04 Kinematyka 39

KINEMATYKA CIAŁA SZTYWNEGO

KINEMATYKA: opis ruchu ciał bez wnikania w związki mię-dzy ruchem a jego przyczyną (opis geometryczny).

RUCH CIAŁA: zjawisko zmiany położenia ciała w czasie względem innego ciała, umownie przyjętego za nieruchome

RUCH JEST POJĘCIEM WZGLĘDNYM

UKŁAD ODNIESIENIA Z I E M I A

MECHANIKA KLASYCZNA: ruch ciała odbywa się z prędko-ściami bardzo małymi w porównaniu z prędkością światła

PRZESTRZEŃ EUKLIDESOWA

CZAS: pojęcie pierwotne

CZAS JEST NIEZALEŻNY OD MATERII I PRZESTRZENI. CZAS JEST NIEODRACALNY.

JEDNOSTKI MIARY W KINEMATYCE: metr, sekunda

04 Kinematyka 40

KINEMATYKA PUNKTU

OPIS RUCHU PUNKTU W FUNKCJI CZASU 1. Współrzędne prostokątne (kartezjańskie). 2. Wektor wodzący. 3. Naturalny – współrzędna łukowa wzdłuż toru. 4. Inny – współrzędne biegunowe, walcowe, sferyczne.

PODSTAWOWE POJĘCIA

– TOR PUNKTU (trajektoria): linia ciągła, będąca miejscem geometrycznym kolejnych położeń ruchomego punktu w przestrzeni.

– RÓWNANIA RUCHU PUNKTU: x = x(t) y = y(t) z = z(t).

– promień (wektor) wodzący: r = r(t), r = x(t) i + y(t) j + z(t) k rx = x(t) ry = y(t) rz = z(t).

– RÓWNANIE TORU PUNKTU: równanie krzywej otrzymanej z

równań ruchu po wyeliminowaniu czasu t.

– CHWILOWOŚĆ RUCHU: badanie parametrów ruchu (po-

łożenie, droga, prędkość, przyspieszenie w określonej chwili

czasu t).

Styczna do toru

Normalna do toru

Wektor prędkości

04 Kinematyka 41

MOŻLIWOŚCI OPISU RUCHU PUNKTU W PŁASZCZYŹNIE

Współrzędne biegunowe na płaszczyźnie

r = f1(t) = f2(t)

x = r cos y = r sin

Współrzędne biegunowe w przestrzeni

r = f1(t) = f2(t) = f3(t)

x = r sin cos

y = r sin cos

z =r cos

Współrzędne walcowe

r' = f1(t) = f2(t) z = f3(t)

x = r' cos y = r' sin z z

Równanie ruchu punktu na torze

s = f(t)

A0 t = 0, s = 0 s(t) – droga

04 Kinematyka 42

Z równanie ruchu w prostokątnym układzie współrzędnych obli-cza się współrzędne wektora prędkości i przyspieszenia.

PRĘDKOŚĆ PUNKTU

PRĘDKOŚĆ = h

km

s

m

CZASUPRZYROST

DROGIPRZYROST

Przyrost promienia – wektora (droga) )t(r)t(rr 1122

Prędkość średnia:

h

km,

s

m

t

rvsr

Prędkość chwilowa: )t(rdt

rd

t

rlimv

0t

Zapis wektorowy: v = vx i + vy j + vz k

zdt

dzv

ydt

dyv

xdt

dxv

z

y

x

2

z

2

y

2

x vvvv

v

v)z,vcos(,

v

v)y,vcos(,

v

v)x,vcos( zyx

04 Kinematyka 43

PRZYSPIESZENIE PUNKTU

PRZYSPIESZENIE = 2s

m

CZASUPRZYROST

PRĘDKOŚCIPRZYROST

1

A

śr

O

A

1

2

M1

v2

v

a1

v2

vśra

1v v

aTor punktu

Hodografv2

Przyspieszenie:

– zmiana wartości prędkości

– zmiana kierunku wektora prędkości

12 vvv

Przyspieszenie średnie:

2srs

m

ss

m

t

va

Przyspieszenie chwilowe: )t(r)t(vdt

vd

t

va lim

0t

a = ax i + ay j + az k

zdt

zd

dt

dva

ydt

yd

dt

dva

xdt

xd

dt

dva

2

2

zz

2

2y

y

2

2

zx

2

z

2

y

2

x aaaa

a

a)x,acos(,

a

a)x,acos(,

a

a)x,acos( zzz

.

Hodograf – krzywa wyznaczana przez położenie końca wektora pręd-kości

04 Kinematyka 44

Opis ruchu za pomocą współrzędnej łukowej

Chwila początkowa t = 0Tor punktu

0

As(t)

Współrzędna łukowa

Środek krzywizny

Pro

mie

ń krzyw

izny

ta

aan

vStyczna do toru

Normalna do toru

Współrzędna łukowa: s(t) Wektor prędkości: v Wektor przyspieszenia: a

Składowa styczna wektora przyspieszenia: ta

Składowa normalna wektora przyspieszenia: na

Wektor jednostkowy stycznej do toru, skierowany zgodnie z na-rastającymi wartościami s: Wektor jednostkowy normalnej do toru (normalna główna): n

Prędkość punktu: dt

dsv

Przyspieszenie punktu: naaa nt

dt

dsv ,

dt

dvat ,

2van

22

nt aaa , 0na ruch prostoliniowy

Współrzędna łukowa:

t

sdt)t(vs0

0 , )t(ss 00 .

Równanie ruchu: s = s(t)

04 Kinematyka 45

PODZIAŁ RUCHU:

RUCH PUNKTU:

– prostoliniowy

– po okręgu (ruch harmoniczny prosty)

– dowolny (krzywoliniowy RUCH BRYŁY:

– postępowy

– obrotowy

– płaski

– kulisty

– ogólny Każdy z w/w ruchów może być:

1. przyspieszony niejednostajnie (a lub a) 2. przyspieszony jednostajnie (a = const) 3. jednostajny (v = const) 4. opóźniony jednostajnie (-a = const)

5. opóźniony niejednostajnie (-a lub -a)

t [czas]

v

v0 v = const, a = 0

a = const

-a = const

a

-a

a

-a

Prę

dko

ść p

ocz

ątk

ow

a

04 Kinematyka 46

RÓWNANIA RUCHU PROSTOLINIOWEGO

Równanie ruchu: x = x(t)

)t(x)t(vaa)t(xdt

dxvv xx

RUCH JEDNOSTAJNY: v = const a = 0

1

t

0

t

0

Ctvdxvdxvx

Warunek początkowy: t = 0 x = x0 C1 = x0

x = x0 + vt

x

x0

t1

x1

t t

1

t

v

v = const

droga przebytaw czasie (0, t1)

RUCH JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY: a = const

v

v

t

0

0

0

atvvdtadvdtadv

t

0

t

0

2

000

x

x2

attvxxdt)atv(vdtdxdtvdx

0

x

tx0

t1

t

v

t1

v0

droga przebytaw czasie (0, t1)

a

t

a = const

0 Axx0

x(t)

v

a0a0

v0

a > 0 ruch jednostajnie przyspieszony,

a < 0 ruch jednostajnie opóźniony.

04 Kinematyka 47

Równania ruchu jednostajnie przyspieszonego:

Droga: 2

attvxx

2

00

Prędkość: atvv 0

Przyspieszenie: a = const

Wykresy ruchu punktu materialnego przedstawiono za pomocą programu Excel.

x0 = 0 [m]

v0 = 2 [m/s]

a0 = 1 [m/s2]

t [s] Droga x Prędkość v Przyspieszenie a

0 0,0 2 1

1 2,5 3 1

2 6,0 4 1

3 10,5 5 1

4 16,0 6 1

5 22,5 7 1

6 30,0 8 1

7 38,5 9 1

8 48,0 10 1

9 58,5 11 1

10 70,0 12 1

x0 = 0 [m]

v0 = -2 [m/s]

a0 = 1 [m/s2]

t [s] Droga x Prędkość v Przyspieszenie a

0 0,0 -2 1

1 -1,5 -1 1

2 -2,0 0 1

3 -1,5 1 1

4 0,0 2 1

5 2,5 3 1

6 6,0 4 1

7 10,5 5 1

8 16,0 6 1

9 22,5 7 1

10 30,0 8 1

WYKRESU RUCHU JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONEGO

Wykres prędkości [m/s]

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Prę

dko

ść [

m/s

]

Wykres drogi

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Dro

ga

[m

]

Wykres przyspieszeń [m/s2]

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Prz

yspie

sze

nie

[m

/s2]

Wykres prędkości [m/s]

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Prę

dko

ść [

m/s

]

Wykres drogi

-5,0

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

30,0

35,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Dro

ga

[m

]

Wykres przyspieszeń [m/s2]

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Prz

ysp

iesze

nie

[m

/s2]

04 Kinematyka 48

x0 = 0 [m]

v0 = 2 [m/s]

a0 = -1 [m/s2]

t [s] Droga x Prędkość v Przyspieszenie a

0 0,0 2 -1

1 1,5 1 -1

2 2,0 0 -1

3 1,5 -1 -1

4 0,0 -2 -1

5 -2,5 -3 -1

6 -6,0 -4 -1

7 -10,5 -5 -1

8 -16,0 -6 -1

9 -22,5 -7 -1

10 -30,0 -8 -1

x0 = 50 [m]

v0 = -2 [m/s]

a0 = -1 [m/s2]

t [s] Droga x Prędkość v Przyspieszenie a

0 50,0 -2 -1

1 47,5 -3 -1

2 44,0 -4 -1

3 39,5 -5 -1

4 34,0 -6 -1

5 27,5 -7 -1

6 20,0 -8 -1

7 11,5 -9 -1

8 2,0 -10 -1

9 -8,5 -11 -1

10 -20,0 -12 -1

Wykres prędkości [m/s]

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Prę

dko

ść [

m/s

]Wykres drogi

-35,0

-30,0

-25,0

-20,0

-15,0

-10,0

-5,0

0,0

5,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Dro

ga

[m

]

Wykres prędkości [m/s]

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Prz

ysp

iesze

nie

[m

/s2]

Wykres prędkości [m/s]

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Prę

dko

ść [

m/s

]

Wykres drogi

-30,0

-20,0

-10,0

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Dro

ga

[m

]

Wykres prędkości [m/s]

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Czas [s]

Prz

ysp

iesze

nie

[m

/s2]

04 Kinematyka 49

RUCH KRZYWOLINIOWY

RÓWNANIE RUCHU: s = s(t)

dt

ds

t

s

t

svv lim

0t

– wektor jednostkowy stycznej do toru, skierowany

zgodnie z narastającymi wartościami s

n – wektor jednostkowy normalnej głównej

PRĘDKOŚĆ PUNKTU:

dt

dsv

2222

y

2

y

2

x )z()y()x(vvvdt

dsv

zdt

dzvy

dt

dyvx

dt

dxv zyx

WSPÓŁRZĘDNA ŁUKOWA DLA DANEJ PRĘDKOŚCI v(t):

t

00sdt)t(vsdtvds

dt

dsv

s0 = s(0) w chwili t = 0

PRZYSPIESZENIE PUNKTU:

vv dt

dv

dt

dv

dt

vda

naaa nt

2

n

2

t aaa

PRZYSPIESZENIE STYCZNE: dt

dvat

PRZYSPIESZENIE DOŚRODKOWE:

2

n

va

Ruch prostoliniowy an = 0

2222

z

2

y

2

x

2

z

2

y

2

x )z()y()x()v()v()v(aaaa .

Pochodna funkcji wektorowej zmiennej skalarnej t (czas)

04 Kinematyka 50

RUCH PUNKTU PO OKRĘGU

X

Y

t

nr

v

aa

aA

0

Parametry punktu A:

v – prędkość liniowa, styczna do toru

na – przyspieszenie dośrodkowe

(normalne)

ta – przyspieszenie styczne

a - przyspieszenie wypadkowe

Równanie ruchu: s = f(t), droga: s = r s = r (t)

Prędkość punktu po okręgu: dt

dr

dt

dsv

Prędkość kątowa:

s

rad

dt

d rv

Prędkość kątowa w funkcji obrotów n [obr/min]: 30

n

60

n2

Przyspieszenia w ruchu po okręgu dla = r = const:

rdt

dr

dt

dr

dt

dva

2

2

t ,

2s

1 – przyspieszenie kątowe

rr

va 2

2

n , 422

n

2

t raaa .

RUCH HARMONICZNY PROSTY

Punkt M – ruch jednostajny po okręgu Badanie ruchu punktu M’ – rzutu punktu M na oś X

Ruch punktu M’ – ruch prostoliniowy po torze X. Równanie ruchu M’ w czasie t, liczonym od t = 0 (punkt w położeniu A):

x = R·cos(φ +φ0) = R·cos(t + φ0).

Jest to równanie

ruchu harmonicznego prostego.

0

04 Kinematyka 51

Prędkość ruchu harmonicznego prostego:

)sin(Rdt

dxv 0 t .

Przyspieszenie ruchu harmonicznego prostego:

xω)tcos(ωωRdt

dx

dt

dva 2

0

2

2

2

.

Wykresy drogi, prędkości i przyspieszenia:

Ruch punktu M’ jest ruchem okresowym. Ruch, w którym na-stępuje okresowa zmiana współrzędnej w zakresie od +R do –R

nazywa się ruchem drgającym.

Punkt 0 wokół którego odbywają się drgania – środek drgań.

Amplituda drgań – największa odległość punktu od środka drgań (tutaj: – R).

Okres drgań – przedział czasu T, w którym punkt wychodzący z punktu M0 wraca do niego.

Faza drgań – kąt φ = ·t.

Stałą określająca zmiany fazy w jednostce czasu – częstość

kątowa (kołowa) drgań.

2T .

Ruch harmoniczny prosty jest ruchem niejednostajnie zmiennym.

a

04 Kinematyka 52

Wzory

na r

uch p

o torz

e i n

a r

uch o

bro

tow

y

pro

mie

nia

wodzą

cego O

A

04 Kinematyka 53

RUCH KRZYWOLINIOWY

ZE STAŁYM PRZYSPIESZENIEM (rzut ukośny) consta

0xax ayay

1x Cxv 2y Catyv

31 CtCx 42

2

CtC2

aty

Warunki brzegowe:

00t x)x( 00t y)y(

cosv)x()v( 00t0tx sinv)y()v( 00t0ty

Stałe całkowania:

0403

0201

yCxC

sinvCcosvC

Równania ruchu:

2

att)sinv(yy

t)cosv(xx

2

00

00

Równanie toru (parabola):

2

022

0

00 )xx(cosv2

atg)xx(yy

04 Kinematyka 54

Przypadki szczególne:

rzut ukośny (poziomy)

rzut pionowy

Przykład rzutu ukośnego przedstawiony za pomocą programu Excel:

DANE WEJŚCIOWE:

22 m/s; 9,81 m/s2

450 = 0,785398 rad

x y

0 0,00

2 1,92

4 3,68

6 5,27

8 6,70

10 7,97

12 9,08

14 10,03

16 10,81

18 11,43

20 11,89

22 12,19

24 12,33

26 12,30

28 12,11

30 11,76

32 11,24

34 10,57

36 9,73

38 8,73

40 7,57

42 6,25

44 4,76

46 3,11

48 1,30

50 -0,67

kąt rzutu

przyspieszenie =

RZUT UKOŚNY

prędkość początkowa v0 =

RZUT UKOŚNY

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50[m]

[m]

04 Kinematyka 55

KINEMATYKA CIAŁA SZTYWNEGO

RUCH POSTĘPOWY

RUCH OBROTOWY

RUCH PŁASKI

RUCH KULISTY

RUCH ŚRUBOWY

CIAŁO SZTYWNE W PRZESTRZENI

)t(rr)t(rr)t(rr CCBBAA

Z warunku aby 3 punkty nie leżały na jednej prostej:

drrcrrbrr BCACAB

22

CB

2

CB

2

CB

22

CA

2

CA

2

CA

22

BA

2

BA

2

BA

d)zz()yy()xx(

c)zz()yy()xx(

b)zz()yy()xx(

xA,B,C, yA,B,C, zA,B,C współrzędne punktów A, B, C (9) Więzy: 3 równania (b, c, d = const)

CIAŁO SZTYWNE W PRZESTRZENI MA 6 STOPNI SWOBODY (9 – 3 = 6)

04 Kinematyka 56

RUCH POSTĘPOWY

W ruchu postępowym wszystkie punkty ciała poruszają się po identycznych torach, w każdej chwili posiadają takie same

prędkości i przyspieszenia (wartość, kierunek i zwrot).

Dla analizy ruchu postępowego wystarczy określenie ruchu jednego punktu ciała.

Przykłady ruchu postępowego

Inne przykłady:

– ruch tłoka w cylindrze,

– ruch klatki dźwigu,

– nieruchomo siedzący pasażer autobusu (pociągu).

04 Kinematyka 57

RUCH OBROTOWY

W ruchu obrotowym dwa punkty sztywno związane

z ciałem pozostają nieruchome wyznaczając

nieruchomą oś obrotu ciała.

C1

r

v

C1

r

v

a

n

ta

a

Rozkład prędkości i przyspieszeń w płaszczyźnie pro-

stopadłej do osi obrotu ciała.

Dla punktu C: równanie ruchu: )t(rs

Prędkość punktu: )t(rdt

dr

dt

dsv

.

Prędkość kątowa:

s

rad

dt

d

30

n

60

n2

.

Przyspieszenie styczne:

rdt

dr

dt

dva t .

Przyspieszenie kątowe:

2s

rad

dt

d.

Przyspieszenie dośrodkowe: rr

r

r

va 2

222

n

Przyspieszenie wypadkowe: 42ra

(Porównaj ruch punktu po okręgu)

04 Kinematyka 58

RUCH PŁASKI

Analiza ruchu płaskiego sprowadza się do badania ruchu

jednego przekroju ciała, będącego figura płaską.

Dowolne przemieszczeni figury płaskiej może być dokona-

ne za pomocą obrotu wokół punktu zwanego chwilowym

środkiem obrotu.

RUCH PŁASKI JAKO CHWILOWY RUCH OBROTOWY

04 Kinematyka 59

TWIERDZENIE O RZUTACH PRĘDKOŚCI

Rzuty prędkości dwóch punktów A i B ciała sztywnego na prostą łączącą te punkty są sobie równe.

A

B

v

Z

AZ

BZvA

Bv

v

W każdej chwili t rzut prędkości vA na prostą AB równa się rzutowi prędkości vB na tą prostą.

BZAZ vv → cosvcosv BA

Przykłady ruchu płaskiego

04 Kinematyka 60

TOCZENIE SIĘ KOŁA PO LINII POZIOMEJ BEZ POŚLIZGU

Koło (tarcza) o promieniu r toczy się bez poślizgu po poziomej linii. Środek koła A jest w ruchu jednostajnym, punkt styku C jest chwilowym środkiem obrotu. Dla danej prędkości vA(t) otrzymuje się:

.r

)t(a)t()t(,

r

)t(v)t(),t(v

dt

)t(dva AA

AAA

A

Dla znanych funkcji ω(t) oraz ε(t) otrzymuje się:

.r)t()t(a,r)t()t(v AA

C

vA aA

(t) (t)

r r rA A

C C

(t)vA (t)vA

aA

A

321

Trzy przypadki toczenia się krążka bez poślizgu: 1. Ruch jednostajny (rys. 1):

.0a,rv0)t(,const)t( AA

2. Ruch jednostajnie przyspieszony (rys. 2):

.ra,rtv,const)t(,t)t( A0A0

3. Ruch jednostajnie opóźniony (rys. 3):

.ra,rt)(v,const)t(,t)()t( A0A0

Prędkości punktów na obwodzie koła wyznacza się metodą superpozycji (wyznaczając składową postępową wektora vA) lub metodą chwilowego środka obrotu. Przyspieszenia wyznacza się metodą superpozycji (skła-dowa postępowa wektora aA). W przypadku toczenia się koła z poślizgiem, w punkcie styku koła z linią

pozioma należy uwzględnić „prędkość poślizgu” 0. Powoduje to zmia-nę położenia chwilowego środka obrotu C.

04 Kinematyka 61

RUCH PŁASKI SKŁADA SIĘ Z CHWILOWEGO RUCHU POSTĘ-POWEGO ORAZ CHWILOWEGO RUCHU OBROTOWEGO

0A0A vvv

OAvv 0A0A OA

Chwilowa prędkość kątowa względem bieguna dt

d = const

AOOA aaa

n

AO

t

AOAO aaa

Całkowite przyspieszenie punktu A:

n

AO

t

AOOA aaaa

Prędkość dowol-nego punktu A

Prędkość bieguna 0 (prędkość ruchu postępowego)

Prędkość punktu A względem bieguna 0

(prędkość ruchu obrotowego)

Przyspieszenie punktu A

Przyspieszenie bieguna O Przyspieszenie w chwilowym ruchu obrotowym wokół bieguna A

Przyspieszenie styczne Przyspieszenie normalne

04 Kinematyka 62

RUCH ZŁOŻONY PUNKTU

OXYZ – nieruchomy układ osi współrzędnych O’X’Y’Z’ – ruchomy układ osi współrzędnych

Ruch bezwzględny punktu A względem OXYZ: V

Ruch względny punktu A względem O’X’Y’Z’: wV

Ruch unoszenia punktu układu ruchomego O’X’Y’Z’

względem nieruchomego OXYZ: uV

Prędkość bezwzględna punktu A w ruchu złożonym jest wypad-

kową prędkości unoszenia Vu i prędkości względnej

Vw .

uw VVV

Przyspieszenie w ruchu złożonym:

Cuw aaaa

Przyspieszenie Coriolisa – dodatkowe przyspieszenie, wynika-jące z jednoczesności ruchu względnego i ruchu unoszenia.

Przyspieszenie Coriolisa Ca

= 0 w ruchu unoszenia prostolinio-

wym oraz gdy wektor

jest równoległy do wektora wv

.

Przyspieszenie względne Przyspieszenie

unoszenia

Przyspieszenie Coriolisa

Prędkość względna Prędkość unoszenia