Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat

Eotvos Lorand Tudomanyegyetem

Termeszettudomanyi Kar

Kis-Benedek Agnes

Szimmetrikus es periodikus

szerkezetek merevsege

Alkalmazott matematikus MSc

Operaciokutatas szakirany

Szakdolgozat

Temavezeto:

Jordan Tibor, tanszekvezeto egyetemi tanar

Operaciokutatasi Tanszek

Budapest, 2012

Tartalomjegyzek

Bevezeto 1

1. Altalanos grafmerevsegi bevezeto 3

1.1. Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Grafmerevseg jellemzese d = 2 eseten . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Henneberg-tıpusu muveletek 9

2.1. Szimmetrikus szerkezetek - bevezeto . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. C3 a sıkban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1. Muveletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2. Sıkbeli szerkezetek alapteteleinek analogiaja . . . . . . . 13

3. Fix racsu es ”cone” (kupos) szerkezetek 22

3.1. A generikus merevseghez szukseges kombinatorikus modell . . . 22

3.2. Merevsegi tetelek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3. Algoritmusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.1. Algoritmus annak eldontesere, hogy ρ(G) trivialis-e . . . 30

3.3.2. Ross-graf merev komponenseinek meghatarozasa . . . . 31

3.3.3. cone-Laman graf merev komponenseinek meghatarozasa 32

Γ = Z/3Z specialis eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Γ = Z/kZ altalanos eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4. Matroidelmeleti megkozelıtes 35

4.1. Hanyadosgraf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

ii

TARTALOMJEGYZEK iii

4.2. d-periodikus graf - merevsegi bevezeto . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3. Matroidok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3.1. Matroidelmeleti bevezeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3.2. Matroidok es merevseg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5. Friss eredmenyek 43

5.1. Tukorszimmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2. Tukorszimmetria es Dieder-csoport . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Irodalomjegyzek 45

Koszonetnyilvanıtas

Ezuton szeretnem megkoszonni a temavezetomnek, Jordan Tibornak az ut-

mutatasokat es hasznos tanacsokat, valamint hogy segıtett kozelebbrol megis-

merkedni ezzel a szerteagazo, erdekes temakorrel, es rendelkezesemre bocsa-

totta a legfrissebb eredmenyeket.

iv

Bevezeto

A szerkezetek merevsegenek vizsgalata szamos kulonbozo alkalmazasi teruleten

felmerulo problema. Jelen szakdolgozat a periodikus es szimmetrikus szerkeze-

tek merevseget targyalja, amelyet szinten tobb valos eletbeli problema motival,

ugy mint a feherjek, kristalyszerkezetek es zeolitok vizsgalata.

A feherjek szerkezetenek vizsgalata termeszetesen nagy jelentoseggel bır

biokemiai szempontbol. A feherjeszerkezetek reprezentalhatok mechanikus

szerkezetkent, kulonbozo korlattıpusokat hasznalva a kovalens kotes, hidrogen

kotes, sohidak es torzios szogek modellezesehez. A kotesek altal alkotott

halozat elemzesere, a flexibilis es merev reszek meghatarozasara grafelmeleti

technikakat alkalmaznak.

Az algoritmusnak meg kell szamolnia a szabadsagi fokokat ebben a halo-

zatban, es azonosıtania kell a merev es rugalmas reszstrukturakat a feherjeben,

beleertve a tulkorlatozott regiokat, melyekben tobb kotes van, mint az a me-

revseg eleresehez szukseges, valamint az alulhatarozott regiokat, melyek nem

merevek, azaz kotes-elfordulasok lehetsegesek. Az extra korlatozasok szama

vagy a megmaradt kotes-forgatas szabadsagi fokok szama egy reszstrukturaban

szamszerusıti a relatıv merevseget/flexibilitast, es biztosıt egy rugalmassagi

indexet minden kotesre. Ezt a szamıtasi eljarast eloszor uvegszeru anyagok

analızisere hasznaltak. Megkozelıtoleg egymillioszor gyorsabb, mint a mole-

kularis dinamikai szimulacio, es egyetlen statikus haromdimenzios struktura

analızisekent meri a protein fo- es oldallancainak alapveto rugalmassagat. A

termeszetben gyakori a szabalyossag, szimmetria, es a kristalykapcsolatok is

1

BEVEZETO 2

befolyasoljak a rugalmassagot. Ezt a feherjek vizsgalatakor is figyelembe kell

venni.

Egy olyan nagyobb molekulat, amely ket azonos kisebb molekula ossze-

kapcsolodasaval keletkezik, dimernek nevezunk. A ket osszekapcsolodo mo-

lekula energiaminimalizalasi okokbol forgasszimmetrikusan kapcsolodik, es a

molekula valtozasai is megorzik a szimmetriat. A dimerek gyakori alloszterikus

feherjek, mint peldaul a triptofan represszor, amely a DNS-hez kotodve gatolja

a triptofantermelest. A triptofan a 20 standard feherjealkoto aminosav egyike,

az alvashoz szukseges neurotranszmitterek eloanyaga.

1. abra. Zeolitok. [24]

A forgasszimmetrikus anyagokon kıvul mas szabalyos elrendezodesu anya-

gok is vannak, mint peldaul a periodikus kristalyszerkezetek, perovszkit, kvarc,

aluminoszilikatok (pl. keramiakeszıteshez) es zeolitok.

A zeolitok kristalyos mikroporozus szerkezetek, melyeket szamos terule-

ten hasznalnak, peldaul molekulaszurokent, szagelszıvoknal, mososzergyartas-

nal, takarmanykiegeszıtoknel, udıtoitalok adalekanyagakent, az urkutatasban,

es szamos mas helyen.

Manapsag a szintetikus zeolitok a legfontosabb katalizatorok a petrolke-

miai finomıtokban. Jelentos erofeszıtesek iranyultak uj zeolitok szintetizalasa-

ra specialis porusgeometriaval.[19], [24], [18]

Igy nem meglepo, hogy a merevsegi kerdeskor ezen aga igen aktıv kutatasi

teruletnek szamıt.

1. fejezet

Altalanos grafmerevsegi

bevezeto

A kovetkezokben vegig rud-csuklo tıpusu szerkezeteket targyalunk. Eloszor

bevezetem az alapveto grafmerevsegi fogalmakat, valamint roviden ismertetem

az alapveto teteleket.

A fogalmak tetszoleges d dimenzios terben ertelmezhetok, de a merevseg

tesztelese, illetve eloallıtasi tetelek d > 2 eseten nem ismertek.

1.1. Alapfogalmak

A rud-csuklo szerkezeteket ugy kepzelhetjuk el, hogy a graf elei merev rudak,

mıg a graf csucsai olyan csuklok, melyek menten a rudak szabadon elfordul-

hatnak, de termeszetesen a graf altal adott strukturat, vagyis a kapcsolodast

az elek es csucsok kozott vegig meg kell orizni mozgas kozben.

1.1.1. Definıcio. Legyen G = (V,E) egy graf, es legyen p : V → Rd a pontok

egy elhelyezese a d-dimenzios terben. Az eleknek a pontokat osszekoto, egymast

esetleg metszo egyenes szakaszok felelnek meg. Ekkor azt mondjuk, hogy a

(G, p) szerkezet a G graf egy realizacioja Rd-ben.

1.1.2. Definıcio. A (G, q) szerkezet ekvivalens a (G, p) szerkezettel, ha a

3

FEJEZET 1. ALTALANOS GRAFMEREVSEGI BEVEZETO 4

megfelelo elek hossza a ket realizacioban ugyanaz, vagyis minden uv ∈ E-re

|p(u)− p(v)| =|q(u)− q(v)| teljesul.

1.1.3. Definıcio. A (G, q) szerkezet kongruens a (G, p) szerkezettel, ha bar-

mely ket pont tavolsaga a ket realizacioban ugyanannyi, vagyis |p(u)− p(v)| =|q(u)− q(v)| teljesul minden u, v ∈ V -re.

1.1. abra. A ket szerkezet ekvivalens, de nem kongruens R2-ben.

1.1.4. Definıcio. A (G, p) szerkezet merev, ha letezik ε > 0, hogy minden

olyan (G, p)-vel ekvivalens (G, q) szerkezetre, ahol ∀u ∈ V -re |p(u)− q(u)| < ε

teljesul, arra (G, q) kongruens is (G, p)-vel.

1.1.5. Definıcio. (G, p) folytonos mozgasa (G, q)-ba: olyan Pv(t) fuggvenyek

(v ∈ V , t ∈ [0, 1]), melyekre teljesulnek a kovetkezok:

• ∀v ∈ V -re Pv(0) = p(v), Pv(1) = q(v);

• ∀uv ∈ E, ∀t ∈ [0, 1]-re |Pu(t)− Pv(t)| = |Pu(0)− Pv(0)|;

• ∀v ∈ V , ∀t ∈ [0, 1]-re Pv(t) folytonos.

1.1.6. Tetel. [12] (G, p) pontosan akkor merev, ha barmely folytonos mozgasa

csak vele kongruens szerkezetbe viheti.


1.1.7. Definıcio. (G, p) infinitezimalis mozgasa alatt olyan u : V → Rd

fuggvenyt ertunk, hogy ∀vi, vj ∈ V -re (u(vi) − u(vj))(p(vi) − p(vj)) = 0 tel-

jesul.

Ez intuitıven azt jelenti, hogy a szerkezet pontjainak adunk egy kis

kezdosebesseget, es ezen iranyokkal infinitezimalisan deformaljuk az egesz szer-

kezetet.

1.1.8. Definıcio. A (G, p) szerkezet merevsegi matrixat jelolje R(G, p). Ez

egy |E|×d|V | meretu matrix, melyben minden elhez tartozik egy sor, es minden

csucshoz tartozik dimenzioszamnyi oszlop. Az uv el sorat jelolje R(G, p)uv,

ebben a sorban minden u-tol es v-tol kulonbozo pozıcioban 0, az u-hoz tartozo

reszen p(u)− p(v), a v-hez tartozo reszen pedig p(v)− p(u) all:(. . . 0 u1 − v1 . . . ud − vd 0 . . . 0 v1 − u1 . . . vd − ud 0 . . .

)1.1.9. Megjegyzes. Az u pontosan akkor infinitezimalis mozgasa (G, p)-nek,

ha R(G, p) · u = 0.

1.1.10. Megjegyzes. Ha figyelembe vesszuk, hogy R(G, p) magtereben biz-

tosan szerepelni fognak a trivialis mozgasok (eltolas es forgatas), a kovetkezo

felso becslest kapjuk: |V | ≥ d + 2 eseten rang(R(G, p)) ≤ d|V | −(d+1

2

), mıg

|V | ≤ d+ 2 eseten rang(R(G, p)) ≤(|V |

2

).

1.2. abra. Merev, de nem infinitezimalisan merev R2-ben.


1.1.11. Definıcio. (G, p) infinitezimalisan merev, ha rang(R(G, p)) = d|V |−(d+1

2

)vagy rang(R(G, p)) =

(|V |2

).

1.1.12. Tetel. [20],[12] Ha (G, p) infinitezimalisan merev, akkor merev.

(Fordıtva nem feltetlenul igaz!)

1.1.13. Tetel. [20],[12] Ha (G, p) ”kelloen altalanos helyzetu”, vagyis generi-

kus (p koordinatainak halmaza algebrailag fuggetlen Q felett), akkor mar igaz,

hogy (G, p) pontosan akkor infinitezimalisan merev, ha merev.

Bar egy szerkezet merevsege fugg a realizaciotol, a fenti tetel kovetkezme-

nyekepp nem csak szerkezetek, de grafok merevsegerol is van ertelme beszelni.

Egy adott graf majdnem minden realizacioja hasonlokepp viselkedik merevsegi

szempontbol.

1.1.14. Definıcio. A G graf merev, ha letezik infinitezimalisan merev (G, p)

realizacioja.

1.2. Grafmerevseg jellemzese d = 2 eseten

A sıkban ismert a merev grafok jellemzese, letezik rajuk eloallıtasi tetel, vala-

mint hatekony algoritmus a merevseg tesztelesere. A jellemzeshez szukseg van

a fuggetlenseg fogalmanak bevezetesere.

1.2.1. Definıcio. A (G, p) szerkezet fuggetlen, ha R(G, p) sorai linearisan

fuggetlenek.

1.2.2. Definıcio. A G = (V,E) graf fuggetlen, ha letezik fuggetlen realizaci-

oja.

1.2.3. Megjegyzes. Ha G = (V,E) fuggetlen, akkor |E| ≤ 2|V | − 3. (Ez az

R(G, p) rangjara vonatkozo felso becsles d = 2 esetben.)

G pontosan akkor merev, ha letezik benne 2|V | − 3 elszamu fuggetlen reszgraf.

Ez egy ritka tanu a merevsegre.


1.2.4. Definıcio. G = (V,E) ritka, ha ∀X ⊆ V , |X| ≥ 2-re i(X) ≤ 2|X| − 3,

ahol i(X) jeloli a feszıtett elek szamat.

1.2.5. Lemma. Ha G = (V,E) fuggetlen, akkor ritka.

A merev grafok jellemzesehez szuksegunk lesz ket kiterjesztesi muveletre

a grafon.

1.2.6. Definıcio. A masodfoku kiterjesztes jelentse azt, hogy egy uj csucsot

veszunk a grafhoz, es osszekotjuk ket regi csuccsal. A harmadfoku kiterjesztes

pedig jelentse azt, hogy egy uj csucsot veszunk a grafhoz, valasztunk a regi

csucsok kozul ket olyat, amelyek kozt vezet el, ezt az elt toroljuk, majd az uj

csucsot osszekotjuk ezzel a ket regi csuccsal, es meg egy harmadikkal.

1.2.7. Lemma. Legyen adott a G graf es annak egy p realizacioja a sıkon. Ha

a masodfoku kiterjesztesben szereplo harom csucs nincs egy egyenesen, akkor

a muvelet megorzi a fuggetlenseget. Ha a harmadfoku kiterjesztesben szereplo

harom regi csucs nem kollinearis, valamint az uj csucs rajta van a torolt el

vegpontjainak egyenesen, ez a muvelet is megorzi a fuggetlenseget.

1.3. abra. Masod-, illetve harmadfoku kiterjesztes. (A harmadfoku kiterjesztes

nem az emlıtett merevseget megorzo modon szerepel az abran.)

1.2.8. Lemma. Ha a G graf ritka, |V (G)| ≥ 3, elvegezheto a masod- vagy a

harmadfoku kiterjesztes inverz muvelete a ritkasag megorzese mellett.


1.2.9. Tetel. (Laman-tetel) [14] G ritka ⇐⇒ G fuggetlen.

1.2.10. Tetel. (Henneberg-fele eloallıtasi tetel) [3] G pontosan akkor mini-

malisan merev (mas szoval izosztatikus), ha megkaphato egyetlen elbol masod-

es harmadfoku kiterjesztesekkel.

1.2.11. Definıcio. Az X = (X1, . . . , Xt), Xi ⊆ V , |Xi| ≥ 2 halmaz egy

fedese G = (V,E)-nek, ha ∪ti=1E(Xi) = E. A fedes erteke pedig V al(X ) =∑ti=1(2|Xi| − 3).

A kovetkezo tetel ad egy Co-NP jellemzest.

1.2.12. Tetel. Lovasz-Yemini tetel [13] A fuggetlen elhalmazok merete es a

fedesek erteke kozott a kovetkezo egyenloseg teljesul:

max {F : F ⊆ E ritka} = min {V al(X ) : X fedes}.

1.2.13. Megjegyzes. Eleg un. vekony fedesekre minimalizalni, vagyis ame-

lyekre teljesul az |Xi ∩Xj| ≤ 1 egyenlotlenseg.

A merevseg tesztelesere, illetve maximalis ritka halmaz szamıtasara lete-

zik O(n2) futasideju algoritmus, mely a futas soran vegig fenntart egy optimalis

fedest.

1.2.14. Definıcio. Egy G graf 3Fa2 partıcioja azt jelenti, hogy az elhalmazt

harom eldiszjunkt fara partıcionaljuk, melyekre teljesul az, hogy a graf minden

pontjat pontosan ket darab fa tartalmazza.

Egy 3Fa2 partıciot megfelelonek (proper) nevezunk, ha a diszjunkt faknak

nincsenek nemtrivialis reszfai, melyek ugyanazt a csucshalmazt feszıtik.

1.2.15. Tetel. (Crapo tetele) [15] Egy G graf pontosan akkor generikusan

izosztatikus, ha van megfelelo (proper) 3Fa2 partıcioja.

-

2. fejezet

Henneberg-tıpusu muveletek

Erdekes kerdes, hogy szimmetrikus szerkezetek es nem feltetlenul szimmetrikus

mozgasok eseten megfogalmazhatok-e a korabbi sıkbeli tetelekkel analog allı-

tasok. Ebben a fejezetben a 2π/3-szogu forgatas esetet targyalom.

2.1. Szimmetrikus szerkezetek - bevezeto

2.1.1. Definıcio. A (G, p) d-dimenzios szerkezet szimmetria operacioja olyan

x izometriaja a ternek, hogy valamely α ∈ Aut(G) eseten ∀v ∈ V -re x(p(v)) =

p(α(v)) teljesul.

Ezek csopotjat a kompozıciora nezve a (G, p) szerkezet pont csoportjanak

nevezzuk.

Jelolje C3 a 2π/3-as forgatast, C3 pedig a csoportjat. Adott S d-dimenzios

szimmetriacsoport es adott G graf eseten R(G,S) jelenti G azon d-dimenzios

realizacioit, ahol S (nem feltetlenul valodi) reszcsoportja a graf pont cso-

portjanak. Maskepp megfogalmazva R(G,S) tartalmaz minden (G, p) realizaci-

ot, amihez letezik Φ : S → Aut(G) lekepezes, hogy

(*) ∀v ∈ V (G) es ∀x ∈ S eseten x(p(v)) = p(Φ(x)(v)).

A fenti osszefuggest kielegıto szerkezetet Φ-tıpusunak nevezzuk, es a

Φ-tıpusu R(G,S)-beli realizaciok halmazat R(G,S,Φ)-vel jeloljuk.

9

FEJEZET 2. HENNEBERG-TIPUSU MUVELETEK 10

2.1. abra. Izosztatikus szerkezetek a sıkon C3 pont csoporttal. Az elso szer-

kezet a haromszog prizma graf egy realizacioja R(G,C3,Φ)-ben, ahol Φ(C3) =

(v1v2v3)(v4v5v/). A masodik szerkezet a K3,3 graf egy realizacioja R(G,C3,Ψ),

ahol Ψ(C3) = (v1v2v3)(v4v5v6).

2.1.2. Definıcio. Tekintsuk a G = (V,E) graf ponthalmazan a Kn = (V,E ′)

teljes grafot, tovabba az S szimmetriacsoportot a Φ : S → Aut(G) lekepezessel.

A (G, p) ∈ R(G,S,Φ) szerkezet (S,Φ)-generikus, ha R(Kn, p) tetszoleges resz-

matrixanak determinana akkor es csak akkor 0, ha minden olyan p′-re 0, ami

kielegıti (*)-t.

Intuitıven ez azt jelenti, hogy egy ilyen realizacio az Sv = {Φ(x)(v)|x ∈ S}szimmetria orbitok reprezentansainak elhelyezese generikus pozıciokba. (A

tobbi csucs helyzete ebbol mar egyertelmu.)

2.1.3. Definıcio. Adott a G graf, S szimetriacsoport, illetve a hozza tar-

tozo Φ : S → Aut(G) lekepezes. G-t (S,Φ)-generikusan infinitezimalisan

merevnek (fuggetlennek, izosztatikusnak) nevezzuk, ha G minden realizacioja,

ami (S,Φ)-generikus, infinitezimalisan merev (fuggetlen, izosztatikus).

2.1.4. Tetel. [10] Legyen G egy graf, S szimmetriacsoport, Φ : S → Aut(G)

lekepezes olyan, hogy R(G,S,Φ) 6= ∅. Ekkor a kovetkezok ekvivalensek:

• ∃ infinitezimalisan merev (fuggetlen, izosztatikus) (G, p) ∈ R(G,S,Φ) szer-

kezet;

• G minden (S,Φ)-generikus realizacoja infinitezimalisan merev (fuggetlen,

izosztatikus).


2.2. C3 a sıkban

A tovabbiakban tekintsuk az origo kozeppontu, 2π/3 szogu forgatast a sıkban.

2.2.1. Muveletek

2.2.1. Definıcio. Adott a G graf, valamint a Φ : C3 → Aut(G) lekepezes, es

(G, p) ∈ R(G,C3,Φ). A (v, p(v)) csuklot C3 fixalja Φ-re nezve, ha Φ(C3)(v) = v.

A fixalt csuklok szama (G, p)-ben jΦ(C3).

2.2.2. Megjegyzes. Ha (v, p(v)) (G, p) ∈ R(G,C3,Φ)-beli csuklot C3 fixalja Φ-re

nezve, akkor C3(p(v)) = p(Φ(C3)(v)) = p(v), azaz v a C3 forgatas kozeppont-

jaban fekszik.

2.2.3. Tetel. [2] Adott a G graf, Φ : C3 → Aut(G) homomorfizmus, (G, p)

egy izosztatikus szerkezet R(G,C3,Φ)-ben, tovabba a p(v) pontok feszıtsek ki R2-et.

Ekkor G teljesıti a Laman-felteteleket es jΦ(C3) = 0.

A tetel bizonyıtasa a szimmetrikus Maxwell-egyenlosegbol olvashato ki.

Bovebben lasd: [2].

2.2.4. Definıcio. [23] Adott G graf, v1, v2 ∈ V (G), v1 6= v2, C3 = {Id, C3, C23}

a sıkban, Φ : C3 → Aut(G) homomorfizmus. Vegyunk harom uj u1, u2, u3

pontot, valamint a kovetkezo eleket:

u1v1, u1v2, u2Φ(C3)(v1), u2Φ(C3)(v2), u3Φ(C23)(v1), u3Φ(C2

3)(v2).

Ezt a muveletet (C3,Φ) ponthozzaadasnak nevezzuk.

2.2.5. Definıcio. [23] Adott a G graf, v1, v2, v3 ∈ V (G) paronkent kulonbozok,

v1v2 ∈ E(G), C3 = {Id, C3, C23} a sıkban, Φ : C3 → Aut(G) homomorfizmus, es

v1, v2 nem lehetnek fixek Φ(C3)-ra nezve. Vegyunk harom uj u1, u2, u3 pontot,

toroljuk a v1v2,Φ(C3)(v1v2),Φ(C23)(v1v2) eleket, valamint huzzuk be a kovetkezo

uj eleket: u1vi, u2Φ(C3)(vi), u3Φ(C23)(vi), ahol i = 1, . . . , 3. Ezt a muveletet

(C3,Φ) elfelosztasnak nevezzuk.


2.2.6. Definıcio. [23] Adott a G graf, v0 ∈ V (G), C3 = {Id, C3, C23} a sıkban,

Φ : C3 → Aut(G) homomorfizmus, v0 nem fix Φ(C3)-ra nezve. Vegyunk harom

uj u1, u2, u3 pontot, valamint a kovetkezo uj eleket:

u1u2, u2u3, u3u2, u1v0, u2Φ(C3)(v0), u3Φ(C23)(v0).

Ezt a muveletet (C3,Φ) haromszog-kiterjesztesnek nevezzuk.

2.2.7. Megjegyzes. A fenti harom muvelet mindegyike vegrehajthato masod-

es harmadfoku kiterjesztesek sorozatakent is, tehat megorzik a Laman-tulaj-

donsagot. A ponthozzaadas jol lathatoan harom darab masodfoku kiterjesztes

szimmetrikusan elvegezve. Az elfelosztas harom darab harmadfoku kiterjesztes

szimmetrikusan elvegezve. A haromszog-kiterjeszteshez ugy juthatunk el, ha

eloszor u1-et masodoku kiterjesztessel hozzakapcsoljuk v1-hez es v2-hoz. Ezutan

u2-t harmadfoku kiterjesztessel kapcsoljuk u1-hez, v2-hoz es v3-hoz az u1v2 el

torlesevel, vegul u3-at szinten harmadfoku kiterjesztessel hozzakapcsoljuk u1-

hez, u2-hoz es v3-hoz az u2v3 el torlesevel.

2.2. abra. Ponthozzaadas, elfelosztas es haromszog-kiterjesztes.

2.2.8. Definıcio. [23] Adott a G graf, C3 = {Id, C3, C23} a sıkban, Φ : C3 →

Aut(G) homomorfizmus. A G grafnak egy (C3,Φ) 3Fa2 partıcioja olyan spe-

cialis {E(T0), E(T1), E(T2)} 3Fa2 partıcio, melyben ∀i ∈ {1, 2, 3}-ra megko-

veteljuk, hogy Φ(C3)(Ti) = Ti+1 teljesuljon modulo 3. (Ez egy 3Fa2 partıcio

faforgatasi tulajdonsaggal.)


2.2.2. Sıkbeli szerkezetek alapteteleinek analogiaja

2.2.9. Tetel. [7] Legyen G egy izosztatikus graf a sıkban, es legyen v egy har-

madfoku csucsa, melynek szomszedai: w1, w2, w3. Ekkor a v torlesevel keletkezo

grafban ki lehet valasztani w1, w2 es w3 kozul ket olyat, hogy kozejuk behuzva

egy elt az uj G′ graf is izosztatikus legyen.

A kovetkezo definıcio altalanosıtja a szerkezet fogalmat.

2.2.10. Definıcio. Legyen G egy graf, V (G) = {v1, . . . , vn}. Egy R2-beli keret

egy olyan (G, p, q) harmas, melyre p : V (G) → R2, q : E(G) → R2 \ {0}lekepezesek olyanok, hogy minden vivj ∈ E(G)-re letezik λij ∈ R2, melyre

p(vi)− p(v − j) = λijq(vivj). (λij = 0 is lehetseges.)

2.2.11. Definıcio. A (G, p, q) keret altalanosıtott merevsegi matrixa R2-ben

a kovetkezo:

R(G, p, q) =

...

0 . . . 0 q(vivj) 0 . . . 0 −q(vivj) 0 . . . 0...

2.2.12. Definıcio. Azt mondjuk, hogy a (G, p, q) keret fuggetlen, ha R(G, p, q)

sorai linearisan fuggetlenek.

2.2.13. Megjegyzes. Ha a (G, p, q) keret fuggetlen es vivj ∈ E(G) eseten

p(vi) 6= p(vj), akkor a (G, p) szerkezet is fuggetlen.

2.2.14. Tetel. [23] Legyen G egy legalabb harom pontu graf, C3 = {Id, C3, C23}

a sıkban, Φ : C3 → Aut(G) homomorfizmus. A kovetkezok ekvivalensek:

• (A) R(G,C3,Φ) 6= ∅ es G (C3,Φ)-generikusan izosztatikus;

• (B) |E(G)| = 2|V (G)|−3, i(X) ≤ 2|X|−3 minden X ⊆ V (G), |X| ≥ 2

eseten, tovabba jΦ(C3) = 0;


• (C) ∃(K3,Φ0) = (G0,Φ0), (G1,Φ1), . . . , () = (G,Φ) konstrukciosorozat,

amelyre Gi+1 a fent definialt harom muvelet valamelyikevel kaphato meg

Gi-bol, Φi+1|V (Gi) = Φi, tovabba Φi+1(C3)|u1,u2,u3 = (u1u2u3), ahol a

harom uj pontot u1, u2, u3 jeloli;

• (D) G-nek van egy megfelelo (proper) (C3,Φ) 3Fa2 partıcioja.

Bizonyıtas:

(A) ⇒ (B): A 2.2.3 tetel eppen ezt mondja ki.

(B) ⇒ (C) Ez az irany teljes indukciot hasznalva esetvizsgalattal veze-

theto le, felhasznalva a graf (hagyomanyos ertelemben vett) Henneberg-felepı-

tesere vonatkozo ismereteket.

A Φ : C3 → Aut(G) letezese es jΦ(C3) = 0 miatt |V (G)| ≡ 0 modulo 3. A

legkisebb ilyen graf a K3, amelyhez nemtrivialis Φ tartozik. Az alapeset tehat

kesz. Tegyuk fel, hogy n pontig tudjuk, hogy igaz az allıtas, es tekintsunk egy

|(V (G)| = n+ 3 pontu grafot.

Ha ennek a grafnak van v masodfoku pontja, akkor mar csak az kell,

hogy v, Φ(C3)(v) es Φ(C23)(v) (egymastol kulonbozo masodfoku) pontok kozt

nem vezet el. Ha vΦ(C3)(v) ∈ E(G), akkor a szimmetria miatt ez a harom

pont egy haromszoget alkot, mely nem kapcsolodik a graf tobbi reszehez, tehat

G nem lehet Laman-tulajdonsagu:

|E(G−{v,Φ(C3)(v),Φ(C23)(v)})| = |E(G)|−3 = 2|V (G)|−6 = 2|V (G−

{v,Φ(C3)(v),Φ(C23)(v)})|.

Tehat a v, Φ(C3)(v),Φ(C23)(v) pontok olyanok, hogy az o torlesuk utan

keletkezo grafban a Laman-feltetel megorzodik, az indukcio miatt letezik a

tetelbeli konstrukciosorozat, es ok a ponthozzaadas muvelettel adhatok a graf-

hoz a sorozat utolso elemekent.

Ha a G grafnak nincs masodfoku pontja, akkor a Laman-feltetel garan-

talja, hogy van harmadfoku pontja, jelolje ezt ismet v.

Negy esetet kell megkulonboztetnunk v, Φ(C3)(v), Φ(C23)(v) elhelyezke-

deset tekintve:


• (1) nem vezet koztuk el, de mindharman ugyanazzal a harom ponttal

szomszedosak;

• (2) nem vezet koztuk el, de barmely kettonek van kozos szomszedja;

• (3) nem vezet koztuk el, es szomszedjaik is kulonbozoek;

• (4) vΦ(C3)(v) ∈ E(G) (ekkor harmadik szomszedaik kulonbozoek, mivel

nincs a forgatas altal fixalt pont).

2.3. abra. Negy kulonbozo eset a harmadfoku pont elforgatottjainak es

szomszedainak kapcsolatara.

Az (1) esetben a 2.2.9 Tetel miatt v leemelheto oly modon, hogy szomsze-

dai kozul kettot ellel kotunk ossze, es v-t toroljuk (a harmadfoku kiterjesztes

Henneberg-muvelet inverzekent), valamint ugyanezt vegrehajthatjuk sorban

Φ(C3)(v)-re es Φ(C23)(v)-re is, vagyis a szomszedait paronkent osszekotjuk,

mıg v-t es kepeit toroljuk. Ekkor a Laman-feltetel megorzodik. Indukcioval

erre a grafra letezik a kıvant konstrukciosorozat, es befejezo lepeskent meg egy

elfelosztasra lesz szuksegunk, hogy visszakapjuk G-t.

A (2) es (3) esetben a 2.2.9 Tetel miatt szintjen leemelheto v oly modon,

hogy szomszedai kozul kettot osszekotunk, legyenek ezek v1 es v2. v elforgatott-

jaival ugyanezt megtesszuk (de ott nem feltetlenul a szimmetrikus szomszedok

koze kerul el). Igy a G0 grafhoz jutunk. H ⊆ G0−{v1, v2} reszgrafra igaz lesz a

kovetkezo: |E(H)| ≤ 2|V (H)|−4. Sot, ha G′ jeloli a G grafbol v es elforgatott-

jai torlesevel kapott grafot, minden H ⊆ G′-re, ahol v1, v2 ∈ H, ugyanez igaz.


Illetve mivel G′ invarians a forgatasra, minden olyan H reszgrafra is teljesul az

osszefugges, amely tartalmazza Φ(C3)(v1)-t es Φ(C3)(v2)-t, vagy Φ(C3)2(v1)-

t es Φ(C3)2(v2)-t. Ki fog derulni, hogy {v1, v2}, {Φ(C3)(v1),Φ(C3)(v2)} es

{Φ(C3)2(v1),Φ(C3)2(v2)} diszjunkt parok.

Tegyuk fel, hogy {v1, v2} = {Φ(C3)(v1),Φ(C3)(v2)}. Ekkor v1 = Φ(C3)(v2)

es v2 = Φ(C3)(v1), amibol kovetkezik, hogy v2 = Φ(C3)(v1) = Φ(C3)2(v2), de ez

ellentmond annak, hogy nincs a forgatas altal fixalt pont. A tobbire ugyanıgy.

Definialjuk a kovetkezo grafot:

G = G′ + {{v1, v2}, {Φ(C3)(v1),Φ(C3)(v2)}, {Φ(C3)2(v1),Φ(C3)2(v2)}}.Ez kielegıti a Laman-felteteleket.

|E(G)| = |E(G′)|+ 3 = |E(G)| − 6 = 2|V (G)| − 9 = 2|V (G)| − 3 rogton

adodik.

Tegyuk fel, hogy letezik H ⊆ G′, v1, v2,Φ(C3)(v1),Φ(C3)(v2) ∈ V (H) es

|E(H)| = 2|V (H)| − 4. Φ(C3)(H)-t es Φ(C3)(H)-t is tekinthetjuk, hasonlo

tulajdonsagokkal. Legyen H ′ = H ∪ Φ(C3)(H). Ekkor |E(H ′)| = |E(H)| +|E(Φ(C3)(H))| − |E(H ∩ Φ(C3)(H))| ≥ 2|V (H)| − 4 + 2|V (Φ(C3)(H)| − 4 −(2|V (H ∩ Φ(C3)(H))| − 4) = 2|V (H ′)| − 4, mert H ∩ Φ(C3)(H) reszgrafja

G′-nek, es tartalmazza Φ(C3)(v1)-t es Φ(C3)(v2)-t. H ′ szinten tartalmazza

oket, ezert |E(H ′)| = 2|V (H ′)| − 4. Hasonlo igaz H ′′ = H ′ ∩ Φ(C3)2(H)-

ra, |E(H ′′)| = 2|V (H ′′)| − 4, raadasul H ′′ invarians a forgatasra es nincs fix

pontja, vagyis eleinek es csucsainak szama 3-mal oszthato. Ez ellentmond

|E(H ′′)| = 2|V (H ′′)| − 4-nek.

Tehat mindenH ⊆ G′-re, ahol v1, v2,Φ(C3)(v1),Φ(C3)(v2), arra |E(H)| ≤2|V (H)|−5 teljesul. (A forgatassal kapott alıtasok igazak G′ invarianciaja mi-

att.) Mar csak azt kell megmutatni, hogy ez sem teljesulhet egyenloseggel,

ha H meg Φ(C3)2(v1),Φ(C3)2(v2)-t is tartalmazza. Indirekt tegyuk fel, hogy

letezik H, ami egyenloseggel teljesıti. Akkor H elforgatottjaira ugyanez igaz.

Legyen H ′ = H ∪ Φ(C3)(H). Ekkor |E(H ′)| = |E(H)| + |(EΦ(C3)(H)| −|E(H∩Φ(C3)(H)| ≥ 2|V (H)|−5+2|V (Φ(C3)(H)|−5−(2|V (H∩Φ(C3)(H))|−5) = 2|V (H ′)| − 5, mivel H ∩ Φ(C3)(H) is reszgrafja G′-nek, es tartalmazza

v1, v2-t es Φ(C3)(v2),Φ(C3)(v2)-t. Igy |E(H ′)| = 2|V (H ′)| − 5. Hasonlo igaz


H ′′ = H ′∪Φ(C3)(H)-ra. Csakhogy H ′′ invarians a forgatasra, nincs fix pontja,

es ıgy pontjainak es eleinek szama 3-mal oszthato, ami ellentmond a kapott

egyenlosegnek.

Tehat G teljesıti a Laman-felteteleket, es ıgy az indukcios feltetel fel-

hasznalva, valamint egy elfelosztast vegrehajtva keszen vagyunk.

A (4) esetben v-t es kepeit torolve Laman-grafhoz jutunk, amelynek

az indukcio szerint letezik megfelelo konstrukciosorozata, ıgy utolso lepeskent

elvegezhetjuk a haromszog-kiterjesztes muveletet.

(C) ⇒ (D): Ismet pontszam szerinti indukciot alkalmazunk. K3 eseten

a harom fa a harom kulonbozo elbol all. Raadasul ha egy el a T1 faban van,

elforgatottja legyen a T2 faban, mıg annak elforgatottja a T3 faban. Ezt a

faforgatasi tulajdonsagot vegig megorizzuk. (Ha egy uj elrol eldontjuk, hogy a

Ti fahoz kapcsolodjon, mert valamely vegpontjaba mar vezet Ti-beli el, akkor

az elforgatottjaba szuksegkepp vezet Ti+1-beli, tehat ez a tulajdonsag nem

kerul osszeutkozesbe azzal, hogy fakat epıtunk, vagyis osszefuggo reszgrafokat.)

Tegyuk fel, hogy n pontig igaz az allıtas, es lassuk be V (G) = n+3-ra. A konst-

rukciosorozat G-t megelozo elemet jelolje G′. Kulon esetekkent vizsgaljuk,

hogy G eloallıtasahoz mi volt az utolso muvelet.

Ha az utolso muvelet ponthozzaadas, egy uj pont eleit ugy rakhatjuk be

ket kulonbozo faba, hogy megnezzuk a ket szomszedjat, es mivel mindketten

ket-ket faban vannak benne, ki tudunk valasztani ket kulonbozo fat az uj pont

eleinek szamara. Ha az egyik uj pont eleinel dontottunk, elforgatottjainak

tudunk ugy valasztani, hogy fennmaradjon a fenti faforgatasi tulajdonsag.

Ha az utolso muvelet elfelosztas, akkor egy uj pont harom elet kell ket

kulonbozo faba beosztani. Az uj pont harom szomszedja kozul ketto G′-ben

szomszedos volt, de a koztuk levo elt a muvelet soran toroltuk. Az uj pont

ezen ket regi ponthoz kapcsolodo ele tehat megkaphatja a torolt el tıpusat.

Az uj pont harmadik elehez ket lehetseges fatıpus tartozhat, ezek kozul az

egyiket meg biztos nem hasznaltuk el, tehat tudunk valasztani minden elhez


megfelelo fat. Az uj pont elforgatottjainak valasszuk ugy a cımkezeset, hogy

fennmaradjon a faforgatasi tulajdonsag.

Ha az utolso muvelet haromszog-kiterjesztes volt, mindharom uj pont

egy-egy regi ponthoz kapcsolodik, es itt kihasznaljuk, hogy vegig fenntartottuk

a faforgatasi tulajdonsagot. Ugyanis emiatt ha az egyik uj es az egyik G′-beli

pontot osszekoto el tıpusa Ti lett, az elforgatottja Ti+1-beli, annak az elforga-

tottja pedig Ti+2-beli lesz (modulo 3 szamolva). Ezek utan vegyunk egy olyan

elet, mely ket uj pont kozt vezet. Ennek az elnek a tıpusat a vegpontjaihoz

kapcsolodo ket el tıpusatol fuggoen szabadon megvalaszthatjuk, es a faforgatas

szabalyainak megfeleloen a tobbi mar adodik.

Vagyis G-nek is letezik (C3,Φ) 3Fa2 partıcioja.

(D) ⇒ (A): Crapo eredeti eredmenyere Tay adott egy bizonyıtast, ame-

lyhez hasonlo megkozelıtes hasznalhato ennek az iranynak a belatasara.

Tegyuk fel, hogy {T0, T1, T2} egy megfelelo (C3,Φ) 3Fa2 partıcio. A 2.1.4

alapjan elegendo talalni egy (G, p) ∈ R(G,C3,Φ)-t, ami izosztatikus. Mivel az

elhalmaz harom fa unioja, |E(G)| = 2|V (G)| − 3. Igy eleg olyan p realizaciot

talalni, amelyre (G, p) ∈ R(G,C3,Φ) fuggetlen.

Legyen a0 = (0, 0), a1 = (1, 0) es a2 = (12,√

32

). Jelolje Vi azon pontok

halmazat, melyek nincsenek benne Ti-ben. Ekkor (G, p, q) legyen a kovetkezo:

p(v) = ai, ha v ∈ Vi;

q(e) =

a2 − a1 = (−1

2,√

32

) , ha e ∈ E(T0)

a0 − a2 = (−12,−√

32

) , ha e ∈ E(T1)

a1 − a0 = (1, 0) , ha e ∈ E(T2)

A hozza tartozo R(G, p, q)-t modosıtsuk ugy, hogy felcsereljuk az oszlo-

pait: a paratlanadik oszlopokat vesszuk elore egymas utan (sorrendjuket nem

modosıtva), majd a parosadik oszlopokat (sorrendjuket szinten nem modosıt-

va). Ezutan ha szukseges, csereljuk fel a sorokat is ugy, hogy eloszor a T0-

beli elek, aztan a T1-beli elek, aztan pedig a T3-beli elek sorai kovetkezzenek.

Ezek a muveletek nem befolyasoljak a sorok osszefuggoseget, ıgy eleg a kapott

R′(G, p, q) matrix sorainak fuggetlenseget belatni R(G, p, q) sorainak fugget-


lensegehez. Jelolje az e elhez tartozo sort Fe.

−12

12

√3

2−√

32

......

−12

12

√3

2−√

32

−12

12

−√

32

√3

2...

...

−12

12

−√

32

√3

2

1 −1 0 . . . 0...

.... . .

...

1 −1 0 0

Indirekt tegyuk fel, hogy

∑e∈E(G) αeFe = 0, ugy hogy αe 6= 0 valamely

e ∈ E(G)-re.

Tegyuk fel, hogy αe 6= 0 valamely e ∈ T2-re. Mivel T2 fa, ∃vs ∈ V (T2),

amelyre∑

e∈E(T2) = C 6= 0. A 3Fa2 partıcio tulajdonsagai miatt vs-nek benne

kell lennie valamelyik masik faban is, tegyuk fel, hogy ez T1. Ekkor ∀e ∈ T0-ra

(Fe)s = 0, (Fe)|V (G)|+s = 0. Az indirekt felteves miatt∑

e∈E(T1) αe(Fe)s =

−C. Ekkor viszont a matrix specialis alakja miatt∑

e∈E(T1) αe(Fe)|V (G)|+s =∑e∈E(G) αe(Fe)|V (G)|+s = −

√3C 6= 0. Tehat ebben az esetben ellentmondasra

jutunk, vagyis minden e ∈ E(T2)-re αe = 0. Torolhetjuk a T2-nek megfelelo

sorokat R′(G, p, q)-bol, es eleg a maradekrol belatni a fuggetlenseget. Ez

megteheto a matrix alkalmas bazistranszformacioja utan a fentihez hasonlo

erveket alkalmazva.

A kovetkezo teendo (G, p, q) pontjainak szimmetrikus szethuzasa. Tegyuk

fel, hogy |Vi| ≥ 2. Mivel {T0, T1, T2} egy megfelelo partıcio, < V0 > ∩Ti nem

osszefuggo valamely i ∈ {1, 2}-re. Tegyuk fel, hogy i = 2-re nem osszefuggo,

ekkor az elforgatottjaik, azaz < V1 > ∩T0 es < V2 > ∩T1 szinten nem

lesznek osszefuggoek. Legyen A a < V0 > ∩T2 egy osszefuggo komponensenek

csucshalmaza. Legyen t ∈ R, pt : V (G)→ R2, qt : E(G)→ R2 a kovetkezo:


pt(v) =

(−1

2t,−

√3

2t) , ha v ∈ A

(1 + t, 0) , ha v ∈ Φ(C3)(A)

(12(1− t),

√3

2(1 + t)) , ha v ∈ Φ(C3)2(A)

p(v) , kulonben.

qt(e) =

(1 + 12t,√

32t) , ha e ∈ EA,V1\Φ(C3)(A)

(1 + 32t,√

32t) , ha e ∈ EA,Φ(C3)(A)

(−12− t,

√3

2) , ha e ∈ EΦ(C3)(A),V2\Φ(C3)2(A)

(−12− 3

2t,√

32

(1 + t)) , ha e ∈ EΦ(C3)(A),Φ(C3)2(A)

(−12(1− t),−

√3

2(1 + t)) , ha e ∈ EΦ(C3)2(A),V0\A

(−12,−√

32−√

3t , ha e ∈ EΦ(C3)2(A),A

q(e) , kulonben.

, ahol EX,Y jelenti az X es Y koztes eleinek szamat valamely X, Y ⊆V (G) diszjunkt halmazokra.

Ekkor (G, p, q) = (G, p0, q0). Ha t′-t valtozonak tekintjuk, a (G, pt′ , qt′)

pontosan akkor linearisan osszefuggo (R[t′] folott), ha minden |E(G)|×|E(G)|-s reszmatrix deteminansa azonosan 0. Ezek t′-ben polinomialisak, ıgy azon

t′-k halmaza, amelyekre R(G, pt′ , qt′) sorai nem linearisan fuggetlenek, egy F

varietast alkotnak, amelynek komplementere ha nemures, suru nyılt halmaz.

Mivel t = 0 /∈ F , majdnem minden t-re a matrix sorai linearisan fuggetlenek

lesznek, azaz letezik t0 6= 0, amire (G, pt0 , qt0) keret fuggetlen. Az eljarast

folytatva eljutunk egy olyan (G, p, q) kerethez, amelyben minden uv ∈ E(G)-

re p(u) 6= p(v). Igy a 2.2.13 miatt (G, p) egy fuggetlen szerkezet R(G,C3,Φ)-ben.

Vagyis a tetelt belattuk. �

2.2.15. Megjegyzes. Az elozo tetelhez hasonlo eredmenyek ismertek C∈-re,

ami a π-szogu forgatas csoportja, valamint CS-re, ami a tukrozes csoportja.

Sejtes, hogy C2v-re es C3v-re is levezetheto ilyen tıpusu tetel, de komplikaltabb

modon. [22]

Schulze eredmenyei olyan szempontbol gyengebbek, mint a periodikus

eset hasonlo eredmenyei, hogy csak izosztatikus szerkezetekrol szol, viszont

olyan szempontbol erosebbek, hogy ezek olyan szerkezetekrol is informaciot


adnak, amiktol nem koveteljuk meg a szimmetriat, csak epp mellekesen szim-

metrikusak.

3. fejezet

Fix racsu es ”cone” (kupos)

szerkezetek

Ebben a fejezetben olyan R2-beli specialis grafok merevsegenek tesztelesere

adunk algoritmusokat, melyekhez szimmetriara, illetve periodikussagra vonat-

kozo extra feltetelek is tartoznak.

3.1. A generikus merevseghez szukseges kombinatorikus

modell

A szerkezet specialis strukturaja miatt nem az egesz szerkezetet, hanem az un.

szınezett grafot vizsgaljuk a fejezet soran.

3.1.1. Definıcio. Legyen G = (V,E) egy veges iranyıtott multigraf, tovabba

legyen adva egy hozza tartozo γ = (γij)ij∈E, γij ∈ Γ csoport. A (G, γ) part

szınezett grafnak nevezzuk.

Egy adott periodikus vagy szimmetrikus szerkezethez tartozo szınezett

grafot ugy konstrualhatunk meg, hogy a pont-orbitokat osszehuzzuk pontokka,

az el-orbitokat osszehuzzuk elekke, tovabba a pont-orbitok es el-orbitok inci-

denciajat megtartva az eleket tetszoleges modon megiranyıtjuk. Ez egy veges

grafreprezentaciojat adja a pont-orbitoknak es el-orbitoknak. Egy ij ∈ E

22

FEJEZET 3. FIX RACSU ES ”CONE” (KUPOS) SZERKEZETEK 23

elhez tartozzon egy cımke vagy szın, amit ugy kapunk meg, hogy felemeljuk

az ij elt az eredeti graf egyetlen olyan ij eleve, melynek tove egy i-hez tartozo

kivalasztott i reprezentanselem. Ekkor az ij el feje γijj, ahol j a j valasztott

reprezentanseleme. Ez a γij lesz az ij el szıne.

Ez a graf az egyes orbitokrol egy-egy csucsot tartalmaz, es a cımkezett

elek mutatjak a teljes szerkezet strukturajat. Ennek a fogalomnak a bevezeteset

az a teny indokolja, hogy a grafhoz kapcsolodo extra periodicitasi/szimmetria

feltetelek miatt bizonyos csucsok kenytelenek egyutt mozogni.

3.1. abra. Periodikus szerkezet es egy hozza tartozo szınezett graf.

3.1.2. Megjegyzes. Fix racsu periodikus szerkezetre Γ = Z2; mıg k ≥ 2 egesz

”cone” (kupos) grafra Γ = Z/kZ.

3.1.3. Definıcio. Azokat a mozgasokat tekintjuk megengedett folytonos moz-

gasoknak, amelyek megorzik a csucs-el kapcsolatokon es a rudak hosszan kıvul

az adott periodicitasi, ill. szimmetria felteteleket is.

3.1.4. Definıcio. Egy fix racsu szerkezet merev, ha az egyetlen megengedett

mozgas az eltolas; mıg egy kupszerkezetet akkor hıvunk merevnek, ha az egyetlen

megengedett mozgas a kozeppont koruli forgatas.

3.1.5. Definıcio. Egy szimmetrikus/periodikus szerkezet minimalisan merev,

ha merev, de barmely el-orbit rudjainak eltavolıtasa utan mar nem az.


3.2. Merevsegi tetelek

A kovetkezokben az ilyen tıpusu grafok merevsegenek vizsgalatahoz szukseges

definıciok es tetelek szerepelnek. A tovabbiakban jelolje n a pontok, m pedig

az elek szamat a grafban.

3.2.1. Definıcio. Legyen a G ciklikus terebol Γ-ba kepezo ρ fuggveny a kovet-

kezo: ρ(C) =∑

ij∈C,elore-el γij −∑

ij∈C,hatra-el γij, ahol C fix bejarasu kor

G-ben.

3.2.2. Definıcio. ρ(G′) jeloli G′ Γ-kepet, amit trivialisnak nevezzuk, ha min-

den G′ altal feszıtett C kor ρ(C) kepe az identitas. Kulonben nemtrivialis.

Jelolje n a G graf csucsainak, m pedig az eleinek szamat.

3.2.3. Tetel. [8] Egy generikus fix racsos szerkezet a hozzarendelt (G, γ) szı-

nezett graffal minimalisan merev ⇐⇒(1) m = 2n− 2;

(2) ∀ G′ nemures reszgrafra, amelynek pontszama n′, elszama m′, es trivialis

a Z2-kepe, teljesul a kovetkezo: m′ ≤ 2n′ − 3;

(3) ∀ G′ nemures reszgrafra, amelynek pontszama n′, elszama m′, es nemtri-

vialis a Z2-kepe, teljesul a kovetkezo: m′ ≤ 2n′ − 2.

Azokat a grafokat, melyek teljesıtik a tetelben szereplo harom feltetelt,

Ross-grafoknak hıvjuk. Ha csak a (2) es (3) feltetelek teljesulnek, a graf Ross-

ritka.

3.2.4. Definıcio. A 3.2.3 alapjan a maximalisan merev reszszerkezet altalanos

fix racsu szerkezetben megfelel azon G-beli maximalis reszgrafnak, ahol m′ =

2n′ − 2. Ezeket nevezzuk (G, γ) merev komponenseinek.

3.2.5. Tetel. [9] Egy generikus ”cone” (kupos) szerkezet a hozzarendelt szı-

nezett graffal minimalisan merev ⇐⇒(1) m = 2n− 1;


(2) ∀ G′ nemures reszgrafra, amelynek pontszama n′, elszama m′, es trivialis

a Z/kZ-kepe, teljesul a kovetkezo: m′ ≤ 2n′ − 3;

(3) ∀ G′ nemures reszgrafra, amelynek pontszama n′, elszama m′, es nemtri-

vialis a Z/kZ-kepe, teljesul a kovetkezo: m′ ≤ 2n′ − 1.

Az ilyen grafokat nevezzuk cone-Laman-grafoknak. (A Ross-grafokkal

analog modon, csak epp 2n′ − 2 helyett 2n′ − 1-gyel.)

A Ross- es cone-Laman grafok matroidcsaladok. [9]

3.2.6. Lemma. [8] Legyen (G, γ) egy szınezett graf. ρ(G) trivialis ⇔ G min-

den T feszıto erdojere ρ trivialis minden T altal indukalt alapkorre.

Kovetkezzenek a (k, l)-ritkasaggal kapcsolatos alapfogalmak. ([16]) Ezek

a (k, l)-ritkasagi fogalmak a megfelelo matroid alapfogalmainak felelnek meg,

ez indokolja az elnevezeseket is.

3.2.7. Definıcio. A (k, l)-ritkasag azt jelenti, hogy m′ ≤ kn′ − l teljesul min-

den reszgrafra. Ha m = kn− l, a graf (k, l)-graf.

3.2.8. Definıcio. A (k,l)-kor olyan graf, ami nem (k, l)-ritka, de barmely elet

elhagyva mar az. Ezek mindig (k, l − 1)-grafok, es a megfelelo matroid koreit

alkotjak.

3.2.9. Definıcio. A G graf (k, l)-bazisa alatt olyan maximalis G′ reszgrafot

ertunk, amely (k, l)-ritka. A definıcio megfelel a matroid bazis fogalmanak.

3.2.10. Definıcio. Ha a G′ graf (k, l)-bazis, ij ∈ E(G) − E(G′), akkor a

0(k, l)-alapkor ij-re es G′-re az egyetlen (k, l)-kor G′ + ij-ben.

3.2.11. Megjegyzes. Egy graf ”(2, 3)-” tulajdonsagu ⇔ Laman-graf.

A kesobbi algoritmusokhoz felhasznaljuk a ”pebble game”-et, amely egy

egyszeru es elegans kombinatorikus modszer, csupan a graf iranyıtasanak meg-

felelo valtoztatasat hasznalja. A (k,l)-”pebble game” segıtsegevel O(1) ido

ellenorizni, hogy egy ij el feszıtett-e valamely (k, l)-komponensben. O(n2)

ido frissıteni a komponenseket, ha egy G + ij (k, l)-ritka. Tovabba O(n) ido

szukseges adott (k, l)-ritka grafra alapkor szamıtasahoz.


3.2.12. Definıcio. (Legkisebb kozos os faban) Legyen T r-gyokeru fa, i, j ∈V (T ). Ekkor i es j legkisebb kozos ose T -ben az a csucs, ahol az egyertelmu

i→ r-ut es a j → r-ut eloszor talalkoznak.

Ez O(n) eloprocesszalas utan O(1) idoben szamıthato. (Bovebben: [4].)

3.2.13. Lemma. [21] Legyen G egy graf, es tegyuk fel, hogy a Laman-korok

G-ben eldiszjunktak. Ekkor minden G-beli Laman-bazisra ugyanaz az alapkor,

es minden Laman-kor G-ben egy alapkor.

Bizonyıtas: Legyen G egy Laman-bazisa L. A matroidtulajdonsag miatt

minden Laman-kor egyuttal Laman-alapkor L-re, vagy eloall kor eliminacios

lepesekkel. Az eldiszjunktsagra vonatkozo felteves miatt a masodik eset nem

fordulhat elo, tehat az allıtas igaz, mivel L-t tetszolegesen valasztottuk. �

3.2.14. Lemma. [21] Legyen (G, γ) egy szınezett graf, es tegyuk fel, hogy G

egy (2, 2)-graf. (G, γ) Ross graf ⇔ G-ben minden L Laman-bazisra a Laman-

kor minden ij ∈ E − E(L)-re nemtrivialis Z2-keppel rendelkezik.

Bizonyıtas: (G, γ) legyen a felteteleknek megfelelo. Figyeljuk meg, hogy

minden G-beli G′ (2, 2)-blokknak tartalmaznia kell Laman-kort, ugyanis egy

G′-beli Laman-bazis nem tartalmazhatja az osszes elt, mert tul sok van. De

ha barmely G′ (2, 2)-blokknak trivialis a Z2-kepe, akkor a reszgrafjainak is az,

aminek tartalmaznia kell Laman-kort. Emiatt (G, γ) pontosan akkor Ross-

graf, ha minden Laman-kornek nemtrivialis a Z2-kepe.

Meg azt kell belatnunk, hogy minden Laman-kor helyett eleg csak a

Laman-alapkorokre megkovetelnunk a nemtrivialitast. A Laman-korok (2, 2)-

blokkok G-ben, es nem tartalmazhatnak kisebb (2, 2)-blokkokat. Mivel G

(2, 2)-graf, ıgy a G-beli (2, 2)-blokkok kozul barmely kettore igaz az, hogy vagy

eldiszjunktak, vagy (2, 2)-blokkban metszik egymast. Ebbol kovetkezik, hogy

a Laman-korok, amik nem tartalmaznak kisebb (2, 2)-blokkot, eldiszjunktak,

vagyis a 3.2.13 alapjan az allıtas igaz. �


3.2.15. Lemma. [21] Legyen (G, γ) egy szınezett graf Γ = Z/kZ csoporttal,

es tegyuk fel, hogy G (2, 2)-kor. (G, γ) pontosan akkor cone-Laman graf, ha

barmely elt eltavolıtva G-bol Ross-grafot kapunk.

Bizonyıtas: Ha letezik olyan el, melynek torlese utan nem Ross-grafot

kapunk, akkor ez a graf tartalmaz trivialis kepu reszgrafot, amely nem Laman-

ritka. Mivel ez az eredeti G grafnak is reszgrafja, G nem lehet cone-Laman.

Tehat az allıtas balrol jobbra iranya igaz.

Legyen G′ egy (2,2)-blokk G-ben. Mivel G (2,2)-kor, G 6= G′. Legyen

ij ∈ E(G) − E(G′), ekkor a feltetel miatt G − ij Ross-graf, tehat G′-nek

nemtrivialis a Γ-kepe. Mivel G′ tetszoleges volt, az allıtas masik iranya is igaz.

�

3.2.16. Lemma. [21] Legyen G egy (2, 1)-graf. Ekkor a (2, 2)-korok G-ben

eldiszjunktak.

3.2.17. Lemma. [21] Legyen G egy (2, 1)-graf, G′ pedig Laman-kor G-ben.

Ekkor G′-t vagy tartalmazza egy (2, 2)-kor vagy G′ Laman-alapkor.

Bizonyıtas: Legyen L egy tetszoleges Laman-bazis. Terjesszuk ki egy

R (2,2)-bazissa. Ha G′ eldiszjunkt minden (2,2)-kortol, akkor resze R-nek.

Minden Laman-kor alapkor L-re nezve, tehat ekkor G′ Laman-alapkor.

Tegyuk fel, hogy G′ metsz egy G′′ (2,2)-kort, a metszetuket jelolje G∩,

az uniojukat G∪. Mivel G′ (2,2)-graf, a kovetkezot kapjuk:

2|V (G∩)|−2 ≥ |E(G∩)| = 2|V (G′)|−2+2|V (G′′)|−1−|E(G∪)| ≥ 2|V (G′)|−2 + 2|V (G′′)| − 1− 2|V (G∪)|+ 1 = 2|V (G∩)| − 2.

Mivel minden megfelelo G′ graf Laman-ritka, G′ ∩ G′′ = G′-t kapjuk,

twhat G′ egy (2,2)-kor. �

3.2.18. Lemma. [21] Legyen (G, γ) egy szınezett graf. (G, γ) cone-Laman

graf ⇔(1) G egy (2, 1)-graf;

(2) minden G-beli R (2, 2)-bazisra az ij ∈ E(G)−E(R) ellel kapott G′ alapkor

barmely elet eltavolıtva Ross-grafot kapunk;

(3) minden L Laman-bazisra G-ben a Laman-alapkor Γ-kepe nemtrivialis.


Bizonyıtas: Eleg belatni, hogy minden Laman-kor Γ-kepe nemtrivialis.

A 3.2.17 alapjan ket tıpus van: amelyek nem metszenek mas Laman-kort,

tehat Laman-alapkorok valamely Laman-bazisra, illetve amelyek (2, 2)-korok

reszgrafjai, ezek pedig eldiszjunktak a 3.2.16 miatt. Ezek utan a 3.2.15 lemma-

bol megkapjuk a kıvant allıtast. �

A kovetkezo lemmakhoz szuksegunk lesz egyG-hez tartozoG iranyıtatlan

graf definialasara. A G grafot ugy kapjuk G-bol, hogy minden csucsot harom

peldanyban veszunk fel, es az ij iranyıtott, γ szınu elnek megfeleloen behuzunk

az uj grafban harom uj elt: ikjk+γ (k = 0, 1, 2) modulo 3 szamolva.

Ehhez tartozik egy π : G → G termeszetes fedolekepezes, ami ik-t i-be,

ikjk+γ-t ij-be viszi. A fedolekepezes definıcio szerint olyan folytonos lekepezes,

amelyre veve a kepter egy elemet, annak letezik olyan nyılt kornyezete, amely-

nek oskepe eloall paronkent diszjunkt nyılt halmazok uniojakent ugy, hogy π

minden ilyen nyılt halmazt homeomorf modon kepez le. Ez szemleletesen azt

jelenti, hogy a G grafot ratekerjuk G-re. A π−1 az i folotti ”fiber”, vagyis i

oskepeinek halmaza.

3.2.19. Lemma. [21] Legyen (G, γ) Z/3Z-szınezett graf, G′ ⊆ G. Ekkor

ha G′ Z/3Z-kepe trivialis, akkor π−1(G′) megegyezik a G′ harom diszjunkt

peldanyaval. Ha G′ Z/3Z-kepe nemtrivialis, akkor π−1(G′) osszefuggo.

3.2.20. Lemma. [21] (G, γ) Z/3Z-szınezett graf. Ha G Laman-ritka, akkor

(G, γ) cone-Laman-ritka.

Bizonyıtas: A bizonyıtas kontrapozitıv modon tortenik, tegyuk fel, hogy

(G, γ) nem cone-Laman-ritka. Legyen G′ ⊆ G, ekkor ket esetet kell megkulon-

boztetni.

Eloszor tegyuk fel, hogy G′ kepe trivialis es m′ ≥ 2n′− 2. A 3.2.19 miatt

π−1(G′) harom diszjunkt masolata G′-nek, de ekkor ellentmondast kapunk,

mert ekkor G nem lesz Laman-ritka.

A masodik eset az, hogy G′ kepe nemtrivialis es m′ ≥ 2n′. A 3.2.19 miatt

π−1(G′) osszefuggo es megegyezik a G′ orbitjaival, ıgy 3n′ pontja es legalabb


6n′ ele van, ami szinten ellentmondasra vezet. �

3.2.21. Lemma. [21] Legyen (G, γ) egy Z/3Z-szınezett graf. Ha a G nem

Laman-ritka, akkor (G, γ) nem cone-Laman-ritka.

Bizonyıtas: A bizonyıtas ismet kontrapozitıv modon tortenik. Tegyuk

fel, hogy G nem Laman-ritka. Ekkor tartalmaz egy G′

Laman-kort, legyen Oaz orbitja. Ismet ket esetet kulonboztetunk meg.

Eloszor tegyuk fel, hogyO harom peldanyu masolataG′-nek. Ekkor π(O)

is egy masolata G′-nek trivialis keppel, ami megserti a cone-Laman-ritkasagot,

tehat ebben az esetben az allıtas igaz.

A masik eset az, hogy O osszefuggo, ıgy ∀γ ∈ {0, 1, 2}-re αγ(G′) es

αγ+1(G′) metszete nemures. Legyen A = G ∩ α1(G

′). Minden paronkenti

metszet izomorf A-val. Legyen B = G′ ∩ α1(G

′) ∩ α2(G

′). Ekkor |E(O)| =

3|E(G′)|−3|E(A)|+|E(B)|. Mivel G

′Laman-kor, A es B is Laman-ritkak. Igy

a fenti egyenloseg jobb oldala akkor minimalis nemures A es B eseten, ha A es

B (2,3)-szorosak. Emiatt O-nak ketszer annyi ele van, mint pontja. A 3.2.19

lemma miatt π(O) kepe nemtrivialis, tehat megserti a cone-Laman-ritkasagot,

vagyis az allıtas igaz. �

3.2.22. Lemma. [21] Legyen (G, γ) egy Z/3Z-szınezett graf. G′ ⊆ G egy

cone-Laman merev komponens ⇔ π−1(G′) egy szimmetrikus (2,3)-komponense

G-nek.

Bizonyıtas: Kovetkezik a 3.2.20 es 3.2.21 lemmakbol. �

3.2.23. Lemma. [21] Legyen (G, γ) egy szınezett graf, Γ = Z/3Z. (G, γ)

cone-Laman ⇔ G Laman-graf.

Sot, (G, γ) merev komponensei megfelelnek G merev komponenseinek.

Bizonyıtas: Kovetkezik a 3.2.20, 3.2.21 es 3.2.22 lemmakbol. �

Tegyuk fel, hogy G osszefuggo, T feszıtofa r gyokerrel. Pi jeloli az r-bol

i-be vezeto utat T -ben.


3.2.24. Definıcio. (ρ Γ-kepe) A ρ Γ-kepet jelolje σij, amit definialjunk a

kovetkezokepp. Eloszor szamıtsuk ki az r gyokerponthoz tartozo ertekeket:

σri =∑

jk∈Pi,elore−el γjk−∑

jk∈Pi,hatra−el γjk. Ezutan megadhatjuk a tobbi pont-

parhoz tartozo ertekeket: legyen σij = σri − σrj, ha j ∈ Pi. Ha σji-t mar

definialtuk, σij = −σji.

3.2.25. Lemma. Legyen (G, γ) osszefuggo szınezett graf, T gyokeres feszıtofa,

ij ∈ E(G) − E(T ), es legyen i es j legkisebb kozos ose a faban x. Ha C az

ij-vel vett alapkor T -re, ρ(C) = σxi + γij − σjx.

3.2.26. Lemma. Legyen (G, γ) osszefuggo. Letezik O(n+m) algoritmus an-

nak eldontesere, hogy ρ(G) Γ-kepe trivialis-e.

3.3. Algoritmusok

Az elmeleti hatter utan kovetkezzenek a fo kerdeseket megoldo algoritmusok.

([21])

Harom fo problemat szeretnenk algoritmikusan kezelni: a merevseg tesz-

teleset, nem merev graf maximalis merev reszgrafjanak meghatarozasat, va-

lamint egy graf maximalis reszgrafjanak kereseset adott fuggetlen hosszkorla-

toknak megfeleloen.

3.3.1. Algoritmus annak eldontesere, hogy ρ(G) trivialis-e

A kovetkezo algoritmus segıtsegevel ellenorizhetjuk, hogy ρ(G) trivialis-e.

Input: (G, γ).

Lepesek:

• T gyokeres feszıto fa keresese.

• σri kiszamıtasa ∀ i ∈ V (G)-re.


• ∀ij ∈ E(T )-re T -beli alapkor kepenek szamıtasa.

Output: Ha letezik alapkor, amelynek kepe nemtrivialis, akkor ρ(G) nem

trivialis. Kulonben ρ(G) trivialis.

Az algoritmus helyessege kovetkezik a 3.2.6 lemmabol, hiszen az algorit-

mus epp egy feszıtofa alapkoreit vizsgalja meg.

Futasido: A feszıto fa keresese O(m) idot vesz igenybe. σri kiszamıtasa

O(n) ido alatt tortenik. Az alapkor kepenek szamıtasa O(n + m) idoben

tortenik, mert ennyi idot vesz igenybe a fabeli legkisebb kozos osok megha-

tarozasa, utana pedig koronkent O(1) ido szukseges. Tehat osszesen O(n+m)

ido alatt er veget az algoritmus.

3.3.2. Ross-graf merev komponenseinek meghatarozasa

A kovetkezo algoritmus segıtsegevel meghatarozhatjuk egy Ross-graf merev

komponenseit.

Input: (G, γ).

Algoritmus: A ”pebble game”-et fogjuk hasznalni (2,2)- es (2,3)-ritka grafokra

parhuzamosan.

Kezdeskent inicializaljuk egyenkent a (2,2)- es (2,3)-komponenseket.

Ezutan ∀ij ∈ E(G)-re:

• Ha ij-t feszıti egy (2,2)-komponens a (2,2)-ritka grafban, eldobjuk ij-t,

es a kovetkezo ellel folytatjuk.

• Ha nem feszıti egyik (2,3)-komponens sem, adjuk hozza az altalunk

epıtett (2,2)- es (2,3)-ritka grafokhoz is, es frissıtsuk a komponenseket.

• Kulonben hasznaljuk a (2,3)-”pebble game”-et a legkisebb G′ (2,3)-blokk

azonosıtasara, ami ij-t feszıti. Hozzaadjuk G′-hoz ij-t es kiszamıtjuk a


Z2-kepet. Ha trivialis, eldobjuk ij-t, es a kovetkezo ellel folytatjuk.

• Ha nemtrivialis, ij-t a (2,2)-ritka grafhoz adjuk es frissıtjuk a kompo-

nenseit.

Az outputot a (2,2)-ritka graf (2,2)-komponensei adjak.

A matroidtulajdonsag garantalja, hogy a moho megkozelıtes jo eredmenyt

ad. Definıcio szerint egy Ross-graf merev komponensei pontosan a (2,2)-

komponensek. Az elso lepes biztosıtja, hogy egy (2,2)-ritka grafot tartunk

fent, a masodik es harmadik lepes helyesseget a 3.2.14 lemmabol latjuk, mivel

uj (2,2)-blokkok letrejottekor az szukseges, hogy nemtrivialis Z2-keppel ren-

delkezzenek. Az utolso lepes pedig biztosıtja, hogy minden lepesben frissıtsuk

a merev komponenseket.

Futasido: Az elso ketto, valamint az utolso lepes osszesen O(n2) idot vesz

igenybe az algoritmus futasa soran. A harmadik lepesO(n) idobe telik, es mivel

Θ(m) iteracioban hajtjuk vegre, vegul egy O(nm)-es, futasidot kapunk, vagyis

az algoritmus O(n3) futasideju.

3.3.1. Megjegyzes. Ha csak azt akarjuk eldonteni, hogy a graf merev-e, le-

allhatunk az elso olyan elnel, amit el kell dobnunk. Emiatt, mivel O(n) elunk

van, a futasido O(n2) lesz.

3.3.3. cone-Laman graf merev komponenseinek meghatarozasa

Γ = Z/3Z specialis eset

A kovetkezo algoritmusok segıtsegevel meghatarozhatjuk egy cone-Laman graf

merev komponenseit.

Eloszor nezzuk azt a specialis esetet, amikor Γ = Z/3Z.

Input: (G, γ).


• A korabban emlıtett G megkonstrualasa.

• (2,3)-”pebble game” hasznalataval G merev komponenseinek meghataro-

zasa.

Output: A G szimmetrikus merev komponenseinek megfelelo G-beli resz-

graf.

Az algoritmus helyessege a 3.2.23 lemmabol azonnal kovetkezik.

A futasido O(n2).

Γ = Z/kZ altalanos eset

Most tekintsuk az altalanos esetet, vagyis legyen Γ = Z/kZ.

Input: (G, γ) es k.

Output: a (2,1)-komponensek az altalunk epıtett (2,1)-ritka grafban.

Algoritmus: Kezdenek (2,1)-, (2,2)- es (2,3)-”pebble game”.

Aztan ∀ ij ∈ E(G)-re:

• Ha ij-t feszıti egy (2,1)-komponens a (2,1)-ritka grafban, eldobjuk ij-t,

es a kovetkezo ellel folytatjuk.

• Ha ij-t nem feszıti egyik (2,3)-komponens sem, ij-t hozzaadjuk mindha-

rom ritka grafhoz, amit epıtunk, majd frissıtjuk a komponenseket, es a

kovetkezo ellel folytatjuk.

• Ha ij-t nem feszıti egyik (2,2)-komponens sem, ellenorizzuk, hogy a

Laman-alapkornek a (2,3)-ritka grafban nemtrivialis-e a Z/kZ-kepe. Ha

nem, eldobjuk ij-t. Kulonben ij-t hozzaadjuk a (2,1)- es (2,2)-ritka

grafokhoz es frissıtjuk a komponenseket.

• Kulonben ij-t nem feszıti egy (2,1)-komponens sem. Megkeressuk azt a

G′ minimalis (2,2)-blokkot, ami feszıti ij-t, es ellenorizzuk, hogy G′ + ij


Ross-graffa valik-e barmely el eltavolıtasa utan. Ha igen, ij-t hozzaadjuk

a (2,1)-grafhoz. Kulonben eldobjuk.

A helyesseg bizonyıtasa a Ross-graf esetehez hasonloan tortenik a 3.2.18

lemma alapjan.

Futasido: Minden iteracio O(n3) idot vesz igenybe, ıgy az algoritmus

futasideje O(n5) lesz.

4. fejezet

Matroidelmeleti megkozelıtes

Ez a fejezet mas szemszogbol vizsgalja a merevsegi kerdeskort, eloterbe kerul a

merevseg mogott meghuzodo matroidstruktura. Malestein es Theran adott egy

tetelt generikus periodikus szerkezetek minimalis merevsegerol ([8]), melynek

egy Shin-ichi Tanigawatol szarmazo rovidebb, matroidelmeleti bizonyıtasat is-

mertetem ebben a fejezetben ([1]).

4.1. Hanyadosgraf

Az alabbi fejezetben a hanyadosgraffal foglalkozunk, amely megfelel az elozo

fejezet szınezett graf fogalmanak.

4.1.1. Definıcio. [8] Egy d-periodikus graf alatt olyan (G,Γ) part ertunk,

ahol G = (V,E) egyszeru vegtelen graf, minden pont foka veges, Γ ⊂ Aut(G)

pedig a d-rangu automorfizmusok egy szabad Abel-csoportja fixpont nelkul, veges

sok pont-orbittal (es kovetkezeskepp veges sok el-orbittal). Γ a periodicitasi

csoportja vagy periodicitasi racsa G-nek.

4.1.2. Definıcio. [8] Ekkor a G/Γ = (V/Γ, E/Γ) hanyadosgraf az elozo fe-

jezetben mar ismertetett szınezett graffal azonos.

Legyen φ : G → G/Γ fedo lekepezes es ρ : H1(G/Γ) → Γ szurjektıv

homeomorfizmus φ-hez, ahol H1(G/Γ) a G/Γ elso homologia csoportja egesz

35

FEJEZET 4. MATROIDELMELETI MEGKOZELITES 36

egyutthatokkal (amely azonosıthato a G/Γ ciklikus terrel). Minden informacio

a fedo lekepezesrol (es fedo terrol) elkodolhato G/Γ-ba v reprezentalo csucs

fixalasaval minden [v] palyarol.

4.1.3. Definıcio. Egy digrafot Γ-gain grafnak (eleresi grafnak) hıvunk, ha

minden [e] ossze van kapcsolva egy γ[e] elemmel a Γ csoportbol, ugy hogy ∀[e]-re γ[e] = −γ[e] teljesul, ahol [e] jeloli [e] megfordıtottjat.

4.1.4. Megjegyzes. G/Γ gain-graf.

4.1.5. Megjegyzes.∏

[e]∈C γ[e] fuggetlen a reprezentalo csucsok valasztasatol

minden G/Γ-beli C korre.

4.2. d-periodikus graf - merevsegi bevezeto

Jelolje τ(Rd) a d-dimenzios euklideszi ter eltolascsoportjat.

4.2.1. Definıcio. Egy d-periodikus (G,Γ) graf elhelyezese Rd-ben egy olyan

p : V → Rd es π : Γ → τ(Rd) fuggvenypar, ahol p injektıv lekepezes, amely

minden csucshoz egy pontot rendel, π injektıv homomorfizmusa Γ-nak, tovabba

p es π kielegıti a periodicitast:

∀v ∈ V -re es ∀γ ∈ Γ-ra teljesul p(γv) = π(γ)(p(v)).

Az ıgy kapott rud-csuklo szerkezet: (G,Γ, p, π).

4.2.2. Definıcio. Egy elhelyezes l : E → R sulyokat indukal a grafon: legyen

l(uv) = p(u) es p(v) tavolsaga.

4.2.3. Definıcio. (G,Γ) realizacioja l sulyokkal egy olyan (p, π) elhelyezes,

ami l-t indukalja, azaz a kovetkezo rendszer megoldasa a periodikussag mellett:

∀e = uv ∈ E-re < p(v)− p(u), p(v)− p(u) >= l(e)2.

Az egyszeruseg kedveert γ1, . . . , γd bazist valasztva megfeleltetjuk Γ-t

Zd-vel. Minden γ ∈ Γ egyertelmuen kifejezheto a kovetkezokeppen: γ =∑dk=1 c

kγγk, ahol ckγ ∈ Z. Legyen cγ = (c1

γ, . . . , cdγ) ∈ Zd.


Minden π-nek megfeleltetheto egy d×d-es M ∈ GL(d) matrix µ1, . . . , µd

oszlopvektorokkal a kovetkezo osszefugges alapjan:

π(γ) =∑d

k=1 ckγπ(γk) =

∑dk=1 c

kγµk = Mcγ.

Tehat a periodicitas miatt p egyertelmuen meghatarozott, ha minden

csucspalyarol valasztunk egy reprezentalo csucsot, es megadjuk a hozza tartozo

pontot. Igy minden csucspalyara az elhelyezesek tere azonosıthato (Rd)V/Γ ×GL(d)-vel. A realizacios teret leıro egyenletek rendszere a kovetkezo:

< p(γ[e]v)− p(u), p(γ[e]v)− p(u) >= l(e)2, [e] = [u][v] ∈ E/Γ.

Mivel p(γ[e]v) = p(v)+π(γ[e]) = p(v)+Mce, ahol ce = cγ[e] , ez kifejezheto

az alabbi modon:

(∗) < p(v) +Mce − p(v), p(v) +Mce − p(u) >= l(e)2, [e] = [u][v] ∈ E/Γ.

4.2.4. Definıcio. A (G,Γ) l sulyok melletti R realizacios tere a fenti egyen-

loseget kielegıto elhelyezesek altere.

4.2.5. Definıcio. R/E(d) definialja a C konfiguracios teret, amely az E(d)

euklideszi ter kvociens tere.

4.2.6. Definıcio. Egy periodikus szerkezetet merevnek mondunk, ha az elhe-

lyezese izolalt pont C-ben.

4.2.7. Definıcio. A (G,Γ; p, π) periodikus szerkezet infinitezimalis mozgasai-

nak tere R erintotere (p, π)-ben.

Feltesszuk, hogy (p, π) sima, ıgy differencialas utan a kovetkezot kapjuk:

< p(v) +Mce − p(u), p(v) + Mce − p(u) >= 0, [e] = [u][v] ∈ E/Γ-ra.

4.2.8. Definıcio. Ha p kibovıtheto Rd egy infinitezimalis izometriajava, p-t

trivialisnak nevezzuk.

4.2.9. Definıcio. A szerkezet infinitezimalisan merev, ha minden lehetseges

infinitezimalis mozgas trivialis.


4.2.10. Definıcio. Az R merevsegi matrix egy |E/Γ| × (d|V/Γ|+ d2)-matrix,

amely a (∗)-hoz tartozik.

4.2.11. Tetel. [1] (G,Γ, ; p, π) infinitezimalisan merev ⇔ R rangja d|V/Γ|+d2 −

(d+1

2

).

4.2.12. Definıcio. Az R(G,Γ) generikus d-merevsegi matroid a merevsegi

matrix sormatroidja generikus elhelyezes mellett.

4.3. Matroidok

4.3.1. Matroidelmeleti bevezeto

4.3.1. Definıcio. Egy µ : 2E → Z fuggvenyt polimatroid fuggvenynek neve-

zunk, ha µ(∅) = 0, µ nemcsokkeno, tovabba szubmodularis, azaz teljesul ra a

kovetkezo egyenlotlenseg:

µ(X) + µ(Y ) ≥ µ(X ∩ Y )µ(X ∪ Y ).

(E, µ)-t polimatroidnak hıvjuk.

µ indukal E-n egy matroidot, melyben azon F ⊆ E-k lesznek fuggetlenek,

amelyeknek minden F ′ reszhalmazara µ(F ′) ≥ |F ′| teljesul.

Legyen µ(F ) = max{∑

e∈F x(e)|x : F → R,∀F ′ 6= ∅∑

e∈F ′ x(e) ≤µ(F ′)}. Ez nemcsokkeno szubmodularis fuggveny, es atırhato a kovetkezokepp:

µ(F ) = min{∑

1≤i≤k f(Fi)|{F1, . . . , Fk} partıcioja F − nek}.(E, µ) egy PM(µ) polimatroidot indukal.

Vezessuk be a linearisan reprezentalhato polimatroidok fogalmat. Legyen

E veges halmaz, valamint tartozzon minden e ∈ E-hez egy Ae ∈ Rd linearis

alter. Vezessuk be a dim : 2E → Z fuggvenyt a kovetkezokeppen: dim(F ) =

dim{Ae|e ∈ F}.

4.3.2. Megjegyzes. (E, dim) egy polimatroidot alkot.


4.3.3. Definıcio. Ha (E, µ) polimatroid izomorf (E, dim) polimatroiddal va-

lamely {Ae}-re, akkor az egy linearis polimatroid.

4.3.4. Megjegyzes. Linearis polimatroidok osszege is linearis polimatroid.

4.3.5. Definıcio. Legyen A az Rd linearis altereinek egy veges halmaza. Kor-

latozzuk A-t egy H generikus hipersıkra (H = {x ∈ Rd| < a, x >= 0} valamely

a ∈ Rd-re, ahol a koordinatai algebrailag fuggetlenek Q folott). Ezt a muveletet

Dilworth-csonkolasnak nevezzuk.

4.3.6. Tetel. [13] A legyen Rd linearis altereinek egy csaladja, H pedig egy

generikus hipersık Rd-ben.

Ekkor dim{A∩H|A ∈ A} = min{∑k

i=1(dim{A|A ∈ Ai}− 1}, ahol a minimu-

mot A minden {A1, . . . ,Ak} partıciojan nezzuk.

4.3.2. Matroidok es merevseg

Tekintsuk a d-periodikus G grafot fedo transzformacios Γ csoporttal, es a kap-

csolodo ρ : H1(G/Γ)→ Γ lekepezessel. Lattuk, hogy Γ megfeleltetheto Zd-vel.

Minden F j E-t azonosıtsuk F j E/Γ-val, amely az F altal indukalt G/Γ-

beli reszgraf. Ekkor tekinthetjuk H1(F ) → H1(G/Γ) → Γ-t, egybefuzeset a

befoglalasnak es φ-nek. Jelolje dF a H1(F ) kepenek rangjat Γ-ban.

Tekintsuk a g(F ) = nF − ωF , g : 2E/Γ → Z fuggvenyt, ahol nF jeloli

az F -beli pontorbitok szamat, es ωF jeloli az F -beli osszefuggo komponensek

szamat. Ez a G/Γ grafikus matroidjanak rangfuggvenye.

Vezessuk be a kovetkezo fuggvenyt: f(F ) = nF −ωF +dF , f : 2E/Γ → Z.

Ez nemcsokkeno, szubmodularis fuggveny, tovabba ∀e ∈ E/Γ-ra f(e) ≤ 1, ıgy

indukal egy M(f) = (E, f) matroidot.

Bevezethetunk egy masik G ′ matroidot is E/Γ-n, amely linearis, es min-

den [e] ∈ E/Γ-t egy (n + d)-dimenzios vektor reprezental, amelynek elso n

erteke a reprezentalo csucsokkal, utolso d erteke pedig Γ bazisaval van megfelel-

tetve. Az uv elhez tartozo sorban a v-nek megfelelo pozıcioban 1, u-nak

megfelelo pozıcioban -1, a tobbi csucs helyen 0, γi-nek megfelelo pozıcioban

pedig ci(e) all. Az ezen vektorokbol allo, G-t reprezentalo matrixot jelolje R:


Ruv = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0,−1, 0, . . . , 0, c1(e), . . . , cd(e)).

4.3.7. Lemma. A kovetkezok ekvivalensek G/Γ = (V/Γ, E/Γ)-ra: barmely

F j E/Γ-ra

• (a) F fuggetlen M(f)-ben;

• (b) Barmely maximalis F ′ erdore F -ben {ρ(C(F ′, e)) ∈ Zd|e ∈ F − F ′}linearisan fuggetlen Rd-ben;

• (c) F fuggetlen G ′-ben.

Bizonyıtas:

(a) ⇒ (b): Ha (b) nem lenne igaz, akkor |F − F ′| > dF valamely F ′

erdore. Mivel |F | = |F ′|+ |F − F ′| > (nF − ωF ) + df , ellentmondasra jutunk,

hiszen a feltetel szerint |F | = f(F ) = nF − ωF + df -nek kellene teljesulnie.

(b)⇒ (c): Minden e ∈ F\F ′-re vegyuk az RF -beli sorokat es osszegezzuk.

(Ahol RF jeloli az R F -nek megfelelo reszet.) Az ıgy kapott vektorban az

elso |V | koordinata nulla, mıg az utolso d koordinata ρ(C(F ′, e)). Ez e-

nek megfelelo sort csereljuk le ezzel a vektorral minden e ∈ F\F ′-re. Igy

R megvaltozott, es blokkonkent vizsgalhato. A bal felso blokk F incidencia

matrixa, ami pontosan akkor sor-fuggetlen, ha F egy erdo. A bal kozepso blokk

nulla. A jobb kozepso blokk tartalmazza ρ(C(F ′, e))-t minden e ∈ F\F ′-re, es

ez a blokk a feltetel szerint fuggetlen. Tehat az allıtas igaz.

(c) ⇒ (a): Vegyunk egy nemures I ⊆ F halmazt, es tekintsuk a hozza

tartozo sorok reszmatrixat. A matrix magjanak dimenzioja legalabb (n−nF )+

(ωF + (d− dF ), ezert |I| ≤ n+ d− [(n− nF ) + ωF + (d− dF )] = nF − ωF + dF

megtartja az RF sor-fuggetlenseget. �

Igy M(f) linearis polymatroid, amelyben minden e ∈ E/Γ megfelel egy

egydimenzios vektorternek, ahol a vektorok a korabban emlıtett Re vektor αe-

szeresei:

Ae = {(0, . . . , 0, αe, 0, . . . , 0,−αe, 0, . . . , 0, c1(e)αe, . . . , cd(e)αe)|αe ∈ R}.


Tekintsuk a ketdimenzios szerkezeteket:

4.3.8. Definıcio. (G,Γ) minimalisan merev, ha merev, de barmely el-orbitjat

elhagyva mar nem az.

4.3.9. Tetel. [8] (G,Γ) 2-periodikus grafra R(G,Γ) = M(2f − 1). Azaz

(G,Γ) generikusan minimalisan merev ⇐⇒ hanyadosgrafjara teljesulnek a ko-

vetkezok: m = 2n+ 1 es minden F j E/Γ-ra |F | ≤ 2(nF − ωF + dF )− 1.

Bizonyıtas: Tekintsuk a PM(2f) = (E, 2f) polimatroidot. PM(f) =

M(f) = (E, f)-nek van {Ae} linearis reprezentacioja, es ıgy PM(2f)-nek is

van, megpedig Ae ⊕ Ae ⊆ (R)2n+4. Csereljuk fel a koordinatak sorrendjet,

fesuljuk ossze oket: az elso vektor i-edik koordinataja utan a masodik Ae

vektor i-edik koordinataja kovetkezzen.

Vegyunk egy generikus (p, π) elhelyezest, es definialjuk a H ⊆ R2n+4

hipersıkot a kovetkezokepp:

H = {(x1, y1, . . . , xn, yn, z1, w1, z2, w2)|∑

[i]∈V/Γ < p(i), (−yi, xi) > +∑

1≤i≤d <

µi, (−wi, zi) >= 0}.Figyeljuk meg, hogy (Ae ⊕Ae)∩H egy egydimenzios linearis ter. Tehat

R(G,Γ) megkaphato PM(2f)-bol Dilworth-csonkolassal. Azt kapjuk 4.3.6

felhasznalasaval, hogy:

dim{(Ae ⊕ Ae) ∩H | e ∈ E/Γ} =

min{∑

i(dim{Ae ⊕ Ae | e ∈ Fi} − 1) | {F1, . . . , Fk} partıcioja F -nek} =

min{∑

i(2 dim{Ae | e ∈ Fi} − 1) | {F1, . . . , Fk} partıcioja F -nek} =

min{∑

i(2f(Fi)− 1) | {F1, . . . , Fk} partıcioja F -nek},

ami F rangja PM(2f − 1)-ben. Igy R(G,Γ) = PM(2f − 1).

Mivel barmely e-re 2f(e) − 1 ≤ 1, PM(2f − 1) valoban martoid, es

R(G,Γ) =M(2f − 1). �

A periodikus szerkezeteket ugy is meg lehet kozelıteni, mint a hanyados-

graf elhelyezeset egy toruszon. Az elozo fejezetben lattunk eredmenyeket fix

torusz esetere [21], ebben a fejezetben pedig teljesen valtoztathato toruszra


[8]. Azonban az is ertelmes kerdes, hogy mi a helyzet, ha a torusz reszlegesen

valtoztathato. Ezt az atomi mozgasok idobeli skalazasa motivalja. Ha a torusz

x-iranyba valtoztathato, akkor letezik egy Henneberg-tıpusu karakterizacio.

4.3.10. Tetel. [17] Egy szınezett graf generikusan minimalisan merev reszben

valtoztathato toruszon ⇔ eloallıthato egyetlen hurokelbol gain-megorzo Henne-

berg-muveletekkel.

5. fejezet

Friss eredmenyek

Az alabbiakban szerepel nehany uj osszefugges, amely a 2. fejezetben is-

mertetett eredmenyek es a hanyadosgraf kapcsolatarol szol.

5.1. Tukorszimmetria

5.1.1. Tetel. [22] Legyen (GS, p) tukorszimmetrikus generikus szerkezet. Ek-

kor (GS, p) pontosan akkor minimalisan merev, ha GS (2, 3)-kritikus, nincs fix

pontja, es pontosan egy fix ele van.

A fix el feltetel es a hanyadosgraf kapcsolata kovetkezik. Jelolje GS a

tukorszimmetrikus grafot, G pedig a hanyadosgrafjat. Ha GS-nek egy fix ele

van, akkor |VS| = 2|V | es |ES| = 2|E| − 1.

5.1.2. Allıtas. [11] Ha GS (2,3)-kritikus es egy fix ele van, akkor G (2,1)-

kritikus, egy hurokele van, es teljesul ∀X ⊆ E identitashalmazra, hogy |X| ≤2|V (X)| − 3.

Az allıtas megfordıtasa nem igaz.

5.1.3. Allıtas. [11] G (2,1)-kritikus, egy hurokele van, es teljesul ∀X ⊆ E

identitashalmazra, hogy |X| ≤ 2|V (X)|−3⇔ |E| = 2|V |−3, G (2,2)-ritka, de

ha X ⊆ E minden orbitbol legfeljebb egy pontot fed, akkor |X| ≤ 2|V (X)| − 3.

43

FEJEZET 5. FRISS EREDMENYEK 44

5.1. abra. Pelda arra, mikor az 5.1.2 allıtas masodik fele teljesul, de az elso

nem.

5.2. Tukorszimmetria es Dieder-csoport

A szimmetrikus Henneberg-muveletek soran az eredeti merevsegi matrix es

az orbitmatrix rangja is megorzodik, ıgy Schulze eredmenyei atdolgozhatok a

gain-grafok nyelvere. A kovetkezo eredmenyek errol szolnak:

Definialhato a CS tukroszimmetriara es a h-hoz tartozo Dh Dieder-cso-

portra egy ritkasagfogalom, hasonloan a 3. fejezet Ross-ritkasag es cone-

Laman-ritkasag fogalmahoz. Tovabba ebbol egy elszamra vonatkozo feltetellel

kaphato a CS-szoros, illetve Dh graf, hasonloan a 3. fejezet Ross-graf es cone-

Laman-graf fogalmahoz. A CS-szoros, illetve Dh grafokra letezik Henneberg-

tıpusu karakterizacio. [6]

5.2.1. Tetel. [6] (G,Φ) egy CS-szimmetrikus merev szerkezet hanyadosgrafja

⇔ (G,Φ)-nek van CS-szoros reszgrafja.

5.2.2. Tetel. [6] (G,Φ) egy Dh-szimmetrikus merev szerkezet hanyadosgrafja

⇔ (G,Φ)-nek van Dh-szoros reszgrafja.

Irodalomjegyzek

[1] Shin-ichi Tanigawa, A Note on the Generic Rigidity of Periodic Frame-

works, (kezirat), (2011).

[2] B. Schulze, Combinatorial and geometric rigidity with symmetry con-

straints, Ph.D. thesis, York University, Toronto, Canada, (2009).

[3] L. Henneberg, Die Grapische Statik der starren Systeme, Leipzig, (1911).

[4] D. Harel, R. E. Tarjan, Fast algorithms for finding nearest common ances-

tors, SIAM J. Comput., 13:338-355, (1984).

[5] E. Ross, B. Schulze, W. Whiteley, Finite motions from periodic frameworks

with added symmetry, International Journal of Solids and Structures 48,

1711-1729, (2011).

[6] T. Jordan, V. E. Kaszanitzky, Shin-ichi Tanigawa, Gain-Sparsity and Sym-

metric Rigidity in the Plane, kezirat, (2012).

[7] T.-S. Tay, W. Whiteley, Generating isostatic frameworks, Topol. Struct.

11, 21-69, (1985).

[8] J. Malestein, L. Theran, Generic combinatorial rigidity of periodic frame-

works, arXiv:1008.1837v3, (2010).

[9] J. Malestein, L. Theran, Generic rigidity of frameworks with orientation-

preserving crystallographic symmetry, arXiv:1108.2518v2, (2012).

45

IRODALOMJEGYZEK 46

[10] B. Schulze, Injective and non-injective realizations with symmetry, Con-

tributions to Discrete Mathematics, Volume 5, Number 1, 59-89, (2009).

[11] Kaszanitzky Viktoria, kezirat, (2012).

[12] B. Jackson, Notes on the Rigidity of Graphs, Levico Conference Notes,

22-26 October (2007).

[13] L. Lovasz, Y. Yemini, On generic rigidity in the plane, SIAM Journal on

Algebraic and Discrete Methods, 3:91–98, (1982).

[14] G. Laman, On graphs and rigidity of plane skeletal structures, J. Engi-

neering Math. 4, 331-340, (1970).

[15] H. Crapo, On the generic rigidity of plane frameworks, Inst. Nat. Rech.

en Informatique et Automatique (INRIA), No. 1278, (1990).

[16] A. Lee, I. Streinu, Pebble game algorithms and sparse graphs, Discrete

Math., 308(8):1425-1437, (2008).

[17] A. Nixon, E. Ross, Periodic Rigidity on a Variable Torus Using Inductive

Constructions, arXiv:1204.1349, (2012).

[18] Schulze, A. Sljoka, W. Whiteley, Protein Flexibility of Dimers: Do Sym-

metric Motions Play a Role in Allosteric Interactions?, AIP Conference

Proceedings of AMMCS, (2011).

[19] D. J. Jacobs, A. J. Rader, L. A. Kuhn, M. F. Thorpe, Protein Flexibility

Predictions Using Graph Theory, PROTEINS: Structure, Function, and

Genetics 44:150–165, (2001).

[20] B. Roth, Rigid and flexible frameworks, Amer. Math. Monthly 88 (1981),

no. 1, 6–21.

[21] M. Berardi, B. Heeringa, J. Malestein, L. Theran, Rigid components in

fixed-lattice and cone frameworks, Proceedings of the 23rd Annual Cana-

dian Conference on Computational Geometry, Toronto, Ontario, Canada,

August 10-12, (2011).

IRODALOMJEGYZEK 47

[22] B. Schulze, Symmetric Laman theorems for the groups C2 and CS, The

electronic journal of combinatorics, 17, (2010).

[23] B. Schulze, Symmetric Versions of Laman’s Theorem, Discrete and Com-

putational Geometry (2009), arXiv:0907:1958.

[24] A. Sartbaeva, S. A. Wells, M. M. J. Treacy, M. F. Thorpe, The flexibility

window in zeolites, Nature Materials 5, 962 - 965, (2006).

[25] R. Conelly, P. W. Fowler, S. D. Guest, B. Schulze, W. J. Whiteley, When

is a symmetric pin-joined framework isostatic?, Int. J. Solids Struct. 46,

762-773, (2009).

NYILATKOZAT

Név:

ELTE Természettudományi Kar, szak:

ETR azonosító:

Szakdolgozat címe:

A szakdolgozat szerzőjeként fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem, hogy a

dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és

idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a

megfelelő idézés nélkül nem használtam fel.

Budapest, 20 _______________________________

a hallgató aláírása

Kis-Benedek Ágnes

Alkalmazott matematikus Msc

KIAPACT.ELTE

Szimmetrikus és periodikus szerkezetek merevsége

12.05.30.

Documents

Kis-Benedek Agnes otv os Lor and Tudom anyegyetem Termeszettudom anyi Kar Kis-Benedek Agnes Szimmetrikus es periodikus szerkezetek merevs ege Alkalmazott matematikus MSc Oper aci okutat