Upload
ross-burris
View
140
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Kim był Pitagoras?. Pitagoras (ur. ok. 572 p.n.e. na Samos) to grecki matematyk, filozof, mistyk kojarzony ze słynnym twierdzeniem matematycznym nazwanym jego imieniem. (zm. ok. 497 p.n.e. w Metaponcie). Jak brzmi twierdzenie?. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Kim był Pitagoras?Pitagoras (ur. ok. 572 p.n.e. na Samos) to grecki matematyk, filozof, mistyk kojarzony ze słynnym twierdzeniem matematycznym nazwanym jego imieniem. (zm. ok. 497 p.n.e. w Metaponcie)
Jak brzmi twierdzenie?
c
b
a
W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta
Dowody twierdzenia
a
cb a
b
c
Pole kwadratu:(a-b)2
Pole figury: c2 lub 2ab + (a-b)2
Pole trójkąta:ab/2
c2 = 2ab + a2 +b2 – 2ab
c2 = a2 +b2
a
cb
c
ab
Pole małego kwadratu:c2Pole dużego kwadratu:(a+b)2 lub 2ab+c2
(a+b)2 = 2ab+c2
a2+2ab+b2 = 2ab+c2
a2 + b2 = c2
a
cb
c b
a
c
b
a
Pole dużego trójkąta:c2:2
Pole trapezu:(a+b)(a+b) :2(a2+2ab+b2):
2c2:2+ab
(a2+2ab+b2):2 = c2:2+ab
a2+2ab+b2 = c2+2ab
a2+b2 = c2
Trójki pitagorejskie
a b c
3 4 5
5 12 13
6 8 10
7 24 25
9 12 15
8 15 17
To takie trzy liczby całkowite dodatnie a, b, c, które spełniają równanie Pitagorasa: a2 + b2 =c2
Trójki pitagorejskieJeżeli trójka a, b, c jest pitagorejska to jest nią też da, db, dc dla dowolnej liczby całkowitej naturalnej dTrójkę pitagorejską nazywamy pierwotną, jeśli a, b i c nie mają wspólnego dzielnika.
Zatem z każdej trójki pitagorejskiej możemy uzyskać pierwotną przez podzielenie jej przez największy wspólny dzielnik; i dowolną trójkę pitagorejską możemy otrzymać z pierwotnej przez pomnożenie jej wszystkich trzech elementów przez odpowiednią tę samą liczbę całkowitą dodatnią.
Trójki pitagorejskieJeśli m i n są liczbami naturalnymi oraz m > n , to
a = m2 – n2
b = 2mnc = m2 + n2
a, b, c jest trójką pitagorejską. Jest ona pierwotna wtedy i tylko wtedy gdy m i n są względnie pierwsze i nie są jednocześnie nieparzyste.
Związki miarowe w trójkątachW trójkącie o
kątach:90 45 45
a
a√2
a
Związki miarowe w trójkątachW trójkącie o
kątach:9060302a
a
a√3
Twierdzenie cosinusów W dowolnym trójkącie na płaszczyźnie,
kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.
c
b
a
αc2 = a2 + b2 – 2abcosα
Dowód twierdzenia
a
b1
b2
ch
b = b1 + b2
α
c2 = h2 + b12
h2 = a2 – b22 b1
2 = (b – b2)2
c2 = a2 – b22 + (b –
b2)2 c2 = a2 – b2
2 + b2 – 2bb2 + b2
2
c2 = a2 + b2 – 2bb2
– 2bb2 = -2ab ∙ b2:a b2:a = cosα
c2 = a2 + b2 – 2abcosα
Uogólnione twierdzenie pitagorasa
ca
b
α
c2 = a2 + b2 – 2abcosα
cosα = 0
α=90
c2 = a2 + b2 – 2ab ∙ 0c2 = a2 + b2
Strony źródłowehttp://www.wykop.pl/ramka/341444/84-
dowody-twierdzenia-pitagorasa/http://letsplaymath.net/2008/09/24/
mathematician-for-president/http://pl.wikipedia.org
Wykonał:Wykonał:Arkadiusz ĆwikłaArkadiusz Ćwikła