Kinematika · 2019-10-06 · Kinematika . Tehnička fizika 1 ... Jednačina kretanja tela po x osi ima oblik: gde je A = -2 m, B 3= 6 m/s2, C = -4 m/s . Odrediti: a) Brzinu i ubrzanje

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 1

Kinematika


• Trenutna brzina:

Kretanja mogu da budu ravnomerna ili neravnomerna.

• Srednja brzina:

• Trenutno ubrzanje:

Kretanja mogu biti ravnomerno ubrzana ili neravnomerno.

Srednja i trenutna brzina/ubrzanje

srr

t

2

2

d d

d d

ra

t t

d

d

r

t


• Kod pravolinijskog kretanja, vektori brzine, ubrzanja i pomeraja su

kolinearni (istog pravca):

• Kod ravnomernog kretanja:

• Kod ravnomerno ubrzanog/usporenog kretanja:

• Slobodan pad je ravnomerno ubrzano kretanje sa ubrzanjem g

• Vertikalni hitac naviše je ravnomerno ubrzano kretanje sa ubrzanjem -g

Srednja i trenutna brzina/ubrzanje (2)

dd

d

rr t

t

tat

a dd

d

0, const,a r t

2

0 0

1const, ,

2a a t r t a t


• Kretanje je u vertikalnoj i horizontalnoj ravni. Ako je ugao početne

brzine 0 sa horizontalnom osom , tada:

• Jednačina putanje:

• Domet (y=0):

Kosi hitac

tgy

x

sin

cos

0

0

22

0

2

2

0

0

cos2tg

2

1sin

cos

xgxy

tgty

tx

gDxD

2sin2

0


• Ako je ugaoni pomeraj tada je trenutna ugaona brzina:

• Trenutno ugaono ubrzanje:

• Ravnomerno kružno kretanje:

• Ravnomerno ubrzano kružno kretanje:

• Period rotacije i učestanost (frekvencija):

Kružno kretanje

tt

dd

d

ttt

dd

d

d

d2

2

t ,const,0

2

002

1t,,const tt

2

1,

2

TT


• Jednačine kružnog kretanja, kada je r poluprečnik kružnice:

• Tangencijalna brzina:

• Radijalno ubrzanje:

• Tangencijalno ubrzanje:

• Ukupno ubrzanje:

Kružno kretanje (2)

222

sin

cos

ryx

try

trx

rt

rt

s

d

d

d

dt

rra

22

r

tt

d

da r

t

2 2

t ra a a


• Z1. Jedan automobil se polovinu puta kreće brzinom intenziteta 1,

trećinu puta brzinom intenziteta 2, a preostali deo puta brzinom

intenziteta 3. Odrediti srednju brzinu kretanja automobila na celom putu.

Zadaci

213132

321

321

sr

3

3333

2

2222

1

1111

321

sr

23

6

632

6632

33

22

sss

s

stt

sssss

stt

ss

stt

ss

ttt

s

t

s


• Z2. Jednačina kretanja tela po x osi ima oblik:

gde je A = -2 m, B = 6 m/s2, C = -4 m/s3. Odrediti:

a) Brzinu i ubrzanje tela.

b) Vreme kretanja tela do zaustavljanja.

c) Maksimalnu brzinu tela i vreme koje je potrebno da dostigne tu brzinu.

a)

b)

c)

Zadaci

tCBt

a

tCtBt

x

62d

d

32d

d 2

32)( tCtBAtx

s13

2320)( z

2

zzz

C

BttCtBt

s/m3)(

s5,06

2620)(

maxmax

maxmaxmax

t

C

BttCBta


• Z3. Dva tela su istovremeno bačena jedno u susret drugom istom

početnom brzinom 0 = 50 m/s, jedno vertikalno naviše sa površine

zemlje, a drugo vertikalno naniže sa visine H koja je jednaka

maksimalnoj visini koju može da dostigne prvo telo. Ubrzanje slobodnog

padanja je g = 9,81 m/s2. Odrediti:

a) Na kojoj visini će se tela sresti.

b) Kolike će im biti brzine u trenutku susreta.

a)

Zadaci

0

ss021

2

ss02

2

ss0s1

22

2

1

2

1

HtthhH

tgthHh

tgthh

sH

1

2

sh

gtgtH

gtHh

tg

22

1)(0

2

02

maxmax00

max11

01


b)

m75,5532

7

48442

1

2

20

2

40

20

20

20

2

gg

g

g

Hg

Hhs

s

m5,62

4

5

s

m5,37

4

3

4

442

0s02

00

0s01

0

0

2

0

0

s

tg

tg

gg

Ht

H

1

2

sh


• Z4. Vektor položaja materijalne tačke u odnosu na koordinatni početak

menja se po zakonu:

Odrediti:

a) Jednačinu trajektorije.

b) Vremensku zavisnost vektora brzine i vektora ubrzanja.

c) Vremensku zavisnost ugla između vektora brzine i ubrzanja.

a) b)

c)

Zadaci

jBt

a

jtBiAt

r

2d

d

2d

d

0,,)( 2 BAjtBitAtr

222222

2

4

2

42

4cos

tBA

tB

tBAB

tB

a

a

2

2

2 xA

BtBy

A

xttAx


• Z5. Vektor brzine materijalne tačke menja se po zakonu:

Poznato je: A = 2 m/s2, B = 6 m/s. Odrediti:

a) vremensku zavisnost vektora položaja, ako je r (0) = 0 m,

b) jednačinu trajektorije,

c) vremensku zavisnost vektora ubrzanja,

d) nakon koliko vremena će ugao između vektora brzine i ubrzanja biti

jednak 60.

Rešenje:

a)

( ) , , 0t A t i B j A B

21 2

2 2 21 2 1 2

1( ) ( ) d

2

1(0) 0 0 ( )

2

r t t t A t C i B t C j

r C C C C r t A t i B t j


b)

c)

d)

21 2( )

2

2( )

xx t A t t

A

xy t B t y B

A

21( )

2r t A t i B t j

21 1

2 2 2 2 2 21 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1

1cos

2

4 3 / 3 1,73s

A t A ta

a A A t B A t B

A t A t B A t B t B A

d ( )( )

d

ta t A i

t


• Z6. Parametarske jednačine kretanja materijalne tačke su:

Odrediti:

a) jednačinu trajektorije,

b) vektor brzine i ubrzanja,

c) srednju vrednost intenziteta brzine u intervalu [0,/ω],

d) intenzitet vektora srednje brzine u intervalu [0,/ω].

Rešenje:

a)

b)

Zadaci

2

sin sin

cos cos

t A t i B t j

a t A t i B t j

1B x

yA

cos , 1 cos , , , 0B

x t A t y t t A B


c)

d)

Zadaci

/ /2 2 2

sr

0 0

/

2 2 2 2 2 2sr

0

1d sin d

/

1 2cos

t t A B t t

A B t A B

2 2 2 sint A B t

2 2 2

/ 0 / 0 2 2

2

av

av

x x y yr A Bi j i j

t t t

A B


• Z7. Sa površine Zemlje lansira se projektil pod uglom = 30° prema

horizontu. Domet projektila je D = 2000 m, a ubrzanje slobodnog

padanja iznosi g = 9,81 m/s2. Odrediti:

a) početnu brzinu projektila,

b) jednačinu putanje i maksimalnu visinu koju projektil dostiže,

c) poluprečnik krivine putanje u njenoj najnižoj i najvišoj tački.

Rešenje:

a)

b)

Zadaci

m/s52,1502sin

0

2

0

gD

m/s69,2882

sin

2

1sin

/sin0sin

22

02

maxmax0max

0maxmax0

gtgth

gttgy

22

0

2

cos2tg

xgxy


c) u najvišoj tački

u najnižoj tački:

Zadaci

2 2 2 2 20 0

r min

min min

cos cos1732,13mxa g R

R R g

2 20 0

r max

max

cos 2666,8mcos

a g RR g


• Z8. Pod kojim uglom je potrebno baciti telo da bi:

a) najveća visina koju dostiže pri kretanju bila jednaka dometu,

b) domet bio jednak visini koju telo dostiže pri izbacivanju vertikalno

uvis istom početnom brzinom.

Rešenje:

a)

b)

Zadaci

96,754arctg

2sin

2

sin2

0

22

0max

gD

gh

152

1arcsin

2

12sin

2

2

0

2

0max,

gD

gh v


• Z9. Točak se obrće oko nepokretne ose tako da njegov ugaoni pomeraj

zavisi od vremena po zakonu: , gde je k konstanta. Odrediti

intenzitet ukupnog ubrzanja tačke na obodu točka posle vremena od

početka kretanja kada je tangencijalna brzina te tačke .

Rešenje:

Zadaci

422

r

2

t

t

2

r

41

2

2d

d

2

)2/(2)(

2d

d

kaaa

kra

kt

kr

a

krrkrt

tkt

2)( tkt


• Z10. Kruto telo počinje da rotira oko nepokretne ose ugaonim

ubrzanjem ( k = 0,02 rad/s3). Posle koliko vremena od početka

rotacije vektor ukupnog ubrzanja proizvoljne tačke tela zaklapa ugao

= 60 sa njenom brzinom.

Rešenje:

Zadaci

21d d , 0 0 0

2t k t t k t C C

k t

2

2 42

t r

3r 1 3

1

t

2

,4

4 3tg 3 7s

4

k t RR

k t Ra R k t R a R

a k tt

a k


• D1. Tanak vertikalan štap dužine l = 1 m postavljen je uz vertikalni zid.

Donji kraj štapa kreće se stalnom brzinom 0 = 0,2 m/s, pri čemu je štap

sve vreme u kontaktu sa vertikalnim zidom svojim gornjim krajem,

odnosno podom svojim donjim krajem. Odrediti koliku brzinu i ubrzanje

ima gornji kraj štapa nakon 1,5 s?

Rešenje:

Zadaci

2s/cm6,4

cm/s3,6

a


• D2. Materijalna tačka se kreće u x,y ravni po zakonu:

pri čemu je A = 3 m/s, B = 0,5 s-1, a t vreme. Naći:

a) Jednačinu putanje po kojoj se kreće tačka.

b) Brzinu i ubrzanje tačke u zavisnosti od vremena.

c) Ugao koji vektori brzine i ubrzanja obrazuju nakon 2 s.

Rešenje:

a)

b)

c)

Zadaci

)1()(,)( tBtAtytAtx

2

6

1xxy

jBAa

jtBAAiA

2

)2(

45


• D3. Telo je pušteno da slobodno pada sa visine H = 200 m. U istom

trenutku sa površine Zemlje izbačeno je drugo telo vertikalno naviše.

Odrediti:

a) Kojom početnom brzinom 0 bi trebalo izbaciti drugo telo da bi se oba

tela mimoišla na visini h = 144 m od površine zemlje.

b) Koliko iznosi maksimalna visina koju može da dostigne prvo telo, ako

mu se saopšti početna brzina 0 određena pod a).

Ubrzanje slobodnog padanja iznosi g = 9,81 m/s2.

Rešenje:

Zadaci

m44,178

m/s17,59

max

0

h


• D4. Plastična loptica koja je puštena bez početne brzine sa visine

h = 1 m nekoliko puta odskoči od poda. Od momenta početka padanja

loptice do momenta njenog drugog udara o pod protekne 1,3 s. Odrediti

koliko puta se smanji brzina kojom loptica odskače od poda u odnosu

na brzinu kojom pada na pod.

Ubrzanje slobodnog padanja iznosi g = 9,81 m/s2.

Rešenje: 0,94 puta.

Zadaci


• D5. Telo se pusti da slobodno pada sa visine H = 20,0 m. Koliki put

pređe telo za:

a) Δt = 0,1 s na samom početku kretanja?

b) za poslednjih Δt = 0,1 s?

c) na kojoj visini brzina tela iznosi 3/4 maksimalne brzine tela?

Ubrzanje slobodnog padanja je g = 10 m/s2.

Rešenje:

a)

b)

c)

Zadaci

3 8,75mh

1 0,05mh

2 1,95mh


• D6. Sa horizontalnog tla izbaci se telo kao kos hitac. Maksimalna visina

do koje se telo popne na svojoj putanji je ym = 3 m. Poluprečnik krivine u

najvišoj tački putanje je R = 6 m. Koliki je domet kosog hica? Ubrzanje

slobodnog padanja iznosi g = 9,81 m/s2.

Rešenje:

Zadaci

m12D


• D7. Odrediti:

a) početnu brzinu projektila koji se ispaljuje sa površine Zemlje pod

uglom od 45° tako da pogodi cilj koji se nalazi na rastojanju D = 90 m,

b) maksimalnu visinu koju projektil tada dostigne,

c) vreme leta projektila do tačke najviše putanje,

d) maksimalnu visinu projektila, ako se ispali sa visine H = 10 m od

površine Zemlje.

Ubrzanje slobodnog padanja iznosi g = 10 m/s2.

Rešenje:

a) b)

c) d)

Zadaci

m/s300 m5,22max h

s1,2max t m5,32max' h


• D8. Sa ravne površine dva čoveka istovremeno šutnu po jednu

identičnu loptu pod istim elevacionim uglom saopštavajući im različite

brzine. Ako je vreme leta do pada jedne lopte dva puta duže od

vremena leta do pada druge lopte odrediti:

a) odnos maksimalnih visina koje dosegnu lopte,

b) odnos dometa lopti.

Rešenje:

a) 4 b) 4

Zadaci


• D9. Telo se kreće po kružnici poluprečnika R = 1 m, brzinom ,

gde je k = 2 m/s2. Odrediti:

a) intenzitet normalnog, tangencijalnog i ukupnog ubrzanja u zavisnosti

od vremena,

b) pređeni put u intervalu t1 = 0 do t2 = 1 s,

c) srednju vrednost intenziteta vektora brzine u intervalu t1 do t3 = 2 s.

Rešenje:

a)

b)

c)

Zadaci

2

42

t

22

r 1,,R

tkkaka

R

tka

tk

m1s

m/s2sr


• D10. Materijalna tačka vrši rotaciono kretanje po kružnici poluprečnika

R = 0,1 m, pri čemu je zavisnost pređenog ugla od vremena data

jednačinom:

gde je B = 2 rad/s i C = 1 rad/s3. U trenutku = 0,2 s odrediti:

a) ugaonu brzinu,

b) ugaono ubrzanje,

c) ugao između vektora brzine i ubrzanja,

d) pređeni put.

Rešenje:

a) b)

c) d)

Zadaci

rad/s1,2)(

3)( tCtBAt

2rad/s2,1)(

8,74 mm8,40)( s


• D11. Točak poluprečnika R = 10 cm vrši rotaciono kretanje, tako da je

zavisnost translatorne brzine tačaka koje leže na obodu točka u funkciji

vremena proteklog od početka kretanja dato relacijom:

gde je A = 3 cm/s2 i B = 1 cm/s3. Odrediti ugao koji zaklapa vektor

ukupnog ubrzanja sa poluprečnikom točka = 3 s od početka kretanja.

Rešenje:

Zadaci

52,15

2)( tBtAt


• D12. Telo se kreće po putu poluprečnika krivine R = .

Tangencijalno ubrzanje tela iznosi 3 m/s2. U trenutku kada brzina tela

iznosi 36 km/h odrediti:

a) radijalno ubrzanje tela,

b) ukupno ubrzanje tela,

c) ugao koji zaklapaju vektor brzine i vektor ukupnog ubrzanja.

Rešenje:

a)

b)

c)

Zadaci

22

r m/s3 m/s,10 R

a

m3/100

22

r

2

t m/s32 aaa

30tgt

r a

a


• D13. Parametarske jednačine kretanja materijalne tačke u ravni su:

Odrediti poluprečnik krivine trajektorije u trenutku .

Rešenje:

Zadaci

traj 2 2R R

sin , 1 cosx R t t y R t

/ 2t

Documents

Kinematika · 2019-10-06 · Kinematika . Tehnička fizika 1 ... Jednačina kretanja tela po x osi ima oblik: gde je A = -2 m, B 3= 6 m/s2, C = -4 m/s . Odrediti: a) Brzinu i ubrzanje