Upload
ngonga
View
453
Download
16
Embed Size (px)
Citation preview
Matematika I:APLIKASI TURUNAN
Dadang Amir Hamzah
2015Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70
Outline
1 Maksimum dan Minimum
2 Kemonotonan Fungsi
3 Kecekungan
4 Masalah Praktis (Practical Problem)
5 Menggambar Grafik denga Kalkulus
6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan
7 Antiturunan
8 Pengantar persamaan diferensial
9 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70
Outline
1 Maksimum dan Minimum
2 Kemonotonan Fungsi
3 Kecekungan
4 Masalah Praktis (Practical Problem)
5 Menggambar Grafik denga Kalkulus
6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan
7 Antiturunan
8 Pengantar persamaan diferensial
9 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70
Outline
1 Maksimum dan Minimum
2 Kemonotonan Fungsi
3 Kecekungan
4 Masalah Praktis (Practical Problem)
5 Menggambar Grafik denga Kalkulus
6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan
7 Antiturunan
8 Pengantar persamaan diferensial
9 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70
Outline
1 Maksimum dan Minimum
2 Kemonotonan Fungsi
3 Kecekungan
4 Masalah Praktis (Practical Problem)
5 Menggambar Grafik denga Kalkulus
6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan
7 Antiturunan
8 Pengantar persamaan diferensial
9 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70
Outline
1 Maksimum dan Minimum
2 Kemonotonan Fungsi
3 Kecekungan
4 Masalah Praktis (Practical Problem)
5 Menggambar Grafik denga Kalkulus
6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan
7 Antiturunan
8 Pengantar persamaan diferensial
9 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70
Outline
1 Maksimum dan Minimum
2 Kemonotonan Fungsi
3 Kecekungan
4 Masalah Praktis (Practical Problem)
5 Menggambar Grafik denga Kalkulus
6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan
7 Antiturunan
8 Pengantar persamaan diferensial
9 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70
Outline
1 Maksimum dan Minimum
2 Kemonotonan Fungsi
3 Kecekungan
4 Masalah Praktis (Practical Problem)
5 Menggambar Grafik denga Kalkulus
6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan
7 Antiturunan
8 Pengantar persamaan diferensial
9 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70
Outline
1 Maksimum dan Minimum
2 Kemonotonan Fungsi
3 Kecekungan
4 Masalah Praktis (Practical Problem)
5 Menggambar Grafik denga Kalkulus
6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan
7 Antiturunan
8 Pengantar persamaan diferensial
9 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70
Outline
1 Maksimum dan Minimum
2 Kemonotonan Fungsi
3 Kecekungan
4 Masalah Praktis (Practical Problem)
5 Menggambar Grafik denga Kalkulus
6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan
7 Antiturunan
8 Pengantar persamaan diferensial
9 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70
Outline
1 Maksimum dan Minimum
2 Kemonotonan Fungsi
3 Kecekungan
4 Masalah Praktis (Practical Problem)
5 Menggambar Grafik denga Kalkulus
6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan
7 Antiturunan
8 Pengantar persamaan diferensial
9 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 3 / 70
Maksimum dan Minimum
Salah satu aplikasi turunan adalah menyelesaikan masalahmaksimum-minimum, Misalnya :
Bagaimana menentukan biaya minimum suatu produksi.Bagaimana menentukan harga jual suatu barang agarmendapatkan keuntungan maksimum.Bagaimana menentukan jarak terpendek/minimum untuk menujusuatu tempat, dst.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 4 / 70
Maksimum dan Minimum
Salah satu aplikasi turunan adalah menyelesaikan masalahmaksimum-minimum, Misalnya :
Bagaimana menentukan biaya minimum suatu produksi.
Bagaimana menentukan harga jual suatu barang agarmendapatkan keuntungan maksimum.Bagaimana menentukan jarak terpendek/minimum untuk menujusuatu tempat, dst.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 4 / 70
Maksimum dan Minimum
Salah satu aplikasi turunan adalah menyelesaikan masalahmaksimum-minimum, Misalnya :
Bagaimana menentukan biaya minimum suatu produksi.Bagaimana menentukan harga jual suatu barang agarmendapatkan keuntungan maksimum.
Bagaimana menentukan jarak terpendek/minimum untuk menujusuatu tempat, dst.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 4 / 70
Maksimum dan Minimum
Salah satu aplikasi turunan adalah menyelesaikan masalahmaksimum-minimum, Misalnya :
Bagaimana menentukan biaya minimum suatu produksi.Bagaimana menentukan harga jual suatu barang agarmendapatkan keuntungan maksimum.Bagaimana menentukan jarak terpendek/minimum untuk menujusuatu tempat, dst.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 4 / 70
Maksimum dan Minimum
Salah satu aplikasi turunan adalah menyelesaikan masalahmaksimum-minimum, Misalnya :
Bagaimana menentukan biaya minimum suatu produksi.Bagaimana menentukan harga jual suatu barang agarmendapatkan keuntungan maksimum.Bagaimana menentukan jarak terpendek/minimum untuk menujusuatu tempat, dst.
Masalah-masalah diatas dapat diselesaikan dengan terlebih dahulumenentukan fungsi yang bersesuaian kemudian mencari titikmaksimum dan minimumnya.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 4 / 70
Maksimum dan Minimum
Perhatikan grafik fungsi berikut:
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 5 / 70
Maksimum dan Minimum
Perhatikan grafik fungsi berikut:
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 5 / 70
Maksimum dan Minimum
Perhatikan grafik fungsi berikut:
grafik diatas mencapai titik tertinggi di (3, 5) dan terendah di (6, 2)
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 5 / 70
Maksimum dan Minimum
Perhatikan grafik fungsi berikut:
Dapat juga kita katakan bahwa f(3) = 5 dan f(6) = 2
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 5 / 70
Maksimum dan Minimum
Perhatikan grafik fungsi berikut:
Nilai f(3) = 5 disebut maksimum dan f(6) = 2 disebut minimum dari f
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 5 / 70
Maksimum dan Minimum
DefinisiMisalkan D adalah domain dari suatu fungsi f dan c suatu bilanganpada domain D
f(c) disebut nilai maksimum dari f pada D jika untuk setiapx ∈ D, f(c) ≥ f(x).f(c) disebut nilai minimum dari f pada D jika untuk setiap x ∈ D,f(c) ≤ f(x).f(c) disebut nilai ekstrim dari f pada D apabila f(c) adalah nilaimaksimum atau nilai minimum.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 6 / 70
Eksistensi Nilai Ekstrim
Teorema Nilai EkstrimJika f kontinu pada interval tutup [a, b] maka f pasti mempunyai nilaimaksimum, nilai maksimum, atau keduanya.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 7 / 70
Eksistensi Nilai Ekstrim
Teorema Nilai EkstrimJika f kontinu pada interval tutup [a, b] maka f pasti mempunyai nilaimaksimum, nilai maksimum, atau keduanya.
Ilustrasi :
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 7 / 70
Maksimum dan Minimum
Teorema titik kritisMisal f terdefinisi pada interval I = [a, b]. Titik-titik kritis dari f beradapada
Titik-titik ujung dari I.Titik stasioner dari f , yakni x = c sedemikian sehingga f ′(c) = 0untuk suatu c ∈ I.Titik singular dari f atau titik dimana f tidak punya turunan di titiktersebut.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 8 / 70
Maksimum dan Minimum
Teorema titik kritisMisal f terdefinisi pada interval I = [a, b]. Titik-titik kritis dari f beradapada
Titik-titik ujung dari I.Titik stasioner dari f , yakni x = c sedemikian sehingga f ′(c) = 0untuk suatu c ∈ I.Titik singular dari f atau titik dimana f tidak punya turunan di titiktersebut.
catatan: Jika f(x) kontinu pada interval tutup: Nilai ekstrim hanyamungkin terjadi pad titik kritis
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 8 / 70
Identifikasi Nilai Ekstrim
Menentukan nilai ekstrim fungsi pada interval tutup [a, b]
1 Tentukan semua titik kritis.2 Bandingkan nilai-nilai f(x) pada titik-titik tersebut.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 9 / 70
Problem
1 Tentukan nilai-nilai ekstrim daria. x2 + 4x+ 4 pada selang [−4, 0].b. f(x) = x+ 2 cos(x) pada selang [−π, 2π]
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 10 / 70
Outline
1 Maksimum dan Minimum
2 Kemonotonan Fungsi
3 Kecekungan
4 Masalah Praktis (Practical Problem)
5 Menggambar Grafik denga Kalkulus
6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan
7 Antiturunan
8 Pengantar persamaan diferensial
9 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 11 / 70
Informasi dari Turunan : Kemonotonan
Perhatikan gambar berikut :
Figure: Garis merah adalah garis singgung dari grafik f
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 12 / 70
Kemonotonan
Definisi (Kemonotonan)Misalkan f(x) terdefinisi pada sebuah interval I.
1 f disebut monoton naik pada I jika untuk setiap x1, x2 ∈ I,
x1 < x2 → f(x1) < f(x2).
2 f disebut monoton turun pada I jika untuk setiap x1, x2 ∈ I,
x1 < x2 → f(x1) > f(x2).
3 f disebut monoton pada I jika f(c) monoton naik ataumonoton turun pada I.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 13 / 70
Uji Kemonotonan
TeoremaMisalkan f(x) kontinu pada interval I dan f ′(x) ada untuk setiap titikdalam I.
1 Jika f ′(x) > 0 untuk setiap titik dalam I, maka f(x) monoton naikpada I.
2 Jika f ′(x) < 0 untuk setiap titik dalam I, maka f(x) monoton turunpada I.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 14 / 70
Uji Kemonotonan
TeoremaMisalkan f(x) kontinu pada interval I dan f ′(x) ada untuk setiap titikdalam I.
1 Jika f ′(x) > 0 untuk setiap titik dalam I, maka f(x) monoton naikpada I.
2 Jika f ′(x) < 0 untuk setiap titik dalam I, maka f(x) monoton turunpada I.
Teorema ini dapat digunakan untuk menentukan interval dimana f(x)monoton naik dan interval dimana f(x) monoton turun.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 14 / 70
Problem
Tentukan interval di mana fungsi-fungsi berikut monoton naik dandimana monoton turun
1 f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5
2 f(x) = xx2+1
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 15 / 70
Grafik soal No.1
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 16 / 70
Grafik soal No.2
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 17 / 70
Outline
1 Maksimum dan Minimum
2 Kemonotonan Fungsi
3 Kecekungan
4 Masalah Praktis (Practical Problem)
5 Menggambar Grafik denga Kalkulus
6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan
7 Antiturunan
8 Pengantar persamaan diferensial
9 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 18 / 70
Kecekungan (Concavity)
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 19 / 70
Kecekungan
Definisi Cekung ke Atas/BawahMisalkan f(x) terdefinisi pada sebua interval buka I. Grafik fungsif(x) dikatakan
1 Cekung ke atas pada I, jika f ′(x) monoton naik pada I.2 Cekung ke bawah pada I, jika f ′(x) monoton turun pada I.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 20 / 70
Teorema kecekungan
Teorema kecekunganMisalkan f fungsi yang terdiferensialkan dua kali pada interval buka I.
i. Jika f ′′(x) >0 pada x ∈ I, maka f cekung ke atas pada I.ii. Jika f ′′(x) < 0 pada x ∈ I, maka f cekung ke bawah pada I.
ContohTentukan interval di mana fungsi-fungsi berikut cekung ke atas dandimana cekung ke bawah
1 f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5
2 f(x) = xx2+1
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 21 / 70
Titik belok
Titik belok adalah titik dimana kecekungan grafik f(x) berubah daricekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau sebaliknya
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 22 / 70
Titik belok
Apakah jika f ′′(c) = 0, maka c adalah titik belok?
Coba tentukan semua titik beloknya, bila ada :1 f(x) = sin(x)2 f(x) = x4
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 23 / 70
Titik belok
Apakah jika f ′′(c) = 0, maka c adalah titik belok?Coba tentukan semua titik beloknya, bila ada :
1 f(x) = sin(x)2 f(x) = x4
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 23 / 70
Ekstrim Lokal
DefinisiMisalkan c ∈ Df domain fungsi f .
f(c) disebut nilai maksimum lokal dari f(x) jika terdapat intervalJ ⊂ Df sedemikian sehingga f(c) > f(x) untuk setiap x ∈ J .f(c) disebut nilai minimum lokal dari f(x) jika terdapat intervalJ ⊂ Df sehingga f(c) < f(x) untuk setiap x ∈ J .
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 24 / 70
Nilai Ekstrim Lokal
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 25 / 70
Definisi Ekstrim Lokal pada Interval buka
Definisif(c) disebut nilai maksimum lokal jika terdapat selang buka(a, b) sehingga
a < x < b dan x ∈ Df → f(c) ≥ f(x)
f(c) disebut nilai minimum lokal jika terdapat selang buka (a, b)sehingga
a < x < b dan x ∈ Df → f(c) ≤ f(x)
f(c) disebut nilai ekstrim lokal f(x) jika f(c) adalah nilaimaksimum lokal atau nilai minimum lokal.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 26 / 70
Lokasi Nilai Ekstrim
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 27 / 70
Lokasi Nilai Ekstrim
Teorema (Uji turunan pertama)Misalkan c adalah titik kritis f(x) dan f(x) terdefinisi pada interval(a, b) yang memuat c.
1 Jika f ′ < 0 pada (a, c) dan f ′ > 0 pada (c, b), maka f(c) adalahnilai minimum lokal f .
2 Jika f ′ > 0 pada (a, c) dan f ′ < 0 pada (c, b), maka f(c) adalahnilai maksimum lokal f .
3 Jika tanda f ′ sama pada kedua sisi dari c, maka f(c) bukan nilaiekstrim lokal f .
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 28 / 70
Problem
Tentukan nilai-nilai ekstrim fungsi1 f(x) = 1
3x3 − x2 + 3x+ 4 pada (∞,∞)
2 f(x) = sin23 (x) pada (−π
6 ,2π3 )
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 29 / 70
Grafik fungsi f(x) = sin23 (x) pada (−π
6 ,2π3 )
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 30 / 70
Uji Turunan Kedua
Teorema (Uji turunan kedua)Jika f ′ dan f ′′ ada pada interval (a, b) yang memuat c, dan f ′(c) = 0,maka
1 Jika f ′′(c) > 0 , maka f(c) adalah nilai minimum lokal2 Jika f ′′(c) < 0, maka f(c) adalah nilai maksimum lokal
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 31 / 70
Contoh
Tentukan semua nilai ekstrim f(x) = x4 − 4x pada interval (−∞,∞)
1 f ′(x) = 4x3 − 4 = 4(x3 − 1) = 4(x− 1)(x2 + x+ 1), dengan(x2 + x+ 1) > 0 untuk setiap x.
2 f memiliki satu titik kritis yaitu x = 1, dengan
x < 1→ f ′(x) < 0 dan x > 1→ f ′(x) > 0
maka f(1) adalah nilai minimum global. f(x) tidak mempunyainilai maksimum.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 32 / 70
Contoh
Tentukan semua nilai ekstrim f(x) = x4 − 4x pada interval (−∞,∞)
1 f ′(x) = 4x3 − 4 = 4(x3 − 1) = 4(x− 1)(x2 + x+ 1), dengan(x2 + x+ 1) > 0 untuk setiap x.
2 f memiliki satu titik kritis yaitu x = 1, dengan
x < 1→ f ′(x) < 0 dan x > 1→ f ′(x) > 0
maka f(1) adalah nilai minimum global. f(x) tidak mempunyainilai maksimum.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 32 / 70
Contoh
Tentukan semua nilai ekstrim f(x) = x4 − 4x pada interval (−∞,∞)
1 f ′(x) = 4x3 − 4 = 4(x3 − 1) = 4(x− 1)(x2 + x+ 1), dengan(x2 + x+ 1) > 0 untuk setiap x.
2 f memiliki satu titik kritis yaitu x = 1, dengan
x < 1→ f ′(x) < 0 dan x > 1→ f ′(x) > 0
maka f(1) adalah nilai minimum global. f(x) tidak mempunyainilai maksimum.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 32 / 70
Outline
1 Maksimum dan Minimum
2 Kemonotonan Fungsi
3 Kecekungan
4 Masalah Praktis (Practical Problem)
5 Menggambar Grafik denga Kalkulus
6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan
7 Antiturunan
8 Pengantar persamaan diferensial
9 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 33 / 70
Contoh
Sebuah kotak tanpa tutup akan dibuat dari suatu karton yangmempunyai panjang 24 inci dan lebar 9 inci dengan cara membuatjaring-jaring kotak dan membuang bagian yang diarsir seperti gambardibawah. Tentukan ukuran kotak sehingga didapat volumemaksimum? Berapakah volume maksimumnya?
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 34 / 70
Solusi
1 V (x) = (24− 2x)(9− 2x)x = 4x3 − 66x2 + 216x untuk 0 ≤ x ≤ 92 .
2 V ′(x) = 12x2 − 132x+ 216 = 12(x− 2)(x− 9)
I Titik-titik kritis: ujung interval ({0, 92}), stasioner ({2}), tidak ada titiksingular karena V (x) adalah polinom (suku banyak).
I Jelas V (0) = V ( 92 ) = 0. Sedangkan V (2) = 200.I V ′(x) > 0 pada (0, 2) dan V ′(x) < 0 pada (2, 92 ). Jadi V (2) adalah
nilai maksimum (global).
3 Maka V mencapai nilai maksimum yaitu 200 saat x = 2.4 Ukuran kotak adalah p = 20, l = 5, dan tinggi x = 2.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 35 / 70
Solusi
1 V (x) = (24− 2x)(9− 2x)x = 4x3 − 66x2 + 216x untuk 0 ≤ x ≤ 92 .
2 V ′(x) = 12x2 − 132x+ 216 = 12(x− 2)(x− 9)
I Titik-titik kritis: ujung interval ({0, 92}), stasioner ({2}), tidak ada titiksingular karena V (x) adalah polinom (suku banyak).
I Jelas V (0) = V ( 92 ) = 0. Sedangkan V (2) = 200.I V ′(x) > 0 pada (0, 2) dan V ′(x) < 0 pada (2, 92 ). Jadi V (2) adalah
nilai maksimum (global).3 Maka V mencapai nilai maksimum yaitu 200 saat x = 2.4 Ukuran kotak adalah p = 20, l = 5, dan tinggi x = 2.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 35 / 70
Solusi
1 V (x) = (24− 2x)(9− 2x)x = 4x3 − 66x2 + 216x untuk 0 ≤ x ≤ 92 .
2 V ′(x) = 12x2 − 132x+ 216 = 12(x− 2)(x− 9)I Titik-titik kritis: ujung interval ({0, 92}), stasioner ({2}), tidak ada titik
singular karena V (x) adalah polinom (suku banyak).
I Jelas V (0) = V ( 92 ) = 0. Sedangkan V (2) = 200.I V ′(x) > 0 pada (0, 2) dan V ′(x) < 0 pada (2, 92 ). Jadi V (2) adalah
nilai maksimum (global).3 Maka V mencapai nilai maksimum yaitu 200 saat x = 2.4 Ukuran kotak adalah p = 20, l = 5, dan tinggi x = 2.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 35 / 70
Solusi
1 V (x) = (24− 2x)(9− 2x)x = 4x3 − 66x2 + 216x untuk 0 ≤ x ≤ 92 .
2 V ′(x) = 12x2 − 132x+ 216 = 12(x− 2)(x− 9)I Titik-titik kritis: ujung interval ({0, 92}), stasioner ({2}), tidak ada titik
singular karena V (x) adalah polinom (suku banyak).I Jelas V (0) = V ( 92 ) = 0. Sedangkan V (2) = 200.
I V ′(x) > 0 pada (0, 2) dan V ′(x) < 0 pada (2, 92 ). Jadi V (2) adalahnilai maksimum (global).
3 Maka V mencapai nilai maksimum yaitu 200 saat x = 2.4 Ukuran kotak adalah p = 20, l = 5, dan tinggi x = 2.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 35 / 70
Solusi
1 V (x) = (24− 2x)(9− 2x)x = 4x3 − 66x2 + 216x untuk 0 ≤ x ≤ 92 .
2 V ′(x) = 12x2 − 132x+ 216 = 12(x− 2)(x− 9)I Titik-titik kritis: ujung interval ({0, 92}), stasioner ({2}), tidak ada titik
singular karena V (x) adalah polinom (suku banyak).I Jelas V (0) = V ( 92 ) = 0. Sedangkan V (2) = 200.I V ′(x) > 0 pada (0, 2) dan V ′(x) < 0 pada (2, 92 ). Jadi V (2) adalah
nilai maksimum (global).
3 Maka V mencapai nilai maksimum yaitu 200 saat x = 2.4 Ukuran kotak adalah p = 20, l = 5, dan tinggi x = 2.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 35 / 70
Solusi
1 V (x) = (24− 2x)(9− 2x)x = 4x3 − 66x2 + 216x untuk 0 ≤ x ≤ 92 .
2 V ′(x) = 12x2 − 132x+ 216 = 12(x− 2)(x− 9)I Titik-titik kritis: ujung interval ({0, 92}), stasioner ({2}), tidak ada titik
singular karena V (x) adalah polinom (suku banyak).I Jelas V (0) = V ( 92 ) = 0. Sedangkan V (2) = 200.I V ′(x) > 0 pada (0, 2) dan V ′(x) < 0 pada (2, 92 ). Jadi V (2) adalah
nilai maksimum (global).3 Maka V mencapai nilai maksimum yaitu 200 saat x = 2.
4 Ukuran kotak adalah p = 20, l = 5, dan tinggi x = 2.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 35 / 70
Solusi
1 V (x) = (24− 2x)(9− 2x)x = 4x3 − 66x2 + 216x untuk 0 ≤ x ≤ 92 .
2 V ′(x) = 12x2 − 132x+ 216 = 12(x− 2)(x− 9)I Titik-titik kritis: ujung interval ({0, 92}), stasioner ({2}), tidak ada titik
singular karena V (x) adalah polinom (suku banyak).I Jelas V (0) = V ( 92 ) = 0. Sedangkan V (2) = 200.I V ′(x) > 0 pada (0, 2) dan V ′(x) < 0 pada (2, 92 ). Jadi V (2) adalah
nilai maksimum (global).3 Maka V mencapai nilai maksimum yaitu 200 saat x = 2.4 Ukuran kotak adalah p = 20, l = 5, dan tinggi x = 2.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 35 / 70
Solusi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 36 / 70
Tips Menyelesaikan soal Masalah Praktis
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 37 / 70
Outline
1 Maksimum dan Minimum
2 Kemonotonan Fungsi
3 Kecekungan
4 Masalah Praktis (Practical Problem)
5 Menggambar Grafik denga Kalkulus
6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan
7 Antiturunan
8 Pengantar persamaan diferensial
9 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 38 / 70
Guidelines
Informasi-informasi berikut (walau tidak selalu semua ada ataudiperlukan) akan membantu kita untuk mensketsa grafik suatufungsi
1 Domain2 Titik-titik potong dengan sumbu-x atau sumbu-y3 Interval kemonotonan4 Titik stasioner, titik maks lokal dan min lokal5 Interval kecekungan6 Titik belok7 Asimptot: Horizontal, vertikal, miring (jika ada)
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 39 / 70
Contoh
Sketsa grafik f(x) = 2x2
x2−11 Domain : semua bilangan real kecuali x = −1 dan x = 1.2 f(0) = 0 dan f(x) = 0 memberikan x = 0. Jadi, grafik memotong
sumbu-x dan sumbu-y di (0, 0)3 f ′(x) = −4x
(x2−1)2 .I Titik kritis hanya titik stasioner. f ′(x) = 0 jika x = 0.I pada x > 0, f ′(x) < 0, grafik f turun pada (0, 1) ∪ (1,∞) kemudian
pada x < 0, f ′(x) > 0, grafik f naik pada (−∞,−1) ∪ (−1, 0)4 f ′′(x) = 4(3x2+1)
(x2−1)3 untuk semua x 6= −1, 1. Karena f ′′(0) = 4−1 < 0,
f(0) adalah nilai maks lokal.5 Tanda f ′′(x) ditentukan oleh tanda penyebut (x2 − 1)3 karena
pembilang selalu positif.
(x2 − 1)3 > 0 jika x2 − 1 > 0, jhj x < −1 atau x > 1 dan(x2 − 1)3 < 0 jika , x2 − 1 < 0 jhj − 1 < x < 1
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 40 / 70
6. limx→∞
2x2
x2−1 = 0 = limx→−∞
2x2
x2−1 = f(x). Terdapat satu asimptot datar
di y = 0.Calon asimptot tegak x = 1 dan x = −1.
limx→1+
2x2
x2 − 1= +∞.
garis x = 1 adalah asimptot tegak. limx→1−
2x2
x2−1 = −∞.
limx→−1+
2x2
x2 − 1= −∞
x=-1 asimptot tegak. limx→−1−
2x2
x2−1 =∞.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 41 / 70
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 42 / 70
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 43 / 70
Problem
Sketsa grafik fungsi berikut1 f(x) = x2√
x+1
2 f(x) = cosx2+sinx
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 44 / 70
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 45 / 70
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 46 / 70
Outline
1 Maksimum dan Minimum
2 Kemonotonan Fungsi
3 Kecekungan
4 Masalah Praktis (Practical Problem)
5 Menggambar Grafik denga Kalkulus
6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan
7 Antiturunan
8 Pengantar persamaan diferensial
9 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 47 / 70
TNR Turunan
Teorema Nilai Antara TurunanMisalkan f adalah fungsi yang memenuhi
1. f kontinu pada interval tutup [a, b].2. f differensiabel pada interval buka (a, b).
Maka terdapat c anggota (a, b) sedemikian sehingga
f ′(c) =f(b)− f(a)
b− a
atauf(b)− f(a) = f ′(c)(b− a)
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 48 / 70
Teorema Nilai Rata-rata Turunan
Contoh :Misalkan f(x) = x3 − x adalah fungsi yang terdefinisi pada [0, 2].Tentukan nilai c pada (0, 2) sedemikian sehingga
f ′(c) =f(2)− f(0)
2− 0
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 49 / 70
Teorema Nilai Rata-rata Turunan
TeoremaJika f ′(x) = 0 untuk setiap x ∈ (a, b) maka f fungsi konstan pada(a, b).
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 50 / 70
Teorema Nilai Rata-rata Turunan
TeoremaJika f ′(x) = 0 untuk setiap x ∈ (a, b) maka f fungsi konstan pada(a, b).
Proof.Misalkan x1 dan x2 anggota (a, b) dengan x1 < x2. Karena fdiferensiabel di (a, b) maka f juga diferensiabel di (x1, x2) dan kontinupada [x1, x2]. Dengan Teorema Nilai Antara dari f pada [x1, x2] ada csedemikian sehingga x1 < c < x2 dan
f(x2)− fx1 = f ′(c)(x2 − f(x1)
karena f ′(x) = 0 untuk setiap x , maka f ′(c) = 0. Sehinggaf(x2)− f(x1) = 0 atau f(x1) = f(x2). f bernilai sama untuk setiapx1, x2 di (a, b) atau f konstan pada (a, b).
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 50 / 70
Teorema Nilai Rata-rata Turunan
AkibatJika f ′(x) = g′(x) untuk setiap x pada interval (a, b) maka f − gkonstan pada (a, b) atau f(x) = g(x) + C, dengan c konstanta.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 51 / 70
Teorema Nilai Rata-rata Turunan
AkibatJika f ′(x) = g′(x) untuk setiap x pada interval (a, b) maka f − gkonstan pada (a, b) atau f(x) = g(x) + C, dengan c konstanta.
Misal F (x) = f(x)− g(x). Akibatnya
F ′(x) = f ′(x)− g′(x) = 0
untuk setiap x pada (a, b). Sehingga menurut teorema sebelumnyaF = C, jadi f(x) = g(x) + C.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 51 / 70
Outline
1 Maksimum dan Minimum
2 Kemonotonan Fungsi
3 Kecekungan
4 Masalah Praktis (Practical Problem)
5 Menggambar Grafik denga Kalkulus
6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan
7 Antiturunan
8 Pengantar persamaan diferensial
9 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 52 / 70
Antiturunan
Seringkali diperlukan juga menentukan fungsi F sehingga F ′ = f .Fungsi F disebut antiturunan dari f .
DefinisiFungsi F disebut antiturunan dari f pada interval I jika F ′(x) = f(x)untuk setiap x ∈ I.
Contoh: F (x) = x3 adalah antiturunan dari f(x) = 3x2 padainterval (−∞,∞).
I Tetapi F (x) = x3 + 10 juga memenuhi hubungan F ′ = f .I Tentunya F (x) + C, memenuhi hubungan F ′ = f , apapun nilaiC ∈ R.
Jadi, untuk setiap C ∈ R, F (x) = x3 + C adalah antiturunanf(x) = 3x2 pada interval (−∞,∞).Apakah setiap antiturunan dari f(x) = 3x2 juga berbentukF (x) = x3 + C?
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 53 / 70
Akibat TNR
TeoremaJika f ′(x) = g′(x) untuk setiap x ∈ (a, b), maka terdapat bilangan realC ∈ R sehingga
f(x) = g(x) + C untuk setiap x ∈ (a, b)
Proof.Misalan h(x) = f(x)− g(x). Pilih sembarang x1 ∈ (a, b). Untuk setiapx 6= x1, kriteria TNR terpenuhi. Jadi terdapat c diantara x1 dan xsehingga h(x1)− h(x) = h′(c)(x− c). Tetapi kita tahuh′(c) = f ′(c)− g′(c) = 0, sehingga h(x1)− h(x) = 0 atau h(x) = h(x1).Jadi h(x) = f(x)− g(x) = h(x1) konstan pada (a, b). Misal C = h(x1),f(x) = g(x) + C.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 54 / 70
Antiturunan
Teorema ini mengatakan jika dua fungsi turunannya sama, makaselisih diantara keduanya konstan.Kembali ke pertanyaan semula: Apakah setiap antiturunan darif(x) = 3x2 juga berbentuk F (x) = x3 + C?
I Bila g(x) adalah antiturunan dari f(x), dan F (x) = x3, makag′(x) = f(x) = F ′(x).
I Jadi,g(x) = F (x) + C = x3 + C,
untuk suatu C ∈ R
TeoremaJika F adalah antiturunan dari f pada interval I, maka bentuk palingumum dari antiturunan dari f adalah
F (x) + C, C konstanta sembarang
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 55 / 70
Antiturunan
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 56 / 70
Notasi Antiturunan
Notasi Leibniz: antiturunan dari f(x) ditulis sebagai∫f(x)dx
Jika F (x) adalah salah satu antiturunan dari f , maka∫f(x)dx = F (x) + C
yang menyatakan bentuk paling umum dari semua antiturunandari f .
I f(x) disebut integran.I x disebut variabel integrasi.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 57 / 70
Contoh
1 Jika r bilangan pecahan, f 6= −1, maka∫xrdx =
xr+1
r + 1+ C
2∫cosx dx = sinx+ C
3∫sinx dx = − cosx+ C
4 Kelinearan antiturunan :∫kf(x)dx = k
∫f(x)dx (1)∫
(f(x) + g(x))dx =
∫f(x)dx+
∫g(x)dx (2)
5 Jika g(x) mempunyai turunan pada interval I dan r 6= −1 bilanganpecahan, maka ∫
[g(x)]rg′(x)dx =[g(x)]r+1
r + 1+ C.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 58 / 70
Outline
1 Maksimum dan Minimum
2 Kemonotonan Fungsi
3 Kecekungan
4 Masalah Praktis (Practical Problem)
5 Menggambar Grafik denga Kalkulus
6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan
7 Antiturunan
8 Pengantar persamaan diferensial
9 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 59 / 70
Persamaan diferensial
Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkanturunan atau diferensial.Contoh: Tentukan persamaan kurva yang melalui titik (1, 2) dangradien garis singggungnya pada tiap titik adalah dua kalikoordinat-x titik tersebut.
I
dy
dx= 2x dan y(−1) = 2.
I Metode 1: Dari persamaan dydx = g(x) = 2x maka haruslah
y =
∫g(x)dx
yaitu y(x) = x2 + C. Karena melalui (1, 2) maka2 = y(−1) = (−1)2 + C. Jadi, C = 1. Persamaan kurva adalahy = x2 + 1.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 60 / 70
Persamaan diferensial
Metode 2: Padang dydx sebagai perbandingan dua diferensial,
kalikan kedua ruas dengan dx,dy = 2xdx∫dy =
∫2xdx
y + C1 = x2 + C2
y = x2 + C, C = C2 − C1
menggunakan data awal melalui (−1, 2), kita peroleh C = 1. Jadi,y = x2 + 1.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 61 / 70
Persamaan diferensial
Keluarga kurva y = x2 + C
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 62 / 70
Solusi Persamaan Diferensial
Bentuk umum persamaan diferensial orde-1:
F (x, y, y′) = 0.
contoh sin(xy) + x2y′ − y2y′ − 4 = 0Dalam bentuk eksplisit:
y′ = G(x, y)
Contoh: y′ = 4−sin(xy)x2−y2
Sebuah fungsi y = f(x) disebut Solusi (penyelesaian)persamaan diferensial F (x, y, y′) = 0, jika memenuhi persamaantersebut, yaitu
F (x, f(x), f ′(x)) = 0
Persamaan diferensial dengan syarat awal y(x0) = y0 disebutmasalah nilai awal. Contoh:{
y′ = 2xy(1) = 3
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 63 / 70
Contoh
MNA: dydx =
√xy , y(1) = 4.
√ydy =
√xdx∫ √
ydy =∫ √
xdx23y
32 = 2
3x32 + C
y =(x
32 + C
) 23
melalui y(1) = 4,
4 =(1
32 + C
) 23 ⇒ C = 4
32−1=7
Jadi solusi MNA adalah y =(x
32 + 7
) 23
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 64 / 70
Persamaan diferensial
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 65 / 70
Contoh
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 66 / 70
Contoh
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 67 / 70
Contoh
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 68 / 70
Outline
1 Maksimum dan Minimum
2 Kemonotonan Fungsi
3 Kecekungan
4 Masalah Praktis (Practical Problem)
5 Menggambar Grafik denga Kalkulus
6 Teorema Nilai Rata-rata Turunan
7 Antiturunan
8 Pengantar persamaan diferensial
9 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 69 / 70
Referensi
E.J. Purcell, J.W. Brown, S.E. Rigdon Calculus: Ninth Edition,Pearson International Edition,Singapore 2009.
J. Stewart Calculus: 7th Edition, Brooks Cole, New York 2011.
Oki Neswan Slide Kuliah Kalkulus IB FMIPA-ITB 2011.
R. Larson Applied Calculus: For the life and social science, Houghton Mifflin HarcourtPublishing Company, Boston USA 2009.
Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 70 / 70