Knots and links in chiral nematic colloidsmok7/slide/Takeuchi_s.pdfKnots and links in chiral nematic colloids 武内佑馬埼玉大学下川研究室 2014 年12 月25 日武内佑馬

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Knots and links in chiral nematic colloids

武内佑馬

埼玉大学下川研究室

2014年 12月 25日

武内佑馬 (下川研究室) Knots and links in chiral nematic colloids 2014年 12月 25日 1 / 25

目次

発表の流れ.

. .1 Introduction.

. .2 Colloidal particle array diagramDefinitionTangled lattice diagram

.. .3 Grid diagram

DefinitionFact

.. .4 Proof

Grid diagram and CPA diagramStructure of proofExample of deformation

.. .5 Future

CPA diagram of twist knotsCPA diagram of (2,n)-torus links


Introduction

Introduction

Q. 液晶コロイドとは？→ 液晶の中にコロイド粒子を入れたもの．Q. コロイド粒子の周りに環がある？→ 液晶の配向が崩れたところが環状になって現れたもの（欠陥線）が環の正体．

Randall D.Kamien「Knot Your Simple Defect Lines?」Science 333(2011)武内佑馬 (下川研究室) Knots and links in chiral nematic colloids 2014年 12月 25日 3 / 25

Introduction

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コロイド粒子たちを近づけて欠陥線同士で繋ぎ合わせることで，結び目や絡み目が構成される．

「Reconfigurable Knots and Links in Chiral Nematic Colloids」Science 333(2011)


Introduction

.Observation..

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Such a large diversity of topological objects suggests that it is possibleto design any knot or link on a sufficiently large coloidal array.


.Question..

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液晶コロイド粒子を格子状に並べて繋ぎ合わさった欠陥線によって，全ての絡み目を構成できるか？

.Main theorem.... ..

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.任意の絡み目は，上記のような構成で実現することができる．

以降，数学的にモデル化して考察する．


Colloidal particle array diagram Definition

Definition of CPA diagram.Definition..

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図のようにコロイドを p × q の行列の様に並べ，その欠陥線が結び付いて得られる絡み目の図式を Colloidal particle array diagram (CPAdiagram) と呼ぶ．

下図のコロイドにあたる部分を「コロイド部分」，４つのコロイドの中心で形状に自由度のある部分を「タングル部分」と呼ぶ．



.Remark..

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. ..

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・交点は必ず水平方向が下になっている．・隙間なく並んでおり，密である．・行列の様に並んでいるので，全体的な形は長方形である．・各列，行でコロイド部分とタングル部分は交互に現れている．




先述の主定理は以下の様に言い直される．.Theorem.... ..

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.任意の絡み目は，CPA diagram で表すことができる．

続いて証明の為に前準備をしておく．


Colloidal particle array diagram Tangled lattice diagram

Tangled lattice diagram

.Definition..

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. ..

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頂点集合 V が V = V2 ∪ V4 となる 2次元格子グラフをとる．全ての v ∈ V4 を以下の図の様なタングル H,I,X に置き換えたものを図式とみなし，これを Tangled lattice diagram (TL diagram)と呼ぶ．

:H

: I

:X



.Definition..

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. ..

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Tangled lattice diagram が左下図のように 1× 1 の正方形で構成されているとき，密であると呼ぶ．

.Definition..

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. ..

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Tangled lattice diagram が右下図のように長方形で囲われるとき，長方型であると呼ぶ．

密な TL diagram 長方型 TL diagram



Definition of CPA diagram (2)

すなわち，CPA diagram は以下の規則性を持った密な長方型 TLdiagram であると定義される．.

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. ..

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・灰色の円では必ずタングル H である．・黄色の円では必ずタングル X である．・その他赤色の円では H,I,X いずれかのタングルである．

次に，証明で用いる diagram を用意する．武内佑馬 (下川研究室) Knots and links in chiral nematic colloids 2014年 12月 25日 11 / 25

Grid diagram Definition

Grid diagram.Definition..

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. ..

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grid number n の grid diagram とは，各行，各列の格子内には丁度１つずつの X と O が配置された n × n の正方格子から，X と O を繋げて得られる link diagram のことである．（ただし交点は水平方向が下となるように定める）

O

O

O

O

O

X

X

X

X

X

→

grid diagram


Grid diagram Fact

grid diagram に関しては以下の Fact が既に知られている．.Fact.... ..

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.任意の絡み目は grid diagram で表せる．

つまり，先程の定理は上記の Fact と下記の命題から導き出される．

.Prop..

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. ..

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任意の grid diagram は，link type を変えずに CPA diagram に変形できる．


Proof Grid diagram and CPA diagram

Grid diagram and CPA diagram

交点についてはどちらも水平方向が下となっている．しかし grid diagram は密ではなく，隙間が多い．これは griddiagram の内部に角があるためである．(CPA diagram では，内部にある角は全て対になっている)

grid diagram CPA diagram


Proof Structure of proof

Algorithm of deformation... ..

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[1]与えられた grid diagram を密な TL diagram に変形する．

変形の補助となるガイドラインを引き，それに沿わせて外周を潰す．... ..

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[2]密な TL diagram を，密なまま長方型にする．

外周の一部を引き伸ばしていくことで得る．.

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. ..

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[3]コロイド部分，タングル部分，コロイド部分，… といった規則性を付ける．

外周の一部を引き伸ばし，元の図式に巻き付けていくことで得る．

→ → →


Proof Example of deformation

Deformation of figure eight knot diagram[1]

1.与えられた grid diagram にガイドラインを引くガイドラインとは，内部の各角から，2方向の半直線を外にはみ出るまで引いたもの．

→

L1

L2

L4 L3

L5




2.L1について変形し，L1をなくすi) L1の垂直部分と他のガイドラインが交わっていないことに注意して L1で囲われた部分の辺を 1段下へ平行に降ろす．

変形前

L1

L2

L4 L3

L5

→

L1

L2

L4 L3

L5




2.L1について変形し，L1をなくすi) L1の垂直部分と他のガイドラインが交わっていないことに注意して L1で囲われた部分の辺を 1段下へ平行に降ろす．

変形前変形後

L1

L2

L4 L3

L5

→

L1

L2

L4 L3

L5




2.L1について変形し，L1をなくすこうすることで L1を取り除く事が出来る．次に L2に着目する．

変形前変形後

L1

L2

L4 L3

L5

→

L2

L4 L3

L5




3.L2をなくす0) L2が下へのびる半直線をもつ（L2の垂直部分が下で他のガイドラインと交わっている）ので，上へのびるように変形する．

変形前

L2

L4 L3

L5

→

L2

L4 L3

L5





変形前

L2

L4 L3

L5

→

L2

L4 L3

L5





変形前変形後

L2

L4 L3

L5

→

L2'

L4 L3

L5




3.L2をなくすi) L2で囲われた部分の辺を 1段下へ平行に降ろす．

変形前

L2'

L4 L3

L5

→

L2'

L4 L3

L5





変形前変形後

L2'

L4 L3

L5

→

L2'

L4 L3

L5




3.L2をなくすL2を取り除く．次に L3に着目する．

変形前

L2'

L4 L3

L5

→ L4 L3

L5





変形前変形後

L4 L3

L5

→ L4 L3'

L5





変形前変形後

L4 L3'

L5

→ L4 L3'

L5




5～.L4,L5も同様にしてなくす必要に応じて 0) , i) と変形を施す．

変形前変形後

L4 L3'

L5

→ L4

L5





変形前変形後

L4

L5

→ L4

L5





変形前変形後

L4

L5

→L5





変形前変形後

L5

→L5'





変形前変形後

L5'

→L5'




こうして grid diagram を密にすることができた．ここで縮尺を整えておく．次は凹んだ部分を補い，長方型になるような変形を施す．

→




下図の 2点から，緑色のループになるように引き伸ばす．




下図の 2点から，緑色のループになるように引き伸ばす．




この段階では規則性をもっていない．規則性をもたせるために，一部を引きのばし，それを自身に巻き付ける．(いまある全ての交点や角の対を，タングル部分にするという発想) 比較用




引き伸ばした部分について，垂直な辺は元の diagram の上を，水平な辺は下を通している．

比較用




最後に，右図の灰色の円部での規則性をもたせるため，橙色の所で半捻りを加える．

比較用




最後に，右図の灰色の円部での規則性をもたせるため，橙色の所で半捻りを加える．

比較用



CPA diagram of figure eight knot

こうして grid diagram から CPA diagram へと変形が完了．figure eight knot は 12× 8 CPA diagram で表される．

p

q


Future CPA diagram of twist knots

CPA diagram of twist knots

一般的な変形を与えると非常に大きい CPA diagram になってしまう．実際，figure eight knot は 4× 3 CPA diagram で表すことができる．更に twist knot は右の表現から得ることができる．

p

q

figure eight knot diagram

X H · · · HH I · · · II I · · · I


Future CPA diagram of twist knots

twist knots の鏡像の表現は右下のように行方向へ伸ばすようにして与えられる．左の図は 6× 2 CPA diagram で表した figure eightknot である．

p

q

figure eight knot diagram

XHXH...HX

or

XHXH...HI


Future CPA diagram of (2,n)-torus links

CPA diagram of (2,n)-torus links

(2,n)-torus links の表現は以下で表される．特に左手系は 3× n arrayで，右手系は clossing number が奇数ならば (n+1

2+ 2)× 2 array ，偶

数ならば (n2+ 2)× 2 array で与えられる．

p

q

trefoil

I I · · · II I · · · I

p

q

trefoil

oddIH...HX

or

evenIH...HI

(3× 3 CPA diagram) (4× 2 CPA diagram)



Others

(n,m, l) pretzel links については，n, l ≥ m ≥ 1 ならばその表現を与えることができる．

(3, 2, 6) pretzel link

(7× 3 CPA diagram)

p

q

H IH HI HH HH IX H

2-bridge knots の表現についても研究を進めている．武内佑馬 (下川研究室) Knots and links in chiral nematic colloids 2014年 12月 25日 24 / 25


Thank you for your attention!


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