Sveučilište u Mostaru Fakultet prirodoslovno-matematičkih i odgojnih znanosti Odsjek: Matematika

SEMINARSKI RAD

KOLEGIJ: LINEARNA ALGEBRA

TEMA: Karakteristični i minimalni polinom

STUDENT: PROFESOR: Mili Vego, 8511/R doc. dr. sc. Dušan Jokanović

SADRŽAJ

1. KARAKTERISTIČNI POLINOM............................................................1

1.1. Definicija i karakterizacije............................................................................1

1.2. Binet – Cauchy-jev teorem..........................................................................3

1.3. Primjeri........................................................................................................5

2. MINIMALNI POLINOM..........................................................................6

2.1. Definicija i karakterizacije............................................................................6

2.2. Primjeri......................................................................................................11

3. LITERATURA......................................................................................12

1

1. KARAKTERISTIČNI POLINOM

1.1. Definicija i karakterizacije

Neka je A kvadratna matrica reda n nad poljem F. Tada matricu

𝐶 = 𝐴 − 𝜆 ∙ 𝐼

gdje je 𝜆 varijabilni parametar iz polja F, a 𝐼 jedinična matrica nazivamo

karakteristična matrica, ili svojstvena matrica matrice 𝐴. Ako je matrica 𝐴 oblika

𝐴 = 𝛼𝑖𝑗 , onda je njezina karakteristična matrica oblika

Determinanta matrice C, odnosno det 𝐶 = det(𝐴 − 𝜆 ∙ 𝐼) je polinom n-tog stupnja u

varijabli 𝜆:

𝑑𝑒𝑡𝐶 = 𝑘𝐴 𝜆 = 𝑘𝑛 ∙ λn + 𝑘𝑛−1 ∙ λ

n−1 + ⋯ + k0 , gdje je ki ∈ F

nazivamo karakteristični ili svojstveni polinom matrice A, a pripadnu jednadžbu

𝑘𝐴 𝜆 = 0

nazivamo karakteristična ili svojstvena jednadžba matrice A.

PROPOZICIJA 1

U karakterističnom polinomu matrice A su koeficijenti:

PROPOZICIJA 2

Slične matrice imaju isti karakteristični polinom.

Dokaz

Neka su A i B slične matrice, a T regularna matrica koja provodi njihovo

sprezanje, tj. 𝐵 = 𝑇−1 ∙ 𝐴 ∙ 𝑇 . Koristeći se Binet-Cauchyjevim teoremom,

imamo:

2

pa je tvrdnja dokazana.

Neka je sada 𝑓: 𝑉 → 𝑉 bilo koj i linearni operator koji djeluje na prostoru V.

Onda definiramo karakteristični ili svojstveni polinom 𝑘𝑓 tog operatora s:

gdje je F bilo koji matrilni prikaz operatora f. Isto tako, za operator f definiramo njegov

trag tr i determinantu det f s:

gdje je F matrica operatora f.

Neka je

bilo koji polinom u varijabli 𝜆 s koeficijentima iz polja F. Onda ćemo pod p(A)

podrazumjevati matricu:

Ako je A 𝜖 Mn(F) bilo koja matrica, tada uvijek postoji polinom p(𝜆) sa koeficijentima

iz polja F kojeg matrica A poništava, tj da vrijedi:

gdje je na desnoj strani nulmatrica.

3

1.2. Binet – Cauchy-jev teorem

Svaka kvadratna matrica A poništava svoj karakteristični polinom, tj. vrijedi da je

𝑘𝐴(𝐴) = 0.

Dokaz

Neka je A kvadratna matrica reda n nad poljem F, A=[ik]. Treba

dokazati da je

gdje su ki koeficijenti karakterističnog polinoma matrice A. Za

karakterističnu matricu 𝐶 = 𝐴 − 𝜆 ∙ 𝐼 promatrajmo njezinu adjunktu

𝐶 = [𝐶𝑘𝑖 ]. Njezini će elementi biti polinomi u 𝜆, čiji stupanj ne premašuje

n-1, jer je npr.

Prema tome, adjunkta je oblika

gdje su pik i 𝑠𝑡 𝑝𝑖𝑘 ≤ 𝑛 − 1. Takvu matricu moguće je prikazati kao

polinom u 𝜆:

(1)

gdje cu Ci, i=n-1,...,0 matrice reda n s elementima iz polja F. Imamo

sada

(2)

a s druge strane

(3)

pa usporeĎivanjem (2) i (3) dolazimo do relacije

(4)

Ako sada u (4) uzmemo u obzir eksplicitni prikaz karakterističnog

polinoma kao i relaciju (1), imamo

4

(5)

Izrazi na obje strane jednakosti su polinomi u 𝜆 s matricama kao

koeficijentima, a takvi polinomi su jednaki ako su im korespondentni

koeficijenti jednaki:

(6)

Ako prvu od jednadžbi (6) pomnožimo s lijeva s An, drugu s An-1 itd.,

predzadnju s A i Zadnju s I, dobivamo

(7)

Sada sve jednadžbe u (7) zbrojimo, tj.

odnosno

pa je teorem dokazan.

5

1.3. Primjeri

1.) Izračunaj karakteristični polinom matrice

A = 2 3 49 5 25 5 7

.

𝑘𝐴 𝜆 = 2 − 𝜆 3 4

9 5 − 𝜆 25 5 7 − 𝜆

=

= 2 − 𝜆 5 − 𝜆 7 − 𝜆 + 30 + 180 − 20 5 − 𝜆 − 10 2 − 𝜆 − 27(7 − 𝜆)

= −𝜆3 + 14𝜆2 − 2𝜆 − 29

2.) Pokaži da matrica A iz primjera 1 poništava svoj karakteristični polinom.

𝐴2 = 51 41 4273 62 6090 75 79

𝐴3 = 681 568 580

1004 829 8361250 1040 1036

𝑘𝐴 𝐴 = −𝐴3 + 14 ∙ 𝐴2 − 2 ∙ 𝐴 − 29 ∙ 𝐼=

= − 681 568 580

1004 829 8361250 1040 1036

+ 14 ∙ 51 41 4273 62 6090 75 79

− 2 ∙ 2 3 49 5 25 5 7

− 29 0 00 29 00 0 29

=

= 0 0 00 0 00 0 0

6

2. MINIMALNI POLINOM

2.1. Definicija i karakterizacije

Neka je A kvadratna matrica reda n nad poljem F. Neka je

polinom nanjižeg stupnja u 𝜆 s koeficijentima iz polja F koji matrica A poništava, tj.

Onda kažemo da je mA jedan minimalni polinom za matricu A, a pripadnu

jednadžbu

nazivamo minimalna jednadžba matrice A.

Kako prema Hamilton-Cayleyj-evu teoremu matrica A poništava svoj karakteristični

polinom, to stupanj minimalnog polinoma nije veći od reda n matrice A,

PROPOZICIJA 1

Polinom p (𝜆) je djeljiv sa svakim minimalnim polinomom m(𝜆) matrice A.

Dokaz

Dijeleći polinom p(λ) polinomom m(λ), jer je po definiciji minimalnog

polinoma st p≥st m, vidimo da p(λ) možemo prikazati kao

gdje je q(𝜆) kvocijentni polinom, a r(𝜆) ostatak koji je ili identički jednak

nuli, ili je polinom čiji je stupanj manji od stupnja polinoma m(𝜆). Kako je

po pretpostavci p (A) =0, imamo

a odatle zbog m(A) =0 slijedi da je r(A)=0. No, to je u kontradikciji s

minimalnošću polinoma m(𝜆), osim u slučaju kad je r(𝜆)≡ 0, čime je

tvrdnja dokazana.

7

KOROLAR 2

Karakteristični polinom matrice djeljiv je njezinim minimalnim polinomom.

KOROLAR 3

Minimalni polinom dane matrice je jedinstven do na skalarni faktor različit od nule.

Drugim riječima, ako su m1(𝜆) i m2(𝜆) minimalni polinomi iste matrice, onda postoji

𝑎 ∈ 𝐹, 𝛼 ≠ 0, takav da je

Dokaz

Neposredno iz činjenice da je st m1=st m2 i Propozicije 1.

PROPOZICIJA 4

Slične matrice imaju iste minimalne polinome.

Dokaz

Neka su A i B slične matrice, B=T-1AT. Neka su mA(𝜆) i mB(𝜆)

minimalni polinomi za te matrice i neka je

Lako se vidi da vrijedi

za svaki j=0,...,m. Onda imamo

tj . B poništa va minimalni polinom od A. Odatle slijedi da je

Posve analogno, polazeći od A=TBT-1, vidimo da je

pa zaključujemo da je

8

U drugu ruku, jer je mA(B) =O, po Prop.1 slijedi da je

a kako su polinomi mA(𝜆) i mB(𝜆) istog stupnja, mora biti

pa je

što se i tvrdilo.

Propozicija 4 nam omogućuje uvoĎenje pojma minimalnog polinoma na razini

operatora. Za linearni operator f : V → V definiramo minimalni polinom mf tog

operatora s

gdje je F bilo koji matrični zapis operatora f. Zbog Prop. 4, to je dobro definiran

pojam, neovisan o izboru koordinatnog sustava (tj. matrice operatora).

Postavlja se pitanje kako efektivno izračunati minimalni polinom za danu matricu

(operator). Kako smo vidjeli u Binet – Cauchy-jevom teoremu, adjunkta

karakteristične matrice 𝐶 = 𝐴 − 𝜆 ∙ 𝐼 je oblika

tj. njezini su elementi polinomi u 𝜆, čiji stupanj ne premašuje n-1, st pik ≤ n - 1. Neka

je s

označen polinom koji je najveći zajednički divizor svih elemenata(polinoma) matrice

C. Jasno je da je

gdje je n red matrice A.

PROPOZICIJA 5

Polinom qA(𝜆) dijeli karakteristični polinom kA(𝜆).

9

Dokaz

Neka je 𝐶 = 𝑞𝐴 ∙ 𝐵. Onda iz 𝐶 𝐶 = kA (𝜆) ∙ I ,slijedi

pa kako je lijeva strana u toj jednakosti polinomska matrica, kao produkt

polinomskih matrica B i C, takva mora biti i desna strana, pa polinom

kA(𝜆) mora biti djeljiv s qA(𝜆).

TEOREM 6

Polinom h(𝜆)=kA(𝜆)/ qA(𝜆) je minimalni polinom za matricu A.

Dokaz

Već znamo da možemo pisati 𝐶 = kA (𝜆) ∙ 𝐵, gdj e u matrici B elementi

(polinomi !) nemaju više zajednički divizor, pa imamo

Promatrajući matricu B umjesto C i koristeći se potpuno istom

argumentacijom kao u dokazu Hamilton-Cayley-jeva teorema, lako se

provjeri da vrijedi

U drugu ruku, neka je

minimalni polinom matrice A. Promatrajmo polinom

Kako su članovi u tom polinomu oblika

svaki je od njih djeljiv s 𝜇 − 𝜆 pa možemo pisati

gdje je p (𝜆, 𝜇) neki polinom u 𝜆 i 𝜇. Ako zamjenimo 𝜆 s matricom 𝜆𝐸, a

𝜇 matricom A, dobivamo

10

odnosno, jer je mA(A)=0 i mA(𝜆𝐸)= mA(𝜆) 𝐸,

Množeći tu jednakost s lijeva s 𝐶 , imamo

Kako je 𝐶 = kA (𝜆) ∙ 𝐵, a kA 𝜆 = qA λ h(λ), iz prethodne relacije slijedi

ili, nakon skraćivanja

Konačno, jer je p(𝜆E,A) polinomska matrica, h λ mora dijeliti svaki

element matrice mA λ B. MeĎutim, po pretpostavci elementi od B

nemaju zajednički divizor. Odavde slijedi da h λ dijeli mA λ , pa je

𝑠𝑡 ℎ ≤ 𝑠𝑡 𝑚𝐴 . Pokazali smo, meĎutim, da je h(A)=O, odakle

zaključujemo da je h(λ) takoĎer minimalni polinom za A,

Za polinom p(𝜆), s koeficijentima iz polja F, kažemo da je reducibilan s obzirom na

to polje ako ga je moguće prikazati u obliku

gdje su p(𝜆) i p(𝜆) polinomi s koeficijentima iz F. Za polinom koji nije reducibilan,

kažemo da je ireducibilan s obzirom na dano polje.

KOROLAR 7

Svaki ireducibilni faktor karakterističnog polinoma neke matrice je takoĎer ireducibilni

faktor minimalnog polinoma te matrice.

KOROLAR 7

Ako u karakterističnom polinomu nema istih (ireducibilnih) faktora, taj se polinom

podudara s minimalnim polinomom matrice.

11

2.2. Primjeri

1.) Naći minimalni polinom matrice A =

814

184

447

.

𝑘𝐴 𝜆 = 7 − 𝜆 4 −4

4 8 − 𝜆 −1−4 −1 −8 − 𝜆

= −𝜆3 − 9𝜆2 + 81𝜆 + 729 =

= −(𝜆 − 9)(𝜆 + 9)2

𝐶 =

𝜆 + 7 (𝜆 + 9) 4(𝜆 + 9) −4(𝜆 + 9)

4(𝜆 + 9) 𝜆 − 8 𝜆 + 9 −(𝜆 + 9)

−4(𝜆 + 9) −(𝜆 + 9) 𝜆 − 8 𝜆 + 9

= (𝜆 + 9) 𝜆 + 7 4 −4

4 𝜆 − 8 −1−4 −1 𝜆 − 8

𝑞𝐴 𝜆 = 𝜆 + 9

𝑚𝐴 𝜆 =𝑘𝐴 𝜆

𝑞𝐴 𝜆 =

−(𝜆 − 9)(𝜆 + 9)2

𝜆 + 9= 81 − 𝜆2

12

3. LITERATURA

Horvatić, Krešimir: Linearna algebra, Golden marketing -

Tehnička knjiga, Zagreb 2004.