UYUPANAS Y KIPUS NUMRICOS:OPERACIONES ARITMTICAS EN EL SISTEMA UYUPANA-KIPUResumenEl trabajo tiene como finalidad, demostrar con distintos ejemplos y con diferentes mtodos y tcnicas, las operaciones de aritmtica bsica: jakhthapi (suma), jakhuqa (resta), miratataya (multiplicar) y miraqaya (divisin) con la herramienta de la matemtica ancestral uyupana-kipu, y con la nomenclatura del sistema decimal (base 10). En la exposicin, slo nos limitaremos a mostrar tres mtodos de cada uno, aunque existen diversos mtodos como uyupanas que existen, cada uno con sus propias particularidades. Tambin demostraremos con ejemplos la naturaleza dual, simtrico y complementaria, que existe entre la uyupana y el kipu, y en trminos matemticos diramos existe una relacin biunvoca, una suerte de binomio indivisible, y desde ah proyectar y entender con nuestra propia visin, el thaki y el sarawi, lo que nosotros hemos denominado la Matemtica Aymaru tiwanakota. La funcionalidad de los primeros kipus es almacenar datos numricos generados de las uyupanas. Pero ms de 80% del cuerpo del kipu constituy para aplicaciones de naturaleza no matemtico o no numrico, entonces, definir un kipu como un dispositivo de clculo es ignorar el 80% de su misin o aplicacin .Es como si alguien se rehusara a creer que la mayor parte del tmpano de hielo o un iceberg yacen ocultos bajo el agua.A MANERA DE INTRODUCCINCuando nos propusimos realizar el trabajo Un intento de Filosofa de la Matemtica aymaru tiwanakota Nos hicimos una serie de interrogaciones, entre las cuales tenamos las siguientes: Cul es la naturaleza del proceso de aprendizaje, de las operaciones bsicas en matemtica? Cmo fueron los inicios para desarrollar el pensamiento matemtico en Tiwanaku? Qu lgica utilizaron nuestros abuelos aymara tiwanakotas? Cmo realizaban las operaciones bsicas de aritmtica: suma, resta, multiplicacin y divisin? Hoy esta cuestin nos obliga a formular otras interrogantes, que vienen a ser copartcipes de esta preocupacin: Qu herramientas lgicas usaron para lograr con xito dichas operaciones? Qu mtodos, estrategias y tcticas desarrollaron? Posiblemente podramos citar un sin nmero de elementos, herramientas y mtodos desarrollados por los antiguos aymara tiwanakotas. Luego de la llegada de los europeos a Abya Yaala (Tierra Nueva), hace ms de 500 aos, muchos de los conocimientos la cultura ancestral, era una incgnita para los europeos, mientras para nosotros los aymaras la ciencia desarrollada segua su cauce, aunque con altibajos. Aunque para muchos el funcionamiento del sistema uyupana-kipu es desconocido, pro s sabemos que los matemticos aymara tiwanakotas, tendieron gran diversidad en tamao y forma, mtodos y estrategias, sistemas y lgicas, para las operaciones matemticas. La investigacin se justificada, porque hace milenios atrs, primero en Tiwanaku y posteriormente en el Tawa Inti Suyu (Tawantinsuyu) floreca una matemtica y escritura bastante desarrollada, poco o nada se comprende de ese saber milenario. Los uyupanas y los kipus, es mencionado en la memoria oral, en los relatos de los cronistas, y aparecen en los archivos de las grandes bibliotecas, pero muchos de ellos slo son relatos o descripciones superficiales sin pruebas ni demostraciones. Tambin sabemos que existieron personas especializadas para los clculos, que manipulaban hbilmente el sistema uyupana-kipu, llamados kipuqamayunaka. El sistema uyupana-kipu, con toda su aparente complejidad, ha tenido amplia gama de usos y aplicaciones, desde los registros estadsticos, numricos, verbo numricos e incluso relatos verbales. En este sentido, en la investigacin, realizaremos un recorrido por los laberintos del sistema uyupana- kipu, que dentro de la clasificacin nuestra, pertenecera a los uyupanas y kipus numricos . La bsqueda de lo que llamamos hoy Matemtica Aymaru tiwanakota y su real vigencia en el inicio del Siglo XXI, es un desafo que nos impulsa a reactualizar saberes ancestrales, que an, hoy en da siguen teniendo vigencia en muchos lugares del Qulla Suyu. Es este contexto, que nos llev a recorrer por las vas abiertas de la historia de los uyupana-kipu, para profundizar y sistematizar el manejo de los uyupanas y kipus. Entonces, el objetivo de la investigacin, es demostrar con distintos ejemplos y con diferentes mtodos y tcnicas, las operaciones de aritmtica bsica: jakhthapi (suma), jakhuqa (resta), miratataya (multiplicar) y miraqaya (divisin) con la herramienta de la matemtica ancestral uyupana-kipu, y con la nomenclatura del sistema decimal (base 10) . En la exposicin, slo nos limitaremos a mostrar tres mtodos de cada uno, aunque existen diversos mtodos como uyupanas que existen, cada uno con sus propias particularidades. En la investigacin se utiliz varias metodologas: la experimental, porque realizamos operaciones experimentalmente utilizando los mismos uyupanas y semillas, piedrecillas, e hilos para entretejer los kipus, tambin recurrimos a mtodos de deduccin y induccin para demostrar la viabilidad de las operaciones, y para averiguar la parte histrica, aprovechamos la metodologa de la oralidad . Tambin quiero manifestar mis agradecimientos, a los estudiantes de la Carrera de Ciencias Matemticas de la UTA (Universidad Indgena Tawantinsuyu Ajlla), en especial a los de cuarto semestre, porque, junto con ellos experimentamos y descubrimos la mayora de los mtodos y formas operacionales en el sistema uyupana-kipu, e incluso muchos de ellos me ensearon ha realizar, los distintos nudos (hembra y macho) para urdir los kipus. ALGO DE HISTORIAEntre las primeras referencias que se tienen de los uyupanas y kipus, estn su naturaleza numrica, verbo numrico y de orden narrativo o histrico. Pues nuestros abuelos usaron para registrar: datos numricos (estadstica, informacin censal, operaciones matemticas), acontecimientos histricos, depsito de tesoros, acontecimientos relacionados con la astronoma entre otros. Y aproximadamente 500 kipus sobrevivieron dispersos a la cada de la cultura incaica, en diversos museos del mundo, por ejemplo, el kipu ms grande del mundo registrado por los Archer, de la Coleccin Pery Dauelsberg Arica Chile, tiene 1800 cuerdas colgantes. Otro dato interesante, la literata francesa de nombre Francisca de graffigny del siglo XVII, en su novela la Princesa Incaica, enviaba a su prometido heredero al trono de los Incas, cartas y mensajes de amor en kipus (Radicati, 1979, 51). La mayora de los investigadores, siempre han estudiando por separado la temtica de los kipus y uyupanas, quizs an no se han envuelto de la atmsfera o las estructuras lgicas del pensamiento aymaru tiwanakota, pues las categoras lgicas del hombre andino es diferente a la del hombre occidental europeo; el andino est empapado por la lgica como de la ciclicidad, la reflexin recproca inversa, la complementariedad de los opuestos con sus respectivas simetras, asimetras, cosimetras o antisimetras. Justamente para entender la herramienta lgica del sistema uyupana-kipu, necesariamente debemos recurrir a la lgica del pensamiento indgena, en especial las dualidades complementarias. En aymara decimos kunas payapuniwa, nada es suelto siempre tiene su complemento, las complementariedades sean asimtricas. Nosotros afirmamos que entre la uyupana y el kipu, existe una relacin biunvoca, una suerte de binomio indivisible, as lo demuestra el famoso dibujo del cronista Waman Poma de Ayala. UYUPANA-KIPU: EL BINOMIO INDIVISIBLEDon Waman Poma, con este dibujo nos da una gran leccin, sobre la lgica y forma de pensar andino, en el sentido de que, para hablar de la temtica de los uyupanas y kipus, debemos tratar juntamente ambos en forma ntegra, porque ambos se complementan. En la figura el kipuqayu Curaca Cndor Chawa, sujeta un kipu y en la parte inferior del cuadro est dibujado una figura matricial, con celdas llenas de puntos blanco y negros, que es justamente la uyupana. La escena nos muestra claramente de la relacin biyectiva y isomrfica, entre uyupana y kipu, adems el cuadro nos ensea, que entre la uyupana y el kipus son un binomio inseparable, y encaja perfectamente dentro del pensamiento aymaru tiwanakota, porque se ajusta dentro de la categora reflexin recproca y complementaria cosimtrica. UYUPANA, KIPU Y SU SIGNIFICADOPara comprender el significado de ambos trminos, necesariamente tenemos que remontaremos a esferas duales de la reflexividad Aymara, en la cual un objeto tiene la capacidad de reflejar su identidad propia, y toda identidad es el reflejo biyectivo, que en la lengua diramos Kipka o kipkaki (lo mismo de, idntico a). El reflejo es el proceso en el que un ente genera otro ente diferente, y son equivalentes o semejantes, en el lenguaje de lgebra moderna expresaramos, que entre: uyupana y kipu gozan de la propiedad isomorfismo, y la reflexividad, no es ajeno al mundo aymara . Al realizar un anlisis lingstico del trmino uyupana, vemos claramente, la relacin directa con el uyu (corral). Si sumamos al ncleo uyu la partcula pa, tenemos uyupa que significa su corral, si adicionamos el sufijo na, significa en su corral, y si seguimos aumentado otra partcula ki, tenemos uyupanaki, que significara en su corral siempre, para mejor detalle (Ver el siguiente cuadro y tambin ver la Figura No. 2)UYU = Significa corral, recinto cercado o cerradoUYU + PA = Al sumar la partcula PA, Significa su corralUYU + PA + NA = Al sumar las partculas PA y NA Significa en su corral UYU + PA + NA + KI = Al sumar las partculas PA, NA y KI Sig. En su corral siempre UYUPANKI = Elisin en la Partcula NA, la letra A.YUPANA = Elisin de la primera letra u , como se conoce actualmenteIncluso, actualmente existen apellidos con uyupanaki, castellanizados se pronuncia yupanqui y, bajo ese nombre rigieron los incas: Cpac Yupanqui, Pachacuti Inca Yupanqui, Tupac Yupanqui, y otros. Entonces podemos concluir, que en el mundo andino, los primeros contadores, estadistas, inclusive la misma matemtica y los matemticos surgieron en el uyu. EL UYUPANKI (YUPANQUI) CONTANDO LAS LLAMAS EN LA ENTRADA DE UYU O CORRAL

El dibujo es una elaboracin propia en base a la tradicin oral de nuestros achach-illanaka (abuelos), en la escena vemos la entrada de paqinaka (llamas) al uyu (corral), y en la entrada del uyu, el Uyupanki realiza el recuento de animales, si nos imaginamos que al uyu tienen que entrar cientos o incluso miles de llamas, con seguridad, la persona encargada de tal labor, tendra que quedarse varias horas, a tal punto que nuestro contador se tuvo que quedar bajo el apelativo de constantemente est en el corral que justamente significa el trmino uyupanki. Y lingsticamente la partcula aymara panki enfatiza la posicin espacial, p.ej. cuando decimos utapanki significa siempre en su casa, markapanki expresa continuamente est en su pueblo, yapupanki denota constantemente en su sembrado. Y el trmino kipu deriva de jaqi aru o jaya mara, kipkaki que quiere decir, Idntico a o lo mismo a. Para justificar lo afirmado demostraremos con ejemplos, ms adelante. Para concluir dira, que el kipu es una rplica, una especie de calco, un duplicado isomorfo de uyupana, una abstraccin, con el cual el kipu qamaya contribuye a dinamizar el desarrollo funcional de la escritura numrica. (Ver en la siguiente tabla)KIPKAKI = Significa lo mismo o idntico aKIKIPA = Tambin significa lo mismo o idntico a KIPKA = Tambin significa lo mismo o idntico a KIPUK = Elisin en la vocal a.KIPU = Elisin y sustitucin de vocales y consonantes.QUIPU = Totalmente castellanizada, como se conoce actualmenteDesde que la humanidad empez a contar se asumi que los nmeros correspondan a cantidades reales u objetos tangibles. Sabemos que los nmeros pueden ser sumados, restados, multiplicados o divididos; por ejemplo en la escena de la Figura No. 2, el personaje efecta el conteo de las llamas. A medida que la sociedad andina fue creciendo, se innova reglas y normas convencionales para el manejo de las cifras. De esta manera, los kipkaqamayus, crearon las reglas de uyupana y kipu isomrficamente y entendemos los problemas que tuvieron, que resolver los primeros kipu qamayas y, fueron primordialmente matemticos.Los matemticos del antao se valieron de los kipus, para almacenar y conservar la informacin, si hiciramos la analoga con los actuales mecanismos informticos: disco magntico, CDs, DVDs, cintas magnticas, memorias USB, donde se acopia informacin, para preservar en el tiempo, y tambin para ser re-ledos, en otros lugares y en otros tiempos. Los humanidad siempre tiende a salvaguardar la informacin de su tiempo, y hoy no hemos cambiado esa conducta. Los mayas se valieron de los cdices cincelado en piedra, los egipcios acudieron al papiro, los sumerios recurrieron a las tablillas de arcilla cocida, y la tableta del rey de Lagsh son los relieves ms famosos, y nuestros abuelos tiwanakotas se valieron del tejido, porque el know-how del tejido era la ocupacin ms desarrollada y divulgada en los Andes. En tal caso, el kipu es un sistema de soporte informtico, y es probable que en su tiempo el kipu haya sido una herramienta idnea para alcanzar la sinergia operativa de la informacin.ANATOMIA BSICA DE UYUPANA Y KIPULa uyupana es una estructura matricial con vectores fila, columna y diagonal, conformada por clulas o celdas, que en aymara decimos tambin uyu. Pero dependiendo de la funcionalidad que cumplan, las uyupanas varan en forma, tamao y diseo, as del mismo modo los mtodos y lgicas operativas varan. Existen uyupanas con estructuras escalonadas descendente y ascendente, algunos con simetras complementarias, otras con cosimetras recprocas. Y los materiales tambin varan, as por ejemplo hay uyupanas, hecha de: arcilla, piedra, madera e incluso en tejido. Algunos con acoplamientos, donde se colocaban semillas, piedrecillas, granos de maz y que servan para facilitar las diferentes operaciones matemticas.Mientras que el kipu su par complementario, consta de un cordn o cuerda principal retorcida, en algunos casos las cuerdas principales se remplazaban por maderas talladas o metales repujados. Del hilo principal cuelgan otros hilos, llamados cuerdas secundarias, muchos de ellos, eran de uno, dos y tres combinaciones de colores. Esta cuerdas secundarias en forma transversal van unidas a la cuerda gruesa, otras ms delgadas cuya longitud en algunas ocasiones llega a unos 50 cm. El nmero de estas cuerdas colgantes puede ser desde una a cien o ms dependiendo de la cantidad de datos. Su colocacin con respecto al cordn principal puede estar direccionada, hacia abajo o hacia arriba de modo opuesto al mismo tiempo. Algunas cuerdas colgantes tienen bifurcaciones, trifurcaciones o tetrafurcaciones que en aymara se conoce como qallu o qalluni. La distribucin de las cuerdas colgantes es casi homognea, unidas entre s, y a veces separadas por distancias mnimas, en las cuerdas colgantes coexisten los nudos de diferentes forma, apariencia, estructura y tamao, y los mismos estn estacionados o ubicados a una distancia sincronizada y de una manera lgica, aymara a los nudos se dice qachu chino y urqu chino, nudo hembra y macho. Los nudos de una cuerda pueden representar uno o varios nmeros en el sistema posicional de base 10, pues, tienen un ordenamiento de en grupos de diez. O sea, el 452 equivale a 400 + 50 + 2. Un aspecto importante que debemos tomar en cuenta es el cero, el cero es un nmero virtual, pues ocupa una posicin a la que podemos llamar vacio o nada veamos la cuerda que contiene al 40, slo vemos cuatro nudos, pero, por la posicin que ocupan y por una convencin que asumimos en la interpretacin determinamos que esos nudos equivalen a 4 decenas. Otro ejemplo podemos obtener en la cuerda que contiene al 409. Slo vemos los cuatro nudos que estn cerca del cordn principal y nueve en la parte inferior, luego una vez ms vemos que, el cero, est representada con la ausencia de un nudo o un grupo de nudos en el lugar que correspondera a las decenas. Cromatismo del kipu. Por lo que toca al cromatismo de los kipus numricos, en algunos casos no es necesario la variable color, aunque los cronistas nos dan una lista de colores. Ellos sealan, en primer lugar, el empleo del color natural (marrn en sus tonalidades, clara y oscura) que es propio del material (lana o algodn), mencionan luego, los colores obtenidos del teido, como blanco, rojo, morado, pardo, amarillento pajizo, verde, carmes. Elemento nudo. Son sucesiones que encadenan con un vector direccional sobre una lnea sinuosa imaginaria que podemos llamar lnea o hilo de lectura. Los nudos tambin tiene su complementariedad, existen nudos hembras y machos en lengua aymara decimos: qachu chinu y urqu chinu como se puede apreciar en figura

La nomenclatura de los chinunaka (nudos)Que representan a los nmeros de 0 a 9

JAKHTHAPIA (SUMAR) EN SISTEMA UYUPANA-KIPUExisten varias expresiones para designar el verbo sumar en aymara, aqu daremos algunos trminos: mayachthapia, qutuchthapia y el ms adecuado sin duda es el trmino jakhthapia, porque tiene relacin con el origen mtico de los nmeros y con el inicio de la teora de los nmeros. Nuestros antepasados realizaban las operaciones de suma, de diferentes formas y estilos, para cada forma de uyupana disponan distintos mtodos, para conseguir los resultados, es esta exposicin slo demostraremos algunos mtodos, pero podemos mencionar:

Saytut jakhthapia (suma forma vertical) Iraramat jakhthapia (suma forma horizontal) Iiraramat patill patill jakhthapia (suma forma horizontal escalonada) Saytut patill patill jakhthapia (suma forma vertical escalonada) Purapat patill patill jakhthapia (suma forma diagonal escalonada) Pusi chiqat patill patill jakhthapia (suma forma tetradiagonal escalonada)Para realizar operaciones, usaremos la numeracin con smbolos indo arbigos, pues usualmente las operaciones en uyupana se realizaban con semillas, frutos, piedrecillas o pequeos objetos tallados en madera o en hueso.1 FORMA: SAYTUT JAKHTHAPIA (SUMA FORMA VERTICAL)Uyupana que tiene la forma vertical/rectangular, generalmente este tipo de uyupanas se usaban para realizar operaciones de suma y resta. Dentro su estructura matricial, la operacin de adicin se realiza de la siguiente manera: las cifras a sumar (sumandos) se anotan en las ltimas columnas de la izquierda de la uyupana, de arriba hacia abajo. Las operaciones auxiliares se anotan en las siguientes columnas, y luego la suma total se anota en la ltima columna.

JAKHTHAPIANI (SUMAREMOS): 9547 + 3978 = 13525

Operaciones:1) Dibujamos la uyupana2) Anotamos las cifras a sumar verticalmente3) Sumamos las cifras 3 + 9 = 12 y anotamos en forma diagonal.4) Sumamos las cifras 9 + 5 = 14 y anotamos en forma diagonal5) Sumamos las cifras 7 + 4 = 11 y anotamos en forma diagonal6) Sumamos las cifras 8 + 7 = 15 y anotamos en forma diagonal7) Sumamos las cantidades parciales, que es igual a 13 5258) Finalmente registramos en un kipka o kipu.2 FORMA: IRARAMAT PATILL PATILL JAKHTHAPIA (SUMA FORMA HORIZONTAL ESCALONADA)Uyupana que tiene la forma horizontal/rectangular, y en las esquinas con celdas escalonadas en forma ascendente, generalmente este tipo de uyupanas se usaban para realizar operaciones de suma y resta. Las cifras a sumar (los sumandos) se anotan en las celdas escalonadas en forma ascendente. Vale decir, los millares en la base, seguido por las centenas, decenas y unidades, las operaciones auxiliares se anotan en los vectores fila, y la suma total aparece en la ltima fila. Y para denotar en el sistema kipu, las cifras a sumar se anudan en cuerdas con direccin contraria a las otras cuerdas

JAKHTHAPIANI (SUMAREMOS): 4678 + 7459 = 12237Operaciones:1) Dibujamos la uyupana escalonada2) Anotamos las cifras a sumar3) Sumamos las cifras 4 + 7 = 11 y anotamos en forma diagonal descendente4) Sumamos las cifras 6 + 4 = 10 y anotamos en forma diagonal5) Sumamos las cifras 7 + 5 = 12 y anotamos en forma diagonal6) Sumamos las cifras 8 + 9 = 17 y anotamos en forma diagonal7) Sumamos las cantidades parciales, que es igual a 12 2378) Finalmente registramos en un kipka o kipu.

3 FORMA: PURAPAT PATILL PATILL JAKHTHAPIA (SUMA FORMA DIAGONALESCALONADA)Uyupana que tiene la forma vertical/rectangular, en las esquinas superiores, tiene celdas escalonadas en forma ascendente, estas uyupanas se utilizaban para operaciones de suma y resta.Para realizar la suma, la cifras a sumar (sumando) se anotan en las celdas escalonadas en forma ascendente (los millares en la base, seguido por centena, decenas y en la ltima celda las unidades), luego las operaciones parciales se anotan en la parte intermedia de la uyupana, y la suma toral es el producto de las sumas parciales. Para luego almacenar dicha operacin en un kipu, en el kipu las cifras (sumandos) se marca con hilo orientados hacia arriba, o con otros colores distinto a las otras

JAKHTHAPIANI (SUMAREMOS): 378 + 963 =1341

Operaciones:1) Dibujamos la uyupana escalonada2) Anotamos las cifras a sumar3) Sumamos las cifras 8 + 3 = 11 y anotamos en forma diagonal ascendente4) Sumamos las cifras 7 + 6 = 13 y anotamos en forma diagonal5) Sumamos las cifras 3 + 9 = 12 y anotamos en forma diagonal6) Sumamos las cantidades parciales, que es igual a 13417) Finalmente registramos en un kipka o kipu.

4 FORMA: PUSI CHIQAT PATILL PATILL JAKHTHAPIA (SUMA FORMA TETRADIAGONAL ESCALONADA)Uyupana cuadrangular en forma escalonada en las cuatro esquinas en ascendente, este tipo de uyupanas se empleaban para sumar cantidades de: dos, tres y cuatro cifras.Las cantidades a sumar se anotan en las esquinas escalonadas, y las operaciones se anotan en los vectores fila y columna, que quedan en el medio, para marcas en el kipu, las cantidades a sumar se anotan con hilos orientados en sentido contrario, tambin se puede anudar con hilos de otros colores distintos a los otros.

JAKHTHAPIANI (SUMAREMOS): 4923 +5326 + 7641 + 8395 = 26285

Operaciones:1) Dibujamos la uyupana escalonada de cuatro esquinas2) Anotamos las cifras a sumar3) Sumamos las cifras 3 + 1 + 5 + 5 = 15 y anotamos en forma diagonal ascendente4) Sumamos las cifras 2 + 4 9 + 2 = 17 y anotamos en forma diagonal5) Sumamos las cifras 9 + 6 + 3 + 3 = 21 y anotamos en forma diagonal6) Sumamos las cifras 4 + 7 + 8 + 5 = 24 y anotamos en forma diagonal7) Sumamos las cantidades parciales, que es igual a:1262858) Finalmente registramos en un kipka o kipu.JAKHUQAA (RESTA) EN SISTEMA UYUPANA-KIPULingsticamente existen varios trminos en aymara, para referirse a la resta, podemos mencionar a: iraqaa, apaqaa y creemos que el ms adecuado es el trmino jakhusia. A igual que en las operaciones de suma, existe una diversidad de formas y tamaos de uyupanas, para realizar las sustracciones, entre ellas podemos mencionar: Saytuxat jakhuqaa (resta forma vertical). Iraramat jakhuqaa (resta forma horizontal) Patill patill jakhuqaa (resta forma escalonada) Iiraramat patill patill jakhuqaa (resta forma horizontal escalonada) Saytut patill patill jakhuqaa (sustraccin forma vertical escalonada)1 FORMA: SAYTUT JAKHUQAA (RESTA FORMA VERTICAL)Uyupana forma rectangular vertical, con celdas que forman una estructura matricial. Al igual que para realizar operaciones de suma, tambin es adecuado para realizar operaciones de sustraccin.Las cifras de sustraendo y minuendo se anotan en las ltimas columnas de la uyupana respectivamente, y las operaciones parciales se anotan en forma diagonal.

JAKHUQAANI (RESTAREMOS): 9403 - 6745 = 2658

Operaciones:1) Dibujamos la uyupana2) Anotamos las cifras a restar3) Restamos: 9 6 = 3, y anotamos en forma diagonal.4) Restamos: 34 7 = 27, y anotamos en forma diagonal5) Restamos: 70 4 = 66, y anotamos en forma diagonal6) Restamos: 63 5 = 58, y anotamos en forma diagonal7) La cantidad 8 recorremos una celda a la izquierda8) Finalmente registramos en un kipka o kipu2 FORMA: PATILL PATILL JAKHUQAA (RESTA FORMA ESCALONADA)La uyupana tiene la forma escalonada en las esquinas de la parte superior, en ellas se anotan las cantidades de sustraendo y minuendo respectivamente, anteriormente ya explicamos que las unidades, decenas, centenas y millares se anotan en forma ascendente.Los resultados parciales se marcan en la estructura matricial en forma vertical y diagonal, y el resultado final es el ltimo vector diagonal ascendente. Y para anotar en el kipu, al igual que en las anteriores las cifras minuendo y sustraendo se anudan con hilos de otro color o en sentido contrario.

JAKHUQAANI (RESTAREMOS): 9472 - 1856 = 7616Operaciones:1) Dibujamos la uyupana escalonada2) Anotamos las cifras a restar3) Restamos: 9 1 = 8, y anotamos en forma diagonal.4) Restamos: 84 8 = 76, y anotamos en forma diagonal5) Restamos: 767 5 = 762, y anotamos en forma diagonal6) Restamos: 7622 6 = 7616, y anotamos en forma diagonal, y es el resultado7) Finalmente registramos en un kipka o kipu.MIRATATAYAA (MULTIPLICAR) EN SISTEMA UYUPANA-KIPULa operacin de multiplicacin en aymara recibe varias denominaciones, entre ellos podemos mencionar: waljaptayaa, alluxjaptayaa. Bertonio tambin indica otros trminos saratataa, awititaa, pero el ms adecuado, es aquellas palabras que tiene como ncleo a mira, por ejemplo: mirayaa (acrecentar), otro miraa (multiplicar de por s) . Y nosotros usaremos el trmino miratatayaa. Y ms adelante justificaremos las razones, cuando estemos analizando la operacin de divisin.Al igual que en las operaciones de suma y resta, nuestros abuelos aymaru tiwanakotas han desarrollado diversas formas y mtodos para multiplicar, aqu slo nos limitaremos a exponer los mtodos ms relevantes, pero antes mencionaremos algunas formas de multiplicar, que sin duda depende de la forma y la estructura matricial de las uyupanas: Iraram sixut miratatayata (multiplicacin forma diagonal horizontal) Sixut miratatayaa (multiplicacion forma diagonal) Patill patill miratatayaa (multiplicacin forma escalonada) Saytut patill patill jmiratatayaa (multiplicacin forma vertical escalonada)1 FORMA: IRARAM SIXUT MIRAQAYATA (MULTIPLICACIN FORMA DIAGONAL HORIZONTAL)En esta uyupana de forma rectangular, la multiplicacin se realiza de la siguiente manera: La cifra del multiplicador, se anota en la parte superior del primer vector fila, y el multiplicando en el ltimo vector columna. Las operaciones parciales se anotan en las celdas de 2, 3 y 4 del vector fila y columnas de forma diagonal, y el resultado final es la sumatoria de los productos parciales y en forma diagonal, y el mismo se anota en el vector fila. Y para registrar en el kipu, necesitamos de hilos subsidiarias.

MIRATATAYAANI (MULTIPLICAREMOS): 427 * 53 = 22631

Operaciones1) Dibujamos la uyupana2) Anotamos las cifras a multiplicar 427 y 53 respectivamente3) Multiplicamos: 7 * 5 = 35, y anotamos en forma diagonal.4) Multiplicamos: 7 * 3 = 21, y anotamos en forma diagonal.5) Multiplicamos: 2 * 5 = 10, y anotamos en forma diagonal.6) Multiplicamos: 2 * 3 = 6, y anotamos en forma diagonal.7) Multiplicamos: 4 * 5 = 20, y anotamos en forma diagonal.8) Multiplicamos: 4 * 3 = 12, y anotamos en forma diagonal.9) Sumamos en forma diagonal, y el resultado es: 2263110) Finalmente registramos en un kipka o kipu, de esa forma almacenamos los datos como si se tratase de almacenar en un dispositivo de soporte informtico.2 FORMA: SIXUT MIRAQAYAA (MULTIPLICACIN FORMA DIAGONAL)Esta uyupana en forma de zeta, adems de presentar un diseo simtrico, tiene su par complementario reflexivo y recproco, quizs sea dentro del amplio abanico de los uyupanas, uno de los ejemplares ms antiguos, porque su diseo en forma de zeta, pertenece al mismo diseo iconogrfico tiwanakota. Y realizar la operacin de multiplicacin en esta uyupana tan singular es sumamente interesante, que a continuacin detallaremos: tanto el multiplicador como el multiplicando se registran en el segmento superior del vector fila, que tiene una divisin simtrica para ambas cantidades, las unidades, decenas y centenas se anotan en orden izquierda-derecha, para ambas cifras. Los resultados parciales se acomodan simtrica y asimtricamente en forma reflexin recproca-inversa, en otras palabras, en forma ascendente y descendente. Y el resultado final es la sumatoria de los vectores columna de los resultados parciales, y se anota en la parte inferior del vector fila. Y finalmente se copia en un kipu.

MIRATATAYAANI (MULTIPLICAREMOS):543 * 672 =364896

Operaciones:1) Dibujamos la uyupana en forma de zeta2) Anotamos las cifras a multiplicar (543 y 672) en la parte superior respectivamente.3) Anotamos cada uno de las cifras a multiplicar, uno en forma ascendente y el en forma descendente.4) Multiplicamos: 2 * 3 = 6, y anotamos en las celdas correspondientes5) Multiplicamos: 7 * 3 = 21, y anotamos en las celdas correspondientes6) Multiplicamos: 2 * 4 = 8, y anotamos en las celdas correspondientes7) Multiplicamos: 6 * 3 = 18, y anotamos en las celdas correspondientes.8) Multiplicamos: 7 * 4 = 28, y anotamos en las celdas correspondientes.9) Multiplicamos: 2 * 5 = 10, y anotamos en las celdas correspondientes.10) Multiplicamos: 6 * 4 = 24, y anotamos en las celdas correspondientes.11) Multiplicamos: 7 * 5 = 35, y anotamos en las celdas correspondientes.12) Y por ltimo multiplicamos: 6 * 5 = 30, y anotamos en las celdas correspondientes.13) Sumamos en forma vertical en vectores columna, y el resultado es: 36489614) Y finalmente registramos en un kipu, para su respectico almacenamiento de la operacin3 FORMA: PATILL PATILL MIRAQAYAA (MULTIPLICACION FORMA ESCALONADA)Esta uyupana tiene las dos esquinas superiores en forma escalonada y simtrica ascendente, y la parte inferior un diseo matricial de vectores filas, columnas y diagonales,Para realizar la multiplicacin, se anotan las cifras a multiplicar, en las celdas de las esquinas ascendentes, los millares, centenas, decenas y unidades en forma ascendente, las cantidades de los productos parciales se anotan en la parte central en forma escalonada, y el producto total es la sumatoria de los vectores columna, y se anotan en la ltimo vector fila.Y finalmente se confecciona el tejido de kipu, tomando en cuenta la posicin de los nudos.

MIRATATAYAANI (MULTIPLICAREMOS): 342 * 576 = 196992

Operaciones1) Dibujamos la uyupana2) Anotamos las cifras a multiplicar3) Multiplicamos: 2 * 6 = 12, y anotamos en forma horizontal4) Multiplicamos: 4 * 6 = 24, y anotamos en forma horizontal.5) Multiplicamos: 3 * 6 = 18, y anotamos en forma horizontal6) Multiplicamos: 2 * 7 = 14, y anotamos en forma horizontal7) Multiplicamos: 4 * 7 = 28, y anotamos en forma horizontal8) Multiplicamos: 3 * 7 = 21, y anotamos en forma horizontal9) Multiplicamos: 2 * 5 = 10, y anotamos en forma horizontal10) Multiplicamos: 4 * 5 = 20, y anotamos en forma horizontal11) Multiplicamos: 3 * 5 = 15, y anotamos en forma horizontal12) Sumamos en forma vertical, y el resultado es: 19699213) Finalmente registramos en un kipka o kipu.MIRAQAYANA (DIVIDIR) EN SISTEMA UYUPANA-KIPUEn lengua aymara existen una diversidad de trminos, por ejemplo, para partir, separaren partes: jaljaa, lakjaa, t`aqjaa, para repartir: lakia, ch`iqjayaa, o para dividir unacosa en partes o fracciones: jalaa, jalanuqaa, jaljaraa , ch`axtaa o ch`ixtaa, chaa ,tambin existen otro trminos como: chiyanuqaa, jaltanuqaa, nosotros adoptamos eltrmino miraqayaa, porque al analizar detenidamente, las operaciones de multiplicaciny divisin, ambos tienen la misma lgica operativa, aunque uno es inverso al otro, comose pueden apreciar con los ejemplos demostrados a continuacin, esto justifica el por quambos llevan el mismo ncleo, mira.Al igual que en la multiplicacin, la divisin presenta varios modelos o formas de dividir.Antes de llegar a los ejemplos, citaremos algunas formas de divisin, en lengua aymara,que sin duda est en funcin a la estructura y forma de las uyupanas:Iraram sixut miraqayata (divisin forma diagonal horizontal)Patill patillampit sixumpit miraqayata (divisin forma diagonal escalonada)Patill patill miraqayaa (divisin forma escalonada)Sixut miraqayaa (divisin forma diagonal)1 IRARAM SIXUT MIRAQAYATA (DIVISIN FORMA DIAGONAL HORIZONTAL)Al igual que en la multiplicacin, la divisin en la uyupana de forma rectangular, se realiza anlogamente.La cifra del dividendo se anota en una de los vectores fila (1, 2, 3 o 4) dependiendo de las unidades de la cifra dividendo. Y el divisor de anota en el ltimo vector columna, y para el cociente es la primera fila de derecha a izquierda.Para registrar en el kipu, es necesario tomar en cuenta las cuerdas subsidiarias, o como decimos en aymara curdas qallu o qalluni.

MIRAQAYAANI (DIVIDIREMOS): 1560 24 = 65

Operaciones:1) Dibujamos la uyupana2) Anotamos las cifras dividendo y divisor3) Dividimos 156 entre 24, y es aproximadamente es 6, lo cual anotamos en la 1 fila del vector cociente.4) Multiplicamos: 6*2=12, 6*4=24, los mismos anotamos en la columna de la cifra seis (6).5) Sumamos: (1), (2+2=0), (4), y el total es 144, la misma anotamos una fila ms abajo del vector dividendo.6) Restamos 156-144=127) Dividimos: 120 entre 24 y es exactamente da cinco (5), el cual anotamos en la 1 fila del vector cociente.8) Multiplicamos: 5*2=10, 5*4=20, los mismos anotamos en la columna de la cifra cinco (5).9) Sumamos: (1), (2+0=2), (0), y el total es: 120.10) Y finalmente representamos en un kipu.2 PATILL PATILLAMPIT SIXUMPIT MIRAQAYATA (DIVISIN FORMA DIAGONAL ESCALONADA)La uyupana tiene una estructura simtrica, emparejado y escalonado, su diseo es muy singular porque tiene diagonalizados algunas celdas.Al parecer, esta uyupana es slo una herramienta exclusiva para las operaciones de divisin, y a continuacin explicaremos en lneas generales los procedimientos.El dividendo se anota en la cuarta fila de izquierda a derecha, el divisor y el cociente van juntas emparejadas en los vectores columna escalonadas, al igual que en las anteriores uyupanas smiles, las unidades van en la ltima celda. Las operaciones divididas parcialmente se anotan en los vectores fila de izquierda a derecha y en forma escalonada diagonal, haciendo previamente sumas parciales antes de proceder con las siguientes cifras a dividir, las sumas parciales se anotan en los vectores fila despus de la fila del dividendo, as sucesivamente hasta dividirlo totalmente.

MIRAQAYAANI (DIVIDIREMOS): 487394 643 = 758

Operaciones:1) Dibujamos la uyupana2) Anotamos las cifras dividendo y divisor3) Dividimos 4873 entre 643 y es aproximadamente 7, y anotamos en columna cociente.4) Multiplicamos 7*3 = 21, y anotamos en las celdas de la parte superior izquierda5) Multiplicamos 7*4 = 28, y anotamos en las celdas de la parte superior izquierda, recorriendo una fila a izquierda.6) Multiplicamos 7*6 = 42, y anotamos en las celdas de la parte superior izquierda, recorriendo una fila a izquierda.7) Sumamos verticalmente (1), (2+8=10), (2+2=4+1=5) y (4), Total 4502, y anotamos por debajo de la fila dividendo.8) Restamos 4873-5401=372, y anotamos un fila por debajo.9) Dividimos 3729 entre 643 y es aproximadamente 5, y anotamos en columna cociente.10) Multiplicamos 5*3 = 15, 5*4 = 20 y 5*6 = 30, y anotamos como las anteriores en forma escalonada.11) Sumamos (5), (1+0=1), (2+0=2) y (3), total 3215, y anotamos en la siguiente fila.12) Restamos 3729-3215 = 514, y anotamos un fila por debajo.13) Dividimos 5144 entre 643 y es igual a 8.14) Multiplicamos 8*3 = 24, 8*4 = 32 y 8*6 = 48, y anotamos como las anteriores en forma escalonada.15) Sumamos (4), (2+2=4), (8+3=11) y (4+1=5), total 5144, y anotamos en la siguiente fila.16) Restamos 5144-5144 = 0, es una divisin exacta.17) Finalmente registramos en el kipu3 PATILL PATILL MIRAQAYAA (DIVISIN FORMA ESCALONADA)La uyupana incluye en su diseo, en uno de los costados laterales la forma simtrica escalonada en forma ascendente, para visualizar mejor dibujamos la vista frontal, en la cual anotamos las correspondientes posiciones decimales.Para realizar la divisin, la cifra del dividendo se anota, al lado izquierdo en forma ascendente, y el divisor se anota al lado derecho del mismo, las cifra para el cociente son las celdas del primer vector columna, las millares se anotan en la parte superior y las centenas, decenas y unidades en las siguientes. Las operaciones parciales se anotan en forma diagonal, en la parte posterior de las celdas destinadas al dividendo.Al igual que los anteriores ejemplos, tambin se anota en el kipu

MIRAQAYAANI (DIVIDIREMOS): 9876 12 = 823

Operaciones:1) Dibujamos la uyupana2) Anotamos las cifras dividendo y divisor3) Dividimos 98 entre 12 y es aproximadamente 8, y anotamos en columna cociente en este caso en la primera celda de la parte superior de la uyupana.4) Multiplicamos 8*1 = 8, luego restamos de 9 8 = 1, este ltimo anotamos en la siguiente fila del vector dividendo.5) Multiplicamos 8*2 = 16, luego restamos de 18 16 = 2, este ltimo anotamos al lado de la cifra uno (1). La cifra 18 se lee en forma diagonal descendente.6) Dividimos 27 entre 12 y es aproximadamente equivale a 2, y anotamos en columna cociente, en este caso en la segunda celda de la parte superior de la uyupana. La cifra 27 se lee diagonalmente y en forma descendente.7) Multiplicamos 2*12 = 24, luego restamos de 27 24 = 3, este ltimo anotamos al lado de la cantidad 2.8) Dividimos 36 entre 12 y es exactamente a 3, y anotamos en columna cociente, en este caso en la tercera celda de la parte superior de la uyupana. La cifra 36 se lee diagonalmente y en forma descendente.9) Y finalmente registramos en un kipu.CONCLUSINComo se vio a lo largo del texto, la dinmica de las operaciones aritmticas bsicas conlleva una variedad de modos, formas y mtodos, con la herramienta de uyupana y kipu.En primer lugar quiero poner nfasis en la gran diversidad de formas, estilos, modos y tamaos que existieron y existen entre los uyupanas y los kipus: cuadrangulares, rectangulares, escalonados, simtricos, con gradientes ascendentes y descendentes. Esta diversidad de formas y estilos, pues implica gran pluralidad de procedimientos, mtodos y tcnicas en las operaciones matemticas. Desde la ptica matemtica, las operaciones realizadas en el sistema uyupana-kipu conlleva tambin a remontarnos a las esferas del pensamiento aymara (los giros, las rotaciones, las reflexiones simtricas entre otros) y adentrarnos tambin a las estrategias y tcticas operacionales matemticas empleadas en el antao, por nuestros abuelos tiwanakotas. Desde los primeros cursos de la escuela, a los nios se les ensea una manera de realizar operaciones de suma, resta, multiplicacin y divisin, pre-concebidos en otra lgica (la lgica occidental) que en cierta manera crea anticuerpos en el proceso de aprendizaje, y quizs sea una las consecuencias para que los nios tengan rechazo a las matemticas, ya en cursos ms superiores. Pues sabemos a travs de registros de los cronistas, de los relatos histricos y en los documentos antropolgicos y arqueolgicos, el alto grado alcanzado en el rea de la matemtica por nuestros antepasados, vasta mostrar monumentales obras lticas en Tiwanaku, que sin duda tuvieron que utilizar, operaciones, clculos y pensamiento matemtico y constituir mtodos bien sistematizadas, para conseguir los cmputos matemticos. Y creemos firmemente, que al aprehender y comprender las tcnicas y las estrategias matemticas empleadas con la herramienta uyupana-kipu, nos proyecte nuevos horizontes, para replantearnos incluso en la enseanza de los nios y nias, en primaria. Y las razones no faltan para justificarlo, pues la reactualizacin del instrumento uyupana-kipu, tambin nos acerque a la identidad. Y por otro lado, los estudiantes estaran aprendiendo, las operaciones matemticas con la lgica o la forma de pensar indgena, y quizs los diferentes mtodos mostradas aqu, abran el jacha thaki (gran camino) para adentrarnos a la ciencias exactas, con identidad.Por otro lado tambin mostramos que entre la uyupana y kipu son un binomio indivisible, que trminos matemticos se definira, gozan de la propiedad isomorfismo. Igualmente demostramos que el kipu, es un instrumento para atesorar informacin, si hacemos la analoga con los modernos soportes informticos: disco magntico, CDs, DVDs, cintas magnticas, memorias USB; donde se almacena informacin, a fin de trascender en el tiempo, que puede ser reledos, en otros lugares y en otros tiempos. Los humanos tienden siempre a guardar la informacin, por ejemplo, los mayas se valieron de los cdices cincelado en piedra, los egipcios recurrieron al papiro, los sumerios recurrieron a las tabletas de arcilla, y la tableta del rey de Lagsh son los relieves ms famosos, y nuestros abuelos tiwanakotas se valieron del tejido, incluso los puentes estructuraron en tejido (puentes colgantes) porque la tecnologa del tejido, era una de las actividades ms desarrollas y expandidas.Y concluimos que el kipu es un sistema de soporte informtico, y es probable que en su tiempo el kipu haya sido una herramienta idnea para alcanzar la sinergia operativa de la informacin.

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