Kinematyka – lekcja zewspomaganiem komputerowym

P R A C A D Y P L O M O W A I N Y N I E R S K A

Piotr Majewski

Opiekun: dr hab. in . W odzimierz Salejda, prof. nadzw. w PWr

Wroc aw 2007

2

SPIS TRE CI

1. Wprowadzenie ................................................................................................................31.1. Cel i uk ad pracy .....................................................................................................3

2. Wykorzystane technologie ..............................................................................................42.1. J zyk HTML...........................................................................................................4

2.1.1. Czym jest HTML ?..........................................................................................42.1.2. Historia ...........................................................................................................42.1.3. Przysz HTML ...........................................................................................52.1.4. Wygl d pliku HTML.......................................................................................5

2.2. Kaskadowe arkusze stylów CSS..............................................................................62.2.1. Czym jest CSS ?..............................................................................................62.2.2. G ówne zalety CSS..........................................................................................7

2.3. Macromedia Flash...................................................................................................92.3.1. Opis, historia ...................................................................................................9

3. Budowa witryny ...........................................................................................................103.1. Menu g ówne ........................................................................................................103.2. Nawigacja .............................................................................................................113.3. Rozdzia y i podrozdzia y strony ............................................................................12

4. Zawarto witryny ........................................................................................................154.1. Wiadomo ci podstawowe......................................................................................15

4.1.1. Wektory i skalary ..........................................................................................154.1.2. Dzia ania na wektorach .................................................................................164.1.3. Opis animacji ................................................................................................204.1.4. Instrukcje do animacji ...................................................................................24

4.2. Ruch jednowymiarowy .........................................................................................264.2.1. Pr dko ........................................................................................................264.2.2. Przyspieszenie ...............................................................................................284.2.3. Ruch jednostajny...........................................................................................294.2.4. Ruch jednostajnie zmienny............................................................................304.2.5. Ruch po okr gu .............................................................................................324.2.6. Drgania harmoniczne.....................................................................................364.2.7. Opis animacji ................................................................................................364.2.8. Instrukcje do animacji ...................................................................................37

4.3. Rzuty ....................................................................................................................394.3.1. Spadek swobodny..........................................................................................394.3.2. Rzut pionowy................................................................................................404.3.3. Rzut poziomy ................................................................................................444.3.4. Rzut uko ny ..................................................................................................464.3.5. Opis animacji ................................................................................................494.3.6. Instrukcje do animacji ...................................................................................53

4.4. Dodatki .................................................................................................................585. Podsumowanie..............................................................................................................596. Literatura i odno niki do stron ......................................................................................607. Spis rysunków ..............................................................................................................61

3

1. Wprowadzenie1.1. Cel i uk ad pracy

ównym celem pracy dyplomowej by o opracowanie lekcji ze wspomaganiemkomputerowym z dzia u fizyki zajmuj cej si ruchem kinematyki. Zosta a onawykonana w formie witryny internetowej, na której znalaz y si animacje typowychzjawisk fizycznych z zakresu kinematyki. Stron stworzono w darmowym edytorzeWWW ezHTML w j zyku HTML z wykorzystaniem arkuszy stylów CSS. Animacjewykonano w technologii Flash w programie Macromedia Flash 8.

Opracowana lekcja umo liwi czytelnikom atwiejsze zrozumienie zjawiskkinematycznych, a przygotowane animacje pozwol na samodzielne przeprowadzanieeksperymentów i jeszcze lepsze zrozumienie omawianego tematu.

Praca zosta a podzielona na 4 g ówne dzia y. Pierwszy to niniejszewprowadzenie, drugi zawiera krótki opis technologii, z których skorzystanoprzygotowuj c witryn internetow . W trzecim rozdziale opisano budow i wygl dstrony oraz przedstawiono jak si po niej porusza . Nast pny dzia to szczegó owyopis zawarto ci witryny, od wiadomo ci wst pnych poprzez ruch jednowymiarowy,rzuty do dodatków. Na ko cu pracy zamieszczono literatur wraz z odno nikami dostron internetowych, które by y pomocne przy pisaniu pracy oraz spis wszystkichrysunków.

Rozdzia

1

4

2. Wykorzystane technologie2.1. zyk HTML

2.1.1. Czym jest HTML ?

HTML to j zyk hipertekstowego znakowania (Hypertext Markup Language),który okre la ustanowion przez konsorcjum World Wide Web Consortium (W3C)specyfikacj definiuj posta dokumentów prezentowanych w Internecie.

HTML pozwala:r Publikowa dokumenty zawieraj ce nag ówki, tekst, tabele, listy, zdj cia,

formularze itp.r Pobiera za po rednictwem po cze hipertekstowych informacje z Internetu

(mówi c w skrócie polega to na klikaniu po cze , co uaktywnia pobieraniedanych).

r Projektowa formularze pozwalaj ce na korzystanie ze zdalnych us ug, takich jakna przyk ad: wyszukiwanie informacji, dokonywanie rezerwacji oraz zamawianieproduktów.

r Umieszcza w dokumentach arkusze kalkulacyjne, klipy wideo oraz inne aplikacje[1].

2.1.2. Historia

Twórc j zyka HTML jest Tim Berners-Lee. J zyk pomy lany jakonarz dzie u atwiaj ce komunikowanie si naukowców w sieci szybko zyska ogromnpopularno . Przyniós on w latach 90-tych szalony rozwój Internetu. Wraz zrozwojem sieci globalnej zmienia si te sam j zyk. W 1995 roku zatwierdzonospecyfikacj HTML 2, natomiast specyfikacja HTML 3, tak e z tego roku, niedoczeka a si rekomendacji. W 1996 roku powsta a specyfikacja HTML 3.2, którauzyska a rekomendacj w 1997 roku [1]. Aby j stworzy , do W3C do czy o kilkafirm programistycznych, w tym: IBM, Microsoft, Netscape CommunicationsCorporation, Novell, SoftQuad, Spyglass oraz Sun Microsystems. Nowo ciwprowadzone w j zyku HTML 3.2 obejmowa y przede wszystkim: tabele, aplety orazotaczanie obrazów tekstem. J zyk ten by w pe ni zgodny z wcze niejszymstandardem HTML 2.0 [2]

W kolejnych specyfikacjach wprowadzano zmiany, których zadaniem by opoprawi przeno no dokumentów HTML mi dzy ró nymi platformami iprzegl darkami. Zdano sobie bowiem spraw , e jedynie pe na kompatybilnozagwarantuje prawid owy rozwój Internetu, a jej brak b dzie oznacza lawinformatów, która utrudni lub wr cz uniemo liwi powszechne wykorzystanie sieci.

Rozdzia

2

5

Wprowadzane modyfikacje rozszerza y potencja j zyka nie naruszaj c jegodotychczasowych mo liwo ci. Chodzi o o to, aby ju utworzone strony by y nadaldost pne. Inne wa ne kwestie, które zadecydowa y o kierunku rozwoju to potrzebaumo liwienia korzystania z informacji sieciowych za pomoc ró nych urz dze , takichjak telefony komórkowe czy komputerowe urz dzenia s ce do komunikacji

osowej, oraz uniezale nienia si od konfiguracji sprz towej (a wi c na przyk ad odustawie takich jak rozdzielczo czy g boko barw) i parametrów czy sieciowych.Wersja 4 (z 1998 r.) rozszerzy a mo liwo ci j zyka HTML o arkusze stylów, skrypty,ramki i osadzanie obiektów. Poprawiono obs ug tekstu, rozbudowano opcje tabel iformularzy wprowadzaj c u atwienia dla osób niepe nosprawnych. W wersji 4.01,wprowadzonej w 1999 roku, poprawiono b dy i wprowadzono drobne zmiany [1].

2.1.3. Przysz HTML

Korzystanie z Internetu nie jest ju ograniczone mo liwo ciamisprz towymi i oprogramowaniem komputera. atwy dost p do Internetu za pomocWebTV zach ca do sp dzania wielu godzin przed ekranem telewizora. Programyzarz dzaj ce informacj osobist (Personal Information Managers) i palmtopyumo liwiaj u ytkowanie Internetu w czasie podró y. Odpowiedni sprz tkomputerowy umo liwia tak e korzystanie z sieci osobom niepe nosprawnym. Wnowym tysi cleciu Internet sta si efektywnym, powszechnie dost pnym sposobemkomunikacji i edukacji.

Wiele nowszych technologii, opracowanych dla urz dze przeno nych, nie jestw stanie w pe ni wspó pracowa ze starszymi specyfikacjami j zyka HTML.Urz dzenia te nie maj takich mocy przetwarzania danych jak komputerystacjonarne, wi c s znacznie mniej pob liwe dla nieefektywnego kodu programu.Twórcy specyfikacji HTML starali si przystosowa do post puj cych zmian, leczograniczenia, jakim HTML podlega, stawa y si coraz bardziej widoczne. Poniewaobecna specyfikacja HTML wykracza ju daleko poza jej mo liwo ci, prawdopodobnienie powstanie ju w przysz ci specyfikacja HTML 5.0.

Rozwój Internetu domaga si j zyka znaczników bardziej elastycznego niHTML. Zmiany pod aj w kierunku XML (skrót od Extensible Markup Languge elastyczny j zyk znaczników), sk adnika SGML, umo liwiaj cego wykorzystanieindywidualnie definiowanych znaczników. I w tym momencie na scen wkraczaXHTML 1.1.

XHTML 1.0, napisany w XML, jest standardem stworzonym z my oprzysz ci. Technicznie j zyki XHTML 1.0 i HTML 4.01 s bardzo podobne do siebie.Znaczniki i atrybuty w nich u yte s praktycznie takie same, wi c przystosowanie sido specyfikacji XHTML 1.0 wymaga spe nienia jedynie kilku prostych zasad [2].

2.1.4. Wygl d pliku HTML

Strony, stworzone w HTML-u to zwyk e pliki tekstowe (ASCII), cooznacza, e nie zawieraj one adnych informacji w ciwych dla konkretnejplatformy systemowej czy programowej. Mog by odczytywane praktycznie przezka dy edytor tekstów. Plik HTML zawiera nast puj ce elementy:

6

n ciwy tekst strony,n znaczniki HTML, okre laj ce elementy strony, jej struktur , sposoby

formatowania i hiper cza do innych stron lub informacji innego rodzaju[2].

Rozszerzenia dokumenty HTML maja posta .htm lub .html i mog byzapisane w dowolnym edytorze tekstowym, np. Notatnik-u czy Wordpad-zie.Stron przygotowa em w darmowym polskim edytorze ezHTML.

Rys. 1. 1. Wygl d strony w edytorze HTML.

2.2. Kaskadowe arkusze stylów CSS2.2.1. Czym jest CSS ?

Kaskadowe arkusze stylów CSS (Cascading Style Sheets) s dodefiniowania sposobu wy wietlania elementów HTML. Pozwalaj okre la rozmiar ikolor czcionki, definiowa odst py i rozmieszczenie tekstu oraz obrazów na stronie,zaawansowanego pozycjonowania i wielu innych rzeczy. Znaczniki HTML zosta ypierwotnie zaprojektowane jako narz dzia definiowania zawarto ci dokumentu. I takznacznik nag ówka okre la : To jest nag ówek , znacznik akapitu stwierdza : To jestakapit tekstu , znacznik tabeli informowa : To jest tabela , a o uk adzie stronydecydowa a przegl darka. Wraz z rozbudow mo liwo ci przegl darek zacz ypojawia si coraz to nowe znaczniki i atrybuty.Tworzenie stron WWW, których zawarto by aby dobrze odseparowana od uk adudokumentu, stawa o si coraz trudniejsze. Z tego w nie powodu konsorcjum W3Cpowo o do ycia kaskadowe arkusze stylów wprowadzono je do specyfikacji

7

HTML 4.0 [1]. Obecnie s one standardem i nieskorzystanie z nich jest du ymminusem dla ka dego profesjonalnego webmastera.

Arkusze stylów daj wiele mo liwo ci stosowania stylów. Definicja stylu mo epojawi si w konkretnym elemencie HTML wówczas mówimy o stylu wpisanym , wobr bie elementu head strony HTML (to znaczy mi dzy znacznikami <head></head>) takie arkusze stylów nazywa si osadzonymi, lub mo e zosta pobrana zpliku zewn trznego jest to wtedy zewn trzny lub czony arkusz stylów. Wszystkietypy arkuszy CSS wpisane, osadzone i zewn trzne mo na stosowa jednocze nie.

czone arkusze stylów s przechowywane w zewn trznym pliku o rozszerzeniunazwy .css. Sk adnia takiego arkusza jest podobna jak w przypadku arkuszaosadzonego, a sformatowanie strony wymaga jedynie umieszczenia po czenia dopliku zawieraj cego definicj stylu.

Posta arkusza stylu CSS zale y od typu arkusza. I tak w przypadku styluwpisanego a wi c umieszczonego w konkretnym znaczniku ma ona tak otoposta :<znacznik style= ciwo : warto >Ogólna posta osadzonego arkusza CSS jest nast puj ca:<style type="text/css"><!--selektor {w ciwo : warto ;}--></style>Zawarta w obr bie elementu style definicja nast puj sk adni :selektor{w ciwo : warto }Selektorem nazywa si znacznik czy te element, który chcesz zdefiniowa ,

ciwo to jego atrybut, który zmieniasz przypisuj c mu now warto [1].

2.2.2. ówne zalety CSS

Podstawowe zalety stylów CSS to mo liwo szybkiej i prostejmodyfikacji stylu oraz b yskawiczna wr cz aktualizacja postaci dokumentu wprzypadku takich zmian. Inne korzy ci p yn ce ze stosowania CSS:

Kilka typowych korzy ci CSS:

• kontrola uk adu graficznego wielu dokumentów z poziomu jednego arkuszastylów,

• bardziej precyzyjna kontrola uk adu graficznego,• stosowanie ró nych uk adów graficznych zale nie od typu medium (ekran,

drukarka, itd.),• niezliczone zaawansowane i wyszukane techniki [3].

Zdecydowano si na stosowanie stylów w przygotowanej przeze mnie stronie,gdy pozwoli o to na ujednolicenie wszystkich dokumentów, atwiejsz modyfikacjewygl du strony poprzez zmienianie tylko arkusza stylów a nie oddzielnie ka degodokumentu html. Dla pokazania jak wiele daj style CSS i dlaczego warto je stosowa

8

zamieszczono dwa zrzuty ekranu tej samej strony. W pierwszym przypadku widzimystron bez u ytych stylów CSS a w drugim z u ytymi stylami:

Rys. 1. 2. Witryna bez u ycia stylów.

Rys. 1. 3. Strona, na której u yto arkusza stylów CSS.

9

2.3. Macromedia Flash2.3.1. Opis, historia

W 1996 roku ameryka ska firma FutureWave wprowadzi a na rynek nowaplikacj Future Splash Animator. Aplikacja wykorzystywa a grafik wektorow doprezentacji danych w sieci. Narz dzie do projektowania witryn internetowych, którepozwala o rozwija proste animacje cechowa a dobra jako generowanych obrazówprzy ma ym rozmiarze plików zawieraj cych te obrazy. Od tego si wszystko zacz o.Firmy zajmuj ce si oprogramowaniem zacz y prze ciga si w coraz todoskonalszych programach do tworzenia animacji FLASH. Firma MACROMEDIAszybko zrozumia a, e jest to dobry produkt, który ma przed sob przysz . Kupi aFutureWave i sta a si w cicielem programu Future Splash Animator. Na pocz tekMacromedia zmieni a nazw z Future Splash Animator na Macromedia FLASH. Osukcesie FLASHa zdecydowa y jego mo liwo ci w dziedzinie projektowania grafiki

ytkowej i doskonale skonstruowany interaktywny samouczek do czony doprogramu, który pozwala w szybki i prosty sposób opanowa podstawy obs ugirodowiska programistycznego oraz szybko opanowa tajniki j zyka ActionScript

nieroz cznie zwi zanego z technologi FLASH [4].

10

3. Budowa witryny3.1. Menu g ówne

Menu g ówne zosta o umieszczone po lewej stronie witryny. Jego wygl d wformie zwini tej mo emy zobaczy na rysunku 1.4. Sk ada si z 4 g ównychrozdzia ów: Wiadomo ci wst pne, ruch jednowymiarowy, rzuty i dodatki oraz 16podrozdzia ów.

Rys. 1. 4 Menu g ówne strony.

Po klikni ciu, na który z rozdzia ów menu rozwinie si i b dziemy mogli wybrainteresuj cy nas temat (Rys.1.5.) Wówczas po klikni ciu na wybrany podrozdzia zprawej strony witryny pojawi si wybrany temat. Ponowne klikni cie na rozwini tymrozdziale spowoduje zwini cie si go do pocz tkowej formy.

Rozdzia

3

11

Rys. 1. 5. Rozwini te menu g ówne.

3.2. Nawigacja

Na przygotowanej witrynie mo na znale prosty system nawigacyjny, którypozwala u ytkownikowi swobodnie porusza si po kolejnych dzia ach witryny.Nawigacja umieszczona jest na ko cu ka dej strony witryny w formie dwóch strza ek(Rys.1.6).

Rys. 1. 6 Prosty system nawigacyjny.

Po najechaniu myszk , na któr ze strza ek pojawi si opis dok d danastrza ka prowadzi. Dla przyk adu we my temat z drugiego rozdzia u zatytu owanyPr dko . Na ko cu znajduj si dwie strza ki i po najechaniu na strza zwrócona

12

w lewo zostanie ona pod wietlona na zielono i zobaczymy opis taki jak przedstawiarysunek 1.7:

Rys. 1. 7 Lewa strza ka nawigacyjna.

Klikniecie na pod wietlon strza spowoduje przeniesienie u ytkownika napoprzednia stron , na której opisany zosta temat dzia na wektorach. Je li strza kiprzenosz nas pomi dzy g ównymi rozdzia ami, to jest to uwzgl dnione i zaznaczonew takiej formie jak na rysunku 1.7, tzn. na pocz tku zamieszczona jest informacja otym czy przeniesieni zostaniemy na poprzedni czy na nast pn stron , potemwy wietlany jest temat g ównego rozdzia u a po dwukropku temat podrozdzia u.Natomiast je li przenoszeni jeste my w obr bie jednego rozdzia u, to opis podstrza ma posta pokazan na rysunku 1.8.

Rys. 1. 8 Prawa strza ka nawigacyjna.

3.3. Rozdzia y i podrozdzia y strony

Opracowana witryna, jak ju wspomniano, posiada 4 g ówne rozdzia y oraz 16podrozdzia ów. Postaram si je teraz krótko scharakteryzowa .

r Rozdzia 1: Wiadomo ci podstawowe

Znajduj si tutaj wiadomo ci podstawowe zwi zane z wektorami i dzia aniamina wektorach. W pierwszym podrozdziale zosta y wyja nione poj cia skalara,wektora, d ugo ci wektora, wektora zerowego oraz zosta y opisane 4 g ównecechy wektorów: kierunek, zwrot, warto i punkt przy enia. Dodatkowoznajduje si tutaj animacja rzutu wektora na uk ad wspó rz dnych . W drugimpodrozdziale opisane zosta y dzia ania na wektorach: dodawanie, odejmowanie,mno enie przez liczb , mno enie skalarne i wektorowe oraz iloczyn mieszany.

Do czone animacje:o Dodawanie wektorów:

• o zgodnych zwrotach,

13

• o przeciwnych zwrotach,• metod trójk ta,• metod równoleg oboku,

o Odejmowanie wektorów:• metod trójk ta,

o Iloczyn:• skalarny,• wektorowy,• mieszany.

r Rozdzia 2: Ruch jednowymiarowy

W tym dziale znajduje si 6 podrozdzia ów. Dwa pierwsze opisuj poj ciapr dko ci i przyspieszenia a nast pne konkretne ruchy: ruch jednostajny,jednostajnie zmienny przyspieszony i opó niony, ruch po okr gu oraz drganiaharmoniczne. W podrozdzia ach zwi zanych z ruchem jednostajnym i jednostajnie zmiennymopisano czym s te ruchy, kiedy mamy z nimi do czynienia oraz przedstawionowykresy pr dko ci, przyspieszenia i drogi. W podrozdziale zwi zanym z ruchem po okr gu przedstawione zosta yrównania opisuj ce ten ruch, poj cia pr dko ci linowe, k towej oraz przyspieszenialiniowego i k towego. Na ko cu znajduje si tabelka, w której zosta y zestawionewielko ci liniowe i k towe charakteryzuj ce ruch po okr gu. Ostatni podrozdziapo wi cony zosta drganiom harmonicznym. Zawiera równanie opisuj ce ruchdrgaj cy, informacje oraz wzory na temat pr dko ci i przyspieszenia chwilowego(rzeczywistego).

Do czone animacje to:o Ruch po okr gu.o Drgania harmoniczne.

r Rozdzia 3: Rzuty

W rozdziale 3 zaj to si rzutami cia a. Na pocz tku przedstawiono spadekswobodny, pó niej rzut pionowy zarówno w gór jak i w dó , rzut poziomy i rzutuko ny. Wi kszo podrozdzia ów zawiera informacje dotycz ce danego rzutu, wzoryna parametryczne równania toru, pr dko i czas trwania rzutu. Podrozdzia y natemat rzutu poziomego oraz uko nego zawieraj dodatkowo informacje i wzory natemat zasi g rzutu, toru ruchu oraz wyst puj cego przyspieszenia.

Do czone animacje:o Spadek swobodny,o Rzut pionowy:

• w gór ,• w dó .

o Rzut poziomy,o Rzut uko ny.

14

r Rozdzia 4: Dodatki

W ostatnim rozdziale umieszczono legend , w której zawarto spis u ytychsymboli i oznacze na stronie internetowej, spis literatury, informacje o autorze orazdodatek a zawieraj cy jednostki uk adu SI.

15

4. Zawarto witryny4.1. Wiadomo ci podstawowe

4.1.1. Wektory i skalary

W fizyce mamy najcz ciej do czynienia z dwoma rodzajami wielko cifizycznych:r Skalarami, które posiadaj jedynie warto , np.: masa, obj to , czas,

adunek, temperatura, praca.r Wektorami posiadaj cymi warto , kierunek, zwrot i punkt przy enia, np.:

pr dko , przyspieszenie, si a.

Wektorem o pocz tku w punkcie A i ko cu w punkcie B nazywamyuporz dkowan par punktów (A, B) i oznaczamy symbolem AB

uuurlub

AB (Rys.1.1.).

Rys. 1. 9 Graficzna interpretacja wektora.

Odleg mi dzy pocz tkiem i ko cem wektora nazywamy jego d ugo ci .Wektor, którego pocz tkiem i ko cem jest ten sam punkt nazywamy wektoremzerowym.

Ka dy wektor charakteryzuj 4 cechy, o których ju wspomnia em wcze niej:r kierunek, który okre la prosta poprowadzona przez pocz tek i koniec wektora:

Rys. 1. 10 Ilustracja kierunku wektora.

r zwrot, czyli strona, w któr wektor jest zwrócony. Graficznie zwrot symbolizujestrza ka na ko cu wektora:

Rozdzia

4

16

Rys. 1. 11 Ilustracja zwrotów wektora.

r warto , czyli d ugo wektora, symbolizuje intensywno wielko ci, którokre la wektor, np.: du a warto wektora pr dko ci mówi nam, e cia o siszybko b dzie si porusza .

r punkt przy enia, pocz tek wektora lub inaczej mo emy powiedzie , e jestto punkt zaczepienia wektora.

4.1.2. Dzia ania na wektorach

Dodawanie wektorów

Na pocz tek zajmiemy si przypadkiem, gdy mamy dwa wektory o tym samymkierunku. Na stronie znajduj si animacje dotycz ce dodawania wektorów:

a) o zgodnych zwrotach,b) o przeciwnych zwrotach.

Nast pnie przedstawione zosta y animacje dodawania wektorów o ró nychkierunkach:a) metod trójk ta,b) metod równoleg oboku.

Odejmowanie wektorów

Odejmowanie wektorów ar

i br

w rzeczywisto ci sprowadza si do dodaniawektorów a

r i b−

r, czyli wektora o przeciwnym zwrocie w stosunku do wektora b

r.

Mno enie wektorów przez liczb (skalar)

Iloczynem wektora ar

przez liczb x jest wektor br

o warto ci równej iloczynowiwarto ci liczbowej wektora a

r oraz liczby x. Wynikowy wektor ma kierunek zgodny z

17

kierunkiem wektora wyj ciowego i zwrot zgodny je li mno ona liczba x > 0 iprzeciwny, gdy x < 0.

Mno enie wektorów

r Iloczyn skalarny

Iloczynem skalarnym dwóch wektorów ar

i br

nazywamy skalarrówny iloczynowi warto ci bezwzgl dnych obu wektorów pomno onyprzez cosinus k ta mi dzy nimi.

Rys. 1. 12 Ilustracja definicji iloczynu skalarnego.

Iloczyn skalarny jest iloczynem ar

i cosb αr

, tj. d ugo ci wektora ar

i d ugo ci

wektora cosb αr

cego rzutem wektora br

na wektor ar

(Rys.1.13).

Rys. 1. 13 Rzut wektora br

na wektor ar

.

Iloczyn skalarny jest iloczynem cosa αr

i br

, tj. d ugo ci wektora br

i d ugo ci

wektora cosa αr

cego rzutem wektora ar

na wektor br

(Rys.1.14).

18

Rys. 1. 14 Rzut wektora ar

na wektor br

.

Je eli k t mi dzy wektorami oznaczymy przez α, a operacj mno eniaskalarnego przez a b⋅

r r, to otrzymamy:

cosa b a b α⋅ =r r r r

(1.1)

Funkcja cosinus jest funkcja parzyst , tzn. cosα= cos(-α), w zwi zku z tym doiloczynu skalarnego stosuje si prawo przemienno ci:

a b b a⋅ = ⋅r r r r

(1.2)

Iloczyn skalarny podlega równie prawu rozdzielno ci mno enia skalarnegowzgl dem dodawania:

( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅r r r r r r r

(1.3)

Iloczyn skalarny mo e by równy zero, gdy:• Którykolwiek z wektorów wyj ciowych jest wektorem zerowym.• Wektory s do siebie prostopad e ( 0a b⋅ =

r r, gdy a b⊥ )

Wektor pomno ony skalarnie przez siebie b dzie równy kwadratowi modu u:2

cos0a a aa a⋅ = =r r r r r

(1.4)

r Iloczyn wektorowy

Iloczynem wektorowym a b×r r

dwóch wektorów ar

i br

nazywamywektor c

r prostopad y do p aszczyzny utworzonej przez te wektory,

którego d ugo jest równa iloczynowi d ugo ci tych wektorówpomno onemu przez sinus k ta zawartego mi dzy nimi.

sin( , )

a b c

a b a b a b c

× =

× = =

r r r

r r r r r r r (1.5)

19

Rys. 1. 15 Ilustracja iloczynu wektorowego.

Wektor cr jest prostopad y do p aszczyzny wyznaczonej przez wektory a

r i b

r.

Zwrot jego jest okre lony regu ruby prawoskr tnej lub regu prawej r ki. Je elipalce prawej r ki zginaj si w kierunku obrotu wektora a

r na wektor b

r, to kciuk

wskazuje kierunek wektora c a b= ×r r r

.Natomiast je li w iloczynie wektorowym wektory a

r i b

r zamienimy miejscami,

to aby otrzyma uk ad prawoskr tny, nale y przy r jak na rysunku 1.15b izmieni zwrot wektora c

r na przeciwny, czyli c b a− = ×

r r r.

Widzimy zatem, e do iloczynu wektorowego nie stosuje si prawoprzemienno ci:

a b b a× = − ×r r r r

(1.6)Iloczyn wektorowy natomiast podlega prawu rozdzielno ci mno enia

wektorowego wzgl dem dodawania:

( )a b d a b a d× + = × + ×r r ur r r r ur

(1.7)

Do iloczynu wektorowego mo na równie zastosowa prawo czno cimno enia przez dowolny skalar n:

( ) ( ) ( )na b a nb n a b× = × = ×r r r r r r

(1.8)Iloczyn mieszany

Iloczynem mieszanym trzech wektorów ar

, br

i cr nazywamy iloczyn

skalarny jednego z tych wektorów i wektora b cego iloczynemwektorowym dwóch pozosta ych:

( )a b c× ⋅r r r

(1.9)

20

Rys. 1. 16 Ilustracja iloczynu mieszanego.

( ) ( )( ) sin cosa b c a b cα φ× ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅r r r r r r

(1.10)

W interpretacji geometrycznej iloczyn mieszany jest równy liczbowo obj to cirównoleg cianu zbudowanego na wektorach a

r, b

ri c

r .

Je li wektory le w jednej p aszczy nie to iloczyn mieszany jest równy zeru. Warto iloczynu mieszanego nie ulega zmianie, je eli w iloczynie tym

dziemy zmienia kolejno wyrazów:

( ) ( ) ( )a b c b c a c a b× ⋅ = × ⋅ = ⋅ × ⋅r r r r r r r r r

(1.11)Inne w ciwo ci iloczynu mieszanego:

( ) ( )

( ) ( )

a b c b a c

a b c a c b

× ⋅ = − × ⋅

× ⋅ = − × ⋅

r r r r r r

r r r r r r (1.12)

Je eli

x y z

x y z

x y z

a a i a j a k

b b i b j b k

c c i c j c k

= + +

= + +

= + +

r

r

r, (1.13)

to iloczyn mieszany mo na zapisa w postaci wyznacznika utworzonego zewspó rz dnych wektorów:

( )x y z

x y z

x y z

a a aa b c b b b

c c c× ⋅ =

r r r(1.14)

Podwójny iloczyn wektorowy trzech wektorów ar

, br

i cr jest wektorem

powsta ym w wyniku wektorowego pomno enia wektora a przez iloczyn wektorowywektorów b

r i c

r:

( ) ( ) ( )a b c b a c c a b× × = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅r r r r r r r r r

(1.15)

4.1.3. Opis animacji

Wszystkie animacje zosta y wykonane w technologii flash w programieMacromedia Flash 8.

21

Pierwsz animacj na jak natrafimy w rozdziale pierwszym jest animacjarzutu wektora na uk ad wspó rz dnych (Rys.1.18).

Rys. 1. 17 Wygl d animacji rzutu wektora na uk ad wspó rz dnych.

Animacja przedstawia rzut wektora na uk ad wspó rz dnych, w którejytkownik mo e za pomoc trzech suwaków ustawi wielko ci kolejnych

wspó rz dnych x, y, z wektora Aur

.

W kolejnym podrozdziale dotycz cym dzia na wektorach znajdziemyanimacje przedstawiaj ca dodawanie dwóch wektorów o tym samym kierunku:o o zgodnych zwrotach (Rys.1.18),

Rys. 1. 18 Wygl d animacji dodawania wektorów o zgodnych zwrotach.

22

o o przeciwnych zwrotach (Rys.1.19).

Rys. 1. 19 Wygl d animacji dodawania wektorów o przeciwnych zwrotach.

Nast pnie mamy animacje przedstawiaj ce dodawanie wektorów o ró nychkierunkach:o metod trójk ta (Rys.1.20),

Rys. 1. 20 Wygl d animacji przedstawiaj cej dodawanie wektorów metod trójk ta.

o metod równoleg oboku (Rys. 1.21).

Rys. 1. 21 Wygl d animacji przedstawiaj cej dodawanie wektorów metod równoleg oboku.

23

Na rysunku 1.22 przedstawiona zosta a kolejna animacja dotycz caodejmowania wektorów.

Rys. 1. 22 Wygl d animacji odejmowania wektorów.

Nast pnie natrafimy na animacje ilustruj iloczyn skalarny (Rys.1.23), wktórej u ytkownik zmieniaj c k t za pomoc suwaka, zmienia k t miedzy dwomawektorami A

ur i B

r tworz cymi iloczyn skalarny.

Rys. 1. 23 Wygl d animacji iloczynu skalarnego. Kolejna animacja przedstawia nam iloczyn wektorowy (Rys.1.24), w której

ytkownik zmieniaj c k t za pomoc suwaka, zmienia k t miedzy dwoma wektoramiAur

i Br.

24

Rys. 1. 24 Wygl d animacji iloczynu wektorowego.

Na ko cu rozdzia u zosta a umieszczona animacja iloczynu mieszanego trzechwektorów (Rys.1.25). Sprawdzana jest zale no : ( ) ( )a b c a b c× ⋅ = ⋅ ×

r r r r r r. Na ko cu

animacji u ytkownik mo e sam przekona si , czy to jest prawd , podaj cwspó rz dne x, y, z ka dego z wektorów A

ur, B

ur, C

ur i odczytuj c obliczone warto ci

iloczynu mieszanego.

Rys. 1. 25 Wygl d animacji iloczynu mieszanego.

4.1.4. Instrukcje do animacji

Na pocz tek opisz animacj rzutu wektora na uk ad wspó rz dnych, którejwygl d mo emy zobaczy na rysunku 1.17. U ytkownik ma mo liwo ustawienia

25

wielko ci ka dej ze wspó rz dnych Ax, Ay i Az wektora Aur

. S do tego trzy suwaki(Rys.1.26). Aby zmieni po enie suwaka naje amy na niego myszka,przytrzymujemy lewy przycisk myszy i przesuwaj c suwak w gór albo w dózmieniamy warto konkretnej wspó rz dnej. Zmiany warto ci obserwujemy wokienkach nad suwakami. W tym samym czasie z prawej strony animacji rysowanyjest w uk adzie wspó rz dnych wektor A

uri obliczana jest jego d ugo A

uur.

Rys. 1. 26 Wygl d suwaków w animacji rzutu wektora na uk ad wspó rz dnych.

Przyjrzyjmy si teraz animacjom dotycz cym dodawania i odejmowaniawektorów (Rys. 1.18-22). U ytkownik uruchamia animacj poprzez klikni cie na

przycisk start . W czasie trwania animacji mo liwe jest jej zatrzymanie poprzez

naci ni cie na przycisk pauza , naci ni cie przycisku start wznawia

animacje. Po zako czonej animacji pojawia si przycisk powrót , któregonaci ni cie spowoduje powrót do pocz tku animacji. W animacjach iloczynu skalarnego (Rys.1.23) i iloczynu wektorowego(Rys.1.24) u ytkownik ma mo liwo ci za pomoc poziomego suwaka (Rys.1.27)ustawi k t (od 0 do 360 stopni) mi dzy wektorami. Aby zmieni po enie suwakanaje amy na niego myszka, przytrzymujemy lewy przycisk myszy i przesuwaj csuwak w prawo albo w lewo zmieniamy warto k ta wy wietlana pod suwakiem.Ka da zmiana k ta od razu ma wp yw na animacje i u ytkownik mo e obserwowazachowanie wektorów dla ró nych warto ci k ta.

Rys. 1. 27 Wygl d suwaka poziomego do ustawiania k ta.

Animacje iloczynu mieszanego (Rys. 1.25) uruchamiamy poprzez klikni cie na

przycisk start . W czasie trwania animacji mo liwe jest jej zatrzymanie poprzez

naci ni cie na przycisk pauza , naci ni cie przycisku start wznawia

animacje. Po zako czonej animacji pojawia si przycisk powrót , któregonaci ni cie spowoduje powrót do pocz tku animacji. Na ko cu równie u ytkownikmo e sprawdzi czy powsta e figury s takie same i czy sprawdzany warunek( ) ( )a b c a b c× ⋅ = ⋅ ×r r r r r r

jest prawdziwy. Do tabelki (Rys. 1.28) u ytkownik wprowadza

26

wspó rz dne x, y, z (zakres od -9 do 99) dla ka dego z wektorów Aur

, Bur

i Cur

.Nast pnie klikni cie na przycisk Oblicz spowoduje obliczenie iloczynówwektorowych ( )A B×

ur uri ( )B C×

ur ur oraz iloczynów mieszanych ( )A B C× ⋅

ur ur uri ( )A B C⋅ ×

ur ur ur.

Rys. 1. 28 Tabela obliczaj ca iloczyn mieszany.

4.2. Ruch jednowymiarowy4.2.1. Pr dko

Pr dko W dobie samochodów pr dko jest poj ciem, które poznajemy ju wdzieci stwie. Pr dko ciomierz samochodu wskazuje wielko chwilowej pr dko ci w

kilometrach na godzinkmh

lub w milach na godzin (mph od ang. miles per

hour).

Pr dko V definiujemy jako zmian po enia cia a w jednostce

czasu. Jednostk pr dko ci w uk adzie SI jestms

(metr na

sekund ).

Pr dko rednia

Niech w pewnej chwili dane cia o znajduje si w punkcie A. Po up ywie czask pt t t∆ = − cia o przemie ci o si po swoim torze do punktu B (Rys.1.29).

27

Rys. 1. 29 Interpretacja graficzna pr dko ci.

Pr dko redni z jak porusza o si cia o mo emy wyznaczy ze wzoru:k p

k p

x xxVt t t

−∆= =

∆ −(1.16)

V mo e przyjmowa warto wi ksz (mniejsz ) od zera lub równ zeru.Tangens k ta nachylenia prostej AB na wykresie jest redni pr dko ci : V tgα= ,gdzie tgα jest wspó czynnikiem kierunkowym prostej AB.

Zapami taj:r Pr dko rednia nie jest pr dko ci rzeczywist (chwilow );r Przesuni cie k px x x∆ = − nie jest d ugo ci drogi przebyta przez cia o; droga jest

zawsze nieujemna;r Pr dko rednia jest równa tgα , gdzie α jest k tem nachylenia prostej ( cz cej

dwa punkty ( , )p px t i ( , )k kx t ) wzgl dem osi czasu.

Pr dko rzeczywista (chwilowa)

Je li badaliby my pr dko cia a(przyspieszanie lub zwalnianie samochodu) wci gu bardzo krótkich przedzia ów czasu (powinni my wzi przedzia y czasuniesko czenie bliskie zera), to wówczas mieliby my do czynienia z pr dko cirzeczywist (chwilow ).

0

( )limt

r dx tV it dt∆ →

∆= = ⋅

∆

rur

(1.17)

Warto dxdt

mo e by dodatnia, ujemna lub równa zeru.

Szybko ci V b dziemy dalej nazywali d ugo wektora Vur

:( )dx tV V

dt= =

uur(1.18)

28

4.2.2. Przyspieszenie

Przyspieszenie

Wszyscy w intuicyjny sposób rozumiemy co to jest przyspieszenie. Mo emywywo przyspieszenie samochodu naciskaj c peda gazu. Im mocniej ten pedawciskamy, tym wi ksze przyspieszenie osi gniemy. Gdy trwa przyspieszenie, topr dko ro nie. Natomiast naci ni cie na peda hamulca daje ten sam efekt, tyletylko, e teraz mamy przyspieszenie ujemne.

Przyspieszeniem a nazywamy tempo zmian pr dko ci. Jednostk

przyspieszenia w uk adzie SI jest 2

ms

(metr na sekund kwadrat).

Przyspieszenie rednie

Niechaj w pewnej chwili dane cia o ma pr dko VA . Po up ywie czask pt t t∆ = − pr dko cia o wykonuj cego ruch prostoliniowy wynios a VB (Rys.1.30).

Rys. 1. 30 Interpretacja graficzna przyspieszenia.

Przyspieszenie rednie tego cia a w czasie k pt t t∆ = − wyrazi mo emy wzorem:

k p

k p

V V Vat t t

− ∆= =

− ∆(1.19)

Tangens k ta nachylenia prostej AB na wykresie z Rys. 1.30 jest rednimprzyspieszeniem: a tgα= , gdzie α jest k tem nachylenia prostej AB.

29

Przyspieszenie rzeczywiste (chwilowe)

Je eli przyspieszenie zmienia si w czasie, to powinni my mierzy zmianpr dko ci V∆ w ci gu krótkich odst pów czasu t∆ . Wówczas przyspieszenierzeczywiste (chwilowe):

0lim

t

Vat∆ →

∆=

∆

r(1.20)

oraz

0

2

2

( )lim

( ) ( )t

V dV ta it dt

dV t d x tadt dt

∆ →

∆= = ⋅

∆

= =

r

r, (1.21)

gdzie ar

d ugo wektora przyspieszenia; wektor mo e mie zwrot dodatni (ruch

przyspieszony) lub ujemny (ruch opó niony).

4.2.3. Ruch jednostajny

Ruch jednostajny prostoliniowy to taki, w którym pr dko ma sta warto :0( )V t V const= = (1.22)

Rys. 1. 31 Wykres pr dko ci od czasu w ruchu jednostajnie prostoliniowym.

Punkt materialny poruszaj cy si po torze prostoliniowym przebywajednakowe odcinki drogi s∆ w jednakowych odst pach czasu t∆ . Pr dko rednia wtym ruchu równa jest pr dko ci chwilowej. Droga w ruchu jednostajnieprostoliniowym wyra amy wzorem:

0 0( )S t S V t= + ⋅ (1.23)

30

Rys. 1. 32 Wykres drogi od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym

Natomiast przyspieszenie wynosi( ) 0a t = (1.24)

Rys. 1. 33 Wykres przyspieszenia od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym.

4.2.4. Ruch jednostajnie zmienny

Ruch, w którym przyspieszenie ma sta warto :0a a const= = (1.25)

nazywamy ruchem jednostajnie zmiennym prostoliniowym.

31

Ruch jednostajnie zmienny mo e by ruchem:r Jednostajnie przyspieszonym, kiedy 0a >

Rys. 1. 34 Wykres przyspieszenia od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym.

r Jednostajnie opó nionym, gdy 0a <

Rys. 1. 35 Wykres przyspieszenia od czasu w ruchu jednostajnie opó nionym.

Pr dko w ruchu jednostajnie zmiennym ro nie lub maleje w sposóbjednostajny (tzn. zmienia si zawsze o tak sam warto w jednostce czasu).Mo emy j wyznaczy korzystaj c ze wzoru:

0( )V t V at= + (1.26)

32

Rys. 1. 36 Pr dko w ruchu jednostajnie zmiennym a) przyspieszonym, b) opó nionym.

Drog w ruchu jednostajnie zmiennym wyznaczamy ze wzoru:

0 0 21( )2

S t S V t a t= + ⋅ + ⋅ ⋅ (1.27)

Rys. 1. 37 Wykres drogi w jednostce czasu w ruchu jednostajnie zmiennym a) przyspieszonym, b)opó nionym.

4.2.5. Ruch po okr gu

Ruch po okr gu jest najprostszym rodzajem ruchu krzywoliniowego. Niechpunkt P(x,y) porusza si po okr gu o promieniu r i rodku O. Wygodnie jest przyjuk ad wspó rz dnych x, y tak, aby pocz tek uk adu znajdowa si w rodku ko a(rys.1.38)

33

Rys. 1. 38 Ilustracja ruchu po okr gu.

Do opisania ruchu punktu P po okr gu pos ymy si równaniami:[ ]( ) cos ( )x t r tθ= ⋅ (1.28)

[ ]( ) sin ( )y t r tθ= ⋅ (1.29)Je li przez s oznaczymy drog przebyt przez cia o po okr gu w czasie, w którymdroga k towa wynosi a θ to:

( ) ( )s t r tθ= ⋅ (1.30)

Pr dko liniowa i k towa

Ró niczkuj c obie strony równania (1.30) wzgl dem czasu otrzymamyds d rdt dt

θ= (1.31)

Wielko dsdt

jest pr dko ci liniow V cia a w ruchu po okr gu, natomiast wielko

ddtθ b dziemy nazywa pr dko ci k towa i oznacza symbolemω .Jednostk

pr dko ci k towej jest rad⋅s-1. Zatem mamy teraz zale noV rω= ⋅ (1.32)

W ruchu jednostajnym po okr gu chwilowa pr dko k towa 2constT

ωΠ

= = oraz

( ) ( )t t tt tθ θ θ

ω∆ + ∆ −

= =∆ ∆

Zatem:0( )t tθ θ ω= + ⋅ ,

gdzie 0θ -k t pocz tkowy. Równania opisuj ce ruch po okr gu przyjmuj teraz posta

0( ) cos( )x t r tω θ= ⋅ ⋅ + (1.33)

34

0( ) sin( )y t r tω θ= ⋅ ⋅ + (1.34)

Pr dko chwilowa ( , )x yV V V=ur

0 0sin( ) sin( )xdxV r t V tdt

ω ω θ ω θ= = − ⋅ ⋅ ⋅ + = − ⋅ ⋅ + (1.35)

0 0cos( ) cos( )ydyV r t V tdt

ω ω θ ω θ= = ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + , (1.36)

gdzie V r ω= ⋅ .

Rys. 1. 39 Ilustracja pr dko ci k towej.

Wektor pr dko ci k towej ωur

jest prostopad y do p aszczyzny, w którejodbywa si ruch, w tym przypadku jest to okr g, a jego zwrot mo na wyznaczy przypomocy regu y ruby prawoskr tnej (Rys. 1.39) Z rysunku wida , e zachodzizale no :

V rω= ×ur ur r

(1.37)Mo emy uzna , e wektor pr dko ci liniowej V

ur jest iloczynem wektorowym pr dko ci

towej ωur

i promienia okr gu r.

Przyspieszenie liniowe i k towe

Przyspieszenie chwilowe w ruchu jednostajnym po okr gu:

20

20

( , ),

cos( )

sin( )

x y

xx

yx

a a adVa r tdt

dVa r t

dt

ω ω θ

ω ω θ

=

= = − ⋅ ⋅ ⋅ +

= = − ⋅ ⋅ ⋅ +

gdzier

(1.38)

Zatem:2 2

0 0cos( ) sin( )x ya a i a j r t i r t j rω ω θ ω θ ω = ⋅ + ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = − ⋅ r r

(1.39)

35

W ruchu jednostajnym po okr gu przyspieszenie ca kowite ar

jest skierowane do

rodka okr gu. Dlatego nazywane jest przyspieszeniem do rodkowym dar

. Warto

wektora przyspieszenia ar

jest przyspieszeniem do rodkowym dar

i wynosi:2

2 Va rr

ω= ⋅ =r

(1.40)

Warto przyspieszenia stycznego as w ruchu jednostajnym po okr gu wynosi 0.

Je li b dziemy rozpatrywa ruch jednostajnie zmienny po okr gu izró niczkujemy równanie (1.37) po czasie otrzymamy:

s

dV d rdt dt

a r

ω

ε

= ⋅

= ⋅(1.41)

Gdzie as jest przyspieszeniem stycznym, a ε jest przyspieszeniem k towym. W ruchujednostajnie zmiennym po okr gu przyspieszenie k towe wynosi:

0

( ) ( )limt

d t t t constdt tω ω ω

ε∆ →

+ ∆ −= = =

∆

ur urr

(1.42)

Przyspieszenie do rodkowe b dzie wynosi :2

dVar

= (1.43)

Natomiast przyspieszenie ca kowite:

2 2

s d

s d

a a a

a a a a

= +

= = +

r r r

r (1.44)

Zestawienie wielko ci k towych i liniowych

Ruch jednostajny po okr gu Ruch jednostajnie zmienny po okr gu

constω = 0( )t tω ω ε= + ⋅

0ε = constε =

0( )S t r t rω θ= ⋅ ⋅ + ⋅ 20

1( )2

S t r t r r tω θ ε= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

0( )t tθ θ ω= + ⋅ 20

1( )2

t t r tθ θ ω ε= + ⋅ + ⋅ ⋅

V r ω= ⋅ V r ω= ⋅2

nVar

=2

nVar

=

0sa = sa rε= ⋅2

0c nVa ar

= = ≠ c n sa a a= +

2da rω= − ⋅ 2

da rω= − ⋅Tab. 1Wielko ci liniowe i k towe w ruchu jednostajnym i zmiennym po okr gu.

36

4.2.6. Drgania harmoniczne

W tym rozdziale zajmiemy si ruchem, w którym cia a przemieszczaj si tami z powrotem sinusoidalnie w czasie (tzn. jak funkcja sinus lub cosinus czasu). Ruchten powtarza si w regularnych odst pach czasowych jest równie zwany ruchemperiodycznym (okresowym) . Z takim rodzajem ruchu mamy do czynienia wówczas,gdy cia o wyprowadzone zostaje ze stanu równowagi trwa ej. Przyk ady ruchuharmonicznego: kulka zawieszona na spr ynie, wahad o matematyczne, wahad ofizyczne, uk ad LC.

Zale no po enia cia a od czasu w ruchu harmonicznym

Ruch cia a w ruchu harmonicznym mo emy opisa równaniem:0( ) sin( )x t A tω ϕ= ⋅ ⋅ + (1.45)

Wielko A jest amplitud ruchu maksymalnym odchyleniem cia a od po eniarównowagi, natomiast ω stanowi cz sto ko owa drga , któr mo na wyraziwzorem:

2T

ω⋅Π

= (1.46)

T jest okresem w ruchu harmonicznym i wyra a si w jednostkach czasu, czyli np. wsekundach. Sta a 0ϕ to faza pocz tkowa naszego ruchu. Wraz z warto ci amplitudyokre la ona wychylenie w chwili pocz tkowej tj. dla t=0.

Pr dko i przyspieszenie chwilowe(rzeczywiste)

Warto ci pr dko ci w ruchu drgaj cym mo emy wyznaczy ze wzoru:

0 max 0

max

( ) cos( ) cos( ),

2:

dxV t A t V tdt

V A AT

ω ω ϕ ω ϕ

ω

= = − ⋅ ⋅ ⋅ + = − ⋅ ⋅ +

Π= ⋅ = ⋅gdzie

(1.47)

Przyspieszenie natomiast wyznaczymy ze wzoru:2

20 max 02

22

max 2

( ) sin( ) sin( ),

4:

dV d xa t A t a tdt dt

a A AT

ω ω ϕ ω ϕ

ω

= = = − ⋅ ⋅ ⋅ + = − ⋅ ⋅ +

⋅Π= ⋅ = ⋅gdzie

(1.48)

4.2.7. Opis animacji

Wszystkie animacje zosta y wykonane w technologii flash w programieMacromedia Flash 8. Pierwsz animacj na jak natrafimy w rozdziale drugim jest animacja ruchupo okr gu (Rys.1.40). Animacja przedstawia ruch kulki po okr gu, w której

ytkownik ma mo liwo wyboru (za pomoc suwaków) pr dko ci pocz tkowej orazpromienia okr gu, po którym b dzie porusza si cia o. W czasie trwania animacjiwidoczny jest wektor pr dko ci pocz tkowej V0 (zielony wektor) oraz sk adowe Vx

(pomara czowy wektor) i Vy (niebieski wektor).

37

Rys. 1. 40 Wygl d animacji ruch po okr gu.

Drug animacj w tym rozdziale jest animacja drga harmonicznych(Rys.1.41). Przedstawia ona kulk zawieszon na spr ynie, w której u ytkownik mamo liwo wyboru (za pomoc suwaków) amplitudy ruchu oraz okresu drga . Wczasie trwania animacji rysowany jest wykres y(t).

Rys. 1. 41 Wygl d animacji drgania harmoniczne.

4.2.8. Instrukcje do animacji

Na pocz tek animacja ruchu po okr gu, której wygl d mo emy zobaczy narysunku 1.40. U ytkownik ma mo liwo ustawienia pr dko ci pocz tkowej orazpromienia okr gu, po którym b dzie porusza si cia o. Umo liwiaj to dwa suwakiumieszczone w lewym górnym rogu animacji (Rys.1.42). Aby zmieni po enie

38

suwaka naje amy na niego myszka, przytrzymujemy lewy przycisk myszy iprzesuwaj c suwak w gór albo w dó zmieniamy warto pr dko ci (z zakres od 0do 100) lub promienia (0 do 100). Animacje uruchamiamy naciskaj c na przyciskstart . Naci ni cie przycisku powrót powoduje zatrzymanie i powrót

animacji do pozycji pocz tkowej.

Rys. 1. 42 Wygl d suwaków w animacji ruchu po okr gu.

Drug animacj w tym rozdziale jest animacja drga harmonicznych(Rys.1.41). Animacja przedstawia kulk zawieszon na spr ynie, w której

ytkownik ma mo liwo zmiany za pomoc dwóch suwaków (Rys.1.43): amplitudyruchu (od 0 do 100) oraz okresu drga (od 0 do 10). Aby zmieni po enie suwakanaje amy na niego myszka, przytrzymujemy lewy przycisk myszy i przesuwaj csuwak w prawo albo w lewo zmieniamy warto amplitudy ruchu lub okresu drga .Równocze nie wraz z ruchem kulki na spr ynie rysowany jest wykreszale no ci: 0( ) sin( )y t A tω φ= ⋅ ⋅ + .

Rys. 1. 43 Wygl d suwaków w animacji drga harmonicznych.

Animacje uruchamiamy naciskaj c na przycisk . Naci ni cie przyciskupowoduje zatrzymanie i powrót animacji do pozycji pocz tkowej.

Przeprowad my teraz symulacje dla takich warto ci: amplituda 100A m= orazokres drga 8,66T s= . Zobaczmy teraz na rysunku 1.44 jak wygl da wykres ( )y toraz zako czona animacja.

39

Rys. 1. 44 Wygl d zako czonej animacji drga harmonicznych.

4.3. Rzuty4.3.1. Spadek swobodny

Spadek swobodny traktujemy jako lot cia a upuszczonego swobodnie zwysoko ci H0 (bez pr dko ci pocz tkowej). Ruch ten jest ruchem jednostajnieprzyspieszonym. Na cia o dzia a si a grawitacji nadaj ca mu sta e przyspieszenie

29,81 ma gs

= = .

Rys. 1. 45 Faza pocz tkowa spadku swobodnego

40

Wysoko w spadku swobodnym

W spadku swobodnym cia o porusza si ruchem jednostajnie przyspieszonym,wi c do obliczenia wysoko ci jak przebywa mo emy pos si wzorem (1.27),uwzgl dniaj c, e pr dko pocz tkowa V0 wynosi 0, przyspieszenie jest sta e a=g

r r

oraz drog traktujemy jako wysoko :2

0( )2

g ty t H ⋅= − (1.49)

Otrzymali my parametryczne równanie toru w spadku swobodnym.

Czas spadku

Na podstawie parametrycznego równania toru (1.49) mo emy wyznaczy czasspadku (dla ( ) 0y t = ):

2

0

20

02

2

g tH

g t H

⋅= −

⋅ = ⋅(1.50)

02 Htg⋅

= (1.51)

Pr dko w spadku swobodnym

Zaczniemy od pr dko ci pocz tkowej V0, która w spadku swobodnymprzyjmuje warto 0. Pr dko pionowa Vy w spadku swobodnym ro nie jednostajnie(tzn. co sekund o tyle samo) i mo emy j wyrazi wzorem:

yV g t j= − ⋅ ⋅ (1.52)Pr dko jest ujemna, bo skierowana jest w dó , a przyj li my umownie e kierunekw gór jest dodatni. Je li interesuje nas tylko warto pr dko ci a nie jej zwrot, tomo emy pomin minus we wzorze.

Pr dko ko cow Vk (tu przed uderzeniem o ziemi ) mo emy obliczywstawiaj c czas spadku t do równania (1.52):

0

20

2

2

k

k

HV gg

H gVg

⋅= ⋅

⋅ ⋅=

(1.53)

i ostatecznie otrzymujemy:

02kV g H= ⋅ ⋅ (1.54)

4.3.2. Rzut pionowy

Rzut pionowy nale y rozbi na dwie mo liwo ci: rzut pionowy w gór oraz rzutpionowy w dó .

41

Rzut pionowy w gór

W tym przypadku mamy do czynienia z rzutem cia a pionowo do góry zpocz tkow pr dko ci V0 skierowan w gór . Przez ca y czas trwania rzutu na cia odzia a przyspieszenie ziemskie g

r skierowane pionowo w dó .

Rys. 1. 46 Pr dko i przyspieszenie ziemskie w rzucie pionowym w gór

Parametryczne równanie toru2

0 0 0( ) ( )2

g ty t H V t H s t⋅= + ⋅ − = + (1.55)

gdzie2

0( )2

g ts t V t ⋅= − jest drog w ruchu jednostajnie opó nionym.

42

Rys. 1. 47 Pr dko w rzucie pionowym w gór .

Pr dko Vy po up ywie czasu t od wyrzucenia w gór obliczy mo na ze wzoru:0yV V g t= − ⋅ (1.56)

Rys. 1. 48 Wykres po enia cia a od czasu.

W pocz tkowej fazie rzutu cia o wznosi si i porusza si ruchem jednostajnieopó nionym z opó nieniem równym przyspieszeniu ziemskiemu g. Ruch w gór trwado momentu, a cia o osi gnie pr dko chwilow Vy = 0 (cia o si zatrzyma). W tymmomencie cia o osi ga maksymalna wysoko wznoszenia Hmax.

43

Czas wznoszenia tw potrzebny do osi gni cia maksymalnej wysoko ci Hmax

mo emy wyznaczy korzystaj c ze wspó rz dnej y-kowej pr dko ci cia a w dowolnejchwili t:

0

0

( )( ) 0

0

y w

y

w

V t V g tV tV g t

= − ⋅

=

− ⋅ =

(1.57)

zatem:0

wVtg

= (1.58)

Natomiast warto Hmax wyznaczymy z równania 1.55, wstawiaj c za t warto zrównania 1.51 otrzymamy:

20

max 2VH

g=

⋅(1.59)

Druga faza rzutu to swobodny spadek cia a z wysoko ci Hmax zprzyspieszeniem równym g. Czas spadku ts cia a wyznaczymy korzystaj c ze wzoru 1.51 i wstawiaj c w

miejsce H0 nasz maksymalna wysoko2

0max 2

VHg

=⋅

, zatem:

2max 0 02 2

2sH V Vtg g g g

⋅= = ⋅ =

⋅(1.60)

Widzimy, e czas spadania cia a ts jest taki sam jak czas wznoszenia tw.Mo emy teraz obliczy ca kowity czas tc lotu cia a, który b dzie wynosi :

02c w s

Vt t tg⋅

= + = (1.61)

Rzut pionowy w dó

W tym rzucie podobnie jak w rzucie pionowym w gór wyst puje pr dkopocz tkowa V0, lecz w tym przypadku jest ona skierowana w dó , tak samo jakkierunek przyspieszenia ziemskiego g.

44

Rys. 1. 49 Faza pocz tkowa w rzucie pionowym w dó .

Rzut pionowy w dó mo emy rozpatrywa jako ruch jednostajnieprzyspieszony z przyspieszeniem równym g i pr dko ci pocz tkow ró od 0, gdydla 0 0V = mieliby my do czynienia ze spadkiem swobodnym.

Parametryczne równanie toru:2

0 0 0( ) ( )2

g ty t H V t H s t⋅= − ⋅ − = − , (1.62)

gdzie2

0( )2

g ts t V t ⋅= + jest drog w ruchu jednostajnie przyspieszonym.

Pr dko w rzucie pionowym w dó

Pr dko Vy cia a w dowolnej chwili wyznaczamy korzystaj c ze wzoru:0yV V g t= + ⋅ (1.63)

Pr dko ko cow mo emy obliczy ze wzoru:2

0 02kV V g H= + ⋅ ⋅ (1.64)

4.3.3. Rzut poziomy

Rzut poziomy to ruch w polu grawitacyjnym Ziemi, w którym mamy doczynienia z lotem cia a pocz tkowo umieszczonego na wysoko ci H0 i rzuconego zpocz tkow pr dko ci V0.

45

Rys. 1. 50 Faza pocz tkowa rzutu poziomego

Cia o wykonuje równocze nie ruch w kierunku poziomym oraz w kierunkupionowym. Pocz tkowa pr dko V0 zmienia po enie cia a w kierunku poziomym asi a grawitacji w kierunku pionowym. Rzut poziomy mo na rozpatrywa jako z eniem dwóch ruchów:r Jednostajnego w kierunku poziomym,r Jednostajnie przyspieszonego bez pr dko ci pocz tkowej (swobodnego spadku) w

kierunku pionowym.

Parametryczne równania toru:2

0( )2

g ty t H ⋅= − (1.65)

( ) xx t V t= ⋅ (1.66)Pr dko w rzucie poziomym

Je li wprowadzimy kartezja ski uk ad wspó rz dnych to:• Pr dko w kierunku osi OX b dzie si wyra wzorem:

0xV V= (1.67)• Natomiast pr dko w kierunku osi OY:

yV g t= − ⋅ (1.68)Warto pr dko ci chwilowej V w rzucie poziomym w dowolnej chwili t b dziewynosi :

2 2 2 2 20x yV V V V g t= + = + ⋅ (1.69)

Wspó rz dne rzuconego poziomo cia a w pewnej chwili t b dziemy wyra wzorami:0x V t= ⋅ (1.70)

(droga przebyta ruchem jednostajnym poziomym)2

01-2

y H g t= ⋅ ⋅ (1.71)

(droga przebytej ruchem jednostajnie przyspieszonym pionowym)

46

Przyspieszenie

W rzucie poziomym mamy do czynienia z przyspieszeniem stycznym as iprzyspieszeniem normalnym an . Zgodnie z definicja:

2

2 2 20

sdV g tadt V g t

⋅= =

+ ⋅(1.72)

Przyspieszenie normalne wyznaczymy wykorzystuj c zwi zek 2 2 2s na a g+ = , zatem:

2 2 02 2 2

0

n sg Va g a

V g t⋅

= − =+ ⋅

(1.73)

Czas trwania rzutu poziomego

Czas rzutu poziomego jest równy czasowi ka dego ruchu sk adowego.Obliczymy go jako czas swobodnego spadku z wysoko ci H0 (1.51), zatem:

02 Htg⋅

= (1.74)

Tor rzutu poziomego

Korzystaj c ze wzorów (1.65) i (1.66) mo na wyznaczy równanie toru rzutu.Na pocz tku nale y wyeliminowa ze wspó rz dnych po enia cia a czas t, zatem

przekszta camy równanie pierwsze do postaci0

xtV

= i wstawiamy do równania

(1.65). Otrzymujemy:2

0 202

gy H xV

= − ⋅⋅

(1.75)

Jest to równanie paraboli, gdzie warto ci g i V0 sta e dla danego ruchu. Zatemmo na stwierdzi , e torem rzutu poziomego jest parabola.

Zasi g rzutu poziomego

Zasi g rzutu poziomego A jest równy drodze przebytej w kierunku poziomymruchem jednostajnym w czasie t:

0 02 hA V t Vg⋅

= ⋅ = ⋅ (1.76)

4.3.4. Rzut uko ny

Rzut uko ny to ruch w polu grawitacyjnym Ziemi blisko jej powierzchni, wktórym nadaje si cia u pr dko pocz tkow skierowan do poziomu pod k tem α.Je eli pominiemy opory powietrza to ruch odbywa si ze sta ym przyspieszenie mgrawitacyjnym g. Przyspieszenie jest skierowane "w dó " to wygodnie jest wybrauk ad wspó rz dnych tak, e x b dzie wspó rz dn poziom , a y pionow .

47

Rys. 1. 51 Ilustracja rzutu uko nego.

Zauwa my, e podobnie jak w rzucie poziomym, tak i w rzucie uko nym, cia owykonuje jednocze nie ruch w poziomie i w pionie. Rzut uko ny jest z eniemdwóch ruchów:

• w kierunku poziomym ruch jednostajny z pr dko ci Vx,• w kierunku pionowym ruch jest jednostajnie zmienny (do Hmax jednostajnie

opó niony (rzut pionowy do góry z pr dko ci Vy), od Hmax jednostajnieprzyspieszony (swobodny spadek).

Parametryczne równanie toru:0( ) cosxx t V t V tα= ⋅ = ⋅ ⋅ (1.77)

2 2

0( ) sin2 2y

g t g ty t V t V tα⋅ ⋅

= ⋅ − = ⋅ ⋅ − (1.78)

Pr dko w rzucie uko nym

Sk adowe pr dko ci pocz tkowej V0 wynosz odpowiednio:0 0

0 0

cossin

X

Y

V VV V

α

α

= ⋅

= ⋅(1.79)

Natomiast warto wektora pr dko ci chwilowej:

( , )x ydx dyV V V i jdt dt

= = ⋅ + ⋅ur uur uur

, (1.80)

gdzie: 0

0

( ) cos( ) sin

x

y

V t VV t V g t

α

α

= ⋅

= ⋅ − ⋅(1.81)

Warto Vx jest sta a, gdy ruch wzd osi OX jest ruchem jednostajnym ze stapr dko ci V0. W kierunku osi OY pr dko zale y od czasu jest to ruchjednostajnie zmienny.

48

Przyspieszenie rzucie uko nym

Wektor przyspieszenia ca kowitego:

( , ) ,

0

yxx y

x

y

dVdVa a a i jdt dt

aa g

= = ⋅ + ⋅

=

= −

gdzie :

r

(1.82)

Przyspieszeni styczne:2 2

0 0( ) ( cos ) ( sin )s sdV da a t V V g tdt dt

α α= = = ⋅ + ⋅ − ⋅ (1.83)

Przyspieszenie normalne:2 2( )n n sa a t g a= = − (1.84)

Czas trwania rzutu uko nego

Czas trwania rzutu uko nego jest równy sumie czasu wznoszenia si cia a namaksymaln wysoko Hmax i czasu spadania cia a z wysoko ci Hmax.Czas wznoszenia si tw :

0

( ) 0

sin 0y w

w

V t

V g tα

=

⋅ − ⋅ =Zatem:

0 sinw

Vtg

α⋅= (1.85)

Wysoko Hmax jest maksymalna wysoko ci na jak wzniesie si cia o imo emy j obliczy korzystaj c z parametrycznego równania toru (1.78):

2

max 0( ) sin2

ww w

g tH y t V tα⋅

= = ⋅ ⋅ − (1.86)

Wstawiaj c teraz za tw warto z równania (3.33) otrzymamy:2 2

0max

sin2

VHg

α⋅=

⋅(1.87)

Czas spadku z wysoko ci Hmax :

max 02 sins

H Vtg g

α⋅ ⋅= = (1.88)

Jak widzimy, czas wznoszenia równy jest czasowi spadku. Ca kowity czas ruchudziemy oblicza ze wzoru:

02 sinc w s

Vt t tg

α⋅ ⋅= + = (1.89)

Zasi g rzutu

Do obliczenia zasi gu rzutu w rzucie uko nym, czyli drogi przebytej przez cia ow kierunku poziomym, skorzystamy z parametrycznego równania toru (1.8):

49

max ( )c x cx x t V t= = ⋅Wstawiaj c teraz odpowiednie wzory za Vx i tc otrzymamy:

20 0

max 02 sin 2 sin 2cos V Vx V

g gα α

α⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = (1.90)

Równanie toru

Rys. 1. 52 Ilustracja toru rzutu uko nego.

Tor rzutu uko nego ma kszta t paraboli skierowanej ramionami w dó i mo nago wyznaczy ze wzoru:

2

20

( )2 X

g xy x tg xV

α⋅

= ⋅ −⋅

(1.91)

4.3.5. Opis animacji

W rozdziale trzecim na pierwsz animacj na jak natrafimy jest animacjaspadku swobodnego, której wygl d mo emy zobaczy na rysunku 1.53. U ytkownikma mo liwo wyboru wysoko ci (za pomoc suwaka) z jakiej upuszczone zostajecia o. Opcje daj nam mo liwo prze ledzenia toru rzutu, obserwowania wektorapr dko ci, w czenie/wy czenie siatki pomagaj cej obserwowa zmian po eniacia a oraz przyjrzeniu si symulacji dla kilku ró nych obiektów (kulka, samochód,fortepian, rower i pi ka). W trakcie trwania animacji mo emy obserwowa czastrwania animacji, warto wektora pr dko ci oraz rysowane s wykresy: pr dko ci zjak porusza si spadaj ce cia o oraz drogi, któr to cia o przebywa. U ytkownik zapomoc przycisków "start", "pauza" i "powrót" (Rys.1.54) mo e sterowa animacj .W symulacji nie zosta uwzgl dniony opór powietrza.

50

Rys. 1. 53 Wygl d animacji spadku swobodnego.

Rys. 1. 54 Wygl d przycisków w animacji spadku swobodnego.

Nast pnymi animacjami w rozdziale trzecim s animacje rzutu pionowego wgór (Rys.1.55) oraz rzutu pionowego w dó (Rys.1.56). U ytkownik ma mo liwowyboru (za pomoc suwaków) wysoko ci z jakiej zrzucane zostaje cia o orazpr dko ci pocz tkowej. Opcje daj nam mo liwo prze ledzenia toru rzutu,obserwowania wektora pr dko ci oraz w czenie/wy czenie siatki pomagaj cejobserwowa zmian po enia cia a. Za pomoc przycisków "start", "pauza" i"powrót" (Rys.1.54) mo na sterowa animacj . W czasie trwania animacji u ytkownikmo e obserwowa chwilowe po enie cia a, warto wektora pr dko ci oraz czastrwania rzutu. W obu symulacjach nie zosta uwzgl dniony opór powietrza.

51

Rys. 1. 55 Wygl d animacji rzutu pionowego w gór .

Rys. 1. 56 Wygl d animacji rzutu pionowego w dó .

Kolejn animacj , z któr mo emy si zapozna w rozdziale trzecim jestanimacja rzutu poziomego (Rys.1.57). U ytkownik ma mo liwo wyboru (zapomoc suwaków) wysoko ci z jakiej wystrzelone zostaje cia o oraz pr dko ci

52

pocz tkowej nadawanej cia u. W trakcie symulacji u ytkownik mo e obserwowawspó rz dne poruszaj cego si cia a, czas trwania rzutu, warto pr dko Vx, Vy i Voraz przyspieszenia as i an. Dodatkowo istnieje mo liwo prze ledzenia toru rzutu,obserwowania wektorów pr dko ci V, Vx, Vy, wektorów przyspieszenia as, an, g oraz

czenia/wy czenia siatki pomagaj cej ledzi po enie poruszaj cego si cia a.ytkownik za pomoc przycisków "start", "pauza" i "powrót" (Rys.1.54) mo e

sterowa animacj . W symulacji nie zosta uwzgl dniony opór powietrza.

Rys. 1. 57 Wygl d animacji rzutu poziomego.

Ostatnia animacj , z która znajduje si w rozdziale trzecim jest animacja rzutuuko nego (Rys.1.58). U ytkownik ma mo liwo wyboru (za pomoc suwaków)wysoko ci z jakiej wystrzelone zostaje cia o oraz k t, pod którym b dzie odbywa siruch cia a. W trakcie symulacji u ytkownik mo e obserwowa wspó rz dneporuszaj cego si cia a, czas trwania rzutu, warto ci pr dko ci Vx, Vy i V orazprzyspieszenia as i an. Dodatkowo istnieje mo liwo prze ledzenia toru rzutu,obserwowaniu wektorów pr dko ci V, Vx, Vy, wektorów przyspieszenia as, an, g oraz

czenia/wy czenia siatki pomagaj cej ledzi po enie poruszaj cego si cia a.ytkownik za pomoc przycisków "start", "pauza" i "powrót" (Rys.1.54) mo e

sterowa animacj . W symulacji nie zosta uwzgl dniony opór powietrza.

53

Rys. 1. 58 Wygl d animacji rzutu uko nego.

4.3.6. Instrukcje do animacji

Na pocz tek animacja spadku swobodnego, której wygl d mo emy zobaczyna rysunku 1.53. U ytkownik za pomoc suwaka ma mo liwo ustawienia wysoko ciz której b dzie cia o upuszczane. Aby zmieni po enie suwaka naje amy na niegomyszka, przytrzymujemy lewy przycisk myszy i przesuwaj c suwak w gór albo w dózmieniamy warto wysoko ci (z zakres od 0 do 100 m). U ytkownik mo e przedrozpocz ciem symulacji wybra trzy opcje u atwiaj ce obserwowanie zachowaniacia a podczas spadku. Uaktywniamy je zaznaczaj c przy pomocy myszki bia egokwadratu obok nazwy opcji (Rys.1.59). Poka siatk wy wietla nam na ekraniepomocnicz siatk , która pomaga w obserwowaniu lotu cia a. Opcja Pokaz torpokazuje nam toru ruch pocisku od pocz tku do ko ca animacji. Ostatnia opcjaPoka wektor wy wietla nam wektor pr dko ci zmieniaj cy si podczas spadku

cia a.

Rys. 1. 59 Opcje w animacji spadku swobodnego.

Dodatkowo istnieje mo liwo wybrania z rozwijanego menu (Rys.1.60) cia a, którewe mie udzia w symulacji. Do wyboru mamy kulk , samochód, fortepian, rower ipi . Warto przetestowa animacj dla wszystkich obiektów i sprawdzi czy dlaka dego b dzie si zachowywa tak samo. Aby uaktywni nowy obiekt klikamy na

54

menu a nast pnie wybieramy interesuj cy nas obiekt. Po najechaniu myszk naniego zostaje pod wietlony na zielono i teraz klikni cie na nazwie spowoduje zmianobiektu w animacji (Rys.1.61).

Rys. 1. 60 Menu rozwijane w spadku swobodnym.

Rys. 1. 61 Animacja spadku swobodnego z innym obiektem.

Po ustawieniu interesuj cej nas wysoko ci i wybraniu odpowiednich opcjinaciskamy przycisk start , aby uruchomi animacj . W czasie jej trwania jestmo liwo zatrzymania animacji poprzez naci ni cie przycisku pauza ; animacjwznawiamy poprzez ponowne naci ni cie przycisku start . Przycisk powrót s ydo powrotu animacji do pocz tku. Wygl d przycisków mo emy zobaczy na rysunku1.54. Na rysunku 1.62 widzimy przeprowadzon animacj dla roweru upuszczonego zwysoko ci pocz tkowej 90H m= z zaznaczonymi wszystkimi 3 opcjami, tzn. pokasiatk , poka tor oraz poka wektor. Czas trwania spadku wynosi 4, 47t s= apr dko ko cowa 44,72V m= . Czerwone kropki oznaczaj tor ruchu roweru.

55

Rys. 1. 62 Zako czona animacja spadku swobodnego.

Poni ej krótka instrukcja obs ugi animacji rzutu pionowego w gór (Rys.1.55) iw dó (Rys.1.56). U ytkownik za pomoc suwaków (Rys.1.63) ma mo liwoustawienia wysoko ci (z zakresu od 0 do 100 m), z której b dziemy zrzuca cia ooraz pr dko ci pocz tkowej (od 0 do 10 m/s). Aby zmieni po enie suwakanaje amy na niego myszka, przytrzymujemy lewy przycisk myszy i przesuwaj csuwak w gór albo w dó zmieniamy odpowiednio warto . U ytkownik mo e przedrozpocz ciem symulacji wybra trzy opcje u atwiaj ce obserwowanie zachowaniacia a podczas spadku. Uaktywniamy je zaznaczaj c przy pomocy myszki bia egokwadratu obok nazwy opcji (Rys.1.59). Poka siatk wy wietla nam na ekraniepomocnicz siatk , która pomaga w obserwowaniu lotu cia a. Opcja Pokaz torpokazuje nam toru ruch pocisku od pocz tku do ko ca animacji. Ostatnia opcjaPoka wektor wy wietla nam wektor pr dko ci zmieniaj cy si podczas rzutu cia a.

W prawym górnym rogu animacji wy wietlane s warto ci po enia cia a, pr dko cioraz czasu trwania rzutu.

Rys. 1. 63 Suwaki w animacji rzutu pionowego.

Po ustawieniu interesuj cej nas wysoko ci, pr dko ci pocz tkowej i wybraniuodpowiednich opcji naciskamy przycisk start , aby uruchomi animacj . W czasie jejtrwania jest mo liwo zatrzymania animacji poprzez naci ni cie przycisku pauza ,animacje wznawiamy poprzez ponowne naci ni cie przycisku start . Przycisk

56

powrót s y do powrotu animacji do pocz tku. Wygl d przycisków mo emyzobaczy na rysunku 1.54.

Na koniec zajmiemy si animacjami rzutu poziomego (Rys.1.57) i rzutuuko nego (Rys.1.58). W obu symulacjach u ytkownik za pomoc suwaków(Rys.1.64) ma mo liwo ustawienia pr dko ci pocz tkowej, z jak b dziemywystrzeliwa cia o oraz w rzucie poziomy wysoko ci (z zakresu 0 100 m) a w rzucieuko nym k ta (od 0 do 90o), pod którym b dzie si porusza cia o. Aby zmienipo enie suwaka naje amy na niego myszka, przytrzymujemy lewy przycisk myszyi przesuwaj c suwak w prawo albo w lewo zmieniaj c odpowiednio warto .

ytkownik mo e przed rozpocz ciem symulacji wybra trzy opcje u atwiaj ceobserwowanie zachowania cia a podczas spadku. Uaktywniamy je zaznaczaj c przypomocy myszki bia ego kwadratu obok nazwy opcji (Rys.1.59). Poka siatkwy wietla nam na ekranie pomocnicz siatk , która pomaga w obserwowaniu lotucia a. Opcja Pokaz tor pokazuje nam toru ruch pocisku od pocz tku do ko caanimacji. Ostatnia opcja Poka wektor wy wietla nam wektor pr dko ci V, Vx, Vy,przyspieszenia as, an, g lub pomocnicze linie wspó rz dnych x, y.

Rys. 1. 64 Wygl d suwaków w rzucie poziomym i rzucie uko nym.

Dodatkowo istnieje mo liwo wybrania z rozwijanego menu (Rys.1.65)wielko ci, które chcemy obserwowa w czasie trwania animacji. Do wyboru mamywspó rz dne, pr dko i przyspieszenie. Aby uaktywni nowa warto klikamy namenu a nast pni wybieramy interesuj cy nas obiekt. Po najechaniu myszk na niegozostaje pod wietlony na zielono i teraz klikni cie na nazwie spowoduje zmianobserwowanych warto ci (Rys.1.61).

57

Rys. 1. 65 Rozwijane menu w rzucie poziomym i uko nym.

Po ustawieniu interesuj cej nas parametrów i wybraniu odpowiednich opcjinaciskamy przycisk start , aby uruchomi animacj . W czasie jej trwania jestmo liwo zatrzymania animacji poprzez naci ni cie przycisku pauza , animacjewznawiamy poprzez ponowne naci ni cie przycisku start . Przycisk powrót s ydo powrotu animacji do pocz tku. Wygl d przycisków mo emy zobaczy na rysunku1.54. Przeprowad my teraz symulacj rzutu uko nego dla pr dko ci pocz tkowej

0 233 mVs

= , k ta 45α = o , z zaznaczonymi wszystkimi trzema opcjami, tzn. Poka

wektor , Pokaz tor oraz Poka siatk . Dodatkowo b dziemy obserwowa wektorypr dko ci. Faz przej ciow mo emy zobaczy na rysunku 1.66, gdzie widzimywektory pr dko ci V, Vx, Vy oraz obliczane warto ci pr dko ci. Ko cowe stadiumanimacji obserwujemy na rysunku 1.67, gdzie widzimy ca y tor ruchu cia a (czerwonekropki) , obliczone warto ci Czasu rzutu , Zasi gu rzutu , Maksymalnej wysoko cijak osi gnie cia oraz warto ci ustawione przed animacja: Pr dko cipocz tkowej oraz ta nachylenia .

Rys. 1. 66 Faza przej ciowa w rzucie uko nym.

58

Rys. 1. 67 Faza ko cowa w rzucie uko nym.

4.4. Dodatki

W ostatnim rozdziale zamykaj cym stron znajduj si 4 podrozdzia y:o Autor informacje o autorze: Imi , nazwisko, e-mail oraz prosty formularz,

który umo liwia wys anie to twórcy strony e-maila.o Legenda zawieraj ca opis i znaczenie u ytych oznacze na stronie.o Dodatek A zawieraj cy podstawowe i rozszerzone jednostki uk adu S.,o Literatura spis ksi ek i odno ników do stron internetowych, które

wykorzystano przy realizacji praca dyplomowej.

59

5. Podsumowanie

ównym celem niniejszej pracy dyplomowej by o opracowanie lekcjikinematyki ze wspomaganiem komputerowym. Zrealizowano go poprzez stworzeniewitryny, na której znalaz y si animacje typowych zjawisk kinematycznych. Uwa am,e przygotowany materia sprawdzi yby si , jako dydaktyczna pomoc, na lekcjach

fizyki, poniewa oprócz teoretycznych informacji uczniowie mogliby wykonywaeksperymenty komputerowe pos uguj c si zawartymi w pracy programami dosymulacji podstawowych rodzajów ruchów. Nie w ka dej szkole uczniowie inauczyciele maj dost p do odpowiednio wyposa onego laboratorium i niekiedylekcje fizyki opieraj si na samej teorii i szeregu wzorów bez mo liwo ci przyjrzeniasi bli ej omawianym zagadnieniom szczegó owym. Ponadto niektóre w ciwo cizjawisk dotycz cych ruchu cia s bardzo trudne do zaobserwowania bezzastosowania drogiej aparatury. Dzi ki opracowanym i zaprogramowanymanimacjom, które zamie ci em na stronie, ka dy zainteresowany ucze i nauczyciel

dzie móg przeanalizowa zachowanie si pocisku wystrzelonego z pistoletu podró nymi k tami, obserwowa jak zmienia si pr dko pionowa, pozioma albo te jakzachowuj si wektory przyspieszenia stycznego, normalnego czy te ca kowitego.

Uwa am, e po zapoznaniu si z teori oraz po przetestowaniu animacji, np.spadku swobodnego dla kilku ró nych cia , ka dy b dzie wiedzia , e pi ka i rowerupuszczone z tej samej wysoko ci uderz o ziemie równocze nie (o ile tylko nieuwzgl dniamy oporów powietrza). Opracowana strona b dzie równie pomocna przyrozwi zywaniu zada przez uczniów, poniewa o wiele atwiej b oni moglirozwi za zadanie z kinematyki, je li oprócz koniecznego wyobra enia sobie zjawiskaruchu b mieli mo liwo zobaczenia analizowanego ruchu i dodatkowego jegotestowania dla ró nych danych pocz tkowych. W tym sensie opracowane animacjepozwalaj na rozwi zywanie typowych zada z kinematyki ruchu jednowymiarowegoi dwuwymiarowego. Dla niektórych uczniów oka e si to niezwykle pomocne ipozwoli na jeszcze lepsze rozumienie podstaw kinematyki.

Rozdzia

5

60

6. Literatura i odno niki do stron

[1] Maria Sokó , ABC j zyka HTML , Wydawnictwo Helion, Gliwice, 2002;[2] Laura Lemay, HTML 4.Vademecum profesjonalisty , Wydawnictwo Helion, Gliwice, 1998;[3] http://pl.html.net/tutorials/css/lesson1.asp[4] Jay Oread, Fizyka Tom 1, WNT, Warszawa 1998;[5] Krzysztof Jezierski, Bogumi Ko odka, Kazimierz Siera ski, Fizyka: Wzory i prawa z obja nieniami , Oficyna wydawnicza scripta, Wroc aw, 1997;[6] Krzysztof Jezierski, Kazimierz Siera ski, Izabela Szlufarska, Fizyka: Repetytorium zadania z rozwi zaniami , Oficyna wydawnicza scripta, Wroc aw, 1997;[7] Hugh D. Young, Roger A. Freedman, University Physic , Addison Wesley Longman, 2000;[8] http://www.ftj.agh.edu.pl/~kakol/efizyka/;[9] Wyk ady prof. W. Salejdy;[10] http://daktik.rubikon.pl[11] http://fizzyka.webpark.pl;[12] http://www.superfizyka.za.pl;[13] http://fizyka.org;[14] Brian Underadhl, Flash MX : programowanie w j zyku ActionScript , Wydawnictwo Helion, Gliwice, 2002;[15] Brian Underdahl, Flash MX: od podstaw , Wydawnictwo Helion, Gliwice, 2002;[16] Katherine Ulrich, Flash MX 2004 , Wydawnictwo Helion, Gliwce, 2004;[17] Daniel Bargie , Flash MX 2004 : ActionScript : wiczenia praktyczne , Wydawnictwo Helion, Gliwice, 2005;[18] Sham Bhangal, Jen deHaan, Flash MX2004: Same konkrety , Wydawnictwo MIKOM, Warszawa, 2004;[19] Derek Franklin, Brookes Patron, Flash 5: Sztuka tworzenia , Wydawnictwo Helion, Gliwice, 2001;[20] Eric E. Dolecki, Flash: Super samuraj , Wydawnictwo Helion, Gliwice, 2002;[21] http://pl.wikipedia.org;[22] http://fizyka.kopernik.mielec.pl;[23] http://members.shaw.ca/mathematica/ahabTutorials/index.html;[24] http://www.pixel2life.com/tutorials/macromedia_flash/;[25] http://www.math.tamu.edu/~dallen/physics/index.htm[26] http://pl.html.net/[27] http://sindirela3.webpark.pl/

Rozdzia

6

61

7. Spis rysunków

Rys. 1. 1. Wygl d strony w edytorze HTML...........................................................................6Rys. 1. 2. Witryna bez u ycia stylów. .....................................................................................8Rys. 1. 3. Strona, na której u yto arkusza stylów CSS.............................................................8Rys. 1. 4 Menu g ówne strony. .............................................................................................10Rys. 1. 5. Rozwini te menu g ówne. .....................................................................................11Rys. 1. 6 Prosty system nawigacyjny. ...................................................................................11Rys. 1. 7 Lewa strza ka nawigacyjna. ...................................................................................12Rys. 1. 8 Prawa strza ka nawigacyjna. ..................................................................................12Rys. 1. 9 Graficzna interpretacja wektora..............................................................................15Rys. 1. 10 Ilustracja kierunku wektora. .................................................................................15Rys. 1. 11 Ilustracja zwrotów wektora. .................................................................................16Rys. 1. 12 Ilustracja definicji iloczynu skalarnego. ...............................................................17Rys. 1. 13 Rzut wektora b

rna wektor a

r.................................................................................17

Rys. 1. 14 Rzut wektora ar

na wektor br

.................................................................................18Rys. 1. 15 Ilustracja iloczynu wektorowego. .........................................................................19Rys. 1. 16 Ilustracja iloczynu mieszanego.............................................................................20Rys. 1. 17 Wygl d animacji rzutu wektora na uk ad wspó rz dnych. ....................................21Rys. 1. 18 Wygl d animacji dodawania wektorów o zgodnych zwrotach. .............................21Rys. 1. 19 Wygl d animacji dodawania wektorów o przeciwnych zwrotach. ........................22Rys. 1. 20 Wygl d animacji przedstawiaj cej dodawanie wektorów metod trójk ta. ...........22Rys. 1. 21 Wygl d animacji przedstawiaj cej dodawanie wektorów metod równoleg oboku..............................................................................................................................................22Rys. 1. 22 Wygl d animacji odejmowania wektorów. ...........................................................23Rys. 1. 23 Wygl d animacji iloczynu skalarnego. .................................................................23Rys. 1. 24 Wygl d animacji iloczynu wektorowego..............................................................24Rys. 1. 25 Wygl d animacji iloczynu mieszanego.................................................................24Rys. 1. 26 Wygl d suwaków w animacji rzutu wektora na uk ad wspó rz dnych. .................25Rys. 1. 27 Wygl d suwaka poziomego do ustawiania k ta. ...................................................25Rys. 1. 28 Tabela obliczaj ca iloczyn mieszany. ...................................................................26Rys. 1. 29 Interpretacja graficzna pr dko ci..........................................................................27Rys. 1. 30 Interpretacja graficzna przyspieszenia. .................................................................28Rys. 1. 31 Wykres pr dko ci od czasu w ruchu jednostajnie prostoliniowym. .......................29Rys. 1. 32 Wykres drogi od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym ............................30Rys. 1. 33 Wykres przyspieszenia od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym. ............30Rys. 1. 34 Wykres przyspieszenia od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym................31Rys. 1. 35 Wykres przyspieszenia od czasu w ruchu jednostajnie opó nionym. ....................31Rys. 1. 36 Pr dko w ruchu jednostajnie zmiennym a) przyspieszonym, b) opó nionym. ....32Rys. 1. 37 Wykres drogi w jednostce czasu w ruchu jednostajnie zmiennym a)przyspieszonym, b) opó nionym...........................................................................................32Rys. 1. 38 Ilustracja ruchu po okr gu....................................................................................33

Rozdzia

7

62

Rys. 1. 39 Ilustracja pr dko ci k towej. ................................................................................34Rys. 1. 40 Wygl d animacji ruch po okr gu..........................................................................37Rys. 1. 41 Wygl d animacji drgania harmoniczne.................................................................37Rys. 1. 42 Wygl d suwaków w animacji ruchu po okr gu.....................................................38Rys. 1. 43 Wygl d suwaków w animacji drga harmonicznych. ...........................................38Rys. 1. 44 Wygl d zako czonej animacji drga harmonicznych. ..........................................39Rys. 1. 45 Faza pocz tkowa spadku swobodnego .................................................................39Rys. 1. 46 Pr dko i przyspieszenie ziemskie w rzucie pionowym w gór ...........................41Rys. 1. 47 Pr dko w rzucie pionowym w gór . ..................................................................42Rys. 1. 48 Wykres po enia cia a od czasu. .........................................................................42Rys. 1. 49 Faza pocz tkowa w rzucie pionowym w dó .........................................................44Rys. 1. 50 Faza pocz tkowa rzutu poziomego.......................................................................45Rys. 1. 51 Ilustracja rzutu uko nego. ....................................................................................47Rys. 1. 52 Ilustracja toru rzutu uko nego. .............................................................................49Rys. 1. 53 Wygl d animacji spadku swobodnego..................................................................50Rys. 1. 54 Wygl d przycisków w animacji spadku swobodnego. ..........................................50Rys. 1. 55 Wygl d animacji rzutu pionowego w gór ............................................................51Rys. 1. 56 Wygl d animacji rzutu pionowego w dó . ............................................................51Rys. 1. 57 Wygl d animacji rzutu poziomego. ......................................................................52Rys. 1. 58 Wygl d animacji rzutu uko nego. ........................................................................53Rys. 1. 59 Opcje w animacji spadku swobodnego. ................................................................53Rys. 1. 60 Menu rozwijane w spadku swobodnym. ...............................................................54Rys. 1. 61 Animacja spadku swobodnego z innym obiektem. ...............................................54Rys. 1. 62 Zako czona animacja spadku swobodnego. .........................................................55Rys. 1. 63 Suwaki w animacji rzutu pionowego. ...................................................................55Rys. 1. 64 Wygl d suwaków w rzucie poziomym i rzucie uko nym......................................56Rys. 1. 65 Rozwijane menu w rzucie poziomym i uko nym..................................................57Rys. 1. 66 Faza przej ciowa w rzucie uko nym.....................................................................57Rys. 1. 67 Faza ko cowa w rzucie uko nym. ........................................................................58