Kim był Pitagoras?Pitagoras (ur. ok. 572 p.n.e. na Samos) to grecki matematyk, filozof, mistyk kojarzony ze słynnym twierdzeniem matematycznym nazwanym jego imieniem. (zm. ok. 497 p.n.e. w Metaponcie)

Jak brzmi twierdzenie?

c

b

a

W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta

Dowody twierdzenia

a

cb a

b

c

Pole kwadratu:(a-b)2

Pole figury: c2 lub 2ab + (a-b)2

Pole trójkąta:ab/2

c2 = 2ab + a2 +b2 – 2ab

c2 = a2 +b2

a

cb

c

ab

Pole małego kwadratu:c2Pole dużego kwadratu:(a+b)2 lub 2ab+c2

(a+b)2 = 2ab+c2

a2+2ab+b2 = 2ab+c2

a2 + b2 = c2

a

cb

c b

a

c

b

a

Pole dużego trójkąta:c2:2

Pole trapezu:(a+b)(a+b) :2(a2+2ab+b2):

2c2:2+ab

(a2+2ab+b2):2 = c2:2+ab

a2+2ab+b2 = c2+2ab

a2+b2 = c2

Trójki pitagorejskie

a b c

3 4 5

5 12 13

6 8 10

7 24 25

9 12 15

8 15 17

To takie trzy liczby całkowite dodatnie a, b, c, które spełniają równanie Pitagorasa: a2 + b2 =c2

Trójki pitagorejskieJeżeli trójka a, b, c jest pitagorejska to jest nią też da, db, dc dla dowolnej liczby całkowitej naturalnej dTrójkę pitagorejską nazywamy pierwotną, jeśli a, b i c nie mają wspólnego dzielnika.

Zatem z każdej trójki pitagorejskiej możemy uzyskać pierwotną przez podzielenie jej przez największy wspólny dzielnik; i dowolną trójkę pitagorejską możemy otrzymać z pierwotnej przez pomnożenie jej wszystkich trzech elementów przez odpowiednią tę samą liczbę całkowitą dodatnią.

Trójki pitagorejskieJeśli m i n są liczbami naturalnymi oraz m > n , to

a = m2 – n2

b = 2mnc = m2 + n2

a, b, c jest trójką pitagorejską. Jest ona pierwotna wtedy i tylko wtedy gdy m i n są względnie pierwsze i nie są jednocześnie nieparzyste.

Związki miarowe w trójkątachW trójkącie o

kątach:90 45 45

a

a√2

a

Związki miarowe w trójkątachW trójkącie o

kątach:9060302a

a

a√3

Twierdzenie cosinusów W dowolnym trójkącie na płaszczyźnie,

kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.

c

b

a

αc2 = a2 + b2 – 2abcosα

Dowód twierdzenia

a

b1

b2

ch

b = b1 + b2

α

c2 = h2 + b12

h2 = a2 – b22 b1

2 = (b – b2)2

c2 = a2 – b22 + (b –

b2)2 c2 = a2 – b2

2 + b2 – 2bb2 + b2

2

c2 = a2 + b2 – 2bb2

– 2bb2 = -2ab ∙ b2:a b2:a = cosα

c2 = a2 + b2 – 2abcosα

Uogólnione twierdzenie pitagorasa

ca

b

α

c2 = a2 + b2 – 2abcosα

cosα = 0

α=90

c2 = a2 + b2 – 2ab ∙ 0c2 = a2 + b2

Strony źródłowehttp://www.wykop.pl/ramka/341444/84-

dowody-twierdzenia-pitagorasa/http://letsplaymath.net/2008/09/24/

mathematician-for-president/http://pl.wikipedia.org

Wykonał:Wykonał:Arkadiusz ĆwikłaArkadiusz Ćwikła