Upload
others
View
22
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Karnaugh - De Morgan
Page 1
Tableau de Karnaugh à 2 variablesI TABLEAU DE KARNAUGH
_Reprenons une expression vue au chapitre précédent
on avait Q = a b + b + a
Cette expression se simplifiait en Q = a + b mais la démonstration n'était pas évidente.
_ La méthode par tableau de Karnaugh va nous permettre d'utliser une méthodesystématique.
Le tableau de Karnaugh n'est qu'une table de vérité mais présentée d'une autremanière :
- il y a autant de cases dans un tableau de karnaugh qu'il y a de combinaisons soit
2 cases ( n étant le nombre de variables).
- en passant d'une case contigüe à une autre, c'est-à-dire en changeant de ligne oude colonne, on ne change qu'une variable à la fois.
A chaque ligne d'une table de vérité correspond une case du tableau de Karnaugh.
Le trait en face d'une ligne ou d'une colonne signifie que la variable vaut 1 dans cetteligne ou dans cette colonne.
a b
n
Table de vérité Tableau de Karnaugh
1) TABLEAU DE KARNAUGH A 2 VARIABLES
a b
0 0
0 1
1 0
1 1
a a
b
b
TD 3
_Reprenons notre expression Q = a b + b + a
_ on peut en établir la table de vérité et reporter celle-ci dans le tableau de Karnaugh( en s'aidant de la page précédente ).
_ on peut aussi remplir directement le tableau de Karnaugh à partir de l'équation, chaquecase du tableau représentant une combinaison " a b ".
_ l'équation la plus simple sera obtenue en faisant la somme des équations des groupementsde 1 tout en observant les règles suivantes :
* un groupement est constitué de"1" rassemblés par puissance de 2 et occupant des casescontigües
* chaque "1" doit être pris dans un groupement au moins* les groupements peuvent se recouper* l'équation du groupement est obtenue en éliminant les variables qui changent d'état
pour ne garder que celles qui ne changent pas.
_ reprenons notre exemple
équation du groupement : a
équation du groupement : b
a b
Q = a + b
Page 2
Karnaugh - De Morgan
Tableau de Karnaugh à 2 variables
Q a
0 1
b
1 1
Q a
0 1
b
1 1
Q a
0 1
b
1 1
Q a
a b a b
a b
b
a b
a b
a b
a b
TD 3
a b L
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Page 3
Karnaugh - De Morgan
Exercice n° 1 et n° 2
exercice n° 1 :
_ lire les tableaux suivants en donnant pour chacun d'eux les valeurs des fonctionslogiques simplifiées.
_ pour D : trouver un autre groupement ? donner son équation . Conclusion ?
la solution de cet exercice à la page 19
vous venez de la page 19
la solution de cet exercice à la page 19
exercice n° 2 :
_ reprendre les expressions suivantes du chapitre précédent et simplifier-les par KarnaughR = a + a . b
S = a + . b
T = a . (a + b)
_ comparer avec ce que l'on avait obtenu ..
a
A a
1 1
b 0 0
B a
1 0
b 1 0
C a
1 1
b 1 0
D a
1 1
b 1 1
TD 3
Page 4
Karnaugh - De Morgan
Tableau de karnaugh à 3 variables
vous venez de la page 19
2) TABLEAU DE KARNAUGH A 3 VARIABLES
remarque : _ Dans un tableau de Karnaugh à 2 variables : Il y a 2 soit 4 cases
- 1 case est définie par la combinaison de 2 variables- 2 cases sont définies par la combinaison de 1 variable- 4 cases sont définies par la combinaison de 0 variable
_ Pour chaque variable, le choix de 0 ou de 1 représente la moitié des cas
_ Le tableau comprendra 2 cases soit 8 cases
_ le tableau à 2 variables est doublé :
- une fois pour c = 0
- une fois pour c = 1
2
3
a
1 0
b
1 0
L = a
a
0 1
b
0 1
L = a
a
0 0
b
1 1
L = b
a
1 1
b
0 0
L = b
a a
b
c = 1c = 0
TD 3
Page 5
Karnaugh - De Morgan
Tableau de Karnaugh à 3 variables
_ Là encore, 0 ou 1 pour une variable correspond à la moitié des cas :
_ les deux parties de la région = 1 doivent se considérer comme jointivesATTENTION a
remarque :
exercice n° 3 :
_ Dans un tableau à 3 variables: il y a 2 cases soit 8 cases
- 1 case est définie par la combinaison de 3 variables- 2 cases sont définies par la combinaison de 2 variables- 4 cases sont définies par la combinaison de 1 variable- 8 cases sont définies par la combinaison de 0 variable
_ numéroter les 8 lignes de la table de vérité c, b, a et reporter ces numérosdans les 8 cases correspondantes du tableau.
3
la solution de cet exercice à la page 20
b
c
a = 1
a
b
c
a = 0
a
b
c
b = 1
a
b
c
b = 0
a
b
c
c = 1
a
b
c
c = 0
a
TD 3
Page 6
Karnaugh - De Morgan
Exercices n° 4 et n° 5
vous venez de la page 20
la solution de cet exercice à la page 20
vous venez de la page 20
exercice n° 4 :
exercice n° 5 :
_ représenter par des tableaux les équations suivantes :
A = a . b . c D = a . bB = a . . c E = a . b + . . cC = . b . F = + .
_ lire l'équation représentée dans les tableaux suivants :
b a ba c a b c
G
0 0 1 1
b0 0 1 1
c
a K
1 0 0 1
b0 0 0 0
c
a
H
0 0 1 0
b0 0 1 0
c
a L
1 1 0 0
b0 0 1 0
c
a
I
0 0 1 1
b0 0 0 0
c
a M
1 1 0 0
b0 1 1 0
c
a
TD 3
Page 7
Karnaugh - De Morgan
Exercices n° 6 - Tableau à 4 variables
la solution de cet exercice à la page 21
vous venez de la page 22
la solution de cet exercice à la page 23
vous venez de la page 24
3) TABLEAU DE KARNAUGH A 4 VARIABLES
exercice n° 6 : _ représenter par des tableaux de Karnaugh les tables de vérité :
_on peut :
- reporter lignepar ligne
- reporter les cas 1compléter par
des 0
- reporter les cas 0 d'abord s'ils sont moins nombreux et compléter par des 1.
_ la aussi, on doublele nombre
de cas par rapport à celui à
3 variables.
J
0 0 0 0
b0 1 0 0
c
a N
1 1 1 0
b0 1 1 0
c
a
a b c G H I J K
0 0 0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 0 1 1 1
0 1 0 0 1 1 0 0
0 1 1 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0 0 1
1 0 1 0 0 0 1 0
1 1 0 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1 0 0
b
c
a
d=1
d=0
TD 3
Page 8
Karnaugh - De Morgan
Tableau de karnaugh à 4 variables
_ les mêmes remarques pour lestableaux précédents peuvent s'appliquerau tableau à 4 variables.
_ les parties hachurées doivent êtreconsidérées comme jointives.
remarque :
Important :
_ Dans un tableau à 4 variables: il y a 2 cases soit 16 cases
- 1 case est définie par la combinaison de 4 variables- 2 cases sont définies par la combinaison de 3 variables- 4 cases sont définies par la combinaison de 2 variables- 8 cases sont définies par la combinaison de 1 variable- 16 cases sont définies par la combinaison de 0 variable
_ les appellations et l'ordre a, b, c, sont arbitraires. Seule compte la disposition desdifférentes variables.
4
a = 0 a = 0
b
c
a = 1
d
b=0
b=1
b=0
TD 3
Page 9
Exercice n° 7
Karnaugh - De Morgan
Voici maintenant un exercice
_ écrire l'équation correspondant à chacun des tableaux :
exercice n° 7 : _ rechercher les groupements de 2, 4, 8 cases, les plus larges possibles.
la solution de cet exercice à la page 24
A
0 0 1 1
b0 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
c
a
d
B
0 0 0 0
y1 1 0 0
1 1 0 0
1 1 0 0
z
w
x
C
1 1 1 0
c0 1 0 0
0 1 1 0
0 1 1 0
b
a
d
D
0 1 1 0
s0 1 1 1
1 0 0 1
0 0 0 0
h
p
m
E
0 0 1 0
c1 1 0 0
0 1 1 1
0 0 0 1
a
b
d
F
0 0 0 1
b1 1 1 1
0 1 0 0
1 0 0 1
c
a
d
TD 3
Page 11
Karnaugh - De Morgan
Autres repérage des cases
Vous venez de la page 26
5) AUTRE REPERAGE DES CASES
OU
_ avec deux variables nous avions deux possibilités
a b
0 0
0 1
1 0
1 1
a
b
a
b 0 1
0
1
TD 3
Page 12
Karnaugh - De Morgan
Autres repérage des cases
_ il en est de même avec 3 ou 4 variables :
_ à l'ordre 00, 01, 11, 10
_ un seul chiffre doit changerd'une colonne à la voisine
* 01 dans la colonne signifie :a = 0b = 1 soit .b
* la 8ème ligne de la table se lit :a b c
Attention :
a
1 1 1
* la 5ème ligne de la table se lit :a b c
_ Inversement, lecture du tableau :
a b c1 0 0 a
0 1 00 1 1 b ( c indifférent )
0 0 10 1 1 c ( b indifférent )
1 0 0
b c
a
a
Feuray
a b c
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
c
a
b
ab
c 00 01 11 10
0
1
ab
c 00 01 11 10
0 1 1
1 1 1
TD 3
ab
cd 00 01 11 10
00
01
11
10
_ ce repérage est particulièrement commode pour les tableaux à 4 variables( trés fréquent ).
_ Le mot désignant une ligne se liten deux syllabes de deux chiffreschacune, en prenant bien soin derespecter rigoureusement l'ordredes variables.
- comporte 2 cases- 1 case est définie par la combinaison de n variables
En résumé, un tableau de n variables
n
- 2 cases sont définies par la combinaison de (n-1) variables- 4 cases sont définies par la combinaison de (n-2) variables
- 2 cases sont définies par la combinaison de 1 variables
- 2 cases sont définies par la combinaison de 0 variable
n-1
n
Page 13
Karnaugh - De Morgan
Autres repérage des cases
a b c d S
0 0 0 0
0 0 0 1 0001
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0 0110
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1 1011
1 1 0 0
1 1 0 1 1101
1 1 1 0
1 1 1 1 1111
a db c
a db c
a c db
a b dc
a b c d
TD 3
Page 14
Karnaugh - De Morgan
Théorème de De Morgan
II THEOREME DE DE MORGAN
complément d'une somme produit des compléments
_ reprenons le tableau de Karnaugh suivant :
L = a + b
_ si au lieu de grouper les "1" on avait groupé les "0" on aurait obtenu (au lieu de L).Il suffit alors de prendre le complément de pour avoir L.
_ dans notre exemple ci-dessous
= . ( en groupant les "0" )
soit L = .
_ or on avait L = a + b --> a + b = .
que l'on écrit en complémentant chaque menbre : = .
" le de variables est égal audes variables "
_ prenons un autre exemple :
L = +
en groupant les "0" on aurait eu = a . b
soit L =
LL
L a b
a b
a b
a + b a b
a b
L
a . b
= . . .a + b + + x a b x... ...
1) ENONCE
L a
0 1
b
1 1
L a
1 1
b
1 0
TD 3
Page 15
Karnaugh - De Morgan
Théorème de De Morgan
d'où --> = +
" le de variables est égal audes variables "
a . b a b
complément d'un produit à la somme des compléments
= + + +a . b . . x a b x... ...
2) UTILISATION DE DE MORGAN
_ on utilise De Morgan quand il est plus facile de grouper les "0" que les "1".
_ or avec les relais, on ne sait pas cabler le complément d'une somme ou d'un produit.De Morgan permet de faire le cablage.
_ mais attention, il est souvent difficile, voire impossible de vérifier que les deuxexpressions sont identiques, si ce n'est par la simulation.
_ prenons comme exemple le tableau à quatre variables A :
_ en groupant les "1" on avait A = a.b + c
_ en groupant les "0"
on a = . + .
soit A = . + . = . . .
on aura donc a . b + c = ( a + c) . ( b + c )
_ ce qui ne semble pas évident à première vue
A a c b c
a c b c a c b c
A
0 0 1 1
b0 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
c
a
d
A
0 0
b0
0
0 0
c
a
d
TD 3
Page 16
Karnaugh - De Morgan
Théorème de De Morgan
RESUME
GENERALISATION
--> = . .DE MORGAN
--> = + +
a . ( b + c ) + b . . = ( + . ) . ( + c + a )
F = somme de produit
( b . + a . . d )
a + b + c a b c
a . b . c a b c
c a a b c b
d c
= somme de produit
( . + c . d + . d )
F = ( b + d ) . ( + ) . ( a + )
produit de somme
F
b d a
c d d
F
1 1
c1 1
1 1
b
a
d
F
0 0
c0 0
0 0 0 0
0 0
b
a
d
TD 3
1 F 1
bF 1
c
a
1 1
b1
c
a
Page 17
Karnaugh - De Morgan
Exploitation des cas indifférents
III EXPLOITATION DES CAS INDIFFERENTS
Cas indifférents ou peu importants
Par exemple, soit un système à trois boutons de commande a, b, c la réalisation est tellequ'il soit impossible de ma noeuvrer a et b en même temps à l'état 1.
_ Cela exclut deux cas : il n'y a pas àrechercher ce que serait la valeur de S pources cas.
_ peu importe que ce soit 1 ou 0puisque cette éventualité ne peut pas seproduire.
---> cas exclus
_ Un signe distinctif Ø ou autre, est utilisé
_ Ces cas qui ne sont pas impérativement 0 ou 1 peuvent s'utiliser à volonté avec les 0 oules 1 voisins pour faire des regroupements plus larges.
. c + a . . c + a .
)
les 1 seuls avec les Ø
a b c b
a b c S
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 F
1 1 1 F
0 1 F 1
b0 0 F 1
c
a
TD 3TD 3
Page 18
Karnaugh - De Morgan
Exercice n° 9 et n° 10
exercice n° 9 :
exercice n° 10 :
_ comparer l'équation en ne regroupant que les 1 à celle obtenue en utilisantles cas indifférents.
_ refaire le même exercice en groupant les "0"
la solution de cet exercice à la page 27
vous venez de la page 27
la solution de cet exercice à la page 27
S
1 1 1 F
b0 0 1 0
0 F F 0
F F 1 F
c
a
d
TD 3
T a
1
b
1
S a
1
b
1 1
R a
1
b
1
Page 19
Karnaugh - De Morgan
Solutions des exercices n° 1 et n° 2
vous venez de la page 3
retourner à la page 3 pour un un deuxième exercice
correction exercice n° 1 :
A = 1 quand b = 0 --> A =
ou b = 0 --> C = +
ou b = 1 --> D = b + = 1
OU quand a = 0ou a = 1 --> D = a + = 1
b
a b
b
a
D est indépendant a et bon aurait pu faire ungroupement de 4
B = 1 quand a = 0 --> B =C = 1 quand a = 0
D = 1 quand b = 0
R = a + a . b S = a + . b
T = a . (a + b)
a
a
vous venez de la page 3
pour avancer dans le programme, aller à la page 4
correction exercice n° 2 :
R = a S = a + b
T = a
TD 3
F
1 1 1
b1 1
c
aE
1
b1 1
c
a
Page 20
Karnaugh - De Morgan
Solutions des exercices n° 3 et n° 4
vous venez de la page 5
aller à la page 6
correction exercice n° 3 :
vous venez de la page 6
retourner à la page 6 pour l'exercice n° 5
correction exercice n° 4 :
remarque:
D = a . b = a . b (c + )= a.b.c + a.b.
1 case dans c1 case dans C = .b. D = a.b A = a.b.c B = a. .c
E = a.b + . .c F = + .
cc
c a c b
a b a b c
c b a
0 0 0 1
0 0 1 2
0 1 0 3
0 1 1 4
1 0 0 5
1 0 1 6
1 1 0 7
1 1 1 8
1
b
1 1 1
c
a
1 2 6 5
b3 4 8 7
c
a
TD 3
G
0 0 1 1
b0 0 1 1
c
a
H
0 0 1 0
b0 0 1 0
c
a
I
0 0 1 1
b0 0 0 0
c
a
J
0 0 0 0
b0 1 0 0
c
a
Page 21
Karnaugh - De Morgan
Solutions de l'exercice n° 5
vous venez de la page 6
correction exercice n° 5 :
_ l'écriture est plus simple quand on peut obtenir desregroupements de 2 ou 4 cases convenables.
_ tout le domaine c = 1
la boucle à cheval sur a et , etsur b et indique l'idifférence visà vis de ces variables.
_ dans c = 1 et dans a = 1sur b et : b indifférent
_ dans b = 0 et dans c = 1sur a et : indifférent
G = c
H = a . c
I = . c
ab
b
a
b
_ dans a = 1 , dans b = 1 et dans c = 0sur a et : indifférenta
J = a . b . c
TD 3
N
1 1 1 0
b
0 1 1 0
c
a
L
1 1 0 0
b
0 0 1 0
c
a
K
1 0 0 1
b
0 0 0 0
c
a
M
1 1 0 0
b
0 1 1 0
c
a
Page 22
Karnaugh - De Morgan
suite correction exercice n° 5 :
_ dans b = 0 et dans a = 0c indifférent
_ dans b = 0 et dans c = 0a : indifférent
.
a . b . c
.
K = .
L = . + a . b . c
a b
b c
b c
b c
_ dans a = 1 et dans b = 1 et dans c = 0
a . b
.
a
_ l'utilisation du tableau, en recherchantles boucles les plus larges de 2 ou 4 cases,donne immédiatement l'écriture la plus simple
M = a . b + .
N = a + .
b c
b c
b c
retourner à la page 6 pour l'exercice n° 7
Solutions de l'exercice n° 5TD 3
J
0 0 0 0
c
1 1 0 0
b
a
I
1 0 1 1
c
1 0 1 0
b
a
G
1 1 0 0
c
0 0 1 1
b
a
Page 23
Karnaugh - De Morgan
Solutions de l'exercice n° 6
vous venez de la page 7
G = . + b . c
H = . b . + a . b . c
H = b . ( . + a . c )
(pas de regroupement)
I = . + a . b + .
ou bien
I = . + a . b + .
(autre regroupement)
J = . c
b c
a c
a c
a b b c
a b a c
b
correction exercice n° 6 :
H
0 0 0 1
c
0 0 1 0
b
a
TD 3
D
0 1 1 0
s0 1 1 1
1 0 0 1
0 0 0 0
h
p
m
B
0 0 0 0
y1 1 0 0
1 1 0 0
1 1 0 0
z
w
x
A
0 0 1 1
b0 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
c
a
d
C
1 1 1 0
c0 1 0 0
0 1 1 0
0 1 1 0
b
a
d
K
1 1 0 0
c
1 0 0 1
b
a
Page 24
Karnaugh - De Morgan
Solutions des exercices n° 6 et n° 7
suite correction exercice n° 6 :
K = . + a . + .ca b c a
A = c + a . b B = . y + . xB = . ( x + y )
C = a. + a.d + a. + . . D = p. + .h.s + .m.sC = a . ( + + d ) + . . ou bien D = p. + h.s. + .m.s
retourner à la page 7
vous venez de la page 9
correction exercice n° 7 :
z zz
b c b c d m p pb c b c d m m p
TD 3
1
E
0 0 1 0
c1 1 0 0
0 1 1 1
0 0 0 1
a
b
d
F
0 0 0 1
b1 1 1 1
0 1 0 0
1 0 0 1
c
a
d
Page 25
Karnaugh - De Morgan
Solutions des exercices n° 7
suite correction exercice n° 7 :
E = .c. + b.c.d + a. .d + a.b. . F = b. + a.b. + .c. + . .dou bien F = b. + a.b. + . .c + . .d
a d b c d d c a d a bd c a b a b
aller à la page 10
TD 3
correction exercice n° 9 : les 1 seuls avec les Ø
S = . . + a . c . + a . C . S = + a . c. . + a . b . ( + )
_ les cases Ø non employés sont assimilées à des 0
= . c + . c . = . b + . B( a + c ) . ( b + + d ) c . ( + )= + a . b
_ l'utilisation des Ø rend impossible la vérification des équations obtenues
b c d d b bb c d c d
S a b d S a cc a b c
aller à la page 18
vous venez de la page 18
correction exercice n° 10 : les 0 seuls avec les Ø
S
b0 0 0
0 0
c
a
d
S
b0 0 0
0 F 0
c
a
d
S
1 1 1
b1
1
c
a
d
S
1 1 1 F
b1
F
F F 1 F
c
a
d
Page 27
Karnaugh - De Morgan
Solutions des exercices n° 9 et n° 10TD 3