Kolorowanie węzłów

Monika Rosicka

Definicja1. Węzłem nazywamy obraz okręgu S1 w R3

odwzorowanego za pomocą zanurzenia homemorficznego.

2. Węzeł nazywamy wielościennym jeśli jest sumą skończonej ilości odcinków.

Dwa węzły K1 i K2 są równoważne jeżeli istnieje ciągłe odwzorowanie F: R3 × [0,1]→ R3 × [0,1], taka, że:F0(x) = IdF1(K1) = K2

gdzie Ft(x) = F(·,t) jest homeomorfizmem.

K1K2

Będziemy rozpatrywać tylko węzły równoważne węzłom wielościennym

Węzeł dziki

(Nie jest węzłem wielościennym)

Diagram węzła

Węzły reprezentuje się przy pomocy ich rzutu regularnego na płaszczyznę.Niech p:R3→R2 będzie rzutem, a K węzłem w R3. Punkt x p(K) nazywamy wielokrotnym jeżeli p-1(x) zawiera więcej niż jeden punkt. Rzut węzła nazywamy regularnym jeżeli:1. jest tylko skończona ilość punktów wielokrotnych i wszystkie punkty wielokrotne są podwójne.2. Żaden wierzchołek węzła wielościennego nie jest przeciwobrazem punktu podwójnego.

Sytuacje niedozwolone przy rzucie regularnym:

Dla każdego węzła wielościennego istnieje rzut regularny.

węzełDiagram węzła

most

tunel

Obraz węzła w rzucie regularnym z zaznaczeniem, która część łuku idzie dołem, a która górą nazywamy diagramem węzła.

Ruchy Reidemeistera

Dwa diagramy węzłów są równoważne, jeśli od jednego do drugiego można dojść przy pomocy skończonej ilości ruchów Reidemeistera (Ri) lub ich odwrotności.

Twierdzenie (Reidemeister, 1927)

Dwa węzły są równoważne wtedy i tylko wtedy gdy ich diagramy są równoważne.

Trójkolorowanie

TwierdzenieJeśli każdemu łukowi w diagramie przyporządkujemy jeden z trzech kolorów w taki sposób, że na każdym skrzyżowaniu występuje albo jeden kolor albo wszystkie trzy, to węzły równoważne mają taką samą liczbę możliwych kolorowań.

Węzeł trywialny ma 3 możliwe kolorowania.

Ten węzeł można pokolorować na 9 różnych sposobów, więc nie jest trywialny.

Tego węzła nie można pokolorować trzema różnymi kolorami.

Nie jest to jednak węzeł trywialny.

n - kolorowanie

Twierdzenie:

Jeśli dwa węzły są równoważne, to ilość możliwych n – kolorowań ich diagramów jest taka sama.

Dla n kolorów numerujemy je od 0 do n-1 i kolorujemy łuki diagramu tak, aby na każdym skrzyżowaniu spełniona była równość:a + c = 2b(mod n)

a

b

c

0

1

2 4

1+4 = 2*0

2+0=2*1

4+0=2*2

1+2=2*4(mod 5)

Ten węzeł da się pokolorować różnymi kolorami przy 5-kolorowaniu.

Ten węzeł (Kinoshita-Terasaka) nie daje się pokolorować różnymi kolorami dla żadnego n. Nie jest jednak trywialny.