Kalkulus Materi Turunan Pengayaan

Turunan : (Konsep Garis Singgung)

Perhatikan sebuah titik P yang terletak pada sebuah kurva di bidang karte-

sius. Apakah yang dimaksudkan dengan garis singgung di titik P ?

Euclides memberi gagasan garis singgung adalah garis yang memotong

kurva tersebut di satu titik, tetapi bgm dengan kurva ketiga di atas ?

Untuk mendefinisikan pengertian garis

singgung secara formal, perhatikanlah gam-

bar di samping kiri. Garis talibusur m1

menghubungkan titik P dan Q1 pada

kurva. Selanjutnya titik Q1 kita gerakkan

mendekati titik P . Saat sampai di po-

sisi Q2, talibusurnya berubah menjadi garis

m2. Proses ini diteruskan sampai titik Q1

’berimpit’ dengan titik P , dan garis ta-

libusurnya menjadi garis singgung m.

Agar fenomena ini dapat dirumuskan se-

cara matematis, perhatikan kembali gambar

disebelah kiri. Kemiringan garis talibusur

yang melalui P dan Q adalah:

msec =f(c + h) − f(c)

h

Kemiringan garis singgung di titik P = (c, f(c)) didefinisikan sebagai:

m = limh→0

msec = limh→0

f(c+h)−f(c)h

Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi / MA-ITB / 2008

Masalah kecepatan sesaat:

Perhatikan sebuah benda yang jatuh bebas. Hasil percobaan

menunjukan posisinya setiap saat S(t) = 16t2.

Ingin diketahui berapa kecepatannya saat t = 1 ?

t1 t2 S(t1) S(t2) Vrata-rata = S(t2)−S(t1)t2−t1

1 2 16 64 64−162−1

= 48

1 1,5 16 36 36−161,5−1 = 40

1 1,1 16 19,36 19,36−161,5−1

= 33, 6

1 1,01 16 16,3216 16,3216−161,01−1

= 32, 16

1 1,001 16 16.032016 16,032016−161,001−1 = 32, 016

Dengan tabel di atas kita hanya dapat menghitung kecepatan rata-rata

antara t = 1 dan t = 1 + ∆t, tetapi yang ingin dihitung adalah kecepatan

sesaat pada t = 1. Untuk itu kita definisikan kecepatan sesaat tersebut

sebagai berikut:

V = Vsesaat = lim∆t→0

Vrata-rata = lim∆t→0

S(t+∆t)−S(t)∆t

Perhatikan kembali rumus garis singgung dan bandingkan dengan rumus

kecepatan sesaat. Keduanya mempunyai rumusan matematika yang sama.

Pada kehidupan sehari-hari, asih banyak sekali masalah-masalah fisis yang

mempunyai model matematika yang sama dengan rumus di atas. Untuk

itu, dalam matematika diperkenalkan konsep baru yang disebut turunan.


Definisi turunan:

Misalkan f sebuah fungsi real dan x ∈ Df .

Turunan dari f di titik x, ditulis f ′(x) = limh→0

f(x+h)−f(x)h

Soal2: (dikerjakan hanya dengan definisi turunan).

1. Cari kemiringan garis singgung terhadap y = x2 − 2x di titik (2, 0).

2. Seekor bakteri berkembang sehingga beratnya setelah t jam adalah12t2 + 1 gram. Berapa laju perkembangannya pada sat t = 2 jam ?

3. Massa sepotong kawat (1 dimensi) yang panjangnya sejauh x cm dari

ujung kirinya adalah x3 gram. Berapa rapat massanya pada posisi 3

cm dari ujung kirinya?

Notasi-notasi lain untuk turunan:

f ′(x) = limh→0

f(x+h)−f(x)h

f ′(x) = limt→x

f(t)−f(x)t−x

Notasi Leibniz:

f ′(x) = lim∆x→0

∆y∆x

= dydx


Simbol-simbol berikut mempunyai arti yang sama:

f ′(x) =dy

dx= D[f ] = Dx[f ]

Hubungan turunan dan kekontinuan:

Bila f ′(c) ada maka f(x) kontinu di x = c.

Fungsi f(x) = |x| telah diketahui diseluruh R. Dengan memakai defin-

isi turunan, periksa apakah f ′(0) ada, lalu simpulkan kebalikan sifat di atas.

Perhatikan grafik di atas, lalu tentukan apakah f(x) kontinu / mempunyai

turunan di titik-titik a, b, c dan d. (beri penjelasan !)

Aturan-aturan Turunan:

• Misalkan k suatu konstanta, maka Dx[k] = 0 (buktikan !)

• Dx[x] = 1

• Misalkan n ∈ N maka Dx[xn] = n xn−1 (buktikan !)

• Misalkan k suatu konstanta, maka Dx[k f(x)] = k Dx[f(x)]

• Dx[(f ± g)(x)] = Dx[f(x)] ± Dx[g(x)]

• Dx[(fg)(x)] = Dx[f(x)] g(x)+f(x) Dx[g(x)] = f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)

• Dx[(fg )(x)] = Dx[f(x)] g(x)−f(x) Dx[g(x)]

(g(x))2= f ′(x)g(x)−f(x)g′(x)

(g(x))2

• Misalkan n ∈ N maka Dx[x−n] = −n x−n−1


Aturan Turunan Fungsi Trigonometri:

• Dx[sinx] = cos x (buktikan !) Dx[cos x] = − sin x

• Dx[tanx] = sec2 x Dx[cot x] = − csc2 x

• Dx[sec x] = sec x tan x Dx[csc x] = − csc x cot x

Soal-soal:

1. Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut

a. f(x) =√

2x2 b. f(x) = x2−x+1x2+1

2. Cari persamaan garis singgung terhadap y = 1x2+1

di titik (1, 12)

3. Tentukan titik2 pada grafik y = 13x

3 + x2 − x yang kemiringan garis

singgungnya bernilai 1

4. Tentukan pers. garis singgung pada y = 4x − x2 yang melalui (2, 5).

5. Seekor lalat merayap dari kiri ke kanan sepanjang kurva y = 7 − x2.

Seekor laba-laba menunggunya di titik (4, 0). Tentukan jarak antara

keduanya pada saat pertama kali saling melihat.

6. Tunjukkan kurva y =√

2 sin x dan y =√

2 cos x berpotongan tegak

lurus pada 0 < x < π2.

Aturan Rantai : (untuk menentukan turunan fungsi komposisi).

Masalah: Misalkan f = f(u) dan u = u(x), bagaimanakah menghitung dfdx

Ilustrasi: f(u) = sin2(u) dan u = x3 − 2x + 1. Berapakah dfdx

Misalkan f = f(u) dan u = u(x) maka dfdx

= dfdu

dudx

= Du[f ] Dx[u]


Contoh: Tentukan Dx[sin(x3 − 3x)].

Pandang y = sin(u) dengan u = x3 − 3x, maka

Dx[sin(x3 − 3x)] = Dx[y] = Du[y] Dx[u]

= cos(u) (3x2 − 3) = cos(x3 − 3x) (3x2 − 3)

Aturan rantai bersusun: Misalkan f = f(u), u = u(v), dan v = v(x)

maka dfdx = df

dududv

dvdx = Du[f ] Dv[u] Dx[v]

Contoh: Tentukan Dx[sin3(x3 − 3x)].

Pandang y = u3, u = sin(v), dan v = x3 − 3x, maka

Dx[sin3(x3 − 3x)] = Dx[y] = Du[y] Dv[u] Dx[v]

= 3u2 cos(v) (3x2 − 3)

= 3 sin2(x3 − 3x) cos(x3 − 3x) (3x2 − 3)

Hati2 dengan notasi f ′:

Mis. f = f(u) dan u = u(x), maka notasi f ′ berarti dfdu, bukan df

dx.

Ilustrasi: f(x2) = sin(x2).

Disini u = x2 dan f ′ = cos(x2), tetapi dfdx

= cos(x2) 2x

Soal-soal:

1. Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut:

a. y =(

x2−1x+4

)4

b. y =(

sin xcos(2x)

)3

c. y = sin3(cos x)

d. y = sin3(cosx3)

e. y = sin(cos2 x3)

f. y = sin(cos(sin 2x))

2. Sisi sebuah kubus bertambah dengan laju 16 cm/menit.

a. Cari laju pertambahan volumenya pada sat sisinya 20 cm.

b. Cari laju perubahan luas permukaannya saat sisinya 15 cm


3. Perhatikan gambar roda-piston di samping. Roda berputarberlawanaan jarum jam dengan laju 2 rad/detik. Pada saatt = 0, P berada di posisi (1, 0).

a. Tentukan kedudukan titik P setiap saat.b. Tentukan ordinat dari titik Q setiap saat.c. Tentukan kecepatan gerak titik Q.

4. Dua buah kapal bertolak dari titik yang sama. KapalA bergerak ke timur dengan laju 20 km/jam. Kapal Bbergerak ke utara dengan laju 12 km/jam. Seberapa cepatmereka berpisah setelah 3 jam?

5. Garis singgung terhadap kurva y = x2 cos(x2) di x =√

π

akan memotong sumbu-x di posisi berapa?

Turunan tingkat tinggi:

Misalkan f(x) sebuah fungsi dan f ′(x) turunan pertamanya.

Turunan kedua dari f adalah f ′′(x) = D2x[f ] = d2f

dx2 = limh→0

f ′(x+h)−f ′(x)h

Dengan cara yang sama turunan ketiga, keempat dst. diberi notasi:

f ′′′(x) = D3x[f ] =

d3f

dx3, f (4)(x) = D4

x[f ] =d4f

dx4, · · ·

Salah satu penggunaan turunan tingkat tinggi adalah pada masalah gerak

partikel. Bila S(t) menyatakan posisi sebuah partikel, maka kecepatannya

adalah v(t) = S′(t) dan percepatannya a(t) = v′(t) = S′′(t).

Contoh: 1. Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu-x dengan posisi

tiap saat S(t) = t3 − 12t2 + 36t − 30.

a. Kapan kecepatannya nol? b. Kapan kecepatannya positif ?

c. Kapan dia bergerak mundur? d. Kapan percepatannya positif?

e. Ilustrasikan gerak partikel tersebut

2. Cari rumus umum turunan ke n dari y = 11−x

.


Maksimum & Minimum Nilai Fungsi:

Misalkan f sebuah fungsi dengan daerah definisi Df dan c ∈ Df .• f disebut mencapai maksimum di c bila f(c) ≥ f(x) ∀ x ∈ Df dan

f(c) disebut nilai maksimum.

• f disebut mencapai minimum di c bila f(c) ≤ f(x) ∀ x ∈ Df dan

f(c) disebut nilai minimum.Titik di mana f mencapai maksimum/minimum disebut titik ekstrim.

maksimum ada � maksimum ada � maksimum ada �minimum ada � minimum ada � minimum ada �

Bila f kontinu dan Df berupa selang tutup [a, b] maka f mempunyai

titik mempunyai titik maksimum dan minimum

Grafik berikut menggambarkan kemungkinan tempat terjadinya ekstrim.

Tempat-tempat kemungkinan terjadinya ekstrim (calon ekstrim):

• Titik ujung interval

• Titik stasioner (titik dengan sifat f ′(x) = 0).

• Titik singular (titik di mana f tidak mempunyai turunan)

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

Titik

kritis


Contoh2:

1. Tentukan titk2 ekstrim dari fungsi-fungsi berikut:

a. f(x) = −2x3 + 3x2 pada [−12, 2].

b. f(x) = x23 pada [−1, 2].

2. Carilah dua buah bilangan tak negatif yang jumlahnya 10 dan hasil

kalinya maksimum.

3. Carilah bilangan yang bila dikurangi kuadratnya bernilai maksimum.

(bilangan tersebut berada diantara 0 dan 1, mengapa ?).

4.

Sebuah kotak persegipanjang dibuat

dari selembar kertas dengan memo-

tongnya sisi-sisinya sepanjang x cm

dan melipatnya. Tentukan x supaya

volumenya maksimum.

5. Kawat sepanjang 16 cm dipotong jadi dua bagian. Salah satu po-

tongan dibentuk jadi bujur sangkar dan potongan lainnya dibuat jadi

lingkaran. Berapa ukuran potongan tersebut agar:

a. jumlah seluruh luasnya minimum.

b. umlah seluruh luasnya maksimum.

6. Sebuah kerucut dibuat dari potongan selembar lingkaran kertas berjari-

jari 10 cm. Tentukan volume maksimum kerucut yang dapat dibuat.


Documents

Kalkulus Materi Turunan Pengayaan