Embed Size (px)
Citation preview
Kompletterande teori for Envariabelanalys del A pa I
J A S, ht-04
1 Gransvarden
1.1 Definitioner och rakneregler
Att f(x) → A (gar mot A) nar x → a (gar mot a) ska betyda att vardena till funktionen f ska ligga naratalet A om x ligger tillrackligt nara a, men x 6= a.
b
cB
A
a
Figur 1:Funktionen har gransvardet A nar x → a (men A 6= f(a)).Nar x → b ar gransvardet B = f(b).Funktionen saknar gransvarde nar x → c.
Aven om denna formulering ganska precist sager vad det hela gar ut pa finns det ett problem i den:vad betyder “nara” och “tillrackligt nara”? Stangt taget ar yttrandet “cos(x) ligger nara cos(1) nar xligger tillrackligt nara 1” inget pastaende eftersom det inte gar att avgora om det ar sant eller falskt. Imatematik anvander man definitioner av begrepp for att rigorost bevisa olika foretelser. Sadana bevis aromojliga om definitionerna inte ar precisa.
For att precisera vad f(x) → A, nar x → a, ska betyda forsoker vi forst precisera“narhet”. Ett symmetrisktoppet intervall runt ett tal r kallas en omgivning till talet. En omgivning till r ar alltsa ett intervall avformen (r − ε, r + ε), for nagot tal ε > 0.
εr+r−ε rFigur 2: Omgivning till r med “radie” ε.
Definition 1.1 Att f(x) → A, nar x → a betyder att det till varje omgivning (varje “narhet”) till Afinns en omgivning (en “narhet”) till a, sa att f(x) ligger i omgivningen till A nar x ligger i omgivningentill a, men x 6= a.
Eftersom det ibland ar lattare att hantera tal an begrepp som omgivningar, ar det bra att ha foljandeomformulering av definitionen:
Definition 1.2 Att f(x) → A, nar x → a, betyder att det till varje ε > 0 (omgivning till A) finns ettδ > 0 (omgivning till a) sa att
|f(x)−A| < ε (f(x) ligger i omgivningen till A), nar 0 < |x−a| < δ (x ligger i omgivningen till a, men ar 6= a) .
εA−
A+ε
a+δa−δ
A
a
f(x)
Figur 3: Till varje omgivning kring A finns en omgivningkring a, sa att grafen till f(x), nar x 6= a i denna, helt liggeri det “fonster” kring (a,A), som omgivningarna ger upphovtill. Ett “tillatet” fonster. Funktionen f(x) har gransvardetA, nar x → a.
a+δ
εA−
a−δ
A+ε
a
f(x)A
a+δa−δ
εA−
A+ε
a
f(x)
A Figur 4 och 5: Oavsett hur A valjs finnsdet en “fonsterhojd” (2ε) sa att ingen “fon-sterbredd” (2δ) ger ett “tillatet” fonster kring(a,A). Funktionen f(x) saknar gransvarde narx → a.
1
Att f(x) → A, nar x → a, skrivs ofta limx→a f(x) = 0 och talet A kallas gransvardet av f(x), nar x garmot a. Observera att f(x) → A nar x → a, betyder samma sak som |f(x)−A| → 0, nar x → a.
Nar man visar egenskaper for gransvarden har man ofta anvandning av tva rakneregler for gransvarden.Den forsta ar den sa kallade triangelolikheten: om a och b ar reella tal, sa galler
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
For att forsta att detta stammer observerar man att om a och b bada ar ≥ 0 eller ≤, ar bada sidorna isjalva verket lika. Det racker darfor att se att det stammer nar b < 0 < a. I detta fall ar b < a + b < aoch |a + b| till och med mindre an det storsta av de tva talen |a| och |b|. ¥Den andra ar likheten
|ab| = |a||b|,som ar uppenbar om man tanker pa vad absolutbeloppet betyder.
Exempel 1.1 Visa att x2 → a2, nar x → a.
Pastaendet verkar vara fullkomligt uppenbart pa den intuitiva nivan i var forstaelse av det. Men da bordet heller inte vara sarskilt svart att visa att det stammer enligt definitionen. Antag alltsa att vi har etttal ε > 0. Var uppgift ar att tala om hur (eller att) vi kan hitta ett tal δ > 0, sa att
|x2 − a2| < ε nar 0 < |x− a| < δ. (1)
Vi har |x2 − a2| = |x− a||x + a|. Om vi forutsatter att |x− a| < δ far vi av detta |x2 − a2| < δ(2|a|+ δ).Vi har har anvant triangelolikheten : |x + a| = |(x− a) + 2a| ≤ |x− a|+ 2|a| = δ + 2|a|. Pastaendet (1)kommer alltsa att stamma om vi valjer δ sa att δ(2|a|+ δ) ≤ ε, dvs sa att 0 < δ <
√ε + |a| − |a|.
Som vi ser ledde verifikationen av det till synes sjalvklara pastaendet att limx→a x2 = a2, till en delrakningar. Det ar uppenbart att det behovs rakneregler for gransvarden.
Innan vi gar in pa det bor det papekas att det inte ar sakert att en funktion f(x) har nagot gransvardenar x → a. I sadana fall sager man att gransvardet inte existerar och symbolen limx→a f(x) ar i sa fallmeningslos och bor da inte anvandas. T.ex saknar sin(1/x) gransvarde nar x → 0 : i varje omgivning till0 finns tal dar funktionen antar vardet 1 liksom det finns tal dar den antar vardet −1.
For att undvika trista verifieringar av tillsynes uppenbara gransvarden skaffar man sig allmant giltigarakneregler for gransvarden. Innan vi gar in pa dem behover vi nagra ytterligare begrepp.
Definition 1.3 En mangd M av reella tal ar uppat (respektive nedat) begransad, om det finns en konstantU (respektive L), sa att varje tal x i M ar ≤ U (respektive ≥ L). Den ar begransad om den ar bade uppatoch nedat begransad.
Exempel 1.2 Mangden M av alla positiva reella tal ar nedat begransad av t.ex. L = −1 (men ocksa avL = 0), men inte uppat begransad. Intervallet (2, 3] ar begransat, nedat av t.ex. L = 2 och uppat av t.ex.U = 3.2.
Definition 1.4 En funktion ar (uppat/nedat) begransad pa en mangd om dess vardemangd dar ar (up-pat/nedat) begransad.
f(x)U
Figur 6: Funktionen up-pat begransad (av U) pamangden av reella tal,men (tillsynes) inte nedatbegransad. Darmed ar denheller inte begransad.
f(x)
−K
KFigur 7: Funktionen be-gransad (av K) pa mang-den av reella tal.
Ett alternativt satt att uttrycka att en funktion f(x) ar begransad ar att saga att det finns en konstantK sa att |f(x)| ≤ K, for alla x (i definitionsmangden).
Exempel 1.3 Funktionen f(x) = 1/x definierad pa intervallet (0,∞) ar nedat begransad av t.ex. L = 0,men inte uppat begransad. Funktionen f(x) = sinx ar begransad; uppat t.ex. av U = 1 och nedat avL = −1. Alternativt ar | sin x| ≤ 1 = K, for alla x.
2
Om f(x) → A, nar x → a, ar f(x) begransad pa en omgivning till a : till ε = 1, finns en omgivning tilla, sa att A − 1 < f(x) < A + 1, nar x ligger i omgivningen till a, men ar 6= a. Man sager att f(x) arbegransad i narheten av a.
Man kan anvanda denna observation for att argumentera for att vissa gransvarden inte existerar. T.ex.ar 1/x inte ar begransad i nagon omgivning till 0, sa 1/x inget gransvarde nar x → 0.
Sats 1.1 Om f(x) → A och g(x) → B, nar x → a, och c ar en konstant, sa galler
1. f(x) + g(x) → A + B, nar x → a,
2. cf(x) → cA, nar x → a,
3. om f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), i en omgivning till a och A = B, sa har vi att h(x) → A(= B), nar x → a.
4. f(x)g(x) → AB, nar x → a,
5. om B 6= 0, att f(x)/g(x) → A/B, nar x → a.
Bevis. 1) Lat ε > 0 vara givet. Enligt forutsattningarna finns δ1 och δ2, sa att |f(x) − A| < ε/2 och|g(x) − B| < ε/2, nar 0 < |x − a| < δ1, respektive nar 0 < |x − a| < δ2. Detta ger oss, med hjalp avtriangelolikheten, att |f(x)+ g(x)−A−B| ≤ |f(x)−A|+ |g(x)−B| ≤ ε/2+ ε/2 = ε, nar 0 < |x−a| < δ,dar δ ar det minsta av de tva talen δ1 och δ2.
2) Lat ε > 0 vara givet. Enligt forutsattningarna finns δ sa att |f(x)−A| < ε/|c|, nar 0 < |x− a| < δ. Vihar da |cf(x)− cA| = |c||f(x)−A| ≤ |c|ε/|c| = ε, nar 0 < |x− a| < δ.
3) Vi har, enligt forutsattningarna att f(x) − A ≤ h(x) − A ≤ g(x) − A i narheten av a. Givet ε > 0finns vidare δ1 och δ2, sa att |f(x) − A| < ε och |g(x) − A| < ε, nar 0 < |x − a| < δ1, respektive nar0 < |x− a| < δ2. Fran detta ser vi att |h(x)−A| < ε, nar 0 < |x− a| < δ, dar δ ar det minsta av talen δ1
och δ2.
4) Vi har |f(x)g(x) − AB| = |(f(x) − A)g(x) + A(g(x) − B)| ≤ |f(x) − A||g(x)| + |A||g(x) − B|. Enkonsekvens av forutsattningarna ar att g(x) ar uppat begransad nara a, lat oss saga av konstanten K. Vifar da
0 ≤ |f(x)g(x)−AB| ≤ |f(x)−A||K|+ |A||g(x)−B|.Enligt 2) gar hogra ledet mot 0 · |K|+ |A| · 0 = 0, x → a. Av 3) foljer nu att |f(x)g(x)− AB| → 0, dvsf(x)g(x) → AB, nar x → a.
5) Vi har |1/g(x) − 1/B| = |B − g(x)|/(|g(x)||B|) och att |g(x)| ar nedat begransad av nagon konstantK > 0, i en omgivning till a, eftersom g(x) → B 6= 0, nar x → a. Vi far
0 ≤ |1/g(x)− 1/B| ≤ |B − g(x)|/(K|B|),
dar hogra ledet (liksom vanstra) gar mot 0, nar x → a. Pastaendet i 5) foljer nu fran pastaendet i 4). ¥Med hjalp av sats 1.1 kan man nu, fran den enkla observationen att limx→a x = a (valj δ = ε i definitionen),berakna flera gransvarden utan att behova verifiera enligt definitionen. T.ex. ger punkt 4 da att x2 → a2,nar x → a. Upprepning ger sedan att xn → an, nar x → a. Kombinerar vi nu detta med punkterna (1)och (2) ser vi att
Exempel 1.4 Om p(x) ar ett polynom, sa ar limx→a p(x) = p(a).
Tillsammans med punkt (3) ger detta i sin tur att
Exempel 1.5 Om p(x)/q(x) ar en rationella funktion med q(a) 6= 0, sa ar limx→a p(x)/q(x) = p(a)/q(a).
Exempel 1.6 Bestam konstanten a sa att gransvardet av
x− 1x + 2
+2x− a
(x + 2)(x− 1)
existerar nar x → −2. Bestam ocksa gransvardet for detta a.
3
Vi skriver pa gemensamt brakstreck och far
x2 − a + 1(x + 2)(x− 1)
Eftersom namnare gar mot 0 nar x → −2, maste vi valja a, sa att aven taljaren gor det (annars skulleuttrycket inte vara begransat i narheten av −2). Gransvardet av taljaren ar 4 − a + 1, sa vi ska valjaa = 5. Taljaren blir da x2 − 4 = (x − 2)(x + 2) och efter forkortning ska vi bestamma gransvardet av(x− 2)/(x− 1), som enligt raknereglerna blir −4/− 3 = 4/3, nar x → −2.
Punkt (3) i sats 1.1 kallas instangningsregeln och har ar ett exempel pa hur den kan anvandas.
1x
sin x| |x
x
1
sin Figur 8: Bagens langd ar i bada fallen |x|. Den streckadehojden ar i bada fallen | sin x|. Detta ger | sin x| ≤ |x|, eller−|x| ≤ sin x ≤ |x|.
Av figur 8 ser vi att−|x| ≤ sin x ≤ |x|,
nar −π/2 < x < π/2. Eftersom |x| → 0, nar x → 0, foljer det av (2) och (3) att
sin x → 0 , nar → 0.
Ersatter vi x med x/2 i olikheten ovan far vi −|x/2| ≤ sin x/2 ≤ |x/2|och instangningsregeln ger ocksa
sin x/2 → 0 , nar x → 0.
Anvander vi nu cos x = cos 2 · x/2 = 1− sin2(x/2) ger (1), (2) och (4) att
cosx → 1 , nar x → 0.
Foljande standardgransvarde (dvs ett gransvarde som anses kant och inte behover verifieras) ger ettexempel dar intuitionen inte omedelbart ger vad gransvardet ska vara.
Sats 1.2limx→0
sin x
x= 1.
Bevis Titta pa figur 9, dar 0 < x < π/2.
tan x
1
x
tan
xsin
Figur 9: I figuren finns tva trianglar med bas 1. Den ena harhojden sin x, den andra tanx. Man ser ocksa en cirkelsektormed bage av langd x och radie 1.
Jamfor vi areor har vi darfor (efter multiplikation med 2)
1 · sin x ≤ x ≤ sin x
cos x.
Om vi multiplicerar den forsta olikheten med 1/x (som ar > 0) och den andra med cos(x)/x (som ar> 0) far vi
sin x
x< 1 respektive cos x <
sin x
x.
Ersatter vi x med −x andras inte uttryckens varden (de ar jamna) sa olikhetena galler nar −π/2 < x <π/2 och x 6= 0.
Vi ser nu att gransvarden som vi kanner till och instangningsregeln nar x → 0 ger satsen. ¥
1.2 Variationer av gransvardesbegreppet
I bland har man anledning att anvanda sa kallade ensidiga gransvarden, t.ex. vill man kanske att x baraska narma sig a fran hoger (eller uppifran)(pa tallinjen).
Definition 1.5 Att f(x) → A nar x → a+ betyder att det till varje ε > 0 finns ett δ > 0, sa att|f(x)−A| < ε, nar a < x < a + δ. Man skriver da limx→a+ f(x) = A.
4
Pa liknande vis definieras gransvarden da x gar mot a nerifran, x → a−.
A
a
Figur 10: Funktionen har gransvardet A nar x → a−, mensaknar gransvarde nar x → a+.
Raknereglerna i sats 1.1 galler aven dessa gransvarden.
Relationen mellan dessa ensidiga gransvarden och det vanliga ges av
limx→a
f(x) = A precis nar limx→a−
f(x) = A och limx→a−
f(x) = A.
Exempel 1.7 For funktionen
f(x) ={
1 nar x < 0x2 sin x nar x ≥ 0
har limx→0− f(x) = limx→0− 1 = 1 och limx→0+ f(x) = limx→0+ x2 sin x = 0 · 0 = 0. Detta betyder attfunktionen saknar gransvarde nar x → 0.
Exempel 1.8 Bestam ett polynom p(x) av sa lag grad som mojligt, sa att funktionen
f(x) =
(x + 1)/x nar x < 1p(x) nar 1 ≤ x ≤ 2
1/(x2 + 1) nar x > 2
har gransvarde dels nar x → 1, dels nar x → 2.
Vi har f(x) → 2, och f(x) → p(1), nar x → 1−, respektive x → 1+. Vi har ocksa f(x) → 1/5 samtf(x) → p(2), nar x → 2+, respektive x → 2−. Vi ska alltsa valja p(x), sa att p(1) = 2 och p(2) = 1/5.Darmed ar p(x) = −9x/5 + 19/5
I bland, t.ex. nar man soker sa kallade sneda asymptoter till en funktion, har man ocksa anledning attundersoka funktioner nar x → ±∞. Definitionen av gransvarden ar i detta fallet:
Definition 1.6 Att f(x) → A nar x →∞ betyder att det till varje ε > 0 finns ett tal ω, sa att |f(x)−A| <ε, nar x > ω. Man skriver da limx→∞ f(x) = A.
Pa motsvarande satt definieras gransvarden nar x → −∞.
y=b
x=a
Figur 11: Funktionen saknar gransvarde nar x →−∞, men har gransvardet b, nar x →∞.
Raknereglerna sats 1.1 galler aven dessa gransvarden.
Exempel 1.9 Bestam konstanten a sa att f(x) = (x3 + 3x2 + 3)/(x2 − 4) − ax har ett gransvarde narx →∞.
Vi skriver pa gemensamt brakstreck och far f(x) = ((1 + a)x3 + 3x2 + 4ax + 3)/(x2 − 4). Division medx2 i taljare och namnare ger nu
f(x) =(1 + a)x + 3 + 4a/x + 3/x2
1− 4/x2.
Vi ser att vi ska valja a = −1, for att gransvardet ska existera. Det blir da 3/1 = 3, nar x →∞.
5
1.3 Obestamda uttryck och oegentliga gransvarden
For en del funktioner galler att deras varden forsvinner ivag mot ∞ nar variabeln narmar sig ett specielltvarde (uppifran eller nerifran). For en sadan funktion f(x) skriver man da f(x) → ∞, nar x → a (ellerx → a±). Alternativt kan man skriva limx→a f(x) = ∞.
Nar symbolen ∞ (eller −∞) anvands som varde pa ett gransvarde talar man om oegentliga gransvarden.
I figur 11 illistreras en funktion med de oegentliga gransvardena ∞ och −∞, nar x → a− respektivex → a+.
Exempel 1.10 For f(x) = 1/x galler f(x) →∞, nar x → 0+ och f(x) → infty, nar x → 0−. Daremothar f(x) inget gransvarde (inte ens oegentligt sadant) nar x → 0.
Observera att raknereglerna ovan inte galler for oegentliga gransvarden; det ar ju t.ex. oklart vad 0 · ∞skulle betyda i punkt (4).
For rakning med ±∞ kan man anvanda foljande regler
c +∞ = ∞ om c 6= −∞c · ∞ = ∞ om c > 0 eller c = ∞c · ∞ = −∞ om c < 0 eller c = −∞c/∞ = 0 om c 6= ∞,1/0 = ±∞ beroende pa hur taljaren i 1/0 narmar sig 0
som gor att raknergelerna for vanliga gransvarden fortsatter att galla for oegentliga sadana.
Det aterstar ett antal uttryck som brukar betecknas som obestamda. Dessa ar ”0/0”, ”∞−∞”och ”∞/∞”.Utan ytterligare rakningar kan inget sagas om vardet av dessa. I sjalva verket kan dessa uttryck sta forvilket tal som helst inkluderande ±∞.
Exempel 1.11 Uttrycket sin(x)/x ar av typen “0/0” nar x → 0, liksom 2 sin(x)/x. Vi fran sats 1.2 ochrakneregler att det forsta uttrycket har vardet 1 medan det andra har vardet 2 nar x → 0.
Litet tillspetsat kan man saga att obestamda uttryck ar orsaken till att man behover en stringent definitionav gransvardesbegreppet. Avslutningsvis ska sagas att de ar mycket vanliga i analysen. Vi ska aterkommatill detta i definitionen av begreppet derivata.
2 Kontinuitet och derivata
2.1 Kontinuerliga funktioner
I forra avsnittet sag vi att om f(x) ar en rationell funktion, som ar definierad i a, sa galler att limx→a f(x) =f(a). Detta ar en viktig egenskap och man infor ett speciellt begrepp for detta fenomen i allmanhet.
Definition 2.1 En funktion f(x) ar kontinuerlig i a om f(x) har ett gransvarde nar x → a och dettagransvarde ar ar f(a).
Observera att den punkt a som x narmar sig, mast inga i funktionens definitionsmangd, for att detska vara meningsfullt att fraga sig om den ar kontinuerlig i a. T.ex. ar det meningslost att fraga omf(x) = 1/x ar kontinuerlig i x = 0, eftersom den inte ar definierad dar.
Exempelvis ar alltsa en rationell funktion kontinuerlig i alla punkter dar den ar definierad. Mer allmantska vi senare se att de elementara funktionerna ar kontinuerliga (eftersom de ar deriverbara, se nedan).
En funktion som ar kontinuerlig i varje punkt i sin definitionsmangd ar kontinuerlig (utan specifikation).Rationella funktioner ar alltsa kontinuerliga.
Den intuitiva forstallningen om kontinuitet ar att grafen till en kontinuerlig funktion ovan for ett intervalli definitionsmangden kan ritas utan att lyfta pennan. Grafen till 1/x kan, ovanfor varje intervall idefinitionsmangden ritas utan att lyfta pennan, men inte i sin helhet ritas pa detta vis.
6
c
x=a
b
Figur 12: Funktionen ar kontinuerlig utom i x = boch x = c. Den kan inte vara kontinuerlig i x = a,eftersom den inte ens ar definierad dar.
Det ar vart att gora tva omedelbara observationer, som utan vidare kommentarer kommer att utnyttjasi den foljande texten. De ar
1. om f(x) ar kontinuerlig i a, sa ar f(x) begransad i narheten av a, eftersom f(x) har ett gransvardeda x → a.
2. om f(x) ar kontinuerlig i a och f(a) > 0, sa ar f(x) > 0 i narheten av a, eftersom f(x) hargransvardet f(a), da x → a.
f(a)
ba
f(b)
Figur 13: Funktionen ar kontinuerlig i a och darforbegransad i en omgivning till a. Den ar > 0 i b ochdarfor, pa grund av kontinuitet i b, ocksa > 0 i enomgivning till a. Observera att funktionen inte arbegransad (over allt) och heller inte > 0 (over allt).
Till exempel finns det ingen mojlighet att bestamma konstanten a, sa att funktionen
f(x) ={
1/x nar x 6= 0a nar x = 0
blir kontinuerlig i x = 0. Funktionen saknar gransvarde nar x → 0. Observera att funktionen ar kontin-uerlig i alla punkter utom 0 (oavsett vad a ar).
Det finns i princip tva olika situationer nar en funktion f(x) inte ar kontinuerlig i en punkt a (dar denar definierad):
f(x) saknar gransvarde nar x → a,
f(x) har ett gransvarde nar x → a, men det ar 6= f(a).
Exempel pa detta ges av
f(x) ={
x−1 nar x < 00 nar x ≥ 0
respektive
f(x) =
x2 − x
3x2 − 4xnar x < 0
2 nar x = 0
Det forsta exemplet har inget gransvarde nar x → 0, medan det andra har gransvardet −1/4 6= f(0) = 2.
Fran raknereglerna for gransvarden foljer omedelbart
Sats 2.1 Om f(x) och g(x) ar kontinuerliga i x = a, och c ar en konstant, sa galler
1. f(x) + g(x) ar kontinuerlig i a,
2. cf(x) ar kontinuerlig i a,
3. f(x)g(x) ar kontinuerlig i a,
4. f(x)/g(x) ar kontinuerlig i a, om g(a) 6= 0.
Vi vet t.ex. att f(x) = x ar kontinuerlig. Av rakneregelerna foljer nu att x2 ar kontinuerlig, liksom xn,dar n ar ett heltal. Detta, tillsammans med raknereglerna, ger att alla polynom och rationella funktionerar kontinuerliga.
7
Exempel 2.1 Funktionen
f(x) = |x| ={ −x nar x < 0
x nar x ≥ 0
ar kontinuerlig. Bortanfor x = 0 ar funktionen ett polynom (−x nar x < 0 och x nar x > 0) och ar darforkontinuerlig dar. Vi har dessutom
limx→0−
|x| = limx→0−
−x = 0 samt limx→0+
|x| = limx→0+
x = 0,
som ger att limx→0 |x| = 0 = |0|.
Exempel 2.2 Visa att man kan bestamma konstanterna a och b sa att funktionen
f(x) =
{ x− 3x2 + x− 2
+a
x2 + 3x + 2nar x 6= −2
b nar x = −2
blir kontinuerlig.
Vi har x2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1) och x2 + x − 2 = (x + 2)(x − 1), sa funktionen ar definierad utomi ±1. Kontinuiteten ar inget problem bortanfor −2, eftersom funktionen dar ar summa av tva rationellafunktioner.
For att fa kontinuitet i −2 ska vi bestamma a, sa att det rationella uttrycket har ett gransvarde narx → −2, och sedan valja b som detta gransvardet. Nar x 6= −2 har vi
f(x) =(x− 3)(x + 1) + a(x− 1)
(x + 2)(x + 1)(x− 1).
Eftersom namnaren gar mot noll nar x → −2, maste aven namnare gora det for att gransvardet skaexistera. Detta ger att vi ska valja a sa att (−5)(−1) + a(−3) = 0, dvs a = 5/3. Talet b ska varagransvardet av
f(x) =(x− 3)(x + 1) + 5(x− 1)/3
(x + 2)(x + 1)(x− 1)=
(x + 2)(x− 7/3)(x + 2)(x− 1)(x + 1)
=x− 7/3
(x− 1)(x + 1),
som blir (−2− 7/3)/((−3)(−1)) = −13/9, nar x → −2. Svaret ar alltsa a = 5/3 och b = −13/9.
2.2 Deriverbara funktioner
Man kan ha tva lite olika installningar till begreppet derivata. Det ena ar att derivatan av f(x) i x = amater den (momentana) relativa forandringen av f(x) i x = a. Den andra ar att derivatan i x = abestammer (riktningskoefficienten) till tangentlinjen till grafen i punkten (a, f(a)).
I envariabelanalysen sammanfaller dessa tva begrepp, men de skiljer sig at i flervariabelanalysen.
Tar vi var utgangspunkt i den forsta installningen ar derivatan av f(x) i x = a gransvardet av differen-skvoten
f(x)− f(a)x− a
,
nar x → a. Differenskvoten mater funktionensvardet forandring i forhallande till foranderingen i variabelnmellan x och a, dvs den relativa forandringen. Nar vi later x → a, innebar det att vi mater den momentanarelativa forandringen av funktionen i punkten a.
3
1(x ,f(x ))
(x ,f(x ))2 2(x ,f(x ))3 3
(a,f(a))
x x xa 12
1
Figur 14: Forandring av funktionsvarde f(x) i forhallandetill forandring av variabeln x (kring a) ar den relativa foran-dringen av funktionens varde (mellan a och x). Forhallan-det, som kallas differenskvot, kan tolkas som riktningskoef-ficient for en sekant till grafen.
Definition 2.2 Funktionen ar deriverbar i a om differenskvoten har ett gransvarde nar x → a. Dettagransvarde betecknas da
f ′(a) = limx→a
f(x)− f(a)x− a
= limh→0
f(a + h)− f(a)h
.
8
Observera att definitionen av derivata ar ett gransvarde av typen “0/0” (om f ar kontinuerlig i a). Foratt definitionen av derivata i a ska vara meningsfull, brukar man ocksa krava att funktionen f(x) ardefinierad i en omgivning till a.
Om en funktion ar deriverbar i varje punkt i sin definitionsmangd ar den deriverbar (utan specifikation).Man anvander da beteckningen f ′(x), for derivatan i x och skriver differenskvoten (f(x + h)− f(x))/h,och har att f ′(x) ar gransvardet av detta nar h → 0. Flera andra skrivsatt finns t.ex. df/dx = D(f) = f ′.
Tar vi i stallet var utgangspunkt i den andra installningen ska vi bestamma talet m, sa att linjen y =m(x− a) + f(a) ansluter sa val som mojligt till grafen av f i punkten (a, f(a)). Avvikelsen
E(x) = f(x)−m(x− a)− f(a)
kallas felet (nar f(x) approximeras med den linjara funktionen m(x − a) + f(a)).Vi ska naturligtvis haatt detta fel gar mot 0, nar x → a. Men det gor det om f ar kontinuerlig i a, oavsett hur vi valjer m. Omvi daremot kraver att det relativa felet
R(x) = E(x)/(x− a) = (f(x)− f(a))/(x− a)−m,
ska ga mot 0, ser vi att vi maste valja m som (den tidigare) derivatan till f i x = a.
E(x)=f(x)−L(x)
(a,f(a))
a
L(x)=m(x−a)+f(a)
f
xx−a
Figur 15: Man soker den linje (tangentlinjen) som bastansluter till grafen i punkten (a, f(a)). Den ar grafen tillL(x), som kallas den linjara approximationen till (eller lin-eariseringen av) f(x) i x = a. Skillnaden E(x) mellan f(x)och L(x) kallas felet och R(x) = E(x)/(x−a) ar det relati-va felet. Det galler att bestamma m, sa att R(x) → 0, narx → a.
Derivatan f ′(a) bestammer allsta (riktningskoefficienten for) tangentlinjen till grafen av f i punkten(a, f(a)). Funktionen f ′(a)(x−a)+f(a) kallas lineariseringen av f i punkten a. Nar f ar deriverbar i a garalltsa inte bara felet, E(x), utan aven det relativa felet, R(x), som gors nar f estatt med f ′(a)(x−a)+f(a)mot 0, nar x → a.
Det ar vanlig att man, nar f ar deriverbar, loser ut f(x) med hjalp av R(x) ur det uttryck som definierarR(x). Man far da
f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + R(x)(x− a), (2)
dar alltsa R(x) → 0, nar x → 0, om f ar deriverbar i a. Observera att R(a) inte ar definierat, eftersomdefinitionen da innebar en otillaten division med noll. Men om vi nu definierar R(a) som 0, R(a) = 0,sa kommer R(x) att vara kontinuerlig i a. Detta ar en viktig detalj som vi ska utnyttja i beviset avsats 2.5 sidan 12 (kedjeregeln) nedan.
Lat oss med en gang konstatera att
Sats 2.2 Om f(x) ar deriverbar i a, sa ar f(x) kontinuerlig i a.
Bevis Vi har f(x) = (x − a)(f(x) − f(a))/(x − a) + f(a), som har gransvardet 0 · f ′(a) + f(a) = f(a),nar x → a. ¥Det ar daremot inte riktigt att en funktion som ar kontinuerlig i en punkt ocksa ar deriverbar dar, vilketexemplet f(x) = |x| visar. Den ar kontinuerlig, men inte deriverbar, i x = 0. Differenskvoten dar ar |x|/x,som antar vardena ±1 i varje omgivning till 0, och darfor saknar gransvarde nar x → 0.
For derivator galler bland annat foljande allmanna rakneregler:
Sats 2.3 Antag att f och g ar deriverbara i a och att c ar en konstant. Da galler
1. (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a),
2. (cf)′(a) = cf ′(a),
3. (fg)′(a) = f ′(a)g(a) + f(a)g′(a),
4. (f/g)′(a) = (f ′(a)g(a)− f(a)g′(a))/g(a)2, om g(a) 6= 0.
9
Bevis.
For 1) ska vi betrakta kvoten (f(x) + g(x) − f(a) − g(a))/(x − a) = (f(x) − f(a))/(x − a) + (g(x) −g(a))/(x− a), som har gransvardet f ′(a) + g′(a), nar x → a.
For 2) ska vi betrakta kvoten (cf(x)− cf(a))/(x− a) = c(f(x)− f(a))/(x− a), som gar mot cf ′(a), narx → a.
I 3) ar kvoten (f(x)g(x)− f(a)g(a))/(x− a) = ((f(x)− f(a))g(x) + f(a)(g(x)− g(a)))/(x− a), som hargransvardet f ′(a)g(a) + f(a)g′(a), nar x → a. Vi har utnyttjat att g ar kontinuerlig i a, eftersom den arderiverbar dar.
I 4) racker det att kolla fallet nar f ar konstant 1. Det allmanna resultatet foljer sedan av 3). Kvoten arda (1/g(x)− 1/g(a))/(x− a) = (g(a)− g(x))/(x− a) · (1/(g(x)g(a))), som har gransvardet −g′(a)/g(a)2,nar x → a. Vi har aterigen anvant att g ar kontinuerlig i a. ¥Fran 3) foljer det med induktion att (xn)′ = nxn−1, nar n ≥ 0 ar ett heltal. Nar n = 0 och n = 1 kan vikontroller formeln direkt: vi ska berakna gransvardet av (1− 1)/h = 0 respektive (x + h− x)/h = 1, somnaturligtvis ar 0 respektive 1, i overensstammelse med formeln.
Antag nu att (xp)′ = pxp−1, dar p ≥ 1. Vi har da enligt 3) ovan att (xp+1)′ = (xpx)′ = (xp)′x + xp · 1 =pxp−1x + xp = (p + 1)xp. Formeln foljer nu enligt induktionsprincipen.
Med hjalp av detta och punkterna (1) och (2) ser vi att om p(x) ar ett polynom p(x) = a0 +a1x+a2x2 +
. . . + anxn, sa ar p(x) deriverbar med derivata p′(x) = a1 + a22x + . . . + annxn−1.
Punkt (4) ger nu dels att rationella funktioner (kvot mellan polynom) ar deriverbara, dels en formel foratt berakna deras derivata.
Exempel 2.3 Bestam, om mojligt, konstanten a sa att funktionen
f(x) ={
x2 − ax + 2 nar x 6= 12 nar x = 1
blir deriverbar.
Oavsett hur vi valjer a kommer f ′(x) = 2x − a, nar x 6= 1. Sa det enda problemet ar derivatan i x = 1.Vi har dar differenskvoten (f(x) − f(1))/(x − 1) = x(x − a)/(x − 1). For att gransvardet av detta narx → 1, ska existera maste vi ha a = 1 och vi far da f ′(1) = 1.
2.3 Vanliga funktioners derivator och ytterliga rakneregler
Eftersom definitionen av derivata involverar ett gransvarde av typen “0/0” ar det inte alltid helt enkeltatt bestamma derivatan. For att kringga detta harleder man (en gang for alla) formler for derivatorav elementara funktioner, samt ytterligare nagra rakneregler for derivator. Nar man deriverar sadanafunktioner anvander man alltsa inte derivatans definition, utan de formler och regler man kommit framtill.
2.3.1 Exponentialfunktioner
Exponentialfunktionen ax har differenskvoten (1/h)(ax+h−ax) = (1/h)(ah−1)ax, och D(ax) ar gransvardetav detta nar h → 0.
Vi ser att om vi kan valja a sa att (ah − 1)/h → 1, nar h → 0, sa far vi D(ax) = ax.
Om vi raknar lite slarvigt ska vi alltsa ha (ah − 1)/h ≈ 1. Loser vi ut a far vi a ≈ (1 + h)1/h, ochapproximationen bor bli battre ju mindre vi valjer h. Detta tyder pa att vi da ska ha a = limh→0(1+h)1/h.Man kan visa att detta verkligen fungerar och vi kan valja
limh→0
(1 + h)1/h = e
som en definition av talet e. Vi har alltsa, med viss motivation men utan bevis att,
limh→0
eh − 1h
= 1 samt D(ex) = ex.
Allmant har vi att ax = ex ln a och differenskvoten blir
10
ax+h − ax
h=
ah − 1h
· ax =eh ln a − 1
h· ax =
=eh ln a − 1
h ln a· ax ln a = { satt t = h ln a} =
et − 1t
· ax ln a,
som gar mot ax ln a, nar t → 0, dvs nar h → 0.
Vi har darforD(ax) = ax ln a.
Anmarkning om kontinuerlig och arlig ranta
Antag att kapitalet C placeras pa ett konto med 100r procent arlig avkastning. Efter ett ar ar da behall-ningen C(1+ r). Antag nu att vi far daglig ranta pa kapitalet. Vi lagger ut rantan pa 365 dagar och efteren dag behallningen C(1 + r/365) och efter ett ar C(1 + r/365)365.
Vi ar otaliga och vill ha ranta varje sekund eller till och med varje tidpunkt och delar in aret i n likastora delar, dar n ar stort. Efter ett ar har vi da behallningen C(1 + r/n)n. Eftersom vi ar otaliga latervi n →∞. Vilken behallning har vi da efter ett ar?
Vi har
(1 + r/n)n = (1 + r/n)(n/r)r = { satt h = r/n } =
=((1 + h)1/h
)r
→ er
nar h → 0 dvs nar n →∞, enligt definitionen av talet e.
Om vi kraver ranta i varje stund (kontinuerlig ranta) med rantesatsen r ger detta behallningen Cer efterett ar, i stallet for C(1 + r), som vi far vid arlig ranta. De tva olika satten att forhalla sig till ranta(tillvaxt) kallas kontinuerlig respektive arlig ranta (tillvaxt).
Vid samma rantesats (100r procent) ger kontinuerlig ranta hogre avkastning an arlig ranta eftersomex > 1 + x, nar x > 0, men skillnaden ar inte stor nar x ar nara 0. Observera att 1 + x ar lineariseringenav ex kring x = 0.
2.3.2 Derivata till invers funktion och logaritmer
Genom att anvanda att grafen till en inverterbar funktion f och grafen till dess invers f−1 ar varandrasspegelbilder i linjen x = y, kan man visa
Sats 2.4 Antag att f ar inverterbar och deriverbar i a med derivata 6= 0. Da ar f−1 deriverbar i f(a)med derivata (f−1)′(f(a)) = 1/f ′(a).
v
f −1
f
a
b
b a
u
u
vFigur 16: I figuren ar f(a) = b och alltsa f−1(b) = a. Tan-genten till f i punkten (a, b) har lutning v/u. Det bety-der att tangentlinjen till f−1 i (b, a) har lutningen u/v.Detta motiverar att derivatan till f−1 i b ar 1/f ′(a) =1/f ′(f−1(b)).
Vi kan ocksa formulera det sa att (f−1)′(x) = 1/f ′(f−1(x)).
Med detta kan vi bestamma derivatan till ln(x) som ar inversen till ex. Eftersom D(ex) = ex ger satsenatt
D(lnx) = 1/eln x = 1/x.
2.3.3 Kedjeregeln for sammansattningar och potensfunktioner
Vi har tidigare konstaterat att vi kan derivera polynom och rationella funktioner.
For att derivera xp, dar p ar en konstant (som inte ar ett positivt heltal) gor vi omskrivningen xp = ep ln x
och ser den som en sammansatt funktion; en logaritmfunktion foljd av en exponentialfunktion. Dennaomskrivning ar bara giltig nar x > 0, eftersom ln x annars inte ar definierad.
11
For att derivera sammansattningar har man anvandning av foljande
Sats 2.5 (Kedjeregeln) Antag att f(x) ar deriverbar i g(a) och att g(x) ar deriverbar i a. Da ar f(g(x))deriverbar i a med derivata f ′(g(a))g′(a).
Detta kan ocksa skrivas (f(g(x)))′ = f(g(x))g′(x). I detta sammanhan kallas g′(x) for den sammansattafunktionens inre derivata.
Bevis. Vi ska undersoka kvoten (f(g(x)) − f(g(a)))/(x − a). Eftersom f ar deriverbar i g(a) har vi attf(g(x)) − f(g(a)) = f ′(g(a))(g(x) − g(a)) + R(g(x))(g(x) − g(a)), dar R(x) ar det relativa felet till denlinjara approximationen av f(x) i g(a). Vi anvander har att vi definierat R(g(a)) = 0, och att R(x) daar kontinuerlig i g(a). (Se (2) sidan 9)
Eftersom g(x) ar deriverbar i a ar den kontinuerlig i a, sa g(x) → g(a), nar x → a. Detta ger attR(g(x)) → R(g(a)) = 0, nar x → a.
For den ursprungliga kvoten far vi nu
f(g(x))− f(g(a))x− a
= f ′(g(a))g(x)− g(a)
x− a+ R(g(x))
g(x)− g(a)x− a
,
dar hogra ledet gar mot f ′(g(a))g′(a) + 0 · g′(a) = f ′(g(a))g′(a), nar x → a. ¥Med satsen far vi att derivatan av xp = ep ln x ar ep ln xD(p ln x) = xpp/x = pxp−1, eller
D(xp) = pxp−1, nar x > 0.
Nar p ar ett heltal ≥ 0 ar xp ett polynom och formel giltig utan begransning pa x.
Nar p ar ett heltal < 0 ar xp en rationell funktion definierad nar x 6= 0 och formeln ar giltig utanytterligare begransning pa x.
Nar p ar 1/2 ar x1/2 bara definierat nar x ≥ 0, men for andra rationella p (t.ex. p = 1/3) kan xp ( 3√
x)ges mening aven for negativa x. Formeln ar da giltig utom mojligen for x = 0.
Exempel 2.4 Vi har enligt formeln att
D(√
x) = D(x1/2) = (1/2)x−1/2 =1
2√
x.
Exempel 2.5 Funktionen f(x) = 3√
x = x1/3 ar definierad for alla reella tal x, och deriverbar over alltutom i x = 0. Dar ar differenskvoten (f(x)− f(0))/(x− 0) = x−2/3, som saknar gransvarde nar x → 0.
2.3.4 Trigonometriska funktioner
Formler for derivator till trigonometriska funktioner kan beraknas med hjalp av det standardgransvardesom finns i sats 1.2 och de rakneregler vi nu har. Man behover ocksa nagra trigonometriska formler, blandannat additionsformeln sin(x + h) = cos x sin h + sin x cosh.
For att derivera sin(x) ska vi undersoka gransvardet av differenskvoten
sin(x + h)− sin x
h=
cos x sin h + sin x cosh− sinx
h=
= cos x · sin h
h+ sin x · cosh− 1
h=
= cos x · sin h
h+ sin x · 2 sin2(h/2)
h=
= cos x · sin h
h+ sin x · (h/2) · sin2(h/2)
(h/2)2
Vi har anvant att cos(2α) = 1 − 2 sin2(α). Standard gransvardet ovan ger nu alltsa att differenskvotenhar gransvardet cos(x) + ·1 + sin(x) · 0 · 1, nar h → 0. Vi har alltsa
D(sinx) = cos x.
For att derivera cos(x) racker det nu att gora omskrivningen cosx = sin(π/2− x). Kedjeregeln ger nu
D(cos x) = cos(π/2− x)(−1) = − sin x.
12
For att derivera tan(x) kan vi skriva tan x = sin x/ cosx och derivera som en kvot. Vi far da
D(tan x) = (cos2 x + sin2 x)/ cos2 x = 1 + tan2 x = 1/ cos2 x.
Bada ar anvandbara uttryck for derivatan av tangensfunktionen och val varda att uppmarksammas.
Arcusfunktionerna ar inverser till de trigonometriska funktionerna med lampligt inskrankta definition-smangder och de ar darfor deriverbara. For att harleda deras derivator kan man anvanda kedjeregelnoch t.ex. identiteten sin(arcsin x) = x. Derivering av detta ger cos(arcsinx)D(arcsin x) = 1. Eftersomcos(arcsinx) =
√1− x2 far vi
D(arcsin x) =1√
1− x2, nar |x| < 1.
Pa samma vis ger derivering av tan(arctan x) = x att (1 + tan2(arctanx))D(arctanx) = 1, sa
D(arctan x) =1
1 + x2.
3 Satser om kontinuerliga och deriverbara funktioner
En av anledningarna till att man i valjer att uppmarksamma just kontinuerliga och deriverbara funktionerar att man, forhallandevis enkelt, kan visa en rad satser om sadana funktioner.
Flera av dessa satser ar av karaktaren att de ar uppenbara ur ett intuitivt perspektiv. Detta rackeremellertid inte som bevis i ett matematiskt perspektiv, dar den bokstavstrogna definitionen ar det somutgor grunden. Detta hindrar forstas inte att intuitionen ar en mycket viktig inspirationskalla for bevisen.
For att forbereda bevisen for de satser om funktioner vi ska visa, ska vi forst titta lite narmare pa engrundlaggande egenskap hos mangden av reella tal (dvs (oandliga) decimalutvecklingar).
3.1 Fullstandighet hos de reella talen och Inkapslingssatsen
Antag forst att vi bara tillater oss anvanda naturliga tal (dvs heltal ≥ 0). Varje delmangd till dessainnehaller da ett minsta tal. Men det finns delmangder till N som inte innehaller nagot storsta tal, t.ex.mangden av jamna naturliga tal.
Om vi daremot tar en delmangd till N som ar uppat begransad, dvs varje tal i delmangden ar mindre annagot fixt naturligt tal K, sa innehaller mangden inte bara ett minsta tal utan ocksa ett storsta.
Om vi nu istallet tillater oss (att som vanligt) anvanda reella tal. Da har i allmanhet en delmangd tilldessa varken ett storsta eller ett minsta tal. T.ex. finns det inget storsta eller minsta tal i intervallet ]1, 2[.Det hjalper inte ens att denna mangd ar sa val uppat som nedat begransad. (Se definition 1.4 pa sidan 2.)
Daremot finns det gott om sa kallade undre begransningar till mangden; ett tal b sa att b ≤ x, for varjex i mangden. T.ex. ar −1 men ocksa 0 undre begransningar till ]1, 2[. Det finns ocksa gott om ovrebegransningar till denna mangd; ett tal B sa att x ≤ B, for varje x i mangden. Vi ser att det finns enstorsta undre begransning 1, och en minsta ovre begransning 2. Detta ar ett allmant fenomen:
Sats 3.1 Varje uppat begransad icke-tom mangd av reella tal har en minsta ovre begransning.
For en uppat begransad mangd M av reella tal kallas denna minsta ovre begransning for supremum avmangden och betecknas supM, t.ex. har vi sup]1, 2[= 2. Beviset av denna sats utnyttjar hur de reellatalen konstrueras och ligger utan for ramen av envariabelkursen.
Pa motsvarande vis har en nedat begransad icke-tom mangd M av reella tal en storsta undre begransning,som kallas infimum av M och betecknas inf M . T.ex. ar inf]1, 2[= 1.
I exemplet vi anvant ar det mycket latt att bestamma infimum och supremum. Sa ar det inte i allmanhet.Om vi t.ex. later M vara manden av tal av formen sin n, dar n ar ett heltal, sa ar det klart att 1 och−1 ar ovre respektive undre begransningar till M, eftersom −1 ≤ sin n ≤ 1 for varje n. Enligt satsen harmangden M darfor har ett infimum och ett supremum, dvs en storsta undre begransning och en minstaovre begransning. Det ar inte latt att forsta vad de ar utan att rakna och argumentera.
For att forsta att satsen ovan verkligen innehaller nagon information om de reella talen, kan man tankasig att man bara tillater sig att anvanda rationella tal (kvoter mellan heltal). Da galler inte sats 3.1. Om
13
man t.ex. later M vara (den begransade) mangden av rationella tal x sadana att x2 ≤ 2, sa finns detingen rationell ovre begransning som ar mindre an varje annan rationell sadan. Om man tillater sig attanvanda de reella talen finns supremum av mangden och ar
√2 (som inte ar rationellt).
Med en avtagande foljd av intervall menas en (oandlig) svit av intervall I0 ⊃ I1 ⊃ . . . ⊃ In ⊃ . . ..
I allmanhet finns det da inget reellt tal som ingar i samtliga dessa intervall. Ett exempel far vi om visatter Ik = (0, 1/(k + 1)], k = 0, 1, . . .. Om det funnes ett tal r i samtliga dessa intervall skulle r vara> 0, forstas, men samtidigt ≤ 1/(k + 1), for varje heltal k ≥ 0. En orimlighet, eftersom 1/(1 + k) → 0,nar k →∞.
Foljande lemma, dar man forutsatter att intervallen ar slutna (dvs av formen [a, b]), innehaller darforvasentlig information
Lemma 3.1 (Inkapslingssatsen) Om Ik, k = 0, 1 . . . , ar en avtagande foljd av slutna intervall, safinns det ett reellt tal r som ingar i samtliga intervall.
4
aaaa
a
0
1
2
3
4
bb
bb
b
0
1
2
3
Figur 17: I figuren har intervallen “lyfts upp” for askad-lighet. I sjalva verket ligger de inuti varandra likt ryskaBaboushka-dockor. Malet ar att inse att, nar alla intervallar slutna, det maste finnas (minst) ett tal som ingar i allaoandligt manga intervall.
Bevis. Vi har att Ik = [ak, bk] for nagra reella tal ak och bk. Vi later M vara mangden av alla sadanaak. Eftersom foljden av intervall ar avtagande ar varje bk en ovre begransning till M, som darfor har ettsupremum r (minsta ovre begransning). For detta tal r galler dels att ak ≤ r, dels r ≤ bk, for varje k.Det betyder att r ar ett tal som ingar i samtliga intervall Ik. ¥
3.2 Vardemangden till en kontinuerlig funktion
Ett viktigt uppgift, som ofta dyker upp i praktiken, ar att forsoka bestamma det storsta som en funktionantar. (Sa kallade optimeringsproblem.)
Kom ihag att alla deriverbara funktioner ar kontinuerliga och att alla elementara funktioner ar deriver-bara. (Med sma undantag.)
Fran borjan kan vi konstatera att det inte alltsa ar sakert att en funktion antar ett storsta och ett minstavarde. T.ex antar funktionen f(x) = x, varken ett storsta eller ett minsta varde pa intervallet ]1, 2[.Funktionen antar ett minsta varde pa intervallet [1,∞[, men inget storsta varde. Funktionen
f(x) ={
1/x nar x 6= 00 nar x = 0
antar varken ett storsta eller minsta varde pa intervallet [−1, 1].
Darfor innehaller foljande sats vasentlig information
Sats 3.2 Om f(x) ar kontinuerlig pa det slutna begransade intervallet [a, b], sa antar funktionen ettstorsta och ett minsta varde i intervallet.
a
b
Figur 18: Funktio-nen ar kontinuerligi ]a, b] men inte be-gransad pa interval-let. a b
Figur 19: Funktio-nen ar inte kontin-uerlig i [a, b] ochheller inte begran-sad pa intervallet.
For att visa satsen ska vi forst visa
Lemma 3.2 Om f(x) ar kontinuerlig pa det slutna begransade intervallet [a, b], sa ar f(x) uppat begran-sad pa intervallet.
14
Bevis Antag att pastaendet inte stammer.
Om vi delar intervallet mitt itu kommer f da att inte vara uppat begransad pa minst en av de tva delarna.Beteckna denna del [a1, b1]. Dess langd ar (b− a)/2.
Proceduren kan upprepas och vi far en halft [a2, b2] av [a1, b1] dar funktionen inte ar uppat begransad.Upprepning leder till en av tagande foljd av intervall [an, bn] av langd (b − a)/2n, dar f inte ar uppatbegransad. Inkapslings satsen ger att det finns ett tal r som ingar i samtliga intervall. Eftersom f arkontinuerlig i r galler att f ar begransad i en omgivning till r. Men en omgivning till r innehaller nagot[an, bn] dar f inte ar uppat begransad. En orimlighet. Antagandet att f inte ar uppat begransad ar alltsafel och darmed ar f uppat begransad pa intervallet. ¥Bevis av satsen Vi vet att f ar uppat begransad. Det betyder att vardemangden till f har en minstaovre begransning M, sa f(x) ≤ M, for alla x i [a, b] och M ar det minsta talet med denna egenskap.
Antag nu att f(x) inte antar vardet M . Funktionen 1/(M − f(x)) ar da kontinuerlig och positiv pa[a, b]. Den ar darfor uppat begransad av nagon konstant, sag m > 0. Vi har da 1/(M − f(x)) ≤ m, ellerf(x) ≤ M − 1/m, vilket strider mot att M var den minsta ovre begransningen till f . Alltsa maste f antavardet M pa intervallet [a, b].
Funktionen −f ar ocksa kontinuerlig pa [a, b] och antar, enligt vad vi visat, ett storsta varde, lat oss kalladet L, dar. −L ar da det minsta varde som f antar pa intervallet. ¥Nar vi nu vet att en kontinuerlig funktion pa ett intervall [a, b] alltid antar sa val ett storsta som ettminsta varde ar det naturligt att undra om den antar alla varden mellan dessa tva. Om funktionen intear kontinuerlig behover det inte vara sa, men var intuition om kontinuitet sager oss att det maste gallafor kontinuerliga funktioner.
Vi ska nu se ett bevis for detta, som aterigen utnyttjar tekniken med att halvera intervallet [a, b]. Bevisetger ocksa en, lat vara primitiv metod, for att bestamma narmevarden till losningar av ekvationer.
Sats 3.3 (Satsen om mellanliggande varden) Lat f(x) vara en funktion som ar kontinuerlig pa in-tervallet [a, b]. Om v ar ett tal som ligger mellan f(a) och f(b), sa finns det ett tal c i [a, b] sadant attf(c) = v.
b
a
Figur 20: Funktionen arinte kontinuerlig i [a, b]och antar inte vardet 0som ligger mellan f(a) ochf(b).
a
b
Figur 21: Funktionen arkontinuerlig i [a, b] och an-tar darfor alla varden mel-lan f(a) och f(b).
Bevis Vi delar [a, b] i tva delar lika stora delar med delningspunkten (a + b)/2. Om nu f :s varde i dennadelningspunkt eller nagon av a eller b ar v ar vi klara, annars maste f anta varden sa val storre sommindre an v pa nagon av de tva halfterna av I0 = [a, b]. Lat i sa fall I1 = [a1, b1] vara en sadan halft. Dethar langd (b− a)/2.
Proceduren kan nu upprepas. Antingen kommer da f att anta vardet u i nagon av de delningspunkter viinfor, eller sa far vi en avtagande svit av slutna intervall
I0 ⊃ I1 ⊃ I2 ⊃ . . . ⊃ In ⊃ . . .
dar In har langd (b − a)/2n. I det forsta fallet valjer vi c som en av delningspunkterna. Annars gerinkapslingssatsen att det finns ett tal c som ligger i samtliga intervall In.
Om nu f(c) > v (eller f(c) < v) ger kontinuiteten hos f att det finns en omgivning till c dar f(x) > v(respektive f(x) < v). Eftersom langderna av intervallen gar mot noll nar n → ∞, kommer en sadanomgivning att innehalla nagot In. Men pa ett sadant intervall antar f varden som ar sa val storre sommindre an v. En orimlighet. Alltsa maste f(c) = v. ¥Sedan tidiga skolar har man blivit van vid att anvanda symbolen
√2 som symbol for den positiva losningen
till ekvationen x2 − 2 = 0, att man val knappast langre reflekterar over fragan om ekvationen verkligenhar en (positiv) losning.
Vi vet att det inte finns nagot rationellt tal (kvot mellan tva heltal) som loser ekvationen. Det betyderatt en eventuell losning till ekvationen maste ha en oandlig decimalutveckling (som aldrig tar slut). En
15
sadan utveckling kan forstas inte skrivas ned pa andlig tid, och aven om vi kunde det sa skulle vi intekunna multiplicera det med sig sjalvt for att kontrollera att svaret blir 2.
Om man sager att√
2 ≈ 1.414, sa pastar man att kvadraten pa 1.414 ligger nara 2, men av det kan viinte dra slutsatsen att ekvationen har en losning.
Satsen om mellanliggande varden ger en enkel losning pa dilemmat. Funktionen f(0) = x2 − 2 ar kon-tinuerlig pa intervallet [1, 2] och talet 0 ligger mellan f(0) = −1 och f(2) = 2. Det finns darfor ett tal c(som vi normalt kallar
√2) mellan 1 och 2, sa att f(c) = 0.
Successiv halvering av [1, 2] ger oss en metod att kapsla in√
2. Algoritmen i beviset ger oss sviten
[1, 2] ⊃[22,32
]⊃
[54,64
]⊃
[118
,128
]⊃
[2216
,2316
]⊃ . . .
av intervall som samtliga innehaller√
2. Eftersom 22/16 = 1.375 och 23/16 = 1.4375 vet vi t.ex. att1.375 <
√2 < 1.4375.
Tillsammans ger sats 3.2 och sats 3.3 foljande
Sats 3.4 Om f ar en kontinuerlig funktion definierad pa ett slutet intervall [a, b], sa ar funktionensvardemangd ett slutet intervall.
Bevis Sats 3.2 ger att f antar ett storsta och ett minsta varde pa intervallet [a, b]. Kalla dessa forM respektive m. Sats 3.3 ger att f antar alla varden mellan dessa bada tal. Alltsa ar vardemangdenintervallet [m,M ]. ¥Observera att sats 3.2 inte ger nagon metod for att bestamma storts och minsta vardet till en kontinuerligfunktion; allt den och dess bevis ger ar att dessa varden finns.
I nasta avsnitt ska vi se att mer kan sagas om denna fraga for deriverbara funktioner. Av denna anledningska vi vanta med exempel pa anvandning av sats 3.4.
3.3 Deriverbara funktioners vaxande/avtagande
I detta avsnitt ska vi se hur man kan anvanda derivata for att avgora funktioners vaxande respektiveavtagande. Vi kommer ocksa att se hur man kan ringa in en funktions (eventuella) storsta och minstavarde med hjalp av derivatan.
Definition 3.1 En funktion f har ett lokalt maximum eller minimum i en punkt a om f(x) ≤ f(a),respektive f(x) ≥ f(a), for alla x i snittet mellan en omgivning till a och definitionsmangden till f(x).
Den nagot krystade formuleringen i slutet av definitionen motiveras av att vi vill att en funktion f(x),med graf som i figur 22 ska ha ett lokalt maximum i a.
ea b c
d
Figur 22: Funktionen har loklat maximum i a, c och e. Den har lokalt min-imum i b och d.
Sats 3.5 Antag att f har ett lokalt maximum eller minimum i a och ar deriverbar i en omgivning tilldenna punkt. Da ar f ′(a) = 0.
Bevis. Antag att f har ett lokalt maximum i a. Differenskvoten ar Q = (f(x)− f(a))/(x−a). Nar x > aar detta uttryck ≤ 0, och nar x < a ar det ≥ 0. Av detta foljer att gransvardet f ′(a) av Q maste varanoll, nar x → a.
Beviset nar f har ett loklat minimum i a ar liknande. ¥Tillsammans ger satserna 3.4 och 3.5 en (viss) mojlighet att bestamma vardemangden till en kontinuerligfunktion pa ett slutet begransat intervall. Vi illustrerar detta med ett exempel.
16
Exempel 3.1 Bestam vardemangden till f(x) = x3 − 3x + 2 pa intervallet [−1/2, 2].
Eftersom funktionen ar kontinuerlig vet vi att vardemangden ar [m,M ], dar m och M ar funktionensstorsta respektive minsta varde pa intervallet [−1/2, 2]. Ett sadant storsta eller minsta varde antas i−1/2, 2 eller i en punkt dar emellan dar f ′ = 0. Vi har f(−1/2) = 19/8, f(2) = 4 och ekvationen0 = f = 3x2 − 3 ger x = ±1, dar bara x = 1 ar intressant. Eftersom 2 = f(1) har vi m = 2 och M = 4.Vardemangden ar alltsa [2, 4].
Observera att f ′(a) = 0 inte i allmanhet betyder att f har ett lokalt maximum eller minimum i a. T.ex.har f(x) = x3, derivatan f ′(0) = 0, men f har varken lokalt maximum eller minimum i 0. Talet 0 ar detman brukar kalla en terrasspunkt till funktionen.
Foljande sats, som knyter ihop kontinuitet och deriverbarhet, brukar kallas Rolles sats
Sats 3.6 Antag att f ar kontinuerlig pa [a, b] och deriverbar pa (a, b). Om da f(a) = f(b), sa finns detett tal c, sa att a < c < b, och f ′(c) = 0.
ca
ba
b
Figur 23: I forsta fallet uppfylls forutsattningarnai satsen och det finns ett tal mellan a och b, saatt f(c) = 0. I andra fallet ar f(a) = f(b), mendet finns inget tal c mellan a och b, dar f ′(c) = 0.
Bevis. Om f ar konstant sa ar f ′(c) = 0, for varje val av c mellan a och b. Annars antar f antingen ettstorsta eller ett minsta varde (f ar kontinuerlig pa [a, b]) i nagon punkt c mellan a och b. Eftersom f arderiverbar i c ar f ′(c) = 0. ¥Den formodligen allra viktigaste satsen om deriverbara funktioner ar
Sats 3.7 (Medelvardessatsen) Antag att f ar kontinuerlig pa [a, b] och deriverbar pa (a, b). Da finnsett tal c mellan a och b, sa att
f(b)− f(a)b− a
= f ′(c).
a
b
Figur 24: Den streckade linjen i mitten har lutningen (f(b)− f(a))/(b− a).I exemplet finns tva tal mellan a och b dar tangenten till grafen har sammalutning som denna linje.
Bevis. Satt h(x) = f(x) − (f(b) − f(a))(x − a)/(b − a) − f(a). Da ar h kontinuerlig pa [a, b] ochderiverbar pa (a, b). Dessutom ar h(a) = 0 = h(b), sa Rolles sats ger ett c mellan a och b, sa att0 = h′(c) = f ′(c)− (f(b)− f(a))/(b− a). ¥En rad andra kanda pastaenden om deriverbara funktioner ar konsekvenser av medelvardessatsen.
Sats 3.8 Antag att f ar kontinuerlig pa [a, b] och deriverbar pa (a, b).
1. Om f ′(x) > 0, pa (a, b), sa ar f strangt vaxande pa [a, b],
2. om f ′(x) ≥ 0, pa (a, b), sa ar sa ar f vaxande pa [a, b].
Bevis. Antag att x0 < x1 ar tva tal i [a, b]. Medelvardessatsen ger ett c mellan x0 och x1, sa attf(x1)− f(x0) = f ′(c)(x1 − x0). I fall 1) ger detta f(x1) > f(x0), och i fall 2) f(x1) ≥ f(x0). ¥Det ar klart att om f ar konstant sa ar f ′(x) = 0, for alla x. Men omvandningen galler ocksa:
Sats 3.9 Om f ar kontinuerlig pa [a, b] och deriverbar pa (a, b), och f ′(x) = 0 for alla x mellan a och b,sa ar f konstant pa [a, b].
Bevis. Tag tva tal x0 och x1 i [a, b]. Medelvardessatsen ger ett c mellan dessa bada tal, sa att f(x1) −f(x0) = f ′(c)(x1 − x0) = 0. Detta betyder att f ar konstant pa [a, b]. ¥
17
4 l’Hospitals regel
Ofta, t.ex. i derivatans definition, dyker det upp sa kallade gransvarden av typen “0/0”. l’Hospitals regelger hjalp vid berakning av sadana gransvarden.
Antag till exempel att vi vill berakna gransvardet av f(x)/g(x), nar x → a och att f(x) och g(x) badaar deriverabara i x = a har f(a) = g(a) = 0. Kvoten kan da skrivas
f(x)g(x)
=f(x)−f(a)
x−a
g(x)−g(a)x−a
som gar mot f ′(a)/g′(a), om g′(a) 6= 0, nar x → a. Vad hander om g′(a) = f ′(a) = 0 i detta uttryck?For att svara pa fragan behover vi en generalisering av medelvardessvardessatsen.
Sats 4.1 Antag att f och g ar kontinuerliga pa [a, b] och deriverbara i ]a, b[. Om g(b) 6= g(a), sa finnsett tal c mellan a och b, sa att
f(b)− f(a)g(b)− g(a)
=f ′(c)g′(c)
.
Vi far den tidigare medelvardessatsen om vi ovan satter g(x) = x.
Bevis Satt h(x) = f(x)− (f(b)− f(a))(g(x)− g(a))/(g(b)− g(a))− f(a). Vi har da att h(a) = 0 = h(b)och forutsattningarna i Rolles sats ar uppfyllda. Detta ger ett c mellan a och b, sa att 0 = h′(c) =f ′(c)− (f(b)− f(a))g′(c)/(g(b)− g(a)). ¥
Sats 4.2 (l’Hospitals regel) Antag att f och g ar deriverbara i en omgivning till a, att f(a) = 0 = g(a),men att g(x) 6= 0 i en omgivning till a, nar x 6= a. Om da f ′(x)/g′(x) → A, nar x → a. sa galler avenatt f(x)/g(x) → A, nar x → a. ¥
Bevis Enligt utvidgningen av medelvardessatsen finns det ett tal c mellan x och a, sa att f(x)/g(x) =f ′(c)/g′(c). Vi ser att c → a, nar x → a, vilket ger resultatet. ¥Konklusionen i satsen kan ocksa skrivas
limx→a
f(x)g(x)
= limx→a
f ′(x)g′(x)
,
om f(a) = g(a) = 0, och gransvardet i hoger led existerar.
Forutsattningen att gransvardet ar av typen “0/0” ar vasentlig! T.ex. har kvoten (x− 1)/x gransvardet0, nar x → 1, medan D(x− 1)/D(x) = 1/1, har gransvardet 1.
Exempel 4.1 Berakna gransvardet av (cos(2x)− 1)/x2 nar x → 0.
Vi ser att det ar fraga om ett gransvarde av typen “0/0”. Uttrycket har darfor samma gransvarde somkvoten D(cos(2x) − 1)/D(x2) = −2 sin(2x)/(2x). Aven har ar det fraga om ett gransvarde av typen“0/0”. Kvoten har darfor samma gransvarde som D(− sin(2x))/D(x) = − cos(2x)/1, som gar mot −1,nar x → 0.
Exempel 4.2 Undersok om man kan bestamma konstanten a, sa att funktionen
f(x) ={
(e2x − cos(x))/x nar x 6= 0a nar x = 0
blir deriverbar. Ar derivatan kontinuerlig?
Det ar inget problem att derivera med hjalp av formler bortanfor x = 0. For att undersoka derivatan ix = 0, ska vi undersoka differenskvoten (f(x)− f(0))/(x− 0) = (e2x− cos(x)− ax)/x2, nar x → 0. Vi seratt det ar fraga om ett gransvarde av typen “0/0,” oavsett vad a ar. Kvoten har darfor samma gransvardesom (2e2x + sin(x)− a)/(2x). Har ser vi att namnaren gar mot 0, nar x → 0, sa aven taljaren maste goradet for att gransvardet ska existera. Detta ger a = 2. Kvoten ger da ett gransvarde av typen “0/0,” ochhar darfor samma gransvarde som (4e2x +cos(x))/2, dvs 5/2, nar x → 0. Vi har alltsa att f ar deriverbaraven i x = 0, om vi satter a = 2, och derivatan dar ar da f ′(0) = 5/2.
18
Vi har foljande formel for derivatan:
f ′(x) ={
((2x− 1)e2x + x sin x + cos x)/x2 nar x 6= 05/2 nar x = 0
Av formeln ser vi att f ′(x) ar kontinuerlig utom mojligen i x = 0. For att undersoka kontinuitet dar skavi undersoka gransvardet av kvoten ((2x− 1)e2x + x sin x + cos x)/x2, nar x → 0. For kontinuitet i x = 0kravs att detta existerar och ar f ′(0) = 5/2. Vi ser att det ar fraga om ett gransvarde av typen “0/0” ochkvoten har darfor samma gransvarde som ((2+4x−2)e2x +sin x+x cosx−sin x)/(2x) = (4e2x +cos x)/2.Denna sista kvot har gransvardet (4+1)/2 = 5/2 = f ′(0), nar x → 0. Detta visar att f ′(x) ar kontinuerlig.
5 Vektorer och analytisk geometri
Kursboken innehaller vasentligen allt om vektorer som ingar i kursen. Har ska bara inforas en speciellbeteckning och ges nagra tillampningar inom avstandsberakningar.
5.1 Svenssons symbol
I kurslitteraturen anges en formel for berakning av kryssprodukt av tva vektorer i rummet. Den byggerpa sa kallade 3× 3-determinanter. Det blir ganska jobbigt att skriva upp den vid konkreta berakningar,men de stammer utmarkt med t.ex. fysikers beteckningssatt for koordinater; de skriver a~i + b~j + c~k for(a, b, c).
For att forekla kan man infora beteckningen{
v1 v2 v3
w1 w2 w3
}=
( ∣∣∣∣v2 v3
w2 w3
∣∣∣∣ ,−∣∣∣∣
v1 v3
w1 w3
∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣v1 v2
w1 w2
∣∣∣∣).
Kryssprodukten av vektorerna (v1, v2, v3) och (w1, w2, w3) ges da av
(v1, v2, v3)× (w1, w2, w3) ={
v1 v2 v3
w1 w2 w3
}.
Exempel 5.1 Bestam kryssprodukten av vektorerna (2,−1, 1) och (2, 2,−3).
Man far
(2,−1, 1)× (2, 2,−3) ={
2 −1 12 2 −3
}= ((−1)(−3)− 1 · 2,−(2(−3)− 1 · 2), 2 · 2− (−1)2) =
= (1, 8, 6).
5.2 Avstandsberakningar
5.2.1 Avstand mellan punkt och plan
Antag att Q ar en punkt och att vi har ett plan som gar genom P med normal ~n. Vi ar intresserade avatt bestamma (det kortaste) avstandet fran Q till planet.
P
n��
��
�� � � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �
� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �
P
Q
d
d
Q
n
Figur 25: Avstandet mellan Q och planet ar langden av den ortogonala projektionen av ~PQ panormalen ~n, dar P ar en punkt, vilken som helst, i planet.
19
Detta ges av langden av den ortogonala projektionen av ~PQ pa ~n och ar alltsa
∣∣∣∣∣∣
~PQ · ~n|||~n||2 ~n
∣∣∣∣∣∣ =
| ~PQ · ~n|||~n|| .
Exempel 5.2 Bestam avstandet mellan punkten (1, 2, 3) och planet x− 2y − 2z + 4 = 0
Planet har normal ~n = (1,−2,−2) av langd |~n| =√
9 = 3. Vi behover valja en punkt (P ) i planet. Detspelar inge roll hur vi gor det, men det ar fornuftigt att valja en med enkla koordinater (som uppfyllerplanets ekvation). Vi valjer (0, 2, 0). Vektorn mellan denna punkt och den givna har darmed koordinaterna(1− 0, 2− 2, 3− 0) = (1, 0, 3). Avstandet mellan den givna punkten och ar alltsa
|(1, 0, 3) · (1,−2,−2)|3
=| − 5|
3=
53.
5.2.2 Avstand mellan punkt och linje
Antag att en linje i rummet har riktningsvektorn ~v och gar genom Q. Vi ar intresserade av att bestamma(kortaste) avstandet mellan en punkt P och denna linje. Lat d vara detta avstand.
Q
PQ
PQ
v
v
P
Figur 25: Avstandet mellan Q och linjen ar d. Arean av parallellogram-men i figuren ar dels d||~v||, dels ~PQ×~v||, dar P ar en punkt, vilken somhelst, pa linjen.
Parallellogrammen som spanns av vektorerna ~v och ~PQ har da arean d||~v||, men ocksa || ~PQ× ~v||. Dettager
d =|| ~PQ× ~v||||~v|| .
Exempel 5.3 Bestam avstandet mellan punkten (1, 2, 3) och linjen som gar genom de bada punkterna(1, 1, 0) och (2,−1, 2).
Linjens bada punkter ger oss riktningsvektorn ~v = (1,−2, 2) av langd 3. Nu valjer vi en punkt , vilkensom helst, pa linjen. Lat oss ta (1, 1, 0). Vektorn mellan denna och punkten (1, 2, 3) har koordinaterna(0, 1, 3).
Kryssprodukten av denna med riktningsvektorn ar
(0, 1, 3)× (1,−2, 2) ={
0 1 31 −2 2
}= (2 + 6,−0 + 3, 0− 1) = (8, 3,−1)
och har langd√
64 + 9 + 1 =√
74. Avstandet mellan den givna punkten och linjen ar alltsa√
74/3.
5.2.3 Avstand mellan tva linjer
Antag att vi har tva linjer i rummet med riktningsvektorer ~u och ~v och att de gar genom punkterna Prespektive Q.
Q uu
vv
d
u vx
P
Q
P
Figur 25: Avstandet mellan de tva linjerna ar samma som avstandet mellan Q och planet genomP med normal ~u× ~v.
20
Det kortaste avstandet d mellan de bada linjerna ges da (t.ex.) av avstandet mellan punkten Q och planetgenom P med normal ~u×~v. Vi kan alltsa formulera om problemet till att vara avstandet mellan en punktoch ett plan. Vi har da
d =| ~PQ · (~u× ~v)||~u× ~v|| .
Exempel 5.4 Bestam avstandet mellan linjen med parameterframstallningen (x, y, z) = (1, 2, 0)+t(1, 2,−2)och linjen genom de tva punkterna (3,−2, 1) samt (1, 0, 2).
Den forsta linjen har riktningsvektorn (1, 2,−2) och gar genom punkten (1, 2, 0). Den andra har rikt-ningsvektorn (1−3, 0+2, 2−1) = (−2, 2, 1) och gar genom (t.ex.) (1, 0, 2). Vektorn mellan dessa punkterpa linjerna har koordinaterna (1− 1, 0− 2, 2− 0) = (0,−2, 2).
Eftersom(1, 2,−2)× (−2, 2, 1) = (6, 3, 6) = 3(2, 1, 2)
ar avstandet alltsa|(0,−2, 2) · (6, 3, 6)|
||3(2, 1, 2)|| =6
3√
9=
23.
6 Uppgifter
1. Berakna gransvardet avx + 2
x2 + 3x + 2, .
nar x → −2.
2. Bestam konstanten a, sa att gransvardet av
a)1
1− t+
a
t2 − 1b)
a
t− 2+
2t2 − 4
existrar nar t → 1 respektive t → 2. Bestam sedan gransvardet.
3. Bestam ett polynom p(x) av sa lag grad som mojligt, sa att funktionen
f(x) =
x− 2x2 + 1
nar x ≤ −1
p(x) nar −1 < x ≤ 1x
x2 − 2nar 1 < x
har gransvarde nar x → ±1. Finns det nagra punkter dar den funktion man da far saknar gransvarde?
4. Bestam gransvardet av t sin(1/t), nar t → −∞.
5. Bestam konstanten a sa att4x2 + 3x + 2
x− 2+ ax
har ett gransvarde nar x →∞.
6. For vilka varden pa konstanten a har utrycket
f(x) =x2 + 12x + 1
+ ax + sin x
ett oegentligt gransvade nar x →∞? For vilka varden har det ett (egentligt) gransvarde? Bestamgransvardet i de olika fallen.
7. Bestam konstanterna a och b, sa att funktionen
f(x) =
{ a− 2x
x2 + x− 2nar x 6= 1
b nar x = 1
blir kontinuerlig i x = 1. Ar funktionen da kontinuerlig?
21
8. Bestam konstanten a sa att funktionen
f(x) =
ax
x2 + 1nar x ≤ 1
x + 1ax + 2
nar x > 1
blir kontinuerlig i x = 1. Vad ar da f(1)?
9. Bestam om mojligt konstanten a sa att funktionen
f(x) ={
x2 + ax− 1 nar x ≤ 1ax2 + 3 nar x > 1
blir deriverbar.
10. Bestam konstanterna a och b, sa att funktionen
f(x) =
{ a− 3x
x2 + x− 2nar x 6= 1
b nar x = 1
blir deriverbar i x = 1. Vad ar i sa fall f(1) och f ′(1)?
11. Ange om mojligt en kontinuerlig funktion definierad pa [0, 1] vars vardemangd ar
a) [2, 5] b) (−1, 1] c) [2,∞) d) [−2, 3].
Om det inte gar ange en orsak.
12. Bestam ett rationellt narmevarde till√
13 som avviker hogst 10−2 fran talet genom intervallhalveringav [3, 4].
13. Lat
f(x) ={
(ex − 1− x)/(xex − x) nar x 6= 0α nar x = 0.
Bestam α sa att f blir kontinuerlig i alla reella tal. Visa ocksa att f blir deriverbar i x = 0, fordetta val av α och bestam f ′(0).
14. Visa att funktionen
f(x) ={
sin(x)/x nar x 6= 01 nar x = 0,
ar deriverbar i alla reella tal och bestam f ′(x). Visa ocksa att f ′(x) ar kontinuerlig.
15. Bestam konstanterana a, b och c, sa att funktionen
f(x) ={
a + bx + cx2 nar x ≤ 1arctan(x) nar x > 1
blir tva ganger deriverbar.
16. Bestam konstanten a sa att funktionen
f(x) ={ −2 + ln(x + 1)/x nar x 6= 0
a nar x = 0,
som ar definierad for x > −1, blir deriverbar over allt. Ar derivatan kontinuerlig?
17. Bestam avstandet fran punkten (1, 1, 1) till planet x + 2y + 3z = 4.
18. Vilken punkt i planet x + 2y + 3z = 4 ligger narmast punkten (−1, 2,−1)?
19. Vilken punkt i planet x + 2y + 3z = 4 ligger narmast punkten (0, 3, 4)?
20. Bestam avstandet mellan punkten (1, 2, 3) och linjen genom de tva punkterna (1, 1, 1) och (2, 2, 3).
21. En linje i rummet gar genom (−1, 1, 2) och (4,−2, 3). Bestam (det kortaste) avstandet fran punkten(1, 2, 2) till linjen.
22
22. Gar det att bestamma talet p sa att punkten (1, 2, p) har avstandet 2 till linjen genom punkterna(0, 1, 3) och (2, 3,−1)? Bestam i sa fall dessa varden pa p.
23. Vilken punkt pa skarningslinjen mellan de tva planen x − 2y + z = 3 och 2x + 3y + z = 4 liggernarmast punkten (2, 5, 2)?
24. I en tetraeder (se figuren) ar tre av sidorna (parvis) vinkelrata mot varandra.
Lat A, B och C vara arean av dessa sidor och lat D vara arean av den aterstaende (sneda) sidan.Visa att
D2 = A2 + B2 + C2.
25. For vilka varden pa a ligger de tre vektorerna (1, a, a), (−2a, 1, a) och (1, 2, a) i ett och sammaplan?
26. Gar det att bestamma p sa att triangelytan med horn i (1, 2, 1), (2, 3, 2) och (1, 4, p) har area√
2?Ange dessa varden pa p i sa fall.
23
7 Forslag till svar till uppgifterna
1. −1. 2a). a = 2. Gransvardet ar −1/2. 2b). a = −1/2. Gransvardet ar −1/8.3. p(x) = x/4− 5/4. Den saknar gransvarde i
√2.
4. 1. 5. a = −4. Gransvardet ar 11.6. Oegentligt gransvarde nar a 6= −1/2. Gransvardet ar ∞ nar a > −1/2 och −∞ nar a < −1/2. Ingetvarde pa a ger ett egentligt gransvarde.7. a = 2 och b = −2/3. Ja, funktionen ar kontinuerlig.8. a = 1±√5. f(1) = (1 +
√5)/2, nar a = 1 +
√5 och f(1) = (1−√5)/2, nar a = 1−√5.
9. Det gar inte. (Det gar inte ens att bestamma a sa att f(x) ar kontinuerlig i x = 1.)10. a = 2, f(1) = b = −1 och f ′(1) = 1/3.11a). Ja, t.ex. f(x) = 3x + 2. 11b). Nej, (−1, 1] ej slutet.11c). Nej, [2,∞) ej begransat. 11d) Ja, t.ex. f(x) = 5x− 2.12. T.ex. 57/16. 13. a = 1/2, f ′(0) = −1/12.14.
f ′(x) =
{x cos x− sin x
x2nar x 6= 0
0 nar x = 0.
15. a = π/4− 3/4, b = 1, c = −1/4. 16. a = −1, f ′(0) = −1/2. Derivatan ar kontinuerlig.17.
√14/7. 18. (−5/7, 18/7,−1/7). 19. (−1, 1, 1) 20.
√5/6. 21.
√42/13.
22. p = −1± 2√
3. 23. (1, 5, 0). 25. a = 0, a = 2. 26. p = 4±√10.
24
