Upload
lydieu
View
440
Download
15
Embed Size (px)
Citation preview
KALKULUS KALKULUS KALKULUS KALKULUS KALKULUS KALKULUS KALKULUS KALKULUS VARIASIVARIASIVARIASIVARIASIVARIASIVARIASIVARIASIVARIASIVARIASIVARIASIVARIASIVARIASIVARIASIVARIASIVARIASIVARIASI
JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA FPMIPAUNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
B
Bidang Bentuk kurva apakah yang menunjukkan jarak terpendek yang menghubung-kan titik A dan titik B dalam bidang datar
Simak Pertanyaan !
A
dalam bidang datar di samping ?
B
Bidang
Simak Jawaban !
Tentu mudah jawabnya, yaitu kurva C yang berbentuk garis
C
A
lurus yang menghubungkan langsung A dan B.
C
Persoalan kurva yang menandai jarak terpendek yangmenghubungkan dua titik dalam bidang yang dikenal sebagai “Geodesic” tercakup dalam persoalan nilai “maksimum” atau“minimum” suatu fungsi, atau lebih umum disebut sebagaipersoalan nilai “Stasioner”.
Menurut kalkulus dasar, syarat perlu suatu fungsi f(x) bernilaistasioner adalah :
0=dx
df
Dalam Fisika, persoalan nilai stasioner (maksimum/minimum)suatu fungsi banyak dijumpai, dan analisis sifat stasioner suatukuantitas fisika banyak menghasilkan hukum dan prinsip.
ContohA B
Sinar datang dari titik A menuju cermin
Cermin datar
A menuju cermin datar dan dipantulkan ke titik B. Dari sekian banyak lintasan yang dapat dilalui sinar, hanya satu lintasan yang sesungguhnya akan dilalui sinar.
Lintasan manakah itu ???
Prinsip Fermat : Sinar datang dari titik A menuju cermin dandipantulkan ke titik B akan menempuh satu lintasan tertentuyang jaraknya terpendek atau waktu tempuhnya tersingkat
Dari prinsip ini lahirlah hukum Snelius tentang pemantulancahaya
Sudut Datang = Sudut PantulSudut Datang = Sudut PantulSudut Datang = Sudut PantulSudut Datang = Sudut Pantul
Bukti
Cermin datar
A B
θ θ’
ba l2l1
x d-x
N
d
21 lll +=
( )2222 xdbxal −+++=
Menurut Fermat l harus terpendek
Bukti
( ) 02222 =
−+++= xdbxa
dx
d
dx
dl
Menurut kakulus syarat perlu suatu kuantitas minimum adalah turunan pertama bernilai nol (0), dalam hal ini :
0=dx
dl
( ) ( ) ( )( ) ( )( )2/12/1 −−( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 01222/122
21
2/1222
1 =−−−+++−−
xdxdbxxa
( )( )
02222
=−+
−−+ xdb
xd
xa
x
( )( )2222 xdb
xd
xa
x
−+
−=+
Sin θ = Sin θ’ θ = θ’ Hukum Snellius
( )∫ ==2
1
';',,x
x dx
dyydxyyxFI
Dalam Kalkulus Variasi, kuantitas atau fungsi yang dibuatstasioner dinyatakan dalam notasi integral (I) sebagai berikut :
Pada persoalan awal yaitu kurva yang menandai jarakterpendek yang menghubungkan dua titik dalam bidang
∫== dSSI y∫dS
dy
dx
x
∫ +== 22 dydxSI
dxdx
dySI ∫
+==2
1
dx
dyydxySI =+== ∫ ';'1 2 ( )
dx
dyyyyyxF =+= ';'1',, 2
Penanganan persoalan ini dilakukan dengan Prinsip Variasisehingga teknik ini disebut Kalkulus Variasi :
dx
dyydxySI =+== ∫ ';'1 2
Dalam persoalan ini ingin diketahui kurva y = f(x) yang menandai jarakterpendek atau kuantitas berikut bernilai paling kecil :
Dengan prinsip Variasi, kurva y(x) divariasikan nilainya di atas maupundi bawah nilai sesungguhnya. Variasi ini diwakili oleh suatu fungsi
sembarang η(x) seperti pada gambar berikut.
Y(x) = y(x) + εη(x)
x
Y
(x2,y2)
(x1,y1) y(x)
Y(x)
ε
x
η
x1x2
η(x)
η(x) adalah suatu fungsisembarang yang berkelakuanbaik diantara x1 dan x2.nilainya nol di x = x1 dan di x =x2
ε adalah suatu parameter
∫ +=2
1
2'1x
x
dxYI
Dengan variasi ini, maka sekarang kita menginginkan kuantitas berikut bernilai minimum
Dan I sekarang menjadi fungsi parameter ε; jika ε = 0 maka Y = y(x).Persoalan sekarang adalah membuat I(ε) memiliki nilai minimumketika ε = 0. Dengan kata lain :
0;0 == εεd
dI
ketika ε = 0. Dengan kata lain :
Jika kita lakukan diferensiasi I terhadap ε, didapat :
∫
+=
2
1
''2
1
1
2
12'
x
x
dxd
dYY
Yd
dI
εε
( )xd
dY'
' ηε
=
Dan jika kita lakukan diferensiasi persamaan Y(x) terhadap x,didapat :
( ) ( ) ( )xxyxY ''' εη+=
didapat
( ) ( )0
'1
''2
1
20
=+
=
∫
=
dxy
xxy
d
dIx
x
ηε ε
Jika hasil terakhir ini disubstitusi ke prs dI/dε dan mengambildI/dε = 0 ketika ε = 0, maka didapat :
( ) ( )0
'1
''2
1
20
=+
=
∫
=
dxy
xxy
d
dIx
x
ηε ε
( )dxxdvy
yu η=
+= ',
'1
'2
Kita dapat mengintegrasi secara by part (parsial) terhadapintegral ini, sebagai berikut :
( )xvdxy
y
dx
ddu η=
+= ,
'1
'2
dan
( ) ( ) 0'1
'
'1
'22
0
2
1
2
1
=
+−
+=
∫
=
dxy
y
dx
dxx
y
y
d
dIx
x
x
x
ηηε ε
0' =
yd
didapat
( ) ( ) 0'1
'
'1
'22
0
2
1
2
1
=
+−
+=
∫
=
dxy
y
dx
dxx
y
y
d
dIx
x
x
x
ηηε ε
= 0 ≠ 0
sehingga 0'1
'2
=
+ y
y
dx
d
Cy
y =+ 2'1
'
sehingga
atau
2'1' yCy +=
( ) 222222 ''1' yCCyCy +=+=
( ) 222 1' CCy =−
( )2
2
22
1' K
C
Cy =
−=
Ky ='
Kdx
dy =
dxKdy =
∫ +== BKxKdxy
Merupakan persamaangaris lurus linier sepertiyang diramalkan di awal
( )∫=2
1
,',,x
x
dxyyxFI
( ) ( ) ( )xxyxY εη+=
( ) ( )∫=2
',,x
dxYYxFI ε
Persamaan Euler
Tapi
sehingga
Kembali ke kuantitas
∫1x
∫
∂∂+
∂∂=
2
1
'
'
x
x
dxd
dY
Y
F
d
dY
Y
F
d
dI
εεε
( ) ( )∫
∂∂+
∂∂=
2
1
''
x
x
dxxY
Fx
Y
F
d
dI ηηε
Jika I diturunkan terhadap ε, didapat
atau
( ) ( ) 0''
2
10
=
∂∂+
∂∂=
∫
=
x
x
dxxy
Fx
y
F
d
dI ηηε ε
( ) ( ) ( )dxxy
F
dx
dx
y
Fdxx
y
Fx
x
x
x
x
x
ηηη
∂∂−
∂∂=
∂∂∫ ∫ ''
''
2
1
2
1
2
1
Untuk ε = 0 maka dI/dε = 0
Jika kita lakukan proses integrasi untuk suku kedua didapat :0
x xx 1 11
( ) 0'
2
10
=
∂∂−
∂∂=
∫
=
dxxy
F
dx
d
y
F
d
dIx
x
ηε ε
0'
=∂∂−
∂∂
y
F
y
F
dx
dPersamaan Euler
Maka :
atau
∫ +=2
1
2'1x
x
dxyI
( ) 2'1',, yyyxF +=
0,' =
∂∂=
∂∂ FyF
Dalam persoalan kurva yang menandai jarak minimum yang menghubungkan dua buah titik dalam bidang, yakni :
maka
dan 0,'1' 2
=∂+
=∂ yyy
0'1
'2
=
+ y
y
dx
d
Sama seperti sebelumnya
dan
Sehingga persamaan Eulernya :
0'
=∂∂−
∂∂
y
F
y
F
dx
d
ds
dxyx
x
x
x
∫
∫ +
2
2
1
2
.2
'1.1
Latihan Soal
dxye
x
ds
x
x
x
x
∫
∫
+2
1
1
2'1.3
.2
Penggunaan Persamaan Euler
( )∫ = drddrrF θθθθ ';',,
a. Variabel lain
0'
=∂∂−
∂∂
θθFF
dr
d
Varibel r dan θθθθ
0'
=∂
−
∂ θθdr
Varibel s dan p
( )∫ = dsdppdsppsF ';',,
0'
=∂∂−
∂∂
p
F
p
F
ds
d
( )∫ = dtdxxdtxxtF && ;,,
Variabel t dan x
0=∂∂−
∂∂
x
F
x
F
dt
d&
dst................
Contoh SoalTentukan lintasan yang akan dilalui sinar cahaya jika indeks bias (dalam koordinat polar) sebanding dengan r-2 !
∫ ∫−= dsrdsn 2
∫ ∫ +=+ −− drrrdrdrr 2222222 '1 θθ
( )','1 222 θθ rFrrF =+= −
Persamaan Euler :
0'
=∂∂−
∂∂
θθFF
dr
d
0=∂∂
θF
Karena F bukan fungsi θ
( ) ( )
+=∂∂ −− '2'1
2
1
'22/1222 θθ
θrrr
F
22 '1
'
' θθ
θ r
F
+=
∂∂
0=∂θ
Karena F bukan fungsi θ
00'1
'22
=−
+ θθrdr
d
Cr
=+ 22 '1
'
θθ
22 '1' θθ rC +=
( ) 22222222 ''1' θθθ rCCrC +=+=
( ) 2222 1' CrC =−θ
( )22
22
1'
rC
C
−=θ
Cr
=− 22 '1
'
θθ
( )221 rC−
221'
rC
C
−=θ
221 rC
C
dr
d
−=θ
C
drrC
Cd
221−=θ
BCrSinCArc
drrC
C
+=
−= ∫
θ
θ221
b. Integral Pertama dari Persamaan Euler
0'
=∂∂−
∂∂
y
F
y
F
dx
d
0=∂F
Persamaan Euler untuk F(x,y,y’) adalah
Jika F bukan fungsi y, yakni F(x,y’), maka :
0'
=
∂∂
y
F
dx
dC
y
F =∂∂
'
0=∂∂
y
F
Sehingga persamaan Eulernya menjadi :
atau
Keadaan ini disebut integral pertama dari persamaan Euler
Integral Pertama dari Persamaan Euler
Jika suatu persoalan dapat diarahkan ke bentuk integral pertamapersamaan Euler, maka pengerjaannya akan lebih mudah dan lebihsederhana.Cara yang dapat ditempuh agar suatu persoalan mengarah keintegral pertama persamaan Euler adalah melakukan pertukaranvariabel, yaitu pertukaran variabel bebas dengan variabel terikatseperti berikut :seperti berikut :
'
1'
1
ydx
dy
dy
dxx =
==−
dyxdydy
dxdx '==
dan
∫+
= dxy
yI
2'1
( )y
yyyxF
2'1',,
+=
Tentukan dan selesaikan persamaan Euler agar kuantitas berikutstasioner !
Dari soal dapat ditentukan F sebagai berikut :
( )y
yyxF ',, =
( ) ( )2
2/1221
'1
''2'1
' yy
y
y
yy
y
F
+=+=
∂∂
−
2/3
22/1212
2
'1'1
y
y
y
yy
y
F +−=
+−=
∂∂ −
sehingga
'1' 2
+
yyd
atau
Dengan demikian persamaan Eulernya menjadi :
0'
=∂∂−
∂∂
y
F
y
F
dx
d
02
'1
'1
'2/3
2
2=
+−−
+ y
y
yy
y
dx
d
Tampak tidak sederhana bukan ?? Dan mencarisolusinya tidak cukup mudah
dyxdyxydxy 1'''1'1 222 +=+=+
∫+= dyy
xI
2'1
Sehingga F nya sekarang berubah menjadi :
Coba sekarang lakukan pertukaran variabel bebas dengan terikat sbb:
Sekarang kuantitas yang dibuat stasioner menjadi :
0'
=∂∂−
∂∂
x
F
x
F
dy
d
Sehingga F nya sekarang berubah menjadi :
( )y
xxyF
2'1',
+=
Dengan demikian persamaan Eulernya menjadi :
0=∂∂
x
F
00'1
' =−
+ xy
x
dy
dDan
Sehingga persamaan Eulernya menjadi :
00' =−
xd
Cxy
x =+ 2'1
'
00'1
' =−
+ xy
x
dy
d
Tampak lebih mudah diselesaikan dari sebelum dilakukan pertukaran variabel
Beberapa variabel terikat; Persamaan Lagrange
Dalam persoalan nilai stasioner ini sesungguhnya tidak perlu terbataspada sesudah variabel terikat, melainkan bisa terdiri atas beberapavariabel terikat.
Ingat kembali pada kalkulus dasar, bahwa jika x = f(x), maka syarat perluagar f(x) bernilai stasioner adalah :
0=dy0=
dx
dy
0=∂∂x
z
Dan jika suatu z = f(x,y) maka untuk kondisi ini, syarat stasioner adalah :
0=∂∂y
zdan
Beberapa variabel terikat; Persamaan Lagrange
Analog dengan itu terjadi pula dalam kalkulus variasi. Misalkan kitadiberikan sebuah F yang merupakan fungsi dari :
dan kita ingin mencari dua kurva y = y(x) dan z = z(x) yang membuat :
,,,,, xzy dxdz
dxdy
( ) dy( )∫ === dxdzzdx
dyyzyzyxFI '';',',,,
bernilai stasioner. Maka nilai integral I bergantung pada y(x) dan z(x).Untuk kasus ini terdapat dua persamaan Euler, satu untuk y dan satulagi untuk z, seperti berikut
0'
0'
=∂∂−
∂∂=
∂∂−
∂∂
z
F
z
F
dx
ddan
y
F
y
F
dx
d
Prinsip Hamiltonian dalam Mekanika
Dalam Fisika Dasar, hukum II Newton merupakan persamaanfundamental dalam membahas gerak benda.
Dalam mekanika lanjut, persoalan gerak benda dianalisis dari sudutpandang yang berbeda, yang disebut prinsip Hamiltonian
∑ = amFrr
pandang yang berbeda, yang disebut prinsip Hamiltonian
∫=2
1
t
t
dtLI
Prinsip ini menyatakan bahwa suatu partikel atau sistem partikel selalubergerak pada suatu lintasan sedemikian rupa sehingga :
bernilai stasioner, dengan :
VTL −= L disebut Lagrangian, T energi kinetik partikel, Venergi potensial partikel
Persamaan Lagrange
Untuk persoalan ini terdapat persamaan Euler, yang lebih dikenalsebagai persamaan Euler-Lagrange atau persamaan Lagrange, yangjumlahnya bergantung pada jumlah variabel terikat. Untuk 3 Dimensimaka persamaan Lagrange-nya dalam sistem kartesian adalah :
0=∂∂−
∂∂
x
L
x
L
dt
d&
0
0
0
=∂∂−
∂∂
=∂∂−
∂∂
=∂
−
∂
z
L
z
L
dt
d
y
L
y
L
dt
d
xxdt
&
&
&
Contoh Soal
Sebuah benda dijatuhkan secara bebas dari ketinggian tertentu dekatpermukaan bumi. Tentukan persamaan gerak benda yang jatuh bebastersebut !
Dengan Hukum II Newton
∑ = amFrm
y
mgWF −==
ga
amgm
y
yrr
rr
−=
=−
Resultan gaya yang bekerja pada benda adalah gaya berat :
sehingga :
g
h
W
Contoh Soal
gtvy −=r
m
h
∫−= dtgvy
r
Kecepatan benda sbg fungsi waktu
v0 = 0
∫= dtvyrr
( )∫ −= dtgtyr
gW
02
21 ygty +−=r
posisi benda sbg fungsi waktu
Contoh Soal
Sebuah benda dijatuhkan secara bebas dari ketinggian tertentu dekatpermukaan bumi. Tentukan persamaan gerak benda yang jatuh bebastersebut !
Dengan prinsip Hamiltonian
VTL −=m
221 ymT &=
Dengan :
sehingga :g
h
W
mgyV =
mgyymL −= 221 &
Persamaan Lagrange
0=∂∂−
∂∂
y
L
y
L
dt
d&
ymy
L&
&=
∂∂
d
mgy
L −=∂∂
( ) ( ) 0=−− mgymdt
d&
( ) ( )ga
mgym
y −==+ 0&&
Sama seperti sebelumnya
Prinsip Variasi Van Baak dalam Rangkaian DC
Dalam Fisika Dasar, teorema simpal Kirchoff merupakan teoremafundamental dalam membahas rangkaian listrik arus searah (DC).
Dari sudut pandang lain, persoalan rangkaian arus listrik DC dapatdiselesaikan menggunakan prinsip Variasi Van Baak
∑ ∑ =+ 0iRε
diselesaikan menggunakan prinsip Variasi Van Baak
∑=
=n
kkkd RiP
1
2
gd PPS 2−=
Prinsip ini menyatakan bahwa arus listrik akan mengalir ke suatupercabangan rangkaian sedemikian rupa sehingga :
bernilai stasioner, dengan :
∑=
=n
kkkg iP
1
ε
Syarat perlu :
0=∂∂
ki
S
k = jumlah cabang dalam rangkaian
Contoh soal
Gunakan prinsip variasi untuk menyelesaikan persoalan rangkaian listrik berikut ini. Tentukan kuat arus listrik yang mengalir pada setiap cabang rangkaian di bawah ini !
R2 = 1 Ωi2
i3
i1
R1 = 2 Ω
R3 =3 Ωε2 = 1V
ε1 = 2V
ε3 = 3V
Jawab
Prinsip Variasi Van Baak : S = Pd – 2 Pg
2)(64)(32
26432
32
32
222
2312
22
32
1
213
231
22
23
21
2
iiiiiiiiS
iiiiiiS
iiiiiiiPg
iiiRiPd
kk
kk
−+−−+++=
−−−++=
+=
++==
++==
∑∑
ε
),(
2)(64)(32
21
22112
22
212
1
iiSS
iiiiiiiiS
=−+−−+++=
0262)(60
064)(640
2212
2111
=−−++→=∂∂
=−−++→=∂∂
iiii
S
iiii
S
Jawab
886
10610
21
21
=+=+
ii
ii
443
535
21
21
=+=+
ii
ii
Ai
i
ii
ii
11
5
511
202015
15915
2
2
21
21
=
−=−
=+
=+
−
ii
5
355 21
−=iii +=
Ai
i
i
i
11
811
405
11
15555
11
5355
1
1
1
1
=
=
−=
−=
Ai
i
iii
11
1311
8
11
5
3
3
213
=
+=
+=
SEKIAN…
TERIMA KASIH…