КОМБИНАТОРИКА

Пермутације – Различит распореди свих n елемената

P n 1 2 ... 3 2 1 !n n n n

Пример: Колико различитих четвороцифрених бројева може да се напише од цифара 1,2,3,4?

:1,2,3,4 4

P 4 4! 4 3 2 1 24

све пермутације су: 1234,1243,1324,1342,1423,1432... итд

бр n

1. На колико се може распоредити 7 различитих алата на полици?

7

P 7 7! 7 6 5 4 3 2 1 5040 различитих начина

n

2. Колико се различитих петоцифрених бројева, којима су цифре различите, може написати од

цифара 0,1,2,3,4?

: 0,1,2,3,4 5

Укупан број петоцифрених бројева који се могу написати од ове четири цифре је

P 5 5! 5 4 3 2 1 120

међутим петоцифрени бројеви који почињу цифром 0 заправо и нису петоцифрени

већ четвороци

бр n

френи и њих има

0 jе "закључана" на првом месту па нам остају 4 цифре са којима P 4 4! 4 3 2 1 24

можемо да баратамо

Узимајући предходно у обзир, укупан број четвороцифрених бројева који се могу н

аписати

цифрама 0,1,2,3 је:

5 4 5! 4! 120 24 96P P

Варијације – Различити распореди неколико (к) елемената од n

a) без понављања (различите цифре)

V 1 2 ... 1k

n n n n n k

Пример: Написати све двоцифрене бројеве, без понављања цифара, користећи цифре 1,2,3,4!

2

4

:1,2,3,4 4

двоцифрени бројеви 2

V V 4 3 12k

n

бр n

k

b) са понављањем

Vk k

n n

Пример: Написати све двоцифрене бројеве користећи цифре 1,2,3,4!

2 2

4

:1,2,3,4 4

двоцифрени бројеви 2

V V 4 16k

n

бр n

k

3. Од 8 представника треба изабрати председника, заменика ,секретара и економа. На колико

начина је то могуће учинити?

4

8

8 представника 8

бирамо 4 функције (битан распоред) 4

V V 8 7 6 5 1680 начинаk

n

n

k

4. Колико се различитих шестоцифрених бројева може написати од цифара 2,3,4,5,6,7,8,9

a) Ако се цифре понављају b) Ако су цифре различите

a)

6 6

8

: 2,3,4,5,6,7,8,9 8

шестоцифрени бројеви 6

V V 8 262144k

n

бр n

k

b)

6

8

: 2,3,4,5,6,7,8,9 8

шестоцифрени бројеви 6

V V 8 7 6 5 4 3 20160k

n

бр n

k

Комбинације – различити избори неколико (к) елемената од n

1 ... 1C

1 ... 3 2 1

k

n

n n n n k

k k k

Пример: На колико начина можемо изабрати два броја од цифри 1,2,3,4?

:1,2,3,4 4; два броја k=2

4 4 3C 6

2 2 1

k

n

бр n

n

k

5. Од 8 представника треба изабрати четворочлану делегацију. На колико начина је то могуће

учинити?

8 представника 8; четворочлана делегација k=4

8 8 7 6 5C 70 начина

4 4 3 2 1

k

n

n

n

k

6. Од 8 дечака и 5 девојчица треба изабрати четворочлану делегацију у којој су бар три

девојчице. На колико начина је то могуће урадити?

Имамо три варијанте: 4 девојчице или 3 девојчице и један дечак или две девојчице и два дечака.

Свака од ове три варијанте се рачуна и спаја у једну комбинацију при чему се свако "или"

записује као + а

4

5

3

5 3 1

5 81

8

2

5 2 2

5 82

8

4 3 1 2 2

5 5 8 5 8

свако "и" као

I) 4ж 5 a 4 C C

II) 3ж 5 a 3 C CC C

1м 8 a 1 C C

III) 2ж 5 a 2 C CC C

2м 8 a 2 C C

4ж+3ж 1м+2ж 1м

5C C C C C

4

k

n

k

n

k

n

k

n

k

n

n k

n k

n k

n k

n k

5 8 5 8 5 4 3 2 5 4 3 8 5 4 8 75 80 280 365

3 1 2 2 4 3 2 1 3 2 1 1 2 1 2 1

7. 22 ученика треба распоредити у три групе тако да у првој групи буде 13 ученика, у другој 6 а у

трећој 3. На колико начина је то могуће урадити?

I) од 22 ученика бирамо 13 22; 13

II) од преосталих 9 ученика бирамо 6 9; 6

III) од преосталих 3 ученика бирамо 3 3; 3

Пошто постоји само једна комбинација ове три групе, све комбинације међусоб

n k

n k

n k

13 6 3

22 9 3

но множимо:

22 9 3 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1C C C

13 6 3 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 3 2 1

41783280

ВЕРОВАТНОЋА

Догађаји A,B,C

Вероватноћа догађаја А је P(A)

0% P A 100%

0 P A 1

Ако је P A 0 А је немогућ догађај

Ако је P A 1 А је сигуран догађај

A

P A при чему је A број могућности које испуњавају догађај А а

укупан број свих могућности

nn

n

n

Пример: Баца се једна коцкица за игру. Наћи вероватноћу :

a) да падне паран број b) број дељив са три c) који није мањи од 5 d) који није дељив са 3 e) да падне паран број дељив са три f) паран број или број дељив са 3

a)

три парна броја (2,4,6) A 3

укупно 6 бројева 6

A 3 1P A 50%

6 2

n

n

n

n

b)

два броја дељива са 3 (3,6) A 2

укупно 6 бројева 6

A 2 1P A 33%

6 3

n

n

n

n

c)

два броја која нису мања од 5 (5,6) A 2

укупно 6 бројева 6

A 2 1P A 33%

6 3

n

n

n

n

Супротан догађај А P А 1 P Аc c

d)

четири броја која нису дељива са 3 (1,2,4,5) A 4

укупно 6 бројева 6

1 2P A 1 P A 1 66%

3 3

c

n

n

Два догађаја која се догађају истовремено A B

A B P A Bn

n

e)

парни бројеви су 2,4,6 али је само 6 дељив са 3 па је A B 1

укупно 6 бројева 6

A B 1P A B 17%

6

n

n

n

n

Вероватноћа да се деси један догађај или други

А B

А B P А B или P А B P A P B P А Bn

n

f) а

парни бројеви су А= 2,4,6 a B= 3,6 су дељиви са 3 па је A B= 2,3,4,6 A B 4

укупно 6 бројева 6

A B 4 1 1 1 4P A B 67% или P A B 67%

6 2 3 6 6

n

n

n

n

8. Бацамо две коцкице за игру. Наћи вероватноћу да падне: a) непаран збир b) бар на једној коцкици 2 c) ни једна двојка d) непаран збир и бар једна двојка e) непаран збир или бар једна двојка

две коцкице са по 6 бројева n=6 6=36

a)

сви непарни збирови: 1,2;1,4;........;6,3;6,5 тј укупно 18 парова A 18

A 18 1P A 50%

36 2

n

n

n

b)

бар једна двојка: 2,1;2,2;........;4,2;6, 2 тј укупно 11 парова B 11

B 11P B 30%

36

n

n

n

c)

супротан случај од претходног примера

11 25P B 1 P B 1 70%

36 36

c

d)

непаран збир (случај под А) и бар једна двојка (случај под B)

A B= 1,2;3,2;5,2;2,5;2,3,2,1 A B 6

A B 6 1P A B 17%

36 6

n

n

n

e)

непаран збир (случај под А) или бар једна двојка (случај под B)

супротан случај од предходног

1 11 1 23P A B P A P B P A B 64%

2 36 6 36

Формула тоталне вероватноће

1 2 3

1 1 2 2 3 3

P B/A вероватноћа догађаја B ако се десио догађај А - условна вероватноћа

А ,А ,А догађаји који чине потпун систем догађаја (покривају све могућности)

P B P А P B/А P А P B/А P А P B/А

Пример: На три струга обрађују се елементи и то на првом стругу 50%, на другом стругу 30% и на трећем остатак. Наћи вероватноћу да је случајно изабрани елемент стандардан ако се зна да први струг даје 90% стандардних елемената, други 95% стандардних елемената а трећи 85% стандардних елемената.

1 1

2 2

3 3

1 1 2 2 3 3

B - изабрани стандардни елемент

P А 50% 0,5 P B/А 90% 0,9

P А 30% 0,3 P B/А 95% 0,95

P А 20% 0,2 P B/А 85% 0,85

P B P А P B/А P А P B/А P А P B/А 0,5 0,9 0,3 0,95 0,2 0,85 0,905

9. МАXI се снабдева производима три увозника кинеске робе. Случајно се бира увозник и од њега један производ. Наћи вероватноћу да је изабран неисправан кинески производ ако се зна да је вероватноћа да је производ неисправан за првог увозника 0,2, за другог 0,25 и за трећег 0,3

1 2 3

1

2

3

1 1 2 2 3 3

Вероватноћа да један увозник буде изабран је:

1P A P A P A

3

P B/A 0,2

P B/A 0,25

P B/A 0,3

1 1P B P А P B/А P А P B/А P А P B/А 0,2 0,25 0,3 0,75 0,25

3 3