x) dengan f (x) ≥ 0, garis x = a, garis x = b, dan sumbu x.
D = {(x,y) | a £ x £ b, 0 £ y £ f (x)} Luas daerah D adalah
1|| || 0lim ( ) ( )
bni aP
L f x x f x dx=Æ
= D =Â Ú .
y Dx f g 0 a x b x
Daerah D dibatasi kurva y = f (x), kurva y = g(x), dengan f (x) ≥ g(x), garis x = a, dan garis x = b.
D = {(x,y) | a £ x £ b, g(x) £ y £ f (x)}. Luas daerah D adalah
( ) ( )1|| || 0lim ( ) ( ) ( ) ( )
bni aP
L f x g x x f x g x dx=Æ
= - D = -Â Ú .
Contoh Hitunglah luas daerah D = {(x,y) | 0 £ x £ 12p , 0 £ y £ sin 2x}.
y Dx
1 y = sin 2x 0 1
4p x 12p x
Luas daerah D adalah
( )( )
/ 2
1 0|| || 0
/ 2 / 21 102 20
12
lim sin 2 sin 2
sin 2 (2 ) cos2
1 1 1.
niP
L x x x dx
x d x x
p
p p
=Æ= D =
= = -
= - - - =
 Ú
Ú
D
D
D
APL INT
002
Contoh Hitunglah luas daerah D = {(x,y) | 1 £ x £ 4, 0 £ y £ 4x - x2}. y Dx
4
3 y = 4x - x2 2 1 D
0 1 2 x 4 x
Daerah D dibatasi parabol y = 4x - x2, garis x = 1, dan sumbu x.
Luas daerah D adalah
( )
42 21 1|| || 0
41 64 12 33 3 31
lim (4 ) (4 )
2 32 2 9.
niP
L x x x x x dx
x x
=Æ= - D = -
= - = - - + =
 Ú
Contoh Hitunglah luas daerah D yang dibatasi kurva y = cos x dan y = sin x dengan x terletak di antara dua titik potong yang berturutan. y Dx
1 y = sin x y = cos x p 2p 0 1
4p 12p 5
4p 32p x
-1 Dx
Fungsi y = cos x dan y = sin x mempu-nyai periode 2p. Pada selang [0,2p] kedua kurva ini berpotongan di titik
( )1 14 2
, 2p dan ( )1 14 2
1 , 2p - .
Pada selang 1 54 4
,[ ]p p kurva y = sin x terletak di atas kurva y = cos x.
Luas daerah D adalah
( ) ( )
( )
5 / 4
1 / 4|| || 0
5 / 4 1 1 1 1/ 4 2 2 2 2
lim sin cos sin cos
cos sin 2 2 2 2 2 2.
niP
L x x x x x dx
x x
p
p
pp
=Æ= - D = -
= - - = + + + =
 Ú
Contoh Hitunglah luas daerah D yang dibatasi kurva y = ,x sumbu x, dan garis y = x - 2.
y
2 y x= (4,2)
y Dy D y = x + 2
0 1 2 3 4 x
Integralkan dalam peubah y: y = ,x x ≥ 0 ¤ x = y2 dan y = x - 2 ¤ x = y + 2. Luas daerah D adalah
( )
22 21 0|| || 0
21 1 2 12 32 3 3 30
lim ( 2 ) ( 2 )
2 2 4 2 3 .
niP
L y y y y y dy
y y y
=Æ= + - D = + -
= + - = + - =
 Ú
D
D
x
D
APL INT
003
y Dx Dx | f | 0 a x c x b x f Dx
Daerah D dibatasi kurva y = f (x), garis x = a, garis x = b, dan sumbu x. Luas daerah D adalah
1|| || 0lim | ( )| | ( )|
bni aP
L f x x f x dx=Æ
= D =Â Ú
Pada gambar di samping,
( )( ) ( )c b
a cL f x dx f x dx= - +Ú Ú
y Dx Dx g f f g 0 a x c x b x
Daerah D dibatasi kurva y = f (x), kurva y = g(x), garis x = a, dan garis x = b. Luas daerah D adalah
1|| || 0lim | ( ) ( )| | ( ) ( )|
bni aP
L f x g x x f x g x dx=Æ
= - D = -Â Ú .
Pada gambar di samping,
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )c b
a cL f x g x dx g x f x dx= - + -Ú Ú .
Contoh Hitunglah luas daerah D yang dibatasi kurva y = cos 2x, 0 £ x £ 34p
dan sumbu x.
y Dx 1 y = -cos 2x 0 x
14p 3
4p x
y = cos 2x -1 Dx
Kurva y = cos 2x memotong sumbu x di titik 0, 1
4,p dan
34
.p
Pada selang 14
[0, ]p kurva terletak di atas
sumbu x dan pada selang 1 34 4
,[ ]p p kurva ter-letak di bawah sumbu x. Luas daerah D adalah
( ) ( ) ( )
3 /4
1 0|| || 0
/4 3 /4
0 /4
/4 3 /41 1 1 1 1 12 2 2 2 2 20 /4
lim |cos2 | |cos2 |
cos2 ( cos2 )
sin 2 sin 2 1 .
niP
L x x x dx
x dx x dx
x x
p
p p
pp p
p
=Æ= D =
= + -
= - = - - - =
 Ú
Ú Ú
D
D
D
x 12p
D
D
D
f
APL INT
004
Contoh Hitunglah luas daerah D yang dibatasi parabol y = x2, -2 £ x £ 2, garis y = x + 2, -2 £ x £ 2, dan sumbu x. y
Dx Dx 4 (2,4) y = x2
y = x + 2 y = x2 1 -2 x -1 0 x 2 x
Parabol y = x2 dan garis y = x + 2 pada selang [-2,2] berpotongan di titik (-1,1) dan (2,4).
Pada selang [-2,-1] parabol terletak di atas garis dan pada selang [-1,2] parabol terletak di bawah garis. Luas daerah D adalah
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
22 21 2|| || 0
1 22 22 1
1 21 1 1 13 2 2 33 2 2 32 1
1 1 8 8 1 13 2 3 3 2 3
5 1 16 2 3
lim | ( 2)| | ( 2)|
( 2) ( 2)
2 2
2 4 2 4 2
1 4 6 .
niP
L x x x x x dx
x x dx x x dx
x x x x x x
= -Æ
-
- --
- -
= - + D = - +
= - + + + -
= - - + + -
= - - + + - + + - - + -
= + =
 Ú
Ú Ú
y 9
(-1,8) y = 9 - x2 (-2,5) (2,5) -3 -2 -1 0 1 2 3 x
Ilustrasi Perhatikan daerah D1, D2, D3, dan D4 beserta parabol dan garis pembatasnya. Jika luas daerah Di adalah Li, i = 1, 2, 3, 4, maka
L1 = ( )2 21
(9 ) (7 )x x dx-
- - -Ú
L2 = ( ) ( )1 222 1
(9 ) 5 (7 ) 5x dx x dx- -
- - + - -Ú Ú
L3 = ( ) ( )2 223 2
(9 ) (4 ) 5 (4 )x x dx x dx-
- -- - + + - +Ú Ú
L4 = ( )2 3 23 2
4 9( )x dx x dx-
+ + -Ú Ú
D1
D2
D4
y = 7 - x
D3
y = 5
7
5
3
y = x + 3
D D (-1,1)
APL INT
005
y Dx f 0 a x b x D = {(x,y) | a £ x £ b, 0 £ y £ f (x)} diputar terhadap sumbu x.
y cakram lingkaran f tinggi Dx, jari-jari f (x) Dx Dx 0 x sb putar Dx volum cakram 2( )iV f x xpD = D
Jika f kontinu pada [a,b] dan daerah D = {(x,y) | a £ x £ b, 0 £ y £ f (x)} dipu-tar terhadap sumbu x, maka volum benda putar yang terjadi adalah
2 21|| || 0
lim ( ) ( )bn
i aPV f x x f x dxp p
=Æ= D =Â Ú .
Contoh Jika daerah { }( , ) : 0 ,0 sinD x y x y xp= £ £ £ £ diputar terhadap sumbu x, hitunglah volum benda putar yang terjadi.
y Dx 1 y = sin x
0 x p x y y = sin x 0 x p x
Volum benda putar yang terjadi bilamana da-erah D diputar terhadap sumbu x adalah
( )( )
21|| || 0
20
1 12 20
1 12 4 01 1 22 2
lim sin
sin
cos2
sin 2
.
niP
V x x
x dx
x dx
x x
p
p
p
p
p
p
p
p p p
=Æ= D
=
= -
= -
= ◊ =
Â
ÚÚ
D f (x) f (x)
a x b
D
APL INT
006
Contoh Buktikan volum bola berjari-jari a > 0 adalah 4 33
.V rp=
y Dx
2 2y a x= -
-a 0 x a x y a 2 2y a x= - -a 0 x a x -a
Suatu cara untuk memperoleh bola berjari-jari a adalah daerah
2 2{( , )| ,0 }D x y a x a y a x= - £ £ £ £ - diputar terhadap sumbu x. Volum benda putarnya adalah volum bola yang dicari, yaitu
( )( ) ( )
( )
22 2
1|| || 0
22 2 2 2
0
1 2 42 3 3 33 3 30
lim
2
2 2 .
niP
a a
a
a
V a x x
a x dx a x dx
a x x a a
p
p p
p p p
=Æ
-
= - D
= - = -
= - = ◊ =
Â
Ú Ú
Contoh Jika daerah D = {(x,y) | 0 £ x £ 2, x2 £ y £ 4} diputar terhadap sum-
bu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi. y 4 (2,4) y Dy y = x2 0 2 x y (-2,4) (2,4)
y = x2 -2 0 2 x
Notasi D = {(x,y) | 0 £ x £ 2, x2 £ y £ 4} berarti bah-
wa proyeksi D pada sumbu x adalah selang [0,2], batas bawahnya y = x2 dan batas atasnya y = 4. Ubahlah daerah D dengan membuat proyeksinya terhadap sumbu y, diperoleh
D = {(x,y) | 0 £ y £ 4, 0 £ x £ y }. Proyeksi D pada sumbu y adalah selang [0,2], ba-tas kirinya x = 0 dan batas kanannya x = y .
Volum benda putar yang terjadi bilamana daerah D diputar terhadap sumbu y adalah
( )( )
2 4
1 0|| || 0
41 22 0
lim
(8 0) 8 .
niP
V y y y dy
y
p p
p p p
=Æ= D =
= = - =
 Ú
0
D
a
4
D
y = 4
APL INT
007
y Dx f
g 0 a x b x D = {(x,y) | a £ x £ b, g(x) £ y £ f (x)} diputar terhadap sumbu x.
y cincin lingkaran, tinggi Dx, f jari-jari f (x) dan g(x). Dx Dx g 0 x x sb putar Dx volum cakram 2 2( ) ( )( )iV f x g x xpD = - D
Jika f, g kontinu pada [a,b], dan daerah D = {(x,y) | a £ x £ b, g(x) £ y £ f (x)} diputar terhadap sumbu x, maka volum benda putar yang terjadi adalah
2 2 2 21|| || 0
lim ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )bn
i aPV f x g x x f x g x dxp p
=Æ= - D = -Â Ú .
Contoh Jika daerah D = {(x,y) | 1 £ x £ 4, x £ y £2 x } diputar terhadap sum-bu x, hitunglah volum benda putar yang terjadi. y 4 (4,4) 2y x= y = x 0 1 x 4 x y 4 (4,4) 0 1 x (-4,4)
Daerah D dibatasi oleh kurva y = 2 x , garis x = 1, dan garis y = x. Kurva y = 2 x dan garis y = x berpotongan di titik (0,0) dan (4,4). Volum benda putar yang terjadi bilamana daerah D di-putar terhadap sumbu y adalah
( ) ( )
2 21|| || 0
4 42 2 21 1
41 64 12 33 3 31
lim
4
2 32 2 9 .
(2 )
(2 ) ( )
( )
( )
niP
V x x x
x x dx x x dx
x x
p
p p
p p p
=Æ= - D
= - = -
= - = - - + =
Â
Ú Ú
D
( ) ( )f x g x-
a b ( )g x
( )f x
D
Dx
4
APL INT
008
Contoh Jika daerah D yang berbentuk cakram lingkaran 2 2( 2) 1x y- + £ diputar terhadap sumbu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi. y 1 y Dy 0 1 3 x
22 1x y= - - 22 1x y= + -
y -3 3 x Bentuk Donat
Cakram lingkaran 2 2( 2) 1x y- + £ berpusat di (2,0), berjari-jari 1 satuan, dan batasnya adalah lingkaran
2 2( 2) 1x y- + = . Batas sebelah kirinya ada-
lah fungsi 22 1x y= - - dan sebelah kanannya adalah
22 1x y= + - . Volum benda putar yang terjadi adalah
( ) ( )( ) ( )
2 22 2
1|| || 0
1 2 2 12 2 21
11 12 2
40
lim 2 1 2 1
2 1 2 1 8 1
16 1 16 4 .
niP
V y y y
y y dy y dy
y dy
p
p p
p p p p
=Æ
--
Ê ˆ= + - - - - DÁ ˜Ë ¯
Ê ˆ= + - - - - = -Á ˜Ë ¯
= - = ◊ =
Â
Ú Ú
Ú
Untuk menghitung 1 20
1 y dy-Ú , buatlah penggantian 12
sin ,0y t t p= £ £ .
Akibatnya cosdy t dt= dan 2 2 21 1 sin cos cosy t t t- = - = = . Batas in-
tegralnya berubah, 12
1y t p= ¤ = dan 0 0y t= ¤ = . Dari sini diperoleh
( )( )
1 / 2 / 2 1 122 20 0 0
/ 21 1 1 1 1 12 4 2 2 4 40
1 cos cos cos2
sin 2 0 .
y dy t t dt t dt
t t
p p
pp p
- = ◊ = -
= - = ◊ - ◊ =
Ú Ú Ú
-1 0 1 2 D
APL INT
009
y f Dx 0 a x b x sumbu putar
y
-b b x
sumbu putar
y kulit tabung -x x x
Metode kulit tabung: DV = 2p x f (x) Dx
Jika f kontinu pada [a,b] dan daerah D = {(x,y) | a £ x £ b, 0 £ y £ f (x)} dipu-tar terhadap sumbu y, maka volum benda putar yang terjadi adalah
1|| || 0lim 2 ( ) 2 ( )
bni aP
V x f x x x f x dxp p=Æ
= D =Â Ú .
Catatan Metode kulit tabung dapat digunakan untuk daerah D yang diba-tasi kurva f dan g yang kontinu pada [a,b]. Jika f, g kontinu pada [a,b], dan daerah D = {(x,y) | a £ x £ b, g(x) £ y £ f (x)} diputar terhadap sumbu y, maka volum benda putar yang terjadi adalah
( ) ( )1|| || 0lim 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
bni aP
V x f x g x x x f x g x dxp p=Æ
= - D = -Â Ú
Contoh Jika daerah D = {(x,y) | 1 £ x £ 4, x £ y £2 x } diputar terhadap sum-bu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi. y 4 (4,4) 2y x= y = x 0 1 x 4 x
Volum benda putar yang terjadi adalah
( ) ( )( ) ( )
4 21 1|| || 0
44 1 3 1 4 1 32 35 3 5 3 5 3 51
lim 2 2 2 2
2 2 25 21 7 .
niP
V x x x x x x x dx
x x x
p p
p p p
=Æ= - D = -
= - = - - + =
 Ú
D
Dx
APL INT
010
Contoh Jika daerah D = {(x,y) | 0 £ x £ 2, x2 £ y £ 4} diputar terhadap sumbu
y, hitunglah volum benda putar yang terjadi dengan metode kulit tabung. y 4 (2,4)
y = x2 0 x 2 x
y (-2,4) (2,4)
y = x2 -2 0 2 x
Volum benda putar yang terjadi ada-lah
( )
21|| || 0
22 13 2 440 0
lim 2 4
2 4 2 2
2 (8 4) 8 .
( )
( )
niP
V x x x
x x dx x x
p
p p
p p
=Æ= - D
= - = -
= - =
Â
Ú
Contoh Jika daerah D yang berbentuk cakram lingkaran 2 2( 2) 1x y- + £ diputar terhadap sumbu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi. y Dx 1
21 ( 2)y x= - -
0 1 3 x 21 ( 2)y x=- - -
y -3 3 x
Cakram lingkaran 2 2( 2) 1x y- + £ berpusat di (2,0), berjari-jari 1 satuan, dan batasnya adalah lingkaran
2 2( 2) 1x y- + = . Batas sebelah atasnya ada-
lah fungsi 21 ( 2)y x= - - dan sebelah bawahnya adalah 21 ( 2) .y x= - - -
Volum benda putar yang terjadi dengan metode kulit tabung adalah
( )( )
32 2 21 1|| || 0
1 21
1 1 1 12 2 2 241 1 0
lim 2 1 ( 2) 1 ( 2) 4 1 ( 2)
4 2 1 ; 2, , 2, 1 3 1 1
4 1 8 1 0 16 1 16 4 .
niP
V x x x x x x dx
u u du u x du dx x u x u
u u du u du u du
p p
p
p p p p p p
=Æ
-
- -
= - - + - - D = - -
= + - = - = = + £ £ ¤- £ £
= - + - = + - = ◊ =
 Ú
ÚÚ Ú Ú
berdasarkan sifat integral tentu fungsi ganjil dan hasil sebelumnya.
4
D
y = 4
-1 0 1 2
D
x
APL INT
011
Metode Cakram y irisan sejajar ^ sb-x f -f bidang yang ^ sb-x
Metode Cincin y f irisan sejajar ^ sb-x g -g
-f bidang yang ^ sb-x
Pada metode cakram, irisan sejajar benda putar dengan bidang yang te-gak lurus sumbu x selalu berbentuk cakram lingkaran. Untuk x Œ [a,b] luasnya merupakan fungsi kontinu dari x, yaitu 2( ) ( )L L x f xpD = = . Pada metode cincin, irisan sejajar benda putar dengan bidang yang tegak lurus sumbu x selalu berbentuk cincin lingkaran. Untuk x Œ [a,b] luasnya merupakan fungsi kontinu dari x, yaitu 2 2( ) ( ) ( )( )L L x f x g xpD = = - . Volum benda putar untuk kedua metode ini adalah
1|| || 0lim ( ) ( )
bni aP
V L x x L x dx=Æ
= D =Â Ú ,
dengan penampangnya 2( ) ( )L x f xp= atau 2 2( ) ( ) ( )( )L x f x g xp= - . Gagasan metode irisan sejajar adalah perumuman kedua metode ini un-tuk benda padat di antara dua bidang yang tegak lurus sumbu x.
Luas irisan sejajar adalah L(x) bidang ^ sb-x sb-x a
x = a x = b
Metode irisan sejajar Suatu benda padat terle-tak antara dua bidang yang tegak lurus sumbu-x dari a ke b. Jika luas irisan sejajar benda dengan bidang tegak lurus sumbu x adalah L(x) dan L kontinu pada [a,b], maka volume benda padat tersebut adalah
1|| || 0lim ( ) ( )
bni aP
V L x x L x dx=Æ
= D =Â Ú .
0 a x b x 0 a x b x
b x
L(x)
APL INT
012
Contoh Alas suatu benda padat adalah cakram lingkaran berjari-jari a > 0. Jika irisan sejajar antara bidang yang tegak lurus garis tengah tetap selalu berbentuk persegi, hitunglah volum benda padat tersebut. benda padat C y x = -a x = 0 x = a x y a B(x,y) 2 2y a x= -
-a a x A(x,-y) -a
Persamaan lingkarannya adalah 2 2 2.x y a+ = Irisan benda padat dengan bidang yang tegak lurus sumbu x pada selang [-a,a] berbentuk persegi ABCD. Jika A(x,-y) dan B(x,y), maka
sisi persegi adalah 2 22 2 ,AB y a x= = - se-hingga luas ABCD adalah L(x) =
2 24( )a x- . Karena L kontinu pada [-a,a], maka volum benda padatnya adalah
( )( )
2 2 2 21|| || 0
12 2 2 330
1 13 3 33 3
lim 4( ) 4( )
8 ( ) 8
8 5 .
ani aP
aa
a
V a x x a x dx
a x dx a x x
a a a
= -Æ
-
= - D = -
= - = -
= - =
 Ú
Ú
Contoh Alas suatu benda padat adalah {( , ) |0 1,0 2 1 }D x y y x y= £ £ £ £ - . Jika irisan sejajar dengan bidang yang tegak lurus sumbu y selalu berbentuk cakram setengah lingkaran, tentukan volum benda padat tersebut.
y
1 2 1x y= - y diameter lingkaran 0 2 x y benda padat
1 0 cakram 2 x setengah lingkaran
Irisan sejajar yang berbentuk cakram setengah lingkaran untuk y di antara 0 dan 1 berdiameter 2 1 y- , sehingga jari-jarinya 1 y- . Luas ca-
kramnya adalah ( )21 12 2
( ) 1 (1 )L y y yp p= - = - . Karena L kontinu pada [0,1], maka volum ben-da padatnya adalah
( ) ( )
11 11 2 2 0|| || 0
11 1 1 1 122 2 2 2 40
lim (1 ) (1 )
1 .
niP
V y y y dy
y y
p p
p p p
=Æ= - D = -
= - = - =
 Ú
A(x,-y)
B(x,y)
D
0 x
APL INT
013
Pusat Massa Batang
Dxi m2 m3 O m1 mi mn O L x2 x3 x1 xi xn x0 xi-1 ci xi xn x
Sistem partikel pada suatu garis terdiri dari n partikel dengan massa m1, m2, º, mn yang terletak di titik x1, x2, º , xn. Massa, momen terhadap ti-tik asal O, dan pusat massanya ditentukan sebagai berikut.
Massa adalah M = m1 + m2 + º + mn Momen terhadap O adalah M0 = m1x1 + m2x2 + º + mnxn
Titik pusat massa adalah 0MMx = .
Sebuah batang horisontal tak homogen panjangnya L terletak di antara x = 0 dan x = L. Jika rapat massa di setiap titik pada batang adalah r (x), dengan r kontinu pada [0,L], akan ditentukan pusat massa batang.
Buatlah partisi untuk [0,L] dengan [xi-1,xi] selang bagian ke-i dan pan-jangnya Dxi. Jika ci adalah titik tengah [xi-1,xi] dan rapat massanya pada selang bagian ini konstan sebesar r (ci), maka massanya Dmi = r (ci) Dxi dan pusat massanya di ci. Batang ini dipandang sebagai sistem n partikel dengan massa Dm1, Dm2, º , Dmn di c1, c2, º , cn yang massa, momen ter-hadap titik O, dan pusat massanya ditentukan seperti di atas. Untuk batang tak homogen yang panjangnya L dengan rapat massa r (x), r kontinu pada [0,L], pusat massanya ditentukan sebagai berikut.
Massa batang adalah 1 0|| || 0
lim ( ) ( )Ln
i iiPM c x x dxr r
=Æ= D =Â Ú .
Momen terhadap O adalah 0 1 0|| || 0lim ( ) ( )
Lni i iiP
M c c x x x dxr r=Æ
= D =Â Ú .
Titik pusat massa batang adalah 0MMx = .
APL INT
014
Contoh Tentukan pusat massa batang tak homogen yang panjangnya 4 sa- tuan dan rapat massa di setiap titik x yang jaraknya x satuan dari ujung kiri batang adalah r (x) = 6x + 4.
Massa batang adalah
( ) ( ) ( )44 21 0 0|| || 0
lim 6 4 6 4 3 4 48 16 64ni iiP
M c x x dx x x=Æ
= + D = + = + = + =Â Ú .
Momen terhadap O adalah
( ) ( ) ( )( )
4 4 20 1 0 0|| || 0
43 20
lim 6 4 6 4 6 4
2 2 128 32 160.
ni i iiP
M c c x x x dx x x dx
x x
=Æ= + D = + = +
= + = + =
Â Ú Ú
Titik pusat massa batang adalah 0 12
16064 2M
Mx = = = .
Jadi titik pusat massa batang terletak 12
2 satuan dari ujung kiri batang.
Pusat Massa Keping Datar
y m2 (x2,y2) y1 m1 m3 (x1,y1) (x3,y3) 0 x1 x m4 mn (x4,y4) mi (xn,yn) (xi,yi)
Sistem partikel pada suatu bidang terdiri dari n partikel dengan massa m1, m2, º , mn yang terletak di titik (x1,y1), (x2,y2) , º , (xn,yn). Massa, momen terhadap titik asal O, dan pu-sat massanya ditentukan sebagai berikut.
Massa adalah M = m1 + m2 + º + mn Momen terhadap sumbu x adalah
Mx = m1 y1 + m2 y2 + º + mn yn
Momen terhadap sumbu y adalah My = m1 x1 + m2 x2 + º + mn xn.
Pusat massa sistem adalah ( ),x y , dengan yMMx = dan xM
My = .
Gagasan ini akan digunakan untuk menentukan pusat massa suatu keping datar homogen dengan rapat massa konstan r (x) = k yang berbentuk da-erah
D = {(x,y) | a £ x £ b, g(x) £ y £ f (x), f dan g kontinu pada [a,b]}.
APL INT
015
y f g 0 a b x y f g
0 a xi-1 xi b x ci
Keping datar homogen D berbentuk daerah D = {(x,y) | a £ x £ b, g(x) £ y £ f (x)}
dengan f, g kontinu pada [a,b], dan rapat massa di setiap (x,y) Œ D adalah r (x) = k. Akan ditentukan pusat massa keping D. Buatlah partisi untuk [a,b] dengan [xi-1,xi] selang bagian ke-i, yang menghasilkan n persegi panjang dengan alas Dxi = xi - xi-1 dan tinggi f (ci) - g(ci), ci titik tengah selang [xi-1,xi]. Hampiran massa keping adalah massa persegi pan-jang ke-i, yaitu Dmi = k ( f (ci) - g(ci)), i = 1, 2, º, n.
Karena rapat massanya konstan dan ci titik tengah [xi-1,xi], maka pusat massa persegi panjang ke-i terletak di titik ( )( )1
2, ( ) ( )i i i iP c f c g c= + , i =
1, 2, º, n. Jadi diperoleh sistem partikel pada bidang dengan n partikel yang massanya Dm1, Dm2, º , Dmn dan terletak di titik P1, P2, º , Pn. Untuk keping datar homogen D = {(x,y) | a £ x £ b, g(x) £ y £ f (x)} dengan rapat massa r (x) = k pusat massanya ditentukan sebagai berikut.
Massa keping: ( ) ( )1|| || 0lim ( ) ( ) ( ) ( )
bni i ii aP
M k f c g c x k f x g x dx=Æ
= - D = -Â Ú Momen terhadap sumbu x:
( )( ) ( )( )( ) ( )
11 2|| || 0
1 12 2 2 212 2|| || 0
lim ( ) ( ) ( ) ( )
lim ( ) ( ) ( ) ( ) .
nx i i i i iiP
bni i ii aP
M k f c g c x f c g c
k f c g c x k f x g x dx
=Æ
=Æ
= - D -
= - D = -
Â
 Ú
Momen terhadap sumbu y:
( )( )( ) ( )1|| || 0lim ( ) ( ) ( ) ( )
bny i i i ii aP
M k f c g c x c k x f x g x dx=Æ
= - D = -Â Ú .
Pusat massa keping D adalah ( ),x y , dengan yMMx = dan xM
My = .
Untuk k = 1, pusat massa ∫ pusat daerah (centroid) D, dengan M = luas D.
D
iP
APL INT
016
Contoh Tentukan pusat daerah D = {(x,y) | 0 £ x £ 2, x2 £ y £ 4}.
y 4 y = x2 3 2 1 0 1 ci 2 x
Luas daerah D adalah
( ) ( )22 1 2 12 33 3 30 0
4 4 8 2 5M x dx x x= - = - = - =Ú .
Momen daerah D terhadap sumbu x adalah
( ) ( )221 1 1 1 44 52 2 5 5 50 0
16 16 16 3 12xM x dx x x= - = - = - =Ú .
Momen daerah D terhadap sumbu x adalah
( ) ( ) ( )22 2 12 3 2 440 0 0
4 4 2 8 4 4yM x x dx x x dx x x= - = - = - = - =Ú Ú .
Pusat daerah D adalah ( ),x y , 13
34
45
yMMx = = = dan
45
13
25
125
2xMMy = = = .
Jadi pusat daerah D adalah ( )3 24 5
,2 .
Teorema Pappus (Kaitan volum benda putar dan pusat daerah)
sumbu putar garis g
Jika daerah D yang terletak pada salah satu sisi dari garis g diputar terhadap garis g, maka volum benda putarnya adalah luas D dikalikan jarak tempuh pu-sat daerahnya.
2V dp= , d = jarak (pm,g) dan = luas D. y 4 y = x2 3 2 1 0 1 ci 2 x
Ilustrasi (Solusi soal sebelumnya dengan teorema Pappus) Daerah D di atas luasnya 1
35M = dan pusatnya ( )3 2
4 5,2 .
Jika D diputar terhadap sumbu y, maka jarak tempuh pu-satnya adalah p =
3 34 4
2 .p p◊ = Jadi volum benda putarnya
adalah V = Mp = 1 33 2
5 8p p◊ = . y
Daerah D = {(x,y) | 2 2( 2) 1x y- + £ } diputar terhadap sumbu y, luasnya M = p, dan pusatnya (2,0). Jarak tempuh pusatnya adalah p = 2p ◊ 2 = 4p. Jadi volum benda putarnya adalah V = Mp = p ◊ 4p = 4p
2.
D
y = 4
p.m
( )1 22 4 ic+
d D
pm
g
D
y = 4
p.m
( )1 22 4 ic+
D -2 -1 0 1 2 pm 3 x
APL INT
017
Suatu objek bergerak sejauh D sepanjang sebuah garis dipengaruhi gaya tetap F yang searah geraknya. Kerja dari F untuk memindahkan objek itu sejauh D adalah gaya dikalikan perpindahannya, yaitu W = F ◊ D. Suatu objek bergerak sepanjang sumbu x dari a ke b dipengaruhi gaya ti-dak tetap sebesar F(x) di titik x, F kontinu pada [a,b]. Akan ditentukan kerja dari F untuk memindahkan objek itu dari a ke b. Buatlah partisi untuk [a,b], maka dengan asumsi sepanjang [xi-1,xi] be-kerja gaya tetap sebesar F(ci), besarnya kerja untuk memindahkan objek dari x ke x + Dxi adalah DWi = F(ci) Dxi. Dengan menggunakan hampiran dan limit jumlah, besarnya kerja dari F untuk memindahkan objek itu dari a ke b adalah
1|| || 0lim ( ) ( )
bni ii aP
W F c x F x dx=Æ
= D =Â Ú .
Contoh Panjang asal sebuah pegas adalah 40 cm dan untuk meregangnya sehingga menjadi 50 cm diperlukan gaya sebesar 2 kg. Tentukan kerja un-tuk meregang pegas itu dari 40 cm menjadi 60 cm. panjang pegas asal panjang setelah diregang x 0 1 2 3 4 x (dm) 0 1 x 2 3 4 x (dm)
Tempatkan pegas secara horisontal dengan titik ujung pegas di 0. Berda- sarkan hukum Hooke, besarnya gaya untuk meregang pegas sebanding dengan regangannya. Jika gaya untuk meregang pegas sejauh x m adalah F(x) kg, maka F(x) =
kx. Karena untuk meregang pegas 0,1 m diperlukan gaya sebesar 2 kg, maka F(0,1) = 0,1k = 2, sehingga k = 20. Akibatnya F(x) = 20x kg. Kerja untuk meregang pegas sejauh 0,2 m (dari 40 cm menjadi 60 cm) adalah
( )0,20,2 21 0 0|| || 0
lim 20 20 10 0,4ni iiP
W c x xdx x=Æ
= D = = =Â Ú kgm.
APL INT
018
y
h b h-dj yj yj-1 a 0 x
Sebuah tangki tingginya h meter berisi zat cair yang berat jenisnya tetap sebesar w kg/m3 sampai pada ketinggian b m dari alasnya. Akan ditentukan kerja untuk memompa zat cair dari y = a sampai y = b. Untuk mengangkat suatu benda harus melawan ga-ya gravitasi, sehingga kerja yang diperlukan adalah hasilkali berat benda dengan jarak terangkatnya.
Buatlah partisi untuk [a,b] dan asumsikan pada ketinggian dj Œ [yj-1,yj] berat zat cairnya wA(dj) Dyj dengan A(dj) luas bidang irisan sejajarnya, A kontinu pada [a,b]. Kerja untuk memompa zat cair pada selang [yj-1,yj] sejauh h - dj adalah DWj = (h - dj) wA(dj) Dyj = w (h - dj) A(dj) Dyj. Kerja untuk memompa zat cair keluar tangki dari a sampai b adalah
1|| || 0lim ( ) ( ) ( ) ( )
bnj j ji aP
W w h d A d y w h y A y dy=Æ
= - D = -Â Ú
Contoh Sebuah tangki setengah bola berjari-jari 10 m berisi zat cair yang beratnya w kg/m3 sampai pada ketinggian 8 m. Tentukan kerja untuk me-mompa zat cair keluar tangki sehingga ketinggiannya menjadi 6 meter.
y
10 10 8 0 x y 10 8 10-dj 0 x
Pada ketinggian dj luas bidang irisan sejajar-nya adalah cakram lingkaran berjari-jari r > 0,
dengan 2 2100 (10 ) 20j j jr d d d= - - = - .
Berat zat cair pada [yj-1,yj] adalah B = wp r2Dyj =
2(20 )j jw d dp - Dyj, dengan jarak terangkat (10 - dj). Kerja untuk mengangkatnya adalah
DWj = ( )2(20 ) (10 )j j j jw d d y dp - D -
Jadi kerja untuk memompa zat cair keluar dari tangki sehingga ketinggiannya 6 meter adalah
( )8 82 2 36 6
812 3 44 6
(20 )(10 ) (200 30 )
100 10 (2304 1764) 540 kgm.
W w y y y dy w y y y dy
w y y y w w
p p
p p p
= - - = - +
= - + = - =
Ú Ú
dj
6
6 10 dj r