Konstrukce trojúhelníku

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Konstrukce trojúhelníku

Známe-li 2 strany a úhel jimi sevřený.

Konstrukce podle věty sus(strana, úhel, strana).


Trojúhelník a jeho vlastnostiTrojúhelník je rovinný geometrický útvar sestávající ze tří stran, tří vrcholů a tří vnitřních úhlů.

Zopakujeme si základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích.


Trojúhelník - označováníPozor při značení vrcholů a stran trojúhelníku.Strana a proti vrcholu A, strana b proti vrcholu B, strana c proti vrcholu C.Popis vrcholů začínáme obvykle v levém dolním rohu, ale vždy popisujeme vrcholy ve směru proti pohybu hodinových ručiček.


Trojúhelník – součet vnitřních úhlů

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je vždy 180°.

37°73°70°____

180°


Konstrukce trojúhelníkuZ jakých částí se skládá naše činnost prováděná před, během a po konstrukci?1. Je dobré zjistit, pokud to jde už ze zadání konstrukce, zda trojúhelník lze vůbec sestrojit, abychom zbytečně neztráceli čas. Jak?Např. pomocí trojúhelníkové nerovnosti, velikosti

úhlů apod.2. Načrtnout si obrázek, v němž si vyznačíme zadané údaje. Udělat si náčrt konstruované situace.

3. Rozebrat si postup, podle kterého budeme trojúhelník rýsovat. To znamená určit si, které znalosti nám při konstrukci trojúhelníku pomohou a jak.

Např. vlastnosti trojúhelníku a jiných známých geometrických útvarů nebo množiny bodů dané vlastnosti.4. Zapsat postup konstrukce, stanovený na základě

provedeného rozboru.

5. Podle zapsaného postupu uskutečnit konstrukci a narýsovat zadaný trojúhelník.

6. Zapsat počet všech možných řešení zadané úlohy.


Náčrt:

A nyní již přikročíme ke konstrukci.Př.: Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém = 40°, b = 7 cm, c = 8 cm.

c = 8 cm

b = 7 cm

První krok konstrukce, tj. určení, zda lze trojúhelník o zadaných hodnotách vůbec sestrojit, spočívá v tomto případě v ověření, že zadaný úhel je menší než součet všech tří vnitřních úhlů trojúhelníku, tzn. 180°.

= 40°


c = 8 cm

b= 7 cm

= 40°

Rozbor konstrukceK tomu, abychom sestrojili trojúhelník, potřebujeme mít zadány 3 údaje.Tak, jak je tomu v našem případě, kdy známe dvě strany a úhel jimi sevřený.Tyto tři zadané údaje se pak zpravidla využívají v prvních třech krocích postupu konstrukce.Čím při rýsování začneme?

Při konstrukcích trojúhelníků začínáme většinou (je-li zadána) stranou, a to dolní vodorovně umístěnou stranou.

Př.: Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém = 40°, b = 7 cm, c = 8 cm.


Rozbor konstrukceDále budeme hledat bod C. Co o něm víme?Víme, že leží na rameni úhlu o velikosti 40°.Kde se tedy může nacházet bod splňující danou podmínku?Co je množinou všech takových bodů?Je to polopřímka AY, tj. rameno úhlu = 40°.

c = 8 cm

= 40°


C1

C2

C3

C4

C5

Y

A


c = 8 cm

= 40°

Y

Rozbor konstrukceCo ještě víme o bodu C? Jakou druhou podmínku musí ještě splňovat?

Víme, že jeho vzdálenost od bodu A je 7 cm (b = 7 cm).Kde se tedy může nacházet bod splňující danou podmínku?Co je množinou všech bodů, jejichž vzdálenost od bodu A je 7 cm?Je to kružnice k se středem v bodě A a poloměrem o velikosti b, tj. 7 cm.

b = 7 cm


C1

C2

C3

C4

C5

kA


Rozbor konstrukceKde se tedy nachází vrchol C trojúhelníku?Leží v průsečíku polopřímky AY a kružnice k, tzn. množiny všech bodů, které leží na rameni úhlu o velikosti 40°, a množiny bodů, které mají od bodu A vzdálenost danou stranou b, tj. 7 cm (kružnice k).Jako 2. a 3. krok konstrukce tedy narýsujeme výše uváděnou polopřímku a kružnici.


c = 8 cm

= 40°

Y

kA

Zapisujeme:

C AY kC


1. AB; AB = c = 8 cm

Postup a konstrukce:2. ; = YAB = 40°; AY

4. C; C AY k 5. Trojúhelník ABC

3. k; k(A; b = 7 cm)

p

k

A B

C Y


Výsledný trojúhelníkÚloha má jedno řešení.(v polorovině určené úsečkou AB a bodem C)Konstrukci proměříme, zda odpovídá zadání, a trojúhelník vytáhneme silněji. A takto vypadá celá konstrukce.


Pár příkladů k procvičení – příklad č. 1

Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže: b = 65 mm, c = 4 cm, = 120°

(Pozor na jednotky!)



Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže: a = 7 cm, = 75°, c = 5 cm



Sestrojte trojúhelník OPQ, jestliže: o = 4 cm, |OPQ| = 100°, q = 7 cm


Konstrukce trojúhelníku podle věty sus

Otevřete si na závěr ještě následující odkaz. Můžete myší

měnit polohu bodů A, B, poloměr kružnice k1 (velikost strany) a sklon polopřímky AX (velikost úhlu) na

uvedené konstrukci. Zkoumejte, jak se provedené změny projeví na

vznikajících trojúhelnících.

http://www.horackova.cz/cabri/vyklad/632.htm


Tak přesnou ruku při rýsování!

Documents

Konstrukce trojúhelníku