UNIVERZITET U NIU

ELEKTRONSKI FAKULTET

SEMINARSKI RAD IZ PREDMETA

UVOD U ROBOTIKU

Tema:

Dinamika Ubrzanje, inercija i eksplicitna forma

PROFESOR: STUDENTI:

Prof. dr Goran orevi 13315 Slobodan Lazi

PREDMETNI ASISTENT: 13349 Marko Milievi

Darko Todorovi

U ovom radu emo se baviti problem formulacije dinamike rigidnih tela preko osnovnih

funkcija inercije i ubrzanja. Dinamiku emo predstaviti preko eksplicitne forme, a rad e se

zasnivati na postupku dobijanja te forme. Da bi doli do eksplicitne forme, daemo neke osnovne

formulacije i ukazaemo na ta treba obratiti panju pri posmatranju dinamike. Dakle, rad e biti

podeljen na:

- Dinamika rigidnih (krutih) tela,

- Newton-Euler formulacija,

Kod rigidnih tela, kada posmatramo kretanje, postoje dve vrste: linearno i rotaciono

kretanje. Newton (F = ma) je rekao, ako primenimo silu na esticu, vektor pravca kretanja

estice e biti isti kao i vektor pravca sile koja je primenjena na esticu. Euler je prouavao

uglove. Uglovima se meri rotaciono kretanje. Kod estica, ne postoji rotaciono kretanje, ali kod

kretanja rigidnih tela treba ga uzeti u obzir.

- Dinamika viezglobnih tela,

- Rekurzivni algoritam,

Posmatraemo viezglobna tela tako to emo ih podeliti na jednozglobna tela, i

posmatraemo dinamiku samostalnih delova.

- Lagrange formulacija,

Tie se objedinjemog linearnog i rotacionog kretanja. Jedna jednaina koja preko energije

opisuje linearno i rotaciono kretanje. Kinetika energija (Ek = mV2 / 2) i potencijalna energija. To

e nas dovesti do naredne forme.

- Eksplicitna forma.

Nai emo dinamiku celog tela, kao sumu dinamike masa i energija pojedinih linkova

(veza).

Inercija take tela se poveava sa poveanjem duine tela, tj. poveanjem udaljenosti

take nefiksiranog dela tela od zgloba.

Slika 1 Primer robota (MA23) koji emo posmatrati da bi pokazali inerciju take

Na slici 2 imamo jo jedan primer robota. Ovaj robot moe da nosi 80 kg. Ima 16 DOF

(Degree of Freedom stepen slobode). Na DOF 4 ili 5 moemo videti da praktino nema

inercije. Moe se sa slike videti da u prvim zglobovima (prvi signal), greka pri kretanju

praktino ne postoji, zbog inercije u tim takama. Dok se na malim zglobovima (drugi signal)

primeuje znatna greka u kretanju, ali u poreenju sa masom i silom prvih zglobova, ta greka

je zanemariva.

Slika 2 Robot sa 16 stepeni slobode, nosivosti 80 kg

Jednaina koja opisuje dinamiku zglobnog prostora je

G(q) Gravitacija Posmatrajmo telo fiksirano zglobom na jednom kraju, a na drugi kraj

stavimo predmet odreene teine. Ukoliko je nae telo postavljeno vodoravno (oprueno na

stranu), moe se primetiti podrhtavanje tela, obrtni moment, zbog uticaja gravitacije na zglob.

Ako telo postavimo u vertikalan poloaj (oprueno na gore), gravitacija e delovati na strukturu

tela, a ne na sam zglob, pa nee biti podrhtavanja.

M(q) Matrica masa Matrica kinetike energije

V(q, ) Centrifugalna i Koriolisova sila Ove sile nestaju ako je brzina V jednaka nuli,

ili ako je matrica masa konstantna.

q generalizovana koordinata zgloba

generalizovane sile 1 e delovati du ose 1.

Centrifugalna sila je inercijalna sila, koja se javlja kod krivolinijskih kretanja. Njen

vektor pravca prolazi kroz centar krivine putanje, normalan je odnosu na vektor pravca brzine i

deluje u smeru suprotno od centra krivine. U optem sluaju, prilikom kretanja tela, ovih centara

ima vie, zavisno na kom delu putanje se telo nalazi.

Najjednostavniji oblik obrtnog kretanja je kruno kretanje, kada se centar krivine ne

menja. Ako se telo kree ravnomerno, odnosno brzinom konstantnog intenziteta, po krunoj

putanji, prema Drugom Njutnovom zakonu vaie formula:

Odnosno, intenzitet sile je:

gde je ac ubrzanje, m masa tela, r poluprenik kruga, v konstanta brzina kretanja tela, a Fc

je intenzitet centripetalne sile. Centripetalna sila je srazmerna kvadratu brzine i obrnuto

srazmerna polupreniku krune putanje, a njen vektor je usmerena isto kao i vektor ubrzanja u

pravcu od centru kruga. Naziv centripetalna, odnosi se na injenicu da sila deluje u istoj taci na

celoj putanji tela. Pojam centripetalne sile uveo je jo 1683. godine, Kristijan Hajgens, u svom

delu Sat sa klatnom (lat. Horologium oscilatorium), publikovanom u Parizu.

Centrifugalna sila odreuje se po istoj formuli kao i centripetalna sila, njihove vrednosti

su jednake, deluju du iste linije ali u suportnim pracima i na razliita tela. Ove dve sile su

razliite prirode. Dok je centripetalna sila realna i izazvana je delovanjima tela, centrifugalna sila

je kao i sve inercijalne sile, fiktivna, i nije izazvana delovanjem drugih tela, i nma svoju silu

reakcije, ali su njeni efekti realni. Ona je posledica ubrzanog kretanja referentnog sistema (koji je

vezan za telo), tanije posledica centripetalnog ubrzanja tela, usmerenog ka centru krune

putanje i otpora koji prua telo (svojom inertnou) ovom ubrzanom kretanju. Ona je ravnotena

sila centripetalnoj sili i omoguava da telo ostane na krunoj putanji.

Kako ove dve sile deluju u razliitim referentnim sistemima, zbog ega se nikada ne

moe desiti da obe sile deluju u okviru istog sistema, jer bi se u tom sluaju telo zaustavilo.

Koriolisova sila javlja se prilikom kretanja koje ne ide po paralelama, tj. prilikom koga se

menja geografska irina tela. Posledica je razliite duine razliitih paralela. Naime, ako

posmatramo rotaciju Zemlje, polovi se ne kreu dok take na ekvatoru preu 20 000 km / 24 h.

Opta formula bi glasila 2Rcos() / 24h, gde je R radijus Zemlje na ekvatoru, fi geografska

irina, a Zemlju tretiramo kao loptu. Uopte, radijus paralele r je r = R cos().

Ova razlika u brzinama ima za posledicu da, ako gledamo severnu Zemljinu poluloptu,

junije take imaju veu brzinu od severnih. Dve su jako zanimljive posledice ove injenice.

1. Reke koje plove sa severa na jug stiu utisak da tle ispod njih bei na istok, a reke koje

plove s juga na sever da pretiu tle pod sobom, tj. da tlu pod sobom bee na istok. Zato Dunav

podriva svoju zapadnu obalu, a Velika Morava istonu.

2. Kada artiljerija tue sa severnih na june poloaje, ako gaa pravo na jug, juni

poloaji e beati na istok, tj. granate e padati zapadno od cilja. Kod krtatkodometnih topova

ovo nije od preteranog znaaja, ali ako gaate balistikim raketama sa stotina ili hiljada

kilometara udaljenosti, ovaj problem je kljuan. Koriolisova sila e doi do izraaja ak i pri

upotrebi dugodometnih topova kojima je opseg dejstva 20ak ili vie kilometara.

Na junoj hemisferi sve je suprotno.

Suma sila rigidnog tela je jednaka nuli, ako je rigidno telo u statikoj ravnotei, i moment

koji se moe izraunati tada u bilo kojoj taki e takoe biti nula. Ako se rigidno telo kree, onda

e njegova masa stvoriti novu silu. To je sila inercije, i stvorena je prostom injenicom da telo

ima masu. U prvom trenutku, to e biti:

To je dakle jednaina sile inercije, a Ni je moment inercije.

Sada se moe dati Newton-ova i Euler-ova jednaina koje e opisati kretanje rigidnog

tela.

- Newton

Euler

Kada posmatramo Lagrange-ovu formulaciju, posmatramo je iz drugog ugla nego

Newton-Euler. Sada emo uzeti ceo sistem zglobova, i razloiemo ga na jedinine komponente.

Kinetika energija tela e biti jednaka sumi kinetikih energija linkova.

Slika 3 Prikaz ideje da celu strukturu robota razbijemo na njegove komponente i njihovim

posmatranjem eliminiemo (potremo) zajednike interne energije

Slika 4 Statina ravnotea

Na slici 4 moemo videti jedno nae telo koje je u statinoj ravnotei, tj. telo se ne kree.

Kada bi se telo kretalo, imali bismo sluaj kao na slici 5.

Slika 5 Rigidno telo se kree

Suma sila je jednaka linearnom ubzanju, a suma momenta je jednaka ugaonim inercionim

silama. Ovaj algoritam nam opisuje potpunu dinamiku.

Slika 6 Newton-Euler-ov algoritam

Newton-Euler-ov algoritam propagira brzine. Kada propagiramo brzine, pomou tih

podataka moemo izraunati ubrzanja, a pomou ubrzanja moemo izraunati inercijalnu silu.

Sada, poto imamo ove podatke, moemo kretanjem unazad izraunati pojedine sile linkova, i

kada stignemo do poetnog poloaja, moemo izraunati obrtne momente svakog zgloba.

Posebno je bitno razumeti Euler-ovu ulogu u opisu dinamike tela. Moramo razumeti

inerciju rigidnih tela. Kada imamo samo jednu taku (esticu) mase m, ne treba nam ova

jednaina. Kada radimo sa rigidnim telima, kada se kreu, imamo distribuciju mase. Moramo da

zarobimo distribuciju mase u nekom trenutku, i to rezultira inercijalnom tenzijom koju emo

koristiti da bi opisali rotacioni moment rigidnih tela.

Kada na esticu mase m primenimo silu F, to e rezultirati ubrzanjem koje e biti jednako

F/m. Masa se opire ubrzanju. Znai, da je masa beskonana, ne bi bilo pomeranja.

F = ma

Sada emo grupisati masu i ubrzanje koristei derivat brzine.

mv je linearni moment estice. Stopa promene linearnog momenta je jednaka primenjenoj

sili. Euler-ova jednaina kae da je stopa promene ugaonog momenta jednaka primenjenom

momentu. Znajui ovo, moemo da izraunamo tenzionu (inercionu) matricu asociranu sa

rigidnim telima.

Vektor koji povezuje fiksiranu taku O sa esticom mase m je oznaen sa p. p F je

moment N, to je jednako sa p m . Stepen ugaonog momenta je jednak primenjenom

momentu. Kada budemo posmatrali rigidno telo, ovi pravci, mase i sile e se posmatrati kao

veliki skupovi sitnih taaka koje smo opisali, pa e ukupni ugaoni moment biti jednak sumi

ugaonih momenta u svim tim takama. Umesto obine sume, imaemo integral svih tih taaka, i

poto emo posmatrati celu sliku u 3 dimenzije, to e biti trostruki integral.

Znamo ugaoni moment jedne take, elimo da naemo ugaoni moment celog tela.

Pretpostavljamo da se telo kree nekom brzinom i ubrzanjem koji su nama poznati. je

nezavisan lan od ugaonog momenta, pa emo ga izvui ispred integrala. Masu mi moemo

predstaviti kao malu zapreminu pomnoenu sa gustinom.

Stepen promene linearnog i ugaonog momenta se moe predstaviti na sledee naine.

Doli smo do konanog oblika Newton i Euler jednaina.

Sada emo se fokusirati na inercionu tenziju. Ovo se mora izraunati sa svako rigidno

telo naeg robota. Da bi ovo uradili, moramo ui malo dublje u strukturu matrica.

Matricu inercije emo nai na sledei nain:

Vidimo da je traena matrica I simetrina. Elementi Iii su momenti inercije, a elementi Iij

su proizvodi inercije.

Kao primer svega pokazanog do sada, uzeemo jedno telo koje ima simetrinu strukturu,

poput cilindra, paralelopipeda ili kocke.

Ono na ta elimo skrenuti panju ovde jeste teorema paralelnih osa. Po ovoj teoremi,

inercija bilo koje take A je jednaka inerciji centra mase, i mase objekta pomnoene sa svojstvom

koje je napisano u zagradi.

Iz primera kocke, vidimo da je inercija centra mase izraunata kao suma momenta

inercije. Ako elimo da izraunamo inerciju neke ivice, to emo uraditi tako to emo uzeti u

obzir udaljenost centra mase od ivice, koja je u naem sluaju

. Kada ovo uradimo, osim

momenta inercije emo imati i proizvode inercije. Znai, kod centra mase nemamo proizvode

inercije, imamo samo dijagonalnu matricu.

Sada kada znamo kako da izraunamo sile inercije iz Newton-Euler-ovog algoritma,

vraamo se u algoritam.

Ovim smo kompletirali Newton-Euler-ov algoritam.

Sada emo diskutovati o Lagrange-ovoj formulaciji problema upravljanja dinamikom

kretanja tela.

Ako pogledamo jednaine iznad, ta moemo zakljuiti? Krenuli smo od osnovne

formulacije. Ako posmatramo samo linearno kretanje, imaemo prost sluaj da je L = K U, tj.

Lagrange je jednak razlici kinetike i potencijalne energije. Poto potencijalna energija ne zavisi

od vremena t, ve samo od gravitacije, doli smo do formulacije koja je identina polaznoj

formulaciji pri razmatranju Newton-Euler-ove jednaine, tj. sabirak sila inercije i gravitacionog

vektora je jednak obrtnom momentu.

Tako da, ako prebacimo vektor gravitacije na drugu stranu jednaine, dobili smo da je

suma masa puta ubrzanje, i centrifugalne i Koriolisove sile jednaka momentu minus gravitacioni

vektor. Gravitacioni vektor je jednostavno prvi izvod potencijane energije.

Ako kinetiku energiju (koja je skalarna veliina) predstavimo preko vektorske

formulacije, i onda taj oblik vratimo u prethodno datu Lagrange-ovu formulu, videemo da se

Lagrange-ova formula moe predstaviti samo pomou prvih i drugih izvoda M i q. Ako bismo taj

oblik jednaine dalje razloili, videemo da je sve zavisno od matrice mase. Ako je matrica mase

jednaka nuli, ili je konstantna, centrifugalna i Koriolisova sila, tj. brzina bi bila nula. To takoe

znai, ako naemo masu tela, imaemo sve informacije potrebne da izraunamo moment pomou

Lagrange-ove formulacije.

Ve smo rekli da ako znamo masu, da moemo odrediti potpunu formulaciju Lagrange-

ovog problema. Kako emo znati masu? Pa najee emo je nai preko kinetike energije. Masa

je sastavni deo kinetike energije u gore datoj formulaciji. Znai, ako moemo odrediti kolika je

kinetika energija preko nekog naina, vraanjem u M(q) emo nai masu, a onda preko

vrednosti M(q) emo nai V(q, ).