Kalkulus Vektor

Sistem koordinat merupakan sistem yang digunakan untuk menggambarkan posisi sesuatu di dalam ruang. Suatu sistem koordinat hendaknya mematuhi empat kaidah-kaidah berikut.(1) Memiliki titik asal(2) Memiliki sumbu-sumbu koordinat (3) Setiap sumbu haruslah memiliki wilayah positif (4) Terdapat vektor satuan pada setiap sumbunyaTerdapat banyak sekali sistem koordinat, namun di makalah ini cukup di bahas empat yang paling penting, yaitu sistem koordinat kartesian, silinder, bola, dan kurvilinear umum.

Sistem koordinat kartesian merupakan sistem koordinat yang kita kenal pertama kali, sejak kita sekolah dasar dahulu. Sistem koordinat kartesian ini menggunakan sumbu-sumbu x, y, z yang saling tegak lurus satu sama lain untuk menggambarkan posisi sesuatu di dalam ruang berdi-mensi tiga. Vektor-vektor satuan pada sistem koordinat kartesian biasa dilambangkan dengan , ,i j k dengan magnitudo vektor sebesar satu dan tegak lurus antar sesamanya. Deskripsi posisi suatu titik: P(x, y, z)Deskripsi jarak (S) antara dua titik:

( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 2 1S x x y y z z= + +

Elemen garis dS : d dx dy dz= + +S i j k

Elemen volume dV= dxdydz.

Gambar 1: sistem koordinat kartesian.

Sistem koordinat silinder merupakan sistem koordinat yang menggambarkan posisi sesuatu (P) sebagai kombinasi antara sudut () dan jari-jari (r) hasil proyeksi vektor posisinya ter-hadap bidang datar ditambah dengan ketinggiannya (z) dari bidang datar tersebut. Vektor-vektor satuannya biasa dilam-

bangkan oleh simbol yang masing-masing saling tegak lurus.

Elemen garis dS :

Elemen volume dV rdrd dz= . Gambar 2: sistem koordinat silinder.

1

I S I S T E M K O O R D I N AT

1 Kartesian

2 Silinder

Sistem koordinat bola merupakan sistem koordinat yang menerangkan posisi sesuatu (P) dengan menggunakan

sudut yang dibentuk vektor posisi P terhadap bidang datar (), sudut yang dibentuk proyeksi vektor posisi pada bidang datar (), dan jari-jari bola yang P berada di per-mukaannya (r). Vektor-vektor satuan pada sistem koordi-

nat bola biasa dilambangkan dengan , masing-masing saling tegak lurus dengan yang lainnya.

Deskripsi posisi suatu titik: P(r, , )Elemen garis dS :

Elemen volume .

I I A L J A B A R V E K T O R

Sistem koordinat kurvilinear umum adalah sistem koor-dinat yang sumbunya adalah tiga garis singgung dari tiga bidang kurva yang bertemu di satu titik. Posisi titik P adalah P(h1, h2, h3) dalam koordinat kurvilinear, dengan

vektor-vektor satuannya 1 2 3e ,e ,e . Ketiga vektor satuan ini adakalanya tidak tegak lurus satu sama lain, dan be-sarnya tidak sama dengan satu.

Elemen garis:

2 3 2 3 3 1 3 1 1 2 1 2d h h dx dx h h dx dx h h dx dx= + +1 2 3S e e e .

Elemen volume:

1 2 3 1 2 3dV h h h dx dx dx= .

Gambar 3: sistem koordinat bola.

Gambar 4: sistem koordinat kurvilinear umum.

Dalam menggambarkan vektor, kita biasa menggunakan sebuah panah dengan arah mata panah menunjukkan arah vektor dan panjangnya sebagai magnitudo vektor. Selain dapat divisualisasikan, kita dapat melakukan berbagai operasi matematis sederhana kepada vektor-vektor tersebut. Operasi-operasi tersebut diantaranya adalah sebagai berikut.

Penambahan dan pengurangan vektor

( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 a b a b a b = + + A B i j k

Gambar 5: Operasi penambahan dan pengurangan dua buah vektor.

2

3 Bola

4 Kurvilinear Umum

Hasil kali dot antara dua buah vektor

( )

1 1 2 21

cos

...n

i i n ni

x y x y x y x y

=

=

= = + + +

X Y X Y

X Y

Hasil kali silang antara dua buah vektor

Gambar 6: Operasi dot dua buah vektor.

Gambar 7: Operasi kali silang dua buah vektor.

sin =a b a b n2 2 2 2| | | | | | ( ) = a b a b a b

Triple vector product.

( ) ( ) ( ) = a b c a c b a b c

( ) V =a b c

Triple scalar product.

V adalah volume paralelogram yang dibentuk oleh ketiga vektor a, b, c (gambar 8).

Gambar 8: Triple scalar product sebagai volume paralelogram.

Dari uraian sebelumnya, jelaslah bahwa operasi penam-bahan, pengurangan, dan perkalian silang akan meng-hasilkan vektor baru, sementara operasi perkalian titik akan menghasilkan suatu besaran skalar, yaitu besaran yang tidak berubah apabila ditransformasi. Perkalian langsung antara dua buah vektor akan menghasilkan suatu tensor, hal itu di luar cakupan materi makalah ini.

Rumus-rumus penting terkait aljabar vektor.

Magnitudo vektor a2 2 2

1 2 3a a a= + +a

arccos

=

a ba b

besar sudut antara dua buah vektor vektor a dan b:

Pada sistem koordinat ortogonal, vektor-vektor satuan nx dapat ditentukan dengan rumus berikut:

nn nx x

=

r rx

3

Terdapat suatu garis lurus yang melewati titik (x0, y0, z0) dan (x, y, z). Garis ini pasti sejajar dengan suatu vektor A = ai + bj + ck. Dengan hal-hal tersebut, kita bisa menyusun suatu persamaan garis sebagaimana berikut.

0 0 0x x y y z za b c

= =

Jika salah satu dari a, b, c ada yang bernilai 0, maka nilai x, y, z akan sama dengan (x0, y0, z0). Misalkan b=0, maka y=y0.

Bidang, merupakan kumpulan dari titik-titik berkoordinat (x,y,z) yang banyak sekali. Terdapat sebuah titik (x0, y0, z0) sehingga dari titik (x,y,z) manapun dapat ditarik garis ke sana, membentuk vektor R. Vektor R tegak lurus vektor N = ai + bj + ck. Dari data-data tersebut, dapat disusun persamaan bidang berikut menurut 0=N R .

( ) ( ) ( )0 0 0 0a x x b y y c z z + + =

Gambar 10: Illustrasi perumusan persa-maan bidang.

Gambar 9: Illustrasi perumusan persa-maan garis.

I V D I F E R E N S I A S I V E K T O R

Dalam koordinat Cartesian, jika ada suatu vektor x y zA A A= + +A i j k yang Ax, Ay, Az meru-pakan sebuah fungsi t,maka

yx zdAdA dAddt dt dt dt

= + +A i j k

.Hal di atas berlaku jika arah vektor satuan tidak berubah-ubah. Pada sistem koordinat lain, vek-tor unit (terkadang) berubah arahnya seiring perubahan posisi. Pada sistem koordinat silinder, arah vektor unit berubah-ubah seiring berubahnya posisi. Begitu pula dengan koordinat bola dan kurvilinear umum.

Pada sistem koordinat silinder, arah vektor satuan jari-jari er dan vektor satuan sudut azimuthal e berubah-ubah tergantung posisi, hanya arah vektor satuan tinggi ez yang tetap.

4

I I I P E R S A M A A N G A R I S D A N B I D A N G

Akhirnya, diferensiasi vektor satuan pada koordinat silinder adalah ,

dan karena ez=k. Jika diberikan suatu vektor A=Arer+Ae+Azez yang komponen-kompo-nennya merupakan sebuah fungsi berdomain t, maka dA/dt nya adalah sebagai berikut.

r zr r r z

dAdA dAd d dA Adt dt dt dt dt dt

= + + +

A e e e e e.

Pada koordinat bola, posisi suatu titik P diterangkan sebagai P(r, , ). Hubungan r, , dengan x, y, z dapat diterangkan melalui rumus berikut.

cos sin , sin sin , cosx r y r z r = = =

Sehingga,

Gambar 11: Vektor satuan yang arahnya selalu berubah tergantung posisinya.

Vektor-vektor satuannya adalah sebagai berikut.

Pada koordinat bola, vektor kecepatan dari vektor posisi adalah sebagai beri-kut.

Pada koordinat kurvilinear umum, telah diketahui sebelumnya bahwa elemen garis dS pada

sistem koordinat tersebut adalah 2 3 2 3 3 1 3 1 1 2 1 2d h h dx dx h h dx dx h h dx dx= + +1 2 3S e e e . h1, h2, h3 meru-pakan faktor skala yang bergantung pada arsitektur bidang koordinat 1, 2, 3, di titik pengukuran dan dapat dirumuskan sebagai berikut.

ii

hx

=

r

5

V O P E R AT O R V E K T O R1 GradienGradien pada Sistem Koordinat Kartesian

Perubahan posisi dalam koordinat kurvilinear umum dilambangkan oleh dr dan dirumuskan sebagai berikut.

1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 31 2 3

d dx dx dx h dx h dx h dxx x x

= + + = + +

r r rr b b b

Sehingga vektor kecepatan dalam koordinat kurvilinear umum adalah31 2

1 2 3dtdxdx dxd

dt x x d xt dt

= + +

r r r r

.

2 Divergensi

Gradien pada Sistem Koordinat Silinder

Gradien pada Sistem Koordinat Bola

Gradien pada Sistem Koordinat Kurvilinear Umum

Divergensi pada Sistem Koordinat Kartesian

Divergensi pada Sistem Koordinat Silinder

Divergensi pada Sistem Koordinat Bola

x y z

= + +

x y z

2 31 1 2 2 3 3

1 1 1h x h x h x

= + +

1e e e

yx zFF Fx y z

= + +

F

( )1 1 zrF FrF

r r r z

= + +

F

6

3 Curl

Divergensi pada Sistem Koordinat Kurvilinear Umum

Curl pada Sistem Koordinat Kartesian

Curl pada Sistem Koordinat Silinder

Curl pada Sistem Koordinat Bola

Curl pada Sistem Koordinat Kurvilinear Umum

2 3 1 3 1 2 1 2 31 2 3 1 2 3

1 ( ) ( ) ( )h h f h h f h h fh h h x x x

= + +

F

1 2 2 3 3

1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

1h h h

h h h x x xh F h F h F

=

1e e e

F

y yx xz zF FF FF Fy z z x x y

= + + F x y z

V I L A P L A C I A N

Rumus Laplace: 2 0 = , dengan suatu fungsi skalar.

Laplacian pada koordinat Kartesian:2 2 2

22 2 2x y z

= + +

2 2 22

2 2 2 0x y z

= + + =

Rumus Laplace dan solusinya:

( ), , ayax i a bzx y z C e e e += C, a, dan b adalah konstanta.

Identitas Laplacian vektor: 2 ( ) ( ) = A A A

Laplacian vektor: 2 2 2 2 x y zA A A + +=A x y z

7

V I I T E O R E M A S T O K E S

Laplacian pada koordinat Silinder:

Rumus Laplace dan solusinya:

k dan n adalah konstanta. i adalah akar kuadrat dari (-1). Jn(x) adalah fungsi Bessel orde ke-n.

Laplacian vektor:

( ) ( ),, kz in nr e J krz =

Laplacian pada koordinat Bola:

Rumus Laplace dan solusinya:

Laplacian vektor:

2 22

2 2 2

1 1rr rr zr + +

=

2 22

2 2 2

1 1 0rr r zr r

+ + =

=

22 2

2 2 2 2 2

1 1 1sin

sin sinr

r r r r r

+ +

=

22 2

2 2 2 2 2

1 1 1sin 0

sin sinr

r r r r r

+ + =

=

( ) ( )( ) ( )10

, cosnnn n nn

r A r B r P

+

=

= + A, B, dan n adalah konstanta. Pn(x) adalah Polinomial Legendre orde ke-n.

Terdapat suatu permukaan halus S yang dibatasi oleh keliling C yang juga halus (halus di sini maksudnya adalah tidak me-nyudut di seluruh bagiannya).Kemudian terdapat medan vektor F yang mengalir keluar (atau ma-suk) melalui permukaan S terse-but. Teorema Stokes menyatakan bahwa:

( )C S

d dS = F r F n

dr adalah irisan-irisan kecil lintasan C, dinyatakan dalam vektor. dS adalah komponen-komponen kecil luasan permukaan S, digambarkan sebagai persegi-persegi kecil.

lintasan C

permu

kaan S

lintasan C

F

ndS

{

dr

Gambar 12: Visualisasi Teorema Stokes.

8

V I I I T E O R E M A G R E E N

I X T E O R E M A G A U S S

X R U M U S K O N T I N U I TA S

dr{

lintasan C

permu

kaan S

F=P(x,y)i + Q(x,y)j

dxdy

x

y

Terdapat suatu permukaan datar S yang dibatasi oleh keliling C yang halus. Ter-dapat suatu medan vektor F yang men-galir keluar (atau masuk) melalui permu-kaan S tersebut, dan magnitudo medan vektor F bergantung pada posisi x dan y, F = P(x,y)i + Q(x,y)j. Teorema Green memberikan hubungan:

( ) ( )C S

Q PPdx Qdy dxdyx y

+ =

dS

dV F

ndS

Volume V

Selimut volume S

Gambar 13: Visualisasi Teorema Green.

Gambar 14: Visualisasi Teorema Gauss.

Di sebuah ruang, terdapat suatu volume V yang diselimuti oleh S. Gumpalan volume tersebut dilewati oleh medan vektor F yang mengalir ke-luar (atau masuk). Teorema Gauss menyatakan bahwa:

( )V S

dV dS = F F n.

Andaikata ada fluida dengan massa jenis yang mengalir keluar dari suatu lubang seluas A,fluida tersebut memiliki laju aliran (debit) v. Maka hubungan antara v dan adalah:

( ) 0t

+ =

v

Artinya, dalam aliran ideal yang berkelanjutan (kontinyu) banyaknya volume yang dikeluarkan sama dengan volume yang dimasukkan.

9

[1] Abraha, Kamsul. Matematika Fisika. Yogyakarta: Jurusan Fisika FMIPA UGM, _______. Tercetak.

[2] Boas, Mary L. Mathematical Methods in the Physical Sciences. New Jersey: John Wiley and Sons, Inc., 2006. Tercetak.

[3] Riley, K.F., Hobson, M.J., Bence, S.J. Mathematical Methods for Physics and Engineering. New York: Cambridge University Press, 2006. Dijital.

D A F TA R P U S TA K A

10