Mapas de Karnaugh

Trabajando con Puertas LgicasIniciaci a lElectricitat i a lElectrnica

Sistemas Digitales

Dpt. TECNOLOGIA IES CAP DE LLEVANT 2008

Tabla de ContenidoIntroduccinPuertas lgicas (smbolos y tablas de verdad)Implementacin de funciones lgicasSimplificacin de funciones lgicasMapas de KarnaughCircuitos con puertas NAND y NOR

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IntroduccinCualquier circuito electrnico tiene una parte encargada de decidir, en funcin de unas variables de entrada (informacin de los sensores), de qu manera deben comportarse los actuadores.

Del estudio y diseo de esta parte del circuito se encarga la electrnica de control.

Los componentes electrnicos ms sencillos con los que implementar circuitos de control son las puertas lgicas.

Una vez analizado y estudiado el problema seguiremos los siguientes pasos para su resolucin:

Identificar entradas y salidasDisear el circuito elctrico equivalente (con pulsadores)Averiguar el numero de posibles estados de las entradasHallar la tabla de verdad del circuito equivalenteInterpretar la tabla de verdad y describir una red de puertas que componen el sistema digital.Si es preciso, simplificar y minimizar la cantidad de lgica usada en un sistema. (Mtodo de Karnaugh)Diseo del circuito electrnico completo

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Las puertas OR, AND y NOTSmbolos para OR y AND

Smbolo para NOT

El circulo al final del tringulo es la representacin de la negacin

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Tablas de verdad para las puertasOR. AND y NOT

aba + b000011101111

abab000010100111

aa0110

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Las puertas NAND y NOR

Como la otras puertas lgicas que estudiamos, tambin estn disponibles en el comercio con dos, tres, cuatro y ocho entradas.Smbolos para NANDSmbolos para NOR

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Tablas de verdad para las puertas NOR y NAND

ab(a + b)001010100110

ab(ab)001011101110

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Las puertas OR-Exclusiva y NOR-Exclusiva

aba xor b000011101110

aba xnor b001010100111

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Implementacin de Funciones con Puertas Lgicas. Redes con AND, OR y NOTUna vez que se define el problema y se halla la tabla de verdad correspondiente (o la funcin expresada como la suma de productos) se debe de definir el diagrama lgico, compuesto por una red de puertas lgicas que describan la funcin.

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De la Tabla de Verdad a la Expresin AlgebraicaEn la mayora de los casos, un problema digital es presentado en la forma de una declaracin o como una tabla de verdad, esto nos obliga a tener la habilidad de llevar los datos de una tabla de verdad a una expresin algebraica.En la tabla de verdad, cada combinacin de las variables de entrada corresponde a un termino de producto estndar.Es posible extraer una sumatoria de productos estndares sumando cada termino de producto cuyo resultado en la tabla de verdad es igual a 1.

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Miniterminos En la tabla se muestra la equivalencia entre las combinaciones de una tabla de verdad y los minitrminos que estn asociados a cada uno de los productos estndares de una expresin algebraica.

Los minitrminos pueden ser referidos tambin por sus nmeros, que estn mostrados en la columna de la derecha.

abcMinitrmino000ABC001ABC010ABC011ABC100ABC101ABC110ABC111ABC

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Ejemplo

XYZ

XYZ

XYZ

XYZ

xyzf00000010010101111001101111001110

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ProblemaImplementar con puertas lgicas la siguiente funcin F = ACD+BCD+ABC+ABDDiagrama lgico

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La simplificacin de funciones lgicasEl proceso de la simplificacin de una funcin lgica consiste en hallar una nueva funcin equivalente a la primera, cuya representacin por puertas lgicas resulte ms simplificado que el del circuito inicial. Existen dos mtodos de simplificacin:

Aplicando las propiedades de las operaciones lgicas.Mediante mapas de Karnaugh

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Sobre la simplificacinNo existe una sola metodologa para realizar la simplificacin.Slo la prctica es la manera de alcanzar la simplificacin ptima.La aplicacin de cualquiera de los mtodos nombrados no garantiza el llegar a la simplificacin ptima.

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Mapas de KarnaughEs un mtodo grfico usado para la simplificacin de funciones lgicasPropuesto por Maurice Karnaugh en 1953Los mapas de Karnaugh se compone de un cuadrado por cada minitrmino posible de una funcin.2 variables, 4 cuadrados3 variables, 8 cuadrados4 variables, 16 cuadrados

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Representando funciones en un Mapa de Karnaugh (1)Cuando se quiere llevar una funcin a un mapa, se coloca un 1 en el casillero correspondiente al minitrmino que result como 1 en la funcin.Los otros casilleros se dejan en blancoSi existen condiciones irrelevantes, es necesario poner una X en los minitrminos correspondientes.

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Mapa de Karnaugh para dos variables0 10

1ABAqu tenemos dos vistas de una mapa de dos variables, las casillas sombreadas, por ejemplo, corresponden al minitrmino en el que A=1 y B=00 1AB0

1F = AB

ABABABAB

0100

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Representando funciones en un Mapa de Karnaugh (2)

0 10

1ab0 10

1abF = ab + abF = ab + ab + ab

11

111

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Mapa de Karnaugh para 3 y 4 variables

00 01 11 100

1ABC00 01 11 1000

01

11

10ABCD

ABCABCABCABCABCABCABCABC

ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCD

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Simplificacin usando Mapas de KarnaughUna vez se ha representado la funcin en el mapa se marcan los grupos adyacentes (se agrupan las casillas sealadas con un 1) hasta que no haya ningn 1 sin agrupar, y por este orden:Se procura formar el mximo n de casillas de 8 unos.A continuacin, se forma el mximo n de grupos de 4 unos que no puedan formar grupos de 8.Luego, se repite la accin con los grupos de 2 unos que no puedan formar grupos de 4.Se finaliza tomando todos los 1 que queden sin formar ningn grupo.

Los grupos tienen que reunir el mayor nmero de 1 posible y no importa que dos grupos compartan algn 1

Una vez efectuados los agrupamientos se procede a eliminar la variable o variables que cambien en cada agrupacin.

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Ejemplo de adyacencia para un mapa de 4 variablesLos 1 en dos celdas adyacentes corresponden a un solo trmino de producto.

00 01 11 1000

01

11

10ABCD00 01 11 1000

01

11

10ABCDACDABD

11

1

1

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Extendiendo el concepto de adyacencia para agrupar ms celdas

00 01 11 100

1ABC00 01 11 100

1ABCAC ACC

1111

1111

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Otros ejemplos para grupos de 4

00 01 11 1000

01

11

10ABCD00 01 11 1000

01

11

10ABCDABADBD BD

11111111

11111111

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Grupos de 8

00 01 11 1000

01

11

10ABCD00 01 11 1000

01

11

10ABCDAD

11111111

1111

1111

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Ejemplo de simplificacin usando Mapas de Karnaugh00 01 11 100

1xyzF = xyz + xyz + xyz + xyz + xyz00 01 11 100

1xyzxy + xy + xz

11111

11111

xyzf00000010010101111001101111001111

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Problemaf = abc + abc + abc + abc

Para la funcin f encontrar la suma de productos mnima usando un mapa de karnaugh.

Implementar con puertas lgicas la funcin antes y despus de simplificar

xyzf00010010010101111001101011001110

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Problema: solucin sin simplificar

abc

abc

abc

abc

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00 01 11 100

1abc00 01 11 100

1abcProblema: solucin simplificada

1111

1111

abc

a

b

a

c

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Ejercicios:Implementar con puertas lgicas la funcin OR exclusiva de 3 entradas antes y despus de simplificar

Implementar con puertas lgicas la siguiente funcin antes y despus de simplificarf = abcd + abcd + abcd + abcd + abcd + abcd + abcd + abcdImplementar con puertas lgicas las siguientes funciones antes y despus de simplificar

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Ejercicios:

xyzS1S2S3S4S50000101100101000010010100110110010001011101011001100101111110000

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Circuitos con puertas NAND y NORTodas las funciones Booleanas pueden ser substituibles por una funcin equivalente que utilice nicamente compuertas NAND y/o NOR, esto con los siguientes objetivos:

Disminucin del nmero de componentes en una tarjeta de circuito impreso.Dar facilidad de mantenimiento futuro y Disminuir el consumo de energa.

La transformacin de cualquier funcin se efectuar mediante la correcta utilizacin del teorema de Moorgan.

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Algunas equivalencias

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Metodologa para transformar una expresin a NANDUna vez obtenida la expresin correspondiente del problema digital, se realiza a todo el conjunto una doble inversin o negacin.Como nos encontramos en el caso de implementar con puertas NAND, si la expresin resultante est en funcin de productos, las dos negaciones deben dejarse tal cual. Si, por el contrario, es una suma, se aplica el teorema de Moorgan sobre dicha suma.Continuar 2, hasta la obtencin de una funcin compuesta exclusivamente como productos negados.

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Metodologa para transformar una expresin a NORCon la expresin correspondiente se realiza a todo el conjunto una doble inversin o negacin.Si la expresin resultante est en funcin de sumas, las dos negaciones deben dejarse tal cual. Si se trata de un producto, tendremos que aplicar el teorema de Moorgan sobre el producto.Continuar 2 (realizando el proceso anterior) hasta la obtencin de una funcin compuesta exclusivamente por sumas negadas.

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