Kola u ustaljenom prostoperiodičnom režimu

svi naponi i sve struje u kolu su prostoperiodične (sinusoidalne ili kosinusoidalne)

funkcije vremena sa istom kružnom učestanošću i u opštem slučaju različitim fazama

)cos()( θω += tXtx m , gde su:

o )(tx – struja ili napon u vremenskom domenu

o mX – amplituda

o ω – kružna učestanost

o θ – faza

o t – vremenska promenljiva

važi jednakost: T

fπ

πω2

2 == , gde je:

o f – frekvencija

o T – perioda (f

T1

= )

Fazori

34. Dati su vremenski oblici napona i struja. Odrediti odgovarajuće fazore.

a) )45377cos(V224)(1 °−= ttu .

b) )120377cos(A12)(2 °+= tti .

c) )425377cos(V212)(3 °−= ttu .

d) )2,42513sin(A218)(4 °+= tti .

e) kHz50),2sin(V2)(5 == ffttu π .

f) kHz20),1352sin(A8)(6 =°−−= fftti π .

Rešenje:

a) ⇒°−= )45377cos(V224)(1 ttu °−∠= 45V241U

b) ⇒°+= )120377cos(A12)(2 tti °∠= 120A262I

c) ⇒°−= )425377cos(V212)(3 ttu °−∠=°−∠= 65V12425V123U

d) ))2,42513(90cos(A218)2,42513sin(A218)(4 °+−°=°+= ttti

)8,852513cos(A218)8,852513cos(A218)(4 °−=°+−= ttti

°−∠= 8,85A184I

e) )902cos(V2)290cos(V2)2sin(V2)(5 °−=−°== ftftfttu πππ

°−∠= 90V25U

f) )452sin(A8)1801352sin(A8)1352sin(A8)(6 °+=°+°−=°−−= ftftftti πππ

)452cos(A8)452cos(A8))452(90cos(A8)(6 °−=°+−=°+−°= ftftftti πππ

°−∠= 45A246I

35. Konvertovati date fazore u vremenske oblike odgovarajućih napona i struja ako je poznato da

je Hz60=f .

a) °∠= 20V161U .

b) °−∠= 75A102I .

Rešenje:

a) ⇒°+=⇒°∠= )202cos(V216)(20V16 11 fttuU π )20120cos(V216)(1 °+= ttu π

b) ⇒°−=⇒°−∠= )752cos(A210)(75A10 22 fttiI π )75120cos(A210)(2 °−= tti π

36. Konvertovati date fazore u vremenske oblike odgovarajućih napona i struja ako je poznato da

je Hz400=f .

a) °∠= 120V101U .

b) °−∠= 60A122I .

Rešenje:

a) ⇒°+=⇒°∠= )1202cos(V210)(120V10 11 fttuU π )120800cos(V210)(1 °+= ttu π

b) ⇒°−=⇒°−∠= )602cos(A212)(60A12 22 fttiI π )60800cos(A212)(2 °−= tti π

Konverzija napona i struja iz vremenskog domena u kompleksni

(frekventni) domen i obratno

konverzija napona i struja iz vremenskog domena ( )cos()( θω += tXtx m ) u kompleksni

(frekventni) domen ( jbaX += ):

θθθθω jmm eXXX

XfazortXtx ⋅=→∠→∠→+=

2)cos()( , gde je:

2

mXX =

( ) jbaXjXjXeXXj +=+=+⋅=⋅= θθθθθ sincossincos , gde su:

θcosXa = , θsinXb = , −j imaginarna jedinica ( 12 −=j ).

konverzija napona i struja iz kompleksnog (frekventnog) domena ( jbaX += ) u

vremenski domen ( )cos()( θω += tXtx m ):

θjeXjbaX ⋅=+= , pri čemu je:

22baX +=

+°

=

kvadrantizaa

barctg

kvadrantizaa

barctg

.3.2;180

.4.1;

θ

Dalje se dobija:

)cos()( θωθθ +=→∠→⋅ tXtxXfazoreX m

j

pri čemu je: 2XX m = .

37. Konvertovati date napone i struje iz vremenskog u kompleksni domen ako je poznato da je

kHz5=f .

a) )2cos(V6)(1 fttu π= .

b) )452cos(V2)(2 °+= fttu π .

c) )2sin(A2)(3 ftti π= .

d) )2cos(A23)(4 ftti π−= .

Rešenje:

a) ( )°+°⋅=⋅=→°∠=→= ° 0sin0cosV23V230V23)2cos(V6)( 0

111 jeUUfttujπ

( ) ⇒+⋅= 01V231 jU V231 =U

Re

Im

0

θX

a

bX

kvadrant.1kvadrant.2

kvadrant.3 kvadrant.4

b)

( )°+°⋅=⋅=→°∠=→°+= ° 45sin45cosV2V245V2)452cos(V2)( 45

222 jeUUfttujπ

⇒

+⋅=

2

2

2

2V22 jU V)1(2 jU +=

c) )902cos(A2)290cos(A2)2sin(A2)(3 °−=−°== ftftftti πππ°−⋅=→°−∠=→°−= 90

333 1A90A1)902cos(A2)( jeIIftti π

( ))90sin()90cos(A13 °−+°−⋅= jI

( ) ⇒−⋅= 101A3 jI A3 jI −=

d) ( )°+°⋅−=⋅−=→°∠−=→−= ° 0sin0cosA3A30A3)2cos(A23)( 0

444 jeIIfttijπ

( ) ⇒+⋅−= 01A34 jI A34 −=I

38. Konvertovati date napone i struje iz vremenskog u kompleksni domen ako je poznato da je

krad/s6=ω .

a) )150sin(V2)(1 °−−= ttu ω .

b) )135sin(A2)(2 °−= tti ω .

Rešenje:

a) )240cos(V2))150(90cos(V2)150sin(V2)(1 ttttu ωωω −°−=°−−°−=°−−=°−⋅−=→°−∠−=→°−−=−°−= 240

111 1V240V1)240cos(V2)240cos(V2)( jeUUtttu ωω

( ))240sin()240cos(V11 °−+°−⋅−= jU

⇒

+−⋅−=

2

3

2

1V11 jU V

2

3

2

11

−= jU

b) )225cos(A2))135(90cos(A2)135sin(A2)(2 tttti ωωω −°=°−−°=°−=°−⋅=→°−∠=→°−=−°= 225

222 A2225A2)225cos(A2)225cos(A2)( jeIIttti ωω

( ))225sin()225cos(A22 °−+°−⋅= jI

⇒

+−⋅=

2

2

2

2A22 jI ( )A12 jI +−=

39. Konvertovati date napone i struje iz kompleksnog u vremenski domen ako je poznato da je

kHz2=f .

a) ( )V551 jU += .

b) ( )A432 jI +−= .

Rešenje:

a) ( ) °∠=→⋅=⋅+=→+= ° 45V25V25V55V55 1

455

5

22

11 UeeUjUj

jarctg

⇒°+=→°∠= )452cos(V10)(45V25 11 fttuU π )454000cos(V10)(1 °+= ttu π

b) ( ) ( ) °°−°

−+°

⋅=⋅=⋅+−=→+−= 87,12613,53180)3(

4180

22

22 A5A5A4)3(A43 jjarctgj

eeeIjI

°∠=→⋅= ° 126,87A5A5 2

87,126

2 IeIj

⇒°+=→°∠= )87,1262cos(A25)(126,87A5 22 fttiI π )87,1264000cos(A25)(2 °+= tti π

40. Konvertovati date napone i struje iz kompleksnog u vremenski domen ako je poznato da je

krad/s10=ω .

a) ( )V271 jU −−= .

b) ( )A522 jI −= .

Rešenje:

a)

( ) ( ) °°+°

−

−+°

⋅=⋅=⋅−+−=→−−= 95,19595,15180)7(

)2(180

22

11 V53V53V)2()7(V27 jjarctgj

eeeUjU

°∠=→⋅= ° 195,95V53V53 1

95,195

1 UeUj

⇒°+=→°∠= )95,195cos(V106)(195,95V53 11 ttuU ω )95,19510000cos(V106)(1 °+= ttu

b) ( ) °−∠=→⋅=⋅−+=→−= °−

−

68,2A29A29A)5(2A52 2

2,682

)5(

22

22 IeeIjIj

jarctg

⇒°−=→°−∠= )2,68cos(A58)(68,2A29 22 ttiI ω )2,6810000cos(A58)(2 °−= tti

Rešavanje kola u ustaljenom prostoperiodičnom režimu

Rešavanje kola u ustaljenom prostoperiodičnom režimu se vrši u četiri koraka:

konverzija svih napona i struja iz vremenskog u kompleksni domen

konverzija otpornosti otpornika, induktivnosti kalemova i kapacitivnosti kondenzatora u

odgovarajuće impedanse ( RZR = , LjZL ω= , Cj

ZCω

1= )

rešavanje kola u kompleksnom domenu primenom zakona i metoda koje su rađene kod

kola sa jednosmernim strujama

konverzija dobijenog rezultata (struje i/ili napona) iz kompleksnog u vremenski domen

41. Za kolo sa slike je poznato )30cos(V250)( °+= ttu ω , Ω= 25R , mH20=L i µF50=C .

a) Izračunati ekvivalentnu impedansu tri redno vezana elementa (otpornika, kalema i

kondenzatora), kao i struju )(ti ako kolo radi na frekvenciji Hz60=f .

b) Izračunati ekvivalentnu impedansu tri redno vezana elementa (otpornika, kalema i

kondenzatora) ako kolo radi na frekvenciji Hz400=f .

Rešenje:

a) Ω== 25RZR

Ω=⋅⋅⋅== 54,7mH20Hz602 jjLjZL πω

Ω−=⋅⋅

−=−== 05,53µF50Hz602

1j

j

C

j

CjZC

πωω

( )°+°⋅=⋅=→°∠=→°+= ° 30sin30cosV50V5030V50)30cos(V250)( 30jeUUttu

jω

⇒

+⋅=

2

1

2

3V50 jU V)3(25 jU +=

⇒++= LCREKV ZZZZ Ω−= )51,4525( jZEKV

A16,2696

64,259522,55

)51,4525(

)51,4525(

)51,4525(

V)3(25

)51,4525(

V)3(25

+−=

+

+⋅

Ω−

+=

Ω−

+==

j

j

j

j

j

j

j

Z

UI

EKV

( )

−+°

⋅+−=→+−=)0205,0(

9627,0180

22 A9627,0)0205,0(A9627,00205,0arctgj

eIjI

( ) °∠=→⋅=⋅= °°−° 91,22A96,0A96,0A96,0 22,9178,88180 IeeI jj

⇒°+=→°∠= )22,912cos(A296,0)(91,22A96,0 fttiI π )22,91120cos(A36,1)( °+= tti π

b) Ω== 25RZR

Ω=⋅⋅⋅== 27,50mH20Hz4002 jjLjZL πω

Ω−=⋅⋅

−=−== 96,7µF50Hz4002

1j

j

C

j

CjZC

πωω

+ −

R L C

)(tu

)(ti

+ −

RZ LZ

U

I

CZ

⇒++= LCREKV ZZZZ Ω+= )31,4225( jZEKV

42. Za kolo sa slike odrediti ekvivalentnu impedansu između tačaka A i B .

Rešenje:

22

22

22

4

22

)2(2)2(||21

j

j

j

j

j

jjZ

+

+⋅Ω

−

−=Ω

−

−⋅=Ω−Ω=

( )Ω−=Ω−

= jj

Z 18

881

( )Ω+=−+= 422622 jjjZ

( )Ω−= 243 jZ

( ) ( )( ) ( )

Ω+

+=Ω

+

+=Ω

−++

−⋅+=

+

⋅==

j

j

j

j

jj

jj

ZZ

ZZZZZ

3

68

26

1216

2442

2442||

32

32

3223

( )Ω+=−

−⋅Ω

+

+= j

j

j

j

jZ 3

3

3

3

6823

A

B

Ω2

Ω2j− Ω2

Ω4Ω2j−

Ω2j−

Ω6j

A

B

Ω2

Ω2j− Ω2

Ω4Ω2j−

Ω2j−

Ω6j

1Z

2Z3Z

A

B

1Z

2Z 3Z

23Z

( ) ⇒Ω++−=+= jjZZZEKV 31231Ω= 4EKVZ

43. (Zadatak za vežbu) Za kolo sa slike odrediti ekvivalentnu impedansu između tačaka A i B .

Rešenje:

Ω+= )08,138,3( jZEKV

44. a) Za kolo sa slike odrediti ekvivalentnu impedansu između tačaka A i B .

b) Ako je Hz50=f , realizovati dobijenu ekvivalentnu impedansu korišćenjem minimalnog

broja pasivnih komponenata (otpornika i/ili kalemova i/ili kondenzatora) i odrediti njihove

vrednosti.

A

B

Ω2

Ω4j−Ω2

Ω4

Ω6j

Ω2j

A

B

1Z

23Z

A

B

Ω2

Ω2

Ω2

Ω1 Ω1j

Ω4j

Ω1j−

Ω2j−

Rešenje:

a)

Ω+=Ω+

=Ω−

−⋅

+=Ω

+=

Ω++Ω+Ω

Ω⋅Ω= )67,067,0(

18

1212

33

33

33

4

33

4

)1(22

221 j

j

j

j

j

j

j

j

jj

jZ

Ω=Ω+

+=

Ω++Ω+Ω

Ω+⋅Ω= 67,0

33

22

)1(22

)1(22

j

j

jj

jZ

Ω=Ω−

⋅−=Ω−

−⋅

+

+−⋅=Ω

+

+−=

Ω++Ω+Ω

Ω+⋅Ω= 67,0

2

2

3

2

1

1

1

1

3

2

33

22

)1(22

)1(23 j

j

j

j

j

j

j

j

jj

jjZ

( )Ω−+++= 48,081,067,067,02 jjZEKV

( )Ω+= 19,048,3 jZEKV

A

B

Ω2

Ω2

Ω2

( )Ω11 j+

Ω2j

Ω1j−

A

B

Ω2

Ω2

Ω2

( )Ω11 j+

Ω2j

Ω1j−

1Z

2Z 3Z

B

Ω67,0

Ω2

( )Ω67,067,0 j+

Ω67,0j

Ω1j−

AΩ2

( )Ω167,0 j− ( )Ω67,02 j+

( ) ( )( ) ( )Ω−=+− 48,00,81Ω67,02||167,0 jjj

B

( )Ω67,067,0 j+

AΩ2

( )Ω48,081,0 j−

b) ( ) ⇒+=+=Ω+= fLjRLjRjZEKV πω 219,048,3 Ω= 48,3R µH8,604=L

45. (Zadatak za vežbu) a) Za kolo sa slike odrediti ekvivalentnu impedansu između tačaka A i

B .

b) Ako je Hz100=f , realizovati dobijenu ekvivalentnu impedansu korišćenjem minimalnog

broja pasivnih komponenata (otpornika i/ili kalemova i/ili kondenzatora) i odrediti njihove

vrednosti.

Rešenje:

a) Ω−= )44( jZEKV

b) ( ) ⇒−=−=Ω−=fC

jR

C

jRjZEKV

πω 244 Ω= 4R µF398=C

R L

A

BΩ2

Ω2

Ω2j

Ω3j−

Ω2j−

Ω2j−

Ω4j

R C

46. Direktnom primenom Kirhofovih zakona i Omovog zakona odrediti napone )(1 tu , )(2 tu i

struje )(1 ti , )(2 ti i )(3 ti u kolu sa slike. Poznato je )150sin(V224)( °+= ttuG ω i krad/s10=ω .

Rešenje:

Ω=⋅⋅==→= 6µH600krad/s10µH600 jjLjZL L ω

Ω−=⋅

−=−==→= 4µF25krad/s10

1µF25 j

j

C

j

CjZC C

ωω

)60cos(V224))150(90cos(V224)150sin(V224)( ttttuG ωωω −°−=°+−°=°+=

( )°+°⋅=⋅=→°∠=→°+= ° 60sin60cosV24V2460V24)60cos(V224)( 60jeUUttu

j

GGG ω

⇒

+⋅=

2

3

2

1V24 jUG V)31212( jUG +=

Kontura 1K : 0)31212(46 12 =+−⋅+⋅ jIjI

Kontura 2K : 068)4( 233 =⋅−⋅+−⋅ jIIjI

Čvor A : 321 III +=

+=

+−⋅=

+

+⋅

−⋅=

−⋅=

⋅−+=⋅−+⋅=

321

2223

221

10

63

48

48

48

6

48

6

2

3333)631212(

4

1

III

jI

j

j

j

jI

j

jII

jIjjIjI

+

−

+

−

+

−

)(tuG

Ω4 Ω8

)(1 tu )(2 tu

)(1 ti )(3 ti

)(2 ti

µH600 µF25

+

−

+

−

+

−

GU

Ω4 Ω8

1U 2U

1I 3I

2I

Ω6j Ω− 4j

+

−

+

−

+

−

GU

Ω4 Ω8

1U 2U

1I 3I

2I

Ω6j Ω− 4j

A

1K2K

)31(

)31(

)31(7

)31(30

)31(7

)31(30

5

3

10

3

2

3333 22222

j

j

j

j

j

jIIjIIjIj

−

−⋅

+⋅

+⋅=

+⋅

+⋅=⇒+−=⋅−+

°−∠=−=−++⋅= 11,56A71,2A)543,0655,2())33(331(7

32 jjI

⇒°−∠= 11,56A71,22I )56,1110000cos(A83,3)(2 °−= tti

°∠=+=−⋅−+= 29,05A5,2A)214,1186,2()543,0655,2(2

33331 jjjjI

⇒°∠= 29,05A5,21I )05,2910000cos(A54,3)(1 °+= tti

°∠=+−=+−

⋅−= 105,01A82,1A)756,1471,0(10

63)543,0655,2(3 j

jjI

⇒°∠= 105,01A82,13I )01,10510000cos(A57,2)(3 °+= tti

°∠=+=⋅−=⋅= 78,44V26,16V)93,15258,3(6)543,0655,2(621 jjjjIU

⇒°∠= 78,44V26,161U )44,7810000cos(V23)(1 °+= ttu

°∠=+=−⋅+−=−⋅= ,0151V27,7V)884,1024,7()4()756,1471,0()4(32 jjjjIU

⇒°∠= ,0151V27,72U )01,1510000cos(V28,10)(2 °+= ttu

47. Za kolo sa slike je poznato )2cos(V212)( fttuG π= , )2cos(A22)( fttiG π= i kHz5=f .

Odrediti struju )(0 ti :

a) primenom metode potencijala čvorova;

b) primenom metode superpozicije;

c) primenom metode transformacije izvora;

d) primenom Tevenenove teoreme;

e) primenom Nortonove teoreme.

Rešenje:

Ω=⋅⋅⋅==→= 1µH83,31000Hz52µH83,31 jjLjZL L πω

Ω−=⋅⋅

−=−==→= 1µF83,31000Hz52

1µF83,31 j

j

C

j

CjZC C

πωω

( )°+°⋅=⋅=→°∠=→= ° 0sin0cosV12V120V12)2cos(V212)( 0jeUUfttu

j

GGG π

( ) ⇒+⋅= 01V12 jUG V12=GU

( )°+°⋅=⋅=→°∠=→= ° 0sin0cosA2A20A2)2cos(A22)( 0jeIIftti

j

GGG π

( ) ⇒+⋅= 01A2 jIG A2=GI

+

−

)(tuG

Ω1

Ω1

)(0 ti

µH83,31

µF83,31

)(tiG

+

−GI

Ω1

Ω1

0I

GU Ω1j

Ω− 1j

a)

−=+++−

+=

−=++−

=−

−=

Ω−+

Ω+

Ω−−

Ω=

Ω−−

Ω−+

Ω+

Ω

2)1()12(

12

2)1(

12

A21

1

1

1

1

1

1

V12

1

1

1

1

1

1

1

1

22

21

21

21

21

21

VjVjj

VjV

VjVj

VjV

Vj

Vj

Vj

Vjj

( )V2,56,1V5

26

5

8

2

2

2

j122

2

j1222 jj

j

j

jjV +=

+=

−

−⋅

+

+−=

+

+−=

( )V6,18,6V5

8

5

3412 21 jjVjV +=

+=+=

( ) ⇒°∠=+=Ω

= 9,72A44,5A2,56,11

2

0 jV

I )9,7210000cos(A69,7)(0 °+= tti π

b)

( ) Ω+=−+

−=−= )1(

1

)1(1||1 j

jj

jjjjZEKV

5

123612

2

2

2

112

11

1

11

1

1

j

j

j

j

j

j

jU

Z

ZU G

EKV

EKV +=⋅

−

−⋅

+

+=⋅

++

+=⋅

Ω+=′

A5

24

5

12

1

1

)1(5

1236

)1(5

1236

1

1

0

+=

+

+⋅

−

+=

−

+=

−

′=′ j

j

j

j

j

j

j

j

UI

+

−GI

Ω1

Ω1

0I

GU Ω1j

Ω− 1j1V 2V

+

−

Ω1

GU1EKVZ

+

−

1U ′

+

−

Ω1

Ω1

0I ′GU Ω1j

Ω− 1j

+

−

1U ′

1EKVZ

( ) Ω−

=+

⋅+−=+−=

2

1

1

1||12

j

j

jjjjZEKV

A5

2

5

4

3

3)2(

3

1)2(

3

1)2(

12

12

1

)(12

2

0

+−=

+

+⋅−⋅

−

−=−⋅

−

−=−⋅

+−

−

=−⋅Ω+

=′′ jj

j

j

j

j

j

j

j

IZ

ZI G

EKV

EKV

A5

26

5

8A

5

2

5

4A

5

24

5

12000

+=

+−+

+=′′+′= jjjIII

( ) ⇒°∠=+= 9,72A44,5A2,56,10 jI )9,7210000cos(A69,7)(0 °+= tti π

c)

GIΩ1

0I ′′2EKVZ

GI

Ω1

Ω1

0I ′′

Ω1j

Ω− 1j

2EKVZ

+

−GI

Ω1

Ω1

0I

GU Ω1j

Ω− 1j

A121

V12=

ΩΩ1

Ω

+=

2

1

2

1||1 jj

GIΩ1 Ω1

0I

A12 Ω1j

Ω− 1j

Ω

+

2

1

2

1j

+

−V)66(

2

1

2

1A12 jj +=Ω

+⋅

GIΩ1

0I

Ω− 1j

+

−

V)66( j+

( )Ω+ 5,05,0 j

( )Ω− 5,05,0 j

A)1(

)1212(

)5,05,0(

V)66(

j

j

j

j

−

+=

Ω−

+( )Ω− 5,05,0 j

GIΩ1

0I

( )Ω− 5,05,0 jA)1(

)1212(

j

j

−

+

A5

26

5

8

1

1410

)5,05,0(1

5,05,00

+=

−

+⋅

−+

−= j

j

j

j

jI

( ) ⇒°∠=+= 9,72A44,5A2,56,10 jI )9,7210000cos(A69,7)(0 °+= tti π

d)

Kontura 1K : 011V12 21 =Ω⋅−Ω⋅− jII

Čvor D : A221 += II

A)1(51

100212 222 j

jIjII −=

+=⇒=⋅−−−

V)75(2)55(2)(2 jjjjjIjUU OVT +=+−⋅=⋅−−⋅==

( ) Ω−

=+

⋅+−=+−=

2

1

1

1||1

j

j

jjjjZT

Ω1

0I

( )Ω− 5,05,0 jA)1(

)1410(

j

j

−

+

+

−GI

Ω1

Ω1

0I

GU Ω1j

Ω− 1j

A

B

+

−

Ω1

V12 Ω1j

Ω− 1j

+

−

OVU

A

B

D

1K

1I

2I

A2

Ω1

Ω1j

Ω− 1j

TZ

A

B

+

−

A

B

TZ

TU

A5

26

5

8

5,05,1

75

15,05,0

750

+=

−

+=

+−

+= j

j

j

j

jI

( ) ⇒°∠=+= 9,72A44,5A2,56,10 jI )9,7210000cos(A69,7)(0 °+= tti π

e)

Kontura 1K : 011V12 21 =Ω⋅−Ω⋅− jII

Kontura 2K : 0)1(1 32 =Ω−⋅−Ω⋅ jIjI

Čvor A : A23 += KSII

Čvor D : A221321 ++=⇒+= KSIIIIII

jI

IIjIjI

jIII

jIjI

jIII

KS

KSKS

KSKSKS

KS

KS 122

2)()2(

0)2(2212

0)()2(

0212

222

22

−−=

−−=⇒−⋅+=⋅

=⋅++−−++

=−⋅+−⋅

=⋅−−−−

A)122( jII KSN +−==

+

−

A

B

Ω

−

2

1

2

1j

V)75( j+ Ω1

0I

+

−GI

Ω1

Ω1

0I

GU Ω1j

Ω− 1j

A

B

+

−

Ω1

V12 Ω1j

Ω− 1j

A

B

D

1K

1I

2I

A2KSI

3I

2K

( ) Ω−

=+

⋅+−=+−=

2

1

1

1||1

j

j

jjjjZN

A5

26

5

8)122(

15,05,0

5,05,00

+=+−⋅

+−

−= jj

j

jI

( ) ⇒°∠=+= 9,72A44,5A2,56,10 jI )9,7210000cos(A69,7)(0 °+= tti π

48. Za kolo iz prethodnog zadatka odrediti faktor snage, kompleksnu, aktivnu, reaktivnu i

prividnu snagu koja se razvija na otporniku kroz koji protiče struja 0i .

Rešenje:

Kompleksna snaga: ⇒+⋅=⋅Ω=⋅⋅Ω=⋅= ∗∗ )2,56,1(111 222

00000 IIIIUS 6,29=S

jQPS +=

Aktivna snaga: W6,29=P Reaktivna snaga: VAr0=Q

Prividna snaga: ⇒+== 22QPSS VA6,29=S

Faktor snage: ⇒=S

Pφcos 1cos =φ

Ω1

Ω1j

Ω− 1j

NZ

A

B

A

B

NI NZ

Ω1

0I

A

B

A)122( j+− Ω

−

2

1

2

1j

+

−GI

Ω1

Ω1

0I

GU Ω1j

Ω− 1j

+

−

0U

49. Za kolo sa slike odrediti faktor snage, kompleksnu, aktivnu, reaktivnu i prividnu snagu koja

se razvija na potrošaču PZ .

Rešenje:

V)21(6 jUT +−=

Ω−= )105( jZT

+

−

Ω+ )1(5,2 j

Ω+= )43( jZP

Ω5j

Ω− 5jV12j− A)1(6,0 j+−

+

−

Ω+ )1(5,2 j

Ω+= )43( jZP

Ω5j

Ω− 5jV12j− A)1(6,0 j+−

B

A

+

−

A

B

TZ

TU

+

−

A

B

Ω+= )43( jZPV)21(6 j+−

Ω− )105( j

+

−

Ω+= )43( jZPV)21(6 j+−

Ω− )105( j

+

−

PU

PI

)A6,02,1(A5

)2(3

)43()105(

V)21(6j

j

jj

jIP +−=

+−=

Ω++Ω−

+−=

Kompleksna snaga:

⇒+−⋅+=⋅=⋅⋅=⋅= ∗∗ )6,0)2,1(()43( 222

jIZIIZIUS PPPPPPP2,74,5 jS +=

jQPS +=

Aktivna snaga: W4,5=P

Reaktivna snaga: VAr2,7=Q

Prividna snaga: ⇒+== 22QPSS VA9=S

Faktor snage: ⇒=S

Pφcos 6,0cos =φ

50. Kolo naizmenične struje sa slike radi u ustaljenom prostoperiodičnom režimu na frekvenciji

kHz50=f . Poznato je da je )452cos(V2)(1 °+= fttug π , )2sin(V22)(2 fttug π−= ,

)452cos(A2)(1 °−= fttig π i )2sin(A2)(2 fttig π−= .

a) Odrediti parametre ekvivalentnog Tevenenovog generatora u kompleksnom domenu za deo

kola levo od tačaka A i B.

b) Odrediti elemente (i vrednosti elemenata) koji treba da sačinjavaju potrošač PZ , tako da se na

njemu razvija maksimalna aktivna snaga.

c) Pod uslovom iz tačke b) odrediti struju ( )tiP .

µF59,1

)(1 tug )(1 tig

)(2 tig

)(2 tug

µH18,3

+

−

+

−

A

B

PZ

)(tiP

µH54,9Ω3

Rešenje:

V)1(2)452cos(V2)( 45

11 jeUfttuj

gg +=⋅=⇒°+= °π

V22)2sin(V22)( 90

22 jeUfttuj

gg =⋅−=⇒−= °−π

A)1(2)452cos(A2)( 45

11 jeIfttij

gg −=⋅=⇒°−= °−π

A11)2sin(A2)( 90

22 jeIfttij

gg =⋅−=⇒−= °−π

Ω=⋅⋅⋅==→= 1µH18,3000Hz502µH18,3 111 jjLjZL L πω

Ω=⋅⋅⋅==→= 3µH54,9000Hz502µH54,9 222 jjLjZL L πω

Ω−=⋅⋅

−=−==→= 2µF59,10000Hz52

1µF59,1 j

j

C

j

CjZC C

πωω

a)

2)3( jjjUU OVT ++⋅−==

V)1( jUT −=

A)1( j−

+

−

+

−

A

B

PZ

PI

Ω3

Ω− 2j

Ω3j

Ω1j

A1j

V)1( j+

V2j

A)1( j−

+

−

+

−

A

B

Ω3

Ω− 2j

Ω3j

Ω1j

A1j

V)1( j+

V2j +

−

OVU

Ω+= )3( jZT

b)

⇒= ∗

TP ZZ Ω−= )3( jZP

Ω= 3PR µF18,3=PC

c) °−⋅=−=−

=+

= 45A6

2)A

6

1

6

1(A

6

1 j

PT

T

P ejj

ZZ

UI

⇒°−= )452cos(A3

1)( fttiP π )45100000cos(A

3

1)( °−= ttiP π

A

B

Ω3

Ω− 2j

Ω3j

Ω1j

+

−

TZ

+

−

A

B

TZ

TU

+

−

A

B

TZ

TUPZ

PI

PR PC