pembuktian rumus untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva

MATERI ALJABAR MATRIKS DAN ALJABAR LINEAR

Diajukan untuk memenuhi tugas terstruktur

Mata Kuliah: Aljabar Linear

Dosen Pengampu : Reza Oktiana Akbar, M.Pd.

Disusun oleh:

Edah Raudatul Jannah

Een Neli

TayudiSEMESTER / JURUSAN : V / TADRIS MATEMATIKA-C

KEMENTERIAN AGAMA REPUBLIK INDONESIA

INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) SYEKH NURJATI CIREBON

FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN

2015

ALJABAR MATRIKS

Matriks atas Bilangan Real

Definisi : Matriks adalah suatu susunan bilangan real berbentuk persegi panjang yang

terdiri dari baris dan kolom serta dibatasi oleh dua kurung siku [ ].

Notasi dari matriks adalah sekumpulan huruf kapital A...Z atau bisa ditulis dalam

bentuk A = atau B = … dst. Dengan i disebut sebagai penomeran

unsur/elemen matriks pada baris ke-i dan j sebagai penomeran unsur/elemen matriks

pada baris ke-j, a dan b disebut sebagai unsur/elemen matriks.

Contoh: A =

Bentuk Umum dari Matriks

Matriks dalam bentuk umum dinyatakan dengan jumlah baris sebanyak m dan kolom

sebanyak n disebut sebagai ordo dari matriks yang dinyatakan sebagai m x n.

dengan i = 1, 2, 3, …, m dan j = 1, 2, 3,..., n

Jenis-Jenis Matriks

1. Matriks persegi

Contoh: A = ( dengan i = j)

1

A adalah matriks berordo 3x3 atau ditulis (banyaknya baris adalah 3 dan

banyaknya kolom adalah 3).

Definisi: Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom sama.

disebut sebagai matriks persegi jika m = n

dengan m = n atau I = 1, 2, 3, …, n dan j = 1, 2, 3, …, m

Bentuk umum: A =

2. Matriks Segitiga Atas

Contoh: A =

Definisi: Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang mempunyai elemen-elemen

di bawah diagonal utamanya nol.

An = untuk setiap ( ) dengan i > j

Bentuk umum: An =

3. Matriks Segitiga Bawah

Contoh: A =

2

Definisi: Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang mempunyai elemen-

elemen di atas diagonal utamanya nol.

An = untuk setiap ( ) dengan i < j

Bentuk umum: An =

4. Matriks Diagonal

Contoh: A =

Definisi: Matriks diagonal adalah matriks persegi yang mempunyai elemen-elemen di

atas dan di bawah diagonal utamanya nol.

An = untuk i j ( ) dan i = j

Bentuk umum: An =

5. Matriks Skalar

Contoh: A =

Definisi: Matriks skalar adalah matriks persegi yang diagonal utamanya memiliki nilai

yang sama (selain 0 dan 1) dan mempunyai elemen-elemen di luar diagonal utamanya

nol.

An = untuk ( ) dengan i j, ( ) , c dan 1

3

Bentuk umum: Cn =

6. Matriks Identitas

Contoh: A =

Definisi: Matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen pada diagonal utamanya

memiliki bernilai 1 dan mempunyai elemen-elemen di luar diagonal utamanya nol.

An = untuk i j ( ) ( )

Bentuk umum: An =

7. Matriks Nol

Contoh: A =

Definisi: Matriks nol adalah matriks persegi yang semua elemennya nol.

An = untuk ( )

Bentuk umum: An =

8. Matriks Invers

4

A-1 = . Adj (A)

9. Matriks Symmetri

Contoh: A =

Definisi: Matriks symmetri adalah matriks persegi yang setiap elemennya bernilai sama

terhadap diagonal utamanya.

A = AT

An = untuk ( ) dengan ij

10. Matriks Skew-Symmetri

Contoh: A =

Definisi: Matriks Skew-Symmetri adalah matriks persegi yang matriksnya nilainya

sama dengan negatif matriks transpose dengan diagonal utamanya nol.

AT = A A = -AT

Kesamaan Dua Matriks

Definisi : dua buah matriks A dan B dikatakan sama apabila kedua ordo dari matriks tersebut

sama dan elemen-elemen yang seletak juga sama.

5

A = B / [ ] = [ ] jika

Contoh:

A = ; B =

A = B jika

Penjumlahan Dua Buah Matriks

Definisi : Penjumlahan dua buah matriks A dan B (dengan syarat kedua ordo matriks sama)

adalah penjumlahan elemen-elemen yang seletak dari keduanya.

A + B = [ ] + [ ] = [ + ]

Perkalian Matriks dengan Skalar Anggota Real

Definisi : perkalian suatu sembarang matriks A dengan skalar k adalah mengalikan setiap

elemen dari A.

k.A = k. [ ] = [k. ]

contoh penjumlahan dua buah matriks

mis: A = ; B =

6

A + B = + =

=

Contoh perkalian matriks dengan skalar

Mis : A = ; k = -3

k.A = -3

=

=

Perkalian Dua Buah Matriks

Def: Perkalian dua buah matriks Amxn dan Bnxp (syarat: Banyaknya kolom dari A sama

dengan banyaknya baris dari B) menghasilkan Cmxp (banyaknya baris adalah m dan

7

banyaknya kolom adalah p) yaitu dengan menjumlahkan hasil kali setiap elemen baris dari A

dengan setiap elemn kolom dari B

Contoh : A= B =

A x B =

=

=

Sifat –sifat perkalian antar matriks

A. B B . A

Contoh

. .

A . B = B . A

Contoh

. = .

8

=

=

=

(A.B).C = A . (B.C)

=

=

. = .

. = .

=

=

=

Trase dari Suatu Matriks

Def : Trase dari suatu matriks adalah hasil dari penjumlahan seluruh elemen yang seletak pada diagonal utama.

Bentuk umum :

9

Misal terhadap An

A =

Trase (A) =

Terhadap operasi penjumlahan, perkalian dengan skalar dan trase

a. Trase (A + B) = Trase (A) + Trase (B)b. Trase (A)T = Trase (A)c. Trase (k.A) = k . trase (K)d. Trase (Inxn) = n

Akan dibuktikan trase (A + B) = Trase (A) + Trase (B), diperoleh :

Trase (A + B) = trase

Trase =

= ( ) + ( ) + … + ( )

= ( )+( )

= trase trase

= Trase (A) + Trase (B)

Jadi, terbukti bahwa Trase (A + B) = Trase (A) + Trase (B)

10

Trase [ = , untuk i = j

Contoh :

Jika

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

11

h.

i.

j.

k.

l. Trase (A) =

m. Trase (B) =

n. Trase (At) = Trase

Mencari Determinan Dengan Cara Permutasi

|A| = = ad – bc

|A| =

12

Permutasi

Misal terdapat himpunan S, S ≠ yang disebut sebagai permutasi dari S adalah pemetaan bijektif

dari S ke S.

Pemetaan adalah relasi yang menghubungkan setiap anggota didaerah asal tepat satu pada

anggota didaerah lawan.

Contoh :

Jenis-jenis Permutasi :

1. Pemetaan into

13

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

2. Pemetaan onto (surjektif)

3. Pemetaan injektif (satu-satu)

4. Pemetaan bijektif / koresponden satu-satu

Lanjutan permutasi

Contoh :

Misal S adalah himpunan bilangan asli 1 sampai 4.

14

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1234

1234

1234

1234

S = { 1, 2, 3, 4 }, maka dan disebut sebagai permutasi dengan hasil sebagai berikut :

adalah permutasi dari S dengan = { 3, 1, 2, 4 }

adalah permutasi dari S dengan = { 2, 1, 4, 3 }

Definisi : Himpunan pasangan berurutan { J1 , J2 , .... , Jn } dimana berlaku Ji dan Jk adalah

anggota himpunan bilangan asli, dengan i dan k = 1, 2, ... , n, J i harus tidak sama

dengan Jk ( Ji ≠ Jk ) dengan i yang juga tidak sama dengan k ( i ≠ k ), maka himpunan

tersebut sebagai permutasi.

Contoh :

Misal A = { 1, 2, 3 } maka permutasi dari A adalah :

{1,2,3}, {1,3,2}, {2,1,3}, {2,3,1}, {3,1,2}, {3,2,1}

Catatan:

─ Untuk A = {1,2} maka permutasinya = {1,2}, {2,1} ; n=2 → Pr = 2

─ Untuk A = {1,2,3} ; n = 3 → Pr = 6

─ Untuk A = {1,2,3,4}, n = 4 → Pr = 24

n = n → Pr = n

Himpunan bilangan asli 1, 2, .., n akan memiliki permutasi sebanyak n! = n (n-1) (n-2), ... 2.1

Inversi dari Suatu Permutasi

Definisi: Inversi dari suatu permutasi { J1 , J2 , .... , Jn } adalah suatu keadaan dimana Ji> Jk

padahal i < k.

Contoh :

(i). { 2, 1, 3, 4}

15

Tentukan inversi dari pembatasan diatas !

Jawab :

J1 = 2 > J2 = 1 padahal i = 1 < k = 2 (inversi)

J1 = 2 > J3 = 3 (bukan inversi)

Banyaknya inversi dari {2, 1, 3, 4} ada 1 buah

(ii). {2, 4, 1, 3}




(iii). {4, 3, 2, 1}


J1 = 4> J3 = 2 padahal i = 1 < k = 3 (inversi)





(iv). {1, 2, 3, 4}

Inversinya adalah nol (0)

Permutasi Ganjil dan Genap

Definisi : suatu permutasi disebut sebagai permutasi ganjil apabila banyak inversnya adalah

ganjil.Dalam hal lainnya disebut sebagai permutasi genap.

Contoh (i) dan (ii) disebut sebagai permutasinya ganjil karena banyaknya inversinys adalah 1

dan 3.

Contoh (iii) dan (iv) disebut sebagai permutasinya genap karena banyaknya inversinys adalah 6

dan 0.

Catatan :

Banyaknya suatu permutasi dari n bilangan asli adalah n! , ½ n! merupakan permutasi ganjil dan

½ n! lagi merupakan permutasi genap.

Contoh :

16

A = {1, 2, 3}

1 2 – 3 = {1,2,3}, inversi = 0 Per genap.

3 – 2 = {1,3,2}, inversi = 1 Per ganjil

2 1– 3 = {2,1,3}, inversi = 1 Per ganjil.

3 – 1 = {2,3,1}, inversi = 2Per genap

3 1– 2 = {3,1,2}, inversi = 2 Per ganjil.

2– 1 = {3,2,1}, inversi = 3 Per genap

Jadi permutasi dari A = {1,2,3} terdiri dari 3 permutasi genap dan 3 permutasi ganjil.

n! = 3! = 3x2x 1 =6 permutasi

½ n! = ½ x 3! = ½ x 3 x 2 x 1 = 3 permutasi ganjil / 3 permutasi genap.

PENANDAAN (SIGN) DARI PERMUTASI

Suatu penandaan dari permutasi { } ditulis sebagai .

= +1 apabila permutasinya adalah permutasi genap dan = -1

apabila permutasinya adalah permutasi ganjil.

Hasil Kali Bertanda

Misalnya : =

Hasil kali yang dimaksud adalah hasil kali antara n-elemen pada A yang berbeda baris dan kolom (dari setiap baris dan setiap kolom hanya diambil 1 elemen). Contoh dari pernyataan

hasil kali tersebut adalah hasil kali n-elemen diagnal utama, yaitu , , ... . Jelas, hasil kali

n-elemen diagonal utama adalah hasil kali antar elemen yang berbeda baris dan kolom. Selanjutnya hasil kali tersebut dapat kita dapatkan dengan cara menurutkan penomoran baris pada setiap elemen tersebut (bisa sebaliknya dengan mengurutkan penomoran kolom, baru kita

tentukan barisnya). Hal ini dapat ditulis sebagai: , , . . . , . (subscript)

merupakan penomoran kolom dengan nilai yang berbeda-beda.

Penomoran baris

17

Penomoran kolom dinyatakan harus berbeda nilainya maka himpunan ini

disebut sebagai permutasi.

Hasil kali bertanda adalah hasil kali antara n-elemen yang berbeda baris dan kolom

dengan penandaan permutasinya, ditulis: , , . . . , .

Definisi Determinan dengan Cara Permutasi

Determinan adalah jumlah dari seluruh hasil kali bertanda pada n-elemen suatu matriks.

Misalnya det (A) = = . , , . . . , .

Contoh 1:

Misalnya = , tentukan det (A)!

Tentukan dahulu banyaknya permutasi dari 2 elemen!

Pr = = 2 = 2 (ada dua hasil kali bertanda)

. , inv. = 0, Pr. Genap, = + 1

. , inv. = 1, Pr. Ganjil, = - 1

Permutasi dari adalah , .

Det ( ) = . ,

Det ( ) = . + .

Det ( ) = (+1) . + (-1) .

Det ( ) = . - .

Contoh 2:

18

Misalkan = Tentukan Det ( ) dengan cara permutasi!

n = 3 Pr. = 3 = 3 2 1 = 6 permutasi

. . Pr. = , inv. = 0, Pr. Genap (+) 1

. . Pr. = , inv. = 1, Pr. Ganjil (-) a

. . Pr. = , inv. = 1, Pr. Ganjil (-) b

. . Pr. = , inv. = 2, Pr. Genap (+) 2

. . Pr. = , inv. = 2, Pr. Genap (+) 3

. . Pr. = , inv. = 3, Pr. Ganjil (-) c

Det ( ) = . , ,

Det ( ) = . . + . . + . . +

. . + . . + . .

Det ( ) = (+1) . . + (+1) . . + (+1) . . + (-1) . . +

(-1) . . + (-1) . .

Det ( ) = . . + . . + . . - . . - . . -

. .

19

Contoh 3:

Misalnya Tentukan Det ( ) dengan cara permutasi!

n = 4 Permutasi = 4! = 4.3.2.1 = 24 Pemutasi

, Pr = {1,2,3,4}, inversi = 0 , Pr. Genap (+)

, Pr = {1,2,4,3}, inversi = 1 , Pr. Ganjil (-)









20















Det (A4) =

= {1,2,3,4} + {1,3,4,2} + {1,4,2,3}

+ {2,1,4,3} + {2,3,1,4} +

21

{3,1,2,4} + {3,2,4,1} + {3,4,2,1}

+ {3,4,1,2} + {4,1,3,2} + {4,2,1,3}

+ {4,3,2,1} - {1,2,4,3} -

{1,3,2,4} - {1,4,3,2} - {2,1,3,4} -

{2,3,4,1} - {2,4,1,3} - {2,4,3,1}

- {3,1,4,2} - {3,2,1,4} - {4,1,2,3}

- {4,2,3,1} - {4,3,1,2}

Det (A4) = + + + +

+ + + +

+ + + -

- - - -

- - - -

- - -

Determinan dengan Cara Ekspansi Kofaktor

22

Determinan

Kofaktor

Minor

1. Minor

Misalkan terdapat matriks minor dari A pada baris ke-I kolom ke-j ditulis

adalah determinan dari submatriks A berordo yang elemen-elemen dari

submatriks tersebut harus tidak sebaris dengan baris ke-I dan tidak sekolom dengan kolom

ke-j.

2. Kofaktor

Kofaktor pada baris ke-I kolom ke-j dari matriks A ditulis

Determinan dengan cara ekspansi kofaktor:

Ekspansi kofaktor pada baris

23

Disebut mencari dengan cara ekspansi kofaktor pada baris pertama

Jika matriks ekspansi kofaktor pada baris pertama

Ekspansi kofaktor pada baris kedua

Ekspansi kofaktor pada kolom ke-1

Ekspansi kofaktor pada kolom ke-2

Sifat-sifat determinan

1.

2.

3. Jika pada A memuat dua baris yang saling berkelipatan maka

24

4. Jika berasal dari A dengan cara menukar dua buah baris pada A maka

5. Jika berasal dari A dan memuat baris yang diperoleh dengan cara menjumlahkan

kelipatan satu baris dengan baris yang lain pada A maka

6. Jika berasal dari A yaitu salah satu barisnya dikalikan dengan k, dengan k

maka atau

Contoh:

Jawab: Ekspansi kofaktor pada kolom ke-1

25

Mencari determinan dengan cara ekspansi kofaktor dan reduksi baris

Contoh:

Carilah dengan cara campuran!

Jawab:

26

ALJABAR LINIER

Sistem Persamaan Linear (SPL)

Dalam persamaan linear terdapat istilah:

1. Persamaan

2. Variabel berpangkat 0 dan 1

3. Tedapat koefisien tak nol

Contoh :

27

koefisien variabel konstanta

contoh di atas merupakan persamaan linear 1 variabel.

Dan contoh persamaan linear 2 variabel sebagai berikut:

2 variabel

Definisi sistem persamaan linear ialah sekumpulan persamaan linear dalam satu kesatuan.Bentuk umum sistem persamaan linear dengan keterangan m : persamaan dan n : variavel).

=

=

. . .

. . .

. . . =

Solusi dari sistem persamaan linear ialah nilai-nilai pengganti dari variabel .

Misal R adalah nilai pengganti maka untuk i = 1, 2, ... , n.

Contoh:

Misal: t = 0

T = 1

Jenis-jenis sistem persamaan linear berdasarkan solusinyaCarilah himpunan penyelesaian dari ketiga sistem persamaan linear di bawah ini:

1.

28

2.

3.

Penyelesaian:

1. 4

1 solusi tak hingga

0 + 0 = 0

x 0 x 0

y 0 y 0

Dua buah garis yang saling berhimpit, titik potongnya sepanjang garis itu.

29

Hp = { ,

2. 1 tidak mempunyai

2 solusi (inkonsisten)

0 + 0

X 0 x 0

Y 1 0 y 3 0

3. 1

3 solusi tunggal

0 + 0 = 0

30

x 0 x 0 13

y 0 y 0

Sistem Persamaan Linear Homogen

a. Definisi Sitem Persamaan Linear Homogen

“ setiap konstanta dari persamaan linear yang ada didalamnya itu nilainya 0

dengan semua konstantanya adalah 0.

b. Jenis-jenis solusinya

Solusi non Trivial : Ada yang solusinya nol dan ada solusi yang lainnya

Solusi Trivial : Hanya solusi nol.

31

c. Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan

SPL

Matriks Lengkap

Operasi Baris Elementer(OBE) OBE II

/// Matriks Eselon Baris

/ Matriks Eselon baris tereduksi

/ SPL Baru

Solusi dari SPL

/ Subtitusi Balik

Solusi SPL

Contoh

Sistem persamaan linear

/x-2y = -4

2x+y = -3

Carilag solusi dari SPL diatas dengan menggunakan eliminasi Gauss dan Gauss Jordan

Penyelesaian :

Langkah-langkahnya

1. Membuat Matriks Koefisien

32

2. Membuat matriks lengkap

Matriks Lengkap adalah matriks yang koefisien-koefisien dari persamaan linear dan

konstanta sekaligus

3. Operasi Baris Elementer

Pada suatu matriks ada 3 operasi yaitu:

1) Menukar pada kedua baris pada matriks, Bi Bj ,Bi Bi+k.Bj

2) Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol, k.Bi, k , k 0

3) Menjumlahkan kelipatan suatu baris dengan baris yang lain,

Bi+k.Bj, k , k 0

Bi Bi+k.Bj

4. Matriks Eselon Baris

Matriks eselon baris adalah matriks sederhana yang mempunyai cirri-ciri, yaitu:

1) Leading pada baris pertama adalah 1

2) Unsur tak nol yang menjadi leading harus berada dikolom sebelah kanan dari

leading baris sebelumnya

Contoh:

B2+(-2)B1

33

5. SPL Baru

x - 2y = -4…(1)

y = 1…..(2)

subtitusi persamaan (2) ke (1)

x – 2(1) = -4

x = -4+2

= -2

Hp=

Matriks Eselon Baris Tereduksi

Ciri-ciri matriks eselon baris tereduksi, yaitu :

1) Seluruh cirri yang ada di eselon baris.

2) Pada setiap kolom yang memuat leading 1 ( jika ada), maka unsure-unsur yang

lainnya adalah nol.

3) /Jika ada baris nol maka letakan pada barisan paling bawah dari matriks tersebut

SPL Baru : x = -2

y = 1

Solusi : Hp =

Soal

1. Jika SPL m < n

/x + 2y – z = 2

-2x + y +2z= 1

34

Bagaimana solusinya ?

Penyelesaian :

SPL Baru : x – 2 = 0

x = 2

y+0.z = 1

misal z = t, t

Hp = {x=t, y = 1,z = t } ( solusinya tak hingga)

2. Jika SPL m>n

/x+ 2y = 5

3x – y = 8

2x – y = -3

Bagaimana solusinya?

Penyelesaian :

/SPL : x + 2y = 5

y = 1 1

y = 13/3

solusinya adalah inkosisten / tidak mempunyai solusi

3. Jika m<n

/2x + y + z = 0

35

x + y – 4z = 0

bagaimana solusinya?

Penyelesaian :

SPL

x + 5z = 0

x = -5z

y – 9z = 0

y = 9z

misal : z = t , t t

Hp={x= -5t, y = 9t, z = t , t }

4. SPLH m> n

/x+ 2y = 0

-2x –y = 0

4x – 3y =0

Bagaimana solusinya ?

Penyelesaian :

SPL

y = 0 x + 2y = 0

x+ 0 = 0

x = 0

Hp = {x = 0, y = 0}

Jadi untuk SPLH m>n maka akan didapatkan SPLH ynag mempunyai solusi trivial.

5. SPLH m<n

/x + y+ z = 0

36

2x –y+2z =0

Bagaimana solusinya?

Penyelesaiannya :

SPL

x+y + z = 0

x + 0 + z = 0

x = -z

misal z = t, t

x= -y –z

x= -y –t

x = 0 –t

x = -t

Hp = {x = -t, y = 0, z= t, t }

Latihan

1. Bentuklah sistem persamaan linier berikut menjadi matrik lengkap dan cari solusinya!

a. /

/b.

37

2. Lakukan Eliminasi Gauss untuk mendapatkan Solusi SPL berikut

Jawab

1. a.

Didapat persamaan

X=12

Hp={

b.

<->b1

38

(1/3)

(1/3)

Didapat persamaan :

2. matriks lengkap

B1-B3

39

Didapat persamaan .........(1)

...........(2)

.........................(3)

)−>(1) :

)−>(2) :

Jadi Hp{

Ruang Vektor

A (2,3)

40

B

A

Misal :

jika dan hanya jika

1.

2. Jika terdapat vektor dan terdapat skalar k.

3.

Vektor-vektor dalam ruang berdimensi –n.

(+)

(.)

Ruang vektor atas skalar, sementara skalarnya: R.

V himpunan kosong, , , V adalah ruang vektor atas skalar k dengan dua operasi

biner (+) dan (.) dengan skalar, jika memenuhi:

1. (Sifat tertutup)

2. (Sifat komulatif)

3. (Sifat asosiatif)

4. (sifat identitas penjumlahan)

41

5. (sifat invers penjumlahan)

6. (sifat tertutup)

7. (sifat asosiatif perkalian)

8. (perkalian dengan skalar 1)

9. (perkalian dengan skalar 1)

10. (distributif)

1. Himpunan R atas

2. Himpunan Z atas ×

3. Himpunan Q atas ×

4. Himpunan R atas

5.

6.

7.

8. Himpunan R atas ×

9. Himpunan C atas \

Polinom

42

(i) Ambil sembarang

akan dibuktikan

Diperoleh :

definisi operasi/soal

Karena dan maka

Karena , maka

(ii) Ambil sembarang

Akan dibuktikan

Diperoleh:

definisi soal

definisi soal

ass (+) pada R

definisi soal

Karena maka

(iii)

43

Oret-oret

Pilih:

Bukti

(iv) Oret-oret

Ambil sembarang maka

Dicari g?

Dipilih

44

0

1

2

3

0

(v) Ambil sembaranf

Akan dibuktikan

Diperoleh

Karena maka

(vi)Apakah M adalah ruang vektor terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar anggota riil yang biasanya berlaaaku pada matriks berordo 2x2.

Sub Ruang Vektor

Misal dan . U adalah sub ruang vektor dari V jika pada U berlaku oparesi yang

terdefinisi/sesuai pada V.U sub ruang vektor dari V jika pada U berlaku:

(i)

(ii)

Contoh

Dicari

(ambil

(i) Ambi sembarang

Akan dibuktikan

Diperoleh:

45

(ii) Ambil sembarang dengan

Akan dibuktikan

Diperoleh:

Karena maka tidak tertutup

bukan sub ruang vektor dari

Kombinasi Linear

Mis. V. rv X = {x1, x2, …, xr} V.x dikataka membangun V jika setiap anggota dari V bisa

dinyatakan sebagai kombinasi linear dari x. V = span {x}.

Q = {p1 = 2 + x + 2x2; p2 = -1 + 2x + 3x2; p3 = 3x + 4x2}

Q P2 P2 =

Apakah Q membangun P2 ?

Ambil sembarang P P2

Akan dibuktikan P = = , untuk

a + bx + cx2 = +

a + bx + cx2 = (2 ) + ( )x + ( )x2

2

46

B1 B2 B2 + (-2)B1; B3 + (-2)B1

B1 . (- ) ; B3 . (-1) B3 + (-1)B2 B3 .

B1 + (-3)B3; B2+(- )B3

B1 + (-2)B2

Jadi, Q membangun P2 karena setiap anggota P2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari Q.

Untuk , P = ( )P1 + P2 + P3

Contoh 2:

M =

47

Apakah M membangun ?

Ambil sembarang A , dengan A = ; a, b, c, d

A kombinasi linear dari M

A = ,

+

a = 2 + 0 +

b = 0 + 3 +

c = - + 2 + 2

d = 0 + +

B1 B3 B1 . (-1) B3 + (-2)B1

B2 + (-3)B4; B3 + (-4)B4 B2 +3B3

48

Menunjukkan SPL tidak konsisten, karena SPL tidak konsisten maka tidak mempunyai solusi.

Jadi, M tidak membangun .

Bebas Linear

Mis. V adalah ruang vektor B V, B , B = B dikatakan bebas linear apabila

untuk persamaan (kombinasi linear dari B) yaitu : hanya

dipenuhi oleh Jika ada format yang lain ( ), maka B dikatakan

bergantung linear.

Contoh:

Mis. S =

Apakah S bebas linear ?

Akan dibuktikan

+ +

Diperoleh jadi, hanya dipenuhi oleh

, sebagai S bebas linear.

= 0

Basis dan Dimensi

A. Basis

49

Definisi: Misalkan V adalah ruang vektor, B V, B , b = {b1, b2,......,bn} disebut sebagai

basis V jika memenuhi 2 aksioma sebagai berikut:

1. B membangun V.

2. B bebas linear.

Contoh:

1. B = {B1 = (1, 0, 0), B2 = (0, 1, 1), B3 = (0, 0, 1)} B bebas R3?

2. P = {P1 = 1, P2 = x, P3 = x2} P basis P2?

3. M = {M1 = , M2 = , M3 = , M4 = M basis A2x2?

Jawab:

1. Syarat:

i. B membangun R3

ii. B bebas linear

Ambil sembarang = (a, b, c); a, b, c R.

= k1 + k2 + k3

= k1 + k2 + k3

B membangun R3 dengan u = a + b + c

50

2. Syarat:

i. P membangun P3

a, b,c R

P membangun P2 dengan u = aP1 + bP2 + cP3 u P2

ii. = k1P1 + k2P2 + k3P3

+ ox + ox2 = k1 + k2x + k3x2

k1 = k2 = k3 = 0 (trivial)

Sehingga, P bebas linear.

B. Dimensi

Misal V merupakan ruang vektor berdimensi berhingga dimensi V (dalam) ditulis

sebagai banyaknya anggota (koordinat) dari basis pengecualian ruang nol berdimensi nol.

Contoh:

1. Tentukan basis dari sub ruang pada bidang –x + 2y +5z = 0!

Jawab:

x = 2y + 5z

Misal t, s R

Maka, x = 2y + 5z

x = (2, 0, 0) + (5, 0, 0) s

y = t => y = (0, 1, 0) t + (0, 0, 0) s

z = s => z = (0, 0, 0) t + (0, 0, 1) s

51

(y, y, z) = (2, 1, 0) t + (5, 0, 1) s

Jadi, basis dari sub ruang pada bidang –x + 2y + 5z = 0 adalah (2, 1, 0) dan (5, 1, 0).

Berarti dimensi dari sub ruang tersebut adalah 2.

2. 2x + 2y – z = 0

2x + 3y – z – w = 0

Tentukan basis dan dimensi dari SPLH di atas?

Jawab:

B1(1/2) B2 + (-2) B1 & B3 + (-2) B2

B3 + (-3) B2 B3 (-1/2)

B1 + ½ B3 B1 + (-1) B2

Misal w = t ; t R

x = -t

y = t

52

Jadi, (x,y,z,w) = (-1,1,0,1)

Ruang Basis dan Ruang Kolom

=

Vektor-vektor baris dari A adalah

=

=

=

Ruang B kumpulan dari vektor-vektor baris maka ruang B disebut sebagai ruang baris.

Vektor-vektor kolom dari A adalah

Ruang A kumpulan dari vektor-vektor kolom maka ruang A disebut sebagai ruang

kolom.

*ruang baris adalah ruang yang terdiri dari vektor baris.

*ruang kolom adalah ruang yang terdiri dari vektor kolom.

Contoh:

Mis.

/

tentukan vektor-vektor baris dan vektor-vektor kolom dari A !

53

=

=

=

=

,

Catatan:

Dengan menggunakan prinsip bebas linear pada vektor-vektor baris atau pada vektor-vektor kolom untuk menentukan basis pada ruang baris atau basis pada ruang kolom. Untuk menentukan baris pada ruang kolom, maka gunakan eliminasi Gauss untuk mendapatkan matriks eselon baris dari suatu matriks. Dari hasil tersebut, maka diperoleh basis berupa vektor kolom pada matriks asal yang entri-entri pada kolom matriks eselon barisnya terletak leading 1. Sedangkan basis ruang baris diperoleh denagn cara melakukan eliminasi Gauss pada transpose dari matriks tersebut. Kolom yang terletak leading 1 merupakan basis ruang barisnya.

Contoh:

1. A =

Tentukan basis ruang kolom dan dimensinya !

54

B2 + (-3)B1 B2 + (-1)B2

B = => Dimensi dari B adalah 2

2. Tentukan basis ruang baris dan dimensinya dari A !

B3 + (-2)B1; B4 + 2B1; B5 + (-1)B1 B3 . (- );

B4 . ( ); B5 . (- ) B3 + (-1)B2; B4 + (-1)B2; B5 + (-1)B2

B = Dimensi ruang barisnya adalah 2.

Transformasi Linear

Missal adalah rv dan W adalah rv

/F : V W

Peta => hasil dari pemetaan = {y € W | Э x € V Э F(x) = y}

55

Contoh :

/T : R3 R2

T (x,y,z) = (x-2y, 2x-3z)

Missal pemetaan (1,0,-1), maka (1,5) disebut sebagai peta dari (1,0,-1) dengan fungsi T. sehingga

(1,0,-1)disebut sebagaai prapeta dari (1,5) dengan fungsi T.

Transformasi / pemetaan dinyatakan sebagai transformasi linear jika memenuhi aksioma-

aksioma kelinearan.

Def :

/Misal terdapat V,W sebagai rv, maka T : V W disebut sebagai transformasi linear jika

memenuhi :

(i)

(ii)

(iii)

Contoh 1 :

Apakah T (x,y,z) = (x+2y, 2x-3z) disebut sebagai transformasi linear?

(i) Ambil sebagai m,n dengan m = < x1,y1,z1> n = <x2,y2,z2>

Adb T (m+n) = T (m)+T(n)

Dip T(m+n) = T (x1+ x2, y1+ y2, z1+ z2)

=(x1+ x2+2(y1+ y2), 2 (x1+ x2)-3 (z1+ z2))

=( x1+ x2+2y1+ 2y2, 2 x1+ 2x2-3z1+ 3z2)

=( x1+2y1+ x2+2y2, 2 x1-3z1+2x2+3z2)

=( x1+2y1, 2 x1-3z1) + (x2+2y2, 2x2+3z2)

=T (x1,y1,z1) + T(x2,y2,z2)

= T(m)+T(n)

(II) ambil sebagai m

Adb T (km) = k. T(m)

Dip T(km) = T(k (x1,y1,z1))

56

= T(k x1, k y1, k z1)

=( k x1+2k y1, 2 k x1-3 k z1)

=(k (x1+2k y1), k (2 k x1-3 k z1))

=k (x1+2k y1, 2 k x1-3 k z1)

= k. T (x1,y1,z1)

= k.T (m)

Karena (i) dan (ii) terpenuhi maka T (x,y,z) = (x+2y, 2x-3z) adalah tranformasi linear.

Contoh 2 :

Apakah fungsi F (x,y) = 2+3x-y adalah transformasi linear?

Penyelesaian :

F (x,y) = 2 + 3x-y

Pilih x= 2, y= 3, k=5, maka :

(ii) F(5(2,3)) = F (10,15)

=2+3 (10)-15

= 17

k. F(2,3) = 5.F(2,3)

=5. (2+3.2-3)

=5.5

=25

Karena F(5(2,3)) = 17 25 = 5.F(2,3), maka F(x,y) = 2+3x-y bukan transformasi linear.

Kernel dan Jangkauan

/Missal V & W rv dan misalkan T : V W adalah transformasi linear. Kernel transformasi linear

T atau inti T adalah himpunan semua anggota V yang dipeatakan ke vector nol. Sedangkan

jangkauan transformasi linear T atau range T adalah himpunan semua anggota W dengan syarat

ada anggota V sedemikian hingga anggota V tersebut adalah prapeta dari anggota W yang

bersesuaian.

Ker (T) = {x V│T (x) = 0}

57

Range (T) = { y W │ x V T(x) = y}

Contoh 1 :

Tentukan kernel dan range dari T =

Penyelesaian :

Mencari ker (T) adalah mencari nilai (x1,x2) yang petanya adalah vektor nol.

T = = berarti

x1 + x2 = 0 , -2x1 + x2 = 0 , -x1 + x2 = 0

x1 dan x2 yang memenuhi hanya x1 = 0 dan x2 = 0

Jadi Ker (T) = {(0,0)}

Mencari range (T) berarti mencari vektor (y1,y2,y3) sedemikian sehingga :

, x1 + x2 =

Range (T) diperoleh dengan cara mencari vektor (y1,y2,y3) sebagai anggota dari ruang kolom

matriks

Vektor (y1,y2,y3) ∈ Range (T) jika vektor (y1,y2,y3) ∈Contoh 2 :

58

Tentukan Ker (T) dan R (T) jika sebuah transformasi linear dituliskan sebagai berikut :

T

Penyelesaian :

Mencari Ker (T) berarti mencari matriks yang petanya vektor nol.

Karena petanya adalah 0, maka :

B3+(-1)B1 B2(1/2)

B3+(2)B2

,

= a + 2(1/2c) – c + d = 0

= a + c – c + d = 0

59

= a + d = 0

a = -d

Maka Ker (T) adalah himpunan semua anggota V dalam bentuk matriks = c

Ker (T) bisa dinyatakan sebagai komlin dari

Mencari R (T) berarti mencari y adalah vektor kolom di R4 dengan y =

Ambil sebagai y ∈ w ∋ T(x) = y

=

= a + b + c + d

60

R (T) adalah y yang berada dalam ruang kolom matriks

R (T) =

Baris dan Dimensi dari Kernel dan Range

Basis adalah vektor-vektor yang bebas linear baik pada kernel maupun range disebut

sebagai basis dari kernel atau range. Dimensi dari ker(T) dalam (ker(T)) atau null(T) dan

dimensi dari range(T) disebut sebagai rank(T) adalah jumlah basis.

Contoh:

Basis Ker(T) =

Null (T) = 2

61

Koordinat

Koordinat dari suatu ruang vektor V adalah nilai-nilai skalar dari kombinasi linear suatu

vektor tertentu pada v terhadap basis yang ada di V.

Untuk menyatakan suatu koordinat, maka kita harus pastikan apakah kombinasi linear dari

suatu basis itu mempunyai koordinat tunggal ?

Misal, terhadap r.v.V dan terdapat basis B di V, dengan B={𝝼1,𝝼2,𝝼3,.....,𝝼n}. Kita nyatakan

kombinasi linear dari B adalah ū V. Andaikan ada 2 koordinat dari ū sebagai kombinasi

linear dari basis B, berarti ū adalah kombinasi linear dari B.

a) ū =

b) ū =

c) Ō = ū- ū

= ( ) – (

)

= ( - ) +( - ) +( - ) -.......-( - )

Karena B adalah basis, maka B memiliki n vekor yang bebas linear, sehingga :

- = 0; - =0; - =0; - =0

= ; = ; = ; =

Jadi koordinat dari suatu basis selalu tunggal atau kombinasi linear dari suatu vektor

terhadap basis tertentu adalah tunggal.

62

Misal, terhadap r. . V, B=={ , , ,....., }adalah basis di V. ū V adalah kombinasi

linear B dengan ū= maka [u]B=

adalah komponen-komponen dari koordinat vektor ū terhadap basis B.

Contoh : Tentukan koordinat dari ū <2,3,-1> R3 terhadap basis :

a. B={ =<1,0,0>, =<0,1,0>, =<0,0,1>}, [u]B=....?

b. C= { =<1,1,0>, =<1,0,1>, =<0,1,1>}, [u]C=....?

Penyelesaian :

a. ū kombinasi linear dari B

ū =

dengan R

<2,3,-1>= <1,0,0>+ <0,1,0>+ <0,0,1>

Jadi =1, =3, =-1

[u]B=

b. ū =

<2,3,-1>= <1,1,0>+ <1,0,1>+ <0,1,1>

63

B2-B1 B2.(-1) B3-B2

B3.

Diperoleh : =0 ; - =-1 + =2

= -1+ =2-

= -1+0 =2-(-1)

= -1 =3

Jadi [u]B=

Diagonalisasi

Definisi : Mis. terhadap matriks A berordo n x n. Maka A dapat didiagonalisasi jika terhadap

matriks P berordo n x n sedemikan sehingga perkalian tiga matriks yaitu P.A.P-1 hasilnya adalah

matriks diagonal.

Teorema

64

Matriks dapat didiaogonalisasi jika terhadap vektor eigen dari A sebanyak n / terhadap n

vektor eigen dari A yang bebas linear.

Contoh:

A = . Apakah A dapat didiagonalisasi ?

Det. = 0

Det. = 0

( ) ( ) – 6 = 0

2 – 3 + 2 – 6 = 0

2 – 3 – 4 = 0

( + 1) ( – 4) = 0

1 = -1, 2 = 4

Untuk 1 = -1 => = 0

=

65

=

, mis = t maka = -t

Jadi, v.e. =

Untuk 2 = 4 => = 0

=

=

, mis = t maka = t

Jadi, v.e. =

Jadi, P =

66

P-1 =

=

=

P.A. P-1 =

=

=

Karena terdapat 2 v.e. yang bebas linear maka kita akan mendapatkan matriks P2 x 2 sehingga A

dapat didiagonalisasi.

Ruang Hasil Kali Dalam

67

< = = 1 . (-2) + 2 . (-3) + 3 . 6

= -2 + (-6) + 18

= 10

Mis.

< = =

Sifat-Sifat Hasil Kali Dalam

Mis. , ; = ( )

1. < = < (kesimetrian)

Bukti

<

=

= (sifat komutatif perkalian )

=

= <

2. < = < (sifat penjumlahan pada hasil kali dalam)

Bukti

68

< = .

= ( ) + ( ) + … + ( )

= ( ) + ( ) + … + ( )

= ( ) + ( )

= (u.w) + (v.w)

3. < = k

Bukti

< =

=

= k ( )

= k ( )

4.

I

II

Bukti

I . artinya ada salah satu entri dari u, (terdapat suatu ) Maka

= =

69

= 0.0 + 0.0 + (-5).(-5)

= 25 > 0

II. Jelas karena = 0 maka berarti

Contoh: (Hasil Kali Dalam diberi bobot)

Mis. V

Hasil kali dalam untuk setiap anggota V adalah hasil kali dalam yang diberi bobot k dengan k

anggora riil.

,

Apakah hasil kali dalam pada V merupakan ruang hasil kali dalam ?

Bukti

Sifat pertama

(i) Ambil sembarang u, v <

Akan dibuktikan <

Diperoleh =

=

= <

(ii) Ambil sembarang u, v, w

Akan dibuktikan < = <

Diperoleh

70

< =

=

=

= (u.w) + (v.w)

Maka terbukti < = <

(iii) Ambil sembarang u, v

Akan dibuktikan < = k

Diperoleh

< =

=

= k ( )

= k ( )

Maka terbukti < = k

71

Documents

pembuktian rumus untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva