Klassisk fysik, teoriHar ar teorin for mina ovningar i Klassik Fysik, gjord HT-16 till VT-17, kurskodSK1104 (men delvis baserat pa mitt ovningsmaterial till SK112N fran VT-16). Hursomhelst, har ar teoridelar, bra formler, och ett par tabeller! Hoppasdet kan vara till hjalp. Dokumentet ar uppdelat i de olika ovningarna i denovningsordning som var aktuell den har kursomgangen.

Figurer ar ritade i Inkscape 0.91.

Fragor och funderingar kan garna mailas till mig pa hwennlof@kth.se, jag svararsa snabbt och bra jag kan!

Lycka till!

-Hakan Wennlof

Innehall

Tabeller 3Tabell med enheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Tabell med konstanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Vaglangder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Materialparametrar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 Akustik 51.1 Intensitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Ljudintensitetsniva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Lite om vagor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Geometrisk optik 62.1 Brytningsindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Snells lag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Totalreflektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Sfarisk gransyta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Linsmakarformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.6 Tunn lins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.7 Linsstyrka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Optiska system 83.1 Linssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Afokala system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Systemfokallangd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4 Huvudplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Interferens 114.1 Optisk vag (optical path length, OPL) . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Fasskillnad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3 Interferens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

INNEHALL

4.4 Tunt skikt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.5 Vinkelrat reflektion i gransyta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Diffraktion 135.1 Cirkular oppning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2 Enkelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.3 Upplosning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.4 Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6 Polarisation 156.1 Polarisationsriktning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.2 Brewstervinkeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.3 Malus lag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.4 Dubbelbrytning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7 Elektrostatik 177.1 Coulombs lag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.2 Elektriskt falt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.3 Elektrisk dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.4 Elektrisk kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.5 Gauss sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.6 Spanning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.7 Potentiell energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8 Kondensatorer 198.1 Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198.2 Plattkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198.3 Seriekoppling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208.4 Parallellkoppling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208.5 RC-krets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

9 Magnetism 219.1 Magnetfalt fran laddning q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219.2 Magnetfalt fran rak ledare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219.3 Magnetfalt fran lang rak ledare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219.4 Spolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219.5 Magnetisk kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229.6 Magnetisk dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

10 Induktion 2410.1 Magnetiskt flode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2410.2 Inducerad spanning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2410.3 Sjalvinduktans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2410.4 Omsesidig induktans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2410.5 RL-krets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2

INNEHALL

Tabeller

Tabell med enheter

Lista pa enheter och olika satt att uttrycka dem. Bra for dimensionsanalys!Langst till hoger star enheten uttryckt i de 7 basenheterna. Ofta finns smidi-gare genvagar med sammansatta enheter, men man kan alltid skriva ut allt ibasenheterna och fa ratt i slutandan.

Storhet Enhetsnamn Beteckning Varianter I basenheterElektrisk strom Ampere A - ALjusstyrka Candela cd - cdLangd Meter m - mMassa Kilogram kg - kgSubstansmangd Mol mol - molTemperatur Kelvin K - KTid Sekund s - s

Effekt Watt W J s−1 kg m2 s−3

Elektrisk faltstyrka - V/m N C−1 kg m A−1 s−3

Energi Joule J N m, V C kg m2 s−2

Frekvens Hertz Hz - s−1

Induktans Henry H T m2 A−1 kg m2 A−2 s−2

Intensitet - W/m2 - kg s−3

Kapacitans Farad F C V−1 A2 s4 kg−1 m−2

Kraft Newton N - kg m s−2

Laddning Coulomb C - A sLjudintensitetsniva Decibel dB - EnhetslosMagnetfaltstyrka Tesla T N A−1 m−1 kg A−1 s−2

Magnetiskt flode Weber Wb Vs, Tm2 kg m2 A−1 s−2

Resistans Ohm Ω V A−1 kg m2 A−2 s−3

Spanning Volt V J C−1 kg m2 A−1 s−3

Tryck Pascal Pa N m−2 kg m−1 s−2

Vinkel Radian rad - Enhetslos

3

INNEHALL

Tabell med konstanter

Konstant Beteckning VardeAtommassenheten u 1.660 539 0 · 10−27 kgElektriska konstanten ε0 8.854 187 817 · 10−12 F m−1

(vakuumpermittiviteten)Elektronmassan me 9.109 383 56 · 10−31 kgElementarladdningen e 1.602 176 62 · 10−19 CLjushastigheten c 299 792 458 m s−1

(i vakuum)Magnetiska konstanten µ0 4π · 10−7 N A−2

(vakuumpermeabiliteten)Protonmassan mp 1.672 621 9 · 10−27 kg

Vaglangder

Ungefarliga. Olika kallor sager olika, men for approximationssyfte ar det bra!Tabellen till hoger ar mer detaljerad, men den vanstra ger en bra indikation.Synligt ljus har vaglangder mellan 400 och 700 nm.

Farg Vaglangd [nm]Bla 450Gron 500Gul 600Rod 700

Farg Vaglangd [nm]Violett 400-450Bla 450-490Cyan 490-520Gron 520-560Gul 560-590Orange 590-635Rod 635-700

Materialparametrar

Bra att ha for typiska varden och rimlighetsbedomningar. n star for brytnings-index, εr star for materialets relativa elektriska permittivitet, µr star for mate-rialets relativa magnetiska permeabilitet, och ρ star for materialets resistivitet.Brytningsindex ges for synligt ljus. Vardena ar ungefarliga, eftersom de varierarmed temperatur och liknande, men de ger iallafall en storleksordning. Plasten itabellen ar polyetylen.

Material n εr µr ρ [Ω·m]Luft 1 1 1 2 · 1014

Vatten 1.33 80 1 0.1-103

Plast 1.5 2.3 2.3 1021

Glas 1.5 4 1 1011-1015

Koppar - - 1 1.68 · 10−8

Jarn - - >1000 9.71 · 10−8

4

1 AKUSTIK

Ovning 1: Akustik

1.1 Intensitet

Intensitet ar effekt per area.

I =P

A

[W

m2

](1.1)

P effekt, A arean effekten ar spridd over (ofta en sfar, ljud utbreds sfariskt).

For ljudvag galler

I =1

2a2ω2Z (1.2)

dar a ar forskjutningsamplituden for vagen, ω = 2πf vinkelfrekvensen (f vagensfrekvens), och Z = ρc ar den akustiska impedansen for materialet ljudvagenror sig i. ρ densiteten, c ljudhastigheten i materialet.

Exempelvarden pa akustisk impedans ar

Zluft ≈ 420kg

m2 s, Zvatten ≈ 1.5 · 106 kg

m2 s

Har aven

I =p2max

2Z(1.3)

dar pmax ar den maximala tryckamplituden vagen orsakar.[pmax] = Pa = N

m2

1.2 Ljudintensitetsniva

Logaritmisk skala for intensitet.

β = 10 · log10

(I

I0

)[dB (enhetslos)] (1.4)

I0 ar referensintensitet. Oftast satt till treshold of hearing”;I0 = 10−12 W

m2

1.3 Lite om vagor

Harmonisk vag, forskjutningen s ges allmant av

s(x, t) = a · sin (kx− ωt) (1.5)

a forskjutningsamplitud [m]

k vagtal, k = 2πλ = ω

c [radianer/m]

ω = 2πf , vinkelfrekvens [radianer/s]

c vaghastighet [m/s], c = λ · f = ωk

5

2 GEOMETRISK OPTIK

Ovning 2: Geometrisk optik

2.1 Brytningsindex

Materialparameter.

n =c

v(2.1)

c ljushastighet i vakuum, v ljushastighet i material.

2.2 Snells lag

Brytning i yta mellan tva material med olika brytningsindex.

n · sin i = n′ · sin i′i, i’ vinklarna mot ytans normal.

i

i'

n

n'

2.3 Totalreflektion

Sker om n·sin in′ > 1, dvs om det inte finns losning av Snells lag for i’.

For att fa gransfallet kan vi satta sin i′ = 1 (alltsa att den utgaende vinkeln ar90). Vi far da

igrans = sin−1(n′

n

)Om i > igrans: totalreflektion.

2.4 Sfarisk gransyta

s objektsavstand, s’ bildavstand.

n

s+n′

s′=n′ − nR

(2.2)

Forstoring:

M =h′

h= −ns

′

n′s(2.3)

Minustecknet betyder reell bild, ochuppochned.

R

h

h'

s s'

n n'

6

2 GEOMETRISK OPTIK

2.5 Linsmakarformeln

R1, R2 krokningsradier. d linsens tjock-lek.

d

n

R2

R1

For fokallangden galler

1

f= (n− 1)

(1

R1− 1

R2+

(n− 1)d

nR1R2

)(2.4)

2.6 Tunn lins

Approximation!

Linsformeln:

1

s+

1

s′=

1

f(2.5)

f fokallangd hos linsen.

h

h'

s s'

f f

lins

Fran linsmakarformeln: Linsens tjocklek d gar mot noll, d→ 0, sa

1

f= (n− 1)

(1

R1− 1

R2

)(2.6)

Forstoring:

M =h′

h= −s

′

s(2.7)

2.7 Linsstyrka

Det matt optiker anvander. Ofta symbol P, enhet dioptrier, D

P =1

f

[D =

1

m

](2.8)

For att fa styrkan i dioptrier ska f vara angiven i meter.

7

3 OPTISKA SYSTEM

Ovning 3: Optiska system

3.1 Linssystem

Flera linser pa rad.

Behandla som en lins i taget! Mellanbilder blir objekt for efterfoljande lin-ser.

h0

h1

h2f1 f2

s1 s1' s2s2'

Om i betecknar linsens ”ordningsnummer” (index) sa har vi

1

si+

1

s′i=

1

fi(3.1)

hi =s′isihi−1 (3.2)

sa forstoringen blir

Mi =hihi−1

= −s′i

si(3.3)

3.2 Afokala system

Objekt i oandligheten ger bild i oandligheten. Med andra ord, parallella stralarin ger parallella stralar ut.

Om tva linser: fokus ska sammanfalla!

Avstand mellan: d = fob + fok (objektiv till okular)

Vinkelforstoring:

Mθ =θ′

θ'

smavinklar

h

h′= − fob

fok(3.4)

θ ar vinkeln av synfaltet som det observerade objektet upptar utan linserna,och θ′ ar vinkeln av synfaltet som den skapade bilden upptar.

8

3 OPTISKA SYSTEM

h

h'

objektiv okular

θ θ'

fob fok

d

3.3 Systemfokallangd

Tva tunna linser, fokallangder f1 och f2.

Far tillsammans fokallangd fsys, givet av

1

fsys=

1

f1+

1

f2− d

f1f2(3.5)

d avstandet mellan linserna

3.4 Huvudplan

System med flera linser kan beskrivas med hjalp av systemfokallangden och des.k. huvudplanens positioner. Allt mellan huvudplanen kan behandlas som entunn lins med fokallangden fsys. Tva huvudplan: framre (FH) och bakre (BH).Ordningen pa dem kan dock variera, men definition av vilket som ar vilket finnsnedan.

BHFHs'

fsysfsys

s

Framre huvudplan (FH): Det plan dar forlangningen av stralar genom framrefokus (som ju kommer bli parallella efter linssystemet, precis som for en vanligtunn lins) skar forlangningen av den utgaende parallella stralen.

Bakre huvudplan (BH): Det plan dar forlangningen av parallella inkommandestralar skar forlangningen av utgaende stralarna som gar genom fokus.

Avbildning ges av linsformeln;

1

S+

1

S′=

1

fsys(3.6)

9

3 OPTISKA SYSTEM

S ar avstandet fran objektet till framre huvudplan, och S′ avstandet fran bakrehuvudplan till bilden.

For att hitta huvudplanen anvander man stralarna som gar in i och ut ur helalinssystemet. For BH tittar man pa var forlangningen av en inkommande paral-lell strale skar forlangningen av den utgaende stralen (man bryr sig alltsa inteom hur stralen studsar runt inne i linssystemet). Framre huvudplanet far manpa samma satt genom att titta pa en strale som ar parallell nar den lamnarsystemet (kolla pa dess forlangning, och se var den skar forlangningen av deninkommande stralen).

Rent praktiskt kan det vara hjalpsamt att rita stralar och anvanda sig av lik-formiga trianglar for att hitta huvudplanens positioner.

10

4 INTERFERENS

Ovning 4: Interferens

4.1 Optisk vag (optical path length, OPL)

Strackan ljus fardas genom medium, viktatmed mediets brytningsindex.

OPL = nx (4.1)

∆OPL skillnad i optisk vag mellan interfe-rerande ljusstralar fran samma ljuskalla.

ΔOPL

x

I

4.2 Fasskillnad

∆ϕ. Hur mycket ljusstralar ar forskjutna relativt varandra.

∆ϕ =2π

λ·∆OPL (4.2)

4.3 Interferens

Kan ske for stralar fran samma kalla. For tva stralar:

Intensitet adderas enligt

Itot = I1 + I2 + 2√I1I2 · cos (∆ϕ) (4.3)

I1 intensitet for strale 1, I2 intensitet for strale 2, ∆ϕ fasskillnaden mellandem.

– Maximal konstruktiv interferens: ∆ϕ = 2π ·m⇔ ∆OPL = m · λ.

m heltal; m = 0,±1,±2, . . ..

Intensiteten forstarks. Toppar och dalar sammanfaller.

– Maximal destruktiv interferens (cos-termen ska bli -1): ∆ϕ = 2π·m+π ⇔∆OPL =

(m+ 1

2

)· λ.

m heltal; m = 0,±1,±2, . . ..

Intensiteten minskar. Toppar pa ena sammanfaller med dalar pa andra.

11

4 INTERFERENS

4.4 Tunt skikt

Strale reflekteras i olika gransytor.Bilden: Tre material med olika bryt-ningsindex, n1, ns och n2.

)i

)

i' d

n1

ns

n2

∆OPL = 2 · ns · d · cos (i′) +

λ2 , om en av refl. mot tatare medium

0 annars(4.4)

Tatare medium ⇔ storre n.

∆OPL vagskillnad mellan ljus reflekterat i forsta respektive andra gransytan.

4.5 Vinkelrat reflektion i gransyta

Reflektivitet (andel av den inkommande intensiteten som reflekteras)

R =I ′

I=

(n2 − n1

n2 + n1

)2

(4.5)

dar I ′ ar den reflekterade intensiteten, och I den inkommande intensiteten. n1,n2 brytningsindex for de tva materialen.

(Obs, skiss. Egentligen reflekterasstralen tillbaka samma vag som denkom in, dvs vinkelratt ut, men det garinte riktigt att rita pa ett bra satt)

n1

n2

I

I'

12

5 DIFFRAKTION

Ovning 5: Diffraktion

5.1 Cirkular oppning

x

I(intensitet)

R >> D, λ

) αD

λ

Diffraktions-mönster

α diffraktionsvinkeln (fran centralmaximum till forsta minimum).

λ inkommande ljusets vaglangd, D oppningens diameter.

sinα =1.22λ

D(5.1)

(Diffraktionsmonstret egentligen 3D, men svart att rita tydligt. Hela diagram-met ar alltsa ”roterat” runt centrala axeln ocksa)

5.2 Enkelspalt

Diffraktionsmonster likt det for cirkular oppning, men i bara en riktning.

sinα =λ

a(5.2)

a spaltbredd (oppningens storlek).

5.3 Upplosning

Vinkeln av synfaltet som gar att upplosa (dvs nar man kan skilja en punktfran en annan) ges av Rayleighkriteriet;

sinαR =1.22λ

D(5.3)

(ogat cirkular oppning, D pupilldiametern har). αR ar alltsa den minsta vinkel(relaterat till minsta avstand) mellan punkter dar man kan skilja pa punkter-na.

13

5 DIFFRAKTION

5.4 Gitter

(Ger upphov till fenomen som ar en kombination av interferens och diffrak-tion)

Far diffraktionsmonster endast i vissa bestamda riktningar (ordningar), darinterferensen ar maximalt konstruktiv. Vinkeln αm till ordning m ges av

m · λ = d · sin (αm) (5.4)

m heltal, d gitterkonstanten (spaltseparationen i gittret, avstandet mellan spal-ters centrum).

θ

m=0

0

1 2 313 2

Utan diffraktion

θ

m=0

1

2

34 6 7

Diffractionenvelope

0

Med diffraktion

Intensitet pa y-axeln, vinkel fran centralmaximum pa x-axeln.

Forsta bilden visar hur det vore med ren interferens, men aven diffraktion kom-mer i allmanhet in! Diffraktionen beror pa spaltbredden i gittret. Den ger ett”diffraction envelope” som trycker ned intensiteterna for de olika ordningarna(se andra bilden). (Man kan alltsa hitta intensiteten i en ordning i gittret genomatt titta pa diffraktionens intensitet vid den vinkel dar ordningen ligger)

14

6 POLARISATION

Ovning 6: Polarisation

6.1 Polarisationsriktning

Ljus ar elektromagnetiska vagor, sa det har en elektrisk faltkomponent ochen magnetisk faltkomponent. E-faltet oscillerar i en riktning, och B-faltet i enannan, roterad 90 jamfort med E-faltets riktning. De ar alltsa alltid ortogona-la.

Polarisationsriktningen ar definierad som det elektriska faltets oscillationsrikt-ning. Ljuset kan vara

Opolariserat - Polarisationen varierar snabbt och slumpmassigt, kanocksa sagas vara polariserat i alla riktningar (och pa sa satt ingen riktningmer an nan annan).

Linjarpolariserat - Elektriska faltet oscillerar runt samma axel hela ti-den.

Cirkularpolariserat - Elektriska faltets oscillationsriktning roterar, saden momentana polarisationsriktningen beror pa ”var i vagen” man be-finner sig.

Ljusvagen i bilden propagerari x-riktningen. E-faltsdelen avljuset oscillerar i z-led, och B-faltsdelen oscillerar i y-led. Lju-set ar alltsa linjarpolariserat i z-led!

E-fältB-fält

x

yz

Ljus kan polariseras till exempel vid reflektion, dar ljus med vissa polarisations-riktningar reflekteras starkare an andra.

6.2 Brewstervinkeln

Mangden ljus som reflekterasoch transmitteras i en gransytamellan material med brytnings-index n och n′ beror pa in-fallsvinkel och polarisation. Dainfallsvinkeln ar Brewstervin-keln sa reflekteras bara detljus som har polarisationsrikt-ning vinkelratt mot infallspla-net.

Infalls-plan

Polarisations-riktningar

(opolariserat)Vinkelrätt motinfallsplan

n

n'

iB

15

6 POLARISATION

Infallsplanet ar det plan i vilket inkommande och reflekterad ljusstrale ligger.Brewstervinkeln iB ges av

tan iB =n′

n(6.1)

6.3 Malus lag

Malus lag ger den intensitet av inkommande linjarpolariserat ljus som trans-mitteras genom ett linjart polarisationsfilter. Med det inkommande ljusets in-tensitet som I0 och den transmitterade intensiteten som IT sa kan Malus lagskrivas

IT = I0 cos2 ϕ (6.2)

dar ϕ ar vinkeln mellan det inkommande ljusets polarisationsriktning och pola-risationsfiltrets genomslappningsriktning (linjara polarisationsfilter slapper baraigenom en viss polarisationsriktning).

6.4 Dubbelbrytning

Olika polarisationsriktningar bryts i olikavinklar i vissa material. Olika polarisations-riktningar ”ser” olika brytningsindex i mate-rialet, och tar darfor olika vagar genom det.Forekommer ofta i kristaller, och kan anvandasfor att dela upp ljus i olika polarisationer.

KristallPolarisations-riktningar

16

7 ELEKTROSTATIK

Ovning 7: Elektrostatik

7.1 Coulombs lag

Kraften mellan tva laddningar med laddning q1 respektive q2 ges av

F =q1q2

4πε0r2(7.1)

dar r ar avstandet mellan laddningarna, och ε0 den elektriska konstanten (va-kuumpermittiviteten).

ε0 ' 8.85 · 10−12 Fm

7.2 Elektriskt falt

~E [N/C = V/m]

(Vektorfalt, sa det har storlek och riktning overallt i rummet). Vi betraktardet pa avstand r fran laddningen. Finns olika typer av laddningar, och de gerupphov till olika former pa E-faltet:

Punktladdning q [C]:

E =q

4πε0r2(7.2)

Linjeladdning med laddningstathet λ [C/m]:

E =λ

2πε0r(7.3)

Ytladdning med laddningstathet σ [C/m2]:

E =σ

2ε0(7.4)

(avstandsoberoende)

For linje- och ytladdning: galler da r langd pa linje/yta.

E-falt superpositioneras. Lagg ihop E-falten fran alla narvarande laddningar foratt fa totala!

7.3 Elektrisk dipol

Tva motsatta laddningar (+q och -q) pa ett litet avstand d:

+q-q

d

17

7 ELEKTROSTATIK

En dipol har ett dipolmoment ~p, som ges av

~p = q · ~d [C ·m] (7.5)

~d riktad fran negativ laddning till positiv (men oftast ar vi bara intresserade avdipolmomentets storlek snarare an riktning anda).

Elektriskt falt vinkelratt mot d pa avstand r d fran dipolen ges av

E⊥ =p

4πε0r3(7.6)

p ar absolutbeloppet (storleken) av dipolmomentet.

7.4 Elektrisk kraft

Elektriska kraften pa en laddning q ges av

~F = q · ~E (7.7)

dar ~E ar det yttre elektriska faltet.

7.5 Gauss sats

‹S

~E · d~S =Q

ε0(7.8)

Integralen av elektriska faltet ( ~E) over sluten Gaussyta (S) ger totala laddning-en (Q) som innesluts av ytan. Som Gaussyta kan vilken sluten yta som helstvaljas.

7.6 Spanning

Skillnad i elektrisk potential mellan tva punkter, a och b.

Uab = Ua − Ub =

ˆ b

a

~E · d~r [V] (7.9)

Oberoende av vag mellan a och b.

7.7 Potentiell energi

Potentiell energi hos laddning q pa potential U ar energin som kravs for attflytta laddningen fran potential 0 till potential U .

W = q · U [J] (7.10)

Mer allmant ges energin for att flytta fran startpotentialen U1 till slutpotentialenU2 av

W = q(U2 − U1) (7.11)

18

8 KONDENSATORER

Ovning 8: Kondensatorer

8.1 Kondensator

Tva ledare separerade av annat material. Lagrar ladd-ning Q, och energi W, nar man lagger spanning U overden.

Kapacitans [F, farad] ett matt pa lagrade laddningen. Kapacitansen ges av

C =Q

U

[F =

C

V

](8.1)

Den lagrade energin ar

W =1

2CU2 (8.2)

och den lagrade laddningen ges av

Q = CU. (8.3)

8.2 Plattkondensator

Vanlig approximation. Tva elektriskt ledan-de plattor med area A, avstand d mellanplattorna, material med relativ permittivitetεr mellan plattorna.

d

AA

εr

Kapacitans

C = ε0εrA

d(8.4)

Relativa permittiviteten εr materialparameter. Dimensionslos.

ε0 ' 8.85 · 10−12 F/m elektriska konstanten, vakuumpermittiviteten.

E-faltstyrkan mellan plattorna:

E =U

d(8.5)

U ar spanningen mellan plattorna.

19

8 KONDENSATORER

8.3 Seriekoppling

Kondensatorer kopplade pa rad. Totala kapaci-tansen ges av

C1 C2

1

Ctot=

1

C1+

1

C2(8.6)

(om vi har tva kondensatorer. Annars tillkommer en term for varje kondensa-tor)

8.4 Parallellkoppling

Kondensatorer sitter parallellt. Totala kapaci-tansen ges av

Ctot = C1 + C2 (8.7)

C1

C2

8.5 RC-krets

Urladdningen (spanningsminskningen) av en kondensator med kapacitans Cover en resistans R sker med en tidskonstant τRC :

τRC = R · C. (8.8)

Spanningen sjunker somU(t) = U0 · e−t/τRC . (8.9)

τRC ar alltsa tiden da spanningen ar 1/e av ursprungliga vardet.

Spanningens tidsberoende kommer av Kirchhoffs stromlag, dar strommen i kon-densatorn maste vara samma som strommen i resistorn;

C · dUdt

+U

R= 0⇒ U(t) = U0 · e−t/RC

C

R

I

20

9 MAGNETISM

Ovning 9: Magnetism

Laddning i rorelse ger upphov till magnetfalt. Magnetfalt ar kallfria (divergens-fria), sa magnetfaltlinjer ar alltid slutna (de har ingen direkt borjan och slut,utan sitter ihop).

9.1 Magnetfalt fran laddning q

Laddning q med hastighet ~v ger magnetfaltet

~B =µ0q

4π

~v × rr2

[T] (9.1)

r riktningen (enhetsvektorn) till punkten pa av-stand r, dar vi mater faltet.

r

q

B

v

µ0 magnetiska konstanten, vakuumpermeabiliteten.

µ0 = 4π · 10−7 N/A2

9.2 Magnetfalt fran rak ledare

Matt i punkten r.

B =µ0I

4πr(cosα− cosβ) (9.2)

I strommen genom ledaren.

I

B

r

α β

9.3 Magnetfalt fran lang rak ledare

Lang: α liten ⇒ cosα ≈ 1, β → 180 − α⇒ cosβ → − cosα ≈ −1

Sa magnetfaltet blir

B =µ0I

2πr(9.3)

9.4 Spolar

Riktningen pa magnetfalt fran spolar fas med hjalp av hogerhandsregeln (tum-men i magnetfaltets riktning, de ovriga fingrarna i strommens riktning).

21

9 MAGNETISM

9.4.1 Lang spole och toroidspole

L

Lång spole: a<<L

Toroidspole

BBa

I

Faltet inuti:

B = µ0I ·N

L(9.4)

N/L antal varv per spollangd.

9.4.2 Kort spole

Langs symmetriaxeln z blir mag-netfaltet

Bz =µ0NI · a2

2(a2 + z2)3/2(9.5)

a ar spolens radie, N antal varv i spolen,och I strommen i spolen.

Ia

La>>L

zB

9.5 Magnetisk kraft

Laddning q med hastighet ~v i magnetfalt ~Butsatts for kraften

~F = q~v × ~B. (9.6)

Kraften alltsa vinkelrat mot rorelseriktningen,sa kraften kroker banan.

R

vq

B

Krokningsradien ges av

R =mv

|q| ·B(9.7)

dar m ar den laddningsbarande partikelns massa.

22

9 MAGNETISM

9.5.1 Kraft pa rak ledare

Rak ledare med langd L och strom ~I (riktningenpa strommen/ledaren alltsa viktig) i magnetfalt~B paverkas av kraften

~F = L~I × ~B. (9.8)

B

I

F

L

9.6 Magnetisk dipol

En stromslinga (spole) med tvarsnittsarea/andytearea A, N varv, strom I, harmagnetiskt dipolmoment µ

µ = N · I ·A (9.9)

riktat parallellt med inre faltet (eller, med andra ord, riktat vinkelratt ut franden andyta pa spolen som ligger i det skapade faltets riktning).

Om spolen har en karna med relativ permeabi-litet µr sa far vi istallet

µ = µrNIA. (9.10)

I ett yttre magnetfalt ~B utsatts dipolen for ettkraftmoment givet av

~M = ~µ× ~B. (9.11)

B (yttre)

µ

M

23

10 INDUKTION

Ovning 10: Induktion

10.1 Magnetiskt flode

Magnetiska flodet genom area ~A = A · n, n ytans normal-vektor, i magnetfaltet ~B ges av

Φ = ~A · ~B = A ·B · cos θ[Wb = V · s = T ·m2

](10.1)

θ vinkeln mellan ytans normalvektor och magnetfaltets rikt-ning.

n

B

θ

A

10.2 Inducerad spanning

Inducerade spanningen i slinga/spole ges av

U = N · dΦ

dt[V]. (10.2)

N antal varv i spolen, Φ magnetiska flodet. Andring i magnetiskt flode ger alltsaupphov till spanning.

10.3 Sjalvinduktans

Spolens eget magnetiska flode inducerar en spanning i den. Sjalvinduktansen Lges av

L = N · Φ

I

[H =

Wb

A=

T ·m2

A

](10.3)

I strommen i spolen.

10.4 Omsesidig induktans

Tva spolar paverkar varandra. Omsesidig induktans M mellan tva spolar 1 och2 ges av

M = N1Φ1

I2[H] (10.4)

Φ1 magnetiska flodet genom spole 1 (fran magnetfaltet fran spole 2), I2 strommeni spole 2.

24

10 INDUKTION

10.5 RL-krets

Strom i spole kopplad i krets med resistor okarenligt

I(t) = I0

(1− e−t/τRL

). (10.5)

τRL RL-konstanten i kretsen.

L R

Strommen i spolen minskar (laddas ur) enligt

I(t) = I0 · e−t/τRL . (10.6)

Tidskonstanten τRL ges av

τRL =L

R(10.7)

dar L ar spolens sjalvinduktans och R ar resistorns resistans. I0 ar den ursprung-liga strommen i spolen (i urladdningsfallet), och ges av Ohms lag som

I0 =U

R. (10.8)

25