Komplexnípohonovésoustavy

Editoři:prof. Ing. Ctirad Kratochvil, DrSc

Ing. Lubomír Houfek, Ph.D.

Autoři: Ing. Pavel Heriban, VUT v Brně, FSI

Ing. Lubomír Houfek, PhD, ÚT AVČR v Praze, pobočka Brno

prof. Ing. Ctirad Kratochvíl, DrSc., ÚT AVČR v Praze, pobočka Brno

Ing. Martin Houfek, ÚT AVČR v Praze, pobočka Brno

doc. Ing. Jaroslav Kalous, CSc. Univerzita obrany v Brně, Fakulta vojenských technologií

Recenzenti: Ing. Milan Hortel, DrSc., ÚT AVČR v Praze

doc. Ing. Jozef Mudrik, CSc., STU – MtF v Trnavě

Poděkování: Tato práce byla vypracována s finanční podporou výzkumného záměru ÚT AVČR v Praze č.

AVO Z20760514 a projektu GAČR č. 101/06/0063

Vydavatel:

ÚT AVČR v Praze, pobočka Brno

Tisk: Tiskárna MLOK, s.r.o.

ISBN: 978-80-214-3508-7

Vydání první

Ústav termomechaniky AVČR v Praze

Centrum mechatroniky v Brně

KOMPLEXNÍ POHONOVÉ

SOUSTAVY

Editoři: Ctirad Kratochvíl

Lubomír Houfek

Brno 2007

OBSAH

Kap. str.

Předmluva 1

Část I. – Modelování komplexních pohonových soustav

1 Úvod: Historické kořeny analýzy pohonových soustav a

současný stav problematiky 5

2 Matematické metody, prostředky a programové soubory,

použitelné pro analýzu modelů pohonových soustav 8

3 Základy modelování technických soustav 17

4 Komplexní pohonové soustavy 19

5 Řízení pohonových soustav 49

6 Bifurkace a chaos v pohonových soustavách 69

Část II. – Modelování elektromechanických pohonových soustav

7 Dynamika dvoumotorových elektromechanických pohonů

s motory za sebou 89

8 Dynamika dvoumotorových elektromechanických pohonů

s motory vedle sebe 113

Literatura 136

Autoři jednotlivých kapitol:

Kapitola 1: Pavel Heriban

Kapitola 2: Pavel Heriban

Kapitola 3: Ctirad Kratochvíl

Kapitola 4: Pavel Heriban

Kapitola 5: Pavel Heriban

Ctirad Kratochvíl

Kapitola 6: Lubomír Houfek

Martin Houfek

Pavel Heriban

Ctirad Kratochvíl

Kapitola 7: Jaroslav Kalous

Kapitola 8: Jaroslav Kalous

Předmluva

Nárůst poznání během minulého století a především na jeho konci výrazně ovlivnil vývoj všech vědních oblastí, strojírenství nevyjímaje. V důsledku velkého rozvoje výpočetní tech-niky došlo k nebývalému rozvoji všech inženýrských disciplin, od aplikací nových výpočet-ních prostředků, přes výzkum a užití nových typů materiálů (často s inteligentními projevy v chování) až po aplikace nových výrobních technologií.

Tato skutečnost samozřejmě ovlivnila i výzkum, vývoj a výrobu nových pohonových sou-stav, které dnes představují složité interaktivní dynamické soustavy s prvky či subsoustavami různé fyzikální podstaty a především s řízením, často inteligentním. Tyto skutečnosti ovšem výrazně posílily požadavky na provádění simulačních experimentů, které se dnes staly základ-ním prostředkem pro výzkum, vývoj, výrobu a provoz nových pohonových soustav. A právě do této oblasti, tj. do problematiky analýzy dynamických vlastností, vytváření počítačových modelů a simulačního experimentování, se řadí i tato práce.

Část I.

Modelování komplexních pohonových soustav

1 Úvod: Historické kořeny analýzy pohonových soustav a současný stav problematiky

Problematika analýzy pohonových soustav a modelování jejich dynamických vlastností je od svého počátku bezprostředně vázána na jejich základní (a nejznámější) projevy – na ana-lýzu a potlačování kmitů rotujících soustav. S touto problematikou se setkáváme již při analýze chování rotujících hřídelů (W. J. Macquorn Rankie) a při stanovení jejich kritických otáček. Výzkum intenzivně pokračoval a záhy byly získány poznatky o samovyvážení (De Laval) a experimentálně byly zjištěny tzv. druhé kritické otáčky (W. Kerr). Existence stabilních nadkritických oblastí byla potvrzena pracemi Henriho H. Jeffcoba, dodnes se model rotoru, složený z tuhého kotouče na nehmotném poddajném hřídeli, označuje jako Jeffcobův rotor. Stabilizace chodu rotorových soustav se stávala rozhodujícím aspektem, k jehož řešení přispěli další významní badatelé, Newkirk, Taylor a především pak Aurel B. Stodola, M. Prohl a N. O. Myklestad, kteří vytvořili obecnější metodiky, dnes známé jako metoda přenosových matic.

Po druhé světové válce došlo k výraznému posunu znalostí, a to především v oblasti le-teckých motorů a později také v oblasti vozidlových motorů. A právě od této doby můžeme mluvit nejen o rotorech a jejich soustavách, ale o pohonových soustavách, které již začaly představovat neobyčejně složité soustavy s prvky a subsoustavami různé fyzikální podstaty. Požadavky na jejich řízení pak vedly (a vedou) na jejich modelování způsobem on-line, praktické důvody již vylučují separátní modelování jejich dílčích projevů. A tak se začaly objevovat vážné problémy; již základní dynamické úlohy, např. určení vlastních hodnot, které se u fyzikálně odlišných subsoustav liší i o několik řádů, deklasovaly „klasické“ integrační metody. Aby bylo možné provádět analýzy těchto soustav, musely vzniknout stiff-metody. Samotné řízení, především výběr stále většího počtu řízených veličin, vedlo ke vzniku inte-ligentních řízených pohonů, pohonů mechatronických.

Současné poznatky ze studia analýz a modelování dynamických vlastností pohonových soustav je možné rozdělit do tří skupin podle jejich charakteristických vlastností:

• Pohonové soustavy „klasického“ typu, neřízené i řízené, pracující v podmínkách ro-vnovážných stavů, přechodových stavů i stavů poruchových. Typickým znakem je relativní homogenita struktury a stav hnacího motoru je vyjádřen redukovanou hmo-tou a statickou, resp. dynamickou charakteristikou.

• Pohonové soustavy interaktivní, řízené i neřízené, pracující převážně v podmínkách přechodových a nerovnovážných stavů a s působením mechanických, elektrických i jiných poruch. Obsahují obecně subsoustavy různé fyzikální podstaty (popsané růz-

nými typy pohybových rovnic), přičemž vlastnosti těchto subsoustav mohou výrazně ovlivňovat vlastnosti globální soustavy.

• Pohonové soustavy mechatronického typu, které obsahují řídicí subsoustavy vyka-zující určitý stupeň inteligentního chování. S ohlédnutím na předchozí skupiny tyto soustavy zahrnují především pohony přenášející středně velké a malé výkony a vý-hledově jde o mikropohony, případně i nanopohony.

Do prvé skupiny řadíme „klasické pohonové soustavy“ mechanické nebo elektrome-chanické s relativně homogenní strukturou. Například tehdy, kdy je rotor motoru nahrazen re-dukovaným momentem setrvačnosti a vlastnosti motoru jsou dány statickou charakteristikou. Nebo naopak, když jsou vlastnosti motoru popsány soustavou rovnic (např. stejnosměrný motor s cizím buzením a tyristorovým řízením) a mechanická část je modelována jako redu-kovaný moment setrvačnosti. Výpočty, i když ne zcela respektují požadavek úrovňové vy-váženosti jednotlivých subsoustav (mechanické, elektrické, ...), velmi často dobře vystihují základní vlastnosti, ale detailní analýzy již provádět nelze [1]–[5].

Do druhé skupiny můžeme zařadit pohonové soustavy, při jejichž modelování je nutné plně respektovat požadavek úrovňové vyváženosti modelů dílčích subsoustav. Mechanická, elektrická, elektronická, hydraulická či jiná subsoustava je popsána soustavami pohybových (či řídicích) rovnic, doplněných algebraickými relacemi, které popisují vlastnosti a chování pohonů na požadované úrovni rozlišitelnosti. Zde je jednoznačné doporučení – přenést dílčí soustavy rovnic do stavového prostoru a vzniklou globální soustavu řešit pomocí stiff-metod, viz například [6]–[9]. Obecně v těchto případech mluvíme o „komplexních pohonových sou-stavách“.

Třetí skupinu pohonových soustav reprezentují soustavy mechatronické [10]–[12], resp. „mikromechatronické“.

Se zvyšujícími se nároky na přesné autonomní řízení a s rozvojem výpočetní techniky se stále více dostávají do popředí inteligentní či adaptivní řídicí systémy, které jsou schopny rea-govat na změny parametrů procesu, způsobené například změnami v provozních režimech, se kterými si pevně seřízené regulátory nemohou vyrovnat, nebo jsou schopné se vyrovnat, na rozdíl od klasických přístupů k řízení, se složitostí systémů, nelinearitami, variacemi para-metrů a neurčitostí. Inteligentní řízení – řízení založené na metodách strojového učení – je tedy robustní vůči změnám parametrů a vnějším i vnitřním poruchám. V posledních letech se proto setkáváme v řízení a regulaci s principy, které jsou založeny na poměrně nové vědní disciplíně, která je označována jako Soft Computing (SC). Zabývá se širokým spektrem různých výpočetních postupů, jejich společným jmenovatelem je odklon od klasického mo-delování založeném na analytických modelech, booleovské logice, ostré klasifikaci a deter-ministickém prohledávání.

Inteligentní řízení využívá metod založených na metodách umělé inteligence. Mezi ně se řadí například řízení pomocí umělých neuronových sítí, fuzzy řízení, neuro-fuzzy řízení, bayesovské řízení, řízení s využitím expertních systémů, genetických algoritmů, inteligent-ních agentů a další.

Charakteristickým znakem fuzzy řízení je možnost bezprostředního použití empirických znalostí člověka – operátora o řízeném procesu, které označujeme jako bázi znalostí. Bázi znalostí tvoří jednak informace o stacionárních stavech, intervalech, ve kterých se pohybují hodnoty vstupních a výstupních veličin, jejich mezní hodnoty, atd. Rozšíříme-li tato data o funkce příslušnosti všech vstupních a výstupních veličin, pak všechny tyto informace o pro-cesu se v bázi znalostí označují jako báze dat. Bázi znalostí mohou tvořit také kvantitativně formulované zkušenosti včetně slovně definované strategie řízení, pomocí kterých je možno realizovat řízení, tj. generovat akční veličinu. Takto zkušeností získané strategie řízení ozna-čujeme jako bázi pravidel.

Nedílnou součástí řízení je identifikace systémů, pro kterou mohou být metody umělé inteligence úspěšně použity i v případech, kdy klasické metody selhávají. Můžeme tedy říci, že v adaptivním řízení je úloha identifikace stejně důležitá jako role syntézy regulátoru.

Například dopředné vrstvené neuronové sítě pracují obecně jako univerzální aproximátory, jednoduše využitelné pro identifikaci i v případě, že není znám popis soustavy. Pomocí gene-tického algoritmu či jeho rozšíření – genetického programování – je možné identifikovat pa-rametry modelu i soustavy silně nelineární. Řízení pomocí metod opakovaně posilovaného učení, například metodou Q-učení, dokonce nevyžaduje model soustavy.

Součástí skupin adaptivních regulátorů jsou i samočinně se nastavující regulátory, které jsou založeny na průběžné identifikaci odhadů proměnlivých parametrů modelu procesu a ná-sledné syntéze regulátoru. Je proto třeba použít dostatečně přesné a spolehlivé rekurzivní identifikační metody, které jsou schopny tyto parametry identifikovat v poměrně krátkém čase.

Pokud jde o pohony extrémně malé, mluvíme o „mikropohonech“, případně i o „nanopo-honech“. Zatímco u konvenčních mechatronických a mikromechatronických pohonů jsou základními teoriemi stále ještě klasická mechanika a elektromagnetismus, u nanomechatro-nických pohonových soustav představují základní teorie již kvantová mechanika a nanome-chatronika [13], [14].

2 Matematické metody, prostředky a programové soubory, použitelné pro analýzu modelů pohonových soustav

V technických vědách a v inženýrské praxi je základním zdrojem poznatků o technických systémech a zařízeních experiment. V určitém (omezeném) množství případů je možné ta-kový experiment uskutečnit se skutečným technickým objektem, popř. s jeho fyzickým mo-delem. U elektromechanických pohonových soustav (dále jen EMPS) se jen zřídka podaří experiment se skutečným pohonem, výstavba fyzického modelu je zpravidla velmi nákladná. Proto se k získáni poznatků o EMPS často používá analýza, založená na matematickém modelování, jejímž základním předpokladem je vytváření příslušných matematických mo-delů. Praktická použitelnost matematických modelů však byla až do nedávné doby omezena pouze na získání analytického řešení, a to zejména u relativně jednoduchých EMPS nebo jeho částí. Teprve mohutný rozvoj výpočetní techniky v posledních dvou desetiletích, včetně příslušného programového vybavení, však umožnil podstatně rozšířit meze řešitelnosti mate-matických modelů a postupně automatizovat řešení rovnic matematického modelu.

Technickou realizaci matematického modelu EMPS je tzv. počítačový model, umožňující sledovat a analyzovat chování EMPS za různých podmínek, odpovídajících jeho skutečnému nebo předpokládanému provozování. To znamená, že při užití počítačového modelu se úloha analytika redukuje na dvě základní činnosti, pomineme-li vlastní spuštění automatizovaného výpočtu:

1) vkládání příslušných vstupů do počítačového modelu a 2) zpracování získaných výsledků a jejich analýza.

Pro činnosti spojené s napodobením reálných dějů v EMPS počítačovým modelem se všeobecně používá označeni simulace. Pod tímto pojmem rozumíme všechny fáze procesu získávání poznatků o EMPS, jehož výsledkem je ekvivalence mezi počítačovým modelem a vyšetřovaným systémem jak z hlediska jeho vlastností, tak i z hlediska jeho podstatných projevů. Zde je však třeba zdůraznit, že tato ekvivalence je omezena přesností postačující pro daný účel, tedy výsledky simulací mají pouze omezenou vypovídací schopnost. Hlavními fázemi simulací jsou následující činnosti:

• vymezení dynamického systému na zkoumané EMPS, • sestavení matematického a následně počítačového modelu, • ověření shody projevů počítačového modelu s projevy zkoumané EMPS, • experimenty s počítačovým modelem, • analýza a aplikace výsledků simulačních experimentů na zkoumanou EMPS.

Je zřejmé, že rozsah činností při simulacích je podstatně širší, než pouhé sestavení matematického modelu a následné odladění modelu počítačového. Věnujme nyní pozornost

způsobům matematického modelováni a dostupným programovým prostředkům, jež lze využít k simulacím dynamických dějů v EMPS. Pohybové rovnice modelovaného EMPS mohou být odvozeny různými způsoby. Ve výzkumné a inženýrské praxi jsou nejrozšířenější následující dva postupy:

1) užití fyzikálních principů a zákonitostí k matematickému popisu dějů, které se ve zkoumané EMPS vyskytují. Pro mechanickou část EMPS lze využít především D'Alambertův princip a Newtonův druhý zákon dynamiky, pro elektrickou část pak Ohmův zákon, Kirchhoffovy zákony a Faradayův zákon elektromagnetické indukce,

2) užití Lagrangeových rovnic a Hamiltonova variačního principu pro obě části EMPS. Takto získané pohybové rovnice EMPS mají obvykle tvar maticových nebo obecně

nelineárních rovnic pro vektory (matice) fyzikálních proměnných nebo pro vektory (matice) tzv. zobecněných proměnných, přičemž jedním z velmi rozšířených způsobů popisu dyna-mických systémů je tzv. stavový popis, skládající se ze stavové rovnice a z rovnice odezvy systému. K řešení uvedených typů rovnic lze použít různé postupy. Do nedávné doby bylo obvyklé, že pomocí programovacích jazyků FORTRAN nebo PASCAL byl sestaven jedno-účelový počítačový model pro zkoumanou EMPS, jehož výpočtová část obsahovala některou z dostupných a prakticky ověřených procedur pro řešení soustav diferenciálních rovnic nebo algebro-diferenciálních rovnic (Newmark, Euler, Adams, Runge-Kutta apod.). Programátor v takovém případě pouze sestavil příslušné procedury pro zadávání vstupů a pro zvolené způsoby zpřístupnění výsledků výpočtů, včetně jejich vizualizace. Tento přístup k simulacím velmi různorodých konfigurací EMPS byl časově značně náročný a především vyžadoval zkušeného programátora. V současné době jsou k dispozici simulační programy, které lze zařadit do dvou základních skupin. Jsou to:

1) obecné výpočtové, resp. simulační programy a 2) specializované simulační programy.

Většina obecných simulačních programů je založena na rovnicích, čili jejich vstupy musí mít tvar soustavy diferenciálních nebo algebro-diferenciálních rovnic. Naproti tomu specia-lizované simulační programy nabízejí k okamžitému použití různé knihovny připravených modulů nebo šablon základních prvků pro příslušnou aplikaci nebo si uživatel může takové moduly či šablony sám vytvořit, odladit a poté je přidat do již existující knihovny prvků. Je samozřejmé, že tyto moduly mají zpravidla tvar soustavy rovnic, popisujících modelovaný prvek. Z velkého množství všech dostupných programů se jeví pro potřebu simulací EMPS jako nejvhodnější následující programy: MATLAB, Simulink, MathCAD a DYNAST a v za-hraničí používaný program Simplorer.

2.1 Matematický program MATLAB Matematický program MATLAB je obecný číslicový výpočtový program, určený pro vě-

decké a inženýrské výpočty. S jeho pomoci je možné řešit následující okruhy problémů: 1) matematické výpočty všeho druhu v numerické i symbolické podobě, 2) podpora měření, simulací, zpracování signálů, analýzy dat apod., 3) vizualizace dat pomocí dvojrozměrné a trojrozměrné grafiky, 4) programování zvláštních uživatelských procedur.

Svou podstatou je MATLAB vyšší programovací jazyk, jehož základní datovou formou je matice. Na rozdíl od typických vyšších programovacích jazyků nevyžaduje dimenzování dato-vých struktur, kompilování a zřetězování (linkování) programů. Veškeré výpočty jsou v něm realizovány pomocí aritmetiky komplexních čísel se zdvojenou přesností (double precision), čímž je zaručena vysoká přesnost výsledků řešení. Integrální součástí programu MATLAB jsou grafické procedury, zabezpečující jeho bohaté vykreslovací schopnosti. Protože z hle-diska uživatele představuje MATLAB programovací prostředí, může uživatel rozšiřovat jeho funkční schopnosti vytvářením vlastních procedur a pomocných nástrojů. Volitelnou součástí programu MATLAB je rozsáhlá kolekce nástrojových prostředků (tzv. toolboxy). Jsou to speciální aplikační programy pro různé oblasti užití, např.:

• řídící a regulační systémy, • identifikace systémů, • analýza signálů, • zpracování obrazů, • symbolická matematika a další.

Z hlediska simulací dynamických systémů a tedy i EMPS mají prvořadý význam metody integrace lineárních a nelineárních obyčejných diferenciálních a algebro-diferenciálních rov-nic, představujících matematický model dynamického systému. Typy těchto metod závisí na verzi programu, zde uvedeme metody, které jsou součástí programu MATLAB 5:

a) explicitní jednokroková metoda Runge-Kutty pátého řádu, b) explicitní jednokroková metoda Runge-Kutty třetího řádu, c) vícekroková Adamsova-Bashforthova-Moultonova metoda typu prediktor-korektor

proměnného řádu s proměnným počtem kroků, d) vícekroková Gearova metoda typu prediktor-korektor proměnného řádu s proměn-

ným počtem kroků, e) jednokroková Rosenbrockova metoda druhého řádu.

Zatímco první tři uvedené metody jsou určeny pro běžné dynamické systémy, jsou po-slední dvě metody vhodné především pro dynamické systémy se silným tlumením (tzv. „tuhé“ systémy), resp. pro dynamické systémy s velkým rozptylem časových konstant.

Aby bylo možné jednotlivé numerické řešiče diferenciálních rovnic založené na výše charakterizovaných matematických metodách použít, je třeba každou diferenciální rovnici matematického modelu dynamického systému přeformulovat do tzv. normálního tvaru (tj. soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu) a definovat počáteční hodnotu každé proměnné. Je tedy zřejmé, že pro využití programu MATLAB k simulacím je velmi výhodné, aby byl dynamický systém popsán pomocí stavového popisu, tj. stavovou rovnicí a odezvou. To ovšem může vést v některých případech k poměrně složitým operacím, při nichž nelze vyloučit možnost vzniku chyb. Navíc mnohé ze stavových proměnných nemají fyzikální smysl. Proto byla snaha celý proces vytváření počítačového modelu v prostředí programu MATLAB zjednodušit, popř. usnadnit jeho následnou kontrolu. Tomuto účelu slouží simulační program Simulink.

2.2 Simulační program Simulink Jedním z nejužívanějších prostředků, kterým lze znázornit strukturu dynamického systému,

je tzv. orientovaný graf, jímž rozumíme propojení množiny tzv. uzlů množinou orientovaných spojnic. Orientované grafy mohou přitom mít dvě podoby. Jsou to:

1) signálové schéma (Masonův graf, signálový diagram), jehož podstata spočívá v tom, že v uzlech grafu jsou soustředěny proměnné systému a orientované spojnice před-stavuji relace mezi proměnnými,

2) blokové schéma, v němž uzly, častěji nazývané bloky, představují relace mezi pro-měnnými systému, reprezentovanými orientovanými spojnicemi, kdy každá ze spoj-nic směřuje od bloku, pro nějž je příslušná proměnná výstupem, k bloku, ve kterém plní funkci vstupu.

Zatímco signálová schémata se výhodně používají ke znázornění struktury lineárních dyna-mických systémů (typické je jejich užití v teorii lineárních elektrických obvodů), jsou bloková schémata naprosto univerzální, tedy mohou být užity jak pro lineární tak pro nelineární dyna-mické systémy.

Na principu modelování pomocí blokových schémat je založen simulační program Simu-link, který je doplňkem programu MATLAB a který využívá jeho matematické, zobrazovací a analytické procedury. Svou podstatou je Simulink interaktivním systémem, určeným pro modelování, simulaci a analýzu spojitých, nespojitých a hybridních lineárních i nelineárních dynamických systémů. Pro účely modelování je vybaven grafickým uživatelským prostředím, které umožňuje sestavovat počítačové modely dynamických systémů ve tvaru blokových schémat pouhou manipulaci s příslušnými bloky pomocí počítačové myši. Z toho vyplývá, že v tomto prostředí je počítačový model sestavován obdobně jako při kreslení blokového schématu pomocí šablon a tužky. Tím se výrazně liší od programu MATLAB, protože po sestavení blokového schématu se automaticky generuje popis počítačového modelu ve formu-

lačním jazyce programu MATLAB. Knihovna grafických programovacích prostředků Simu-linku zahrnuje následující funkční bloky:

1) generátory, vhodné zejména pro generování vstupů dynamického systému s nejčas-těji se vyskytujícími časovými průběhy (konstanta, skok, harmonický průběh, impul-sní průběh, série náhodných čísel, spektrálně omezený bílý šum apod.),

2) lineární spojité členy, jakými jsou např. proporcionální člen, derivační člen; inte-grační člen apod., tyto bloky jsou formulovány pomocí přenosů v Laplaceově trans-formaci,

3) nelineární spojité členy, jako jsou nasycení, pásmo necitlivosti, Coulombovo a vis-kózní tření, vůle, časové zpoždění apod.,

4) lineární nespojité (impulsní) členy, formulované pomocí přenosů v Z-transformaci, 5) speciální funkční bloky, zabezpečující např. spektrální a korelační analýzu, regresní

analýzu, transformaci souřadných systémů apod., 6) datové bloky, umožňující např. průběžné zobrazování výsledků a řídících povelů, 7) propojovací členy, čili orientované spojnice mezi bloky.

K řešení soustav rovnic, počítačového modelu dynamického systému, jakož i k zobrazení výsledků řešení Simulink využívá všechny základní nástroje obsažené v kmenovém programu MATLAB.

Z metod řešení diferenciálních nebo algebro-diferenciálních rovnic je třeba vybrat tu me-todu, která řešenému problému nejlépe vyhovuje a dává nejspolehlivější výsledky. V této sou-vislosti je třeba upozornit na to, že v počítačovém modelu, sestaveném buď v prostředí pro-gramu MATLAB nebo v prostředí programu Simulink, by měly být odstraněny všechny tzv. algebraické smyčky, které mohou při aplikaci některé z metod řešení soustavy vést ke zhrou-cení celého výpočtu. K zobrazení výsledků řešení lze využit ty grafické nástroje kmenového programu MATLAB, které mají největší vypovídací schopností (plošné grafy v časové ob-lasti, fázová rovina, trojrozměrné zobrazení apod.). Z uvedeného vyplývá, že program Simu-link nemůže existovat samostatně, bez podpory programem MATLAB.

2.3 Simulační program DYNAST Počítačový model dynamického systému lze sestavit nejen na základě matematického

modelu, tj. převedením soustavy rovnic do formulačního jazyka použitého simulačního pro-gramem, ale také pomocí tzv. metody mnohopólového modelování, jejíž použití je značně rozšířeno zejména v oblasti elektrotechniky a elektroniky a nachází stále širší uplatnění i v ji-ných oblastech vědy a techniky. Její hlavní výhody lze spatřovat zejména v následujícím:

• vychází z podrobně propracovaných metod analýzy elektrických obvodů, • poskytuje možnost modelovat, simulovat a analyzovat dynamické systémy různé fy-

zikální podstaty (elektromechanické systémy, elektrohydraulické systémy apod.).

Podstatou metody mnohopólového modelování je chápání dynamického systému jako mo-delu reálného objektu, v němž probíhá výměna energie (tzv. energetická interakce) mezi jeho jednotlivými částmi v konečném počtu styčných míst, tzv. pólů. Aby bylo možné tyto ener-getické interakce modelovat a vyšetřovat, je třeba celý dynamický systém dekomponovat do vhodného počtu subsystémů až prvků v závislosti na hloubce jeho předpokládané analýzy. Poté se každý z těchto subsystémů či prvků pomyslně obklopí uzavřenou plochou, která pro-chází těmi místy, v nichž se daný subsystém či prvek stýká s ostatními subsystémy či prvky a v nichž probíhají energetické interakce. Každému pólu subsystému či prvku se pak přiřadí vždy dvě základní proměnné, a to:

1) příčná (spádová) proměnná, vztažená k referenčnímu pólu – v oblasti EMPS jsou typickými příčnými (spádovými) proměnnými translační či úhlová rychlost nebo elektrické napětí,

2) podélná (průtoková) proměnná, která příslušným pólem „protéká“ – takovými veliči-nami jsou pro případ EMPS síla či moment nebo elektrický proud.

V reálných dynamických systémech může v jediném místě styku, tedy v jediném pólu, pro-bíhat vícenásobná energetická interakce různé fyzikální povahy (např. hřídel může přenášet jak rotační, tak také translační pohyb). V takovém případě je samozřejmě třeba tyto různé energetické interakce v počítačovém modelu od sebe oddělit, čili příslušnému pólu přiřadit potřebný počet vzájemně různých příčných a podélných proměnných (v uvažovaném případě translační a úhlovou rychlost jako příčné proměnné a sílu a moment jako podélné proměnné). Z toho plyne, že rozměry vektorů příčných a podélných proměnných mohou být větší, než je počet míst styku v počítačovém modelu.

Metoda mnohopólového modelování se používá při tvorbě počítačového modelu v pro-středí simulačního programu DYNAST. Na rozdíl od simulačního programu Simulink má v sobě zabudovány pouze základní prvky, z nichž lze vytvořit počítačové modely libovolně složitých dynamických systémů. Jsou to následující prvky:

1) prvek typu R, resp. RI, představující nesetrvačný dynamický člen. Prvek může být použit například k modelování proporcionálního tlumení nebo elektrického odporu,

2) prvek typu L, představující setrvačný dynamický člen. Prvek lze použít například pro modelování tuhosti lineárních či torzních pružin nebo k modelování elektrické cívky,

3) prvek typu C, představuje další setrvačný dynamický člen. Tento typ prvku může být použit k modelování hmotných setrvačných členů nebo k modelování elektrického kondenzátoru,

4) prvek typu E, což je model ideálního zdroje příčné proměnné se zadanou závislostí na čase či jiné veličině. Může být použit k modelování neřízeného nebo řízeného zdroje rychlosti nebo elektrického napětí,

5) prvek typu J, což je model ideálního zdroje podélné proměnné se zadanou závislostí na čase či jiné veličině. Může být použit k modelování neřízeného nebo řízeného zdroje síly či momentu nebo elektrického proudu.

Z těchto prvků, jejichž schématické značky jsou v programu DYNAST k dispozici, se se-staví tzv. mnohopólové schéma. Protože v analyzovaných dynamických systémech se obvykle vyskytují často se opakující díly a subsystémy, může si uživatel vytvořit vlastní knihovnu makromodelů, které pak jednoduchým způsobem vkládá do mnohopólového schématu. Na základě sestaveného mnohopólového schématu je automaticky vygenerováno jádro počítačo-vého modelu. Protože DYNAST generuje všechny příkazy počítačového modelu současně, odpadají potíže s tzv. algebraickými smyčkami.

K řešení soustavy popisujících rovnic se v programu používá implicitní vícekroková integ-rační Gearova metoda, modifikovaná Rübnerem a Petersonem. Řád metody (v rozsahu od 1 do 6), délka integračního kroku a příslušné koeficienty aproximačního polynomu se během výpočtu automaticky optimalizují v závislosti na průběhu řešení tak, aby si výpočet vyžádal co nejkratší dobu při respektování přípustné zbytkové chyby integrace. Navíc jsou koeficienty aproximačního polynomu voleny vždy tak, aby řešení bylo numericky stabilní i pro případy dynamických systémů s velkým rozptylem velikostí časových konstant čili s velkým rozpty-lem tlumení v jednotlivých subsystémech. Výsledky numerických výpočtů ukládá program DYNAST do výstupních souborů ve formě tabulek, které lze po příslušné konverzi zpraco-vávat dalšími programy. Kromě toho je v něm zabudována možnost vytváření grafů zjiště-ných časových i jiných závislostí, k čemuž bohatě využívá schopností operačních systémů řady MS Windows.

2.4 Matematický program MathCAD Matematický program MathCAD je komplexní nástroj pro řešení různorodých matema-

tických úloh i ryze technických výpočtů, který umožňuje zcela profesionální řešení problémů. Velkou didaktickou a uživatelskou výhodou je způsob zápisu; veškeré výrazy, konstanty, pro-měnné, doprovodné texty či grafy jsou zapisovány a zobrazovány na volné ploše (a jejich jed-notlivých listech), jako by byly zapisovány na tabuli nebo do sešitu. Zásadním přínosem je tak nejen maximální přehlednost, ale také funkční návaznost. Vše, co je uvedeno a definováno „výše“ (na předchozích stranách či výše na témže listě), je okamžitě použitelné v dalších vzta-zích. Z dokumentu je tak postupně jeden velký funkční celek, v jehož vztazích se díky pře-hlednému zobrazení neztrácí orientace, a použití grafického rozhraní se tím stává účelným krokem. Zapsaná úloha je potom zároveň vhodná přímo pro tisk, takže bez potíží lze přímo vyrobit „papírovou“ dokumentaci. MathCAD umožňuje prakticky veškeré běžné matematické výpočty, jež jsou řešeny numericky. Lze jej tedy použít buď jako velmi zdatný kalkulátor, nebo s ním řešit úlohy z vyšší matematiky či řešit velmi složité soustavy rovnic a matice.

Velmi důležité jsou možnosti „vizualizace“ výpočtů, proto jsou k dispozici grafy jak statické, tak animované (reálné zobrazení funkcí proměnných s časem). Silný aparát je připraven pro řešení jak samostatných soustav diferenciálních, algebraických či integrálních rovnic, tak také pro smíšené soustavy algebro-diferenciálních, algebro-integrálních či integro-diferenciálních rovnic. Velkou výhodou je také automatická práce s jednotkami, která je neocenitelná v pří-padě fyzikálních či technických výpočtů, kdy MathCAD automaticky provádí rozměrovou kontrolu všech vztahů a automaticky převádí zadané vstupní údaje v určitých jednotkách do předem zvolené soustavy jednotek (např. soustava jednotek SI).

Opravdu silný nástroj činí z programu MathCAD schopnost pracovat symbolicky, tedy řešit úlohy algebraicky. Jedná se např. o roznásobování závorek, rozvoj binomické věty či ře-šení soustavy lineárních rovnic. Aplikace však umí také derivovat, integrovat, rozvíjet řady či počítat determinanty matic. Výsledky jsou samozřejmě opět zobrazovány symbolicky, a tím je uživateli umožněno hledat principiálně přesné řešení, pokud takové ovšem existuje.

V případě vyčerpání možností interaktivního přístupu nabízí MathCAD možnost progra-movat. Tento přístup lze doporučit především v případech, kdy potřebujeme při výpočtech používat cykly či větvení, a také při definování komplikovanějších funkcí. Zdrojový text pro-gramu se zapisuje přímo do listu dokumentu, a stává se tak naprosto přirozenou součástí ře-šené úlohy.

Pro tvorbu rozsáhlých dokumentů, jež pro výpočet využívají např. externí zdroje dat, je určen modul MathConnex. Jeho úkolem je propojit dokumenty samotné aplikace navzájem, případně s jinými zdroji (tabulky v programu Excel, výpočetní dokumenty systému MATLAB apod.), a umožnit přehlednou správu takto složitého systému, přičemž velkou výhodou je, že lze využít kvalitního grafického rozhraní.

Sám o sobě je programový soubor MathCAD velmi schopným nástrojem, jehož základy se lze velmi rychle naučit. Aby bylo možné využít maximum možností tohoto programového souboru, je kromě klasické nápovědy k dispozici „studijní“ pomůcka s odpovídajícím jménem Resource Center (tedy „Centrum zdrojů“). Zde je možné nalézt řadu velmi užitečných infor-mací a příkladů, takže se uživatel může seznámit s možnostmi použití aplikace v různých věd-ních oblastech. Ukázkové úlohy jsou velmi dobře zdokumentované a názorné (včetně grafů a ilustrativních obrázků) a představují tak kvalitní studijní materiál. Komplexním zdrojem znalostí se může stát The Mathcad Treasury, tedy „pokladnice“ matematických vědomostí. Jelikož aplikace matematiky do různých vědních oblastí je prakticky bezbřehá, nabízí firma řadu specializovaných elektronických příruček, jež zahrnují šíři témat od ryze matematického výkladu až po komplikované konstrukční výpočty (stavebnictví, elektrotechnika, energetika apod.).

Aplikační balík MathCAD Professional je velmi kvalitní a propracovaný nástroj určený pro všechny uživatele, kteří narazí na řešení matematických problémů. Jeho koncepce umož-

ňuje nasazení jak v oblasti přírodních věd, tak v aplikační sféře. Je vhodný pro tvorbu vysoce profesionálních vědeckých a technických řešení. K velkým přednostem patří především vy-soký výpočetní výkon, kvalitní uživatelské rozhraní, možnost propojení s dalšími aplikacemi a datovými zdroji a velké množství kvalitní dokumentace.

3 Základy modelování technických soustav

3.1 Úvodní poznámka

Modelování v mechanice se dnes stává základním problémem inženýrské práce. Výpočetní

technika dnes umožňuje pomocí matematického experimentování řešit - již ve stadiu projekce

nových technických soustav – problémy, které bylo dříve možné řešit jen na prototypech.

Otázkou zůstává jak vhodné modely vytvářet.

Vytvářet modely co nejpodrobnější reálným soustavám je zbytečný luxus. Vytvářet

modely „co nejjednodušší“ naopak nevede k cíly – žádané podstatné jevy nelze simulovat.

Ukazuje se, že vhodnou cestou je vytvářet modely částečně strukturované a účelové – o tom

pohovoříme podrobněji v další kapitole. Zatím uveďme jen to, že při jejich konstrukce

vycházíme z principů izomorfie a především homomorfie – respektujeme věcnou odlišnost

reálné soustavy a jejího modelu, ale vyžadujeme funkční totožnost. Vyžadujeme přitom u

reálné soustavy a jejího modelu:

vzájemně jednoznačné přiřazení počátečních stavů

vzájemně jednoznačné přiřazení vstupů a

vzájemně jednoznačné přiřazení výstupů.

Pokud se nám to podaří, tak jsme získali model reálné soustavy, který respektuje účel, pro

jehož řešení byl vytvořen, odpovídající strukturální složitost a úrovňovou vyváženost i přenos

energetického výkonu a informační kapacity. Že nejde o jednoduchý problém, ukážeme na

„modelování” základného strukturálního prvku technických soustav, na „tuhém tělese“.

3.2 Modelování tuhého tělesa, resp. tělesa

Je zřejmé, že tělesa představují základní strukturální prvky technických soustav, včetně

pohonových. Z experimentální zkušenosti víme, že za jistých podmínek se těleso chová:

jako tuhé

nebo jako pružné.

Z teorie víme, že nelze přenést zatížení na těleso bez jeho deformace, těleso nemůže

mít nekonečně velký modul pružnosti, tudíž absolutně tuhé těleso nemůže existovat. Různé

projevy těles souvisí se vzájemným porovnáním jeho vlastních frekvencí a spekter

zatěžovacích účinků (spektrem provozních frekvencí), ve kterých má těleso pracovat. Odtud

je známo, že:

těleso se chová jako tuhé, když nejvyšší frekvence zatěžujícího provozního spektra

leží hluboko pod prvou vlastní frekvencí

těleso se chová jako pružné, když se tato spektra prolínají.

Je-li technická soustava tvořena soustavou těles, vázaných tuhými a tlumícími vazbami,

bude až na výjimky pružnou a mluvíme o pružných (tlumených, reps. netlumených)

soustavách. Ty pak modelujeme jako:

pružné lineární kontinuum, charakterizované spojitostí geometrie i pružných, resp.

tlumících charakteristik,

diskretizované soustavy, pro které je charakteristické oddělení parametrů

hmotnostních, tuhostních resp. tlumících. Jejich spojení „nahrazují“ „nehmotné“

parametry tuhosti a tlumení. Typickým důsledkem takové diskretizace je absence

setrvačných vazeb a setkáváme se i s omezením pokud jde o Poissonovo číslo – pro

rovinnou napjatost vyhovuje „jen“ .

S rozvojem výpočetní techniky a aplikací MKP se setkáváme s řadou zajímavých

skutečností, plynoucí z této „diskretizace“:

existence setrvačných vazeb se projevuje dodatečnou parazitní tuhostí pružných

vazeb,

nejsou žádná omezení pokud jde o Poissonovo číslo,

tzv. dispersní účinky jsou ovlivněny hustotou dělení oblastí méně u statického a

podstatně u dynamického zatížení, kde má homogenita triangulace často rozhodující

vliv. Dále velikost prvků mění nejen dispersní vlastnosti, ale výrazně i vlastní

frekvence.

Při modelování tlumení je dobré si dále uvědomit, že:

materiálové tlumení (vnitřní) více tlumí vyšší frekvence, zatím co

absolutní (vnější) tlumení více tlumí nízké frekvence

3.3 Volba počtu stupňů volnosti diskretizovaného modelu technické

soustavy

Jde o zásadní problém, na který neexistuje jednoznačně přesná odpověď. Naštěstí se

ukazuje, že existuje velmi jednoduchá formule, která se v inženýrské praxi velmi osvědčila.

Počet stupňů volnosti n modelu diskretizované soustavy může být odhadnut podle vztahu

kde p je počet vlastních frekvencí, jejichž projevy mají být v modelu respektovány.

U komplexních modelů pohonových soustav může být ale tento odhad ovlivněn řadou

dalších faktorů, mezi které můžeme zařadit například

spektra otáčkových frekvencí

spektra zubových frekvencí (u soustav s ozubenými subsoustavami)

požadavky na úrovňovou vyváženost základní struktury a řídících (elektronických),

podpůrných (hydraulických, pneumatických, …) substruktur

požadavky vyplývající z modelování technologického procesu a dalších.

4 Komplexní pohonové soustavy

4.1 Úvodní poznámka S pohonovými soustavami se v inženýrské praxi setkáváme prakticky na každém kroku.

Od miniaturních technických soustav, jakými jsou například pohony gyrokompasů, až k mno-hatunovým rotorovým soustavám turbosoustrojí. Při technických návrzích takovýchto objektů je nutné na jedné straně respektovat oborové zvyklosti, na straně druhé je vhodné hledat jed-notící prvky, tedy to, co jednotlivé konstrukční prvky „spojuje“. Pro všechny objekty je charakteristické, že je lze strukturovat a tyto struktury dále dekomponovat a hierarchicky uspořádat, že existují vazby uvnitř i vně objektu (mezi jednotlivými substrukturami, mezi objektem a jeho okolím, mezi více objekty, apod.), že objekt má konkrétní uspořádanost, organizovanost a vykazuje účelové chování. Poznání těchto skutečností a jejich účelné využí-vání při konstrukci nových pohonových soustav či inovaci nebo rekonstrukci již existujících pohonů nám usnadňuje systémová metodologie.

Dnešní požadavky na konstrukci pohonů i pohonových soustav se diametrálně odlišují od požadavků běžných v minulých letech. V první řadě se objevují požadavky na zahrnutí pro-vozních vlivů již v etapě konstrukčního návrhu. Masivní využívání nejrůznějších počítačo-vých podpor umožnilo nebývalý rozvoj počítačového modelování, často bez odpovídajících teoretických znalostí. Začíná se prosazovat tzv. „komplexní“ modelování, modelování „ve variantách“ s důrazem na hodnocení jejich vlivu na okolí, pevnostní a dynamické analýzy i na velmi solidní úrovni se stávají běžnými rutinami a prioritní roli nabývá zajištění provozní spolehlivosti po předepsanou dobu technického života. V nejbližší době se dá očekávat:

• že vedle respektování fyziologických, ekologických, energetických a ekonomických omezení dojde k sociálnímu hodnocení důsledků zavádění nových konstrukcí a tech-nologií v oblasti techniky,

• růst humanizace inženýrského vzdělávání a respektování kulturních i etických prin-cipů při návrhu technických soustav, včetně pohonů,

• že stále s větší naléhavostí bude vystupovat do popředí uvědomování si rizik, která platíme za inicializované technické změny (tzv. „prométheovský komplex soudobé technologie“).

Z těchto hledisek se jako nejprogresivnější přístupy jeví různé typy modelování nejen tech-nických soustav samotných, ale i jejich chování, dynamických vlastností a vlivu okolí.

Základním krokem při řešení dynamických úloh pomocí kteréhokoliv typu modelování je vytvoření množiny tzv. podstatných veličin, obsahující jak veličiny popisující strukturu, stavy a ovlivňování technických objektu, tak i veličiny charakterizující následky, tzn. jejich projevy

a chování. Metody pro vytváření výpočtového modelu pohonových soustav, obecně interak-tivních, mohou využívat:

• aplikací známých fyzikálních principů k popisu jevů, objevujících se v pohonových soustavách (např. II. Newtonova zákona nebo Kirchhoffových zákonů) nebo

• aplikací metod z oblasti mechatroniky, založených na algoritmech umělé inteligence (např. genetické algoritmy, umělé neuronové sítě a další).

Rozvoj těchto metod výpočtového modelování vyvolává potřebu vytvoření metodiky kvalita-tivní analýzy výpočtových modelů, definovaných na bázi teorie systémů*, i vytvoření souborů metod pro jejich kvantitativní zpracování. Zastavme se nyní krátce u pojmů „systém“, „sys-témový přístup“, „systémové myšlení“ apod., patřících v současné době k velmi frekvento-vaným pojmům nejen v technické oblasti, které jsou však užívány až příliš často bez uvážení a pochopení jejich obsahového významu. Proto se jen krátce zmíníme o některých těchto poj-mech s cílem zamezit případným nejasnostem a nedorozuměním:

• Pojem systém je základním pojmem tzv. systémových teorií a přístupů, a proto mu-síme mít vyjasněn jeho význam. Systém je definován jako abstraktní objekt vy-tvořený na reálném nebo abstraktním objektu z hlediska řešeného problému. Jeho strukturu tvoří ty formalizované prvky, které jsou na určité rozlišovací úrovni řešení podstatné. Připomeňme, že prvek objektu je ta část jeho struktury, kterou jsme schopni na objektu na daných úrovních vymezit, považujeme jej z různých důvodů již dále nestrukturovatelný a principiálně jej lze od struktury oddělit**.

• Systémový přístup chápeme jako „nápovědu“, na jaké podstatné skutečnosti by neměl řešitel při své činnosti zapomenout. Systémový přístup je obvykle chápán v užším pojetí než je jeho skutečný obsah. Nejčastěji se redukuje jen na struk-turované vyšetření objektů, na respektování vazeb mezi objekty navzájem, objekty

* Přesné vymezení pojmu teorie systémů je dosud nejednotné a často i protichůdné. Jde o teorii, která má do

značné míry formální, logicko-matematickou a metodologickou povahu. Jádrem teorie systémů je soubor abstraktních objektů, nazývaných obecnými systémy, které užíváme v systémové analýze, resp. syntéze, jako stavebnicové prvky, ze kterých sestavujeme modely reálných technických objektů tak, že obecné systémy vhodně modifikujeme, spojujeme a interpretujeme, přičemž tato interpretace musí vždy vycházet z kritického hodnocení použitého obecného systému vzhledem k danému účelu.

** Při používání pojmu systém, zejména v anglosaské literatuře, můžeme objevit dvě významové oblasti. První oblast, kdy konstatujeme, že „objekt je systémem“, vyjadřuje skutečnost, že objekt má systémové vlastnosti bez ohled na to, zda je reálný nebo abstraktní. Z tohoto hlediska se pak setkáváme s řadou různých typů systémů, např. tlumících, hnacích, řídících, ale také třeba chladících či potrubních. Pro takové případy do-poručujeme použít pojmu soustava, jako reálný či abstraktní objekt se systémovými vlastnostmi, který je z určitých hledisek předmětem našeho zájmu. Pojem systém pak chápeme jako abstraktní, který nemůže exis-tovat sám o sobě, ale je vždy jen ve vztahu k soustavě. Složitost struktury systému je vždy menší než složi-tost soustavy a k dané soustavě je možné obecně vytvořit větší počet systémů. Vytvoření systému tedy není jednoznačné a závisí na mnoha okolnostech, především pak na účelu, pro který jej vytváříme, na znalostech a zkušenostech řešitele a na možnostech jeho vybavení.

a jejich okolím a na formulování cílového chování. Někdy je za systémový přístup považováno pouhé vytvoření soustavy relevantních veličin.

Kromě nezbytného chápání strukturovanosti objektů doporučujeme alespoň jejich účelové posuzování, tzn. že při výběru prvků struktur, jejich vlastností a projevů, při výběru vazeb a interakcí je zásadní posuzování jejich podstatností. Mezi další atributy systémového pří-stupu, které doporučujeme respektovat, patří požadavek vyšetřovat objekty jako otevřené (neizolované) soustavy, u nichž existují vazby a interakce s okolím, jako komplexní a inter-disciplinární problémy a jako hierarchicky uspořádané struktury. Rovněž orientované vyše-třování, respektující zachování tzv. podstatných relací typu vstup-výstup, příčina-následek či nadřazené řešení-dílčí řešení a dynamické vyšetřování závislé na čase, stejně jako úrovňově vyvážené vyšetřování považujeme za nezbytné, chceme-li pracovat na současné úrovni vědy technicky.

O metodách systémové analýzy a syntézy již bylo pojednáno mnoha publikacích, stručný přehled možností je patrný ze schématu na obr. 4.1.

Obr. 4.1: Přehled přístupů k řešení problémů

Zde se omezíme jen na modelování výpočtové, často označované jako matematické. Jeho realizace vyžaduje:

• znalost matematické teorie popisující řešení problému, • podmínky matematické řešitelnosti a znalost počátečních podmínek, • výpočtový algoritmus vycházející z matematické teorie, • počítačové vybavení, • vstupní údaje.

Výsledkem výpočtového modelování je odpovídající model, na kterém lze provádět nume-rické experimenty již ve stádiu návrhu nových technických soustav za podmínek blízkých skutečným provozním stavům.

Je samozřejmé, že modelování konkrétní technické soustavy musí respektovat výše uve-dená obecná doporučení a současně musí brát zřetel na zvláštnosti vyplývající z požadavků kladených na konkrétní soustavu a účel, pro který je vyvíjena. U pohonových soustav nutno vycházet z toho, že tyto slouží k pohonu pracovních strojů, a že pohon jako samostatná struk-turní subsoustava celé technické soustavy je propojen přinejmenším s řadou dalších subsou-stav, které je nutné do odpovídajícího modelu zahrnout. To znamená, že naším cílem bude sestavení řady submodelů:

• elektrické, hydraulické či jiné části motoru, • mechanické části (motor, převody, spojky, ...), • pracovního prostředí, • technologických požadavků.

Prvé dva submodely tvoří submodel pohonové soustavy, do které vstupují, jako vnější vlivy, požadavky řízení a poruch. Takto vytvořený model nazýváme komplexním modelem. To ovšem znamená, že:

• musíme sestavit pohybové rovnice jednotlivých subsoustav pohonu podle jejich fyzi-kální podstaty, tj. pro část mechanickou, elektrickou, řídicí, apod.,

• modelovat záběrové podmínky a kinematické buzení u převodových soustav, • modelovat vliv vnějšího prostředí, • modelovat algoritmizovatelné požadavky technologie a řízení a integrovat je do sub-

modelu řízení, • formulovat a modelovat hnací, parazitní a poruchové účinky, • modelovat subsoustavu informačních prvků.

Z formulace požadavků na vytvoření počítačových modelů pohonových soustav je samo-zřejmé, že ne všechny modely budou muset obsahovat všechny tyto části (submodely), pro-tože modely chápeme ve smyslu předchozích úvah jako účelové a částečně strukturované. Jinými slovy, podle účelu, pro který je model vytvářen, se může měnit jeho struktura a samo-zřejmě i jeho vlastnosti a použití. Snaha o určení vhodného stupně strukturální složitosti je závislá na tom, jaké požadavky má model splňovat, jaké provozní stavy má modelovat, jaké je rozložení přenášeného energetického výkonu a jaká má být jeho informační kapacita. Požadu-jeme tudíž současnou funkčnost a věcnou odlišnost zkoumaného technického objektu a jeho modelové soustavy. Jedná se o jistý druh analogie, splňující podmínky izomorfie. Pro po-honové soustavy a jejich matematické modely to konkrétně znamená, že musí existovat jednoznačná zobrazení mezi odpovídajícími definičními obory proměnných veličin, mezi počátečními stavy a vstupními a výstupními funkcemi. V praxi se ale někdy setkáváme s tím,

že jednomu prvku množiny Θ může být přiřazeno více prvků z množiny Φ, tzn. že se nevy-žaduje bezpodmínečná jednoznačnost. Jedná se tedy o vztahy volnější, charakteristické pro homomorfizmus. Homomorfní soustavy tedy nemusí být shodné, postačí, mají-li shodné rysy. Homomorfní soustavy se mohou shodovat, i když jednu z nich (abstraktní) zjednodušíme tak, že její prvky a vazby, vstupy, stavy či výstupy nejsou dokonale rozlišeny, což je ve shodě s pojetím účelového a částečně strukturovaného dynamického systému a jeho modelu.

Objevují se i další požadavky, řekněme soudobé, které nemusíme vždy plně respektovat, ale které nelze v žádném případě pominout. Jaké jsou zdroje soudobých požadavků na vývoj pohonových soustav? Uveďme alespoň tyto základní:

• stále složitější vývojový cyklus, odrážející nové technické, technologické, ekologické a další požadavky,

• překrývání jednotlivých fází v průběhu konstrukce, přípravy a zavádění výroby s cí-lem maximálně zkrátit dobu vývoje nové soustavy,

• požadavky na vlastnosti a chování navrhované soustavy se často mění v průběhu vý-vojové etapy jako důsledek rychlých inovačních cyklů či jako důsledek rozvoje vědy a techniky.

4.2 Modelování komplexních pohonových soustav Pohonové soustavy jsou dnes chápány především jako interaktivní soustavy, obsahující

řadu podsoustav různé fyzikální podstaty: mechanických – základních, elektrických nebo hydraulických, pneumatických a rovněž elektronických – řídicích. Modely těchto složitých soustav pak můžeme charakterizovat jako tzv. „účelové a částečně strukturované“. Modely dílčích podsoustav ovšem mají své typické projevy a vlastnosti, které mohou významně ovliv-ňovat vlastnosti a chování modelů globální soustavy. Cílem je zachování tzv. funkčního ur-čení modelu – ve srovnání s reálnou soustavou, což neznamená, že model musí být vybaven všemi funkcemi a projevy reálné soustavy. Předpokládá se naopak, že tyto funkce mají svého nositele, kterým může být v limitním případě i černá skříňka. Řízení takových soustav pak stále častěji vyžaduje využití inteligentních řídicích algoritmů, sestavených například na bázi genetických algoritmů nebo umělých neuronových sítí.

Systémový přístup v tomto pojetí představuje vývojový proces obecně neukončený. Proces, který dovoluje účelně využívat konkrétní báze znalostí v dané oblasti vědy a techniky, ale také výsledků obecné teorie dynamických systémů [9] s její do jisté míry formální lo-gicko-matematickou a metodologickou povahou. Současně zaručuje aplikovatelnost dosaže-ných výsledků v širší oblasti strojírenství.

Předpokládejme, že máme vypracovat zásady pro návrh nového typu pohonových soustav s ozubenými koly. Z hlediska systémového přístupu musí takový návrh splňovat tyto pod-mínky:

• musí obsahovat formulaci cílů, které má plnit, a pokud možno přesnou specifikaci požadavků na konstrukci pohonu, jeho provoz, životnost atd.,

• musí obsahovat návrh struktury, hodnověrné odhady budících účinků včetně účinků parazitních, návrhy zpětných vazeb i informačních soustav,

• navrhovatel musí mít přehled o možnostech modelování (modely matematické, počí-tačové, fyzikální) a o způsobech, jak tyto modely využívat při numerických (fyzikál-ních) experimentech,

• navrhovatel musí umět formulovat inženýrská zobecnění a definovat technicky reali-zovatelné závěry.

V dalších odstavcích této práce se pokusíme tyto zásady konkretizovat a na reálných pří-kladech ukázat na problémy, které proces tvorby vhodných modelových soustav doprovázejí.

Setkáváme se s řadou různých modelových schémat, z nichž nejčastěji používanými jsou: • pohony modelované jako tuhé soustavy s jedním stupněm volnosti, zatížené hnacím

a zatěžujícím momentem, eventuálně i tlumícím vnějším momentem, • pohony modelované jako tuhý rotor + mechanismus s tuhými členy, • diskretizovaný model s nehmotnými pružnými a tlumícími vazbami, • model pohonu, diskretizovaný s využitím MKP, • pohonové soustavy se spojitě rozloženými charakteristikami hmotností (spojitě roz-

loženými momenty setrvačnosti), tuhostí a případně i tlumení, • modely interaktivních řízených pohonů, obsahujících submodely soustav s různou

fyzikální podstatou (mechanickou, elektrickou, hydraulickou apod.), sem patří také modely mechatronických soustav, vykazujících jistý stupeň inteligentního chování.

Ve výše uvedeném výčtu možných modelů pohonových soustav se objevují pojmy tuhé těleso, soustava tuhých těles, diskretizované modelové soustavy apod. K jejich správnému pochopení a určení je nutné respektovat další skutečnosti. Sám pojem tuhé těleso a jeho role v dynamice je, mírně řečeno, rozporuplný. Podle definice tuhého tělesa musí být vzdálenost nejméně dvou jeho bodů konstantní. Na druhé straně nelze přenést na těleso jakékoliv zatížení bez jeho deformace – to by znamenalo, že modul pružnosti by musel být nekonečně velký. Těleso, resp. soustav těles, se ale může chovat buď jako tuhé těleso (soustav tuhých těles) nebo jako pružné těleso (soustava pružných těles). Tyto různé projevy přímo závisí na vzájemném vztahu množiny vlastních frekvencí reálné soustavy a spektru zátěžných účinků. U modelové soustavy budou vlastní frekvence záviset přímo na zvoleném strukturálním rozložení, tj. na počtu stupňů volnosti modelové soustavy. Nevhodná volba modelové sou-stavy může vést k tomu, že její dynamické chování nekoresponduje s chováním reálné sou-stavy. Kdy se tedy těleso (soustava těles) chová jako tuhé? Jen tehdy, když nejvyšší frekvence spektra zatížení je řádově menší než nejnižší (základní) frekvence modelové soustavy. Ve všech ostatních případech se modelová soustava bude chovat jako soustava pružných těles.

Globální pohonovou soustavy (komplexní) si pak můžeme představit podle obr. 4.2.

Obr. 4.2: Komplexní model pohonové soustavy

V symbolickém tvaru je možné komplexní model formulovat následovně:

v, , , , ( ), ( ), ( )KM mRS mMS mPP mTP f t r t v t= , (4.1)

kde mRS je model řídicí (regulační) soustavy, mMS je model mechanické části pohonu, mPP je model pracovního prostoru, mTP je model technologického procesu, fv(t) reprezentuje vazby mezi jednotlivými modely, r(t) reprezentuje řídicí funkce a v(t) reprezentuje nezávislé poruchové funkce.

Matematicky lze komplexní model definovat ve stavovém prostoru pomocí maticové sta-vové rovnice

(4.2) [ ( ), ( ), ( ), ] ; : wt t t t = →f x x u 0 f w

doplněné maticovou rovnicí tzv. výstupních relací [ ( ), ]t t=y g x . (4.3)

Vstupní veličiny jsou soustředěny do vektoru . Výstupní relace

definují výstupní veličiny na množině stavových veličin, které vytvářejí stavový prostor. Sta-vové veličiny definují stavový vektor

T1 2( ) [ ( ), ( ),..., ( )]mt u t u t u t=u

[ ]T1

( )( ),..., ( )

( ) n

tx t x t

t⎡ ⎤

≡ =⎢ ⎥⎣ ⎦

qx

q . (4.4)

Jeho složky xi(t), i = 1, ..., n představují časové průběhy tzv. primárních veličin a vektor

[ ]T1( ),..., ( )nx t x t=x (4.5)

obsahuje odpovídající časové derivace. Nyní již můžeme uvést matematickou formulaci dynamického systému, definovaného na

reálné pohonové soustavě, zapsanou ve tvaru soustavy maticových rovnic

(4.6)

0

( ) [ ( ), ( ), ] , : ,( ) [ ( ), ( ), ] ,( 0) .

w wt t t tt t t tt

= →== =

x f x u fy g x ux x

resp. pro případ tzv. parametrického dynamického systému ve tvaru

(4.7) 0

0

( ) [ ( ), ( ), , ] , : ,( ) [ ( ), ( ), , ] ,( 0) ,( 0) .

w wt t t tt t t ttt

= →== == =

x f x u α fy g x u αx xα α

Je zřejmé, že definováním systému na reálné pohonové soustavě jsme získali nejobecnější formulaci matematického modelu – abstraktní systém. Jeho vhodné určení je ale obecně velmi složité a u zpětnovazebných složitých pohonových soustav často i problematické. K usnad-nění této inženýrské činnosti můžeme s výhodou využít tzv. relací podobnosti.

Vyjdeme z podmínky, že určitý matematický systém – model SM – je homomorfní s reál-ným systémem SR tehdy, když existuje určitá transformace F, která systém SR převádí na systém izomorfní s matematickým systémem SM. Pro dynamické systémy to konkrétně zna-mená, že musí existovat jednoznačné zobrazení mezi odpovídajícími si definičními obory proměnných, mezi počátečními stavy, vstupními a výstupními proměnnými. Jde-li konkrétně o matematický model reálné pohonové soustavy, můžeme jej definovat zápisem

0

T1 2

T1 2

T1 2

: ( ) [ , ( ), ( )] ,( ) [ , ( ), ( )] ,( 0) , ( 0)

[ , ,..., ] , ,

[ , ,..., ] , ,

[ , ,..., ] , ,

n

l

m

t t t tt t t tt t

x x x X

y y y Y

u u u U

0 ,

ϕ === = = =

=

= ∈

= ∈

x f x uy g x ux x x x

x

y y

u u

∈x (4.8)

kde f je vektorová funkce typu , x(t) je

stavový vektor, u(t) je vstupní a y(t) je výstupní vektor.

T1 2[ , ( ), ( )] [ ( , ( ), ( )), ( , ( ), ( )),...]t t t f t t t f t t t=f x u x u x u

Má-li nyní platit, že R 1S ϕ≡ a MS 2ϕ≡ , je zapotřebí definovat:

• vzájemně jednoznačné zobrazení F1 zobrazení mezi množinami stavů X1 a X2, • vzájemně jednoznačné zobrazení mezi množinami vstupních hodnot U1 a U2, • vzájemně jednoznačné zobrazení mezi množinami výstupních hodnot Y1 a Y2.

Uvedené transformace obecně platí pro izomorfní systémy 1ϕ a 2ϕ . Homomorfismus je ale

vztah volnější – nevyžaduje se v něm bezpodmínečná vzájemná jednoznačnost – např. jed-nomu prvku yi z množiny Y může být přiřazeno více prvků xj z množiny X.

Homomorfní systémy tedy nemusí být shodné. Postačí, mají-li shodné rysy. Homomorfní systémy se mohou shodovat, i když jeden z nich (abstraktní) zjednodušíme tak, že jeho prvky, vazby, vstupy, stavy či výstupy nejsou dokonale rozlišeny – což je v souladu s předpoklady o částečné (účelové) strukturovanosti dynamických systémů.

4.3 Formulace stavového prostoru Pohonové soustavy budeme chápat jako účelové a částečně strukturované interaktivní

dynamické systémy, složené z podsystémů různé fyzikální podstaty. K jejich matematickému popisu využíváme různých matematických prostředků. Tak například u mechanických pod-systémů využíváme k sestavení pohybových rovnic Lagrangeovy rovnice druhého druhu, u elektrických subsystémů (lineárních) využíváme nejčastěji přenosových funkcí získaných aplikací Laplaceovy transformace, Z-transformace apod. Vytvořit konzistentní matematický popis úplného pohonového systému je v prvé řadě víceznačný a ne jednoduchý proces. Na základě našich zkušeností doporučujeme využít k sestavení globálního modelu pohonové sou-stavy i jejich strukturálních částí formulace pohybových rovnic ve stavovém prostoru [9].

Stavovou rovnici v implicitním tvaru, která je prakticky vždy nelineární, lze v maticové formě napsat ve tvaru

[ ]( ), ( ), , : n nt t t = →h x x 0 h , (4.9)

s počátečními podmínkami 0 0( 0) ( )t t += = =x x x

t

. (4.10)

Tuto rovnici doplníme maticovou formulací tzv. výstupní relace ( ) [ ( ), ]t t=y g x , (4.11)

která definuje výstupní veličiny na množině stavových veličin. Stavový vektor

(4.12) T1 2( ) [ ( ), ( ), , ( )] ,Nt x t x t x t X= …x ∈x

obsahuje složky primárních veličin a X je množina přípustných stavů. Vektor

T1 2

d ( ) d( ) [ ( ), ( ), , ( )]d d N

tt x t x tt t

= = …xx x t

Y∈y

(4.13)

obsahuje derivace primárních veličin. Vektor

(4.14) T1 2( ) [ ( ), ( ), , ( )] ,Nt y t y t y t= …y

obsahuje výstupní veličiny a Y je množina přípustných výstupních veličin.

Pro čas t platí t T∈ , kde T je časová množina. Prostor je n-rozměrný stavový prostor. Prvky stavového vektoru x(t) pak jsou řešením obecné Cauchyovy úlohy pro problém (4.9) s počátečními podmínkami (4.10).

n

Popis dynamického systému ve standardním explicitním tvaru představuje soustava mati-cových rovnic , (4.15)

0 0( ) [ ( ), ] , ( 0) ( )t t t t t += = =x f x x x x=t( ) [ ( ), ]t t=y g x , (4.16)

kde . Převedení rovnice (4.9) do tvaru (4.15) není obecně snadnou záležitostí a v určitých případech není možné vůbec. Tuto skutečnost je vhodné uvážit již při počáteční formulaci výpočtového modelu.

: n →f n

O množinách relací pojednáme později. Vstupní, resp. výstupní veličiny jsou obsaženy ve vstupním vektoru , a výstupním vektoru ( )t =u u U∈u ( )t =y y , Y∈y , kde U a Y jsou mno-

žiny přípustných vstupních, resp. výstupních veličin, splňujících relace

(4.17) R : : U T= →u u U

Ya

. (4.18) R : : Y T= →y y

Stav systému v každém časovém okamžiku t T∈ charakterizuje stavový vektor , ( )t =x x

X∈x , přičemž platí :

. (4.19) 0( ) [ , , ] , : nt t T= →x f x u x

Výstupní relace obsahuje vektorovou funkci , která je pro a pro

, a definována maticovou rovnicí

[ ( ), ]t tg x : nT X U× × →h

t T∈ ( )t X∈x ( )t U∈u

. (4.20) 0( ) [ , ( ), ]t t=y g x u t

Pokud jde o množinu zpětnovazebních funkcí, vycházíme ze skutečnosti, že pro většinu dynamických systémů je charakteristická existence uzavřených smyček v tzv. orientovaném grafu jejich struktury. Připomeňme, že tyto orientované relace jsou představovány trans-formací veličin vstupních na veličiny výstupní a respektují kauzální princip. Zpětnovazební smyčky pak realizují vzájemné interakce mezi vstupy a výstupy, typické pro řízené dyna-mické systémy.

Mezi další relace, užívané ve specifikacích obecných systémů i v modelech konkrétních technických soustav, patří také soustavy omezujících podmínek, které můžeme vyjádřit rov-něž ve vektorovém tvaru : , (4.21) ( , , )t ≥Ω x y 0

kde je vektorová funkce proměnných vektorů x, y a t. V systémovém pojetí mo-

delování popisují tyto podmínky například fyzikální omezení pohybu technických soustav.

( , , )tΩ x y

Ve všech uvažovaných případech musíme výše uvedené rovnice doplnit vektory počá-tečních podmínek, musíme ověřit předpoklady řešení a pak teprve pohybové rovnice trans-formovat do stavového prostoru (vztahy (4.13) a (4.14)).

Při řešení konkrétních úloh se obvykle setkáváme také s nelinearitami, především ve strukturálních vazbách. Nejčastěji se příslušné nelineární formulace linearizují, zpravidla s využitím standardních linearizačních procedur. Alternativně se vyšetřují frekvenční přenosy energií mezi jednotlivými strukturálními subsoustavami nebo prvky, včetně přenosů od/do okolí. Velké pohonové soustavy, charakterizované matematickými modely o mnoha stupních volnosti, se pak, pokud je to pro daný účel možné, nahrazují modely redukovanými na menší rozměr (tzv. účelové a částečně strukturované modely).

4.3.1 Transformace pohybových rovnic pohonových soustav do stavového prostoru

V dalším budeme předpokládat, že pohonové soustavy, se kterými budeme pracovat, bu-dou tvořeny především mechanickými a elektrickými subsystémy, doplněnými algoritmizova-nými množinami požadavků řízení a technologie. Obecně jsou tyto subsystémy modelovány pomocí soustav diferenciálních rovnic (1. a 2. řádu), doplněných soustavami algebraických relací. Až na výjimky je jejich analytické exaktní řešení nemožné.

Tak například mechanické subsystémy je možné (po vhodné diskretizaci) popsat soustavou obyčejných diferenciálních rovnic typu ( , , ) ( )t=f q q q Q , (4.22)

kde je v případě pohonových soustav zpravidla vektor relativních úhlových výchylek

a je vektor zobecněných budících momentů, který lze rozdělit na subvektor mecha-

nických budících účinků , na subvektor budících účinků elektrického subsystému

a na poruchové složky . Tedy

( )t=q q

( )t=Q Q

m ( )tQ

e ( )tQ p ( )tQ

. (4.23) m e p( ) ( ) ( ) ( )t t t= + +Q Q Q Q t

t

Při formulování lineárního, respektive linearizovaného matematického modelu pohonové sou-stavy lze využít formulace pohybové rovnice ve tvaru

, (4.24) n( ) ( ) ( ) ( ) ( , , )t t t t+ + = −Mq Bq K q Q f q q

kde vektorová funkce obsahuje nelinearity závislé na řešení. V mnoha případech

lze tyto nelineární účinky považovat za aditivní šum. n ( , , )tf q q

Na rovnici (4.24) pak lze formálně snadno aplikovat Newmarkovu iterační metodu a získat vektor odezev. Ovšem tuto rovnici je možné také transformovat do stavového prostoru, což bude určitě výhodnější, pokud budeme řešit problematiku řízeného pohybu. Zavedeme-li substituci

[ ]T( ) ( ), ( )t t t=x q q ,

přejde rovnice (2.54) do tvaru ( ) ( ) ( , )t t t= +x A x b x , (4.25)

kde jsou matice a definovány takto : A ( , )tb x

1 1 1, ( , )( , )

tt− − −

⎡ ⎤ ⎡= =

⎤⎢ ⎥ ⎢− − ⎥⎣ ⎦ ⎣

0 I 0A b x

M K M B M F x ⎦

t

.

Funkci získáme transformací vektorové funkce ( , )tF x n( ) ( , , )t −Q f q q po aplikaci substituce

(4.25). V případě lineárních modelů platí n ( , , )t =f q q 0 a další výpočty se podstatně zjed-

noduší.

Doplníme-li soustavu pohybových rovnic (4.25) o rovnici dynamické charakteristiky mo-toru, dostáváme již model elektromechanické soustavy, který může poskytnout překvapivě dobré výsledky. S použitím dalších zpětnovazebních relací pak dostaneme matematické mo-dely řízených interaktivních elektromechanických pohonových soustav.

4.3.2 Poznámka k výběru integračních metod.

Řešení soustavy rovnic (4.25), která popisuje chování pohonové soustavy ve stavovém prostoru, je prakticky možné získat numerickou integrací. Nebude proto na škodu, charak-teristické zvláštnosti numerických řešení stručně připomenout. Přitom musíme respektovat podmínky, které vyplývají :

• z existence tzv. silných nelinearit, které se mohou objevit při modelování mechanic-kého, elektrického i jiného subsystému,

• z existence stochastických složek v buzení, případně v parametrech, výrazných ne-spojitostí či rázů,

• z prioritního významu simulace přechodových dějů, provozních i poruchových a ha-varijních,

• z požadavků na komplexní řešení problémů, především s uvážením vzájemných in-terakcí mezi jednotlivými subsystémy různé fyzikální povahy i vnějších interakcí.

Potvrzuje se, že komplexní pojetí vede k řešení problémů s výrazně odlišnými časovými konstantami u jednotlivých subsystémů, které se například u mechanického a elektrického subsystému mohou lišit až o 6 řádů. Setkáváme se s tím, že standardní explicitní integrační formule (Eulerova, Runge-Kutta, Adams-Moultonova a jiné) nejsou pro simulační výpočty vhodné jak pro extrémní časové nároky, tak i s ohledem na jejich sklon k numerické ne-stabilitě, vyplývající z toho, že mají uzavřenou a omezenou oblast absolutní stability, Tyto problémy lze obejít, aplikujeme-li při integraci pohybových rovnic tzv. stiff algoritmy (např. Gearova metoda a její modifikace, Rosenbrockova metoda a další).

Základem numerické simulace na matematickém modelu dynamického systému je nalezení numerického řešení soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu, splňujícího podmínky definované na začátku tohoto odstavce. Při aplikaci stiff algoritmů využíváme velmi dobrých stabilitních vlastností těchto metod v kombinaci s vhodnou strategií řízení délky integračního kroku. Nelineární systém

0 f

10 0 0

0

d ( )( ) ( , ) , , ,d

( ) ( ) , ,

( , ) , :w w w

tt t t I tt

t t t I w

I

≡ = ∈ =

= = = ∈ ∈

∈ × →

xx f x

x x x

x x f

,

t

(4.26)

nazveme tuhým (stiff) na intervalu I, jestliže t I∀ ∈ vlastní čísla ( ) , 1, 2,…,i t C iΩ Ω∈ = w

Jakobiho matice

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2f

1 2

f f f

f f f

f f f

w

w

w w w

w

x x x

x x x

x x x

∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥

∂⎡ ⎤ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

fJx

,

splňují následující podmínky :

• w , ( )Re ( ) 0, 1,2,…,i t iΩ < =

• 1S , kde veličina S je dána výrazem ( ) ( )max Re ( ) min Re ( )/i iS t tΩ= Ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ,

. 1, 2,…,i w=

Jak vyplývá z definice, v případě nelineárního systému závisí vlastní čísla Jakobiho

matice na vektoru řešení . Tuhost systému je tedy určena fyzikální podstatou modelu

i jeho řešením.

( )i tΩ

fJ ( )tx

Pro nelineární systém (4.26) lze také vyjádřit hodnotu Lipschitzovy konstanty L

f,

sup ( ) 1t N D

L σ∀ ∈

∂= ≥

∂f Jx

, (4.27)

kde f( )σ J reprezentuje spektrální poloměr Jakobiova matice . Ze vztahu (4.27) vyplývá,

že tuhost lze také interpretovat jako špatnou podmíněnost funkce . Podle vztahu (4.27)

je tuhý systém charakteristický vysokou hodnotou Lipschitzovy konstanty, tj. platí, že

fJ

( , )tf x

1L . Základní podmínku stability číslicové simulace na matematickém modelu dynamického

systému (4.25), resp. (4.26) pak můžeme vyjádřit pomocí relace , 1, 2,…,ih i wω ∈Ω = , (4.28)

kde h je krok numerické simulace , ( 0)h > iω je i-té vlastní číslo matice systému a Ω je ob-

last absolutní stability numerické metody. Pro stiff-metody je charakteristické, že oblast absolutní stability zahrnuje velkou část

roviny komplexních čísel

| Re( ) 0C h hω ω− = < .

Při výběru vhodných numerických metod se například osvědčil přístup, založený na testování numerických algoritmů na konkrétních typech diferenciálních rovnic. Výsledkem těchto testovacích studií je vzájemné porovnání vybraných numerických metod, stanovení jejich efektivnosti a použitelnosti pro konkrétní specifické aplikace. Ukázalo se ale, že

zatímco pro řešení lineárních diferenciálních rovnic je uvedený postup vhodný, při řešení soustav nelineárních diferenciálních rovnic tomu tak vždy není.

Nechť je libovolné přirozené číslo z množiny přirozených čísel r r∈ . Pak můžeme de-finovat obecný systém nelineárních obyčejných diferenciálních rovnic řádu , , defi-

novaný na intervalu

r ( 2r > )

0 f,I t t≡ ⟨ ⟩ pomocí formule

, (4.29) ( ) ( 1)( , , , ,…, )r rt −=x f x x x x

s vektory počátečních podmínek

( 1) ( 1)0 0 0 0 0 0 0 0( ) , ( ) , ( ) , …, ( )r rt t t t− −= = = =x x x x x x x x , (4.30)

kde je počáteční a je koncový bod časového intervalu řešení. Z hlediska existence a jed-

noznačnosti řešení předpokládáme, že : 0t ft

• funkce ( 1) je definována a je spojitá na intervalu 0 f,( , , , ,…, )rt −f x x x x I t t≡ ⟨ ⟩ pro

libovolné konečné hodnoty komponent vektorů ( 1), , ,…, r−x x x x ,

• funkce ( 1) splňuje Lipschitzovu podmínku vzhledem k vektorovým

argumentům ( 1) .

( , , , ,…, )rt −f x x x x

, , ,…, r−x x x x

Při numerickém řešení výše popsaných matematických modelů pohonových soustav a při počátečních podmínkách (4.30) byly zkoumány lineární implicitní vícekrokové metody, které splňovaly požadované stabilitní podmínky, a výsledky byly porovnány s výsledky získanými pomocí standardní explicitní metody Runge-Kutta 4. řádu s automatickou změnou integrač-ního kroku dle Richardsonovy strategie. Jednalo se o následující metody :

• skupina semi-implicitních metod řádu 3r = ,

• Galahanova metoda, • Michelsonova metoda, • skupina implicitních metod • A-stabilní Crank-Nicholsonova metoda 2. řádu (lichoběžníková), • exponenciálně citovaná Brandonova metoda.

Výsledky, získané pomocí výše uvedených numerických metod, ne vždy splňovaly očeká-vání a vyskytly se obtíže, pokud analyzovaný problém měl větší počet stupňů volnosti. Dob-rých výsledků bylo naopak dosaženo s programovými soubory SADYS/DYNAST, MATLAB a Simulink nebo MathCAD Professional. Tyto metodiky nám umožňují počítat nejen základní charakteristiky, jako jsou spektra vlastních frekvencí a tvarů vlastních kmitů, spektra vedlej-ších rezonancí nebo přenosové či impulsní funkce, ale umožňují řešit i tzv. „vnitřní dyna-miku“ odezvových procesů, především nám pak umožňují sledovat průběhy přechodových dějů ve fázových rovinách a vlivy parametrů regulace na průběhy odezev, umožňují identi-fikaci špičkových hodnot zatěžujících procesů nebo deformací, či detailně studovat působení parazitních procesů. To vše je možné získat na modelech pohonových soustav již ve stadiu

jejich projektování a provádět paralelní výpočty – tím se naplňují požadavky simulací ve variantách. Výsledkem pak je podstatné zrychlení vývojových prací.

4.4 Matematické modelování mechanických subsoustav a vazeb komplexních pohonů

Modelování prvků, subsoustav a vazeb mezi nimi u technických objektů a technických soustav patří mezi základní problémy, které musíme při projekci nových (inovovaných) tech-nických objektů zvládnout. Právě zde, při nepochopení základních pravidel, mohou vznikat chyby, které následně znehodnotí následné kroky. Důsledkem je, že vytvořený model neod-povídá požadavkům, které na něj byly kladeny.

V dalším se nejprve zaměříme na modelování rotujících částí pohonových soustav a pak na vazby mezi jednotlivými subsoustavami rotorů, mezi rotory a skříní, případně okolním pro-středím.

4.4.1 Modelování rotujících částí pohonových soustav (modelování rotorů)

Při modelování mechanických částí pohonů vycházíme z jejich diskretizace na konečný počet stupňů volnosti. K matematickému popisu pak můžeme s výhodou použít Lagrange-ových rovnic smíšeného typu, které lze vyjádřit ve tvaru

p Td vk kp

d ( )d

E EE E tt

∂⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ∂− = − − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

fQ λq q q q q

, (4.31)

kde k p d, ,E E E jsou kinetická, potenciální a disipativní energie, pQ je vektor vnějšího silo-

vého působení, q je vektor zobecněných souřadnic, je vektor Lagrangeových multiplikátorů a je vektorová funkce obsahující vazby mezi závislými souřadnicemi.

λ

vf

Pohybovou rovnici (4.31) lze upravit s ohledem na konkrétní problém do více tvarů. Zde uvedeme některé z nich:

• Pro pohony s konstantním převodem

( ) (N p( ) ( ) ( ) ( , , ) , ( )t t t t tt∂

+ + + =∂

M q Bq K q f q q Q ξ )t , (4.32)

kde M, B, K jsou matice momentů setrvačnosti, torzních tlumení a tuhostí, q je vektor zobecněných souřadnic, fN je vektorová funkce, vyjadřující nelinearity mechanické části pohonu, je vektor náhodných složek buzení. ξ

• Pro pohony s nekonstantním převodem

( )m p

v

[ , , , ] , ( ) ,[ , , ] ,

t t tt

=

=

f q q q Q ξf q q 0

(4.33)

kde fm je vektorová funkce popisující mechanickou část pohonu a fv je vektorová funkce popisující vazební podmínky. Pohybové rovnice mohou být dále doplněny soustavou rovnic popisující vztahy mezi závislými a nezávislými souřadnicemi.

• Při modelování elektrické části pohonů využíváme nejčastěji soustav diferenciálních rovnic I. řádu, definovaných pro konkrétní typy elektromotorů a jejich řízení, viz např. [15]. V symbolickém tvaru tyto soustavy můžeme vyjádřit následovně

[ ]E e e( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )t t t t t t =f u u q q u w 0 , (4.34)

kde fE je nelineární vektorová funkce, popisující elektrickou subsoustavu jako celek, ue je vektor elektrických veličin, u je vektor veličin řízení pohonu, w je vektor vnějších poruch elektrického subsystému (šumy).

• Při formulaci matematického modelu, reprezentujícího jak mechanickou tak elektric-kou část pohonu, můžeme využít např. Lagrangeových-Maxwellových rovnic [2]:

pd , kded

L Lt

⎡ ⎤∂ ∂⎡ ⎤ − = = ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

qQ z

κz z , (4.35)

L je tzv. Lagrangeova funkce, q je vektor zobecněných souřadnic a κ je vektor zobecněných souřadnic elektrické subsoustavy pohonu.

Stejně tak můžeme při sestavování modelů elektromechanických soustav resp. heterogen-ních fyzikálních struktur složených z elektrických, mechanických, hydraulických a jiných prvků použít Hamiltonova principu [2].

Je-li struktura pohonové soustavy homogenní, lze k sestavení pohybových rovnic použít modely se spojitě rozloženými hmotovými a materiálovými parametry a s nelineárními okra-jovými podmínkami. V těchto případech je možné k získání modelu použít také metodu konečných prvků. Pokud k sestavení modelu postačí využití jednoduchých prvků, například nosníkových (hřídele) a prstencových (disky a kotouče), je sestavení výpočtového modelu poměrně jednoduché.

Obr. 4.3: Rotující hřídel s kotoučem

Situace se ale komplikuje, máme-li modelovat chování pohonových soustav s uvažováním vlivu gyroskopického momentu, tj. za předpokladu ohybové deformace rotujících hřídelů s kotouči, viz obr. 4.3. U hřídelového prvku uvažujeme ohybové deformace ve dvou na sebe kolmých rovinách a natočení a /w sΒ = −∂ ∂ /v sΓ = −∂ ∂ , kde s označuje pozici konečného prvku v axiálním směru vzhledem k počátku globálního souřadnicového systému. Pak má konečný prvek 8 stupňů volnosti a jeho pohybovou rovnici můžeme psát ve tvaru

[ ] [ ]T R A B ( )t+ −Ω − + =M M q G q K K q Q , (4.36) kde

(4.37)

TT

0

TR D

0T

TP

0

TA

0

TB

0

d ,

d ,

(antisymetrická) ,

d ,

d ,

d .

l

l

l

l

l

s

E s

E s

P s

E I s

μ

Γ Β

=

=

= +

=

′ ′=

′′ ′′=

∫

∫

∫

∫

∫

M Ψ Ψ

M Φ Φ

G N N

N Φ Φ

K Φ Φ

K Φ Φ

Jednotlivé symboly představují: q vektor deformací (posuvy, natočení), úlovou rychlost hřídele, pozici prvku vzhledem ke globálnímu souřadnicovému systému, l délku prutu, P axiální sílu v ose prvku,

Ω

sE I ohybovou tuhost prvku, μ hmotnost na jednotku délky prvku

a matice tvarových funkcí prvku. , , ,ΓΨ Φ Φ ΦΒ

Potenciální a disipativní energie, užité ve vztazích (4.37) jsou definovány rovnicemi

T TP

1d2

dE E I s′′ ′′= q Ψ ηΨ q (4.38)

a

T TD V

1d d2

E E I sη ′′ ′′= q Ψ Ψ q , (4.39)

kde matice materiálového (vnitřního) tlumení je definována

H HV2 2

H H

H HV2 2

H H

1 11 1

1 11 1

η η ηη η

η ηηη η

+ +⎡ ⎤+Ω⎢ ⎥+ +⎢= ⎢ ⎛ ⎞+ +⎢ ⎥⎜ ⎟− +Ω⎜ ⎟⎢ ⎥+ +⎝ ⎠⎣ ⎦

η ⎥⎥ (4.40)

a Vη je koeficient viskózního tlumení a Hη je součinitel hystereze.

Nesymetrický prvek matice můžeme vyjádřit pomocí nekonzervativních zobecněných

sil, rovnice (4.36) můžeme upravit do tvaru

η

[ ] [ ] H HT R V B B A V C2 2

H H

1 1 ( )1 1

tη ηη ηη η

⎡ ⎤⎛ ⎞+ +⎢ ⎥⎜ ⎟+ + −Ω + − + +Ω =⎜ ⎟⎢ ⎥+ +⎝ ⎠⎣ ⎦

M M q K G q K K K q Q , (4.41)

kde KC je antisymetrická cirkulační matice. Je patrné, že v tomto případě jsme postaveni před řešení mnohem obtížnější úlohy než

v případě nosníkového typu s axiálně-torzními deformacemi (4 stupně volnosti), případně i ohybovými deformacemi (až 12 stupňů volnosti), a prstencových prvků s radiálními a teč-nými deformacemi (4 stupně volnosti), případně i osovými deformacemi (8 stupňů volnosti).

Tuto metodiku nelze z praktických důvodů využít, sestavujeme-li modely pohonových soustav se složitými převodovými strukturami (diferenciály, planetové převodovky).

Ve všech uvažovaných případech musíme výše uvedené rovnice doplnit vektory počáteč-ních podmínek a musíme ověřit předpoklady řešení. Prakticky ve všech případech lze tyto rovnice transformovat do stavového prostoru.

4.4.2 Modelování vnějšího prostředí pohonových soustav

Pohonové soustavy v mnoha případech již nelze chápat izolovaně od vnějšího prostředí. Jde například o konečnou tuhost uložení či o přenos parazitních účinků od rotujících částí. Z těchto důvodů byl zaveden pojem pracovní prostor chápaný v dalším jako část struktury stroje, která se přímo nepodílí na přenosu energie v průběhu pracovního cyklu, avšak v dů-sledku pohybu soustavy v ní dochází k posuvům či deformacím, které mohou výrazně ovlivnit chování systému. Při modelování pracovního prostoru opět vycházíme z diskretizace struktury stroje, nejčastěji s využitím MKP. Zpravidla vzcházíme z lineárního přiblížení, které nám umožní využít jednoduchou maticovou rovnici , (4.42) ( ) ( ) ( ) ( )t t t+ + =M q B q K q F t

t V

kde M, B, K jsou matice hmotností, tlumení a tuhostí, q(t), F(t) jsou vektory výchylek a buzení, tečky označují derivace podle času.

Rovnici (4.42) můžeme upravit do známého tvaru zavedením spektrální matice , orto-normální modální matice V a za předpokladu malého proporcionálního tlumení s využitím relace

Ω

=q V v

, (4.43) 2 Tmod mod( ) 2 ( ) ( ) , ( )t t t+ + = =E v δΩ v Ω v f f V f

kde E je jednotková matice, δ je matice poměrného útlumu a v je vektor hlavních souřadnic. Užitím Laplaceovy transformace pak lze získat relaci mezi vektory hlavních souřadnic

a vnějšího zatížení

T

2 2( ) ( ) ( ) , kde ( )2

p p p pp p

= =+ +

V Vv G f GE δΩ Ω

, (4.44)

Matice představuje dynamické poddajnosti v Laplaceově obrazu a reprezentuje přeno-

sové vlastnosti soustavy.

( )pG

Uvažovaná metodika byla použita při modelování interakcí mechanické soustavy tvořené jednostupňovou převodovkou a „pružnou“ skříní [16]. K modelování byl použit programový soubor ANSYS a osmiuzlové isoparametrické objemové prvky (SOLID 45). Tyto prvky lze redukovat do šestiuzlových, resp. čtyřuzlových tvarů, přičemž každému tvaru náležejí tři stupně volnosti. Výsledky modální analýzy jsou uvedeny na obr. 4.4 (pro 1. a 8. tvar kmitu).

Uvedeného postupu může být použito mj. při modelování konstrukčních úprav pracovního prostoru. Tzv. strukturální dynamická modifikace [15] pak spočívá v nalezení spektrální a modální matice upravované konstrukce pouze s využitím matic a Ω původní konstrukce a známých matic hmotností a tuhostí připojovaných prvků, např. žeber, výztuh a podobně.

V

Obr. 4.4: Výsledky modální analýzy

Uvedená metodika je vhodná spíše k posouzení vlivu „vnitřní struktury“ pohonu na okolí, například na převodovou skříň. Dovoluje však určení deformací v místech uložení rotujících částí a jejich následné využití při analýze pohonu.

U pohonových soustav mobilních systémů (automobily, kolejová vozidla) se setkáváme například s transformací účinků od vozovky (resp. kolejí) na pohonové soustavy „přes“ hnací kola. Tato řešení byla ověřena pomocí experimentů.

Samostatnou oblast tvoří problematika vázaného kmitání rotorů a statorů. K dispozici je řada metod, využívajících matic komplexních dynamických poddajností aplikovaných napří-klad na letecké motory [17], [18], ale i na převodová ústrojí v automobilovém průmyslu – viz například využití metody modální syntézy pro modelování kmitajících soustav se silnými ne-linearitami a poddajnými statory [20].

Poznámka O vlivu pružného uložení hřídelů pohonových soustav a rotorů na jejich dynamické

vlastnosti bude pojednáno v následujících odstavcích.

4.4.3 Modelování ložiskových vazeb v pohonových soustavách

V mnoha případech se při modelování vlastností a chování pohonových soustav nevy-hneme zahrnutí vlivu vazeb mezi subsoustavami pohonů nebo mezi pohony a jejich okolím do globálního modelu. Při posuzování jednotlivých vazeb vycházíme nejprve z jejich geomet-rického popisu. Doposud se nejčastěji využívalo linearizovaných modelů vazeb. U poho-nových soustav s převodovými ústrojími hrají dominantní roli ložiskové a zubové vazby. Se-tkáváme se také s jinými druhy vazeb, například s různými druhy spojek, řemenovými variá-tory či některými typy elektromechanických zařízení.

Typická vazba představuje spojení dvou subsoustav. Při modelování složitých pohonových soustav, složených z N podsoustav, lze vektor popisující prostor zobecněných souřadnic defi-novat takto:

, (4.45) TT T T

1 2, , , N⎡ ⎤≡ ⎣ ⎦q q q q…

kde 1

nss

N N=

=∑ .

Vazby mezi rotujícími částmi pohonů a skříněmi (okolím), resp. mezi rotorovými a stato-rovými soustavami, se realizují zpravidla prostřednictvím ložisek. Nejčastějšími typy ložisek jsou:

a) valivá ložiska, b) kluzná ložiska, c) elektromagnetická ložiska (zejména v poslední době).

Obr. 4.5: Schéma ložiskové vazby [20]

4.4.3.1 Valivá ložiska

Konstrukce valivých ložisek je známá. Valivá ložiska se skládají s valivých prvků (ku-ličky, válečky, ...) uložených v ložiskových klecích mezi vnitřními a vnějšími kroužky. Geo-metrie valivých ložisek je patrná z obr. 4.5 [20].

Pomineme nejjednodušší případ, kdy je hřídel uvažován v příčném směru jako tuhý a jeho uložení v ložisku rovněž tuhé. Deformace v místě uložení hřídele pak mohou ovlivňovat frek-venční charakteristiku pohonu.

Je známou skutečností, že snížení tuhosti uložení vede ke snížení kritických rychlostí rotoru. Působení pružného uložení v konstrukci pohonu a skříně je ekvivalentní snížení tuhosti hřídele nebo rotoru. V případě pružného uložení se můžeme setkat s novými velmi nízkými kritickými otáčkami, které jsou bez problému překonávány při rozběhu pohonové soustavy v situaci, kdy je působení nerovnovážných silových účinků ještě malé. Hodnota nových kritických otáček (druhých) pak bude mnohem vyšší než hodnota původních kritic-kých otáček rotoru uloženého na tuhých podporách. To je první vážný důsledek vyplývající z existence „pružných“ uložení hřídelů a rotorů.

Druhým důsledkem pružných uložení vysokorychlostních hřídelů a rotorů je známý efekt odlehčení ložisek, silové odlehčení v styčných uzlech rotorů a základů (skříně) a v důsledku toho izolování základů od zdrojů vibrací.

Skutečně, označíme-li R sílu působící na ložisku „tuhého rotoru“ (tj. rotoru pracujícího při nižších otáčkách než jsou kritické), bude tato rovna výrazu [20]

2( )R m yλ ε ω= + , (4.46)

a pokud rotor pracuje ve frekvenční oblasti dostatečně vzdálené od

2R mλ ε ω≈ . (4.47)

Když rotory na pružných podporách, i když jsou samy o sobě tuhé, pracují daleko za prv-ními kritickými otáčkami (tj. jedná se o „pružné“ rotory), bude pohyb rotoru stabilní a bude přibližně probíhat kolem jeho těžiště. Pak zatížení působící na pružnou podporu bude

1 1R kλ ε≈ . (4.48)

V rovnicích (4.46)–(4.48) označuje hmotnost rotující soustavy (rotoru, disku), m y prů-

hyb v místě těžiště, ε excentricitu těžiště, celkovou tuhost hřídele (rotoru) a pružné pod-

pory, 1k

1,λ λ koeficienty závislé na strukturním uspořádání rotující subsoustavy. Například pro

hřídel se symetricky umístěným diskem je 1/ 2λ = , pro disk umístěný na volném konci „za ložiskem“ je 1λ = .

Celkovou tuhost (lineární přiblížení) uložení pak vypočteme ze známého vztahu 1k

1 H L

1 1 1k k k= + , (4.49)

kde je ohybová tuhost hřídele v místě uložení a je tuhost ložiskové podpory. Hk Lk

Pro případ, kdy je disk umístěn na hřídeli v bezprostřední blízkosti ložiska platí:

LR k ε≈ . (4.50)

Zdůrazněme, že z výše uvedených vztahů vyplývá, že u pružných podpor (a pružných ro-torů) velikost síly od rotoru působící na ložiska nezávisí na otáčkách.

Dále se zaměříme na využití nelineárního modelu pružné vazby, respektujícího vazební vůle a proměnnou kontaktní tuhost elementů valivých ložisek v závislosti na jejich deformaci. Model je popsán v práci [20], zde uvedeme jen nejpodstatnější skutečnosti. Na obr. 4.5 je schématické znázornění ložiskové vazby. Silový přenos probíhá mezi čepem (hřídelem), který je v radiálním směru uvažován jako tuhý, přes vnitřní kroužek a valivé elementy na vnější kroužek, který je obecně považován za součást pružného rámu (statoru). Celková radiálně

přenášená síla nechť je označena jako , případná axiální síla jako . Polohy těchto sil,

působících na konkrétní valivý element nechť označuje

ijF axijF

ijδ . Radiální a axiální síly, přená-

šené jednotlivými valivými elementy, lze v souladu s Hertzovou teoríí kontaktních těles po-psat vztahy

axax

ax ax

( ) ,

( )

i

ij

nij

ij iji

n

ijij ij

i

F HC

F HC

Δ⎛ ⎞= Δ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞Δ= Δ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

,

= =

)

(4.51)

kde a představují radiální a axiální deformace prvků a parametry lze

určit podle typu ložiska, například

ijΔ axijΔ ax ax, , ,i i i in C n C

[20]:

• pro kuličková ložiska s průměrem kuliček d platí: 7 1/3 . 3 / 2 , 4,37.10n C d− −= =

• pro válečková ložiska s délkou válečku l platí 7 0,8l− − . 1/ 0,9 , 0,77.10n C

Symboly a představují Heavisideovy funkce v kontaktních bodech ( )ijH Δ ax( ijH Δ ijH ,

resp. (viz obr. 4.5). axijH

Linearizovaný model ložiskové vazby

Předpokládejme, že střed čepu hřídele v i-tém ložisku má malé výchylky vzhle-

dem ke statické rovnovážné poloze. V každém ložisku musí být kontaktní síly iS ,iv wi

ijF v rovnováze

s výslednou statickou silou v ložisku , tj. musí být splněny podmínky: iF

1 1

cos cos , sin sini ip p

i i ij ij i i ij ijj j

F F F Fδ δ δ= =

= =∑ ∑ δ , (4.52)

kde ip je počet valivých elementů.

Po dosazení výrazů (4.51) do (4.52) a po úpravě pro st( )ij ijΔ = Δ lze získat linearizovanou

tuhost valivých elementů

st

1st st st

( )

d[( ) ] ( ) [( ) ]

di

i

ij ij

ij niij ij ij ijn

ij i

F nk H HC

−

Δ ≡ Δ

= Δ = ΔΔ

Δ , (4.53)

kde st st st( ) ( ) cos ( ) sinij ij ij ij ijv wδ δΔ = + .

Podobně musí být v každém ložisku v rovnováze také axiální síly, tudíž musí platit

ax ax

1

ip

ij

F F=

= ij∑ (4.54)

a obdobným způsobem jako výše pro dostaneme ax axst( )ij ijΔ = Δ

ax

ax

ax axst

ax ax1ax ax ax ax

st st stax ax( )

d[( ) ] ( ) [( ) ]

d ( )ij

ij

ij ij

nij ijij ij ij ijn

ij i

F nk H H

C−

Δ ≡ Δ

= Δ = ΔΔ

Δ , (4.55)

kde

axst st st st( ) ( ) ( ) cos ( ) sinij i i i ij i i iju r rψ δ ϑ δΔ = − + ,

st( )iu je celkový statický axiální posuv ložiska a souřadnice st( )iψ a st( )iϑ popisují natočení

roviny kroužku ložiska kolem příčných os čepu ložiska. Pro linearizované síly ve valivých prvcích platí

. (4.56) ax ax axresp.ij ij ij ij ij ijF k F k= Δ = Δ

Na základě vztahů (4.56) můžeme definovat globální vektor linearizovaných vazbových ložiskových sil

. (4.57) L L L( ) ( ) ( ) ( )t t t= − − +f K q B q fB t

4.4.3.2 Kluzná ložiska

Kluzná ložiska mají poměrně hojné využití v rotorových soustavách, především u letec-kých motorů. Analýza jejich dynamických vlastností a jejich modelování jsou v důsledku uvažování olejového mazacího filmu velmi obtížné a představují samostatný problém pro řešení. Za vyšších teplot se v ložiscích mění i viskózní charakteristiky maziva, a proto je nutné zohlednit také vliv pohybu mazacího filmu uvnitř ložiska.

4.4.3.3 Elektromagnetická ložiska

Aktivní magnetická ložiska zamezují kontaktu mezi rotorem a statorem, a proto je můžeme využít tam, kde by byla „klasická ložiska“ nepoužitelná. Mezi výhody patří nízké tření, opo-třebení a hlučnost, většinou není třeba mazání. Nevýhodou může být pořizovací cena subsou-

stavy řízeného magnetického pole. Protože se obecně jedná o nelineární, nestabilní a rychlou soustavu, představuje její řízení složitý problém.

Obr. 4.6: Schéma rotoru aktivního magnetického ložiska

Model soustavy rotor + magnetické ložisko

Vyjdeme-li z obr. 4.6 [21], lze model rotoru popsat rovnicí

, (4.58) 2g n ( )t+Ω = + +Ω ΩMq G q Bf f D

kde q je vektor zobecněných souřadnic

[ ]T x yγ ϑ=q . (4.59)

M je matice hmotností

[ ]r rdiag m J m J=M , (4.60)

kde je hmotnost rotoru a je moment setrvačnosti rotoru k jeho ose rotace. je matice

popisující vliv gyroskopického momentu

m rJ G

, (4.61) a

a

0 0 0 00 0 00 0 0 00 0 0

J

J

⎡ ⎤⎢ ⎥−= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

G

kde je moment setrvačnosti rotoru vzhledem k ose kolmé k ose rotace. Ω je rychlost otá-

čení rotoru, B je matice charakterizující magnetické síly aJ

bA bB

bA b

1 0 1 00 0

0 1 0 10 0

l l

l l

⎡ ⎤⎢ ⎥−= ⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

B

B

. (4.62)

Vektor zahrnuje síly působící od magnetických ložisek f

, (4.63) T

xA yA xB yBf f f f⎡ ⎤= ⎣ ⎦f

vektor zahrnuje působení gravitačního pole gf

[ ]T0 0 0m g= −f , (4.64)

a matice popisuje vliv nevyváženosti rotoru n ( tΩD )

[ ]Tn s d s d( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( )t K t K t K t K tβ βΩ = Ω Ω + Ω − Ω +D , (4.65)

kde a jsou koeficienty statické a dynamické nevyváženosti a sK dK β je okamžitý úhel po-

otočení od počáteční polohy [22]. Parametry bAl a bBl jsou vzdálenosti elektromagnetů od tě-

žiště rotoru, viz obr. 4.6.

Obr. 4.7: Rozložení elektromagnetů pro jednu osu magnetického ložiska

Model magnetické síly působící na rotor

Magnetické pole je generováno elektrickým proudem nebo permanentním magnetem. Výsledná magnetická síla je vždy přitažlivá. Pro řízení polohy hřídele je zapotřebí, aby tato síla mohla působit jak směrem k elektromagnetu, tak směrem od něj. Toho se dosáhne pomocí dvou protilehlých elektromagnetů působících proti sobě, viz obr. 4.7. Výsledná magnetická síla je pak dána rozdílem sil od jednotlivých elektromagnetů:

2 22 1

2 2

2 2

K i K iFd dx a x

= −⎛ ⎞ ⎛− + + +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

a ⎞⎟⎠

, (4.66)

kde K je koeficient závislý na parametrech cívky elektromagnetu a jeho hodnota je různá pro

různé typy magnetických ložisek [21], jsou proudy v elektromagnetech, je velikost

vzduchové mezery mezi rotorem a elektromagnety, 1 2,i i d

x je velikost výchylky rotoru od rov-novážné polohy v příčném směru a je korekční konstanta, která zajišťuje, že model odpo-vídá skutečnosti.

a

Pro praktické realizace se provádí přepočet magnetické síly na řídicí napětí, čímž dosta-neme poměrně složité rovnice pro požadované síly pF . Naštěstí lze při výpočtech napětí

zanedbávat vliv indukčnosti a požadované magnetické síly modelovat pomocí jednoduché diferenciální rovnice [21]

, (4.67) pF F K F= +

kde pF je požadovaná síla a je její skutečná hodnota. Výhodou naznačeného postupu je, že

výsledná magnetická síla modelu odpovídá realitě v celém pracovním prostoru. Nevýhodou je nutnost provádět při každém akčním zásahu přepočet požadované síly na odpovídající napětí, čímž se prodlužuje reakční doba regulátoru.

F

V současné době se do řídicích podsoustav magnetických ložisek zařazují algoritmy umělé inteligence, které umožňují i při nepřesné znalosti chování a stavu řízené soustavy dosáhnout kvalitního řízení, a navíc se dokáží při provozu přizpůsobit skutečnému chování. O těchto problémech ještě pojednáme v kapitole o řízení pohonových soustav.

4.4.4 Modelování zubových vazeb

Analýza dynamických vlastností pohonových soustav prošla dlouhým vývojem. Nejslo-žitějším a stále ještě nedostatečně zvládnutým problémem všech dosud používaných metodik zůstává ozubení se svojí velmi složitou problematikou vnitřního buzení a tlumení, které jsou generovány přímo v záběrech spoluzabírajících párů zubů. Tyto velmi složité jevy – interakce výrobních odchylek či opotřebení, výškové modifikace ozubení, poddajné deformace zubů – jsou dosud v používaných výpočtových modelech zanedbávány. Vnitřní zdroje buzení jsou vesměs zjednodušovány na funkce času, což reálným podmínkám odpovídá jen zčásti.

Některé složitosti modelování dynamických jevů v ozubení jsou studovány v práci [23]. Výpočtové metodiky jsou neustále zpřesňovány, objevují se nejen rovinné, ale také prosto-rové modely záběru ozubených kol vytvářené pomocí MKP. Zohledňují se také základní neli-neární jevy v ozubení, způsobené:

• existencí bočních zubových vůlí, • proměnlivou tuhostí ozubení v důsledku střídání počtu zubů v záběru, • tlumením v ozubení a • vznikem kinematického buzení.

Jednou z efektivních možností, jak modelovat vlivy ozubení na dynamické vlastnosti pohonových soustav nabízí práce [25]. Zde se vychází z lineárního modelu čelního zubového záběru se šikmým ozubením, ve kterém je zubový záběr uvažován jako bodový ve středu šířky ozubení. V záběrovém bodě jsou pak sestaveny vektory zobecněných výchylek, závislé na geometrických parametrech pastorku a kola. Jsou odvozeny matice tuhostí a tlumení v zubových vazbách, jsou sestaveny pohybové rovnice a je přistoupeno k jejich řešení. Nutno

ovšem poznamenat, že přesnost výsledků, získaných řešením soustav pohybových rovnic, významně závisí na přesnosti vstupních parametrů. Tyto složité vstupní parametry zahrnují především: celkovou tuhost spoluzabírajícího ozubení, nerovnoměrnost převodu, relativní poddajné deformace, relativní výškové korekce boků zubů a odhady tlumení. Součinitel záběru zubů můžeme považovat za konstantní a je určen prostým geometrickým výpočtem.

Je zřejmé, že tyto vlivy lze jen těžko zachytit pomocí lineárních výpočtových modelů, a proto se zohledňují alespoň základní nelinearity v zubových vazbách.

4.4.4.1 Boční vůle

Patrně nejdůležitějším nelineárním jevem, kterým se při modelování zubových vazeb zabýváme, je boční vůle v ozubení. Velmi zhruba ji lze popsat následujícím způsobem. Ozna-

číme-li deformaci ozubení , lze sílu přenášenou v ozubení vyjádřit ve tvaru zd

, (4.68) z z z z z z z z z( , , ) ( , )F t d d k d b d f t d= + +

kde a jsou koeficienty tuhosti a tlumení v ozubení. Je zřejmé, že první dva členy na

pravé straně rovnice (4.68) představují lineární část problému. Nelineární funkce zk zb

z z( , )f t d

modifikuje průběh síly ve fázích přerušení zubového záběru, viz obr. 4.8. zF

Obr. 4.8: Průběh elastické síly v záběru zubu

Označíme-li vůli v ozubení , můžeme nelineární funkci zu z z( , )f t d vyjádřit rovnicí

z z z z z z z z z z( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t d k t d H d k t d u H d u= − − + + − − , (4.69)

kde za lze v prvním přiblížení dosadit „střední hodnotu“ tuhosti ozubení získanou např.

dle zk

[23]. Symbol ( )H představuje Heavisideovu funkci.

4.4.4.2 Proměnná tuhost ozubení

Proměnná tuhost ozubení zavádí do výpočtového modelu parametrický zdroj buzení. Tu-host jednoho páru zubů se v průběhu záběru výrazně mění a lze ji definovat jako periodickou funkci s periodou rovnou času trvání záběru příslušného páru zubů. Tato tuhost je ale ovliv-

něna dalšími faktory: profilem zubu, součinitelem trvání záběru, korekcí boku zubů i hydro-dynamickými ději v mazivu. Tyto jevy ani dnešní výpočtové modely plně nerespektují.

Byl již zmíněn možný vhodný způsob výpočtu tuhosti ozubení [23]. Jiný způsob předložili Cai a Hayashi [24], kteří navrhli pro odhad tuhosti jednoho páru zubů šikmého ozubení ana-lytický vztah

( ) ( )2

m p p p p2

1,8 1,8 0,55 pro ,( )

( )0 jinak

k t t t t t t tT T

k tε ε

⎧ ⎡ ⎤T− − − + ∈ +⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦= ⎨

⎪⎪⎩

, (4.70)

kde představuje maximální hodnotu tuhosti jednoho páru zubů během jejich záběru, mk ε je

součinitel záběru zubů a T je perioda záběru zubů. Vztah (4.70) aproximuje tuhost zubů

v intervalu p p,t t T+ , kde pt t= je čas, kdy zuby do záběru vstupují, a pt t T= + je čas, kdy

ze záběru vystupují. Pro periodu záběru přitom platí

z

2Tpπω

= , (4.71)

kde zp je počet zubů pastorku rotujícího úhlovou rychlostí omega.

Obr. 4.9: Průběhy tuhosti ozubení v závislosti na dráze záběru a součiniteli záběru

Průběhy tuhostí ozubení v závislosti na dráze bodu záběru a součiniteli záběru jsou znázor-něny na obr. 4.9 [25]. Tyto průběhy byly získány pomocí rovnice (4.70). Slabě vykreslené křivky odpovídají průběhům tuhosti jednotlivých párů zubů do záběru vstupujících a vystu-pujících, čárkovaně je znázorněna střední tuhost ozubení a tučně zobrazené křivky určují prů-běhy výsledné tuhosti ozubení.

Výslednou tuhost ozubení pak lze vyjádřit následovně

( ) ( )pp

k t k t=∑ , (4.72)

kde index p je počet párů zubů, které jsou v čase t právě v záběru.

V technické literatuře se setkáváme i s vyjádřením tuhosti ve tvaru sudé periodické funkce ve tvaru

z z0 z z1

( ) cosnn

k t k k n p tω∞

=

= +∑ , (4.73)

kde je střední tuhost ozubení (na obr. 4.9 znázorněna čárkovaně) a z0k zp ω je zubová frek-

vence. Amplitudy harmonických složek pak závisí na součiniteli záběru. Tato formulace

pomocí periodické funkce byla kriticky zhodnocena v úvodu odstavce. znk

Obr. 4.10

4.4.4.3 Dodatek

Přesnější dynamická analýza kinematických vazeb v ozubení vede k vyšetřování nelineár-ních soustav s časově proměnnými parametry a například u planetových převodovek i s větve-nými toky výkonu. Boční vůle způsobují při dynamických deformacích (větších než jsou staticko-elastické) odskoky, tj. oddělení profilů zubů v průběhu záběru. Mohou se objevit rázy a dochází k porušování záběrových tribologických podmínek. Důsledkem je zvýšení hluku, možnost vzniku samobuzeného kmitání, případně i chaosu. Tyto složité děje je obtížné mode-lovat pomocí klasických metod. Řešením může být využití simulačních programů, např. prog-ramu SADYS/DYNAST. Jeden z možných případů je znázorněn na obr. 4.10 [25]. Zde je analyzováno chování řízené pohonové soustavy v místě rozvodovky (pozice 2), ve které byla uvažována vůle a kinematické buzení. Při zvětšování vůle se ve stavovém prostoru setkáváme s následujícími fázovými obrazy (obr. 4.10d):

• rovnoměrný stav periodický s postupně se rozšiřující „šířkou“ odezvy (pozice A), • stav s přeskoky zubů na hranici vůle reprezentovaný parazitními limitními cykly

(pozice B), • chaos (pozice C) a • vznik relaxačních samobuzených kmitů (pozice D).

Záběrové podmínky mohou být ovlivňovány také deformacemi okolí, což je typické na-příklad u leteckých reduktorů. Další komplikace pak představují nedostatečně prozkoumané zákonitosti tlumení. Těmto problémů se věnovali např. Hortel a Škuderová, viz [6].

5 Řízení pohonových soustav

V současné době představují řízené pohonové soustavy drtivou většinu všech nových kon-

strukcí pohonů. Přitom struktura řídicích podsoustav můţe být diametrálně odlišná.

Automatické řídicí subsoustavy vykonávají svoji činnost pomocí předem navrţených sub-

soustav servomechanismů či předem naprogramovaných řídicích algoritmů. V hierarchii ří-

zení představují nejjednodušší řídicí subsoustavy.

Dynamické řídicí subsoustavy vyţadují k dosaţení cílů řízení nejen informace o poţado-

vaných výstupech, ale i informace o okamţitých stavech řízeného systému a působení jeho

okolí. Obecně lze rozlišovat řízení se zpětnou vazbou (resp. více zpětnými vazbami) a bez

zpětné vazby. V dalším se budeme zabývat především způsoby řízení se zpětnými vazbami.

5.1 Stavová teorie automatického řízení

Z obecné teorie dynamických systémů vyplývá, ţe stav systému určují informace o okam-

ţitém chování systému a o minulém působení okolí na systém. Minimální, ale dostačující, po-

čet těchto veličin pak determinuje stavový vektor ( )tx , který pak lze vyjádřit jako sjednocení

00 ( , )( ) [ ( )] ( )t tt tx u x , (5.1)

kde ( )tu je vektor vstupních veličin, 0( )tx je vektor stavových veličin v počátečním čase

0t

a t je okamţitý čas. Protoţe u fyzikálních soustav bude vztah (5.1) jednoznačný, lze stav

soustavy v čase dt t vyjádřit vztahem

( d ) ( ) d ( ) ( ) [ ( ), ( ), ]dt t t t t t t t tx x x x f x u ,

a odtud jiţ bezprostředně vyplývá stavová rovnice soustavy, která má být řízena

d ( )

( ) [ ( ), ( ), ]d

tt t t t

t

xx f x u , (5.2)

kde [ ]f je vektorová funkce okamţitých hodnot stavových veličin, vstupních veličin a času.

Pro časově invariantní soustavy lze derivace stavových a vstupních veličin rozdělit na ne-

závislé sloţky

1 2( ) [ ( )] [ ( )]t t tx f x f u . (5.3)

Předpokládejme ţe platí

1 2[ ] [ ]f 0 f 0 0 . (5.4)

Rozvineme-li nyní funkce 1f a 2f do Taylorovy řady a zanedbáme-li vyšší členy, dostaneme

s ohledem na (5.4) linearizovanou stavovou rovnici

0( ) ( ) ( )t t tx Ax h , (5.5)

kde

1 20T T

[ ( )] [ ( )]a ( ) ( )

t tt t

x 0 x 0

f x f uA h u

x u .

Obdobným způsobem lze upravit i výstupní rovnici (5.2)

1 2( ) [ ( )] [ ( )]t t ty g x g u , (5.6)

kterou lze analogicky k předchozímu postupu opět linearizovat

0( ) ( ) ( )t t ty Cx G u , (5.7)

kde C je transformační výstupní matice a 0G se nazývá obecnou převodovou maticí.

Vzhledem k tomu, ţe k dosaţení cílů řešení zpravidla postačuje menší počet veličin, neţ je

počet prvků vektoru ( )tu , a navíc tyto redukované vstupní veličiny lze i lineárně kombinovat,

můţeme psát

( ) ( ) ( )t t tv Tu d , (5.8)

kde v je vektor redukovaných vstupních veličin, tzv. „akčních“ veličin, u je vektor původ-

ních vstupních veličin, d je vektor poruchových veličin (konzistentní s vektorem v ) a T je

transformační matice.

5.2 Řízení se zpětnou vazbou

Akční veličiny (seřazené ve vektoru v ) jsou obecně závislé na výstupních veličinách u

a na vhodně zvolených parametrech. Tuto skutečnost lze matematicky zapsat ve tvaru

p r( , , , )L v y y p 0 , (5.9)

kde ( )L je obecně nelineární vektorový diferenciální operátor, y je vektor výstupních

veličin, py je vektor poţadovaných výstupních veličin a rp je vektor parametru operátoru L .

Vztah (5.9) se obecně nazývá zákonem řízení a parametry seřazené ve vektoru rp se nazý-

vají parametry řízení.

Omezíme-li se na případy, kdy je moţné výstupní veličiny volit tak, aby závisely jen na

stavových a akčních veličinách, můţeme převodovou matici v rovnici (5.7) vyjádřit ve tvaru

0G GT , (5.10)

kde T je transformační rovnice ze vztahu (5.8) a G je převodová matice.

Stavovou rovnici řízené soustavy můţeme nyní zapsat ve tvaru

( ) ( ) ( ) ( )t t tx A x B v d h , (5.11)

kde

2

T( ) ( )t t

u 0

fh BT u

u

a výstupní relaci

( ) ( )t ty Cx G v , (5.12)

kde můţeme „upravit“ označení jednotlivých matic takto: A je matice řízené soustavy, B je

vstupní matice, C je výstupní matice, G je převodová matice, x je stavový vektor, y je

výstupní vektor, v je vektor akčních veličin, d je vektor poruchových veličin a ( )th je vektor

vnějších účinků.

Blokové schéma řízené soustavy, sestavené s ohledem na rovnice (5.11) a (5.12), je na

obr. 5.1.

Obr. 5.1: Blokové schéma řízené soustavy

5.2.1 Závislost akčních veličin na regulační odchylce

Vektor regulačních odchylek e vyjadřuje vztah

pe y y , (5.13)

kde y je vektor skutečných a py poţadovaných hodnot výstupních veličin. Zákon řízení (5.9)

pak lze přepsat do tvaru

r( , , )L v e p 0 . (5.14)

Pro případ, kdy je diferenciální operátor (.)L lineární vzhledem k vektoru v , lze chování re-

gulátoru popsat lineární diferenciální rovnicí analogickou k rovnici (5.5)

r r r r r r( ) ( ) ( ) ( , )t tx A p x h e p , (5.15)

kde rx je stavový vektor regulátoru, A je matice (soustavy) regulátoru, rh je vektorový di-

ferenciální operátor závislý na parametrech řízení a reprezentující účinky regulační odchylky

na regulátor.

Podle charakteru činnosti lze regulátory dělit na:

proporcionální – rh závisí jen na regulační odchylce,

derivační – rh závisí na derivacích regulačních odchylek podle času,

integrační – rh závisí na časové integraci regulačních odchylek.

5.3 Lineární proporcionální regulátor

S ohledem na rozsah kapitoly (i celé práce) se omezíme pouze na analýzu chování a vlast-

ností jednoduchých způsobů regulace pohonových soustav.

Stavovou rovnici regulátoru můţeme napsat ve tvaru

r r r r r r p( ) ( ) ( ) ( ) ,t tx A p x B p e e y y , (5.16)

kde rB je vstupní matice regulátoru.

Výstupem z regulátoru je vektor akčních veličin v , který lze vyjádřit jako lineární kom-

binaci stavových veličin regulátoru rx (analogie s rovnicí (5.7)):

r r r( )v C p x . (5.17)

Matici rC nazýváme výstupní maticí regulátoru. Kombinací rovnic (5.11), (5.12), (5.15),

(5.16) a (5.18) a po úpravě lze získat stavové rovnice řízené soustavy ve tvaru [26]

r r

r r r r r r r p

( ) ( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) .

t t t t

t t

x Ax BC x Bd h

x A x B Cx GC x B y

(5.18)

Zavedeme-li stavový vektor globální řízené soustavy

T

r[ , ]x x x , (5.19)

můţeme zapsat stavovou reprezentaci globální řízené soustavy ve zjednodušeném tvaru

( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) ( ) viz (5.12) ,

t t t

t t t

x A x B d h

y C x y

(5.20)

kde matice globální řízené soustavy je

r

r r r r

A BCA

B C A B GC ,

vstupní matice globální řízené soustavy je

r

B 0B

0 B ,

výstupní matice globální řízené soustavy je

rC C GC ,

vektor veličin, ovlivňující činnost regulátoru (porucha řízení + poţadovaný výstup) je

T

pd d y

a vektor vnějších účinků (které regulátor bezprostředně neovlivňují) je

( )th h 0 .

Vektor výstupních veličin z globální řízené soustavy y je roven výstupnímu vektoru „řízení

se zpětnou vazbou“ – viz rovnice (5.12).

5.4 Lineární proporcionální regulátor bez zpoždění

Pro tento typ regulátoru je charakteristické, ţe akční veličiny jsou lineárními funkcemi

regulační odchylky. Tudíţ platí

p( )v F y y Fe , (5.21)

kde F představuje matici výstupní zpětné vazby, jejíţ prvky odpovídají „zesílení“. Dosa-

díme-li za y z rovnice (5.12), dostaneme

p( )v F Cx G v Fy ,

resp.

p( ) ( )I FG v F Cx y . (5.22)

Za předpokladu, ţe matice ( )I FG je regulární, dostaneme po dosazení za v do rovnice

(5.11) a po úpravě stavovou reprezentaci globální řízené soustavy (s proporcionálním regu-

látorem bez zpoţdění) ve tvaru

Rz Rz Rz( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

t t t

t t

x A x B d h

y Cx G v

(5.23)

kde matice řízené soustavy se zpětnou vazbou je

1

Rz ( )A A B I FG FC , (5.24a)

matice vstupů řízené soustavy se zpětnou vazbou je

1

Rz ( )B B I I FG F (5.24b)

a vektor veličin ovlivňujících regulátor (porucha řízení + poţadovaný výstup) je

T

Rz pd d y . (5.24c)

Vektory h , x a y jsou definovány stejně jako v rovnicích (5.11) a (5.12).

Hlaví výhoda relací (5.20)–(5.24) spočívá v tom, ţe při návrhu řízení jsou vyuţity stejné

postupy jako při řešení pohybu lineární dynamické soustavy bez řízení. Této skutečnosti vyu-

ţijeme hned v dalším, kdy budeme studovat podmínky pozorovatelnosti, řiditelnosti a stabi-

lity řízených pohonových soustav.

5.5 Řiditelnost, pozorovatelnost a robustnost řízených pohonových

soustav

Při posuzování kvality navrhovaných řešení řízených pohonových soustav jsou dalšími sle-

dovanými parametry pozorovatelnost, řiditelnost a robustnost. Ty dovolují formulovat vhodná

kriteria pro posuzování stavu a vlastností navrhovaných řídicích subsoustav.

Vyjdeme ze stavové rovnice řízené soustavy (5.11), kterou lze při zanedbání všech vněj-

ších účinků upravit do tvaru

( ) ( )t tx A x . (5.25)

Řešení této rovnice je známé ve tvaru

0 0( ) ( , ) ( )t t t tx Φ x . (5.26)

kde 0( )tx je stavový vektor v počátečním čase

0t t a matice 0( , )t tΦ je tzv. přechodová

matice, definovaná

0( )

0 0

1

1( , ) e ( )

!

t t n n

n

t t t tn

AΦ I A . (5.27)

Dynamické vlastnosti linearizované matice řízené soustavy

0( ) ( ) ( )t t tx Ax h

– viz rovnice (5.5) – reprezentují vlastní hodnoty k a vlastní vektory

kw matice A , vyhovu-

jící rovnicím

( ) , 1,2, ,k k k nA I w 0 , (5.28a)

resp.

det[ ] 0 , , 1,2, ,k k nA I , (5.28b)

Vlastní čísla k umoţňují sestavit diagonální spektrální matici λ , vlastní vektory

kw umoţ-

ňují sestavit modální matici W

1 2 n

1 2 n

diag ,

,

λ

W w w w

(5.29)

splňující podmínky

1 1 1,W AW λ W W WW I . (5.30)

Pomocí modální a spektrální matice lze řešení (5.26) převést na lineární kombinaci partiku-

lárních řešení. Zavedeme-li substituci

( ) ( )t tx Wξ , (5.31)

kde ξ je vektor modálních souřadnic, a dosadíme-li (5.31) do rovnice (5.26), po vynásobení

maticí 1

W zleva dostaneme

1 1 1

0 0

1

1( ) ( ) ( ) ( )

!

n n

n

t t t t tn

W Wξ W Φ Wξ W I A Wξ ,

odkud vyplývá

0 0

1

1( ) ( ) e ( )

!

n n t

n

t t t tn

λξ I λ ξ ξ ,

a v případě, ţe všechny vlastní hodnoty jsou různé, lze řešení (5.26) upravit do tvaru

0 0( ) ( ) e ( ) ( ) e k tt

k k

k

t t t tλx Wξ W ξ w , (5.32)

kde 0( )k t je hodnota k-té modální souřadnice v čase

0t t (a současně integrační konstanta

v rovnici (5.32).

Poznámka I

V případě, ţe je některé z vlastních čísel spektrální matice (5.29) vícenásobné, budeme

muset hledat modální matice ve tvaru takové transformační matice, pro kterou bude mít spek-

trální matice tzv. kanonickou formu

11 0 0 0

0 1 0 0

,

0 0 0 1

0 0 0 0

k

k

i i

k

r k

λ 0 0

0 λ 0λ λ

0 0 λ

,

kde iλ jsou tzv. Jordanovy bloky a r je jejich největší moţný počet. V případě násobných

vlastních čísel platí pro odpovídající sloupce modální matice W vztah

( ) , 1,2, ,j i

k j j mA I w 0 ,

kde k je k-té vlastní číslo,

i

jw je sloupec modální matice W odpovídající i-tému Jordanovu

bloku a m je jeho rozměr.

Poznámka II

Bylo řečeno, ţe vlastní čísla a vlastní vektory kaţdé soustavy typu (5.5) reprezentují její

dynamické vlastnosti. Jedná-li se o řízenou soustavu s lineárním regulátorem (5.20), resp.

(5.23), jsou matice A , resp. RzA , funkcemi parametrů řízení rp (viz (5.15)). Tedy i vlastní

čísla a vlastní vektory matic A , resp. RzA , budou funkcemi parametrů řízení. Této skuteč-

nosti lze efektivně vyuţít při návrhu řízení pomocí metod „root-locus“. Nejjednodušší typ této

metody vychází z numerického výpočtu vlastních čísel pro předem vybrané parametry řízení

a z následných konstrukcí parametrických „root-loci“ křivek [26].

Pojmy řiditelnost a pozorovatelnost řízených soustav se primárně vztahují na takové stavy

( )tx , na které působí účinky z vnějšku globální soustavy.Vyjdeme tedy ze stavové formulace

soustavy (5.11) a (5.12) bez poruchy řízení:

( ) ( ) ( )t t tx A x B v , (5.33a)

( ) ( ) ( )t t ty Cx G v . (5.33b)

5.5.1 Podmínky řiditelnosti soustavy

Soustavu (5.33) povaţujeme za řiditelnou, pokud jsou řiditelné všechny její stavy. Kon-

krétní stav soustavy ( )tx pak je řiditelný, pokud existuje ohraničený vektor akčních veličin v

schopný v konečném čase přenést systém do libovolného jiného stavu. Matematicky je moţné

řiditelnost vyjádřit jako poţadavek plné hodnosti matce R , definované prostřednictvím ma-

tice soustavy A a vstupní matice B . Tedy:

1( ) , Nh NR R B A B A B , (5.34)

kde symbolem ( )h R označujeme hodnost matice R , a N je rozměr matice A , tj. počet sta-

vových veličin. Splnění rovnice (5.34) představuje podmínku nutnou a postačující.

Z rovnice (5.34) vyplývá, ţe řiditelnost soustavy nezáleţí na volbě stavových veličin.

S podmínkou řiditelnosti (5.34) je rovnocenná podmínka tzv. modální řiditelnosti. Dospějeme

k ní tak, ţe rovnici (5.33a) vynásobíme modální matici W zleva a dosadíme substituci (5.31).

Dostaneme

1( ) ( ) ( ) ,t t tξ λξ Γv Γ W B . (5.35)

Zde je opět λ spektrální matice a symbol Γ označuje tzv. matici modálních vstupů. Výhodou

formulace (5.35) je, ţe uvaţujeme nejen kvalitativní, ale i kvantitativní posouzení řiditelnosti

analyzované soustavy. Vhodný výběr hodnot prvků matice Γ můţe být vyuţit jako kritérium

při hledání optimálního rozmístění akčních členů.

Pokud budou vlastní čísla matice A v rovnici (5.33a) navzájem různá, bude soustava

řiditelná tehdy a jen tehdy, bude-li kaţdý prvek matice Γ obsahovat aspoň jeden nenulový

prvek. To znamená, ţe kaţdá modální souřadnice je ovlivněna aspoň jednou akční veličinou.

Pokud budou vlastní čísla matice A ve stavové rovnici (5.33a) násobná, bude podmínka

řiditelnosti, která by byla rovnocenná podmínce (5.34), komplikovanější. V tomto případě

musí být minimálně počet k řízení nutných nezávislých vstupů iv roven počtu Jordanových

bloků spektrální matice λ (viz Poznámka I na str. 58).

5.5.2 Podmínky pozorovatelnosti řízené soustavy

Soustavu (5.33) nazveme pozorovatelnou, pokud budou pozorovatelné všechny stavy sou–

stavy. Stav 0( )tx soustavy (5.33) bude pozorovatelný tehdy, kdyţ ho budeme moci určit po–

mocí výstupních veličin ( )ty v konečném časovém intervalu 0( , )t t .

Nutnou a postačující podmínkou pozorovatelnosti je opět podmínka plné hodnosti matice

pozorovatelnosti P definované pomocí matice soustavy A a výstupní matice C

T

T T T 1 T T( ) , ( )Nh NP P C A C A C , (5.36)

kde symbol ( )h P označuje hodnost matice P a N je počet stavových veličin.

Analogicky k určení podmínky modální řiditelnosti můţeme stanovit podmínku modální

pozorovatelnosti. Dosadíme substituci (5.31) do výstupní rovnice soustavy (5.33b) a dosta-

neme

( ) ( ) ( ) ,t t tξ Θξ Gv Θ CW , (5.37)

kde matice Θ se nazývá maticí modálních výstupů. Podmínku modální pozorovatelnosti mů-

ţeme nyní definovat jako poţadavek, aby kaţdá modální souřadnice měla vliv alespoň na

jednu výstupní veličinu, tzn. aby v kaţdém sloupci matice Θ byl alespoň jeden nenulový pr-

vek. Prvky matice Θ mohou být opět vyuţity při hledání optimálního rozmístění snímačů

prostřednictvím vhodně zvoleného funkčního kriteria.

5.5.3 Robustnost řízených pohonových soustav

Z pohledu automatického řízení jde o relativní pojem, který se můţe týkat jak řízené sou-

stavy jako celku, tak samotného procesu řízení. Nelze ale definovat jednoznačné matematické

podmínky typu (5.34) a (5.36). Řízenou soustavu povaţujeme za robustní, pokud je málo

citlivá (případně necitlivá) na změny vybraných parametrů soustavy nebo parametrů řízení.

U lineárních soustav lze robustnost kvantifikovat pomocí vlastních čísel matice soustavy

závislých na parametrech řízení (nebo soustavy jako celku), přičemţ citlivost příslušného

vlastního čísla je úměrná jeho parciální derivaci podle vybraného parametru. Mluvíme-li

o robustním řízení, myslíme tím malou citlivost uzavřeného regulačního obvodu na změny

vybraných parametrů (řízení nebo soustavy) s ohledem na dosaţení cílů řízení. Za parametry

soustavy můţeme volit ty, které nejlépe reprezentují chyby vznikající při modelování,

případně i vlastní čísla matice soustavy leţící mimo frekvenční pásmo, které nás při řízení

zajímá.

5.6 Digitální řízení

Jsou-li zásahy do řízení pohonových soustav generovány jen v definovaných časových

okamţicích, povaţujeme takové řízení za digitální. Takový způsob řízení je typický pro řízení

pomocí počítačem řízených regulátorů (obr. 5.2). V dalším budeme předpokládat, ţe:

akční zásahy jsou synchronizované a intervaly mezi nimi jsou konstantní,

akční působení v rámci jednoho intervalu je konstantní a je realizováno pomocí A/D

převodníků.

Obr. 5.2. Zapojení digitálního regulátoru

Diskrétní řídicí veličiny v časové oblasti můţeme definovat jako postupné Diracovy im-

pulzy a popsat rovnicí

d

0

( ) ( ) ( )k

u t u k h t k h , (5.71)

kde du je diskrétní řídicí veličina, h je konstantní délka intervalu řízení, k je počet intervalů

od počátku a (.) je Diracova funkce.

Po Laplaceově transformaci vztahu (5.71) dostaneme

d d d

0

( ) ( ) ( )e k hs

k

u t U s u k hL , (5.72)

kde [.]L je Laplaceův operátor a s je komplexní proměnná.

Nyní zavedeme komplexní proměnnou z pomocí substituce

ehsz , (5.73)

a dosadíme ji do rovnice (5.72). Dostaneme známou Z-transformaci digitálního signálu

d d d

0

( ) ( ) ( )e k

k

u t U z u k hZ . (5.74)

Zde symbol [.]Z je operátorem Z-transformace, která má obdobné vlastnosti jako Laplaceova

transformace (obr. 5.3), tj. je to lineární transformace, lze definovat větu o počáteční a ko-

nečné hodnotě, je moţné definovat vztah pro případ časového posunu atd. – viz [33].

Obr. 5.3. Konformní z s zobrazení

Vyjděme nyní z definice dynamické soustavy (5.33) a definujme vektory diskrétních stavo-

vých a výstupních veličin podle (5.71) a neuvaţujme matici G . Můţeme psát:

d

0

d d

0

( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) ( ) .

k

k

t k h t k h

t k h t k h

x x

y y Cx

(5.75)

Za předpokladu, ţe pro akční veličiny dv bude platit

d( ) ( ) konst. pro ( 1)t k h k h t k hv v , (5.76)

můţeme zapsat soustavu (5.33) v diskrétní formě takto

d d d d d

d d

[( 1) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

k h h k h h k h

k h k h

x A x B v

y Cx (5.77)

kde

d ( ) e ( )hh hA

A I AΨ , (5.78a)

d ( ) e ( )hh hA

B Ψ B , (5.78a)

a

1

10

1( ) e d

!

nh

t n n n

n

h t hn

AΨ A , (5.78c)

kde dA a

dB jsou matice soustavy a vstupní matice diskrétní soustavy.

Z rovnice (5.77) vyplývá, ţe diskrétní stavový popis lineární dynamické soustavy předsta-

vuje lineární diferenciální rovnice s koeficienty závislými na velikosti kroku h. To znamená,

ţe i další vlastnosti řízené soustavy, jako jsou řiditelnost či pozorovatelnost, budou závislé na

hodnotě h. Stabilita řízené soustavy je na diskretizaci nezávislá, platí tedy stejná kriteria jako

v případě spojitého času. Transformací s z (viz rovnice 5.73) se levá polorovina s-roviny

zobrazí v z-rovině na vnitřek jednotkové kruţnice se středem v počátku, jak je patrno z ob-

rázku 5.4. Podmínkou asymptotické stability pak je, aby všechny póly diskrétního přenosu

měly velikost menší neţ 1. Budeme-li znát vlastní čísla matice soustavy A (spojitý čas), mů-

ţeme vlastní čísla matice dA (diskrétní čas) získat přímo z rovnice (5.78a), tj.

d de e i hh

i

AA , (5.79)

kde di jsou vlastní čísla matice dA a

i jsou vlastní čísla matice A .

Stabilita uzavřené globální řízené soustavy bude, na rozdíl od stability řízené soustavy, na

velikosti kroku h závislá. K zajištění stability globální řízené soustavy s vyuţitím digitálního

regulátoru postupujeme následovně:

vypočítáme diskrétní přenos regulátoru vhodnou transformací spojitého přenosu,

zvolíme velikost kroku h.

Prakticky nejuţívanější transformací je Tustinova bilineární transformace, kdy

1

2 1

h zs

z , (5.80)

Která transformuje levou polorovinu komplexní s-roviny na vnitřek jednotkové kruţnice

v z-rovině, čímţ jsou dynamické vlastnosti regulátoru zachovány.

Velikost kroku h pak rozhodne o tom, bude-li zachována i stabilita uzavřené globální

soustavy.

Dolní hranici hodnoty h určuje technické vybavení řešitele. V případě, ţe v některé z větví

globální řízené soustavy dochází k výraznému časovému zpoţďování, můţe sniţování hod-

noty h vést k destabilizaci regulace.

Horní hranice hodnoty h bývá určována z přípustného fázového zkreslení výstupů ze sou-

stavy. Pokud jsme ochotni připustit maximální fázové zkreslení max

signálu s hraniční frek-

vencí maxf , bude maximální délka intervalu

maxmax

max

hf

. (5.81)

Kdyţ dynamické vlastnosti globální řízené soustavy hodnotíme podle odezvy na jednotkový

skok akční veličiny, pouţíváme pro výpočet h vztah

n(0,1 0,25)h T . (5.82)

kde nT je čas (doba) náběhu přechodové charakteristiky.

Poznámka

Aby nedocházelo k amplitudovým zkreslením vlivem zdánlivosti (aliasing), doporučujeme

odfiltrovat neţádoucí signály s frekvencí vyšší neţ polovina vzorkovací frekvence ještě v ana-

logové formě.

5.7 Stabilita řízených soustav

5.7.1 Úvodní poznámka

Pro stabilitu řízených pohonových soustav je rozhodující pochopení zásad stabilitní

analýzy, přesněji Ljapunovské stability dynamických systémů, se kterými se nyní stručně

seznámíme.

Uvaţujeme model obecné (nelineární) dynamické soustavy definované rovnicí (5.3),

u které zanedbáme vnější účinky

( ) ( , )t tx f x , (5.38)

kde T

1 1[ ]nx x xx je stavový vektor a ( , )tf x maticová funkce.

Spolu se studiem stabilitních vlastností soustavy (5.38) budeme sledovat také Cauchyovu

úlohu pro tuto soustavu, kterou můţeme vyjádřit

( ) ( , ) , ( )t tx f x x ξ , (5.39)

kde veličinu nazveme počátečním okamţikem, vektor T

1 1[ ]nξ počáteční

hodnotou a rovnost ( )x ξ počáteční podmínkou Cauchyovy úlohy.

Budeme předpokládat, ţe soustava ( ) ( , )t tx f x má triviální řešení, které označíme O ,

takţe platí ( , )tf O O .

5.7.2 Ljapunovská stabilita triviálního řešení

Nechť má diferenciální rovnice (5.38) následující vlastnosti:

Existuje reálné číslo a oblast nH , kde prostor

n chápeme jako normovaný

vektorový prostor, obsahující počáteční stav n

O .

Maticová funkce (.)f je spojitá v oblasti ( , ) H a pro kaţdý bod ( , )ξ v této

oblasti je Cauchyova úloha (5.39) řešitelná.

Předpokládáme, ţe ( , )tf O O pro všechna t , takţe Cauchyova úloha (5.39) má

pro ξ O triviální řešení ( )tO O .

Nyní budeme formulovat následující tvrzení:

I. Můţeme říci, ţe triviální řešení O soustavy

( ) ( , )t tx f x (5.40)

je podle Ljapunova stabilní právě tehdy, kdyţ ke kaţdému času a kaţdému

číslu 0 existuje číslo ( , ) 0 takové, ţe pro všechny počáteční hodnoty

Hξ s normou ξ a pro všechna t splňuje řešení Cauchyovy úlohy (5.39)

nerovnost

( , , )tx ξ . (5.41)

Jinými slovy, triviální řešení soustavy (5.40) je stabilní, jestliţe po malém počáteč-

ním vychýlení z tohoto stavu zůstane trajektorie pohybu soustavy v -okolí triviál-

ního řešení, viz obr. 5.4.

Obr. 5.4. Průběh trajektorie stabilní a nestabilní soustavy

II. Pro všechny autonomní soustavy

( )x f x , (5.42)

kde funkce f nezávisí na čase, platí, ţe kdyţ triviální řešení O soustavy (5.42) je

Ljapunovsky stabilní, pak je stejnoměrně Ljapunovsky stabilní.

III. Jsou-li splněny podmínky Ljapunovy stability triviálního řešení, bude triviální řešení

O soustavy (5.40) asymptoticky stabilní, kdyţ:

(i) je Ljapunovsky stabilní a

(ii) existuje číslo 0 takové, ţe pro kaţdé Hξ s normou ξ a kaţdé

platí

lim ( , , )t

tx ξ O . (5.43)

5.7.3 Ljapunova stabilita rovnovážných (klidových) stavů

Vyjdeme z definice autonomní soustavy (5.42) a budeme formulovat následující tvrzení:

I. Rovnováţný stav O soustavy ( )x f x bude stabilní podle Ljapunova tehdy, kdyţ ke

kaţdému 0 existuje takové ( ) 0 , ţe kaţdá kladná polotrajektorie sou-

stavy (5.42), která vychází z libovolného bodu ξ leţícího v -okolí bodu O, leţí celá

v -okolí bodu O, obr. 5.5.

Obr. 5.5. Zobrazení rovnovážného stabilního (a) a nestabilního (b) stavu

II. Rovnováţný stav O soustavy ( )x f x je asymptoticky stabilní podle Lajpunova,

kdyţ:

(i) je Ljapunovsky stabilní a

(ii) existuje číslo 0 takové, ţe kaţdá kladná polotrajektorie soustavy (5.42),

která vychází z libovolného bodu ξ leţícího v -okolí bodu O, konverguje pro

t k bodu O, tj. platí

lim ( )t

tx O . (5.44)

III. Nechť je rovnováţný stav O autonomní soustavy ( )x f x asymptoticky stabilní.

Mnoţinu všech bodů nξ , pro které je

lim ( )t

tx O ,

nazveme oblastí přitaţlivosti rovnováţného stavu O. Pak můţeme říci, ţe rovno-

váţný (klidový) stav O soustavy (5.42) je globálně asymptoticky stabilní ve smyslu

Ljapunova.

5.7.4 Stabilita lineárních soustav podle Ljapunova

Nejprve uvedeme věty (tvrzení), pomocí kterých můţeme vyšetřovat stabilitu lineárních

soustav i bez znalostí jejich konkrétního řešení. Lineární soustavy uvaţujeme ve tvaru rovnice

( )tx A x , (5.45)

ve které předpokládáme, ţe ( )tA je matice typu ( )n n spojitá pro všechna 0t .

I. Za výše uvedených předpokladů můţeme říci, ţe triviální řešení homogenní lineární

soustavy (5.45) je stabilní ve smyslu Ljapunova tehdy, kdyţ pro kaţdý bod

( , ) (0, ) nξ je řešení ( , , )tc ξ Cauchyho úlohy

( ) , ( )tx A x x ξ (5.46)

omezené pro všechna t .

II. Nechť je matice ( )tA v rovnici (5.45) spojitá pro všechna 0t . Pak triviální řešení

soustavy ( )tx A x je asymptoticky stabilní podle Ljapunova právě tehdy, kdyţ pro

kaţdý bod ( , ) (0, ) nξ splňuje řešení ( , , )tc ξ Cauchyho úlohy (5.46) pod-

mínku

lim ( , , )t

tc ξ O . (5.47)

III. Nechť je A čtvercová matice s konstantními prvky. Pak triviální řešení (rovnováţný

klidový stav) autonomní lineární soustavy

x A x (5.48)

bude:

(i) stejnoměrně stabilní ve smyslu Ljapunova tehdy, kdyţ všechny charakteris-

tické hodnoty matice A mají nekladné reálné části, přičemţ charakteristickým

hodnotám s nulovými reálnými částmi přísluší vesměs jednoduché řetězce

zobecněných charakteristických vektorů,

(ii) stejnoměrně asymptoticky stabilní ve smyslu Ljapunova právě tehdy, kdyţ

všechny charakteristické hodnoty matice A mají záporné reálné části.

IV. Nechť je A konstantní čtvercová matice s reálnými prvky typu ( )n n a ( )tB je

čtvercová matice s reálnými prvky spojitá v otevřeném intervalu ( , )t . Pak

platí:

(i) je-li triviální řešení autonomní soustavy x A x stabilní ve smyslu Ljapunova

a platí-li

( ) dt tB , (5.49)

pak také triviální řešení neautonomní soustavy

[ ( )]tx A B x (5.50)

bude stabilní ve smyslu Ljapunova;

(ii) je-li triviální řešení autonomní soustavy x A x asymptoticky stabilní ve smy-

slu Ljapunova a platí-li

lim ( )t

tB 0 , (5.51)

bude triviální řešení neautonomní soustavy (5.50) asymptoticky stabilní ve

smyslu Ljapunova.

V. Nechť jsou 0 1, , , mA A A konstantní matice typu ( )n n s reálnými prvky a nechť

všechny charakteristické hodnoty matice mA mají záporné reálné části. Pak bude

triviální řešení lineární soustavy s polynomiálními koeficienty

0 0[ ]m

mt tx A A A x (5.52)

asymptoticky stabilní ve smyslu Ljapunova.

VI. Nechť je ( )tA čtvercová matice typu ( )n n s reálnými prvky, spojitá na celé časové

ose a periodická s periodou T . Pak bude triviální řešení soustavy

( )t Tx A x (5.53)

(i) stabilní ve smyslu Ljapunova tehdy, kdyţ pro všechny multiplikátory ma-

tice ( )tA platí 1,

(ii) asymptoticky stabilní právě tehdy, kdyţ pro všechny multiplikátory matice

( )tA platí 1.

Předchozí tvrzení umoţnila přenést vyšetřování stability triviálního řešení autonomní i ne-

autonomní soustavy lineárních rovnic na vyšetřování znaménka reálných částí kořenů chara-

kteristické rovnice polynomu

2

0 1 2det[ ] n

na a a aA I , (5.54)

resp. na určování podmínek, pro které budou reálné části vlastních čísel matice soustavy

záporné, tj. řešíme problém vlastních čísel matice soustavy

( )A I 0 . (5.55)

Řešení triviálního řešení rovnice ( )tx A x bude stabilní, bude-li platit ţe všechna vlastní

čísla matice soustavy mají reálné části záporné, tj.

Re 0 , 1,2, ,i i n . (5.56)

Řešení problémů (5.54) resp. (5.55) pak umoţňují známá kriteria stability.

5.7.5 Vybraná kritéria stability lineárních soustav

V zhledem k tomu, ţe tato kritéria jsou v analýzách dynamických vlastností technických

soustav obecně známa, uvedeme pouze základní informace o dvou kritériích, Hurwitzově

kritériu a Michajlovově kritériu.

5.7.5.1 Hurwitzovo kritérium stability

Toto kritérium patří mezi algebraická kritéria a je moţné ho vyuţít pouze pro dynamické

systémy, jejichţ charakteristická rovnice je algebraická. Nelze s ním například řešit otázky

stability u dynamických soustav s dopravním zpoţděním (charakteristická rovnice je v těchto

případech transcendentní), coţ je v případě analýzy vlastností řízených soustav váţné ome-

zení.

Při pouţití Hurwitzova kritéria na analýzu kořenů polynomu (5.54) nejprve sestavíme

Hurwitzovu matici

1 0

3 2 1 0

2 1 2 2 2 3 2 4

0 0 0

0

n n n n n

a a

a a a a

a a a a a

H

. (5.57)

Všechny kořeny polynomu (5.54) budou mít záporné reálné části. Tzv. triviální řešení auto-

nomní soustavy x A x bude stejnosměrně asymptoticky stabilní ve smyslu Ljapunova,

budou li splněny následující podmínky:

0

1

1 0

3 2

1 0

3 2 1

5 4 3

0 ,

0 ,

det 0 ,

0

det 0 ,

det 0 .

a

a

a a

a a

a a

a a a

a a a

H

. (5.58)

Nutnou (nikoliv však postačující) podmínkou stability soustavy je, aby všechny koeficienty

charakteristického polynomu byly kladné.

5.7.5.2 Michajlovovo kritérium stability

Toto kritérium patří mezi frekvenční kritéria stability. Z hlediska jeho aplikace na analýzu

dynamických vlastností řízených soustav je jeho hlavní výhodou to, ţe je moţné kritérium

pouţít i pro dynamické soustavy s dopravním zpoţděním, kdy charakteristická rovnice (5.54)

není algebraická, ale např. transcendentní.

Michajlovovo kritérium stability vyuţívá rozloţení nulových bodů polynomu

1

0 1 1( ) n n

n nf z a a z a z a z (5.59)

v komplexní rovině. Dosadíme li do této rovnice a proměnnou iz , kde 0 , přejde

polynom do tvaru

1

0 1 1(i ) i (i ) (i )n n

n nf a a a a . (5.60)

Budeme-li dosazovat za hodnoty od 0 do a zobrazíme-li hodnoty funkce (i )f

v komplexní rovině, dostaneme tzv. hodograf funkce (i )f .

Platí přitom následující věty:

I. Všechny kořeny polynomu (5.59) budou mít záporné reálné části tehdy, kdyţ se vek-

tor (i )f

při změně od 0 do bude otáčet v kladném smyslu o úhel / 2n ,

kde n je stupeň charakteristického polynomu (5.59).

II. Všechny kořeny polynomu (5.59) budou mít reálné části záporné (tj. triviální řešení

autonomní soustavy x A x bude stejnosměrně stabilní ve smyslu Ljapunova)

tehdy, kdyţ hodograf funkce (i )f pro měnící se od 0 do bude začínat na

reálné ose a projde postupně v kladném smyslu n kvadrantů komplexní roviny.

5.7.6 Kritéria stability nelineárních soustav

V tomto odstavci budeme analyzovat stabilitu triviálního řešení nelineárních rovnic

( ) ( , )t tx f x (5.61a)

a stabilitu rovnováţného stavu autonomní soustavy

( ) ( )tx f x . (5.61b)

Stabilitu budeme chápat ve smyslu Ljapunova a budeme předpokládat, ţe se jedná o slabě

nelineární soustavy, pro které lze vyuţít kritéria definovaná v předchozím textu.

Analyzujeme tedy soustavu

( , ) , ( , )t tx A x g x g O O , (5.62)

kde A je konstantní čtvercová matice typu ( )n n s reálnými prvky a ( , )tg x je reálná vekto-

rová funkce (spojitá v oblasti ( , )G H , kde 1, nHO ), která splňuje pod-

mínku

0

( , )lim 0

t

x

g x

x , (5.63)

pro všechna t .

Pro tyto podmínky platí následující tvrzení:

I. Mají-li všechna vlastní čísla matice A záporné reálné části, je triviální řešení sou-

stavy (5.62) asymptoticky stabilní ve smyslu Ljapunova.

II. Má-li alespoň jedno vlastní číslo matice A reálnou část kladnou, je triviální řešení

soustavy (5.62) nestabilní.

Podmínka (5.63) je splněna tehdy, kdyţ pro všechna t a všechna x z libovolně malého

okolí bodu O platí nerovnost

1

( , )r

t Kg x x , (5.64a)

kde K a r jsou kladné reálné konstanty. Tuto podmínku lze nahradit dalšími podmínkami:

I. Existuje číslo 0k takové, ţe pro všechna t a pro všechna Hx blízká bodu

O platí

( , )t kg x x (5.64b)

nebo

II. ke kaţdému 0 existuje 0 a T takové, ţe pro všechna ,t T Hx

a x platí

( , )tg x x . (5.64c)

Tyto podmínky splňují např. rovnice popisující řízenou soustavu:

( ) ( , )t tx A x B x h x , (5.65)

kde funkce ( )tB konverguje k nulové matici pro t a ( , )th x splňuje podmínku (5.63).

Analyzujme nyní nelineární autonomní soustavu

( )x f x (5.66)

a předpokládejme, ţe funkce ( )f x je spojitá v oblasti nH obsahující nulové řešení 0 a je

současně v tomto bodě diferencovatelná. To znamená , ţe platí

( ) ( ) ( ) ( )f x f 0 f 0 x r x (5.67)

pro všechna Hx a dále platí

0

( )lim 0x

r x

x . (5.68)

Konstantní matice ( )f 0 je Jacobiho matice funkce ( )f x v bodě 0, tj.

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

n

n

n n n

n

f f f

x x x

f f f

x x x

f f f

x x x

x x x

x x x

A f 0

x x x

. (5.69)

Je-li stav 0 rovnováţným stavem, přejde soustava (5.66) do tvaru

( )x Ax r x , (5.70)

kde matice A je definovaná rovnicí (5.69).

Nyní můţeme vyslovit následující tvrzení: Mají-li všechna vlastní čísla Jakobiho matice

( )f 0 funkce ( )f x v bodě 0 všechny reálné části záporné, je rovnováţný stav 0 soustavy

(5.66) asymptoticky stabilní. Má-li alespoň jedno číslo reálnou část v bodě 0 kladnou, je rov-

nováţný stav soustavy (5.66) nestabilní.

U nelineárních soustav můţeme kromě zjištění stability rovnováţného (klidového) stavu

určovat i tvary trajektorie v blízkém okolí těchto rovnováţných stavů. Vyuţíváme k tomu

náhradní soustavu, kterou získáme linearizací původní soustavy.

6 Bifurkace a chaos v pohonových soustavách

6.1 Úvodní poznámka S chaosem se můžeme setkat v pohonových soustavách se silnými nelinearitami. Typic-

kým příkladem jsou převodové skříně, představující jednu ze základních strukturálních částí pohonových soustav vozidel. Převodové skříně lze z hlediska dynamiky charakterizovat jako soustavy tuhých těles (ozubených kol) s poddajnými nelineárními vazbami (vůlemi v ozu-beních či drážkových spojích, spojky s nelineárními charakteristikami). Tímto způsobem máme definovánu strukturu soustavy. Pro sestavení účelového, částečně strukturovaného modelu, musíme dále definovat vnější účinky. Při řešení konkrétních inženýrských problémů se setkáváme s velmi různorodými podmínkami. Například u elektromechanických pohonů se stejnosměrnými motory s nezávislým buzením (otáčky jsou řízeny tyristorovým měničem v obvodu kotvy) a s impulsním čidlem otáček (příp. s číslicovou korekcí nadřazenou analo-govému regulátoru) má dosažitelná přesnost úhlové rychlosti vyhovovat podmínce

M

100 0,1[%]ωωΔ

⋅ < (6.1)

a poměr maximální odchylky úhlové rychlosti maxωΔ k nominální hodnotě úhlové rychlosti

Nω představuje řádově procenta. Na rozdíl od tohoto případu je úhlová rychlost na vstupním

hřídeli převodovky u pohonových soustav vozidel výrazně proměnná. Problematiku si ukážeme na konkrétním problému modelování dynamických vlastností

převodové skříně osobního automobilu, řešeném v rámci projektu SPZV č. III-4-1/0503, [25]. Schéma převodové skříně je zobrazeno na obr. 6.1a. Otáčky vstupního hřídele se mění od vol-

noběžných otáček 1v 850 minn −= do maximálních provozních 1

max 5000 minn −= při výraz-

ném kolísání nastavených úrovní otáček. Uvažovanými nelinearitami jsou vůle v ozubení a v drážkovém spojení lamely spojky a vstupního hřídele. V uvedeném příkladu se omezíme jen na některé s dosažených výsledků – na analýzu dynamických vlastností převodovky při volnoběhu.

K vytvoření počítačového modelu převodovky byl použit programový soubor DYNAST, který umožňuje pomocí tzv. makromodelů známých mechanických, elektrických, elektronic-kých, regulačních aj. substruktur vytvořit globální model soustavy – obr. 6.1b.

Vstupním (budícím) účinkem byla porucha úhlové rychlosti 1P ( )tϕ na vstupním hřídeli

převodovky, superponovaná na otáčky volnoběžného provozního stavu, viz obr. 6.1c. Na

témže obrázku jsou znázorněny také časové průběhy relativních úhlových výchylek 2R ( )tϕ

a 3R ( )tϕ , odpovídajícím uzlům 2 a 3 na obr. 6.1a. Znázorníme-li průběhy těchto odezev ve fá-

zové rovině, vidíme typické projevy chaosu – zdvojení periody a přechod k chaosu (obr. 6.1d)

a typický chaotický stav, charakterizovaný neuzavřenou trajektorií (obr. 6.1e). Experimenty, simulační i reálné, provedené v rámci výše zmíněného projektu ukázaly, že „plochy“ fázo-vých portrétů přímo odpovídaly hlukovým hladinám převodovky – čím byly větší (rozsá-hlejší), tím vyšší hladiny hluku nastaly.

Obr. 6.1: Převodová skříň

Uvedený příklad byl jedním z prvních případů, kdy jsme se setkali (neplánovaně) s projevy chaosu, a jedním z důvodů, proč jsme se problematikou chaosu dále zabývali.

6.2 Chaos a jeho možný vznik Pro chaotické chování dynamické soustavy je charakteristické, že musí jít o nelineární de-

terministickou soustavu, u které již malá změna některého ze vstupů (počáteční podmínky, parametry soustavy, metodika řešení) může vést k výrazně odlišným výsledkům. Chaotické řešení je tedy odrazem nestabilního pohybu v omezené oblasti fázového prostoru. Původně blízké trajektorie pohybu se lokálně exponenciálně vzdalují a zároveň globálně, z hlediska tzv. chaotických atraktorů (podivných limitních množin), zůstávají stále v určité blízkosti díky efektu, známému jako folding (přehýbání). To znamená, že nepřítomností určitého řádu tyto struktury netrpí. Naopak se zdá, že forma uspořádání chaotických atraktorů je v jistém smyslu formou určitého řádu [19].

S ohledem na skutečnost, že chaotické chování dynamických soustav (nejen technických) je silně nestabilní, je „jednoduché“ rozhodování o stabilitě numerických metod, použitelných pro řešení odezev modelů technických soustav, často problematické i přes současný rozvoj počítačové techniky. Zvláštní chování analyzovaných modelů, simulované na počítačích, sice umožňuje jejich zkoumání, avšak paradoxně se setkáváme s tím, že i vysoce výkonné počítače nedokáží s dostatečnou přesností simulovat děje, které probíhají v některých, na první pohled jednoduchých, modelech technických soustav. Naštěstí mají chaotické soustavy jistou vlast-nost, kterou lze nazvat „soběpodobnost“ – některé typické projevy a vlastnosti se v nich za-chovávají nezávisle na měřítku. Ve zdánlivém chaosu se tak objevuje překvapující řád, jehož grafickým znázorněním jsou fraktály. Tyto ve fázovém prostoru tvoří atraktory, které jsou extrémně závislé na počátečních podmínkách a jsou nepředvídatelné. Typickým příznakem „blížícího se chaosu“ je opakované zdvojování period řešení – projevy extremní nestability, kdy jedna situace má dvě a více vzdalujících se řešení. Fázové trajektorie ale zůstávají uza-vřené. Pro chaos je naopak typické, že fázové trajektorie nejsou uzavřené a zdánlivě nahodile vymezují ve fázovém prostoru ohraničenou oblast.

6.3 Atraktory dynamických systémů Atraktor dynamického systému chápeme jako množinu stavů, do kterých systém směřuje

s časem 0t t> . Jinak řečeno, jedná se o množinu hodnot odezev, kterých bude stavový vektor

nabývat v průběhu dostatečně dlouhého časového úseku (od chvíle inicializace, označené 0t ).

U linearizovaných soustav, obsahujících nějakou disipativní subsoustavu, dojde po odeznění přechodové odezvy k ustálenému stavu. Mohou nastat následující základní případy:

• Je-li buzení konstantní, reprezentuje ustálený stav pevný bod ve stavovém prostoru (singulární bod), obr. 6.2a.

• Je-li buzení harmonické nebo periodické, reprezentuje ustálený stav ve fázovém pro-storu uzavřená křivka, obr. 6.2b.

• Stav chaosu reprezentuje chaotický atraktor, což je velmi složitá limitní množina bodů, zpravidla nekompaktní, která se vyznačuje nestabilním chováním, obr. 6.2c.

• Můžeme se setkat také s tzv. „podivným atraktorem“ (strange attractor), např. známý Lorenzův* atraktor, reprezentovaný složitým útvarem rozloženým „symetricky“ podle fiktivní osy, obr. 6.2d.

Obr. 6.2:Možné typy atraktorů dynamických soustav

6.4 Tzv. bazény přitažlivosti Množina všech bodů ve fázovém prostoru, pro které platí, že trajektorie jimi procházející

jsou „zachyceny“ danou limitní množinou, se nazývají bazény přitažlivosti dané množiny. Tyto bazény představují oblasti možných počátečních stavů soustavy (počátečních podmí-nek), nutných pro dosažení zvolené limitní množiny odezev.

6.5 Deterministický chaos a bifurkační analýza dynamických soustav Termínem deterministický chaos můžeme označit takový stav dynamické soustavy, při kte-

rém nelze vypočítat jeho budoucí stav. Bylo již řečeno, že chaotické stavy lze očekávat u ta-kových dynamických soustav, které vykazují extrémně velkou citlivost na změny počátečních podmínek nebo některého z parametrů soustavy. Zde se dva „nekonečně“ blízké počáteční stavy exponenciálně rozcházejí – odezva má více řešení – a budoucí stav nelze předpovědět.

Termínem bifurkace označujeme jev, při kterém dochází ke změnám stavu soustavy při nepatrných změnách počátečních podmínek. Bifurkaci lze také chápat jako náhlou změnu sta-

* E. Lorenz použil soustavu 3 rovnic, popisujících zvláštní druh proudění (konvenci), při simulaci vývoje

počasí (1693).

bility, která bezprostředně souvisí s chaosem – předchází mu. Jinými slovy, chaos nastává v případě, kdy v soustavě začíná docházet k velkému množství na sebe navazujících bifurkací. Proto je studium podmínek, za kterých se bifurkace mohou objevit, důležitou součástí analýzy nelineárních jevů v dynamických soustavách.

Obr. 6.3: Typy bifurkací

6.6 Typy bifurkací [20] Při spojité změně vybraného parametru, který původně odpovídal rovnovážnému stav,

může dojít ke ztrátě stability, která se může v mechanických soustavách projevit jako: • bifurkace statického stavu (obr. 6.3a), • bifurkace dynamického stavu,

• Hopfova bifurkace (obr. 6.3b), • bifurkace zdvojením periody (obr. 6.3c), • superkritická (vidličková) bifurkace (obr. 6.3d), • hysterezní smyčka (obr. 6.3e), • kaskády bifurkací (obr. 6.3f).

6.7 Feigenbaumova konstanta M. Feigenbaum objevil (v 70. letech minulého století) konstantu, která ukazuje na univer-

zálnost chaosu a není závislá ne generující soustavě. Zjistil, že délka intervalu mezi po sobě následujícími bifurkačními body kaskády bifurkací tvoří konvergující posloupnost. Podíl dé-lek dvou po sobě následujících intervalů je roven číslu

1

1

lim 4,66292i i

ti i

a aa a

δ−

→∞+

−= ≡

− . (6.2)

Toto číslo se nazývá Feigenbaumovo číslo. Protože kaskáda bifurkací předchází vzniku chaosu, lze jeho existenci předvídat již po zjištění tohoto poměru.

6.8 Bifurkace a chaos v mechatronických pohonových soustavách Mechatronické pohonové soustavy jsou charakteristické svými malými rozměry, až extré-

mně malými přenášenými výkony a tím, že jsou interdisciplinární – zpravidla elektronicko- nebo elektricko-mechanické. Jejich malé rozměry a hmotnosti spolu s elektronickými prvky vedou k tomu, že jsou až na výjimky nelineární. To vede k následujícím skutečnostem:

• neplatí princip superpozice, • proto je nutné sestavit frekvenční přenosy, definovaných a základě vstupních a vý-

stupních harmonických kmitů, • odezva nelineárního obvodu (který je součástí řídicích struktur pohonové soustavy)

na skokovou změnu je necharakterizuje, neboť není nezávislá na velikosti skoku, • u některých nelineárních obvodů může změna velikosti vstupního skoku zapříčinit

přechod do nestabilní oblasti jejich chování. Tyto skutečnosti výrazně komplikují klasické metody řešení odezev a příčinné analýzy dy-

namických vlastností a chování zkoumaných soustav. Proto se využívají simulační systémy, v našich podmínkách především MATLAB+Simulink, které obsahují vhodné knihovny (tool-boxy) z mnoha oborů. Zkoumaný problém pak představuje globální soustavu, reprezentova-nou blokovým schématem sestavené z prvků těchto toolboxů.

Nečekaně užitečnými se v případě analýzy bifurkací možnosti vzniku chaosu stávají gra-fické metody – především znázornění chování soustav ve fázové rovině. Znázornění chování dynamických soustav pomocí bifurkačního diagramu se stává jednou z efektivních možností, jak možnost vzniku bifurkačních jevů a chaosu sledovat.

Pro ilustraci výše uvedených tvrzení využijeme toho, že mezi soustavy, vykazující „klasic-ké chaotické chování“, patří i typické „pohonové soustavy“, např. stejnosměrný motor napá-jený z jednokvadrantního pulsního měniče [34]. K analýze chování stejnosměrného motoru s permanentními magnety lze využít matematický model [35], sestavený v programovém sy-stému MATLAB, jehož blokové schéma je znázorněno na obr. 6.4.

Obr. 6.4: Schematické znázornění řízeného stejnosměrného motoru

Celá soustava je složena z modelu stejnosměrného motoru, regulačních smyček a výkono-vých prvků s napájením. Řídicí část soustavy obsahuje podřízenou smyčku proudu (blok A2

se zesílením ig ) a nadřízenou smyčku otáček (blok A1, zesílení ωg ). Rychlostní a proudový

signál pak může být definován vztahy

ω ω ref

i i

( ) [ ( )] ,( ) ( ) ,

v t g tv t g i t

ω ω= −=

(6.3)

kde ( )i t je proud na kotvě stejnosměrného motoru, ( )tω je úhlová rychlost rotoru a refω je

referenční hodnota úhlové rychlosti stejnosměrného motoru. Oba signály jsou přivedeny na komparátor K, jehož výstup je veden do členu R-S, který je

nastavován hodinovými impulsy o periodě T. Výstupní signál R-S členu řídí přepínání sní-mače S. Parametry modelu stejnosměrného motoru byly nastaveny podle [35]. Pro ilustraci chování pohonu se stejnosměrným motorem byly využity jak průběhy otáček a proudu tak trajektorie ve stavovém prostoru [34]. Časové průběhy otáček jsou znázorněny pro stabilní stav na obr. 6.5a, stav s dvojnásobnou periodou obr. 6.5b a chaos obr. 6.5c. Časové průběhy proudu jsou obdobné, mají jen ostřejší špičky.

Názornější představu o chování analyzované soustavy ve výše zmíněných stavech nám dají trajektorie ve fázové rovině ( , )Iω , viz obr. 6.6.

Obr. 6.5: Časové průběhy otáček

Obr. 6.6: Fázové trajektorie analyzované soustavy

Nejlepší představu o chování analyzované soustavy ale získáme pomocí výše zmíněného bifurkačního diagramu.

6.9 Konstrukce bifurkačního diagramu Bifurkační diagram je často využíván k vyjasnění vlivu změn určitého parametru soustavy

na její chování. Nejjednodušším způsobem, jak tyto změny zobrazovat, je využití osciloskopu s pamětí. Pro zobrazení bifurkačního diagramu musíme sestavit obvod, který bude generovat potřebné signály pro osciloskop [34].

Typický bifurkační diagram obsahuje horizontální osu, na kterou vynášíme malé změny vybraného parametru, a vertikální osu, na kterou vynášíme navzorkované ustálené hodnoty proměnné zkoumaného modelu soustavy. K zobrazení bifurkačního diagramu je nutné přivést potřebné signály na vstupy osciloskopu X a Y. K jejich získání musíme:

• realizovat změnu parametru zkoumané soustavy odpovídající pomalé změně napě-ťové pily přivedené na vstup X osciloskopu,

• vzorkovat zvolený signál zkoumané soustavy a zasílat získané vzorky na vstup Y osciloskopu.

Tyto činnosti musí být dobře sladěny a přírůstek napěťové pily musí být relativně malý. Systém realizující konstrukci bifurkačního diagramu je zobrazen na obr. 6.7.

Uvedeným způsobem byl sestaven bifurkační diagram pro úlohu popsanou v předchozím odstavci. Na bifurkačním diagramu (obr. 6.8) jsou jasně patrny stabilní oblast, oblast s dvoj-násobnou a čtyřnásobnou periodou a oblast chaosu.

Obr. 6.7: Blokový diagram pro získání bifurkačního diagramu pomocí osciloskopu

Obr. 6.8: Bifurkační diagram

Další možnosti konstrukcí bifurkačního diagramu nabízí výpočetní technika. Z nich ze-jména metoda využívající tzv. CHAOS-MODUL [36] je velmi efektivní.

6.10 Příklad analýzy globálního chování modelu disipativní soustavy Při výzkumu dynamických vlastností řízených pohonových soustav nemůžeme opomenout

stabilitní analýzy. V případě nelineárních soustav a jejich modelů můžeme navíc očekávat i vznik chaotických pohybů. Přístup k analýze možností jejich vzniku ale bude odlišný, analyzujeme-li modely s jedním nebo málo stupni volnosti a modely reálných technických soustav.

6.10.1 Vznik chaosu v disipativních soustavách a jeho modelování

Disipativní dynamické soustavy lze stručně charakterizovat jako soustavy, jejichž chování se s rostoucím časem asymptoticky blíží k rovnovážným stavům, pokud není z vnějšku dodávána energie. Jejich popis je možný pomocí relativně jednoduchých pohybových nelineárních rovnic. Pro určité hodnoty parametrů těchto rovnic jejich řešení nekonvergují

vždy k očekávaným hodnotám, ale chaoticky oscilují. Objevuje se také silná závislost na malých změnách počátečních podmínek. V případě analýzy takových jevů může být jejich matematická podstata spojována s existencí tzv. „podivného atraktoru“ ve fázové rovině. Možný vznik chaosu pak lze spatřovat v opakovaných bifurkacích řešení. S tzv. bodem kumulace, za kterým se podivný atraktor generuje. Fázový obraz řešení soustavy pak přechází od stabilní množiny trajektorií k nové nestabilní, chaotické množině. Zásadní význam zde má sestavení globálních obrazů trajektorií. Pokud se to podaří, je popsáno asymptotické chování modelu soustavy.

6.10.2 Globální chování pohonové soustavy

Problémy analýzy pohonových soustav patří k velice často diskutovaným problémům v inženýrské praxi. Je zde celá řada koncepčních a metodických otázek, které vyžadují hlubší porozumění a vysvětlení. Jednou z nich je existence deterministického chaosu.

Tyto soustavy s nelinearitami mohou být extrémně citlivé na malé změny počátečních podmínek nebo vybraných konstrukčních parametrů. Typickým příkladem mohou být soustavy s vůlemi. V případě chaotického chování se soustava nachází v nestabilním stavu a přechází do nového stavu, který je také nestabilní a diametrálně odlišný. V případě předložených numerických výsledků ve fázové rovině se vyskytuje přechod ze stabilní množiny trajektorií do zcela nového stavu, nestabilní množiny chaotických trajektorií. Je zřejmé, že je extrémně důležité poznat parametry, za kterých chaotické chování může nastat, obzvláště v řízených soustavách a v soustavách, které zahrnují subsoustavy s rozdílným fyzikálním popisem.

6.10.3 Model pohonové soustavy

Byla vybrána jednoduchá pohonová soustava pro verifikaci teoretických závěrů uvedených v předchozí kapitole. Model soustavy je vyobrazen na obrázku 6.9 tato soustava reprezentuje pohonovou soustavu, která se skládá z pohonového stroje a pracovního stroje navzájem spojených pomocí spojky. Charakteristika spojky je nelineární a je uvedena na obrázku 6.9.

Obr. 6.9. Model pohonové soustavy

Systém pohybových rovnic, které popisují dynamické chování může být popsán následujícím způsobem:

( ) ( )( ) ( )

1 1 1 2 1 1 2 1

2 1 2 1 2 1

, cos( )

, cos( )

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ω

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ω ν

⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ − = + ⋅ ⋅

⋅ − + ⋅ − = − ⋅ ⋅ −

MM M M p M

PP P P

I k f b b M M t

I f b M M t (6.4)

Kde nelineární funkce ( )1 2,ϕ ϕf je popsána následujícím předpisem

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

,

, 0

,

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= ⋅ − − <

= < − <

= ⋅ − − >

f k pro a

f pro a b

f k pro b (6.5)

Analyzujme případ symetrické vůle, kdy = =a b a

Pak pro 1 2ϕ ϕ− ≤ a je soustava popsána následujícími rovnicemi

( )( )

1 1 1 1 1 2 1

2 1 2 1

cos( )

cos( )

MM M p M

PP P P

I k b b M M t

I b M M t

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ω

ϕ ϕ ϕ ω ν

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − = + ⋅ ⋅

⋅ + ⋅ − = − ⋅ ⋅ − (6.6)

A pro 1 2ϕ ϕ− > a je popsána těmito rovnicemi

( ) ( )( ) ( )

1 1 1 1 2 1 1 2 1

2 1 2 1 2 1

cos( )

cos( )

MM M p M

PP P P

I k k b b M M t

I k b M M t

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ω

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ω ν

⋅ + + ⋅ − + ⋅ + ⋅ − = + ⋅ ⋅

⋅ + ⋅ − + ⋅ − = − ⋅ ⋅ − (6.7) Pro tuto soustavu jsem provedli řadu výpočtových simulací. Hlavním cílem těchto simulací

bylo ověřit možnost výskytu chaotického chování nebo najít bifurkační stavy, tak jak jsou popsány v kapitole 6.10.3. Pro řešení byl vybrán výpočetní systém MATLAB – Simulink, protože implementace rovnic (6.1) - (6.4) je v něm poměrně jednoduchá a algoritmy používané pro simulaci dynamických soustav v Matlabu jsou robustní a sofistikované. Dlouholetá a dobrá zkušenost s používáním tohoto výpočetního systému byl další důvod pro jeho využití.

6.10.4 Výsledky

Pro soustavu uvedenou na obrázku 6.1 a popsanou rovnicemi (6.4) – (6.7) byly vybrány následující parametry – viz. tabulka 6.1.

Veličina Hodnota Popis

MI 1,5 kgm2 Moment setrvačnosti pohonové části

PI 1,25 kgm2 Moment setrvačnosti pracovní části

1MM 25 Nm Dynamický moment na pohonové části

1PM 55 Nm Dynamický moment na pracovní části

MM 1519 Nm Statický moment na pohonové části

PM 565 Nm Statický moment na pracovní části

Pb 1,73 N/ms Tlumení v pohonové části

Mb 1,43 N/ms Tlumení v pracovní části

Pk 15000 N/m Tuhost v pohonové části

Mk 1000 N/m Tuhost v pracovní části

ν 45 ° Fáze mezi budícími složkami působícími na pohonovou a pracovní část

Tab. 6.1: Parametry pohonové soustavy

Tyto parametry byly získány z katalogů MAXON MOTOR. DC motory reprezentují jako pohonovou část, tak i pracovní část. Numerické simulace byly provedeny s těmito hodnotami. Úhlová rychlost buzení byla vybrána jako parametr, který byl měněn i intervalu od 1 rad/s do 200 rad/s. Natočení a úhlová rychlost soustavy byly vypočítávány pro vykreslování ve fázové rovině a pro kreslení atraktorů. Pro kreslení atraktorů muselo být vypočítáváno i zatížení ve spojce.

Pro natočení i relativní natočení bylo vykresleno pro zobrazení ve fázové rovině. Poincarreho mapy a atraktory pro relativní pohyb byly také propočítané. Další z možností analýzy je převedení vypočítaného natočení do frekvenční domény a provedení analýzy zde, jak je opět popsáno v kapitole 6.10.3. FFT pro relativní natočení byla vypočítaná a analyzovaná.

Následující obrázky ukazují všechny výše uvedené analýzy pro úhlovou rychlost buzení ω = 18.93 rad/s, ω = 110 rad/s a ω = 140 rad/s. Tyto úhlové rychlosti byly vybrány jako reprezentativní hodnoty. Změny, kterými prochází dynamická soustavy závisí na vybraném parametru, který je variován. Je to velice dobře viditelné na spektru relativního natočení. Ačkoliv se nemění struktura soustavy a úhlová frekvence buzení je jediný měnící se parametr, ve spektru je možno vidět mnoho vlastních frekvencí. Tyto vlastní frekvence vznikají a zanikají se změnami úhlové frekvence ω. Ve fázové rovině také dochází ke změnám tvarů. Poincarreho mapy jsou velice zajímavé pro analýzu. Můžeme zde nalézt typické diagramy známé z teoretických studii, jako např. stabilní jádro pro ω = 110 rad/s. Soustava se blíží chaotickému chování pro ω = 18.93 rad/s. Vysoké tlumení zabraňuje, aby soustava přešla do plně chaotického stavu a projeví se pouze relaxační kmity.

Obr. 6.10: Fázová rovina pro natočení φ1 pro ω = 18,93 rad/s

Obr. 6.11: Fázová rovina pro natočení φ2 pro ω = 18,93 rad/s

Obr. 6.12: Fázová rovina pro relativní natočení pro ω = 18,93 rad/s

Obr. 6.13: Poincareho mapa relativní natočení pro ω = 18,93 rad/s

Obr. 6.14: Spectrum relativního natočení pro ω = 18,93 rad/s

Obr. 6.15: Atraktor pro relativní natočení pro ω = 18,93 rad/s

Obr. 6.16: Fázová rovina pro natočení φ1 pro ω = 110 rad/s

Obr. 6.17: Fázová rovina pro natočení φ2 pro ω = 110 rad/s

Obr. 6.18: Fázová rovina pro relativní natočení pro ω = 110 rad/s

Obr. 6.19: Poincareho mapa relativní natočení pro ω = 110 rad/s

Obr. 6.20: Spectrum relativního natočení pro ω = 110 rad/s

Obr. 6.21: Atraktor pro relativní natočení pro ω = 110 rad/s

Obr. 6.22: Fázová rovina pro natočení φ1 pro ω = 140 rad/s

Obr. 6.23: Fázová rovina pro natočení φ2 pro ω = 140 rad/s

Obr. 6.24: Fázová rovina pro relativní natočení pro ω = 140 rad/s

Obr. 6.25: Poincareho mapa relativní natočení pro ω = 140 rad/s

Obr. 6.26 Spectrum relativního natočení pro ω = 140 rad/s

Obr. 6.27: Atraktor pro relativní natočení pro ω = 140 rad/s

6.10.5 Závěry

Chaos se v posledních letech stal fenoménem řady inženýrských problémů. Proto jsme se na jeho sledování zaměřili i při analýzách pohybových soustav. Na základě provedených rozborů si dovolíme stanovit následující doporučení:

• při hodnocení vlastností a chování dynamických soustav definovat takové parametry modelů, které mohou ovlivňovat výskyt parazitních pohybů včetně chaosu (kolísání počátečních podmínek, vůle ve vazbách, parametry řízení),

• sledovat evoluce odezev ve fázových rovinách v závislosti na změnách vybraných parametrů a identifikovat typické projevy chaosu,

• objeví-li se tyto projevy, vyhodnotit Fourierovská spektra odezev. Chaotickým pohybům odpovídají širokopásmová spektra, i když budící spektra jsou úzkopásmová.

Respektováním uvedených doporučení lze identifikovat oblasti možných výskytů chaosu v technických soustavám s využitím matematického modelování poměrně snadno. Výše popsaným alternativním přístupem ale nechceme znehodnocovat analytické přístupy.

6.11 Závěrečná poznámka Je zřejmé, že bifurkace rovnovážných stavů dynamických soustav bezprostředně navazují

na ztrátu jejich stability. K vyšetřování stability rovnovážného stavu lze v zásadě použít dvou přístupů:

• nalezení tzv. Ljapunovovy funkce soustavy, která je pozitivně definitní a současně její derivace podle času je negativně definitní, nebo

• využití tzv. charakteristických exponentů. První z možností má výhodu v tom, že je obecná, a podaří-li se nám tuto funkci pro zkou-

manou soustavu (resp. její matematický model) sestavit, bude rovnovážný stav dané soustavy asymptoticky stabilní. Nevýhodou této metody je, že neexistuje obecný návod k sestavení Ljapunovovy funkce. Z hlediska praktické použitelnosti je důležité vědět, že podmínky sta-bility určené podle přímé Ljapunovovy metody jsou pouze postačujícími podmínkami, nikoliv nutnými a postačujícími. To znamená, že meze parametrů určené na základě Ljapunovovy funkce zaručují stabilitu rovnovážného stavu. Neznamená to, že budou-li tyto meze překro-čeny, bude rovnovážný stav nestabilní.

Druhý přístup, metoda charakteristických exponentů, je často využívaný v technické praxi. Je použitelný prakticky pro všechny soustavy s analytickými nelinearitami, vyhovujícími pod-mínce

0

( , )lim 0

t→

=x

g xx

, (5.86)

kde x je stavový vektor a ( , )tg x je vektor nelineárních funkcí soustavy. Pro určení charak-

teristických (Ljapunovovských) exponentů existuje několik metodik a výpočtových pro-gramů [37]. Ovšem ani tato metoda nemusí vést k úspěšnému určení podmínek, za kterých dojde k chaosu.

V takovém případě je nezbytné využít bifurkační teorie, naznačené v předchozích odstav-cích. Aplikace této teorie je sice náročná, především na čas, umožňuje ale vymezit oblasti parametrů, které vedou k nestabilním projevům. Vyžaduje průběžné sledování odezev při změnách vybraných parametrů ve fázové rovině. Tak je možné odhalit počátky bifurkací, zdvojování period následně chaotický stav, vyznačující se složitou a neuzavřenou trajektorií. Provedeme-li pro časové průběhy frekvenční rozklad, zjistíme, že získaná spektra jsou velmi bohatá a vizuálně blízká náhodným dějům.

Stručně shrnuto, vyjdeme-li z bifurkační analýzy modelu dynamické soustavy, budou pro chaotický pohyb charakteristické tyto skutečnosti:

• citlivost odezvy na změny vybraných parametrů nebo počátečních podmínek • narůstající komplexnost pohybu když měníme vybraný parametr (včetně pohybu

známého jako „zdvojování period“ • širokopásmové Fourierovo spektrum odezvy soustavy při buzení jednou nebo

několika frekvencemi, když se soustava nachází v chaotickém stavu.

Část II.

Modelování elektromechanických pohonových

soustav

7 Dynamika dvoumotorových elektromechanických pohonů s motory za sebou

7.1 Úvod Dvoumotorové pohony strojů a mechanismů se vyskytují v těch případech, kdy použití

jediného hnacího motoru vyššího výkonu není z hlediska konstrukčního řešení celého soustrojí „hnací jednotka – stroj“ možné, popř. při požadavku vyšší dynamiky celého pohonu.

Jednou z variant takového řešení je dvoumotorový pohon, v němž jsou motory konstrukčně řazeny za sebou (v tandemu) čili hřídele obou motorů jsou spolu bezprostředně spojeny a poháněný stroj je spojen buď přímo nebo přes převodovku s motorem 2 (obr. 7.1).

PRACOVNÍSTROJ

MOTOR 1 MOTOR 2 PŘEVODOVKA

Obr.7.1. Řazení motorů za sebou

Motory je možné napájet třemi různými způsoby (obr. 7.2). Na obr. 7.2a je zobrazeno individuální napájení motorů ze dvou výkonových zdrojů napětími Ua1 a Ua2. Na obr. 7.2b jsou motory napájeny paralelně z jednoho výkonového zdroje napětím Ua, přičemž jednotlivými motory protékají proudy Ia1 a Ia2. Konečně na obr. 7.2c je uvedeno sériové napájení motorů z jediného výkonového zdroje napětím Ua, které je rovno součtu napětí na jednotlivých motorech Ua1 a Ua2. Při tomto způsobu napájení protéká oběma motory společný proud Ia. Určitou nevýhodou sériového napájení je, že napájecí zdroj musí mít dvojnásobně vyšší napětí ve srovnání s individuálním a s paralelním napájením..

Zapojení řídících a regulačních částí výkonových zdrojů, používaná v regulovaných dvoumotorových elektromechanických pohonech, jsou velmi různorodá v závislosti na požadavcích, kladených na cílové statické a dynamické vlastnosti pohonů. Z toho důvodu je tato stať věnována pouze neregulovaným dvoumotorovým stejnosměrným pohonům s motory za sebou, osazenými dvojicí stejnosměrných motorů malého výkonu s cizím konstantním buzením.

MUa1

M1

a)

Ua2M

M2

MUa

M1

M

M2

b)

Ia1 Ia2

M

M1

M

M2

Ua

c)

Ia

Ua1

Ua2

Obr.7.2. Napájení dvoumotorového stejnosměrného pohonu a) individuální napájení b) paralelní napájení c) sériové napájení

Pro účely zkoumání dynamiky uvažovaného typu pohonu byl vybrán stejnosměrný motor s permanentními magnety MAXON A-max22 typ 110 164 s následujícími štítkovými hodnotami a parametry: výkon 6 W, napájecí napětí 24 V, jmenovitá rychlost 7430 min-1, jmenovitý moment 6,97.10-3 Nm, hmotný moment setrvačnosti rotoru 4,11 gcm2, odpor vinutí kotvy 21 Ω, indukčnost vinutí kotvy 1,37 mH, činitel magnetického pole 21,2.10-3 NmA-1, resp. 21,2.10-3 Vsrad-1. Z těchto údajů je možné zjistit, že elektromagnetická časová konstanta

motoru 31,37.10 65,2

21μ

−

= = =aa

a

LT sR

je výrazně menší než jeho elektromechanická časová

konstanta ( ) ( )

72 23

214,11.10 19,221,2.10Φ

−

−= = =a

mRT J ms

c čili při vyšetřování dynamiky

pohonů je v daném případě možné zanedbat elektromagnetické děje, probíhající v obou motorech. Z toho vyplývá, že každý z motorů je pro dané účely dostatečně popsán svou statickou momentovou charakteristikou.

Mechanické vazby mezi jednotlivými částmi pohonu jsou alternativně tuhé a pružné. Poháněný stroj je reprezentován jediným setrvačníkem s odpovídajícím hmotným momentem setrvačnosti. Všechny parametry mechanické části pohonu jsou přepočítány na hřídel výstupního motoru dvojice (motor 2).

Dynamika dvoumotorových pohonů s motory za sebou je v dalším vyjadřována prostřednictvím následujících charakteristik:

• rozložení pólů a nul operátorových přenosů vstupů v komplexní rovině, • amplitudové frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích (Bodeho

diagramy) a • odezvy výstupní rychlosti a pružných momentů ve spojovacích hřídelích na

jednotkové skoky vstupů (přechodové charakteristiky).

Zatímco dynamika pohonu při individuálním napájení bude prezentována samostatně, dynamika pohonu při paralelním a sériovém napájení bude prezentována tak, aby bylo možné výsledky snadno vzájemně srovnat.

K numerickému zkoumání dynamiky uvažovaného soustrojí bylo využito programové prostředí systému MATLAB/SIMULINK, v němž byly na základě popisujících diferenciálních rovnic vytvořeny příslušné stavové modely ve tvaru

,

,= +=

x Ax Buy Cx

kde x je vektor fyzikálních stavových proměnných, u je vektor vstupů, y je vektor výstupních proměnných, A a B jsou časově invariantní matice koeficientů, C je výstupní matice soustavy. Tento přístup vychází z předpokladu, že uvažované pohony jsou považovány za lineární dynamické soustavy. Dalšími nástroji uvedeného programového systému pak byly zjištěny výše uvedené charakteristiky dynamických vlastností pohonů.

7.2 Pružné vazby mezi motory i se strojem Na obr. 7.3 je uveden model mechanické části dvoumotorového pohonu s motory za sebou,

v němž všechny vazby jsou pružné. Setrvačníky J1 = J2 = 0,411.10-6 kgm2 přísluší rotorům motorů, setrvačník J3 = 1,5.10-6 kgm2 představuje poháněný stroj. Pružný hřídel mezi setrvačníky J1 a J2 má torzní tuhost k12 = 0,483 Nmrad-1 a nulové proporcionální tlumení – b12 = 0. Pružný hřídel mezi setrvačníky J2 a J3 má torzní tuhost k23 = 0,96 Nmrad-1 a rovněž nulové proporcionální tlumení – b23 = 0. Na setrvačníky J1 a J2 působí hnací momenty motorů M1 a M2, setrvačník J3 je zatěžován pracovním momentem ML. Úhlové rychlosti setrvačníků jsou ω1, ω2, ω3.

J1 J2 J3

k12 b12 k23 b23

ω1 ω2 ω3

Obr.7.3. Dvoumotorová soustava s pružnými vazbami

7.2.1 Individuální napájení motorů

Při individuálním napájení motorů jsou hnací momenty motorů dány následujícími vztahy

( )

( )

211

1 1 11 1

222

2 2 22 2

,

.

ΦΦ ω

ΦΦ ω

= −

= −

aa a

aa a

ccM UR R

ccM UR R

(7.1)

M

NnapěM12 a

Jetakže

Nvstup

Modelující d

11

ω+

dJdt

22

ω−

dJdt

33

ω−

dJdt

12 −dM k

dt

23 −dM k

dtNa obr. 7.4 j

tí Ua1 (Ua2) a M23.

e zřejmé, žee soustava s

Na obr. 7.5 jpních napětí

iferenciální

(12 1 2ω ω+ −b

(12 1ω ω− −b

(23 2ω ω− −b

( )12 1 2ω ω−k

(23 2 3ω ω−k

jsou zobraza pracovníh

Obr.

e všechny psplňuje nutnjsou zobrazí Ua1 a Ua2 d

í rovnice ma

) (2 12+ +

cM

)2 12ω − +M b

)3 23ω − = −M

) 0,=

) 0.=

zena rozložeho moment

7.4. Rozlož

póly mají zánou podmínkzeny logaritdo úhlové ry

ají v tomto p

)21

11

Φω =

a

c cR

( )23 2 3ω ω−b

,− LM

ení pólů (x)tu ML do úh

žení pólů a n

áporné reálnku stabilitytmické ampychlosti ω3

případě tvar

11

1

,Φa

a

c UR

) (23

Φ+ +

cM

R

) a nul (o) hlové rychlo

nul v kompl

né části (lež.

plitudové fr.

r

)22

22

Φ Φω =a

cR R

operátorovýosti stroje ω

lexní rovině

ží v levé čá

rekvenční c

22

2

,Φa

a

c UR

(7

ých přenosůω3 a pružnýc

ě

ásti komplex

harakteristi

7.2)

ů vstupníchch momentů

xní roviny),

ky přenosů

h ů

,

ů

Obr.7

Zobrazemůže kmit

Odezva

7.6 a je zřenapětí Ua1 j

Odezvyzobrazeny

7.5. Amplitu

ené charaktetat. a úhlové ryc

ejmé, že nepje tvarově s

Obr.7.6

y pružných mna obr. 7.7

udové frekve

eristiky se v

chlosti ω3 na

patrně kmitshodná, kmi

6. Odezva úh

momentů Ma 7.8.

enční chara

vzájemně li

a jednotkov

tá. Odezva úitání není pa

hlové rychlo

M12 a M23 n

akteristiky p

iší, obě však

vý skok vstu

úhlové rychatrné.

osti ω3 na sk

na jednotkov

řenosů vstup

k mají výra

upního napě

hlosti ω3 na

kok vstupní

vý skok pra

upních napě

aznější maxi

ětí Ua1 je z

jednotkový

ího napětí U

acovního m

ětí Ua1 a Ua2

ima čili sou

obrazena na

ý skok vstup

Ua1

momentu ML

2

ustava

a obr.

pního

L jsou

Okmit

7.2.2

Př

Obr.7

Obr.7

Odezvy pružnání s rozdíln

2 Parale

ři paralelním

7.7. Odezva p

7.8. Odezva p

ných momenými kmito

elní a sério

m napájení m

pružného m

pružného m

entů M12 a očty.

ové napáje

motorů jsou

momentu M1

momentu M2

M23 kmitají

ení motorů

u hnací mom

12 na skok p

23 na skok p

í tlumeným

ů

menty dány

pracovního m

pracovního m

mi kmity, dan

vztahy

momentu M

momentu M

nými superp

ML

ML

pozicí dvou

u

( )

( )

211

1 11 1

222

2 22 2

,ΦΦ ω

ΦΦ ω

= −

= −

aa a

aa a

ccM UR R

ccM UR R

(7.3)

a modelující diferenciální rovnice mají tvar

( ) ( )211 1

1 12 1 2 12 11 1

,Φω Φω ω ω+ − + + = a

a a

cd cJ b M Udt R R

( ) ( ) ( )222 2

2 12 1 2 12 23 2 3 23 22 2

,Φω Φω ω ω ω ω− − − + − + + = a

a a

cd cJ b M b M Udt R R

( )33 23 2 3 23 ,ω ω ω− − − = − L

dJ b M Mdt

(7.4)

( )1212 1 2 0,ω ω− − =

dM kdt

( )2323 2 3 0.ω ω− − =

dM kdt

Při sériovém napájení motorů jsou hnací momenty dány vztahy

( )

( )

211 1 2

1 1 21 2 1 2 1 2

222 1 2

2 1 21 2 1 2 1 2

,

.

ΦΦ Φ Φω ω

ΦΦ Φ Φ ω ω

= − −+ + +

= − −+ + +

aa a a a a a

aa a a a a a

cc c cM UR R R R R R

cc c cM UR R R R R R

(7.5)

a modelující diferenciální rovnice mají tvar

( ) ( )211 1 2 1

1 12 1 2 12 1 21 2 1 2 1 2

,Φω Φ Φ Φω ω ω ω+ − + + + =+ + + a

a a a a a a

cd c c cJ b M Udt R R R R R R

( )

( ) ( )

22 12 1 2 12

221 2 2

23 2 3 23 1 21 2 1 2 1 2

,

ω ω ω

ΦΦ Φ Φω ω ω ω

− − − +

− + + + =+ + + a

a a a a a a

dJ b Mdt

cc c cb M UR R R R R R

( )33 23 2 3 23 ,ω ω ω− − − = − L

dJ b M Mdt

(7.6)

( )1212 1 2 0,ω ω− − =

dM kdt

( )2323 2 3 0.ω ω− − =

dM kdt

Na obr. 7.9 jsou zobrazena rozložení pólů (x) a nul (o) operátorových přenosů vstupního napětí Ua a pracovního momentu ML do úhlové rychlosti stroje ω3 a pružných momentů M12 a

M23 zápo

Prsplňu

Nvstupvýraz

pro oba typrný pól je s

rotože všakuje soustava

Na obr. 7.10 pního napětzná maxima

Ob

py napájeníhodný pro o

Obr.

k všechny pa nutnou po

jsou zobratí Ua do úa, takže poh

br.7.10. Amp

í. Je zřejméoba typy na

7.9. Rozlož

óly mají záodmínku stabazeny logariúhlové rychhon může km

plitudová ch

é, že rozložapájení.

žení pólů a n

áporné reálnbility. itmické amphlosti ω3 promitat.

harakteristi

ení pólů a

nul v kompl

né části (lež

plitudové fro zkouman

ika přenosu

nul jsou vý

lexní rovině

ží v levé čá

rekvenční cné typy nap

u vstupního n

ýrazně odliš

ě

sti komplex

charakteristipájení, vyka

napětí Ua

šná. Reálný

xní roviny),

iky přenosůazující dvě

ý

,

ů ě

Příslušnna obr. 7.1paralelnímz motorů p

O

Odezvyparalelním

Obr.7.12

né odezvy ú11. Ustálená

m napájení, cpoloviční. O

Obr.7.11. Od

y pružného m a sériovém

2. Odezva pr

úhlové rychlá rychlost pcož je způso

Obě odezvy v

dezva úhlov

momentu m napájení js

ružného mo

losti ω3 na jpři sériovémobeno tím, žvykazují ne

vé rychlosti

M12 na jsou na obr.

omentu M12

na

ednotkový m napájení jže při sériovepatrné kmit

ω3 na skok

jednotkový 7.12 a 7.13

na skok praapájení

skok vstupnje polovičnívém napájentání.

napájecího

skok prac.

acovního mo

ního napětí í vůči ustální je skok n

o napětí mot

covního m

omentu ML p

Ua jsou uvelené rychlosnapětí na ka

torů Ua

omentu M

při paraleln

edeny stí při aždém

ML při

ním

O

Oparal

Ob

Obr.7.13. Od

Odezvy pružlelní a sério

br.7.14. Ode

dezva pružn

žného momové napájení

ezva pružné

ého momen

mentu M23

í jsou na ob

ého momentu

ntu M12 na snapáje

na jednotr. 7.14 a 7.1

u M23 na sknapáje

kok pracovnení

tkový skok15.

kok pracovnení

ního momen

k pracovníh

ního momen

ntu ML při s

ho moment

tu ML při pa

sériovém

tu ML pro

aralelním

o

Obr.7.15

Odezvypři obou tydvou kmitá

7.3 TuNa obr.

sebou, v nsoustava sJ3 = 1,5.10tlumení – bJ3 je zatěžo

7.3.1 In

I když Hnací mom

5. Odezva p

y obou pružnypech napájání s rozdíln

uhá vazba. 7.16 je u

němž vazbae tedy redu

0-6 kgm2, prub23 = 0. Na ován pracov

Obr. 7

ndividuáln

se takový zmenty moto

pružného mo

ných momejení v přechnými kmito

a mezi moveden mod

a mezi motoukuje na soužný hřídel setrvačník

vním mome

7.16. Dvoum

ní napájen

způsob naprů jsou dány

omentu M23na

entů M12 a Mhodných dějčty), přičem

otory, prudel mechaniory je tuhá

oustavu se dmá torzní t(J1 + J2) půntem ML. Ú

J1+J2

k

ω2

motorová sou

ní motorů

pájení v pray vztahy

3 na skok prapájení

M23 na jednjích výrazn

mž jejich tva

užná vazbické části d a vazba sedvěma setrvtuhost k23 =ůsobí hnací Úhlové rych

k23 b23

ustava s tuh

axi nepouží

racovního m

notkový skoě kmitají slary závisí na

a se strojdvoumotoroe strojem jevačníky (J1

= 0.96 Nmramomenty m

hlosti setrvač

J3

ω3

hou vazbou

ívá, je zde

momentu ML

ok pracovníložitými kma typu napáj

em ového pohoe pružná. C + J2) = 0,ad-1 a nulovmotorů M1 čníků jsou ω

mezi motor

uveden z d

ML při sériov

ho momentmity (superpájení.

onu s motoCelá mecha822.10-6 kg

vé proporcioa M2, setrvω2 a ω3.

ry

důvodů úpl

vém

tu ML pozice

ry za anická gm2 a onální vačník

nosti.

M

Nnapěmom

Prsplňu

Nvstupvýraz

1

2

Φ

Φ

=

=

a

a

cMR

cMR

Modelující d

( )1 2+J J

33

ω−

dJdt

23 −dM k

dtNa obr. 7.17

tí Ua1 a Ua

mentu M23.

rotože všecuje soustava

Na obr. 7.18 pního napětzného maxi

(

(

11

1

22

2

ΦΦ

ΦΦ

−

−

aa a

aa

cU

R

cU

R

iferenciální

) (223

ω+

d bdt

(23 2ω ω− −b

(23 2 3ω ω−k

jsou zobra

a2 a pracov

Obr.7

chny póly ma nutnou po

jsou zobratí Ua1 (Ua2)ima nasvědč

)

)

21

21

22

22

,

.

Φω

Φω

a

aR

í rovnice ma

( )2 3ω ω− + M

)3 23ω − = −M

) 0.=

zena rozložvního mome

7.17. Rozlož

mají zápornodmínku stabazeny logari) do úhlovéčuje, že poh

ají v tomto p

( 123

Φ⎡+ ⎢

⎢⎣ a

cM

R

,− LM

žení pólů (xentu ML do

žení pólů a

nou reálnoubility. itmické ampé rychlosti hon může km

případě tvar

) ( )2 21 2

1 2

Φ Φ+

a

cR

x) a nul (o) o úhlové ry

nul v kompl

u část (leží

plitudové frω3, které j

mitat.

r 2

12

1

Φω⎤

=⎥⎥⎦ a

cR

operátorovýychlosti stro

lexní rovině

v levé čás

rekvenční csou naprost

(7

21

2

Φ+a

a

cU UR

(7

ých přenosůoje ω3 a do

ě

sti komplex

charakteristito shodné.

7.7)

2 ,aU

7.8)

ů vstupnícho pružného

xní roviny),

iky přenosůPřítomnost

h o

,

ů t

Obr.7.

Na obr.napětí Ua1

O

Na obr.momentu M

.18. Amplitu

. 7.19 jsou (Ua2). Obě

Obr.7.19. O

7.20 je zobML.

udová frekv

zobrazeny odezvy jsou

Odezvy úhlo

brazena ode

venční chara

odezvy úhu naprosto s

ové rychlosti

ezva pružné

akteristika p

hlové rychloshodné.

i ω3 na skok

ého moment

přenosů vstu

osti ω3 na j

ky vstupních

tu M23 na je

upních napě

jednotkový

h napětí Ua1

ednotkový

ětí Ua1 (Ua2)

ý skok vstup

1 (Ua2)

skok pracov

2)

pního

vního

Onepakmit

7.3.2

Pavýjim

a

SéHnac

Obr.7.

Odezva úhloatrné kmitánání jsou tlum

2 Parale

aralelní napmečných pří

1

2

Φ

Φ

=

=

a

a

cMR

cMR

modelující

( )1 2+J J

33

ω−

dJdt

23 −dM k

dtériové napácí momenty

20. Odezva

ové rychlostní, zatímco mená.

elní a sério

pájení motoípadech. Hn

(

(

11

1

2

2

ΦΦ

ΦΦ

−

−

aa a

aa a

cU

R

cU

R

diferenciáln

) (223

ω+

d bdt

(23 2ω ω− −b

(23 2 3ω ω−k

ájení motory motorů jso

a pružného m

ti ω3 na jedu odezvy p

ové napáje

orů se u tonací momen

)

)

21

21

22

22

,

.

ω

Φω

a

ní rovnice m

( )2 3ω ω− + M

)3 23ω − = −M

) 0.=

rů se u tohou dány vzta

momentu M

dnotkový spružného m

ení motorů

ohoto typu nty motorů j

mají tvar

( 123

Φ⎡+ ⎢

⎢⎣ a

cM

R

,− LM

hoto typu dahy

M23 na skok p

kok napájemomentu M2

ů

dvoumotorjsou rovny

) ( )2 21 2

1 2

Φ Φ+

a

cR

dvoumotoro

pracovního

ecích napětí

23 je toto km

rového poh

2

2Φω

⎤ ⎛=⎥ ⎜

⎥ ⎝⎦ a

cR

vého pohon

momentu M

í motorů vymitání výra

onu použív

(7

1 2

1 2

Φ Φ ⎞+ ⎟

⎠a a

c UR

(7

nu používá

ML

ykazuje jenznější. Obě

vá ve zcela

7.9)

,aU

7.10)

á nejčastěji.

n ě

a

.

1

2

M

M

a model

1(J

3J

dMd

Na obr.

napětí Ua aparalelním

Protožesplňuje sou

Na obr.vstupního výrazné msvou polohUa do úhlo

1

1 2

22

1 2

Φ

Φ

=+

=+

a a

a a

cR R

cR R

lující difere

22 ) ω

+ +dJdt

(323

ω ω−d bdt

(2323 2ω−

M kdt

7.21 jsou za pracovníh

m napájení, s

všechny pustava nutno 7.22 jsou znapětí Ua daximum čilhou. To je zové rychlost

(2 1

1

2 1

Φ

Φ

−+

−+

aa

aa

cU

R

c cUR

enciální rovn

(23 2ω ω+ −b

)2 3ω ω− − M

)2 3 0.ω− =

zobrazena rho momentustejné je roz

Obr.7.21. R

póly mají zou podmínkzobrazeny ldo úhlové rli soustava bzpůsobeno rti ω3.

)

(

21

22

22

2

Φ Φω

Φ ω

−

−+

a a

a a

cR R

cR R

nice mají tv

) (3 23ω + +M

23 ,= − LM M

rozložení póu ML do úhlzložení pólů

Rozložení pó

záporné reáku stability.logaritmickrychlosti ω3

bude kmitatrozdílným z

)

1 22

1 22

22

1 2

,

.

Φ Φ ω

Φω

+

+

a a

a a

cR

cR

var

( )1 2

1 2

Φ Φ++a a

c cR R

ólů (x) a nulové rychloů a nul i při n

ólů a nul v k

álné části (

ké amplitudo

3 pro paralet. Obě charazesílením op

)21

21

Φω =a

cR

ul (o) operátsti ω3 a do napájení sér

komplexní r

(leží v levé

ové frekvenelní a sériovakteristiky jperátorovýc

2

2

,Φ++ a

a

c UR

torových přpružného mriovém.

rovině

é části kom

nční charaktvé napájení,sou tvarověch přenosů

(7.11)

(7.12)

řenosů vstupmomentu M

mplexní rov

teristiky pře, které majíě podobné, lvstupního n

pního M23 při

viny),

enosů í opět liší se napětí

NUa. Unapájpolov

Nmomshod

Obr.7.22

Na obr. 7.23 Ustálená rycájení, což jeviční.

O

Na obr. 7.24 mentu ML pdná.

2. Amplitud

je zobrazenchlost při sée způsobeno

Obr.7.23. Od

je zobrazenpři paraleln

dová frekven

na odezva úériovém napo tím, že při

dezva úhlové

na odezva pním napájen

nční charak

úhlové rychlpájení je poi sériovém

é rychlosti ω

pružného mní, odezva

kteristika pře

losti ω3 na jloviční vůčnapájení je

ω3 na skok v

momentu M2

při napájen

enosu vstup

jednotkový i ustálené ryskok napět

vstupního n

23 na jednotní sériovém

pního napětí

skok vstupychlostí přití na každém

napětí Ua

tkový skok m je s tout

í Ua

pního napětí paralelnímm z motorů

pracovníhoto odezvou

í m ů

o u

O

Odezvanepatrné kkmitání jso

7.4 PruNa obr.

sebou, v nže celá mekgm2 a (J2

nulové prona setrvačnmomentem

7.4.1 In

Při indiv

Obr.7.24. Od

a úhlové ryckmitání, zatíou tlumená.

užná vazb. 7.25 je uěmž vazba echanická s

2 + J3) = 1oporcionálníník (J2 + J

m ML. Úhlov

Obr.7

ndividuáln

viduálním n

dezva pružn

chlosti ω3 nímco u ode

ba mezi mveden modmezi motor

soustava se ,911.10-6 kgí tlumení –

J3) působí jvé rychlosti

7.25. Dvoum

ní napájen

napájení mo

ného momen

na jednotkozvy pružné

motory, tudel mechaniry je pružnáredukuje n

gm2, pružnýb12 = 0. Naednak hnac

i setrvačníků

J1

k12

ω2

motorová so

ní motorů

otorů jsou je

ntu M23 na s

ový skok ného moment

uhá vazbaické části dá, zatímco v

na soustavu ý hřídel máa setrvačníkcí moment ů jsou ω1 a

J2+

2 b12

oustava s tu

ejich hnací m

skok pracov

napájecích ntu M23 je to

a se strojedvoumotorovazba se strse dvěma

á torzní tuhk J1 působí M2 a jednaω2.

+J3

ω2

uhou vazbou

momenty dá

vního mome

napětí motooto kmitání

em ového pohorojem je tuhsetrvačníky

host k12 = 0hnací momak je zatěž

u se strojem

ány vztahy

entu ML

orů vykazujvýraznější

onu s motohá. To znamy J1 = 0,410.486 Nmra

ment M1, zatžován praco

je jen . Obě

ry za mená, 1.10-6 ad-1 a tímco

ovním

M

Nnapě

Prsplňu

NvstupPrvnminim

1

2

Φ

Φ

=

=

a

a

cMR

cMR

Modelující d

11

ω+

dJdt

( )2 3+J J

12 −dM k

dtNa obr. 7.26

tí Ua1, Ua2 a

rotože všecuje soustava

Na obr. 7.27 pních napět

ní z nich mámum. Příto

(

(

11

1

22

2

ΦΦ

ΦΦ

−

−

aa a

aa

cU

R

cU

R

iferenciální

(12 1 2ω ω+ −b

) (212

ω−

d bdt

( )12 1 2ω ω−k

jsou zobraa pracovníh

Obr.7

chny póly ma nutnou po

jsou zobratí Ua1 a Ua2 á výrazné mmnost výra

)

)

21

11

22

22

,

.

Φω

Φω

a

aR

í rovnice ma

) (2 12+ +

cM

( )1 2ω ω− − M

) 0.=

zena rozložho momentu

7.26. Rozlož

mají záporodmínku stabazeny logari

do úhlové maximum, za

znějších ma

ají v tomto p

)21

11

Φω =

a

c cR

( )212

2

Φ+

a

cM

R

žení pólů (xu ML do úhl

žení pólů a

rné reálné čbility. itmické amprychlosti ωatímco druhaxim nasvěd

případě tvar

11

1

,Φa

a

c UR

)22

22

Φω =a

cR

x) a nul (o) lové rychlos

nul v kompl

části (leží

plitudové frω2. Je zřejméhá má nejendčuje, že po

r

2 ,−a LU M

operátorovýsti ω2 a pruž

lexní rovině

v levé čás

rekvenční cé, že se svýn výrazné mohon může k

(7

(7

ých přenosůžného mom

ě

ti komplex

charakteristiým tvarem omaximum, al

kmitat.

7.13)

7.14)

ů vstupníchmentu M12.

xní roviny),

iky přenosůod sebe liší.le i výrazné

h

,

ů . é

Obr.7.

Na obr. Ua1, na nížstejný průb

Na obr.momentu M

.27. Amplitu

7.28 je zobž je vidět nběh, kmitán

Obr.7.28

7.29 je zobML, vykazuj

udové frekv

brazena odenepatrné kmí je nepozor

8. Odezva ú

brazena odející očekáva

venční chara

ezva úhlové mitání. Odezrovatelné.

úhlové rychl

ezva pružnéané tlumené

akteristiky p

rychlosti ωzva na jedn

losti ω2 na s

ého momenté kmitání.

přenosů vstu

ω2 na jednotnotkový sko

skok vstupn

tu M12 na je

upních napě

tkový skok ok napětí U

ího napětí U

ednotkový

ětí Ua1 a Ua

vstupního nUa2 má prak

Ua1

skok pracov

a2

napětí kticky

vního

7.4.2

Př

a

Sévzhlemommom

Obr. 7.

2 Parale

ři paralelním

1

2

Φ

Φ

=

=

a

a

cMR

cMR

modelující

11

ω+

dJdt

( )2 3+J J

12 −dM k

dtériové napáedem k od

ment setrvačmenty motor

1

2

=

=

a

a

MR

MR

.29. Odezva

elní a sério

m napájení m

(

(

11

1

2

2

ΦΦ

ΦΦ

−

−

aa a

aa a

cU

R

cU

R

diferenciáln

(12 1 2ω ω+ −b

) (212

ω−

d bdt

( )12 1 2ω ω−k

ájení motorůdlišným elečnosti rotorrů jsou dány

1

1 2

2

1 2

Φ

Φ

−+

−+

aa

aa a

c UR

c UR

a pružného m

ové napáje

motorů jsou

)

)

21

11

22

22

,

.

ω

Φω

a

ní rovnice m

) (2 12+ +

cM

( )1 2ω ω− − M

) 0.=

ů se u tohotektromecharu druhého y vztahy

( )21

1 2

1 2

1 2

Φω

Φ Φ ω

−+

−+

a a

a a

cR R

c cR R

momentu M

ení motorů

u hnací mom

mají tvar

)21

11

Φω =

a

c cR

( )212

2

Φ+

a

cM

R

to typu dvoanickým vl

motoru je

( )

1 21

12

21

1

Φ Φω

Φω

−+

−+

a a

a a

c cR R

cR R

M12 na skok p

ů

menty rovny

1

1

,Φa

a

c UR

)22

22

Φω =a

cR

oumotorovéastnostem

e díky tuhé

22

22

22

,

.

Φ ω

ω

a

a

pracovního

y

,−a LU M

ho pohonu obou moto

é vazbě se

momentu M

(7

(7

nepoužívá orů (celkovstrojem vě

(7

ML

7.15)

7.16)

příliš častový hmotnýětší). Hnací

7.17)

o ý í

a model

1dJ

( 2J

dMd

Na obr.napětí Ua aparalelním

Protožesplňuje sonapájení.

Na obr.vstupního charakterisnapájení je

lující difere

(112

ω ω+d bdt

) 22 3

1

1

ω

Φ Φ

+

+a

dJdt

c cR R

(1212 1ω−

M kdt 7.30 jsou za pracovníh

m a sériovém

všechny pustava nutn

7.31 jsou znapětí Ua

stiky mají e velmi výra

enciální rovn

)1 2ω ω− + M

(

(

12 1

21

2 1

ω ω

ΦΦ ω

− −

+a a

b

cR R

)2 0.ω− =

zobrazena rho momentum napájení. J

Obr.7.30. R

póly mají znou podmín

zobrazeny ldo úhlové

jedno výraazné), pohon

nice mají tv

( )21

121

Φ+

+a a

cM

R R

)

)

2 12

22

22

ω

Φω

− +

=+ a

M

R

rozložení póu ML do úhlJe zřejmé, ž

Rozložení pó

záporné reánku stabilit

logaritmické rychlostiazné maximn může kmi

var 2

11

2 1

Φω ++a a

cR

2

1 2

Φ+ a

a a

c UR R

ólů (x) a nulové rychlože obě rozlo

ólů a nul v k

álné části (ty. Reálný

ké amplitudo ω2 při p

mum a jeditat.

22

2

Φ ω =+ a

cR R

,−a LM

ul (o) operátsti ω2 a do

ožení se vzáj

komplexní r

(leží v levézáporný pó

ové frekvenaralelním a

dno výrazn

1

1 2

Φ+ a

a a

c UR R

torových přpružného mjemně liší.

rovině

é části komól je shodn

nční charakta sériovémé minimum

,

(7.18)

řenosů vstupmomentu M

mplexní rovný pro oba

teristiky přem napájení. m (při séri

pního M12 při

viny), typy

enosů Obě

ovém

N

Ua. K

Nmommomodez

Obr.7.31

Na obr. 7.32

Kmitání úhl

O

Na obr. 7.33 mentu ML pmentu na jedzvy kmitají t

1. Amplitud

je zobrazen

ové rychlos

Obr.7.32. Od

je zobrazenpři paralelndnotkový sktlumenými k

dové frekven

na odezva ú

sti ω2 je nep

dezva úhlové

na odezva pním napájenkok pracovkmity.

nční charak

úhlové rychl

pozorovateln

é rychlosti ω

pružného mní, na obr. ního mome

kteristiky pře

losti ω2 na j

né.

ω2 na skok v

momentu M1

7.34 je zoentu ML při

enosů vstup

jednotkový

vstupního n

12 na jednotobrazena odi sériovém

pního napětí

skok vstup

napětí Ua

tkový skok dezva téhožnapájení, p

í Ua

pního napětí

pracovníhož pružného

přičemž obě

í

o o ě

Obr.7.33

Obr.7.3

Je zcelanapájení se

7.5 ZáTato

elektromec

3. Odezva pr

4. Odezva p

a evidentní, e objevuje p

ávěr kapitola

chanických

ružného mo

pružného m

že uvedenépřekmit obá

byla zampohonů s

omentu M12

na

omentu M12

na

é odezvy seálky kmitů v

měřena nmotory ma

na skok praapájení

2 na skok prapájení

e od sebe znvůči ustálen

na vyšetřoalého výkon

acovního mo

racovního m

načně liší zeému stavu.

ování dynnu v uspořá

omentu ML p

momentu ML

ejména tím,

namiky dádání za se

při paraleln

L při sériové

, že při séri

dvoumotorobou při růz

ním

ém

ovém

ových zných

mechanických vazbách jednak mezi motory a jednak mezi hnací jednotkou a strojem. Zkoumán byl v této souvislosti zejména vliv možných způsobů napájení motorů nejen na dynamiku samotného pohonu, ale i na kmitání pružných momentů ve spojovacích hřídelích mezi jednotlivými částmi soustrojí. Na rozdíl od dvoumotorových pohonů s motory vedle sebe má způsob napájení hnacích motorů u pohonů s motory za sebou výraznější vliv na dynamiku celého pohonu zejména v případě pružné vazby mezi motory. Z toho důvodu je třeba volbu typu napájení při projektování uvedeného typu dvoumotorových pohonů s motory za sebou velmi pečlivě zvažovat a to v závislosti na jejich konkrétním užití Podobným způsobem získané výsledky pro konkrétní pohon mohou tedy sloužit jako podklad jak pro volbu typu napájení, tak i pro návrh řídících a regulačních obvodů.

8 Dynamika dvoumotorových elektromechanických pohonů s motory vedle sebe

8.1 Úvod Dvoumotorové pohony strojů a mechanismů se vyskytují v těch případech, kdy použití

jediného hnacího motoru vyššího výkonu není z hlediska konstrukčního řešení celého soustrojí „hnací jednotka – stroj“ možné, popř. při požadavku vyšší dynamiky celého pohonu.

Jednou z variant takového řešení je dvoumotorový pohon, v němž jsou motory konstrukčně řazeny vedle sebe čili hřídele obou motorů jsou spojeny se sdružovací převodovkou a teprve její výstupní hřídel je spojen s poháněným strojem (obr. 8.1).

PORACOVNÍSTROJ

MOTOR 1

MOTOR 2

SDRUŽOVACÍPŘEVODOVKA

Obr.8.1. Řazení motorů vedle sebe

Motory je možné napájet třemi různými způsoby, jak naznačuje obr. 8.2. Na obr. 8.2a je uvedeno individuální napájení motorů ze dvou výkonových zdrojů napětími Ua1 a Ua2. Na obr. 8.2b jsou motory napájeny paralelně z jednoho výkonového zdroje napětím Ua, přičemž jednotlivými motory protékají proudy Ia1 a Ia2. Konečně na obr. 8.2c je uvedeno sériové napájení motorů z jediného výkonového zdroje napětím Ua, které je rovno součtu napětí na jednotlivých motorech Ua1 a Ua2. Při tomto způsobu napájení protéká oběma motory společný proud Ia. Nevýhodou sériového napájení je, že napájecí zdroj musí mít dvojnásobně vyšší napětí ve srovnání s individuálním a s paralelním napájením.

Zapojení řídících a regulačních částí výkonových zdrojů, používaná v regulovaných dvoumotorových elektromechanických pohonech, jsou velmi různorodá. Závisí to především na požadavcích, kladených na cílové statické a dynamické vlastnosti pohonů. Z toho důvodu je tato stať věnována pouze neregulovaným dvoumotorovým stejnosměrným pohonům s motory vedle sebe, osazenými dvojicí stejnosměrných motorů malého výkonu s cizím konstantním buzením.

MUa1

M1

a)

Ua2M

M2

MUa

M1

M

M2

b)

Ia1 Ia2

M

M1

M

M2

Ua

c)

Ia

Ua1

Ua2

Obr. 8.2. Napájení dvoumotorového stejnosměrného pohonu a) individuální napájení b) paralelní napájení c) sériové napájení

Pro účely zkoumání dynamiky uvažovaného typu pohonu byl vybrán stejnosměrný motor s permanentními magnety MAXON A-max22 typ 110 164 s následujícími štítkovými hodnotami a parametry: výkon 6 W, napájecí napětí 24 V, jmenovitá rychlost 7430 min-1, jmenovitý moment 6,97.10-3 Nm, hmotný moment setrvačnosti rotoru 4,11 gcm2, odpor vinutí kotvy 21 Ω, indukčnost vinutí kotvy 1,37 mH, činitel magnetického pole 21,2.10-3 NmA-1, resp. 21,2.10-3 Vsrad-1. Z těchto údajů je možné zjistit, že elektromagnetická časová konstanta

motoru 31,37.10 65, 2

21μ

−

= = =aa

a

LT sR

je výrazně menší než jeho elektromechanická časová

konstanta ( ) ( )

72 23

214,11.10 19,221,2.10Φ

−

−= = =a

mRT J ms

c čili při vyšetřování dynamiky

pohonů je v daném případě možné zanedbat elektromagnetické děje, probíhající v obou motorech. Z toho vyplývá, že každý z motorů je pro dané účely dostatečně popsán svou statickou momentovou charakteristikou.

Mechanické vazby mezi jednotlivými částmi pohonu jsou alternativně tuhé a pružné. Poháněný stroj je reprezentován buď dvěma setrvačníky s pružnou vazbou mezi nimi, reprezentujícími sdružovací převodovku a stroj, nebo jediným setrvačníkem (tuhá vazba mezi sdružovací převodovkou a strojem). Všechny parametry mechanické části pohonu jsou přepočítány na hřídele motorů.

Dynamika dvoumotorového pohonu s motory vedle sebe je v dalším vyjadřována prostřednictvím následujících nástrojů:

• rozložení pólů a nul operátorových přenosů v komplexní rovině, • amplitudové frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích (Bodeho

diagramy) a

• odezvy výstupní rychlosti a pružných momentů ve spojovacích hřídelích na jednotkové skoky vstupních veličin (přechodové charakteristiky).

Zatímco dynamika pohonu při individuálním napájení bude prezentována samostatně, dynamika pohonu při paralelním a sériovém napájení bude prezentována tak, aby bylo možné výsledky snadno vzájemně srovnat.

K numerickému zkoumání dynamiky uvažovaného soustrojí bylo využito programové prostředí systému MATLAB/SIMULINK, v němž byly na základě popisujících diferenciálních rovnic vytvořeny příslušné stavové modely ve tvaru

,,

= +=

x Ax Buy Cx

kde x je vektor fyzikálních stavových proměnných, u je vektor vstupů, y je vektor výstupních proměnných, A a B jsou časově invariantní matice koeficientů, C je výstupní matice soustavy. Tento přístup vychází z předpokladu, že uvažované pohony jsou považovány za lineární dynamické soustavy. Dalšími nástroji uvedeného programového systému pak byly zjištěny výše uvedené charakteristiky dynamických vlastností pohonů.

8.2 Pružné vazby mezi motory i se strojem Na obr. 8.3 je uveden model mechanické části dvoumotorového pohonu s motory vedle

sebe, v němž všechny vazby jsou pružné. Setrvačníky J1 = J2 = 0,411.10-6 kgm2 přísluší rotorům motorů, setrvačník J3 = 0,18 kgm2 reprezentuje sdružovací převodovku a setrvačník J4 = 1,5.10-6 kgm2 představuje poháněný stroj. Pružné hřídele mezi setrvačníky J1 a J3 a mezi setrvačníky J2 a J3 mají torzní tuhosti k13 = k23 = 0,483 Nmrad-1 a nulová proporcionální tlumení – b13 = b23 = 0. Pružný hřídel mezi setrvačníky J3 a J4 má torzní tuhost k34 = 0,96 Nmrad-1 a rovněž nulové proporcionální tlumení – b34 = 0. Na setrvačníky J1 a J2 působí hnací momenty motorů M1 a M2, setrvačník J4 je zatěžován pracovním momentem ML. Úhlové rychlosti setrvačníků jsou ω1, ω2, ω3, ω4.

J3 J4k13 b

13

k34 b34

ω3 ω4

J1

ω1

J2

ω2

k 23 b 23

Obr.8.3. Dvoumotorová soustava s pružnými vazbami

8.2.1

Př

M

Nnapěmom

1 Indivi

ři individuá

1

2

Φ

Φ

=

=

a

a

cMR

cMR

Modelující d

11

ω+

dJdt

22

ω+

dJdt

33

ω−

dJdt

44

ω−

dJdt

13 −dM k

dt

23 −dM k

dt

34 −dM k

dtNa obr. 8.4 j

tí Ua1 a Ua

mentů M13, M

duální nap

álním napáje

(

(

11

1

22

2

ΦΦ

ΦΦ

−

−

aa a

aa

cU

R

cU

R

iferenciální

(13 1 3ω ω+ −b

(23 2ω ω+ −b

(13 1 3ω ω− −b

(34 3ω ω− −b

( )13 1 3ω ω−k

(23 2 3ω ω−k

(34 3 4ω ω−k

jsou zobraz

a2 a pracovM23 a M34.

Obr.

pájení mo

ení motorů j

)

)

21

11

22

22

,

.

Φω

Φω

a

aR

í rovnice ma

) (3 13+ +

cM

) (3 23ω + +M

)3 13 2− −M b

)4 34ω − = −M

) 0,=

) 0,=

) 0.=

zena rozloževního mome

8.4. Rozlož

torů

jsou hnací m

ají v tomto p

)21

11

Φω =

a

c cR R

( )22

22

Φω =

a

cR

( )23 2 3ω ω−

,− LM

ení pólů (x)entu ML do

žení pólů a n

momenty m

případě tvar

11

1

,Φa

a

c UR

22

2

,Φ= a

a

c UR

23 34− +M b

) a nul (o) o úhlové ry

nul v kompl

motorů dány

r

( )3 4ω ω− +

operátorovýychlosti stro

lexní rovině

následující

(8

34 0,=M

(8

ých přenosůoje ω4 a do

ě

ími vztahy

8.1)

8.2)

ů vstupnícho pružných

h h

Všechnykomplexní

Na obrvstupního n

Obr.8

ProtožeOdezva

obr. 8.6 z n

y póly opeí proměnné). 8.5 je zonapětí Ua1 (

8.5. Amplitu

charakterisa úhlové rycníž je patrné

Obr. 8.6. O

rátorových ), splňuje soobrazena lo(Ua2) do úhl

udová frekve

stika má dvěchlosti ω4 naé, že kmitán

Odezva úhlo

přenosů moustava nutngaritmická lové rychlos

enční chara

ě výraznějšía jednotkovní úhlové ry

ové rychlost

mají zápornénou podmín

amplitudovsti ω4.

akteristika p

í maxima, mvý skok vstuychlosti ω4 j

ti ω4 na skok

é reálné čásnku stabilityvá frekvenč

přenosu vstu

může soustaupního napěe zanedbate

k vstupního

sti (leží v ly. ční charakt

upního napě

ava kmitat. ětí Ua1 (Ua2)elně malé.

napětí Ua1

levé části ro

teristika pře

ětí Ua1 (Ua2)

) je zobraze

(Ua2)

oviny

enosu

)

ena na

Oshodskok

Okmitdoznvýrazvedle

Odezvy pruždný tvar dlek.

Obr.8.7.

Obr.8

Odezvy všecají tlumený

nění tohoto zně nižším.e sebe bylo

žných mome obr. 8.7, n

Odezva pru

8.8. Odezva p

h pružnýchými kmity, kmitání pru

. Na možnoupozorněno

entů M13 a na obr. 8.8 j

užného mom

pružného m

h momentů Mkteré jsou

užné momeost vzniku to v předcho

M23 na jednje zobrazen

mentu M13 (M

momentu M3

M13, M23 a superpozic

enty nadále takových kmozí kapitole.

notkový skona odezva p

M23) na sko

34 na skok p

M34 na začcí dvou kmkmitají má

mitů v dvou

ok pracovnpružného m

ok pracovníh

pracovního m

átku přechomitání s rozálo tlumenýumotorovýc

ího momenmomentu M3

ího momentu

momentu M

odného dějezdílnými kmými kmity nch pohonec

ntu ML mají

34 na tentýž

u ML

ML

e intenzivněmitočty. Pona kmitočtuch s motory

í ž

ě o u y

8.2.2 Paralelní a sériové napájení motorů

Při paralelním napájení motorů jsou hnací momenty dány následujícími vztahy

( )

( )

211

1 11 1

222

2 22 2

,ΦΦ ω

ΦΦ ω

= −

= −

aa a

aa a

ccM UR R

ccM UR R

(8.3)

a modelující diferenciální rovnice mají tvar

( ) ( )211 1

1 13 1 3 13 11 1

,Φω Φω ω ω+ − + + = a

a a

cd cJ b M Udt R R

( ) ( )222 2

2 23 2 3 23 22 2

,Φω Φω ω ω+ − + + = a

a a

cd cJ b M Udt R R

( ) ( ) ( )33 13 1 3 13 23 2 3 23 34 3 4 34 0,ω ω ω ω ω ω ω− − − − − − + − + =

dJ b M b M b Mdt

( )44 34 3 4 34 ,ω ω ω− − − = − L

dJ b M Mdt

(8.4)

( )1313 1 3 0,ω ω− − =

dM kdt

( )2323 2 3 0,ω ω− − =

dM kdt

( )3434 3 4 0.ω ω− − =

dM kdt

Při sériovém napájení motorů jsou hnací momenty dány následujícími vztahy

( )

( )

211 1 2

1 1 21 2 1 2 1 2

222 1 2

2 1 21 2 1 2 1 2

,

.

ΦΦ Φ Φω ω

ΦΦ Φ Φ ω ω

= − −+ + +

= − −+ + +

aa a a a a a

aa a a a a a

cc c cM UR R R R R R

cc c cM UR R R R R R

(8.5)

a modelující diferenciální rovnice mají tvar

( ) ( )211 1 2 1

1 13 1 3 13 1 21 2 1 2 1 2

,Φω Φ Φ Φω ω ω ω+ − + + + =+ + + a

a a a a a a

cd c c cJ b M Udt R R R R R R

( ) ( )222 1 2 2

2 23 2 3 23 1 21 2 1 2 1 2

,Φω Φ Φ Φω ω ω ω+ − + + + =

+ + + aa a a a a a

cd c c cJ b M Udt R R R R R R

( ) ( ) ( )33 13 1 3 13 23 2 3 23 34 3 4 34 0,ω ω ω ω ω ω ω− − − − − − + − + =

dJ b M b M b Mdt

( )44 34 3 4 34 ,ω ω ω− − − = − L

dJ b M Mdt

(8.6)

NnapěM13, všechkomp

Nvstupvýrazpouznapě

13 −dM k

dt

23 −dM k

dt

34 −dM k

dtNa obr.8.9 js

tí Ua a pracM23 a M3

hny póly opplexní prom

Na obr. 8.10 pního napětznější maxi

ze svou polotí Ua do úhl

( )13 1 3ω ω−k

(23 2 3ω ω−k

(34 3 4ω ω−k

sou zobrazecovního mo

34, která jsoperátorovýc

měnné), splň

Obr.

jsou zobratí Ua do úhloima čili pohohou. To jelové rychlos

) 0,=

) 0,=

) 0.=

ena rozložeomentu ML

ou shodná jch přenosů mňuje soustav

8.9. Rozlož

azeny logariové rychloshon může ke způsobenosti ω4.

ní pólů (x)do úhlové jak pro pamají tedy záva nutnou po

žení pólů a n

itmické ampsti ω4 pro obkmitat. Tytoo rozdílným

a nul (o) orychlosti s

aralelní, takápornou reáodmínku sta

nul v kompl

plitudové frba vyšetřovo charakteri

m zesílením

operátorovýtroje ω4 a d

k i pro sériálnou část (lability.

lexní rovině

rekvenční cvané typy naistiky jsou toperátorový

ých přenosůdo pružnýchové napájeleží v levé č

ě

charakteristiapájení, vyktvarově shoých přenosů

ů vstupníhoh momentůní. Protožečásti roviny

iky přenosůkazující dvěodné, liší seů vstupního

o ů e y

ů ě e o

Ob

Odezvykmitání tépoloviční sériovém n

Odezvyshodný tvapružného mshodná pro

br.8.10. Amp

y úhlové ryéto rychlostvůči ustále

napájení je s

Obr.8.1

y pružných mar dle obr. 8momentu Mo oba typy n

plitudové fr

ychlosti ω4 ti je zanedené rychlosskok napětí

1. Odezva ú

momentů M8.12 pro oba

M34 na jednonapájení.

rekvenční ch

na skok vdbatelně mastí při parana každém

úhlové rych

M13 a M23 na zkoumané

otkový skok

harakteristik

vstupního nalé. Ustálenalelním nap

z motorů p

losti ω4 na

na jednotkové typy napáj

k pracovního

ky přenosu

napětí Ua jsná rychlostpájení, což poloviční.

skok vstupn

vý skok praájení. Na obo momentu

vstupního n

sou uvedent při sériov

je způsob

ního napětí

acovního mbr. 8.13 je zo

ML, která j

napětí Ua

ny na obr. vém napájeeno tím, ž

Ua

omentu ML

obrazena ode rovněž tv

8.11, ení je že při

L mají dezva arově

Oindivpružn

8.3 N

sebe,mech

Obr.8.12.

Obr.8.

Odezvy všechviduálního nné momenty

Tuhá vNa obr. 8.14

, v němž vhanická s

Odezva pru

13. Odezva

h pružných napájení (oby nadále km

vazba me je uveden

vazba mezi soustava

užného mom

a pružného m

momentů Mbr. 8.7 a ob

mitají málo t

ezi motorymodel mecmotory je se reduk

mentu M13

momentu M

M13, M23 a Mbr. 8.8). Totlumenými k

y, pružnáchanické čátuhá a vaz

kuje na

(M23) na sko

M34 na skok p

M34 mají pr znamená, žkmity.

vazba seásti dvoumozba se stroj

soustavu

ok pracovní

pracovního

rakticky stejže po odezn

strojem otorového pem je pruž

se

ího moment

momentu M

jný tvar jaknění přecho

pohonu s možná. To zna

dvěma

tu ML

ML

ko v případěodného děje

otory vedleamená, celásetrvačníky

ě e

e á y

(J1 + J2 + J3) = 1,002.10-6 kgm2 a J4 = 1,5.10-6 kgm2, pružný hřídel má torzní tuhost k34 = 0.96 Nmrad-1 a nulové proporcionální tlumení – b34 = 0. Na setrvačník (J1 + J2 + J3) působí hnací momenty motorů M1 a M2, setrvačník J4 je zatěžován pracovním momentem ML. Úhlové rychlosti setrvačníků jsou ω3 a ω4.

J1+J2+J3 J4

k34 b34

ω3 ω4

Obr.8.14. Dvoumotorová soustava s tuhou vazbou mezi motory

8.3.1 Individuální napájení motorů

Při individuálním napájení motorů jsou hnací momenty dány následujícími vztahy

( )

( )

211

1 1 31 1

222

2 2 32 2

,

.

ΦΦ ω

ΦΦ ω

= −

= −

aa a

aa a

ccM UR R

ccM UR R

(8.7)

Modelující rovnice mají v tomto případě tvar

( ) ( ) ( ) ( )2 21 23 1 2

1 2 3 34 3 4 34 3 1 21 2 1 2

,Φ Φω Φ Φω ω ω

⎡ ⎤+ + + − + + + = +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦a a

a a a a

c cd c cJ J J b M U Udt R R R R

( )44 34 3 4 34 ,ω ω ω− − − = − L

dJ b M Mdt

(8.8)

( )3434 3 4 0.ω ω− − =

dM kdt

Na obr. 8.15 jsou zobrazena rozložení pólů (x) a nul (o) operátorových přenosů vstupních napětí Ua1 a Ua2 do úhlové rychlosti stroje ω4 a pracovního momentu ML pružných momentů M13, M23 a M34.

Prsplňu

Nvstupsoust

O

Nna ob

rotože všecuje soustava

Na obr. 8.16pního napěttava může k

Obr.8.16. A

Na obr. 8.17 br. 8.18 je z

Obr.8

chny póly ma nutnou po6 je zobraztí Ua1 (Ua2) kmitat.

Amplitudová

je zobrazenzobrazena o

8.15. Rozlož

mají záporndmínku stabena logaritmdo úhlové

á frekvenční

na odezva údezva pružn

žení pólů a

nou reálnoubility. mická amprychlosti ω

í charakteri

úhlové rychného mome

nul v kompl

u část (leží

plitudová fr

4. Charakte

istika přeno

hlosti ω4 naentu M34 na

lexní rovině

v levé čás

ekvenční ceristika má v

su vstupníh

a skok vstupskok praco

ě

sti komplex

harakteristivýrazné ma

ho napětí Ua

pního napětvního mom

xní roviny),

ka přenosuaximum čili

a1 (Ua2)

tí Ua1 (Ua2),mentu ML.

,

u i

,

O

Odezvakmitání, zatlumená.

8.3.2 P

Při para

Obr.8.17. O

Obr.8.18. Od

a úhlové ryatímco u od

aralelní a

alelním napá

Odezva úhlo

dezva pružn

ychlosti ω4 dezvy pružn

sériové na

ájení motorů

ové rychlost

ného momen

na skok nného momen

apájení mo

ů jsou jejich

ti ω4 na sko

ntu M34 na s

napájecích nntu M34 je t

otorů

h hnací mom

ok vstupního

skok pracov

napětí mottoto kmitání

menty vyjád

o napětí Ua1

vního mome

orů vykazuí výrazné. O

dřeny vztah

1 (Ua2)

entu ML

uje zanedbaObě kmitání

hy

atelné í jsou

( )

( )

211

1 31 1

222

2 32 2

,

.

ΦΦ ω

ΦΦ ω

= −

= −

aa a

aa a

ccM UR R

ccM UR R

(8.9)

a modelující rovnice mají tvar

( ) ( ) ( ) ( )2 21 23 1 2

1 2 3 34 3 4 34 31 2 1 2

,Φ Φω Φ Φω ω ω

⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ + + − + + + = +⎢ ⎥ ⎜ ⎟

⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦a

a a a a

c cd c cJ J J b M Udt R R R R

( )44 34 3 4 34 ,ω ω ω− − − = − L

dJ b M Mdt

(8.10)

( )3434 3 4 0.ω ω− − =

dM kdt

Při sériovém napájení motorů jsou hnací momenty dány vztahy

( )

( )

211 1 2

1 3 31 2 1 2 1 2

222 1 2

2 3 31 2 1 2 1 2

,

.

ΦΦ Φ Φω ω

ΦΦ Φ Φ ω ω

= − −+ + +

= − −+ + +

aa a a a a a

aa a a a a a

cc c cM UR R R R R R

cc c cM UR R R R R R

(8.11)

a modelující diferenciální rovnice mají tvar

( ) ( ) ( )21 23 1 2

1 2 3 34 3 4 34 31 2 1 2

,Φ Φω Φ Φω ω ω

+ ++ + + − + + =

+ + aa a a a

c cd c cJ J J b M Udt R R R R

( )44 34 3 4 34 ,ω ω ω− − − = − L

dJ b M Mdt

(8.12)

( )3434 3 4 0.ω ω− − =

dM kdt

Na obr. 8.19 jsou zobrazena rozložení pólů (x) a nul (o) operátorových přenosů vstupního napětí Ua a pracovního momentu ML do úhlové rychlosti ω4 a pružného momentu M34, která jsou shodná pro oba uvedené typy napájení.

Protožesplňuje sou

Na obr.vstupního výraznější se pouze vstupního n

Ob

všechny pustava nutno 8.20 jsou znapětí Ua dmaximum svou polo

napětí Ua do

br.8.20. Amp

Obr.8.19. R

póly mají zou podmínkzobrazeny ldo úhlové rčili pohon mhou. To jeo úhlové ry

plitudová fr

Rozložení pó

zápornou reku stability.logaritmickrychlosti ωmůže kmitae způsoben

ychlosti ω4.

rekvenční ch

ólů a nul v k

eálnou část

ké amplitudo

4 pro oba zat. Obě charno rozdílný

harakteristik

komplexní r

(leží v lev

ová frekvenzkoumané trakteristiky ým zesílení

ka přenosu

rovině

vé části kom

nční charakttypy napájejsou tvarov

ím operáto

vstupního n

mplexní rov

teristiky přeení, mající jvě podobné orových pře

napětí Ua

viny),

enosu jedno a liší

enosů

N

Unapájpolov

N

Okmittlum

Na obr. 8.21

O

Ustálená rychájení, což jeviční.

Na obr. 8.22

Obr.8.

Odezva úhloání, zatímcoená.

jsou zobraz

br.8.21. Od

hlost při sére způsobeno

je odezva p

22. Odezva

ové rychloso u odezvy

zeny odezvy

dezva úhlové

riovém napo tím, že při

pružného mo

a pružného m

sti ω4 na spružného m

y úhlové ryc

é rychlosti ω

ájení je poli sériovém

omentu M34

momentu M

kok napájemomentu M

chlosti ω4 n

ω4 na skok v

loviční vůčinapájení je

4 na skok pr

M34 na skok p

ecích napětM34 je toto k

na skok vstu

vstupního n

i ustálené ryskok napět

racovního m

pracovního

tí motorů vkmitání výra

upního napě

napětí Ua

ychlostí přití na každém

momentu M

momentu M

vykazuje zaazné. Obě k

tí Ua.

paralelnímm z motorů

ML.

ML

anedbatelnékmitání jsou

m ů

é u

8.4 Pružná vazba mezi motory, tuhá vazba se strojem Na obr. 8.23 je uveden model mechanické části dvoumotorového pohonu s motory vedle

sebe, v němž vazba mezi motory je pružná a vazba se strojem je tuhá. To znamená, že celá mechanická soustava se redukuje na soustavu se třemi setrvačníky J1 = J2 = 0,411.10-6 kgm2 a (J3 + J4) = 1,68.10-6 kgm2, pružné hřídele mezi motory a strojem mají torzní tuhosti k13 = k23 = 0,486 Nmrad-1 a nulová proporcionální tlumení – b13 = b23 = 0. Na setrvačník J1 působí hnací moment M1, na setrvačník J2 působí hnací moment M2, setrvačník (J3 + J4) je zatěžován pracovním momentem ML. Úhlové rychlosti setrvačníků jsou ω1, ω2, ω3.

J3+J4

k23 b23

ω3 ω2

J1 J2

ω1

k13 b13

Obr.8.23. Dvoumotorová soustava s pružnou vazbou mezi motory

8.4.1 Individuální napájení motorů

Při individuálním napájení motorů jsou jejich hnací momenty dány vztahy

( )

( )

211

1 1 11 1

222

2 2 22 2

,

.

ΦΦ ω

ΦΦ ω

= −

= −

aa a

aa a

ccM UR R

ccM UR R

(8.13)

Modelující diferenciální rovnice mají v tomto případě tvar

( ) ( )211 1

1 13 1 3 13 1 11 1

,Φω Φω ω ω+ − + + = a

a a

cd cJ b M Udt R R

( ) ( )222 2

2 23 2 3 23 2 22 2

,Φω Φω ω ω+ − + + = a

a a

cd cJ b M Udt R R

( ) ( ) ( )33 4 13 1 3 13 23 2 3 23 ,ω ω ω ω ω+ − − − − − − = − L

dJ J b M b M Mdt

(8.14)

( )1313 1 3 0,ω ω− − =

dM kdt

( )2323 2 3 0.ω ω− − =

dM kdt

Na obr. 8.24 jsou zobrazena rozložení pólů (x) a nul (o) operátorových přenosů vstupních napětí Ua1 a Ua2 a pracovního momentu ML do úhlové rychlosti ω3 a pružných momentů M13 a M23.

Prrovin

Nvstup

ChN

na ob

rotože všecny komplex

Na obr. 8.25pního napět

Obr.8.25

harakteristiNa obr. 8.26

br. 8.27 je o

Obr.8

chny póly oxní proměnn5 je zobraztí Ua1 (Ua2) d

5. Amplitudo

ka má výrazje zobrazen

odezva pruž

8.24. Rozlož

operátorovýné), splňuje ena logaritmdo úhlové r

ová frekven

zné maximuna odezva úžného mome

žení pólů a

ch přenosů soustava numická amp

rychlosti ω3

ční charakt

um, takže púhlové rychlentu M13 (M

nul v kompl

mají záporutnou podmplitudová fr.

teristika pře

pohon může losti ω3 na

M23) na skok

lexní rovině

rné reálné čmínku stabili

ekvenční c

enosu vstupn

kmitat. skok napáj

k pracovního

ě

části (leží vity. harakteristi

ního napětí

ecího napěto momentu

v levé části

ka přenosu

í Ua1

tí Ua1 (Ua2),ML.

i

u

,

Obr

Oba prumotory je v

8.4.2 P

Při para

Obr.8.26. O

.8.27. Odez

užné momevšak jejich a

aralelní a

alelním napá

Odezva úhlo

zva pružnéh

enty kmitajíamplituda m

sériové na

ájení motorů

ové rychlost

o momentu

tlumenýmimenší.

apájení mo

ů jsou jejich

ti ω3 na sko

M13 (M23) n

i kmity, ve

otorů

h hnací mom

ok vstupního

na skok pra

srovnání s

menty vyjád

o napětí Ua1

acovního mo

případem t

dřeny vztah

1 (Ua2)

omentu ML

tuhé vazby

hy

mezi

( )

( )

211

1 11 1

222

2 22 2

,

.

ΦΦ ω

ΦΦ ω

= −

= −

aa a

aa a

ccM UR R

ccM UR R

(8.15)

a modelující diferenciální rovnice mají tvar

( ) ( )211 1

1 13 1 3 13 11 1

,Φω Φω ω ω+ − + + = a

a a

cd cJ b M Udt R R

( ) ( )222 2

2 23 2 3 23 22 2

,Φω Φω ω ω+ − + + = a

a a

cd cJ b M Udt R R

( ) ( ) ( )33 4 13 1 3 13 23 2 3 23 ,ω ω ω ω ω+ − − − − − − = − L

dJ J b M b M Mdt

(8.16)

( )1313 1 3 0,ω ω− − =

dM kdt

( )2323 2 3 0.ω ω− − =

dM kdt

Při sériovém napájení motorů jsou jejich hnací momenty dány vztahy

( )

( )

211 1 2

1 1 21 2 1 2 1 2

222 1 2

2 1 21 2 1 2 1 2

,

.

ΦΦ Φ Φω ω

ΦΦ Φ Φ ω ω

= − −+ + +

= − −+ + +

aa a a a a a

aa a a a a a

cc c cM UR R R R R R

cc c cM UR R R R R R

(8.17)

a modelující diferenciální rovnice mají v tomto případě tvar

( ) ( )211 1 2 1

1 13 1 3 13 1 21 2 1 2 1 2

,Φω Φ Φ Φω ω ω ω+ − + + + =+ + + a

a a a a a a

cd c c cJ b M Udt R R R R R R

( ) ( )222 1 2 2

2 23 2 3 23 1 21 2 1 2 1 2

,Φω Φ Φ Φω ω ω ω+ − + + + =

+ + + aa a a a a a

cd c c cJ b M Udt R R R R R R

( ) ( ) ( )33 4 13 1 3 13 23 2 3 23 ,ω ω ω ω ω+ − − − − − − = − L

dJ J b M b M Mdt

(8.18)

( )1313 1 3 0,ω ω− − =

dM kdt

( )2323 2 3 0.ω ω− − =

dM kdt

Na obr. 8.28 jsou zobrazena rozložení pólů (x) a nul (o) operátorových přenosů vstupního napětí Ua a pracovního momentu ML do úhlové rychlosti ω3 a do pružných momentů M13 a M23. Rozložení pólů a nul jsou stejná pro oba zkoumané typy napájení.

Všechnysoustava sp

Na obroperátorovnapájení.

Ob

Charaktcharakteriszesílením o

y póly majplňuje nutnor. 8.29 jso

vých přenos

br.8.29. Amp

teristiky mastiky jsou tvoperátorový

Obr.8.28. R

jí zápornouou podmínkou zobrazesů vstupního

plitudová fr

ají výrazné mvarově shodých přenosů

Rozložení pó

u reálnou čku stability.eny logarito napětí Ua

rekvenční ch

maximum, pdné, liší se ů vstupního

ólů a nul v k

část (leží v

tmické am

a do úhlové

harakteristik

pohon můžpouze svounapětí Ua d

komplexní r

v levé části

mplitudové é rychlosti

ka přenosu

e při obou tu polohou. Tdo úhlové ry

rovině

i komplexn

frekvenční ω3 pro oba

vstupního n

typech napáTo je způso

ychlosti ω4.

ní roviny),

charaktera zkoumané

napětí Ua

ájení kmitatobeno rozdí

takže

istiky é typy

t. Obě ílným

NUa.

Unapájpolov

Npraco

Na obr. 8.30

O

Ustálená rychájení, což jeviční.

Na obr. 8.31ovního mom

Obr.8.31.

je zobrazen

br.8.30. Od

hlost při sére způsobeno

1 je zobrazmentu ML

Odezva pr

na odezva ú

dezva úhlové

riovém napo tím, že při

zena odezv

ružného mom

úhlové rychl

é rychlosti ω

ájení je poli sériovém

a pružného

mentu M13 (

losti ω3 na j

ω3 na skok v

loviční vůčinapájení je

o momentu

(M23) na sko

jednotkový

vstupního n

i ustálené ryskok napět

M13 (M23)

ok pracovní

skok vstup

napětí Ua

ychlostí přití na každém

) na jednot

ího moment

pního napětí

paralelnímm z motorů

tkový skok

tu ML

í

m ů

k

Oba pružné momenty kmitají tlumenými kmity, ve srovnání s případem tuhé vazby mezi motory je však jejich amplituda menší.

8.5 Závěr Tato kapitola byla zaměřena na vyšetřování dynamiky dvoumotorových

elektromechanických pohonů s motory malého výkonu v uspořádání vedle sebe při různých mechanických vazbách jednak mezi motory a jednak mezi hnací jednotkou a strojem. Zkoumán byl v této souvislosti zejména vliv možných způsobů napájení motorů nejen na dynamiku samotného pohonu, ale i na kmitání pružných momentů ve spojovacích hřídelích mezi jednotlivými částmi soustrojí. Prezentované výsledky ukázaly, že na rozdíl od dvoumotorových pohonů s motory za sebou není vliv typu napájení na dynamiku dvoumotorových pohonů s motory vedle sebe příliš výrazný. Přesto je třeba volbu typu napájení zvažovat a to v závislosti na konkrétním užití takových pohonů. Podobným způsobem získané výsledky pro konkrétní pohon mohou tedy především sloužit jako podklad pro návrh řídících a regulačních obvodů.

Literatura

[1] Stradiot, J. a kol.: Dynamika strojov, ALFA Bratislava, ISBN 80-05-00756-6, Brati-slava, 1961

[2] Szklarski, L.; Jaracz, K.; Horodecki, A.: Electric Drive Systems Dynamics, Elsevier Amsterdam, ISBN 83-01-08584-3, Warszawa, 1990

[3] Čemus, J.; Hamata, V.: Obecné řešení dynamiky synchronních motorů, Academia Praha, 1994

[4] Switoński, E. a kol.: Modelovanie mechatronicznych ukladów napedovych, vyd. Polit. Slaskej, Gliwice, 2004

[5] Jegrov, V.N.; Šestakov, V.M.: Dinamika sistěm elektroprivoda, vyd. Eněrgoatomiydat, Leningrad, 1983

[6] Kratochvíl, C.; Pulkrábek, J.; Půst, L.; Hortel, M.: Analysis of Complex Drive Systems, ISBN 80-216-3286-3, Brno 2006

[7] Kubík, S.; Kotek, Z.; Strejc, V.; Štecha, J.: Teorie automatického řízení I., SNTL-TKI Praha, 1982

[8] Kubík, S.; Kotek, Z.; Razím, M.; Hrušák, J.; Branžovský, J.: Teorie automatického řízení II., SNTL-TKI Praha, 1982

[9] Kalous, J.; Kratochvíl, C.; Heriban P.: Dynamika rotačních elektromechanických pohonů, ISBN 80-214-3340-X, Brno, 2007

[10] Kratochvíl, C.; Houfek, M.; Procházka, F.; Houfek, L.: Mechatronické pohonové soustavy, ISBN 80-214-3319-1, Brno, 2006

[11] De Silva, C.W.: Mechatronics – An Integrated Approach, CRC Press, New York, Woshington D.C., 2005

[12] Onwubolu, G.C.: Mechatronics – Principles and Applications, Elsevier, Amsterdam, 2005

[13] Giurgiutiu, V.; Lishevski, S.E.: Micromechatronics, CRC Press, London, New York, 2004

[14] Lishevski, S.E.: Nano- and Microelectromechanical Systems: Fundamental of Nano- and Microengineering, CRC Press LLC, Boca Raton, Florida, 2000

[15] Kratochvíl C. a kol.: Některé problémy dynamiky řízených systémů pohonů, Závěrečná zpráva SPZV č. M-9/90, Brno, 1990

[16] Šácha P.: Výpočtové modelování vyzařování hluku z jednostupňové mechanické převo-dovky MKP, diplomová práce, ÚMT FS VUT v Brně, 1994

[17] Skubačevskij, G.S.: Izgibnyje kolebanija dětalej gazoturbinnych avidvigatělej, GIOP, Moskva 1959

[18] Prigorjev, N.V.: Nelinejnyje kolebanija elemetov mašin i sodružij, GNTIML, Moskva 1961

[19] Franík P.: Nelineární projevy mechanických konstrukcí, Disertační práce, FAST VUT v Brně, 2004

[20] Byrtus, M.: Kmitání převodových ústrojí se silnými nelinearitami ve vazbách. Diser-tační práce, ZČU v Plzni, FAV, 2006

[21] Turek, M.: Inteligentní řídicí člen aktivního magnetického ložiska, Disertační práce, FSI VUT v Brně, 2006

[22] Krämmer, E.: Dynamics of Rotors and Foundations, Berlin Heidelberg: Springer-Ver-lag, 1993

[23] Doležal, Z.: Vztahy pro výpočty a kreslení progresivních tvarů čelních zubů a ozubení. Zpráva VZLÚ Praha, 1992

[24] Cai, Y., Hayashi T.: The linear approximated equation of vibration of a pair of spur gears (theory and experiment), Transactions of the ASME, Journal of Mechanical Design, Vol. 116, pp. 558–564, 1994

[25] Kratochvíl, C. a kol.: Výpočtové modelování řízených pohonových soustav. Výzkumná zpráva Katedry mechaniky FS VUT v Brně, č. 1583/91-1 v rámci SPZV č. III-4-1/0503, Brno, 1991

[26] Fenin, Š.: Využitie piezoelektrického materiálu v potláčaní kmitania, Disertační práce, STU Bratislava, 2006

[27] Děmidovič, B.P.: Lekcii po matěmatičeskoj těorii ustojčivosti, NAUKA Moskva, 1967 [28] Ioss, G., Joseph,D.D.: Elementary stability and bifurcation theory, Springer-Verlag,

New York, 1980 [29] Merkin, D.R., Uvedenie v těoriju ustojčivosti dviženija, NAUKA Moskva, 1971 [30] Robinson, C.: Dynamical systems, stability, simbolic dynamics and chaos, CRC Press

LLC, Boca Raton, Florida, 1990 [31] Khalil, H.K.: Nonlinear systems, 3rd edition, Prentice Hall, New Jersey, 2002 [32] Procházka, F.: Úvod do Ljapunovské teorie stability rovnovážných stavů, Výzkumná

zpráva ÚMTMB FSI VUT v Brně, Brno, 2005 [33] Kuo, B.C.: Automatic Control Systems, Prentice Hall, 1982 [34] Nykodým P.: Electric drive as nonlinear complex dynamic system, M.Sc. Thesis, BUT

Brno, 2004 [35] Chen, J.H.; Chau, K.T.: Analysis of Chaos in Current-Mode-Controled DC Drive

Systems, IEEE Trans. And Indust. Electronics, vol. 47, No. 1, Feb. 2000 [36] Honzák, A.: Komplexní nelineární dynamický systém se změnou parametrů, Diplomová

práce FEKT VUT v Brně, Brno, 2001 [37] Moon, F.C.: Chaotic Vibration, J. Willey & Sons, New York, 1987

[38] Žalud, Z.: Příspěvek k řešení spolehlivosti poháněcí soustavy bojových vozidel, Diser-tační práce, VA Brno, 1986

[39] Kratochvíl a kol.: Analýza dynamických vlastností mobilních technických soustav III, Výzkumná zpráva z řešení projektu GAČR č.101/96/1652, Brno, 1998

[40] Havlíček, J.; Štyl, P.: Seznam makromodelů pro program SADYS, Zpráva ŽĎAS, č.4-T29561–29576, Žďár nad Sázavou, 1990

[41] Mann, H.: Teorie strojních soustav II, skripta FS VUT v Brně, 1990 [42] Kratochvíl, C.; Heriban, P.; Kotek, V.: Simulation of Drive Systems using Multipole

Modelling, Zeszyty naukove polytechniky Slazskej, seria Mechanika, Nr. 1266, pp. 159–164, Gliwice, 1995

[43] Mann, H.: Modifikovaná metoda uzlových napětí, Slaboproudý obzor č. 41, 1989 [44] Kratochvíl a kol.: Analýza dynamických vlastností mobilních technických soustav II,

Výzkumná zpráva z řešení projektu GAČR č.101/96/1652, Brno, 1997 [45] Ogorkiewicz, R.M.: Technology of Tanks, Janes Information Group Limited, 1991 [46] Žalud Z.: Příspěvek k analýze kmitání pásových vozidel, Sborník konference Inženýr-

ská mechanika 97, 1997 [47] Kratochvíl, C.; Kotek, V.; Heriban, P.: Analýza dynamických vlastnosti planetové

převodovky, Výzkumná zpráva ÚMT FS VUT v Brně, 1992 [48] Heriban, P.; Kotek, V.; Kratochvíl, C.: Modelování interaktivních pohonových soustav,

Výzkumná zpráva projektu GAČR č. 101/93/0297, Brno, 1993