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doannhan
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0 Einführung
0.1 Entwicklungsetappen Klassische Analyse - Approximationstheorie (Michlin, 1967) - spezielle analytische Lösung (Binns, 1963) - Transformationen (Schwarz, 1869) (Christoffel, 1870) Graphische Methoden (Johnson, 1927) (Stevenson, 1927) (Bewley, 1948) Netzwerkmodelle - Widerstandsnetzwerke (Liebman, 1949/52) (Duffin, 1959) Kontinuierliche Modelle - leitendes Papier (Karplus, 1958)
- elektrolytischer Trog Finite – Differenzen - Methode (Binns, 1963) Variationsrechnung - Rayleigh – Ritz - Verfahren (Ritz, 1909)
(Gould, 1957) (van Bladel, 1964) (Kornhauser, 1952) (McDonald, 1974) Statistische Verfahren - Monte – Carlo - Methode (Ehrlich, 1959) 0.2 Moderne numerische Feldberechnung
Anfang der siebziger Jahre
- 2D, statisch FDM (Trowbridge, 1972) FEM (Silvester, 1970)
- 3D FDM (Müller, 1972/83) IGM (Tozoni, 1975) Mitte der siebziger bis Mitte der achtziger Jahre
- zeitabhängige Probleme, 2D + 3D - interaktive Grafiktechniken (Csendes, 1981) - vorkond. konjugierte Gradientenverfahren (PCCG) (Kershaw, 1978) - automatische Netzgenerierung (2D) (Csendes, 1985) - a posteriori – Fehleranalysen (Biddlecombe, 86) - PC’s und CAD - Verfahren (Simkin, 1983) (Lowther, 1986)
Seit Mitte der achtziger Jahre - Übertragung auf PC – Technik - Nutzung von Supercomputern und Parallelrechnern - Kopplung verschiedener Methoden - CAD – Systeme - Berechnung verkoppelter Felder
- 7 -
0.3 Diskretisierungsmethoden Finite – Differenzen – Methode (FDM)
- erste elektrotechnische Anwendung (Erdelyi, 1970) - große 3D – Probleme (Müller, 1983) - Zeitdiskretisierung
Finite – Elementen – Methode (FEM)
- Mechanik (Zienkiewicz, 1965) - Elektrotechnik, Magnetostatik (Winslow, 1967) - elektrische Maschinen (Silvester, 1970) - elektrostatische Potentialprobleme (Silvester, 1969) - Wellenleiteranordnung (Silvester, 1969) (Ng, 1974) - 3D – Mikrowelleneinrichtungen (Hara, 1983) - Wirbelstromprobleme (Konrad, 1985) (Chari, 1980) - Modellierung von Permanentmagneten (Nakata, 1988) - 3D – Feldprobleme
Integralverfahren (IGM)
- Strukturmechanik BEM (Brebbia, 1980) - Elektrotechnik (Simkin, 1976)
(Wexler, 1969) - BEM – Softwarepakete (Tortschanoff, 1984) - Umlaufintegralmethode (Reichert, 1967)
(Koch, 1985) - Ersatzladungsverfahren (Steinbigler, 1968) - Momenten-Methode (Harrington, 1968)
COMPUMAG – Konferenzen ( „state-of-the-art“):
1987 - Graz / Austria 1989 - Tokyo / Japan 1991 - Sorrento / Italy 1993 - Miami / USA 1995 - Berlin / Germany 1997 - Rio de Janeiro / Brasil 1999 - Sapporo / Japan 2001 - Evian / France 2003 - Saratoga Springs / USA 2005 - Shenyang / China 2007 - Aachen / Germany 2009 - Florianopolis / Brazil 2011 - Sydney / Australia
2013 - Budapest / Hungary
- 8 -
1 Mathematisch – physikalische Feldmodellierung 1.1 Klassifizierung und Randbedingungen Approximationen physikalischer Erscheinungen: partielle Differentialgleichungen + Rand-/Anfangsbedingungen Beispiele: Felder von: - Drücken - Temperaturen - Massekonzentrationen - Verschiebungen - Elektromagnetischen oder akustischen Potentialen RWA - Ortskoordinate = unabhängige Variable AWA - Zeit = unabhängige Variable pDGL 2. Ordnung: L() - f = 0
DCx
Bx
ALn
i i
i
n
i i
i
) () () (
) (11
2
2
allgemeine pDGL mit 2 unabhängigen Variablen:
yxyxD
yC
yxB
xA ,,,,2
2
22
2
2
Klassifizierung Nach Form der Funktion D: B2 - A C < 0 elliptische DGL B2 - A C = 0 parabolische DGL B2 - A C > 0 hyperbolische DGL Randbedingungen Allgemeine Form:
n
1. Art ( Dirichlet-RB): gegeben; = 0 2. Art (Neumann-RB): /n gegeben; =0
homogene Neumann-RB: /n=0
3. Art (gemischte RB): , 0
Sturmscher Typ: = 0 auch: Cauchy-RB
- 9 -
X
Y
Z
1.2 Randwertprobleme / Anfangswertprobleme Feldeinteilung und Randbedingungen
Typ
hyperbolisch
parabolisch
elliptisch
D > 0 = 0 < 0
Normal- form
uxy = F uxx – uyy =F
uxx = F
uxx + uyy =F
Rand- bedingungen
3. Art
Dirichlet Neumann
3. Art
Dirichlet Neumann (3. Art)
Beispiel
Wellen- gleichung
utt = 2uxx
Wärme- leitung
ut = 2uxx
Potential- gleichung
uxx + uyy =0
Randwertaufgaben Lösung eines Variationsfunktionals:
F ( , ) = f ( )
Anfangs- / Randbedingungen:
- Startzeit t0 - Dirichlet .)()( konstxgx
- Neumann .)()(
konstxgn
x
- mixed ( Konvektion ) )()(
)( xgn
xbxa
- binär ( m = 0; k = 1) mxxk iI )()(
oder periodisch
- Fernfeld
- 10 -
Dirichlet – Randbedingung
Bedingung 1. Art: Potential vorgegeben
Problem: - Wo muss der Rand definiert werden?
a) b) c) Streufluss vernachlässigt
d) e) Kelvin–Transformation f)
11
Neumann – Randbedingung
Ableitung in Normalen-Richtung ist konstant
Periodische Randbedingung Feldsymmetrien: Diskretisierung muss auf den
Rändern (i , I) identisch sein
mxxk iI )()(
Wahl: m = 0, k = 1 binäre Randbedingung
Kelvin-Transformation Transformation des freien Raumes
in einen endlichen Raum (d.h. im oberen kleinen Kreis FEM-Lösung)
Potentiale auf dem Rand des (kleinen) FEM–Gebietes
sind identisch mit denen auf dem Kreis (z.B. in der Umgebung einer Hochspannungsleitung)
12
1.3 Potentialfelder und Analogien Analoge Größen skalarer Potentialfelder
Größe Elektrostatik
Elektrisches Strömungs-
feld
Magneto- statik
Temperatur-feld
Flüssigkeits-strömung
Gravitations-feld
Potential Potential
Potential
Potential
Temperatur
T
Geschwindig-keitspotential
Newton- Potential
Intensität
elektrische Feldstärke
E
elektrische Feldstärke
E
magnetische Feldstärke
H
Temperatur-gradient
Geschwindig-keit
v
Gravitations-kraft
Material-konstante
Permittivität
Leitfähigkeit
Permeabilität
Wärmeleit-fähigkeit
Dichte
Kehrwert derGravitations-
konstante
Fluss-dichte
Verschiebung-
stromdichte D
Stromdichte J
Magnetische Flussdichte
B
Wärme-strom- dichte
q
Flussrate
Quellen-stärke
elektrische Ladungs-
dichte e
Stromdichte J
magnetische Ladungs-
dichte m
Wärme-quellen- dichte
q
Ausflussrate Massendichte
Integral-parameter
Kapazität C
Leitwert G
Induktivität L
Wärme- kapazität
C
13
Feldanalogien
Magnetfeld:
0
:oder
JA1
2
2
A – magnetisches Vektorpotential – Permeabilität J – Stromdichte B – Magnetflussdichte ( = x A ) – skalares magnetisches Potential µ – Permeabilität J – Stromdichte ( = 0 ) H – magnetische Feldstärke ( = - )
Elektrostatik:
2
– skalares elektrisches Potential – Permittivität – Raumladungsdichte E – elektrische Feldstärke ( = - )
Flüssigkeitsströmung:
0f
oder
qp
2
2
p – Geschwindigkeitspotential – Dichte q – Masseproduktion v – Geschwindigkeit ( = - ) f – Strömungsfunktion – Dichte q – Masseproduktion v – Geschwindigkeit ( = x f )
Temperaturfeld:
qTk 2
T – Temperatur k – Leitfähigkeit q – Wärmequellendichte v – Leitungsgeschwindigkeit ( = - k T )
Grundwasserströmung:
qk 2
– piezometrischer Knopf k – Leitfähigkeit q – Entladung / Pumpung v – Leitungsgeschwindigkeit ( = - k )
Torsion (2D):
212
G Φ
– Spannungsfunktion G – Young-Modul – Verdrehungswinkel / Länge – Scherspannung ( = x )
Elastische Membran:
FuT 2
u – Querauslenkung T – Membranspannung F – horizontal verteilte Last
14
Analogien in den Feldgleichungen
0
Elektrostatik rot 0, div ,
Magnetostatik rot , div 0,
a) weichmagnetisch B B(H), ( ), M 0
b) hartmagnetisch , ( )
stationäres elektrisches rot 0, div 0,
Strömungsfeld
ha
E D D E
H J B B H M
H
M M H
E J J E
rmonische rot , , rot j
Wirbelstromfelder
stationärediv gradT q 0
Temperaturfelder
transienterot , , rot
Wirbelstromfelder t
transientediv gradT q c
Temperaturfelder
0
0
H J E B H E B
BH J E B H E
T
t
1.4 Feldformulierungen Skalares elektrisches Potential V:
Vektoridentität ( ) 0V
führt zur elektrischen Feldstärke - V E
und zu einer Poisson – Gleichung für das elektrische Potential
2V V V
15
Skalares magnetisches Potential
Formulierung für das skalare magnetische Potential in stromfreien Gebieten
2
( ) 0
0
H
weniger Unbekannte verglichen mit dem Vektorpotential Probleme in Regionen mit eingeprägten Strömen werden überwunden durch die
Definition eines elektrischen Vektorpotentials
2( ) ( ) T Niederfrequente Magnetfelder
Statisch langsam veränderlich, transient zeitharmonische Wirbelstromprobleme
- linear - sinusförmig - Einzelfrequenzen
A – Formulierung
A – Formulierung
- Formulierung
Potentialformulierung
Vektorpotential
2 A J
Skalarpotential
2 ( ) T
Implizit erfüllte Gleichung
0 B
H J
Explizit erfüllte Gleichung
H J
B H
0
B
B H
Feldquellen
J
T ist zu bestimmen
Zusatzbedingungen
Eichung
Schnitte / Symmetrien
Elementetyp
Kante (edge)
Knoten (node)
16
Quasistationäre elektromagnetische Felder
PDE vom Poisson – Typ (d/dt = 0) Diffusionsgleichung (stationär) ( ) A J
physikalische Effekte - ferromagnetische Sättigung - Hysteresis - zusätzliche Terme (quasistationär) Bewegung v B
Wirbelstrom 2 j A A J
transienter Term 2
t
A
A J
Praktische Anwendung: Elektrische Energiewandler (Frequenz < 10kHz) Motoren Aktuatoren Hochspannungsleitungen Ausnahme: Mikrowellenheizung (Verschiebungsströme)
Felderzeugung durch stromdurchflossene Spulen - Motoren - Transformatoren - Induktoren Leitungsstrom, kein Verschiebungsstrom !
Durchflutungsgesetz H J
Felder sind quasistationär: ; a
lT l
v
große Anstiegszeit Ta verglichen mit der Signallaufzeit
mm km ; l 5...10 ; v
lT GhzHza 30;600010...5 1050
Wirbelstromformulierungen
Faraday´sches Gesetz t t
E B A
Ohmsches Gesetz t
eJ A
1
t
0A A J
Transiente Formulierung: 2
t
0A A J
jt
A A
Zeitharmonische Formulierung (sinusförmige bzw. Einzelfrequenz- Erregung) 2 j 0A A J
Komplexes Vektorpotential )tcos(A)t(A
)t(jeA)t(A
17
Lösung von Feldaufgaben
1.5 Lösungsansätze
Analytische Methoden
- Superposition
- Gaußscher Satz der Elektrotechnik
- Direkte Integration
- Spiegelungsmethode
- Konforme Abbildung
- Schwarz – Christoffel´scher Abbildungssatz
- Separation der Variablen (Produktansatz)
- Reihenentwicklungen (Fourier-, Multipol-,...)
- Durchflutungsgesetz
- Gesetz von Biot – Savart
- Vektorpotential
- Skalarpotential (totales oder reduziertes)
- Monte – Carlo – Methode
Analysemethoden
analytische Methoden semi- analytisch/numerisch numerische Methoden
exakte Methoden:
Separation der
Variablen LAPLACE –
Transformation ...
Approximationen:
RAYLEIGH –
RITZ GALERKIN-
Methoden ...
numerische Lösung finite oder diskrete Elemente Methode
numerische Integration
finite Differenzen
18
Semi – analytische Verfahren
- Ersatzladungsverfahren - Sonderfälle der Momentenmethode - Fourier – Transformation
Spectral Domain Analysis (3D Fourier – Transformation) Reihensätze, die auf komplizierte Integrale führen
- Point – Matching – Methode (Kollokation) - MMP – Methode (Multiple – Multipol –Methode)
Semi – numerische Verfahren
- Momenten-Methode
Numerische Verfahren
- Direkte Lösung der Maxwell – Gleichungen Integralform Differentialform
- Lösung abgeleiteter Gleichungen Wellengleichung Potentialgleichung
- Unabhängige Variable direkte Feldgrößen: E, D, H, B, J abgeleitete Größen: Skalarpotentiale ,
Vektorpotentiale A, T Hertzscher Vektor Z
Lösungsansätze erfüllen die Randbedingungen, aber nicht die Feldgleichungen!
Lösungsansätze erfüllen weder die Feldgleichungen, noch die Randbedingungen exakt!
Lösungsansätze erfüllen die Feldgleichungen, aber nicht die Randbedingungen!
19
Numerische Verfahren Magnetic Equivalent Circuit (MEC) Feldersatzverfahren (Elementarstrom-, Mengentheorie des Magnetismus) numerische Lösungsmethoden
- FDM - FEM - BEM
Materialmodellierung numerische Implementierung Netzverfeinerung Postprocessing Äquivalente magnetische Netzwerke / Magnetic Equivalent Circuit (MEC)
Äquivalenz zwischen elektrischem Strömungsfeld und Magnetfeld
Vorteile
- schnell - leicht zu implementieren - nichtlinear möglich
Nachteile - nur einfache Geometrie - Flusswege müssen für die Aufstellung des Modells bekannt sein - Kraftberechnung ist schwierig
20
Äquivalente Netzwerke
Elemente mit konstanten Eigenschaften
1
0 )()(
1
xSx
dxR
m
m
- linear - nichtlinear - parametrisch nichtlinear
Feldlösung
- in diskreten Netzwerkknoten - gute Approximationsmethode
Netzwerkmethoden Äquivalenz zwischen elektrischem und magnetischem Feld Vorteile
- relativ schnell - 3D – Felder
Nachteile - Nichtlinearitäten werden nicht erfasst - nur für spezielle Geometrien - spezifische Randbedingungen (manchmal nicht sehr realistisch)
21
Elementarstrommodell der Magnetisierung Verteilte (Elementar-) Ströme
- homogen verteilte Dipolmomente führen zu einem Oberflächenstrom IS, - Volumenstrom IV verschwindet
Magnetisches Ladungsmodell der Magnetisierung
Maxwell – Gleichungen 0 B H J
Stromfreie Gebiete 0 H
Gradientenfeld
m H
Entmagnetisierungkennlinie des Permanentmagneten
0 ( ) B H M
Poisson – Gleichung
0 ( ) 0 B H M
m m M H m M
Äquivalenz des PM – Feldes mit dem elektrischen Feld Regeln der Elektrostatik sind anwendbar für die Bestimmung von Skalarpotential und
magnetischer Feldstärke (Integration über die Oberfläche des Permanentmagnetes)
0 0
0 0
( ) ,4 4
( )4 4
PM PM
PM PM
m PA A
PA A
0 0
pq pq
0 0
pq pq
M MdA dA
r r
M MH dA dA
r r
22
Weitere Aspekte bei der Methodenwahl
o Parasitäre Effekte, die für die Anwendung numerischer Methoden sprechen
Ferromagnetische Sättigung Zunahme von Leckströmen Hohe Betriebstemperaturen irreversible Verluste bei Verwendung von Permanentmagneten Kopplung verschiedener Effekte thermische/magnetische/strukturdynamische/Strömungsfelder durch Bewegung induzierte Strömungsfelder
o Eigenschaften numerischer Methoden
Zuverlässigkeit Robustheit Genereller Anwendungsbereich Genauigkeit Leistungsfähigkeit
23
Theorie – Simulation – Experiment
Computersimulation - numerische Approximation - reflektiert und beeinflusst die klassische Theorie
Lösungsprozess
Annahmen
- Randbedingungen - Materialeigenschaften
Lösungskriterien - Gleichungstyp - Lösungsalgorithmus
Reale Anordnung Modellierung Mathematisches Modell des Gerätes
Messung
Experimentelle Daten
Computersimulation Theorie
Berechnete Daten Theoretische Erwartungen
Vergleich Vergleich
Modellverifikation durch Simulation
Modelverifikation über die Theorie
System von partiellen DGLn
Annahmen
Potentiale, Eichung, Schnitte, Symmetrie
Formulierung
Wahl des Lösungskriteriums
Wahl der Diskretisierungselemente
24
Ablauf einer Feldberechnung
Grundelemente - Problemdefinition Geometrie Material Problemtyp:
- statisch, - transient, - zeitharmonisch, - gekoppelt,...
- Lösung - Auswertung
Potentialverteilung
Teilschritte einer Feldanalyse
Eingaben: - Geometrie - Fehlergrenzen - Auswertung als - Material - max. Iterationszahl Diagramm, - Randbedingungen Farbplots,... - Diskretisierung - Netzadaption - Optimierung - Approximation - numerische Methoden - weitere Modellierungen - Parametrisierung - Gleichungslöser konzentrierte Parameter - Kopplung: Felder - Approximation lokaler Geometrie Feldgrößen Netzwerk - Feldkopplung Bewegung Methoden
Preprocessing 50% Definition Geometrie,
Material
Netzgenerierung
Processing 20%
Modifizierte Newton – Methode
SSOR-CG
Fehlerabschätzung
Netzadaption
Postprocessing 30%
Auswertung
Preprocessing Processing Postprocessing