Kirişlerde kesit tesirleri Kirislerde kesit tesirleri 10 Mart 2014.pdfKirişlerde Kesit Tesirleri 8 A B RA RB FC MD C D x-eksenini, kirişin eksenine paralel olarak seçelim. x-koordinatı

Kirişlerde kesit tesirleriKirişlerde Kesit Tesirleri 1

Örnek olarak şekildeki gibi yüklenmiş ve mesnetlenmiş olan bir kiriş göz önüne alalım.

FC

MD

q0

A B

A B

RA RB

C D

FC

MD

C D

Kirişin yüklerinin hepsi aynı düzlem içerisinde yer almaktadır.

Serbest cisim diyagramını çizip mesnet tepkilerini bulmuş olalım.

q0

Kirişinekseni

Kirişinekseni

Kirişlerde Kesit Tesirleri 2

A B

RA RB

FC

MD

C D

Kirişi herhangi bir yerinden hayali olarak keserek iki parçaya ayıralım.

Kesit tesirleri

→

A

RA

FC

C

q0

B

RB

MD

DM

V

–M

–V

→

→

→

→

Kiriş dengede olduğu için parçaları da dengededir.

Soldaki parçanın dengede kalmasını sağlayan kuvvetler sağdaki parça tarafından uygulanır.

Sağdaki parçanın dengede kalmasını sağlayan kuvvetler de soldaki parça tarafından uygulanır.

İşte bu kuvvetlere "kesit tesirleri" denir.

Soldaki parça Sağdaki parça

Kesit tesirlerinden birisi kuvvettir (V) ve birisi de kuvvet çiftidir (M).

Eğer, kirişin eksenine paralel yük de varsa kesit tesiri kuvvetin eksene paralel bileşeni de (N) olur.

q0

E

E E


A

RA

FC

C

q0

B

RB

MD

DM

V

–M

–V

→

→

→

→

Kesme kuvveti

Eğilme momenti

Parçalardan birisinin yüzeyine etki eden kuvvetlerle diğerinin yüzeyine etki eden kuvvetler,

etki-tepki prensibine göre eşit şiddette ve zıt yöndedir.

Kesit tesirleri, genellikle, yukarıdaki gibi değil aşağıdaki gibi kuvvetlerin sadece şiddetini gösteren semboller ile gösterilir.

Soldaki parça Sağdaki parça

RA

FC

RB

MD

M

V

M

V

Kesit tesirlerini bulmak için parçalardan birisinin dengesini incelemek yeterli olur.

Genellikle, kuvvet sayısı az olan ve işlemleri sade olan parçanın dengesi incelenir.

q0

E E

E EA C BD


Örnek Problem 1

A

1 m 2 m

20 kN

10 kN·m

Şekildeki gibi yüklenmiş ve mesnetlenmiş olan kirişinA mesnedinin 2 m sağındaki kesidinde ortaya çıkankesme kuvveti V yi ve eğilme momenti M yi bulunuz.

A B

1 m

A

20 kN

10 kN·m

A B

RA RB

−RA (4) − 10 + 20 (1) = 0

ΣMB = 0

RA = 2.5 kN

→ ΣF = 0+

RA − 20 + RB = 0

RB = 17.5 kN

1 m

20 kN

B

1 mV

1 m

10 kN·m

A

1 m

VRB = 17.5 kN

MM

RA = 2.5 kN

C C

→ ΣF = 0+

RA − V = 0

V = 2.5 kN

−RA (2) − 10 + M = 0

ΣMC = 0

M = 15 kN·m

→ ΣF = 0+

V − 20 + RB = 0

V = 2.5 kN

−M − 20 (1) + RB (2) = 0

ΣMC = 0

M = 15 kN·m

YA DA

V = ?

M = ?

Soldaki parça: Sağdaki parça:


A B

250 mm 300 mm

10 kN/m

A B

550 mm

150mm

RA RB

R = AlanR = 300 (10) = 3000 N

R (150) − RA (550) = 0

ΣMB = 0

RA = 818 N

A

350 mm

50 mm

RA V

R1 = Alan

M

R1 = 100 (10) = 1000 N

C

→ ΣF = 0+ → RA − R1 + V = 0 → V = 182 N

M + R1 (50) − RA (350) = 0ΣMC = 0 → → M = 236.4 N·m

V = ?

M = ?

Şekildeki gibi yüklenmiş ve mesnetlenmiş olan kirişin, A noktasının 350 mmsağındaki kesidinde ortaya çıkan kesme kuvveti V yi ve eğilme momentiM yi bulunuz.

Örnek Problem 2


- Hangi kesitte ne kadar kesit tesiri vardır?

- Kesit tesirlerinin en büyük değeri aldığı kesit hangisidir?

gibi sorulara cevap arandığı zaman kesit tesiri diyagramları çizilir.

Bunun için de, kesit tesirlerinin kiriş ekseni boyunca değişimini veren bağıntılar bulunmalıdır.

Bu bağıntılar, genellikle, bölgeden bölgeye değişir.

Kiriş, dış kuvvetlere göre bölgelere ayrılarak her bir bölge için geçerli olan bağıntılar bulunur.

Kirişlerde kesit tesiri diyagramları

Kiriş bölgelere ayrılırken, bölge sınırları aşağıdaki durumlarda başlatılır veya bitirilir.

A E

RA RB

FC

MD

C D

q0

Tekil kuvvetolan noktalar

Yayılı kuvvetinbaşladığı veyabittiği yerler

Tekil moment(=kuvvet çifti)olan noktalar

Yayılı kuvvetinfonksiyonunundeğiştiği yerler

H B


Örnek olarak şekildeki gibi yüklenmiş ve mesnetlenmiş olan bir kiriş göz önüne alalım.

Bu kirişin yüklerinin hepsi aynı düzlem içerisinde yer almaktadır.

A B

RA RB

FC

MD

C D

Mesnet tepkilerini bulduktan sonra kirişin bölgelerini belirleyelim.

q0

I.bölge

II.bölge

III.bölge

IV.bölge

A B

FC

MD

C D

q0

Kirişinekseni

Kirişinekseni


A B

RA RB

FC

MD

C D

x-eksenini, kirişin eksenine paralel olarak seçelim. x-koordinatı sağa doğru artsın.

Kirişe etki eden dış kuvvetlerden en soldakinin etki ettiği nokta orijin kabul edilir.

Bu kuvvetin solunda kalan kısımda zaten kesit tesirleri yoktur.

x

x = 0

I. bölgede geçerli olan bağıntıları bulmak amacıyla A noktası ile C noktası arasında, x in herhangi bir değerine

karşılık gelen bir yerden hayali olarak kesip soldaki parçayı göz önüne alalım.

Soldaki parçaya etki eden kesit tesirleri denge denklemlerinden bulunur.

A

RAx

M

V

Soldaki parça

ΣF = 0 → V = RA = sabit

ΣME = 0 →

V = f(x)

M = RA x

M = f(x)

E

V nin x e göredeğişimini verenbağıntı

M nin x e göredeğişimini verenbağıntı

q0

I. bölgede

( xA < x < xC )

0

→


A B

RA RB

FC

MD

C D

Bu sefer de II. bölgede geçerli olan bağıntıları bulmak amacıyla C noktası ile D noktası arasında herhangi bir

yerden keselim. Böylece C kesitinden D kesitine kadar olan bölgede geçerli olan bağıntılar bulunur.

x

x = 0

Soldaki parçaya etki eden kesit tesirleri denge denklemlerinden bulunur.

ΣF = 0

V = RA – FC = sabit

ΣME = 0

V = f(x)

M = RA x – FC (x – AC)

M = f(x)


M nin x e göredeğişimini verenbağıntıSoldaki parça

A

RA

FC

CM

Vx

E

_

q0

II. bölgede

( xC < x < xD )

Bu işlemler bu şekilde son bölgeye kadar bölge bölge yapılır.


A B

RA RB

FC

MD

C D

Şimdi de en son bölgede geçerli olan bağıntıları bulmak amacıyla B noktasının sağındaki herhangi bir

yerden keselim. Örnek olsun diye de sağdaki parçayı göz önüne alalım.

x

x = 0q0

Sağdaki parça

M

Vx. . .

q0

Diyagram çizmek için kullanacağımızbağıntıları elde etmek amacıyla

bir parçanın serbest cisim diyagramını çizerkenkesit tesirlerinin yönlerini kestirmek

mümkün olabilir. Ama biz yine dedaima pozitif yöndeymiş gibi gösteririz.

Eğer pozitif yönde değilse zatendenge denklemlerinden elde edilen sonuç

hangi yönde olduğunu ortaya koyar.

Not: Pozitif kesit tesirlerinin hangi yönde oldukları ilerde anlatılmıştır.


Sağdaki parçaya etki eden kesit tesirlerinidenge denklemlerinden bulalım.

ΣF = 0 → V = R = q0 (L – x)

ΣME = 0 →

V = f(x)

M = – R (L – x)/2 = – q0 (L – x)2/2

M = f(x)



M

Vx. . .

R = Alan = q0 (L – x)R

(L – x)/2

(L – x)

E

Bu işaret yön belirtir. Şekildeki yönde değil, ters yöndedir.Kesit tesiri diyagramı çizerken bu değer eğilme momentinin negatif olduğu tarafta gösterilir.

→

x = L

IV. bölgede

( xB < x < L )

Bu işlemler bu şekilde kiriş bölgelere ayrılarak sol baştan sağ başa kadar yapılır. Her bölge için

elde edilen bağıntıların grafikleri uygun bölgeye çizilir.

Sağdaki parça

Kesit tesirlerini soldaki parçadan dabulabilirdik. Ama işlemlerinsadeliğinden dolayısağdaki parçayı tercih ettik.


Grafik çizerken kesit tesirlerinin yönünden kaynaklanan işaretler aşağıdaki gibi dikkate alınır.

M

Vx

İşaret kabulü

x

VM

M

Vx

Sağdakiparça

M

Vx

M

Vx

Pozitif tarafta gösterilecekkesit tesirlerinin yönleri

Negatif tarafta gösterilecekkesit tesirlerinin yönleri

(+) ↑ Pozitif taraf

(–) ↓ Negatif taraf

. . . . . .

. . . . . .

Şekilden de görüldüğü gibi, etki-tepki prensibine göre, soldaki parçaya etki eden kesit tesirleri

sağdaki parçaya etki eden kesit tesirleri ile zıt yöndedir. Ama buna rağmen,

soldaki parçaya etki eden kesit tesiri pozitif ise sağdaki parçaya etki eden kesit tesiri de pozitif kabul edilir.

Yani bir kesit tesirinin kendisi pozitif ise tepkisi de pozitif kabul edilir.

Soldakiparça

Sağdakiparça

Soldakiparça

}}


Örnek Problem 3 1 m 2 m

20 kN

10 kN·m

Şekildeki gibi yüklenmiş ve mesnetlenmiş olan kirişinkesit tesiri diyagramlarını çiziniz.

A B

1 m

A

20 kN

10 kN·m

A B

RA RB

−RA (4) − 10 + 20 (1) = 0

ΣMB = 0

RA = 2.5 kN → ΣF = 0+

RA − 20 + RB = 0

RB = 17.5 kN

Kirişin serbest cisim diyagramını çizip mesnet tepkilerini bulalım.

I.bölge

II.bölge

III.bölge

C D

Kirişi bölgelere ayıralım. →


Örnek Problem 3 (devamı)

V = 2.5 kN = sabit

M = 2.5 x

A

20 kN

10 kN·m

A B

I.bölge

II.bölge

III.bölge

C D

x = 0

x, m

V, kN

0 C

1

2.5

x, m

M, kN·m

0 C

1

2.5

I. Bölge:

( xA < x < xC )

0

→

1 m

→

0

0

A

A

2.5 kN 17.5 kN

A

x

M

V

E

2.5 kN

ΣF = 0 → V = 2.5 kN = sabit

ΣME = 0 →

V = f(x)

M = 2.5 x

M = f(x)





1 m

10 kN·m

A

V

M

2.5 kN

E

A

20 kN

10 kN·m

A B

I.bölge

II.bölge

III.bölge

C D

II. Bölge:

( xC < x < xD )

1 m

→

3 m

→ C

x

ΣF = 0 → V = 2.5 kN = sabit

ΣME = 0 → M = 10 + 2.5 x

V = 2.5 kN = sabit

x, m

V, kN

C

1

2.5

D

3 x, m

M, kN·m

C

1

12.5

17.5

M = 10 + 2.5 x

2.5

D

30

0

0A

0A

2.5 kN 17.5 kN



1 m

10 kN·m

A

V

M

2.5 kN

E

A

20 kN

10 kN·m

A B

I.bölge

II.bölge

III.bölge

C D

III. Bölge:

( xD < x < xB )

3 m

→

4 m

→ C

x

ΣF = 0

V = −17.5 kN = sabit

ΣME = 0

M = 70 − 17.5 x

x, m

V, kN

C

1

2.5

D

3 x, m

M, kN·m

C

1

12.5

17.5

2.5

D

30

0

2 m

D

20 kN

B

4


B

4

A

A

−17.5

M = 70 − 17.5 x

2.5 kN 17.5 kN

0

0



V

ME

A

20 kN

10 kN·m

A B

I.bölge

II.bölge

III.bölge

C D

III. Bölge:

( xD < x < xB )

3 m

→

4 m

→

x

ΣF = 0


ΣME = 0

M = 70 − 17.5 x

x, m

V, kN

C

1

2.5

D

3 x, m

M, kN·m

C

1

12.5

17.5

2.5

D

30

0

B

4


B

4

A

A

−17.5

M = 70 − 17.5 x

2.5 kN 17.5 kN

0

0

. . .

B

17.5 kN

L−x

x = L = 4 m

VEYA


Örnek Problem 4

Şekildeki gibi yüklenmiş ve mesnetlenmiş olan kirişinkesit tesiri diyagramlarını çiziniz.

Kirişin serbest cisim diyagramını çizip soldaki mesnet tepkisinibulalım.

I.bölge

II.bölge

Kirişi bölgelere ayıralım. →

A B

250 mm 300 mm

10 kN/m

A B

RA RB

R = Alan

R = 300 (10) = 3000 N

R (150) − RA (550) = 0

ΣMB = 0

RA = 818 N

C

→ ΣF = 0+

RA − R + RB = 0

RB = 2182 N



V = 818 N = sabit

M = 0.818 x

x, mm

V, N

A C

250

818

x, mm

M, N·m

A

204.5

0

0

I. Bölge:

( xA < x < xC )

0

→

250 mm

→

C

250

I.bölge

II.bölge

A BC

10 kN/m

818 N 2182 N

0

0

x = 0

A

x

M

V

ΣF = 0 → V = 818 N = sabit

ΣME = 0 →

V = f(x)

M = 0.818 x

M = f(x)

EV nin x e göredeğişimini verenbağıntı


818 N



x, mm

V, N

A C

250

818

0

I.bölge

II.bölge

x = 0

II. Bölge:

A

x

M

V

ΣF = 0

V = 3318 − 10 x

ΣME = 0

M = −0.005 x2 + 3.318 x − 312.5

E( xC < x < xB )

→

818 N550 mm

→

A BC

250 mm

C

250 mm

R1 = Alan

(x − 250)/2

10 kN/m

B

−2182

V = 3318 − 10 x

550

M = −0.005 x2 + 3.318 x − 312.5

x, mm

M, N·m

A

204.5

0

C

250

B

550331.8

238

818 N 2182 N

0

0


Kirişlerde kesit tesiri diyagramlarının özellikleri

q = f (x)

x dx

q

. . .

q

M+dM

V+dV

M

V

x dx. . .

Herhangi bir kirişingenel yüklemeye maruzbir bölümünü gözönüne alalım.Bu bölümün de herhangi bir yerindendiferansiyel uzunlukta bir parçasını çıkarıpdengesini inceleyelim.

q+dq

→ ΣF = 0+

V − qdx − –– dq dx − (V+dV) = 012

}Bu terim ihmal edilebilir.

q = − –––dVdx

Kesme kuvveti diyagramının teğetinin eğiminin negatifi,yayılı yükün o noktadaki değerini verir.

dV = − q dx

∫ dV = − ∫ q dx

→

} }

ΔV Yayılı yük grafiğinin altında kalan alan

Yayılı yük grafiğinin altında kalan alanın negatifi,gözönüne alınan aralıkta, kesme kuvvetindeki değişimi verir.

A BxA = x

xB = x + dx

Kesme kuvveti fonksiyonunun derecesi,yayılı yük fonksiyonunun derecesinden 1 fazladır.→


q

M+dM

V+dV

M

V

x dx. . .

q+dq

V = –––dMdx

Eğilme momenti diyagramının teğetinin eğimi,kesme kuvvetinin o noktadaki değerini verir.

dM = V dx

∫ dM = ∫ V dx

→

} }

ΔM Kesme kuvveti diyagramınınaltında kalan alan

Kesme kuvveti diyagramının altında kalan alan,gözönüne alınan aralıkta, eğilme momentindeki değişimi verir.

ΣMA = 0

A B

A noktasına göre moment alıpihmal edilebilecek terimleri de ihmal ederek:

→

xA = x

xB = x + dx

Eğilme momenti fonksiyonunun derecesi,kesme kuvveti fonksiyonun derecesinden 1 fazladır veyayılı yük fonksiyonunun derecesinden 2 fazladır.→


x, mm

V, N

A C

250

818

0

I.bölge

II.bölge

A B

RA RB

C

q = 10 kN/m = sb.

B

−2182

V = 3318 − 10 x1

550

Kesme kuvveti diyagramının teğetinin eğiminin negatifi,yayılı yükün o noktadaki değerini verir.

q = 0 = sb.

eğim = 0 = sb.

eğim = − 10 kN/m = sb.

0

M = −0.005 x2 + 3.318 x − 312.5

x, mm

M, N·m

A

204.5

0

C

250

B

550331.8

238

0

Kesme kuvveti fonksiyonunun derecesi,yayılı yük fonksiyonunun derecesinden 1 fazladır.

Eğilme momenti fonksiyonunun derecesi,kesme kuvveti fonksiyonun derecesinden 1 fazladır veyayılı yük fonksiyonunun derecesinden 2 fazladır.

q = 10 x0

↑

↑

↑

q = − –––dVdx

dV = − q dx

dM = V dx

↑

↑


Yayılı yük grafiğinin altında kalan alanın negatifi,gözönüne alınan aralıkta,

kesme kuvvetindeki değişimi verir.

I.bölge

II.bölge

A B

RA RB

C

q0 = 10 kN/mAlan = −ΔV

x, mm

V, N

A C

250

818

0

B

−2182

V = 3318 − 10 x

550

ΔV = − Alan = −3000 N

{ΔV

V1

V2

ΔV = V2 − V1

0

300 mm∫ dV = − ∫ q dx


x, mm

V, N

A C

250

818

0

B

−2182

V = 3318 − 10 x

550

M = −0.005 x2 + 3.318 x − 312.5

x, mm

M, N·m

A

204.5

0

C

250

B

550331.8

238

eğim = sb.

V = sb.

eğim = 0

V = 0

Eğilme momenti diyagramının teğetinin eğimi,kesme kuvvetinin o noktadaki değerini verir.

0

0

Kesme kuvvetin sıfır olduğu yerde,eğilme momenti ekstremum

(maksimum veya minimum) olur.

↑

↑Kesme kuvvetinin pozitif olduğu yerde eğim pozitiftir,

negatif olduğu yerde eğim negatiftir.

V = –––dMdx


x, mm

V, N

C

250

818

0

B

−2182

550

x, mm

M, N·m

A

204.5

0

C

250

B

550

238

Kesme kuvveti diyagramının altında kalan alan,gözönüne alınan aralıkta, eğilme momentindeki değişimi verir.

Alan = ΔM

ΔM = 204.5 N·m

{ΔM

M1

M2

0A

0

ΔM = M2 − M1

Negatifalan

∫ dM = ∫ V dx


A

20 kN

10 kN·m

A B

I.bölge

II.bölge

III.bölge

C D

x, m

V, kN

C

1

2.5

D

30

B

4

A

−17.5

Tekil kuvvetler,kesme kuvveti diyagramında

kendileri kadarsekme oluşturur.

2.5 kN 17.5 kN

0


D

3 x, m

M, kN·m

C

1

12.5

17.5

2.5

0 B 4A

A

20 kN

10 kN·m

A B

I.bölge

II.bölge

III.bölge

C D

2.5 kN 17.5 kN

Tekil kuvvetler,eğilme momenti diyagramının eğiminde

ani değişime sebep olur.

eğim= 2.5 −17.5

2.5

−17.5

0 0


x, m

V, kN

C

1

2.5

D

30

B

4

A

−17.5

0

A

20 kN

10 kN·m

A B

I.bölge

II.bölge

III.bölge

C D

2.5 kN 17.5 kN

Tekil momentler,kesme kuvveti diyagramını

etkilemezler.

↓


A

20 kN

10 kN·m

A B

I.bölge

II.bölge

III.bölge

C D

D

3 x, m

M, kN·m

C

1

12.5

17.5

2.5

0

B

4

A

Tekil momentler,eğilme momenti diyagramında

kendileri kadarsekme oluşturur.

2.5 kN 17.5 kN

0

Documents

Kirişlerde kesit tesirleri Kirislerde kesit tesirleri 10 Mart 2014.pdfKirişlerde Kesit Tesirleri 8 A B RA RB FC MD C D x-eksenini, kirişin eksenine paralel olarak seçelim. x-koordinatı