OF3 - 1

Kinematika Translacija Rotacija

Radijus vektor položaja , brzina i akceleracija dani

su relacijama:

Za

gdje je početna brzina, a početni položaj.

Prijeđeni kut , kutna brzina i kutna akceleracija

dani su relacijama:

Za

gdje je početna kutna brzina, a početni kut.

Dinamika Kruto tijelo definira se kao tijelo kod kojeg se međusobna udaljenost sastavnih čestica ne može mijenjati.

Svako gibanje krutog tijela možemo prikazati kao superpoziciju translatornog i rotacionog gibanja. Translatorno

gibanje jest gibanje pri kojem svaka čestica tijela ima istu trenutnu brzinu (putanje svih čestica međusobno su

paralelne i kongruentne1 krivulje) pa je promjena položaja dana s tri koordinate (x,y,z). Rotaciono gibanje jest

gibanje pri kojem svaka čestica opisuje kružnicu oko osi rotacije (radijus-vektori od osi do svake čestice prekriju

u istom vremenu jednake kutove) pa je rotaciono gibanje određeno s tri kutna pomaka prema osima x, y, z.

Ukupni impuls sustava Ukupna sila na česticu Moment impulsa Moment sile

Translacija Rotacija krutog tijela oko čvrste osi

(impuls čestice) (moment impulsa)

(1. Newtonov zakon) (1. Nz za rotaciju)

(2. Newtonov zakon) (2. Nz za rotaciju)

(3. Newtonov zakon) (3. Nz za rotaciju)

(rad) (rad)

(snaga) (snaga)

(kinetička energija) (kinetička energija)

Korisnost Elastična potencijalna energija Gravitacijska potencijalna energija

1 Krivulje su kongruentne ako se jedna može dobiti rotacijom za neki fiksni kut ili translacijom za neki fiksni vektor.

OF3 - 2

Moment tromosti Moment tromosti Teorem o paralelnim osima Centar mase sustava od N čestica

Momenti tromosti za vrtnju tijela jednolike gustode oko osi koja prolazi centrom mase

Ku

gla radiju

sa R ro

tira oko

sred

išnje o

si

Sfera radiju

sa R ro

tira oko

sred

išnje o

si

Valjak

(disk)

radiju

sa R

ro

tira o

ko

uzd

užn

e središn

je osi

Šup

lji valjak

un

utarn

jeg rad

ijusa

R1 ,

a

vanjsko

g R2 ro

tira oko

središn

je osi

Tanki

šup

lji valjak

(prsten

) ro

tira o

ko

uzd

užn

e središn

je osi

Momenti tromosti za vrtnju tijela jednolike gustode oko osi koja prolazi centrom mase

Tanki štap

du

ljine L ro

tira oko

središn

je

osi o

kom

ite na ravn

inu

štapa

Valjak

(disk)

radiju

sa R

ro

tira o

ko

središn

je osi ko

jom

pro

lazi pro

mjer

Tanka p

loča d

uljin

e a, širine

b o

ko o

si kro

z središte o

kom

ite na n

jenu

ravnin

u

Tanki

šup

lji valjak

(prsten

) ro

tira o

ko

središn

je osi ko

jom

pro

lazi pro

mjer

Zakoni očuvanja za izolirani konzervativni fizikalni sustav Sustav, koji ne izmjenjuje energiju s okolinom, nazivamo izolirani sustav. Ako je izoliran, nema utjecaja vanjskih

sila . Sile, čiji rad ne zavisi o putu ved samo o početnoj i krajnjoj točki (položaju), nazivamo

konzervativnim .

Očuvanje impulsa sustava Očuvanje momenta impulsa Očuvanje energije Gibanje centra mase

Sudari

Sudar čestica, koje se gibaju po spojnici svojih centara, naziva se centralni sudar. Pretpostavka: masa tijela se

ne mijenja. Za elastični sudar vrijede zakoni očuvanja količine gibanja i kinetičke energije. Ako ukupna kinetička

energija dviju čestica nije sačuvana, nego se dio kinetičke energije pretvori u neki drugi oblik energije, govorimo

o neelastičnom sudaru. Ako tijela nekon sudara nastave gibanje istom brzinom, govorimo o savršenom

neelastičnom sudaru.

Elastični sudar dviju čestica Savršeni neelastični sudar dviju čestica

OF3 - 3

Primjeri sila

je sila kojom tijelo 2 djeluje na tijelo 1, a je vektor položaja usmjeren od tijela 2 prema tijelu 1.

Gravitacijska sila Električna sila Centripetalna sila

Elastična sila Lorentzova sila Coriolisova sila

Sila trenja Sila uzgona Sila otpora fluida

Titranje Titranje je gibanje tijela amo-tamo oko ravnotežnog položaja. Pravilno titranje (sinusno) zovemo harmonijsko

titranje. Jednostavni linearni harmonički oscilator predstavlja tijelo mase m koje se giba pod djelovanjem

elastične sile (k = konstanta elastičnosti, = pomak iz ravnotežnog položaja). Jednostavni torzioni

harmonički oscilator predstavlja uvijanje žice, na koju je obješeno tijelo (momenta tromosti ) zakačeno u

svom težištu, a uvija se za male kutove pod djelovanjem momenta sile tijela ( = torziona

konstanta, = kut uvijanja). Matematičko njihalo predstavlja točkastu masu m obješenu na donjem kraju

nerastezljive niti zanemarive mase, duljine ; koja oscilira za male kutove . Fizikalno njihalo predstavljeno je

krutim tijelom koje se može njihati (opisuje male kutove) u vertikalnoj ravnini oko horizontalne osi koja ne

prolazi njegovim težištem. Jednostavno harmonijsko gibanje opisano je jednadžbom

gdje je x(t)[m] elongacija (pomak u odnosu na ravnotežni položaj), A[m] amplituda (maksimalna elongacja),

kutna (angularna) frekvencija, a fazni kut (pomak). Izraz nazivamo faza titranja.

Period T[s] je vrijeme potrebno za jedan puni titraj. Frekvencija f[Hz=1/s] je broj titraja u sekundi.

Veličine prikazane u redcima

Jednostavni harmonički oscilator Njihalo

linearni torzioni (kutni) matematičko fizikalno

Uzrok gibanja:

Diferencijalna jednadžba gibanja

Kutna frekvencija:

Jednadžba gibanja:

Skica:

Faza Frekvencija Srednja snaga Mehanička energija

OF3 - 4

Titranje Veličine u redcima Prigušeni harmonički oscilator Prisilni harmonički oscilator

Sile na tijelo:

Diferencijalna

jednadžba gibanja:

Jednadžba gibanja:

Amplituda:

Početna angularna

(kutna) frekvencija:

Kutna frekvencija:

Faktor prigušenja:

Fazni kut (pomak):

Logaritamski dekrement titranja Faktor dobrote (što vedi, to manji gubitak energije)

Posebni slučajevi prigušenog titranja

maleno prigušenje kritično prigušenje aperiodično prigušenje zanemarivo prigušenje

Posebni slučajevi prisilnog titranja

Valovi Val = bilo koji poremedaj iz ravnoteže koji se širi kroz prostor. Valovi koji se šire kroz elastična sredstva su

mehanički valovi. Transverzalni val nastaje ako čestice koje prenose val titraju okomito na smjer širenja vala

(val na užetu). Longitudinalni val nastaje ako čestice titraju oko položaja ravnoteže na pravcu kojim se širi val

(val na opruzi, zvučni valovi). Kroz prostor putuje uzorak vala (poremedaja), a čestice sredstva ne putuju kroz

prostor ved se gibaju oko svog ravnotežnog položaja. Period (T) jest vrijeme za koje jedan element sredstva

napravi puni titraj. Frekvencija vala je broj oscilacija, koje učini element sredstva, u jednoj sekundi, dok kroz

njega prolazi val. Faza vala konstantna je za pojedini uzorak vala (poremedaj). Valna duljina

udaljenost je najbližih točaka koje titraju istom fazom.

Elongacija čestice sredstva Brzina čestice Akceleracija čestice

Brzina vala Valna jednadžba Valni broj Kutna frekvencija Valna duljina

Brzina transverzalnog vala na žici Prosječna snaga vala na žici

OF3 - 5

Valovi Superpozicija valova konstantne fazne razlike

Uvjet za konstruktivnu interferenciju Uvjet za destruktivnu interferenciju

FAZOR - vektor čiji je iznos jednak amplitudi vala, a rotira oko ishodišta kutnom brzinom

Za 2. fazor kasni (ide iza 1. fazora)

Za 2. fazor rani (ide ispred 1. fazora)

Superpozicija dva vala svodi se na zbroj 2 fazora

Stojni valovi Nastaju superpozicijom valova i (drugi obično dobiven refleksijom prvog).

Uzorak rezultantnog vala se ne giba (minimumi i maksimumi se ne mijenjaju). Mjesta na kojima se nit ne giba

nazivamo čvorovi; a mjesta, za koja je amplituda rezultatntnog vala najveda, trbusi. Stojni valovi, koji imaju

jasne čvorove i trbuhe, nastaju pri rezonantnim frekvencijama koje su cjelobrojni višekratnici najniže

rezonantne frekvencije. Najniža rezonantna frekvencija naziva se osnovna frekvencija, a ostale zovemo viši

harmonici .

Jednadžba stojnog vala

Položaji čvorova Oba kraja učvršdena Jedan kraj učvršden Oba kraja slobodna

Zvučni valovi Zvučni valovi jesu longitudinalni mehanički valovi koji mogu putovati kroz neko sredstvo (krutinu, tekudinu ili

plin). Brzina vala u zraku pri temperaturi iznosi .

Longitudinalni pomak elementa sredstva Promjena tlaka

Brzina širenja Volumni modul elastičnosti plina Udarna frekvencija

Intenzitet Nivo zvuka u decibelima Kut Machova stošca

Dopplerov efekt

frekvencija izvora; detektirana frekvencija

brzina zvuka u mediju

brzina izvora u odnosu na medij

brzina detektora u odnosu na medij

Predznaci se biraju tako da

teži povedanju ako se radi o

približavanju, te smanjivanju

ako se radi o udaljavanju.

Interferencija dvaju valova u fazi, iste valne duljine

Konstruktivna interferencija:

Destruktivna interferencija:

OF3 - 6

Elektromagnetske oscilacije Jakost struje [C/s=A] Otpor vodiča *V/A= ] Ovisnost otpornosti o T Otpornost i vodljivost

Paralelni spoj otpornika Serijski spoj otpornika Paralelni spoj kondenzatora Serijski spoj kondenzatora

Kapacitet [C/V=F] Kapaciet pločastog kondenzatora Elektromotorna sila [V]

Kirchhoffovi zakoni

Suma struja u čvoru = 02

Suma napona u svakoj zatvorenoj petlji = 03

Napon na elementu4

Energija električnog polja kondenzatora Energija magnetskog polja zavojnice

Veza elektromagnetskih oscilacija i oscilacija tijela na opruzi

LC titrajni krug RLC titrajni krug

Prisilne oscilacije

Kada strujni krug spojimo na vanjsku oscilirajudu elektromotornu silu , tada naboj, struja i razlika

potencijala prisilno osciliraju s kutnom frekvencijom , a amplituda ovisi o tome koliko je blizu Fazu izmjenične

struje pišemo tradicionalno s minus predznakom .

Element u krugu izmjenične struje

Otpornik Kondenzator Zavojnica

R

2 Za struje koje ulaze u čvor pišemo pozitivan predznak, a za one koje izlaze negativan.

3 Prvi pol, na koji nailazimo pri obilasku, određuje predznak elektromotorne sile.

4 Pišemo pozitivnu vrijednost struje ako ona teče u smjeru obilaska petlje, a u suprotnom negativnu.

OF3 - 7

Elektromagnetske oscilacije Serijski RLC spoj u krugu izmjenične struje

Odnosi struje i napona Prosječna disipirana snaga

krug je više induktivan, nego kapacitivan; ; rotira iza

krug je u rezonanciji; ; i su u fazi Rezonantna frekvencija

krug je više kapacitivan, nego induktivan; ; rotira iza

Serijski RLC spoj u krugu izmjenične struje prikazan pomodu fazora

Ii

td

td

Em E

VR

td

VCvC

vR

vLVL

VR

tdVL-VC

Em

Elementi R,L,C u krugu izmjenične struje (prikaz pomodu kompleksnih brojeva)

veličina\element otpornik zavojnica kondenzator Y (kompleksna propusnost, admitancija)

Z=1/Y (kompleksni otpor, impendancija)

Za računanje efektive impendancije

vrijede pravila kao za otpor otpornika,

a za efektivnu admitanciju kao za

kapacitet kondenzatora.

Elektromagnetski valovi Elektromagnetski valovi šire se sinusoidalnim titranjem električnog i magnetskog polja s istom frekvencijom i u

fazi. . Ako se val širi u smjeru x osi, oscilira u smjeru y osi, a u smjeru z osi.

Maxwellove jednadžbe

Valna jednadžba5 Električno polje Magnetsko polje

Brzina valova Poyntingov vektor [W/m2]6 Intenzitet vala (srednja vrijednost )

Gustoda energije Elekromagnetski stojni valovi

5 Permitivnost vakuuma ; magnetska permeabilnost vakuuma .

6 Energija koja se prenese u jedinici vremena po jedinici površine.

OF3 - 8

Elektromagnetski valovi Potpuna apsorpcija Potpuna refleksija

Polarizacija

Val je linearno polariziran ako mu električno polje titra samo u jednoj ravnini, a prikazujemo ga vertikalnom

dvostrukom strelicom, dok nepolarizirani val s dvjema ukrštenim strelicama, a djelomično polarizirani sa

strelicama različitih duljina. Polarizator propušta komponente u smjeru polarizacije, a okomite apsorbira.

Intenzitet transmitirane polarizirane svjetlosti ( )

Napolarizirana upadna svjelost intenziteta

Polarizirana upadna svjelost čiji

Geometrijska optika Zakon refleksije (odbijanja)7 Snellov zakon loma (refrakcije) Kritični kut8 Brewsterov kut9

Indeks loma Devijacija zraka kroz prizmu10 n prizme za Žarišna udaljenost lede

Povedanje Ravno zrcalo Sferna zrcala Tanke lede Sferni dioptar

Pozitivne, negativne vrijednosti

Realni predmet nalazi se s iste strane zrcala (lede) kao i upadne zrake (upadaju iz predmeta), a virtualni predmet nalazi se sa suprotne strane u odnosu na zrake koje upadaju (prema predmetu) na zrcalo (ledu). Ako se sjecište izlaznih zraka nalazi u području kojim one prolaze, nastaje realna slika, a ako se nalazi s druge strane zrcala (lede) nastaje virtualna slika (sijeku se produžetci). Realni predmet i realna slika poprimaju pozitivne udaljenosti, a virtualni predmet i virtualna slika poprimaju negativne udaljenosti. Visina uspravnih predmeta (slika) pozitivna je, a obrnutih negativna. Radijus zakrivljenosti pozitivan je ako se centar zakrivljenosti nalazi s iste strane zrcala (dioptra) kao i izlazne zrake; a ako je sa suprotne strane, radijus zakrivljenosti je negativan. Žarišna udaljenost pozitivna je za konvergentne lede (sakupljaju zrake), a negativna za divergentne lede (raspršuju zrake).

Karakteristične zrake konkavnog zrcala Karakteristične zrake konveksnog zrcala

7 Upadna i reflektirana zraka zatvaraju jednak kut s normalom na površinu koja leži u istoj ravnini kao i zrake.

8 Kut upada pod kojim se lomljena zraka pojavljuje kao tangenta na površinu, a iznad toga dolazi do totalne interne refleksije.

9 Kut pri kojem je svjetlost totalno linearno polarizirana jer reflektirana i lomljena zraka čine pravi kut.

10 Zraka upada pod kutom na prizmu vršnog kuta , lomi se pod kutom , upada na drugu graničnu plohu plohu pod kutom te se lomi pod kutom . Izlazna zraka pomaknuta je za kut devijacije u odnosu na upadnu zraku.

OF3 - 9

Geometrijska optika Karakteristične zrake konvergentne lede Karakteristične zrake divergentne lede

F F

F F

1

Valna optika Omjer razlike faza i razlike hoda Razlika hoda Konstruktivna interferencija Destruktivna interferencija

Interferencija na dvije pukotine (L>>d)11

Interferencija na tankim filmovima12

Newtonovi kolobari13

Zračni klin14

Difrakcija na pukotini15

Difrakcija na optičkoj rešetci16

11

Valovi i prevaljuju putove različite za i interferiraju na zastoru udaljenome za L od

izvora razmaknuti za d te stvaraju uzorak intenziteta I udaljen za y od centralne svijetle pruge zatvarajudi kut sa simetralom između izvora. Za m=0 nastaje centralni maksimum ili minimum 1. reda, za m=1 maksimum 1. reda, odnosno minimum 2. itd.

12 Zraka 1 reflektira se na prvoj površini, a zraka 2 lomi i putuje kroz film te se reflektira na drugoj graničnoj površini, ide kroz film, lomi se na prvoj granici i u početnom mediju zbraja sa zrakom 2. Interferencija ovisi o razlici hoda zraka. Ako se zraka

reflektira na optički gušdem sredstvu, dolazi do skoka u fazi za , odnosno pomaka u hodu za /2; dok pri refleksiji na

optički rjeđem sredstvu, ne dolazi do pomaka u fazi. Sve veličine izražavamo u valnim duljinama ( ili n) koje koristimo u uvjetima konstruktivne, odnosno destruktivne interferencije.

13 Svijetle i tamne pruge u obliku koncentričnih kružnica polumjera r koje nastaju interferencijom svjetlosnih valova nastalih refleksijom i transmisijom na sustavu od plankonveksne lede radijusa zakrivljenosti R i planparalelne ploče. Udaljenost točaka refleksije iznosi d.

14 Zračni je klin optički uređaj koji čine dvije planparalelne ploče razdvojene na jednom kraju, a zatvaraju mali kut . (m+1). tamna pruga udaljena je od vrha klina za , a dvije tamne pruge udaljene su međusobno za s.

15 Duljina pukotine a puno je veda od njene širine, a zastor se nalazi na udaljenosti D.

16 Red spektra označava red maksimuma. Dobivamo centralni maksimum za m=0, a maksimume prvog reda za m=1 i m=-1…. Konstanta optičke rešetke d lako se izračunamo dijeledi duljinu sa brojem zareza na toj duljini.