Kietųjų kūnų krūvininkų statistika - el.vgtu.lt elektronai.pdf · ∆x∆y∆z∆px∆py∆pz... šešiamatėje koordinačių x,y,z, px,py,pz erdvėje mikrodalelės būseną

ELEKTRONIKOS PAGRINDAI 2008

VGTU EF ESK [email protected]

1

Kietųjų kūnų krūvininkų statistika

Kietajame kūne elektronai sudaro mikrodalelių sistemą. Dalelių sistemoms būdingi saviti statistiniai dėsningumai. Remdamiesi statistinės fizikos principais aptarsime kietųjų laisvųjų elektronųbendrąsias savybes.

Iš daugelio dalelių sudarytų sistemų savybes tiria statistinė fizika. Statistinėfizika skirstoma į klasikinę statistiką ir kvantinę statistiką.

Kvantinės statistikos objektas – mikrodalelių sistemos. Pagal sistemoje išryškėjančias savybes mikrodalelės skirstomos į Fermio (Fermi) daleles, arba fermionus, ir Bozės (Bose) daleles, arba bozonus. Fermionų grupei priklauso elektronai, protonai ir kitos mikrodalelės, kurių sukinių kvantiniai skaičiai yra pusiniai (–1/2, +1/2). Bozonų grupei priklauso fotonai, fononai ir kitos dalelės, kurių sukinių kvantiniai skaičiai yra sveikieji skaičiai (0, ±1, ...).

Bozonams būdinga tai, kad gali būti daug tos pačios kvantinės būsenos dalelių. Iš bozonų sudarytų sistemų savybes nagrinėja Bozės ir Einšteino statistika. Š. Bozė ją taikė fotonams, o A. Einšteinas – bet kokioms dalelėms, kuriųsukinio kvantinis skaičius – sveikasis.

Siekdami išsiaiškinti elektronų sistemų savybes, daugiau dėmesio skirsime fermionams. Fermionų savybes nagrinėja Fermio ir Dirako statistika.



2


Fermionams būdingas polinkis į vienatvę. Jiems galioja Paulio draudimo principas – jeigu yra tam tikros kvantinės būsenos fermionas, tai kito fermionobūsena negali tapti tokia pati.

Fermionų savybės išryškėja jiems susitikus – bandant tapti tos pačios būsenos. Fermionų susitikimų dažnis priklauso nuo santykio N/G; čia N – dalelių skaičius, G – kvantinių būsenų skaičius. Savitos fermionų savybės pasireiškia tik tada, kai dalelių skaičius artimas kvantinių būsenų skaičiui. Jei ši sąlyga tenkinama, fermionų sistema laikoma išsigimusia ir jai taikoma kvantinė statistika.

Jeigu N/G<<1, tai sistemą sudarantys fermionai beveik nesusitinka ir nesąveikauja. Tokiai neišsigimusiai fermionų sistemai galima taikyti klasikinęMaksvelo (Maxwell) ir Bolcmano (Boltzmann) statistiką.

Statistinėfizika

Kvantinėstatistika

Bozės-Einšteino

Fermio-Dirako

Maksvelo-Bolcmano

N/G<<1



3


Dalelių sistemoms apibūdinti statistinėje fizikoje taikomos pasiskirstymo

funkcijos.

Sakykime, kad sistemoje, sudarytoje iš NΣ dalelių, yra dN dalelių, kurių energija yra elementariame energijos intervale nuo W iki W+dW. Dalelių skaičius dN yra proporcingas NΣ ir energijos intervalui dW:

Šioje formulėje proporcingumo koeficientas f(W) priklauso nuo energijos reikšmės, kurios aplinkoje pasirenkamas intervalas dW. Santykis dN/NΣ=f(W)dWreiškia tikimybę dP, kad sistemos dalelės energija yra intervale nuo W iki W+dW .

WWfNN d)(d Σ=

Tikimybės dP ir intervalo dW santykis, turi šios tikimybės tankio prasmę. Ji rodo, kokiu dėsniu pasiskirsčiusios dalelių energijos, todėl vadinama pasiskirstymo funkcija.

W

P

W

NNWf

d

d

d

/d)( == Σ



4

Jeigu dW = 1, tai dP = f(W). Vadinasi, pasiskirstymo funkcijos skaitinė

reikšmė atitinka tikimybę, kad dalelės energija yra vienetinio ilgio energijos

ruože, kurio centras sutampa su W.


W

P

W

NNWf

d

d

d

/d)( == Σ

Kadangi N(W)dW = dN, sandauga N(W)dW reiškia skaičių dalelių dN, kurių energija yra nuo W iki W+dW .

Kai dW = 1, tai dN = N(W). Vadinasi, pasiskirstymo funkcijos N(W) skaitinė

reikšmė atitinka skaičių dalelių vienetinio ilgio energijos intervale, kurio

centras sutampa su W.

Žinant dalelių pasiskirstymą pagal tam tikro dydžio reikšmes, galima rasti to dydžio vidutinę reikšmę ir kitus dalelių sistemą apibūdinančius parametrus.

Greta funkcijos f(W) dažnai taikoma jai proporcinga pasiskirstymo funkcijaN(W)=NΣf(W).



5

Metalo (išsigimusios sistemos) elektronų pasiskirstymas

Tikslas: išvesti metalo elektronų pasiskirstymo pagal energijos reikšmes funkciją.

Etapai:

1. Rasime mikrodalelių (fermionų) būsenų skaičių ir tankį.

2. Aptarsime būsenų užpildymo tikimybes.

3. Išvesime metalo elektronų pasiskirstymo pagal energijos reikšmes funkciją ir sudarysime jos grafiką.



6

Elektronų būsenų skaičius

Klasikinėje mechanikoje dalelės būseną nusako jos koordinatės x, y, z ir impulso dedamosios px, py, pz. Tai reiškia, kad šešiamatėje koordinačių sistemoje

klasikinės dalelės būseną atitinka erdvės taškas.

Pagal kvantinę mechaniką mikrodalelei galioja Heizenbergo nelygybės:3h≥zyx pppzyx ∆∆∆∆∆∆

... šešiamatėje koordinačių x, y, z , px, py, pz erdvėje mikrodalelės būseną

atitinka ne taškas, o elementarusis šios erdvės narvelis, kurio tūris h3.

Bet kokiame erdvės tūryje telpa be galo daug be galo mažų taškų, bet baigtinio tūrio narvelių skaičius yra ribotas. Todėl yra ribotas ir mikrodalelių būsenųskaičius.

Nagrinėkime sistemą, sudarytą iš laisvųjų mikrodalelių, kurios gali laisvai judėti tūryje V. Tuomet

Vppp zyx /h3≥∆∆∆Trimatėje impulso dedamųjų erdvėje laisvosiosmikrodalelės būseną atitinka narvelis, kurio tūris h3/V.



7

Elektronų būsenų skaičius

... galime rasti mikrodalelių būsenų skaičių u impulso reikšmių intervale nuo p iki p+dp.Impulso dedamųjų erdvėje intervalas nuo p iki p+dpatitinka sferinį sluoksnį, kurio vidinis spindulys p , o išorinis – p+dp.

( ) pppppVp dπ43

π4d

3

π4d 233 ≅−+= pp

V

V

Vu

pd

h

π4

/h

d2

33==

k2mWp =k

k

d2

d WW

mp = kk

2/3

3d

h

π24WWm

Vu =

WWgWWWmV

u d)(dh

π24c

2/3

3=−=

c2/3

3h

π24)( WWm

VWg −=

Būsenų tankis



8

Būsenos užpildymo tikimybė

Kvantinę būseną gali užimti du elektronai su priešingais sukiniais.

( )[ ] 1k/exp

1)(

FF +−

=TWW

WfWF – būdingasis Fermio ir Dirakopasiskirstymo funkcijos parametras, vadinamas elektronų cheminiu potencialu. Jis turi energijos dimensiją ir puslaidininkiųfizikoje vadinamas Fermio lygmeniu. Absoliučiojo nulio temperatūroje energija vadinama Fermio energija.

Aukštesnėse kaip 0 K temperatūrose būsenos, kurių energija WF, yra pusiau užimtos, nes fF = 1/2.

Elektronų pasiskirstymą pagal kvantines būsenas išreiškia Fermio ir

Dirako pasiskirstymo funkcija.



9

Metalų elektronų pasiskirstymas

Metalo laisvųjų elektronų skaičių energijos intervale dW galime rasti, padauginękvantinių būsenų skaičių šiame intervale iš jų užpildymo tikimybės. Dar reikia atsižvelgti į tai, kad būseną gali užimti du elektronai su priešingais sukiniais.

WWfWgufN d)()(22d FF ==

WWNWWfNN d)(d)(d == Σ

)()(2)()( FΣ WfWgWfNWN ==

( )[ ] ;1k/exph

π28)(

F

c

3

2/3

+−

−=

TWW

WW

n

mWf

3/22

Fcπ8

3

2

h

=n

mW

... Fermio lygmens padėtį absoliučiojo nulio temperatūroje lemia

laisvųjų elektronų tankis.

... absoliučiojo nulio temperatūroje metale yra laisvųjų elektronų, ir

Fermio lygmuo yra aukščiau laidumo juostos dugno.



10

Metalų elektronų statistika. Užduotys

1. Pasinaudodami metalo elektronų pasiskirstymo funkcija, raskime sąryšį tarp Fermio energijos ir elektronų tankio.

2. Raskime metalo elektrono vidutinę kinetinę energiją absoliučiojo nulio temperatūroje. Fermio energija žinoma.

3. Metalo Fermio energija – 7 eV. Raskime elektrono vidutinę energiją ir vidutinį kvadratinį greitį, kai T = 0 K.

4. Vario tankis – 8 920 kg/m3, atominė masė – 63,54. Kiekvienas vario atomas sukuria vieną laidumo elektroną. Raskime vario Fermio energiją ir vidutinęelektrono energiją absoliučiojo nulio temperatūroje.

Fck5

3WW =

3/22

Fcπ8

3

2

h

=

n

mW eV2,4...

5

3Fck ≅== WW



11

Elektronų pasiskirstymas neišsigimusioje sistemoje.

Dalelių sistemos pusiausvyra

Tikslas:

1. Išvesti ir išnagrinėti neišsigimusios sistemos elektronų pasiskirstymus.

2. Išvesti elektronų sistemos pusiausvyros sąlygą.

Elektronų pasiskirstymo neišsigimusioje sistemoje nagrinėjimo etapai:

1. Remdamiesi fermionų pasiskirstymu pagal energiją ir neišsigimimo sąlyga rasime neišsigimusios sistemos elektronų pasiskirstymo pagal energiją funkciją.

2. Įsitikinsime, kad neišsigimimo sąlygą tenkina puslaidininkio laisvųjųelektronų sistema.

3. Nagrinėsime, kaip galima rasti dalelių sistemą charakterizuojančius parametrus, kai žinomos pasiskirstymo funkcijos.



11

Elektronų pasiskirstymas neišsigimusioje sistemoje.

Dalelių sistemos pusiausvyra

WWfWgufN d)()(22d FF ==

c2/3

3h

π24)( WWm

VWg −=

( )[ ] 1k/exp

1)(

FF +−

=TWW

Wf

)()(2)()( FΣ WfWgWfNWN ==

( )[ ] 1k/exph

π28)(

F

c

3

2/3

+−

−=

TWW

WW

n

mWf

Pagal kvantinę Fermio-Dirako statistiką:



12

Neišsigimusio puslaidininkio elektronų pasiskirstymas

Puslaidininkiuose laisvųjų elektronų tankis yra daug mažesnis nei metaluose. Todėl dažniausiai puslaidininkio laisvųjų elektronų sistema esti neišsigimusi.Fermionų sistema yra neišsigimusi, jeigu tenkinama sąlyga:

( )[ ] 1k/exp F >>− TWW )(eee)( Bk/k/k/

FF WfAWf TWTWTW ==≅ −−

WWWmV

N TWTWdee

h

)2(π4d k/k/

c3

2/3F −−= ∫ −−=

max

c

F deeh

)2(π4 k/c

/

3

2/3

Σ

W

W

TWkTWWWW

mVN

∫∞

−−=0

kk/

kk/k/

3

2/3

Σ deeeh

)2(π4kcF WW

mVN

TWTWTW

TWTWTm

V

Nn

k/k/

3

2/3Σ cF ee

h

)kπ2(2 −== TWTW

Tm

n k/

2/3

3k/ cF e

)kπ2(2

he =

( ) kkΣkk/

k2/3Σ d)(dek

π

2d k WWfNWWT

NN

TW == −− TWeWTWf

k/k

2/3k

k)k(π

2)(

−−=

2/3

02

ea

dxx ax π∫∞

− =



13


Puslaidininkiuose laisvųjų elektronų tankis yra daug mažesnis nei metaluose. Todėl dažniausiai puslaidininkio laisvųjų elektronų sistema esti neišsigimusi.Fermionų sistema yra neišsigimusi, jeigu tenkinama sąlyga:

( )[ ] 1k/exp F >>− TWW )(eee)( Bk/k/k/

FF WfAWf TWTWTW ==≅ −−

WWWmV

N TWTWdee

h

)2(π4d k/k/

c3

2/3F −−=

∫ −−=max

c

F deeh

)2(π4 k/c

/

3

2/3

Σ

W

W

TWkTWWWW

mVN

)()(2)()( FΣ WfWgWfNWN == c2/3

3h

π24)( WWm

VWg −=



14


∫ −−=max

c

F deeh

)2(π4 k/c

/

3

2/3

Σ

W

W

TWkTWWWW

mVN

∫∞

−−=0

kk/

kk/k/

3

2/3

Σ deeeh

)2(π4kcF WW

mVN

TWTWTW

TWTWTm

V

Nn

k/k/

3

2/3Σ cF ee

h

)kπ2(2 −== TWTW

Tm

n k/

2/3

3k/ cF e

)kπ2(2

he =

( ) kkΣkk/

k2/3Σ d)(dek

π

2d k WWfNWWT

NN

TW == −−

TWeWTWf

k/k

2/3k

k)k(π

2)(

−−=

2/3

02

ea

dxx ax π∫∞

− =



15


TWeWTWf

k/k

2/3k

k)k(π

2)(

−−=

1eeek/)(k/)(k/)( cFcF <<= −−−−− TWWTWWTWW

( )1

kπ22

he

2/3

3k/)( cF <<=−

Tm

nTWW

... elektronai sudaro neišsigimusią sistemą, jeigu WF<Wc– kT, tai yra, jeigu Fermio lygmuo yra bent per kT žemiau draudžiamosios juostos dugno.

... neišsigimimo sąlyga tenkinama, kai yra nedidelis elektronų tankis arba aukšta temperatūra.

( )[ ] 1k/exp cF <<− TWW

TWTW

Tm

n k/

2/3

3k/ cF e

)kπ2(2

he =

Neišsigimusio puslaidininkio elektronųpasiskirstymo funkcija:

WF<Wc– kT



15

k

k/

k

2/3 d)k(π

2d k WeWT

NN

TW−−Σ=

...)(...,)( == pfpN

m

dpW

m

pW

pd,

2k

2

k ==

peTm

pNN Tmp d

)k(π

2d k2/

2/3

22−Σ=

vmpmvp dd, == ...)(...,)( == pfpN

vevT

mNN Tmv d

kπ

2d k2/2

2/32−Σ

= ...)(...,)( == vfvN

Klasikinių dalelių ir neišsigimusio puslaidininkio elektronų pasiskirstymai



15

Vidutinės ir tikimiausios neišsigimusios sistemos dalelių parametrų vertės

∫∞

=0

d)( xxxfx TW k2

3k =kWx =

vx =

xxfxx d)(0

22 ∫∞

=

m

Tv

π

k22=

0=(x)f'

2

rms~ vvv ==

m

Tv

k3~ =

kWx =2

kkt

TW =

px = Tmp k2t =

m

Tv

k2t =



16

Elektronų sistemos pusiausvyra

Dalelių sistemos savybes galima tirti ne tik statistikiniais, bet ir termodinaminiais metodais.

Termodinamikoje sistemos būsena nusakoma tokiais parametrais, kaip tūris, slėgis, temperatūra.

Termodinamikoje įrodoma, kad pastovioje temperatūroje ir esant pastoviam slėgiui termodinaminės sistemos laisvosios Gibso (Gibbs) energijos pokytis išreiškiamas formule:

dG = µ dN;

čia µ – sistemos cheminis potencialas; dN – sistemą sudarančių daleliųskaičiaus pokytis.

dN

dG = –µ1 dN + µ2 dN = 0;

µ1 = µ2 WF1= WF2

… Sistema yra pusiausviroji, jeigu jos dalių Fermio lygmenys yra vienodi.



17

Neišsigimusio puslaidininkio elektronų pasiskirstymas. Užduotys

1. Raskime grynojo silicio laisvojo elektrono vidutinę kinetinę energiją ir vidutinįkvadratinį greitį 0 K ir 300 K temperatūrose.

2. Kiek kartų padidėja germanio laisvųjų elektronų vidutinė energija, kylant temperatūrai nuo 10 iki 100 0C?

3. Išveskime neišsigimusios sistemos dalelės tikimiausios kinetinės energijos išraišką.

4. Apskaičiuokime didžiausią elektronų tankį, kuriam esant kietojo kūno elektronai 300 K temperatūroje sudaro neišsigimusią sistemą.

Documents

Kietųjų kūnų krūvininkų statistika - el.vgtu.lt elektronai.pdf · ∆x∆y∆z∆px∆py∆pz... šešiamatėje koordinačių x,y,z, px,py,pz erdvėje mikrodalelės būseną