Kombinatorilne optimalizan problmy7. Prednka

Kombinatorilne optimalizan problmy

Formulcia zkladnch kombinatorilnych optimalizanch problmov

Jeden z prvch vekch spechov evolunch algoritmov bolo ich pouitie pre rieenie notoricky obtianych kombinatorilnych problmov, ktorch CPU as rastie bu faktorilovo alebo exponencilne s rastom dimenzie problmu

(NP = nonpolynomialy obtiae)

Dva typy kombinatorilnych problmov

Funkcia f je definovan nad symetrickou grupou SN zloenou zo vetkch premutcii N objektov

kde permutcie z SN s definovan ako N-tica celch rznych sel

Optimalizan problm m tvar

Rieenie tohto optimalizanho problmu je obvykle vemi obtiane v dsledku skutonosti, e symetrick gruba SN obsahuje N! permutci. Z tchto dvodov me nasta situcia, e pre vek N CPU as zhruba rastie ako N!.

Nech Rset = {1, 2, ..., r} je mnoina obsahujca prvch r celch sel, jej priamy sin Rset obsahuje N-tice

Jednotliv komponenty tohto vrazu s cel sla z uzavretho intervalu [1, r]. Funkcia

zobrazuje N-tice na relne sla, optimalizan problm m tvar

V dsledku toho, e kardinalita mnoiny Rset je rN, optimalizan problm me patri medzi obtiane s exponencilnym rastom CPU asu pre vek N. Poznamenajme, e pre r=2 sa tento optimalizan problm redukuje na obyajn binrny problm.

loha obchodnho cestujceho

Typ 1 kombinatorilneho problmu bude ilustrovan znmou lohou obchodnho cestujceho

(TSP, Traveling Salesman Problem).

Grafovo-teoretick formulcia je nasledovn

Nech G je pln graf obsahujci N vrcholov a N(N-1)/2 hrn (spojov).

Kad hrana [i,j], spjajca i-ty s j-tym vrcholom (mestom) je ohodnoten kladnm slom d(j,i), ktor sa interpretuje ako vzdialenos medzi danmi vrcholmi mestami.

Sluobn cesta obchodnho cestujceho (Hamiltonov cyklus) navtvi kad mesto len raz, priom sa vracia do vchodzieho mesta.

Tto cesta je uren pomocou permutcie N objektov miest, odpoved ceste, ktor je zahjen v meste p1, potom pokrauje postupne v mestch p2, p3, ..., pN, a na zver sa vrti do vchodzieho mesta p1.

Kadej ceste je priraden jej dka

Cie lohy TSP je njs tak cestu permutciu Popt, ktor poskytuje minimlnu dku cesty fopt=f(Popt).

Mutcia permutcie - cesty

Cesta P me by zmenen na nov cestu P pomocou stochastickho opertora mutcie Omut pecifikovanho pravdepodobnosou Pmut.

procedure Permutation_Mutation;beginfor i : = 1 to N do pi : = pi;for i : = 1 to N do if random < Pmut thenbeginj : = 1 + random ( N );aux : = pi; pi : = pj; pj : = auxend;end;

Krenie permutci - ciest

K tomu, aby s tento typ kombinatorilnych loh mohol tudova genetickm algoritmom, musme zavies ete operciu krenia medzi dvoma permutciami

Ktor zachovva ich charakter permutcie, t.j. P a Q s taktie permutcie. tudujme permutcie P a Q n objektov, vyberme bod krenia a tak, e 1

Ke vymenme segmenty, ktor nasleduj za bodom krenia, dostaneme dva nov objekty,

ia, takto vytvoren objekty nemusia by u permutcie.

Me nasta situcia, e nejak cel slo sa v objektoch P alebo Q vyskytuje dvakrt. Z tohto dvodu je potrebn aplikova opravn proces (nazvan iaston priradenie partial matching), ktor z objektov P a Q vytvor normlne permutcie.

Poznamenajme, e v literatre je popsanch mnoho rznych druhov krenia dvoch permutci a spsobov ich oprv.

Pre ilustrciu tudujme krenie medzi dvoma permutciami

Predpokladajme, e bod krenia je a=4. Ak vymenme medzi dvoma permutciami segmenty po bode krenia dostaneme

Vidme, e objekty P a Q nie s permutcie, pretoe obsahuj niektor indexy dvakrt.

K oprave tchto objektov na permutcie zostrojme zobrazenia fQP a fPQ

Objekt P opravme pomocou zobrazenia fQP a objekt Q pomocou zobrazenia fPQ. Prv tri indexy v P zamenme za 36, 4 10, 5 8 2. Podobne, prv indexy 2,6 a 10 v Q zamenme za 2 8 5, 6 3, 10 4.

Dostaneme opraven objekty, ktor u s permutcie a s povaovan za vsledok vmeny medzi permutciami P a Q.

loha obchodnho cestujceho na mrieke 1010fopt=462, Epoch=0fopt=298, Epoch=500

loha obchodnho cestujceho na mrieke 1010fopt=164, Epoch=1000fopt=124, Epoch=2000

loha obchodnho cestujceho na mrieke 1010fopt=100, Epoch=5000

Ortogonlna mrieka bodov typu NN, priom vzdialenos medzi jednotlivmi bodmi sa pota pomocou Hammingovej (L1) vzdialenosti. Pre tento pecilny prpad optimlna vzdialenos je(pre prne N)(pre neprne N)

Pohyb koom po achovniciachovnica 6 6achovnica 7 7

Pohyb koom po achovniciachovnica 8 8

Problm rozkladu slaNumber Partitioning Problem (NPP)Nech Q={q1,q2,,qN} je mnoina N kladnch relnych sel a nech je zobrazenie Q na mnoinu Rset={1,2,,r}

Toto zobrazenie me by jednoznane vyjadren ako N-tica =(1, 2,..., N)Rset. Jej jednotliv komponenty s interpretovan tak, e cel slo iRset je pridan objektu qiQ. Vzhadom k tomuto zobrazeniu mnoina Q me by rozloen na disjunktn podmnoiny

Podmnoina Qi obsahuje vetky elementy sla mnoiny Q, ktor s zobrazen funkciou na cel slo i. Definujeme elov funkciu.

Vyjadrujte rozdiel medzi maximlnou a minimlnou sumou sel z podmnon Q1,Q2,...,QN. Cieom NPP lohy je hada tak zobrazenie , ktor minimalizuje elov funkciu f

Mutciou zobrazenia zostrojme in zobrazen

Opercia krenia pre tento typ chromozmov je vemi jednoduch a me sa priamo stotoni s podobnou operciou pre binrne vektoryprocedure Mapping_Mutation;begin for i : =1 to N doif random < Pmut theni : = 1 + random ( r ) else i : = i;end;

Ako nzorne interpretova tto lohuPredstavme si, e mme hromadu obsahujca N vec, priom kadej veci je priraden cena q1,q2,...qN. Cieom je rozdeli tto kopu vec na r hromd tak, aby ich ceny (sty cien jednotlivch vec patriacich do tej ktorej hromady) vykazovali minimlne rozdiely medzi sebou.

Alternatvny popis permutciePermutcia N objektov (kombinatorilne lohy typu 1) me by zadan ako binrny vektor dky kN, kde k je tak cel slo, ktor zabezpeuje, aby binrny vektor dky k bol schopn reprezentova slo N.

Tento binrny vektor je ahko prepsan na vektor N celch sel z intervalu [0,2k-1]

Potom perumtcia P je definovan tak, e celoseln komponenty s usporiadan do nerastcej alebo neklesajcej postupnosti.

Nech N=5, k=3, binrny vektor

jeho celoselna verzia m tvar (5,4,1,7,5). Nech permutcia P usporiada tto N-ticu do rastcej postupnosti, potom

Nevhodou tohto prstupu pre kdovanie permutci je, e rovnak permutcia je uren rznymi binrnymi reazcami. Toto zvenie redundancie kdovania me v niektorch prpadoch by dokonca vhodn, ako spsob znenia pravdepodobnosti zamrznutia v loklnom minime.