Kapitel_3_Aufgaben

7/26/2019 Kapitel_3_Aufgaben

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AUFGABEN ZU KAPITEL 3

ssm Antwort im Losungshandbuch fur Studenten

(Student Solutions Manual)

wwwAntwort kann abgerufen werden im World Wide Web

ilw Antwort ist in der interaktiven Lernsoftware enthalten

(Interactive Learning Ware)

3-2

1 Betrachten Sie zwei Verschiebungen, eine mit Be-

trag 3 m und eine andere mit Betrag 4 m. Zeigen Sie, wie

die Verschiebungsvektoren kombiniert werden konnen, so-

dass sich eine Gesamtverschiebung von (a) 7 m, (b) 1 m und

(c) 5 m ergibt.

2 Eine Bank im Zentrum von Boston wird ausge-

raubt (siehe Karte in Abb. 3-25). Um der Polizei zu entkom-

men, fliehen die Rauber an Bord eines Helikopters. Sie legen

den Flug in drei Etappen zuruck, die durch die folgenden

Verschiebungen beschrieben werden: 32 km, 45

sudlich vonWesten; 53 km, 26 nordlich von Westen; 26 km, 18 ostlich

von Suden. Am Ende des dritten Flugs werden sie gefasst. In

welcher Stadt wird ihnen das Handwerk gelegt? (Verwenden

Sie die geometrische Methode, um die Verschiebungen auf

der Karte zu addieren.)

BOSTONund Umgebung

Wellesley

Waltham

Brookline

Newton

Arlington

LexingtonWoburn

Medford

Lynn

Salem

Quincy

5 10 km

BOSTONMassachusetts

Bay

Bank

Walpole

Framingham

Weymouth

Dedham

Winthrop

N

Abb. 3-25: Aufgabe 2

3-3

3 Wie lauten (a) die x-Komponente und (b) die

y-Komponente eines Vektors a in der xy-Ebene, wenn sei-ne Richtung im Gegenuhrzeigersinn einen Winkel von 250

zur positiven Richtung der x-Achse bildet und sein Betrag

gleich 7,3 m ist? ssm

4 Drucken Sie die folgenden Winkel in Radianten

aus: (a) 20,0, (b) 50,0, (c) 100. Rechnen Sie die folgenden

Winkel in Grad um: (d) 0,330 rad, (e) 2,10 rad, (f) 7,70 rad.

5 Der Vektor A besitzt eine x-Komponente von25,0 m und eine y-Komponente von +40,0 m. (a) Wiegro

ist der Betrag von A? (b) Wie gro ist der Winkel zwischen

der Richtung von Aund der positiven Richtung derx-Achse?ssm

6 Ein Verschiebungs-

vektor r in der xy-Ebene ist15m lang; seine Richtung ist in

Abb. 3-26 dargestellt. Bestimmen

Sie (a) diex-Komponente und (b) die

y-Komponente des Vektors.

30 x

y

r

Abb. 3-26Aufgabe 6

7 Ein Rad mit ei-

nem Radius von 45,0 cm

rollt ohne zu rutschen einen

horizontalen Boden entlang

(Abb. 3-27). Zur Zeitt1 befin-

det sich der Punkt P, der auf

dem Rand des Rads aufgemalt

ist, an dem Beruhrungspunktzwischen Rad und Boden. Zu

P

zum Zeitpunktt1 zum Zeitpunktt2

P


einem spateren Zeitpunktt2hat sich das Rad eine halbe Um-

drehung weiterbewegt. Wie gro sind (a) der Betrag und

(b) der Winkel (relativ zum Boden gemessen) der Verschie-

bung von P wahrend dieses Zeitintervalls? ssm

8 Gesteinsverwerfungen sind Bruche, an denen sich

gegenuberliegende Gesteinsflachen gegeneinander verscho-

ben haben. In Abb. 3-28stimmtendie PunkteA und Buberein,

bevor das Gestein im Vordergrund nach rechts unten rutschte.

Die Gesamtverschiebung AB verlauft in der Verwerfungs-

flache, d. h. in der Ebene, in welcher der Bruch erfolgt ist.

Die horizontale Komponente von AB ist die Horizontalver-

schiebung AC. Die Komponente vonAB, die in der Verwer-

fungsflache direkt nach unten zeigt, wird dieAbschiebung AD

A

D

C

52

Horizontal-verschiebung

Ab-schiebung

Verwerfungsflche

B


genannt. (a) Wie gro ist der Betrag der GesamtverschiebungAB, wenn die Horizontalverschiebung 22,0 m und die Ab-

schiebung 17,0 m betragt? (b) Wenn die Verwerfungsflache

zur Horizontalen einen Winkel von 52,0 bildet, wie gro ist

dann die vertikale Komponente vonAB?

9 Ein Raum besitzt die Dimensionen 3,00m (Hohe)

3,70 m4,30 m. Eine Fliege fliegt in der einen Ecke desRaums los und landet in der diagonal gegenuberliegenden

Ecke. (a)Wie gro istder BetragihrerVerschiebung? (b)Kanndie Lange ihres tatsachlichen Wegs kleiner sein als dieser Be-

trag? (c) Kann sie groer sein als dieser Betrag? (d) Kann sie


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Aufgaben zu Kapitel 3 3gleich diesem Betrag sein? (e) Wahlen Sie ein zweckmaiges

Koordinatensystem und ermitteln Sie die Komponenten des

Verschiebungsvektors in diesem System. (f) Wenn die Fliege

lauft, anstatt zu fliegen, wie lang ist dann der kurzeste Weg,

den sie wahlen kann? (Hinweis: Dies kann ohne Berechnun-

gen beantwortet werden. Der Raum entspricht einem Quader.

Falten Sie seine Wande auseinander, um eine Flache zu er-

halten.) ssm www

3-5

10 Ein Auto wird 50 km nach Osten gefahren, dann

30 km nach Norden und schlielich 25 km in Richtung 30

ostlich von Norden. Skizzieren Sie das Vektordiagramm und

bestimmen Sie (a) den Betrag und (b) den Winkel der Gesamt-

verschiebung des Autos von seinem Startpunkt ausgehend.

11 Eine Frau lauft 250 m in Richtung 30 ostlich

von Norden und dann 175 m direkt nach Osten. Ermitteln

Sie (a) den Betrag und (b) den Winkel ihrer Gesamtverschie-

bung von ihrem Startpunkt ausgehend. (c) Ermitteln Sie die

Entfernung, die sie zuruckgelegt hat. (d) Was ist groer, diese

Entfernung oder der Betrag ihrer Verschiebung? ssm

12 Eine Person bewegt sich nach dem folgenden

Schema: 3,1 km nach Norden, dann 2,4 km nach Westen und

schlielich 5,2 km nach Suden. (a) Skizzieren Sie das Vek-

tordiagramm, das diese Bewegung darstellt. (b) Wie weit und

(c) in welche Richtung wurde ein Vogel fliegen, der in einer

geraden Linie vom selben Startpunkt zum selben Endpunkt

fliegt?

13 (a) Wie lautet die Summe von

a = (4,0 m)ex+ (3,0 m)ey

und b= (13,0 m)ex + (7,0 m)ey

in der Einheitsvektorenschreibweise? Geben Sie (b) den Be-

trag und (c) die Richtung vona + b(relativ zuex ) an. ssm

14 Ermitteln Sie die (a) x-, (b) y- und (c) z-Kom-

ponente der Summe r der beiden Verschiebungen c und d,deren Komponenten entlang der drei Achsen in Metern ge-

messen lauten:cx = 7,4;cy = 3,8;cz = 6,1;dx =4,4;dy = 2,0;dz = 3,3.

15 Der Vektor a besitzt einen Betrag von 5,0 m undzeigt nach Osten. DerVektorb hat einen Betrag von 4,0 mu n dweist in Richtung 35 westlich von Norden. Was sind (a) der

Betragund (b) dieRichtungvona+ b? Wassind(c) der Betragund (d) die Richtung von b a? (e) Zeichnen Sie ein Vektor-diagramm fur jede dieser beiden Kombinationen. ssm

16 Betrachten Sie die Vektoren

a = (3,0 m)ex+ (4,0 m)ey

und b= (5,0 m)ex+ (2,0 m)ey .

Geben Siea+ b in (a) der Einheitsvektorenschreibweise sowie

(b) anhand des Betrags und (c) des Winkels (relativ zuex ) an.Geben Sie nunb ain (d) der Einheitsvektorenschreibweisesowie (e) anhand des Betrags und (f) des Winkels an.

17 Zwei Vektoren werden durch

a = (4,0 m)ex (3,0 m)ey + (1,0 m)ez

und b= (1,0 m)ex+ (1,0 m)ey+ (4,0 m)ez

gegeben. In der Einheitsvektorenschreibweise ermitteln Sie

(a)a+b, (b)abund (c) einen dritten Vektor cderart, dass

ab+ c= 0. ssm

18 Hier sind zwei Vektoren:

a = (4,0 m)ex (3,0 m)ey

und b= (6,0 m)ex+ (8,0 m)ey .

Wie gro sind (a) der Betrag und (b) der Winkel von a(rela-tiv zu ex )? Wie gro sind (c) der Betrag und (d) der Winkelvon b? Wie gro sind (e) der Betrag und (f) der Winkel vona +b; (g) der Betrag und (h) der Winkel vonb a; und(i)derBetrag und (j) der Winkel von a b? (k) Wie gro ist derWinkel zwischen den Richtungen von b aund ab?

19 Die drei Vektorena,bund c besitzen jeder einenBetrag von 50 m, sie liegen alle in derxy -Ebene. Ihre Rich-

tungen weisen relativ zur positiven Seite derx-Achse jeweils

einen Winkel von 30, 195 und 315 auf. Wie gro sind

(a) der Betrag und (b) der Winkel des Vektorsa +b + csowie(c) der Betrag und (d) der Winkel von a b+ c? Wie grosind (e) der Betrag und (f) der Winkel eines vierten Vektors dderart, dass(a+b)(c+ d)= 0? ilw

20 Was ist die Summe der folgenden vier Vektoren

in (a) der Einheitsvektorenschreibweise und (b) der Betrag-

Winkel-Schreibweise? Geben Sie bei letzterer den Winkel so-

wohl in Grad alsauchin Radianten an.Positive Winkel werden

von der positiven Richtung derx-Achse aus im Gegenuhrzei-gersinn gemessen, negative Winkel im Uhrzeigersinn.

E: 6,00 m bei +0,900 rad

F :5,00 m bei 75,0

G: 4,00 m bei +1,20 rad

H :6,00 m bei 210

21 Die beiden Vektoren a und b in Abb. 3-29 be-sitzen denselben Betrag von 10,0 m. Bestimmen Sie (a) die

x-Komponente und (b) die y -Komponente ihrer Vektorsum-

mer, (c) den Betrag vonr und (d) den Winkel, den r mit der

positiven Seite derx-Achse bildet. ssm www ilw

O x

y

105

30

a

b


22 In der Summe A+

B =

C besitzt der Vektor

Aeinen Betrag von 12,0 m und einen Winkel von 40,0 im Ge-

genuhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen;


3/4

Aufgaben zu Kapitel 3

der Vektor Cbesitzt einen Betrag von 15,0 m und einen Win-kel von 20,0 im Gegenuhrzeigersinn von dernegativen Rich-

tung der x-Achse gemessen. Wie gro sind (a) der Betrag und

(b) der Winkel von B (relativ zu+x)?

23 Beweisen Sie, dass zwei Vektoren den gleichen

Betrag haben mussen, wenn ihre Summe senkrecht auf ihrer

Differenz steht. ssm

24 Bestimmen Sie die Summe der folgenden vier

Vektoren in (a) der Einheitsvektorenschreibweise sowie als

(b) einen Betrag und (c) einen Winkel relativ zu+x.

P : 10,0 m bei 25,0

im Gegenuhrzeigersinn von+x

Q: 12,0 m bei 10,0

im Gegenuhrzeigersinn von+y

R : 8,0 m bei 20,0

im Uhrzeigersinn vony

S: 9,0 m bei 40,0

im Gegenuhrzeigersinn vony

25 Zwei Vektoren mit Betraga und b bilden einen

Winkel, wenn man sie Anfang an Anfang aneinander legt.

Beweisen Sie, indem Sie die Komponenten entlang von zwei

senkrechten Achsen bestimmen, dass

r =

a2 +b2 +2ab cos

den Betrag der Summerder beiden Vektoren angibt. ssm

26 Wie lautet die Summe der folgenden Vektoren in

(a) der Einheitsvektorenschreibweise sowie als (b) ein Betrag

und (c) ein Winkel? Positive Winkel werden im Gegenuhrzei-

gersinn vonder positiven Richtung der x-Achse aus gemessen,

negative Winkel im Uhrzeigersinn.

A= (2,00 m)ex+ (3,00 m)ey

B : 4,00 m bei +65,0

C = (4,00 m)ex (6,00 m)ey

D : 5,00 m bei 235

27 (a) Drucken Sie die vier Diagonalen eines Wurfels

(d. h. die geraden Linien, die von einer Ecke des Wurfels

durch den Mittelpunkt in eine andere Ecke verlaufen) in der

Einheitsvektorenschreibweise anhand der Kanten des Wurfelsaus. Diese besitzen die Langea. (b) Bestimmen Sie die Win-

kel, welchedie Diagonalen desWurfelsmit den angrenzenden

Kanten bilden. (c) Bestimmen Sie die Lange der Diagonalen

als Funktion vona. ssm

3-6

28 A besitzt einen Betrag von 12,0 m und bildet einenWinkel von 60,0 im Gegenuhrzeigersinn zur positiven Rich-

tung der x -Achse eines xy-Koordinatensystems. In demsel-

ben Koordinatensystem ist B = (12,0 m)ex + (8,00 m)ey .Wir rotieren nun das System im Gegenuhrzeigersinn um den

Ursprung um einen Winkel von 20,0

und erhalten dadurchdas Koordinatensystemx y. Bestimmen Sie (a) Aund (b) Bin diesem neuen System in der Einheitsvektorenschreibweise.

3-7

29 Ein Vektor a mit einem Betrag von 10 Einheitenund ein anderer Vektorbmit einem Betrag von 6,0 Einheitenunterscheiden sich in ihrer Richtung um 60. Ermitteln Sie

(a) das Skalarprodukt der beiden Vektoren und (b) den Betrag

des Kreuzproduktsab. ssm

30 Leiten Sie Gl. 3-23 fur ein Skalarprodukt in der

Einheitsvektorenschreibweise her.

31 Benutzen Sie die Definition des Skalarprodukts,

ab=ab cos , und die Tatsache, dassab=ax bx +ay by+azbz(siehe Aufgabe 30), um den Winkel zwischen den folgenden

beiden Vektoren zu berechnen: a = 3,0ex +3,0ey +3,0ezund b= 2,0ex + 1,0ey+ 3,0ez. ssm www ilw

32 Leiten Sie Gl. 3-30 fur ein Kreuzprodukt in der

Einheitsvektorenschreibweise her.

33 Zeigen Sie, dass die Flache des Dreiecks mit denKantena,bund der roten Linie in Abb. 3-30 gleich 12

|ab|ist. ssm

a

b


34 Betrachten Sie das Produkt F =q v B. Es seienq = 2,

v= 2,0ex + 4,0ey + 6,0ez

und F =4,0ex 20,0ey + 12,0ez.

Wie lautet B in der Einheitsvektorenschreibweise, wennBx =By ist?

35 (a) Zeigen Sie, dass a ( b a) fur alle Vekto-ren a und b gleich Null ist. (b) Wie gro ist der Betrag vona (b a), wenn die Richtungen vonaundbeinen Winkel bilden? ssm

36 Wie lautet 3C (2A B) fur die folgenden dreiVektoren?

A= 2,00ex+ 3,00ey 4,00ez

B = 3,00ex+ 4,00ey + 2,00ez

C = 7,00ex 8,00ey

37 Die drei Vektoren in Abb. 3-31 besitzen die fol-

genden Betrage:a = 3,00m,b = 4,00 m undc = 10,0 m.Wie gro sind (a) die x -Komponente und (b) die y -Kompo-

nente vona;(c)die x-Komponente und (d) die y-Komponentevonb; und (e) die x -Komponente und (f) diey -Komponentevonc? Wennc= p a+ q b, welche Zahlenwerte haben dann(g)p und (h)q ? ilw

38 Zwei Vektoren aundbbesitzen die Komponenten(in Metern)ax =3,2;ay =1,6;bx =0,50;by =4,5.


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Aufgaben zu Kapitel 3 3

a

c

b

x

y

30


(a) Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Richtungen von

a und b. In der xy-Ebene gibt es zwei Vektoren, die senk-recht auf a stehen und einen Betrag von 5,0 m haben. Dereine, Vektor c, besitzt eine positive x-Komponente, der an-dere, Vektor d, eine negative x -Komponente. Wie gro sind(b) die x-Komponente und (c) die y-Komponente voncsowie(d) diex-Komponente und (e) diey-Komponente von d?

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