komputasi_proses_tentang_diferensiasi_nu.docx

8/17/2019 komputasi_proses_tentang_diferensiasi_nu.docx

1/9

BAB I

DIFERENSIASI NUMERIK

A. TUJUAN

Agar mahasiswa dapat menyelesaikan bentuk persamaan differensial sederhana

dengan menggunakan persamaaan numerik.

B. DASAR T!RI

"ersamaan differensial biasa adalah suatau persamaan yang hanya melibatkan

satu atau beberapa turunan dari suatu fungsi tak tentu y terhadap # dan mungkin

fungsi y sendiri$ fungsi tertentu dari #$ dan k%nstan&k%nstan. Jika sebuah persamaan

hanya mengandung turunan biasa dari satu atau beberapa 'ariabel tak bebas terhadap

satu 'ariabel bebas$ maka persamaan sifferensial yang bersangkutan dinamakan

persamaan differensial biasa (!rdinary Differential )uati%ns$ !D*.

+%nt%h persamaan differensial ,

dy

dx+10 y=℮ x

d2

yd x

2−dy

dx +6 y=0

-asalah diferensiasi numerik adalah penentuan nilai pendekatan atau

hampiran untuk turunan suatu fungsi f yang umumnya diberikan dalam bentuk tabel.

Diferensiasi numerik harus dihindari bilamana mungkin karena umumnya nilai

pendekatan diferensial akan kurang teliti dibandingkan nilai fungsi yang merupakan

asal nilai&nilai tersebut diturunkan.Sebenarnya$ turunan adalah limit dari hasil bagi. dan dalam hal ini ada pr%ses

pengurangan dua be saran bernilai besar dan membagi

dengan besaran keil. /ebih lan0ut 0ika fungsi f dihampiri menggunakan suatu

p%lin%m p$ selisih dalam nilai&nilai fungsi b%leh 0adi keil tetapi turunan&turunannya

mungkin sangat berbeda. 1arenanya masuk akal bahwa diferens iasi numerik adalah

runyam$ berlawanan dengan integrasi numerik$ yang tidak banyak dipengaruhi %leh

ketidaktelitian nilai&nilai fungsi$ karena integrasi pada dasarnya adalah suatu pr%ses

yang mulus.

"ersamaan differensial merupakan m%del matematis yang paling sering

munul dalam bidang keteknikan maupun saintifik

1


2/9

Salah satu penyelesaiannya dengan met%de beda hingga (finite differene*. 2ubungan

yang erat antara diferensiasi dan integrasi bisa ditin0au pada suatu fungsi y(t* yang

merupakan p%sisi benda sebagai fungsi waktu$ bentuk diferensialnya tertu0u pada

keepatan$

Sebaliknya$ dari k%nsep keepatan sebagai fungsi waktu$ integrasinya akan

menghasilkan suatu besaran p%sisi$

Berikut ini akan dibahas beberapa teknik atau met%de pendekatan yang pada

bab selan0utnya men0adi penting dan bermanfaat dalam menyelesaikan persamaan&

persamaan diferensial seara k%mputasi numerik.

a. Definisi turunan (deri'atif*

Jika h 3 # 4 #5 3 6# maka pendekatan turunan di atas adalah

Diketahui suatu fungsi y 3 f (#*$ ingin diari padady

dx pada #3 x

0

"enyelesaiannya dapat menggunakan 7 ara yaitu ,

8. 9%rward Differene (Beda -a0u*

Dengan ara pertama$ mula&mula diambil titik hampiran pertama$

misal #5. Dengan selang sebesar h$ diambil titik kedua yang berada di depan

titik pertama$ misal #8. Sehingga #8 3 #5 : h. Dari kedua titik tersebut$ dapat

diari f ; (#* dengan rumus yang anal%gi dengan rumus persamaan garis. Bila

menggunakan -AT/AB$ atau s%ftware se0enis$ dapat digunakan fungsi

sebagai berikut,funti%n rsm0 3 selma0u(f$#$h*

rsm0 3

f ( x+h )− f ( x )¿¿¿

Beda hingga ma0u pertama dari y pada i atau # didefinisikan ,∆ yi= y i+1− y1 atau ∆ y ( x )= y ( x+h )− y ( x )

Beda ma0u kedua dari i atau # didefinikan 0uga ,

∆2

y1= y1+2−2 yi+1+ y i atau ∆2

y ( x )= y ( x+2h )−2 y ( x+h )+ y ( x)

2


3/9

Sehingga penyelesaian bisa dituliskan ,


4/9

rsp 3(f ( x+h )−f ( x−h ))

2×h

Beda hingga terpusat pertama dari y pada i atau # didefinisikan 0uga,

Atau

Turunan beda terpusat selan0utnya adalah ,

BAB II

+. /ATI2AN S!A/

LATIHAN DI LAB

NO 1

X0 2

ε 0,005

X0 X₀+ ε X₀‐ε f(X₀)F(x₀+ε

) f(X₀‐ε)

2,0000 2,00501,995

015,00

0015,10

5314,89

53

4


5/9

FORARD 21,0!00"A#KAR

D 20,9400

#EN$RA% 21,0000

LATIHAN DI LAB

NO 3

X₀ 8

7

8 <= x y

Ε 0,0005

X₀ X₀₊ε X₀‐ε f(X₀) F(x₀+

ε)

f(X₀‐

ε)

8,0000 8,0005

&,9995

9,8333

9,8358

9,8309

FORWARD

4,8335

BACKWAR

D

4,8332

CENTRAL

4,8333

LATIHAN SOAL NO4

@


6/9

X₀ X₀'ε X₀‐ε f(X₀)F(x₀+ε

) f(X₀‐ε)

&,0000 &,0020!,998

0!3,33

99!3,3!

83!3,31

15

FORWARD

14,20&2

BACKWAR

D

14,2048

CENTRAL

14,20!0

D. TUAS

==l%g=< <


7/9

FORWAR

D 1,5819BACKWA

RD 1,5819

CENTRAL 1,5819

BAB III

. 1SI-"U/AN DAN SARAN

1 KESIMU%AN* K*-.*.-f /*** -//-* /6*7* / *./*.- *: 6*-:

/-: ; **


8/9

-.:* -//-*- /-7 -7* 7/./-.-* **

/


9/9

>..6?CC*-***.*-*08./.-6..6?CC*./*.-7*-@6/;C.*:C/.//-7C

9
http://annisa.anastasia08.student.ipb.ac.id/2010/07/26/diferensiasi-numerik/http://annisa.anastasia08.student.ipb.ac.id/2010/07/26/diferensiasi-numerik/http://matematikaindo.wordpress.com/tag/metode-numerik/http://annisa.anastasia08.student.ipb.ac.id/2010/07/26/diferensiasi-numerik/http://annisa.anastasia08.student.ipb.ac.id/2010/07/26/diferensiasi-numerik/http://matematikaindo.wordpress.com/tag/metode-numerik/

Documents

komputasi_proses_tentang_diferensiasi_nu.docx