Komar Lukic ZIS i Teorija Grafova

7/31/2019 Komar Lukic ZIS i Teorija Grafova

1/26

Sveuilite u Zagrebu

Fakultet organizacije i informatike

Varadin

Seminarski rad iz kolegija Zemljopisni informacijski sustavi

ZIS i teorija grafova

Ivan Komar, 35952/07-R

Danijel Luki, 35837/07-R

Varadin, svibanj 2011.


2/26


3/26

Sadraj

Sadraj.................................................................................................................... 3

Uvod ....................................................................................................................... 4

Sedam mostova Knigsberga .................................................................................. 5

Rjeenje .................................................................................................................. 6

Vanost problema u povijesti matematike i trenutno stanje mostova ...................7

Graf i podjela grafova .............................................................................................. 7

Algoritmi za rad nad grafovima ............................................................................... 9

Primov algoritam .................................................................................................. 9Kruskalov algoritam ........................................................................................... 13

Dijkstrin algoritam .............................................................................................. 18

Zakljuak .............................................................................................................. 22

Literatura .............................................................................................................. 24

Popis slika ............................................................................................................. 25

Popis tablica .......................................................................................................... 25

3


4/26

Uvod

Teorija grafova je posebna grana matematike koja se bavi prouavanjem grafova i njihovih

svojstava. Za nas informatiare je to takoer posebno zanimljivo podruje jer ima iroku

primjenu u informatici. Poznata je primjena grafova kod opisa modela podataka, struktura

podataka, kod programiranja i u raunalnim mreama. Kod mrea se grafovi koriste za

modeliranje i analiziranje mrenog prometa te internet prometa. Sve ovo navedeno su neke od

primjena teorije grafova koje smo dosada spominjali na nekim drugim kolegijima.

Naravno teorija grafova ima svoju primjenu i u zemljopisno informacijskim sustavima, a ovajseminar e se prvenstveno baviti primjenom teorije grafova u takvim sustavima s posebnim

naglaskom na algoritmima traenja najkraeg puta.

Da bismo lake objasnili primjenu grafova u zemljopisnim informacijskim sustavima najprije

emo definirati osnove pojmove vezane uz graf i teoriju grafova.

Neusmjereni graf (eng. undirected graph) G je par (V, E), pri emu je V skup vrhova (eng.

vertices) grafa, a skup neureenih parova elemenata iz V, koji ine skup bridova

(eng. edges) grafa G.1

Pojednostavljeno govorei grafovi se sastoje od vrhova(vorova) i grana(linija izmeu njih).

to se tie primjene teorije grafova u zemljopisnim informacijskim sustavima, grafovi

prikazuju stvarne fizike mree, kao to su prometnice, plinovodi,

vodotoci, dravne granice

Utemeljiteljem teorije grafova smatra se veliki vicarskimatematiar Leonhard Euler(1707 1783) koji je rijeio do tada

nerijeen problem Knigsberkih mostova. Problem knigsberkih

mostova ujedno je prvi primjer koritenja teorije grafova i naziva

se Sedam mostova Knigsberga i objavljen je 1763. godine.

1

Divjak, B., Lovreni, A.: Diskretna matematika s teorijom grafova, TIVA-FOI, Varadin, 2005.

4

Slika 1. Leonhard Euler


5/26

Sedam mostova Knigsberga

Primjer je inspiriran stvarnim gradom Knigsbergom.

Knigsberg je danas poznat pod nazivom Kaliningrad i ruska je enklava na Baltiku smjetena

izmeu Poljske i Litve. Sam grad je u prolosti stvarno imao sedam mostova koji su povezivali

dva otoka unutar grada s ostatkom grada. Kako su prema legendi oko 1750. godine brojni

ugledni stanovnici tadanjeg Knigsberga nedjeljom u svojim popodnevnim etnjama

pokuavali prijei mostove na opisani nain proizalo je sljedee pitanje: Je li mogue prijei

preko svakog od mostova samo jednom i vratiti se na poetnu toku? Ovo je pitanjezainteresiralo Leonharda Eulera koji je 1763. godine i dao konaan odgovor na ovo pitanje.

Slika 2. Sedam mostova Konigsberga

5


6/26

Rjeenje

Kako bi doao do svojeg rjeenja, Euler je cijeli problem predstavio u obliku teorije grafova.

Slika 3 pokazuje kako se to postie. Prvo je izbacio sve karakteristike terena osim samihkopnenih masa i mostova koji ih povezuju. Nakon toga, svaku je zemljanu masu predstavio

tokom koja se naziva verteks ili vor, i svaki most s linijom, nazvanom rub ili veza (link).

Izgled samog grafa moe biti izmijenjen na bilo koji nain koji ne mijenja samo graf - u

smislu da su veze izmeu toaka nepromijenjene. Dakle, nije vano jesu li linije ravne ili

zakrivljene i slino.

Slika 3. Prikaz problema pomou grafa

Euler je shvatio kako bi problem mogao rijeiti promatrajui stupnjeve vorova. to je stupanj

vora? Najjednostavnije govorei, stupanj nekog vora je jednak broju linija (veza) koje taj

vor dotiu. Konkretno, u sluaju Knigsberga imamo 3 vora 3. stupnja i jedan vor 5. stupnja.

Euler je matematiki dokazao kako je eljeni obilazak mogu onda i samo onda ako u sustavu

ne postoji niti jedan vor koji ima neparan stupanj. Takva je staza onda poznata pod nazivom

Eulerov krug. Kako graf koji predstavlja problem sedam mostova Konigsberga ima 4 vora sneparnim brojem stupnjeva, tada tvrdimo kako za njega ne postoji Eulerov krug.

Problem bi se mogao malo prilagoditi pa se moemo pitati postoji li u gornjem sluaju rjeenje

ako ne zahtijevamo da poetna toka puta mora biti jednaka krajnjoj. Ukoliko postoji, onda se

takva putanja naziva Eulerovim hodom ili Eulerovom stazom. Takva staza postoji ako i samo

ako graf nema vorove neparnog stupnja ILI ako postoje tono dva vora nepranog stupnja i

pod uvjetom da su upravo oni poetna i krajnja toka. Jasno je kako je i ovo nemogue u

sluaju problema sedam mostova Knigsberga.

6


7/26

Vanost problema u povijesti matematike i trenutno stanje mostova

U povijesti matematike, Eulerovo rjeavanje problema mostova Knigsberga se smatra prvim

teoremom teorije grafova koja je danas prihvaena kao grana kombinatorike (premda su

problemi kombinatorike razmatrani mnogo ranije).

Dodatno, Euler je jasno shvatio kako kljuni korak u rjeavanju problema mostova predstavlja

razmatranje uvjeta krajnjih toaka, a ne njihovog konkretnog poloaja u prostoru. Razlika

izmeu stvarnog prikaza i shematskog, grafikog, prikaza je dobar primjer kako topologija neobraa pozornost na konkretan i rigidan oblik objekata ve na veze i odnose meu njima.

Do dananjih dana su se odrala samo dva mosta iz Eulerovog vremena. Dva su mosta unitena

tijekom saveznikog unitavanja Knigsberga u Drugom svjetskom ratu, druga dva su unitili

Rusi i zamijenili ih autocestama. Jedan su most tijekom 1935. godine ponovno izgradili

Nijemci.

Graf i podjela grafova

Graf se sastoji od vrhova i bridova koji te vrhove povezuju. Dogovor je da se u teoriji grafova

vrhovi oznauju sa malim slovima u i v, a bridovi malim slovima e i f. Tako da

oznaava brid koji spaja vrhove e i f. To se isto moe zapisati i sa e =u v. Bridu se moe

pridruiti jo jedna vrijednost koja predstavlja njegovu teinu. To se uglavnom koristi pri

modeliranju problema grafom.

7


8/26

Slika 4. Primjeri grafova

Ovdje emo samo ukratko pojasniti sljedee vrste grafova: Usmjereni, neusmjereni, teinski i

neteinski.

Usmjeren graf je graf koji na svakom bridu ima dodanu orijentaciju. Kod usmjerenog grafa

bridovi su predstavljeni ureenim parom vrhova, a kod neusmjerenog grafa bridovi su

predstavljeni neureenim parom vrhova, tj. dvolanih skupova.

Kod teinskih grafova granama su pridrueni jedan ili vie realnih brojeva koji mogu

oznaavati npr. cijenu, udaljenost i sl. Grane neteinskih grafova nemaju pridruene te

vrijednosti.

Slika 5. Usmjereni, neusmjereni i teinski grafovi

8


9/26

Algoritmi za rad nad grafovima

Osnovna podjela algoritama za rad nad grafovima:

1. Razapinjajua stabla

Primov algoritam

Kruskalov algoritam

2. Najkrae udaljenosti u grafu

Dijkstrin algoritam za pronalaenje najkraih putova

Floydov algoritam za pronalaenje najkraih putova

3. Maksimalni protok u mrei

Ford-Fulkersonov algoritam

Primov algoritam

Primov algoritam slui za pronalaenje minimalno razapinjujueg stabla za povezani teinski

graf, tj. algoritam pronalazi podskup grana koji formiraju stablo i ukljuuju sve vorove tako da

je ukupna teina stabla minimalna. Za otkrie tog algoritma zasluna su tri ovjeka: Vojteh

Jarnik, Robert Prim, a na njemu je radio i Edsher Dajkstra. Stoga je taj algoritam poznat jo i

pod nazivom DJP algoritam.

Osnovna zamisao ovog algoritma je postepeno poveavanje veliine stabla od jednog vora, pa

sve dok se ne povee sve vorove.

9


10/26

Sam algoritam ima slijedei redoslijed:

1. Odabir proizvoljnog poetnog vora

2. Pronalaenje njemu najblieg vora koji postaje dio grafa

3. Pronai grafu najblii slobodni vor

4. Iterativno se ponavlja postupak pod korakom 3. sve dok svi vorovi ne budu ukljueni u

graf

Sada slijedi konkretan primjer Primovog algoritma na kojem moemo lake shvatiti kako sam

algoritam funkcionira po svojim koracima:

1. korak - odabir poetnog vora

Na slici 6 prikazan je poetni povezani teinski graf. Brojevi koji se nalaze pokraj pojedinih

grana oznaavaju njihove teinske

vrijednosti. U ovom koraku ni jedna

grana nije posebno izdvojena, odnosno

obiljeena. Proizvoljno odaberemo vor

D kao poetnu toku.

Tablica 1. Primov algoritam, 1, korak

SUSJEDNI

VOROVIA,B,E,F

NESUSJEDNI

VOROVIC, G

SKUP RJEENJA D

2. korak

U drugom koraku odabiremo drugi vor koji

je najblii voru D s obzirom na udaljenosti.

10

Slika 6. 1.korak Primovog algoritma

Slika 7. 2. korak Primovog algoritma


11/26

Udaljenosti: D do A = 5, D do B =9, D do E = 15, D do F = 6

Najmanja udaljenost je dakle 5, te odabiremo vor A i granu DA.

Tablica 2. Primov algoritam, 2. korak

SUSJEDNI

VOROVIB,E,F

NESUSJEDNI

VOROVIC, G

SKUP RJEENJA A,D(zelenom bojom su oznaene odabrane grane, a plavom bojom su oznaene grane koju su bile

mogua rjeenja)

3. korak

U koraku 3 odabire se vor koji je najblii ili

voru A ili voru D s obzirom na udaljenosti:

Udaljenosti: B do D=9, B do A =7, E do B = 15,

F do D = 6

Najmanja udaljenost je dakle 6, de odabiremo

vor F i granu DF.


SUSJEDNI

VOROVIB,E,G

NESUSJEDNI

VOROVIC

SKUP RJEENJA A,D,F

4.korak

U koraku 4 biramo vor koji je najblii voru A,

D ili F s obzirom na udaljenosti:

Udaljenosti: A do B = 7, F do E = 8, F do G

= 11, D do B = 9, D do E = 15

11


Slika 9. 4. korak Primovog algoritma


12/26

Najmanja udaljenost je dakle 7, dakle biramo granu AB.


SUSJEDNI

VOROVI

C,E,G

NESUSJEDNI

VOROVInema

SKUP RJEENJA A,D,F,B

5. korak

U koraku 5 biramo najmanju udaljenostmeu vorovima koji su ostali s obzirom

na udaljenosti. Ostali su vorovi C, E, G.

Udaljenosti: B do C = 8, B do E = 7, F

do E = 8, F do G = 11

Najmanja udaljenost je dakle 7, pa uzimamo

granu BE.


SUSJEDNI

VOROVIC,G

NESUSJEDNI

VOROVInema

SKUP RJEENJA A,D,F,B,E

6. korak

U koraku 6 kreemo sa posljednjim koracima,

ostali su jo samo vorovi C i G koje

usporeujemo prema udaljenostima.

Udaljenosti: E do C = 5, E do G = 9

12




13/26

Najmanja udaljenost je 5 pa uzimamo granu EC.


SUSJEDNI

VOROVI

G

NESUSJEDNI

VOROVInema

SKUP RJEENJA A,D,F,B,E,C

7. korak

Doli smo do posljednjeg koraka. Jedini

vor koji je ostao nepovezan jest vor G.

Udaljenosti: E do G = 9, F do G = 11

Biramo granu EG i time dolazimo do rjeenja,

obiljeeni su svi vorovi. Minimalna teina

ovog stabla jest:5+6+7+7+5+9=39


SUSJEDNI

VOROVInema

NESUSJEDNI

VOROVInema

SKUP RJEENJA A,D,F,B,E,C,G

Primov algoritam mogue je upotrijebiti kod optimizacije prometnih ili komunikacijskih veza,

izgradnja vodovoda (gdje bi vorovi predstavljali kue, a grane cijevi) te za razne druge svrhe.

Kruskalov algoritam

Jo jedan algoritam koji slui za traenje minimalno razapinjajueg stabla povezanih i

neusmjerenih grafova je i Kruskalov algoritam.

Algoritam se sastoji od slijedeih koraka:

13



14/26

1. sortiraj sve grane koje su kandidati za ulazak u graf na temelju njihovih teinskih

vrijednosti

2. prikljui najmanju granu grafu ako se time ne zatvara ciklus

3. taj drugi postupak se ponavlja iterativno tako dugo dok sve poetne toke ne postanu dio

grafa

1. korak

Sortiranje grana grafa po njihovim teinskimvrijednostima.

Tablica 8. Kruskalov algoritam, 1. korak

GRANA

AD CE DF AB BE EF BC EG DB FG DE

TEIN

A5 5 6 7 7 8 8 9 9 11 15

2. korak

Izabire se ona grana koja je prva na sortiranoj

listi, u ovom sluaju grana AD.


GRANA

AD CE DF AB BE EF BC EG DB FG DE

14

Slika 13. 1. korak Kruskalovogalgoritma

Slika 14. 2. korak Kruksalovogalgoritma


15/26

TEIN

A5 5 6 7 7 8 8 9 9 11 15

3. korak

Slijedea grana koja se dodaje je grana CE koja

zapoinje novo podstablo zato jer vorovi C i E

ne pripadaju jo nijednom stablu.


GRAN

AAD CE DF AB BE EF BC EG DB FG DE

TEIN

A5 5 6 7 7 8 8 9 9 11 15

4. korak

Dodaje se grana DF, ona dodaje novi vor F.


GRAN


TEIN

A

5 5 6 7 7 8 8 9 9 11 15

15

Slika 15. 3. korak Kruksalovog

algoritma

Slika 16. 4. korakKruksalovog algoritma


16/26

5. korak

Dodaje se grana AB, ona dodaje vor B.


GRAN


TEIN

A5 5 6 7 7 8 8 9 9 11 15

6. korak

Dodaje se grana BE, koja sada povezuje dva

nepovezana stabla.


GRAN


TEIN

A5 5 6 7 7 8 8 9 9 11 15

7. korak

16




17/26

Sljedee grane na listi koje bi se trebale

dodati su grane EF i BC, ali poto one

spajaju vorove koji ve pripadaju

stablu, one se ne prihvaaju kao dio

minimalno razapinjajueg stabla.


GRAN


TEIN

A

5 5 6 7 7 8 8 9 9 11 15

8. korak

Dodaje se grana EG koja dodaje posljednji

vor G.

17




18/26


GRAN


TEIN

A5 5 6 7 7 8 8 9 9 11 15

9. korak

Tri preostale grane DB,FG i DE su grane

koje povezuju vorove koji pripadaju istom

stablu pa ih iz tog razloga ne prihvaamo.

Samim time doli smo i do konanog

rjeenja. Minimalno razapinjajue stablo je

prikazano zelenom bojom (u tablici).

Minimalna teina stabla je: 39

Upotreba Kruskalovog algoritma je ista kao i za Primov algoritam.

Dijkstrin algoritam

Dijkstrin algoritam je vjerojatno najpoznatiji algoritam traenja najkraeg puta u teinskim

grafovima. Taj algoritam je 1959. godine osmislio poznati nizozemski matematiar i

informatiar Edsger W. Dijkstra, koji je inae poznat po mnogim algoritmima iz podruja

matematike, raunarstva i informatike.

Ulaz u Dijkstrin algoritam predstavlja teinski graf i dva vrha. Izlaz iz Dijkstrinog algortima

predstavljaju najkrai put od do .

U toku algoritma svakom se vrhu u grafu pridruuje ureeni par , gdje d predstavlja

najkrai put od vrha do vrha , a x je posljednji brid na tom najkraem putu. Zahvaljujui

prvoj koordinati x vraanjem unazad se moe rekonstruirati itav najkrai put od do .

Ukoliko se dogodi da vrh nikada nije oznaen, to znai da ne postoji put od do to opet

znai da graf nije povezan.

ALGORITAM:

18



19/26

1. Pridrui poetnom vrhu oznaku

2. Dok je vrh neoznaen ili mu nije mogue pridruiti daljnje oznake radi sljedee:

Za svaki oznaeni vrh i za svaki neoznaeni vrh susjedan s vrhom , izraunaj.

Pronai i pridrui vrhu oznaku . Ako se vrh moe oznaiti sa

za vie razliitih vrhova , odaberi bilo koji od tih vrhova .

PRIMJER DIJKSTRINOG ALGORITMA:

U ovom primjeru elimo pronai najkrai put od vrha A do svih ostalih vrhova u grafu. Vrh A

uzimamo kao poetni vrh, te on odmah ulazi u poetno rjeenje jer znamo da je udaljenost od

vrha A do njega samog 0. Taj vrh emo opisati ureenim parom A(-,0). Iz navedene slike

moemo vidjeti da vrh A ima 3 susjeda, to su B, D i C. Poto su to izravni susjedi vrha A,

moemo dobiti udaljenost od vrha A do tih vrhova. Udaljenosti su: B(A,5), C(A,2), D(A,9).

Dijkstrin algoritam nam govori da uzmemo onaj vrh koji ima najmanju drugu koordinatu, unaem sluaju to e biti vrh C i njega uvrtavamo u rjeenje. Nakon prvog prolaza graf ima

sljedei oblik:

19

A C

B D

E

F

2 7

95

3

3

42

1

Slika 22. Dijkstrin 1


20/26

Sada se opet gledaju susjedni vrhovi, ali ovaj puta za oba oznaena vrha, te se izraunavaju

njihove udaljenosti od vrha A. Vrijednosti koje se dobiju su B(A,5), D(A,9),D(C,5),F(C,9).

Opet uzimamo vrh ija druga koordinata ima najmanju vrijednost. U ovom naem konkretnom

primjeru imamo dva takva vrha, pa je svejedno kojeg emo uzeti. U ovoj iteraciji kao vrh emo

u rjeenje staviti vrh B(A,5). Sada imamo sljedei izgled grafa:

Koraci algoritma se opet ponavljaju, dakle opet izraunavamo vrijednosti susjednih vrhova do

sad ve oznaenih vrhova. Te vrijednosti su D(A,9), D(B,8), D(C,5), E(B,9),F(C,9). Najmanja

vrijednost je D(C,5), te vrh D stavljamo u rjeenje. Nakon ove iteracije graf izgleda ovako:

20

A C

B D

E

F

2 7

95

3

3

42

1

A C

B D

E

F

2 7

95

3

3

4

2

1




21/26

Vidimo da sada imamo oznaene vrhove A,B,C,D i traimo njihove susjede koji jo nisu

oznaeni. Dolazimo do sljedeih vrhova: E(B,9), E(D,7), F(C,9). Druga koordinata ima

najmanju vrijednost kod vrha E(D,7), te i taj vrh uvrtavamo u rjeenje. Nakon ove iteracije graf

izgleda ovako:

Jo nam je preostao samo jedan vrh, do njega moemo doi na vie naina: F(E,8), F(C,9).

Prema algoritmu uzima se rjeenje F(E,8) poto je to zadnji vrh to je i konano rjeenje.

Konani izgled grafa izgleda ovako:

21

A C

B D

E

F

2 7

95

3

3

42

1

A C

B D

E

F

2 7

95

3

3

42

1




22/26

Konano rjeenje:

A(-,0), B(A,5), C(A,2), D(C,5), E(D,7), F(E,8)

Zakljuak

U ovom seminarskom radu nastojali smo pokazati kako se teorija grafova primjenjuje u

informatici, konkretnije u zemljopisnim informacijskim sustavima. Spomenuli smo osnivaa

22

A C

B D

E

F

2

5 3

2

1



23/26

teorije grafova Eulera, te njegov primjer Sedam mostova Konigsberga u kojem je on prvi puta

primjenio teoriju grafova. Zatim smo opisali vrste grafova na temelju kojih su se temeljili neki

algoritmi (teinski grafovi). Pokazali smo kako se moe doi do minimalno razapinjajueg

stabla pomou Primovog i Kruskalovog algoritma. Konkretna primjena tih dvaju algoritama je

kod optimizacije prometnih i komunikacijskih veza, izgradnji vodovoda i sl.

Takoer smo obradili jedan od najpoznatijih algoritama za traenje najkraeg puta Dijkstrin

algoritam.

23


24/26

Literatura

Divjak, B., Lovreni, A.: Diskretna matematika s teorijom grafova, TIVA-FOI, Varadin,2005.

Cormen, T.H., Leisterson, C.E., Rivest, R.L.: Introduction to Algorithms, MIT Press, 1999

INTERNET:

1. http://e.math.hr/math_e_article/br14/fosner_kramberger(uitano 9.5.2011.)

2. http://en.wikipedia.org/wiki/Prim%27s_algorithm (uitano 10.5.2011.)

3. http://en.wikipedia.org/wiki/Kruskal%27s_algorithm (uitano 10.5.2011.)

4. http://en.wikipedia.org/wiki/Seven_Bridges_of_K%C3%B6nigsberg (uitano 9.5.2011)

24
http://e.math.hr/math_e_article/br14/fosner_krambergerhttp://en.wikipedia.org/wiki/Prim's_algorithmhttp://en.wikipedia.org/wiki/Kruskal's_algorithmhttp://en.wikipedia.org/wiki/Seven_Bridges_of_K%C3%B6nigsberghttp://e.math.hr/math_e_article/br14/fosner_krambergerhttp://en.wikipedia.org/wiki/Prim's_algorithmhttp://en.wikipedia.org/wiki/Kruskal's_algorithmhttp://en.wikipedia.org/wiki/Seven_Bridges_of_K%C3%B6nigsberg


25/26

Popis slika

Slika 1. Leonhard Euler............................................................................................4

Slika 2. Sedam mostova Konigsberga..................................................................5

Slika 3. Prikaz problema pomou grafa....................................................................6

Slika 4. Primjeri grafova..........................................................................................8

Slika 5. Usmjereni, neusmjereni i teinski grafovi..........................8

Slika 6. 1.korak Primovog algoritma....................................................................10

Slika 7. 2. korak Primovog algoritma....................................................................10

Slika 8. 3.korak Primovog algoritma.....................................................................11Slika 9. 4. korak Primovog algoritma....................................................................11

Slika 10. 5.korak Primovog algoritma...................................................................12



Slika 13. 1. korak Kruskalovog algoritma...............................................................14

Slika 14. 2. korak Kruksalovog algoritma...............................................................14








Slika 22. Dijkstrin 1...............................................................................................19

Slika 23. Dijkstrin 2...............................................................................................20Slika 24. Dijkstrin 3...............................................................................................20

Slika 25. Dijkstrin 4...............................................................................................21

Slika 26. Dijkstrin 5...............................................................................................21

Slika 27. Dijkstrin 6...............................................................................................22

Popis tablica

Tablica 1. Primov algoritam, 1, korak....................................................................10

25


26/26

Tablica 2. Primov algoritam, 2. korak....................................................................11






Tablica 8. Kruskalov algoritam, 1. korak................................................................14

Tablica 9. Kruskalov algoritam, 2. korak...............................................................14

Tablica 10. Kruskalov algoritam, 3. korak.............................................................15



Tablica 13. Kruskalov algoritam, 6. korak.............................................................16Tablica 14. Kruskalov algoritam, 7. korak.............................................................17


Documents

Komar Lukic ZIS i Teorija Grafova