Kontrol Sistemleri

Kontrol Sistemleri Notlar-Giri

239

9.Ayrkzamanlsistemler Sistemler Bir srekli zamanl sistem, sadece zamana bal srekli sinyal ieren bir sistemdir; bu tip sinyaller, srekli bir zaman aralnda tanmlanr. Bu tip sistemler, diferansiyel denklemlerle modellenebilir. Bir ayrk zamanl sistem (discrete time system), ayrk zaman sinyalleri ierir; bu tip sinyaller, sadece belirli anlar iin tanmldr. Bu tip sistemler fark denklemleri ile modellenebilir. lemek iin, ayrk sinyal elde etmede srekli bir sinyali rnekleyen sistemler, rneklem-verili sistemler olarak tanmlanr. ekil 9.1 bu tip bir sistemi gsteriyor. Sistem girdisi, srekli bir zaman sinyalidir. Analog-dijital dntrc (ADC) bu sinyali rnekler ve ayrk bir sinyal retir. Mikroilemci, bu ayrk sinyal girdisini alr ve bir takm kontrol kurallarna gre ilemden geirdikten sonra, kt olarak baka bir ayrk sinyal olarak verir. Dijital-analog dntrc (DAC) bu ayrk sinyali, srekli bir zaman sinyaline dntrr. Daha sonra bu sinyal, tesisin kontrol deikenini deitiren dzeltme birimini harekete geirir; geri besleme srekli bir zaman sinyalidir.

ekil 9.1 rnekleme-verili sistemler


240

rneklem verisi Bir analog sinyal deerlerin srekli aralna sahiptir. srekli bir analog zaman sinyali rneklendii zaman, sonuta elde edilen rnek ayrk bir zaman sinyali oluturur. rnek olarak, ekil 9.2(a)da, f(t) ile tanmlanan srekli zamanl analog bir sinyali dnn. Bu rnekleme periyodu T ile ayrlan eit zaman aralklarnda rneklenmitir (ekil 9.2(b)). rnekleme sinyali daha sonra ayrk zamanl bir sinyal oluturur (.9.2(c)), bu f*(t) ile gsterilir.

ekil 9.2 (a)Srekli zaman sinyali, (b) rneklenen sinyal, (c) ayrk zamanl sinyal veren rnekler


241

rneklemenin kts, bylece, T rnekleme periyodu olmak zere 0, 1T, 2T, 3T,...,kT anlarnda oluan darbeler serisidir. Ayrk zaman sinyali bylece f(t) fonksiyonunun bu zamanlardaki deerleridir, yani f(0), f(1T),f(2T), f(3T),..., f(kT). k darbe serisinde sinyalin numarasn belirten bir tam saydr. Bu seri f[k] olarak gsterilebilir, [keli parantez], genelde srekli bir deiken yerine bir ayrk deerler serisi ile ilgilenildiini belirtmek iin kullanlr. Aadakiler yaygn olarak karlalan ayrk zamanl sinyallerdir: 1 Birim darbe

ekil 9.3, bir birim darbesi iin seriyi gsteriyor. Birim darbe aadaki gibi tanmlanr:

k = 0 iin 1k [1] k 0 iin 0k

ekil 9.3 Birim darbe 2 Birim adm

ekil 9.4, bir birim adm iin seriyi gsteriyor. Birim adm aadaki gibi tanmlanr:

k > 0 iin 1ku [2] k < 0 iin 0ku


242

ekil 9.4 Birim adm 3 Sinzoidal seri

ekil 9.5, bir sinzoidal seri iin olan seriyi gsteriyor. Sinzoidal seri, A sinzoidal serinin genlii, faz ve f orijinal sinzoidal analog sinyalin frekansnn rnekleme frekansna blm olmak zere, aadaki gibi tanmlanr:

)2cos( fkAkx ya da )2sin( fkA [3]

ekil 9.5 Sinzoidal seri Dijital sinyaller Sadece sonlu sayda bir dizi deere sahip ve sadece aka tanmlanan admlarla deien bir dijital sinyal, saylabilir hake getirilir (nicelletirilir). Bir ayrk sinyal nicelletirildiinde; sadece sonlu bir sayda ebatlarda darbelere sahip dijital bir sinyal retilir. Bu deerler, dijital sinyal deerini verecek ekilde, sonlu sayda bit kullanlarak kodlanr (ekil 9.6). Bylece 4-bit bir sistem iin, btn girdi araln kaplamak iin maksimum 24=16 tane farkl


243

nicelletirme seviyesi vardr. Bu nicelletirme seviyeleri arasnda yer alan sinyaller, en yakn seviyeye yuvarlanarak kodlanr.

ekil 9.6 Nicelletirme/Kuantizasyon Dijitalsinyalileme Dijital sinyal ileme dijital serilerin ilenmesi ile ilgilenir. Bu tip bir ileme aadaki matematik ilemlerini ierir. 1 Toplama ve karma

ki dijital sinyalin toplama veya karmas, y[k] iki dijital sinyalin rnek toplama ve karma temeline dayal toplam veya fark olmak zere, aadaki gibi tanmlanr: kxkxky 21 [4]

rnek olarak, iki sinzoidal seriyi dnelim:

,...3.0,0.1,3.0,8.0,8.0,3.0,0.11 kx ,...8.0,0.1,8.0,3.0,3.0,8.0,0.12 kx


244

Toplam olarak elde edilen dijital sinyal aadaki gibidir:

,...5.0,0.2,5.0,5.0,5.0,5.0,0.2 ky 2 leklendirme

Bir dijital sinyalin leklendirmesi, y[k], x[k]nn leklendirilmi hali ve a negatif veya pozitif olmak zere, aadaki gibi tanmlanr:

kaxky [5] Bir rnek olarak, aadaki adm sinyalini dnn.

,...1,1,1,1,1ku leklendirilmi sinyal 0.5u[k] aadaki gibidir:

,...5.0,5.0,5.0,5.0,5.05.0 ku

3 Zaman Kaydrmas Bir dijital sinyal serisinin zaman kaymalar, zamanda gecikme veya ilerleme olsun, y[kn], y[k]nn ne eit bir zaman aral kadar kaydrlm hali olmak zere, aadaki gibi tanmlanr:

nkyky [6] Bir rnek olarak, birim darbe sinyalini dnelim:

,...0,0,0,0,0,1k Eer bu sinyali 2 ile geciktirirsek, aadaki denklemi elde ederiz:

,...0,0,0,1,0,02 k ekil 9.7 yukardaki kavram rnekliyor. Zaman kaymas sonucunda, bir birim adm serisini, bir birim darbe ve geciktirilmi birim darbeler toplam olarak grlebilir, yani:


245

...321 kkkkk [7]

ekil 9.7 (a) k , (b) 2k 4 arpma

ki serinin arpm sonucu, iki girdi serisinin eleman-eleman arpm sonucu elde edilen bir kt serisi elde edilir. Bu, aadaki gibi tanmlanabilir:

kxkxky 21 [8] Bir rnek olarak, aadaki gibi iki serimiz varsa:

,...5,4,3,2,11 kx 0,0,1,0,02 kx arpm aadaki gibidir:

,...0,0,3,0,0ky

Fark denklemleri Bir ayrk zamanl ileme sisteminde, darbeler serisi eklinde bir girdi ve darbeler serisi eklinde bir kt vardr. zel bir andaki kt, sistemin, toplama, karma, leklendirme ve zaman kaydrma gibi matematik ilemleri kullanmasyla hesaplanr.


246

Bylece, bir ilemci, x[k]nn zel bir annda bir seriden girdi alabilir ve buna bir nceki kt deeri y[k-1] ekleyerek ileyebilir. Bunun sonucunda, kt y[k] aadaki gibi olur:

kxkyky 1 [9] Bu tip bir denklem fark denklemi olarak tanmlanr. Bu denklem, prosesr sistemi iin, girdi ve kt arasndaki ilikiyi verir ve bylece bir srekli zaman sisteminin girdi ve ktsn ilikilendiren diferansiyel denklemi ile karlatrlabilir. Bu tip denklemler, zaman gecikmesi bloklar, leklendirme bloklar ve sinyallerin nasl birletirildiini gsteren zelliklere sahip blok diyagramlar ile gsterilebilir. ekil 9.8 denklem [8]in blok diyagramn gsteriyor. Bu diyagram, bir geri besleme durumunu tanmlyor.

ekil 9.8 kxkyky 1 Daha ileri bir rnek iin, ekil 9.9 aadaki fark denkleminin blok diyagramn gsteriyor:

1 kxkxky [10]

kt, zel bir andaki girdi ve bir nceki girdinin toplamndan oluur ve bu ileri besleme durumunu aklar.


247

ekil 9.9 1 kxkxky ekil 9.10 aadaki fark denkleminin blok diyagramn gsteriyor:

2 kxkxky [11] kt, zel bir andaki girdi ve bir nceki girdinin 2 ile geciktirilmi haliyle toplamndan oluur.

ekil 9.10 2 kxkxky ekil 9.11, leklendirme faktr ve iki tane geri besleme dngs ieren bir sistem iin, aadaki fark denklemini rnekliyor:

21 kbykaykxky [12]


248

ekil 9.11 21 kbykaykxky Dijital sinyal ileme sistemlerinin zellikleri Dijital sinyal ileme sistemlerini aklamak iin kullanlan fark denklemlerinin kullanmna ilikin temel zellikler aadaki gibidir: 1 Lineerlik

Eer girdisi bir dizi sinyal ieren bir sistemin tepkisi her bir sinyal tek bana dnldnde elde edilen tepkilerin toplamna eitse, bu sistem iin lineerdir denir. Bylece eer ky1 ve ky2 sistemin kx1 ve kx2 girdileri, ayr ayr dnldnde tepkiler ise, bu iki girdinin birlikte uygulanmas sonucu kxkx 21 , elde edilen tepki kyky 21 dir.

2 Kararllk

Eer herhangi bir byklkteki, herhangi bir girdi, sonlu byklkte bir kt salyorsa; sistem iin kararldr denir. rnek olarak, kxaky k fark denklemi ile tanmlanan sistemi dnn. Eer a 1den kk veya 1e eitse, ktdaki her iki terimde sonlu bir byklktedir. Buna ramen, eer a 1den bykse, kt, k sonsuza giderken sonsuza doru raksar. Bylece, sistemin kararl olabilmesi iin, 1a olmaldr.


249

Trevveintegralyaknsamalar Bir fonksiyonun trevi iki ardk girdiyi balayan izginin gradyan belirlenerek yaknsanabilir (ekil 9.12). Bylece, T rneklem periyodu ile, x[k-1] ve x[k] girdileri iin, zamana gre trevi belirten, kt y[k] aadaki gibidir:

T

kxkxky 1 [13]

ekil 9.12 Trevin yaknsamas Bir fonkiyonun integrali, girdinin zamana bal grafiinin altndaki alan bulunarak yaknsanabilir. ekil 9.13, bir rnekleme periyodundaki sinyal deiimini sonunda oluan alan yaknsamann bir yolunu gsteriyor ve bu genilii T ve ykseklii x[k] olan bir dikdrtgendir, yani rnekleme periyodu ile sinyalin en son deerinin arpmdr:

alan art kTx Alan art,ktdaki y[k-1]den y[k]ya deiimdir ve bu nedenle integrali belirten kt aadaki gibidir:

kTxkyky 1 [14]


250

ekil 9.13 ntegralin dikdrtgensel yaknsamas Daha kesin bir alan hesaplama: alann bir trapezoide yaknsayarak elde edilebilir:

alan art ])[]1[(21 kxkxT

ekil 9.14 ntegralin trapezoid yaknsamas ve bu nedenle:

kxkxTkyky 1211 [15]

Bu yaknsama Tustin yaknsamas olarak bilinir.


251

Analog kontrol kurallarnn evrimi Bir analog kontrol kuraln, dijital kontrolrn kullanabilecei bir forma getirmek iin tercme edilmesinde, analog kontrolrn transfer fonksiyonuna yaknsayan bir algoritma bulmamz gerekiyor; dijital kontrolrn yazlmndaki talimatlar biiminde yazlan bir dizi matematik ilem setinden oluan bir algoritma olmaldr, bu. Orantl kontrol dnelim; kontrolr kts y[k] girdisiyle orantldr. Bu sistem iin fark denklemi bylece, e hata ve K orant sabiti olmak zere, aadaki gibidir:

kKeky [16] Program elemanlar bylece aadaki gibidir: Balang e[k]nn ilk deerini ayarla K deerini ayarla Dng Hata eyi gir

Denklem [16]y kullanarak kty hesapla Hesaplanan kt deerini kart rnekleme periyodunun sonunu bekle Dngye git ntegral kontrol iin, denklem [14] kullanabiliriz ve bu nedenle:

kTeKkyky i 1 [17] Program elemanlar bylece aadaki gibidir: Balang e[k]nn ilk deerini ayarla kt[k-1]in ilk deerini ayarla Ki deerini ayarla T deerini ayarla Dng Hata eyi gir

Denklem [17]yi kullanarak kty hesapla Hesaplanan kt deerini kart kt[k-1]i kt[k]ya ayarla rnekleme periyodunun sonunu bekle


252

Dngye git Alternatif olarak integral kontrol iin, dikdrtgensel yaknsama yerine Tustinin yaknsamasn kullanabilirdik. Trev kontrol iin, denklem [13] kullanrsak aadaki denklem elde edilir:

1 kekeKkTy d [18] Program elemanlar bylece aadaki gibi olur: Balang e[k]nn ilk deerini ayarla e[k-1]in ilk deerini ayarla Kd deerini ayarla T deerini ayarla Dng Hata eyi gir

Denklem [18]yi kullanarak kty hesapla Hesaplanan kt deerini kart e[k-1]i e[k]ya ayarla rnekleme periyodunun sonunu bekle Dngye git PID kontrol iin, denklem [16], [17] ve [18]i kullanrsak aadaki denklem elde edilir: 11 keke

TKkykeTKkeKky dip [19]

Program elemanlar bylece aadaki gibi olur: Balang e[k]nn ilk deerini ayarla e[k-1]in ilk deerini ayarla kt[k-1]in ilk deerini ayarla Kp deerini ayarla Ki deerini ayarla Kd deerini ayarla T deerini ayarla Dng


253

Hata eyi gir Denklem [17]yi kullanarak kty hesapla

Hesaplanan kt deerini kart kt[k-1]i kt[k]ya ayarla e[k-1]i e[k]ya ayarla rnekleme periyodunun sonunu bekle Dngye git Daha ileri bir rnek iin, aadaki denklemle tanmlanan bir kompansatr dnn:

ssa

sXsYsGc

11

)()()( [20]

kt y(t) ve girdi x(t)yi ilikilendiren diferansiyel denklemi bylece aadaki gibidir:

dttdxatx

dttdyty )()()()( [21]

Her bir srekli zaman sinyalini kendi ayrk edeeriyle yer deitirirsek ve denklem [13]te verilen trevin yaknsamasn kullanrsak aadaki denklemi elde ederiz:

T

kxkxakxT

kykyky 1][1][ Bunun sonucunda, bu denklem yeniden dzenlenirse, aadaki denklem elde edilir: 11)( kxakxaTkykyT [22] rneklemeteoremi Srekli bir zaman sinyalini rneklediimiz zaman, rnekleme periyodu srekli sinyalin bilgi ierii yeterince korunmaldr, bylece, ayrk rneklerden srekli sinyali tekrar oluturduumuzda kt hakknda bir belirsizlik olumamal ve orijinal sinyali elde etmeliyiz.


254

ekil 9.15 (a) rneklenen sins dalgas, (b) sins dalga frekansndan daha byk bir rneklem frekans, (c) sins dalga frekansna yakn rnekleme frekans, (d) sins dalga frekansna daha da yakn rnekleme frekans, (e) sins dalga frekansna eit rnekleme frekans


255

ekil 9.15, farkl rnekleme hzlarnda rneklenmi sins dalgasn gsteriyor. (b)de elde edilen rnekler, rnekleme frekans sins dalga frekansndan kk olduu zaman, sadece orijinal sins sinyali tamamen belirlenebilir. rnekleme hz, sins dalga frekansna yaknsad zaman (ekil 9.15(c)), daha fazla bilgi kaybediliyor ve belirsizlik ayrk rnekler tarafndan belirtilen sins dalga frekansna kayabilir; bu rneklerden birden fazla frekans sinyali elde edilebilir. Bu, aliasing(st ste binme) olarak adlandrlr. rnekleme frekans, sins dalga frekansna eit olduu zaman (ekil 9.15(e)), ok daha fazla bilgi kaybedileceinden, sinyal, bir sins dalgas olarak alglanamayabilir ve sabit genlikli bir sinyal olabilir. Bu sebeple, srekli bir sinyal iinde varolan btn frekanslarn rneklenmi versiyonunda dzenli biimde bulunmas isteniyorsa, rnekleme hz iin bir alt snr vardr. rnekleme hz iin olan bu alt limit, rnekleme teoremi ile verilir: Eer, srekli bir sinyal iinde varolan frekans bileenleri 0 ile B Hz arasnda deiiyorsa; rnekleme frekans, saniye bana 2B adet rnei getii mddete, sinyal, tamamen, bir rnekler dizisi olarak temsil edilebilir. Sfrderecetutulum Bir dijital kontrolrn kts, ayrk zamanl bir sinyaldir; bu tip bir sinyal sadece belirli anlarda deerlere sahiptir ve bu anlar arasnda sfrdr. Buna ramen, altrcy veya dijital-analog dntrcy iletmenin daha etkili bir yolu, ayrk kt deerini rnekleme aral sresince sabit tutmaktr (ekil 9.16). kty yakalayan ve tutan eleman sfr-derece tutulum (hold) olarak tanmlanr. Sfr-derece terimi, elemann sadece kt deerini deiim hzn almadan yakalamasndan dolay kullanlr. Sfr-derece tutulum (ZOH) ile, bu elemana verilen bir birim darbe girdisi, ayn ykseklikte fakat rnekleme periyoduna eit genilie sahip bir darbe olarak kar


256

Figr 10.16 rneklenmi ve tutulmu sinyal (ekil 9.17). Girdinin Laplace dnm 1dir. ktnn Laplace dnm, bunun, bir tanesi Tde balamak zere (ekil 9.18), iki tane adm sinyalinin toplam olduu varsaylarak elde edilir. t = 0da balayan bir birim admn Laplace dnm 1/sdir. T ile geciktirilmi bir admn Laplace dnm, adm dnmnn e-Ts ile arpm anlamna gelir. Bylece ZOHun kts aadaki gibidir:

se

se

s

TsTs 11

ekil 9.17 ZOHun (a)girdi ve (b) kts


257

Figr 10.18 ki admn toplam olan dikdrtgensel darbe ZOHun transfer fonksiyonu bylece aadaki gibidir:

sesG

Ts

ZOH 1)( [23]


258

10.Zdnm Zamangecikmesi Laplace dnm, srekli zaman fonksiyonlarn, yeni deikeni s olan bir fonksiyona dntrmek iin; z-dnm ise, ayrk zaman fonksiyonlarn, yeni deikeni z olan bir fonksiyona dntrmek iin kullanlr. Z-Dnmn ayrk zamanl sistemlere uygularken, basite, zaman gecikmelerinin ayrk zamanl bir sinyalle olutuunu varsayabiliriz. Temel olarak, bir ayrk zamanl sinyalin, z-1 ile arpmn, bir zaman adm geciktirmeyi belirtmek iin kullanabiliriz. Bylece, eer aadaki fark denklemini dnrsek:

....321...321

3210

321

kxbkxbkxbkxbkyakyakyaky

[1]

Sinyalleri z-blgesine dntrdmz zaman, aadakileri elde ederiz: 1 ky gecikmesi olmayan bir ktdr ve dnm zY dir. 2 11 kya , kt ky ile bir sabitin arplp bir rnek periyodu

geciktirilmesi ile elde edilir. Bunun dnm )(11 zYza dir. 3 22 kya , kt ile bir sabitin arplp iki rnek periyodu

geciktirilmesi ile elde edilir. Bunun dnm )(22 zYza dir. 4 33 kya , kt ile bir sabitin arplp rnek periyodu

geciktirilmesi ile elde edilir. Bunun dnm )(33 zYza dir. 5 kx gecikmesiz bir girdidir ve dnm zX dir. 6 11 kxb , girdi kx ile bir sabitin arplp bir rnek periyodu

geciktirilmesi ile elde edilir. Bunun dnm zXzb 11 dir. 7 22 kxb , girdi ile bir sabitin arplp iki rnek periyodu

geciktirilmesi ile elde edilir. Bunun dnm zXzb 22 dir.


259

8 33 kxb , girdi ile bir sabitin arplp rnek periyodu geciktirilmesi ile elde edilir. Bunun dnm zXzb 33 dir.

ekil 10.1 (a) zaman blgesinde, (b) z-blgesinde sistem Bylece, denklem [1] z-blgesine aadaki gibi dntrlr:

..)()()()(

...)()()(3

32

21

10

33

22

11

zXzbzzbzXzbzXb

zYzazYzazYzaky [2]

Bu denklem, G(z) darbe transfer fonksiyonu olarak tanmlanmak zere, aadaki gibi yazlabilir:

....1....

)()()( 3

32

21

1

33

22

110

zazazazbzbzbb

zXzYzG [3]

Konvansiyonel kullanma gre, ayrk zamanl fonksiyonlar kk harfle ve z fonksiyonlar byk harfle yazlr. rnek olarak, ekil 10.1(a) zaman blgesinde aadaki fark denklemi ile tanmlanan bir sistemin blok diyagramn gsteriyor: 21 21 kyakyakxky [4]


260

ve ekil 10.1(b) ayn sistemi z-blgesinde gsteriyor:

)()( 2211 zYzazYzazXzy [5] Sistemin darbe transfer fonksiyonu bylece, aadaki gibidir:

22

111

1)()()( zazazX

zYzG [6]

Zdnmnnrneklemesi Bir srekli zaman fonksiyonunu rneklediimizi dnelim. Sonu bir dizi darbe serisidir ve aadaki gibi ifade edilebilir: )(.....)3(3

)2(2)1(1)(0)(kTtkfTtf

TtfTtftftf

[7] Yukardaki denklemi elde etmenin bir baka alternatifinin, rneklenmi srekli zaman fonksiyonunun, srekli bir zaman fonksiyonu ile bir dizi birim darbenin arpm olduunu dnmek olduunu; yani )()()( txtftf (Blm 9a baknz) olduunu hesaba katn. t = 0da, bir darbenin Laplace dnm 1dir, 1Tde

Tse tir, 2Tde Tse 2 tir, 3Tde Tse 3 tir, v.b... Bylece rneklenmi bir fonksiyon f*(t)nin Laplace dnm aadaki gibidir:

kTsTs

TsTs

ekfef

efeffsFtf

....3

2110)(*)(3

21L

kTsk

ekf

0 [8]

Eer

Tsez [9] ise, yani s =(1/T) ln z ise, denklem [8] aadaki gibi yazlabilir:

kzkfzf

zfzffzFtf

][...]3[

]2[]1[]0[)()}(*{3

21z

kk

zkf

1 [10]


261

)(* sF , s = (1/T) ln z ile, darbeler serisinin z-dnm olarak

tanmlanr ve )()}(*{ zFtf z olarak yazlabilir. Yaygn sinyaller iin z-dnm Aada, yaygn olarak kullanlan iki sinyalin z-dnmnn nasl elde edildiini gsteriliyor: 1 rneklenmi birim adm

rneklenmi bir birim adm dnn; 0dan byk olan btn t deerleri iin 1)(* tf veya 1][ kf dir. Bylece, denklem [10] kullanlrsa aadaki ifade elde edilir:

...3210)( 321 zfzfzffzF ...1111 3210 zzzz [11]

Bu seriyi kapal formda ifade edebiliriz. Denklem [11], sonsuza giden ...1 2 xx formunda bir geometrik seri olduundan, serinin 1/(1 - x)e yaknsamas kouluyla (yani |x| < 1), eer 1/zyi x olarak alrsak, |z| > 1 olmak zere, aadaki denklemi elde ederiz:

1)/1(11)( z

zz

zF [12]

2 rneklenmi birim rampa

Bir T periyodu ile rneklendiinde rampa fonksiyonu f(t)=tyi dnn. Denklem [10], aadaki ifadeyi verir:

....3210)( 321 zfzfzffzF ...320 321 TzTzTz

Bu denklem aadaki gibi yazlabilir:

...321)( 21 zzT

zzF [13]

Bilineer teorem (1 x)-2ye uyguland zaman ...321 2 xx serisini elde ederiz. Bunun sonucunda, |z| > 1 olmak kouluyla, denklem [13], aadaki ifadeyi verir:


262

2)/11(1)(

zTzzF

ve bu nedenle:

2)1()( z

TzzF [14]

Ayrk zaman sinyalleri rneklenen srekli zaman fonksiyonu yerine, dzenli ararlkl darbe serisi cinsinden tanmlanm ayrk zamanl bir sinyalin z-dnmn dnelim. f[k] = 1 serisini dnn, yani 1, 1, 1, 1, 1, ... bu birim darbelerden olumu bir seridir ve bu nedenle z-dnm darbe serisinin dnmlerinin toplam olduundan, denklem [10] aadaki ifadeyi verir:

...3210)( 321 zfzfzffzF ...1111 3210 zzzz [15]

Daha nce olduu gibi, seriyi kapal-formda ifade edebiliriz. Denklem [15] ...1 2 xx formunda, serinin 1/(1 - x)e yaknsamas kouluyla(yani |x| < 1)sonsuz toplamna sahip bir geometrik seridir. Bylece, eer x yerine 1/z yazlrsa, |z| > 1 olmak kouluyla, aadaki ifade elde edilir:

1)/1(11)( z

zz

zF [16]

Anlald zere, yukardaki denklem, rneklenmi birim admda olduu gibi, ayn ayrk zamanl seriyi tanmlyor. Buna ramen, elimizde 1, 1, 1, 1, 1, ... yerine, 0, 1, 1, 1, 1, ... serisi olduunu dnn, bunun z-dnm aadaki gibidir:

...3210)( 321 zfzfzffzF

...1110 3210 zzzz [17] Bu 1, 1, 1, 1, 1, ... serisi z-dnmnn sadece z-1 ile arpmdr. Bylece, 0, 1, 1, 1, 1, ..., 1, 1, 1, 1, 1, 1, ... serisinin bir rnekleme periyodu geciktirilmi hali olduundan, z-1 ile arpmak, bir rnekleme periyodu gecikmeyi belirtir.


263

Eer elimizde 0, 0, 1, 1, 1, 1, ... serisi olsayd, z-dnm aadaki gibi olacakt:

...1110)( 3210 zzzzzF [18] Bylece, bu, 1, 1, 1, 1, 1, ... serisinin z-dnmnn z-2 ile arpmdr ve bu nedenle arpm iki rnekleme periyodu gecikmeyi belirtir. Daha ileri bir rnek iin, 3210 ,,, aaaa serisini veren ayrk zamanl sinyalin z-dnmn dnn, yani a bir sabit olmak zere, kakf . z-dnm, darbe serisinin dnmlerinin toplamdr.

Bylece, denklem [10] aadaki denklemi verir:

..3210)( 321 zfzfzffzF ...3322110 zazazaa [19]

Kapal bir formda, denklem [19], toplam sonsuz olan,

...1 22 xaax formunda, serinin 1/(1 - ax)e yaknsamas kouluyla(yani 1x ) bir geometrik seri olduundan, eer x yerine 1/z yazarsak, |z| > a olmak zere, aadaki denklemi elde ederiz:

azz

zazF )/1(1

1)( [20]

Standart z-dnmleri Tablo 10.1 ve 10.2 yaygn olarak kullanlan rneklenmi zaman fonksiyonlar ve serilerinin z-dnmlerini verirken; Tablo 10.3 zel Laplace dnmlerine ilikin z-dnmlerini veriyor.

Tablo 11.1 z-dnmleri rneklenmi fonksiyon )(tf F(z) rnekleme periyodu T Birim darbe , )(t 1 kT ile geciktirilmi birim darbe kz Birim adm, u(t)

1zz

kT ile geciktirilmi birim adm )1( zz

zk

Birim rampa,t 2)1( zTz


264

2t 32

)1()1(

zzzT

ate aTezz

ate1 ))(1(

)1(aT

aT

ezzez

aTte 2)( aTaT

ezTze

btat ee ))((

)(bTaT

bTaT

ezezzee

tsin 1cos2

sin2 Tzz

Tz

Tcos aTeTzztzz

22 cos2)cos(

te at sin aTaTaT

eTzezTze

22 cos2sin

te at cos aTaTaT

eTzezTezz

22 cos2)cos(

Tablo 11.2 z-dnmleri kf ,0f 1f , 2f , 3f , )(zF ku1 1,1,1,1,.

1zz

ka ,....,,, 3210 aaaa az

z

k 0,1,2,3,. 2)1( zz

kka ,....3,2,,0 321 aaa 2)( azaz

1kka ,....3,2,,0 210 aaa 22

)( azz

ake ,....,,, 320 aaa eeee )( aez

z

Table 11.3 Laplace and z-dnm iftleri

Laplace dnm ilgili z-dnm

s1

1zz

21s

2)1( zTz


265

31s

22

)1(2)1(

zzzT

as 1 aTez

z

2)(1as 2)( aT

aT

ezTze

3)(1as 3)(

)1(aT

aT

ezez

)( assa ))(1(

)1(aT

aT

ezzez

)(2 assa ))(1(

)1()1( 2 aT

aT

ezzae

zTz

))(( bsasab

)( bTaTbTaT

ezezeez

))(()(

bsassab

))((

)()( 2bTaT

bTaT

ezezzaebezab

22 asa 1cos2

sin2 aTzz

aTz

22 ass 1cos2

cos2

2

aTzzaTzz

2)( ass 2)(

)(aT

aTaT

ezaTeezz

Tas /)(ln1

azz

ksTe kz Zdnmnnzellikleri z-dnmnn temel zellikleri, aadaki gibidir: 1 Toplama ve karma

ki seri f[k] ve g[k] serilerinin toplamnn z-dnmleri, serilerin tek bana z-dnmlerinin toplamdr:

kgZkfZkgkf z [21] rnek olarak, rneklenmi fonksiyon tettf )( nin, her 1 sde rneklendii zamanki z-dnmn dnn. z-dnm iki


266

fonksiyonun ayr olarak dnldndeki z-dnmlerinin toplamna eittir. Tablo 11.1i, T = 1 s iin kullanrsak, rneklenmi fonksiyon tnin z-dnm 2)1/( zTz dir ve rneklenmi te ninki )/( ezz dir ve bu nedenle:

12)1()( ez zz zetorneklenen tz

2 Bir sabit ile arpma Bir a sabiti ile arplan bir dizinin z-dnm serinin z-dnmn bu sabitle arpmakla ayndr:

kfaZkaf z [22] Bylece, rneklenmi birim rampa fonksiyonunu tnin z-dnm Tz/(z-1)2 olduundan (Tablo 11.1), 2tnin z-dnm 2Tz/(z-1)2dir.

3 Kaydrma teoremleri(zaman gecikmesi) Eer kf bir dizi ve F(z) bunun z-dnm ise, bu serinin n aralk ilerlemesiyle oluan serinin z-dnm, yani nkf i vermesi iin sola kaydrlmas, aadaki denklemi verir:

)12

10()(2

1

nzffz

fzfzzFznkfn

nnnz [23]

Eer n = 1 ise:

0)(1 zfzzFkf z [24] Eer n = 2 ise:

10)(2 22 zffzzFzkf z [25] Bir seriyi n ile ilerletmek, F(z) ilerletmeden nceki serinin z-dnm olmak zere, znF(z) tarznda bir z-dnm verir. Yukardaki denklemlerdeki dier terimler, Laplace dnmnde olduu gibi, z-dnmnn sadece 0k iin tanml olmasndandr ve bunlar sola kaydrldktan sonra kaybolan terimlerdir.


267

Eer rneklenmi bir fonksiyon f(t)u(t), saa kaydrlrsa, yani n rnek periyodu geciktirilirse, kaydrlm rnekleme serinin z-dnm, aadaki gibidir:

)(zFznkunkf nz [26] Kaydrma teoremleri, zyi zaman kaydrma operatr olarak dnebileceimizi belirtir. z ile arpmak, zamanda bir rnekleme periyodu ilerletme ile edeerdir; z ile blmek, zamanda bir rnekleme periyodu geciktirme ile edeerdir. rnek olarak, ayrk zaman serisi 0, 0, 1, 2, 3, 4, ...nin z-dnmn dnn. 0, 1, 2, 3, 4, ...nin bir zaman aral kadar geciktirilmi hali olarak dnlebilir. Tablo 10.2de belirtildii gibi, geciktirilmemi sinyal 2)1/( zz z-dnmne sahiptir ve bylece, yukardaki kaydrma teoremi kullanlrsa, geciktirilmi seri 221 )1/(1)1/( zzzz olan z-dnmne sahiptir.

4 Kompleks dnm rneklenmi bir )(tf fonksiyonunun z-dnm, ate ile arpldnda, )(zF nin, kf nn z-dnm olmas kouluyla, rneklenmi )(tf fonksiyonundaki z yerine z aTe yazmay ierir, yani:

zeFkfe aTat z [27] rnek olarak, rneklenmi fonksiyon attetf )( nin z-dnmn dnelim. Kompleks dnm zelliini kullanarak ve bu nedenle tnin dnmndeki z yerine

aTze yazarsak aadaki denklemi elde ederiz:

2)()1( aTaT

aT

aT

ezTze

zeTze

5 lk deer teoremi

lk deer teoremi, t = 0 iin, zaman fonksiyonunun deerini verir, yani ilk deeri. Bu teorem aadaki gibi tanmlanr:

)(limlim00

zFkffzt [28]


268

rnek olarak, z-dnm F(z) = z2/(z - 1)(z 0.5) olan bir serinin ilk deerlerini dnn. z-dnmn aadaki gibi yazabiliriz:

zzzzz

/5.0/5.111

5.05.1

Daha sonra ilk deer teoremini kullanarak, z giderken, 10 f i elde ederiz.

6 Son deer teoremi Limitlerin olmas kouluyla, son deer teoremi, zaman sonsuza giderken zaman fonksiyonunun deerini verir, yani kararl-hal koulunu. Bu teorem aadaki gibi tanmlanr: )(1lim)()1(limlim

11

1zF

zzzFzkff

zzt

[29] rnek olarak, z-dnm F(z) = z2/(z - 1)(z 0.5) olan bir serinin son deerini dnn. Son deer teoremi aadaki ifadeyi verir:

25.0

lim)(1lim11

z

zzFz

zfzz

Terszdnm Laplace dnmnde olduu gibi, zaman blgesinden, z-blgesine yaplan dnmler, basit cebirsel dzenlemelerle yaplabilir. Sonuta elde edilen zamana bal tepkiyi elde etmek iin, fonksiyonun ters dnmnn belirlenmesi gerekir. Ayrk zamanl sinyallerin veya z-dnm ile ifade edilen rneklenmi zaman fonksiyonlarnn serilerini elde etmek ters z-dnmn elde etmek olarak tanmlanr. Eer )(zFtf z veya zFkf z ise, ters z-dnm zF1z ile gsterilir. Dnmn tersi, bir ka yoldan bulunabilir. 1 Tablolar kullanmak

Bu, dnm tablolarnn, Tablo 10.1 ve Tablo 10., ve zel bir dnmle sonulanan bir zaman fonksiyonunu tanmak iin, bunlarn zelliklerinin kullanmn ierir.


269

rnek olarak, 3z/(z - 1)in ters dnmn dnn. Birim adm fonksiyonu z/(z - 1) z-dnmne sahip olduundan, tersi, sadece, 3 yksekliinde bir adm fonksiyonudur.

2 Ksmi kesirleri kullanmak Ksmi kesirler, z-dnmlerinin basit tannabilir terimlerin toplamna geniletilmesiyle kullanlr. rnek olarak, aadaki fonksiyonun ters dnmn dnn:

))(1()1()( T

T

ezzezzF

yukardaki fonksiyonun ksmi kesirlerini belirleyebilmemize ramen, ounlukla standart formlara ulamamz salayan bir prosedr, F(z)/znin ksmi kesirlerini bulmaktr. Bylece:

TT

T

ezB

zA

ezze

zzF

1))(1(1)(

Bylece, TT eBzAez 11 dir ve bu nedenle A = 1 ve B = -1dir. Bundan dolay, dnm aadaki gibi yazabiliriz:

TezzzzF

1

11)(

ve bu nedenle: Tez

zz

zzF 1)(

Birinci terim, 1dir ve )1/( zz ile arplmtr ve bu nedenle 1 arp rneklenmi birim admn z-dnmdr. kinci terim 1

)/( aTezz formunda bir dnmle arplmtr; bu, akTat ee nin z-dnmdr. Bylece ter dnm aadaki gibidir:

kTekf 1 Eer rnekleme periyodu 1 s ise, o zaman seri 0, 0.632, 0.865, 0.950, ...dir.

3 Uzun blme ile kuvvet serisine geniletme Bu, payn paydaya uzun blme yntemi kullanlarak blnmesiyle dnm bir kuvvet serisine dntrmeyi ierir.

rnek olarak, rnekleme periyodu 1 s olmak zere, aadaki fonksiyonun ters dnmn dnn:


270

))(1()1()( T

T

ezzezzF

Bylece:

368.0368.1632.0)( 2 zz

zzF

Payn paydaya uzun blme yntemi kullanlarak blnmesiyle aadaki denklem elde edilir:

0.632z-1+0.865z-2+0.950z-3+... z2-1.368z+0.368 | 0.632z 0.632z-1-0.865z-2+0.233z-1 0.865z-2-0.233z-1 0.865z-2-1.183z-1+0.318z-2 0.950z-1-0.318z-2

Bylece: ...950.0865.0632.00)( 3210 zzzzzF

ve bu nedenle kf serisi 0, 0.632, 0.865, 0.950,...dir.

Darbetransferfonksiyonu Darbe transfer fonksiyonu )(zX , ayrk girdinin z-dnm ve )(zY ise ayrk ktnn z-dnm olmak zere; )(zG aadaki gibi tanmlanr:

)()()(

zXzYzG [30]

)(zG nin sadece bir elemann T aral kadar ayrk zamanlarla

ayrlm girdi ve kt sinyallerini ilikilendirdiine dikkat edin. Bylece, ayrk zamanl ilem sistemleri iin, aadaki fark denklemi elde edilir: kxkykyky 122 bunun z-dnmn alrsak aadaki denklemi elde ederiz:


271

zXzYzzYzYz 22 ve bu nedenle:

121

)()()( 2 zzzX

zYzG

Aadaki transfer fonksiyonuna sahip bir sistem iin:

)2)(1(1)( sssG

bu denklemi, ksmi kesirleri kullanarak aadaki gibi yazabiliriz.

21

11)( sssG

Bu denklemi, z-blgesine, s-dnm ile z-dnmn ilikilendiren bir tablo kullanarak veya zaman blgesi fonksiyonlar iin, s-dnmnn zaman blgesine oradan da zaman blgesi fonksiyonlar iin z-dnmlerini veren bir tablo kullanmyla z-blgesine dntrebiliriz. Sonu aadaki gibidir: TT ez

zezzG 21

)(

Seri elemanlar Sistemlerin seri elemanlar eklinde darbe transfer fonksiyon gsterimi, her bir eleman iftinin arasnda rnekleyici olup olmadnda baldr. ekil 10.2, aralarnda rnekleyici bulunan seri iki eleman ieren bir sistemi gsteriyor. Bylece, birinci elemana giren ayrk zamanl sinyaller, kt olarak, ikinci elemana girmesi iin ayrk zamanl sinyal retiyorlar, ayn zamanda tm sistemden elde edilen kt da ayrk zamanldr. ekil 10.2(a) iin, s-blgesinde, aadaki denklem elde edilir: )()()()()()( 122 sXsGsGsFsGsY [31] Bundan dolay, rneklenmi T*(s) sinyalleri iin toplam transfer fonksiyonu aadaki gibidir: )()()( 12 sGsGsT [32]


272

ekil 10.2 Aralarnda rnekleyici bulunan seri elemanlar; iki diyagram edeerdir ve bylece, ilgili z-dnm ifadesi aadaki gibidir: )()()( 12 zGzGzT [33] imdi de iki eleman arasnda rnekleyici bulunmayan, ekil 10.3te gsterilen durumu dnn. G1(s) ve G2(s) elemanlar darbe dnmn alrken tek bir eleman gibi dnlmelidir: )()()( 21 sGsGsG

ve bylece: )()]()([)()()( 21 sXsGsGsXsGsY [34] z-dnm alnrsa aadaki denklem elde edilir:

)()()( 21 zXzGGzY [35] )(21 zGG nin )()( 21 zGzG ye eit olmadna dikkat edilmelidir.

ekil 10.3 Elemanlar arasnda rnekleyici yok ZOHun transfer fonksiyonu Sfr-derece tutulumlu eleman aadaki gibi bir transfer fonksiyonuna sahiptir (denklem [23], 9. blme baknz):


273

seG

Ts

ZOH

1 [36] Eer ZOH, Gp(s) transfer fonksiyonuna sahip bir tesisle seri ise, ZOH ile tesis arasnda rnekleyici bulunmadndan (ekil 10.4), bu ikilinin z-dnm denklem [35] kullanlarak aadaki gibi yazlabilir: )]()([)( sGsGzG pZOH nin z dnm [37]

)(1 sG

se

p

Tsnin z dnm

)(1)(1 sGs

esGs

pTs

p [38]

Fakat bir Laplace dnmn Tse ile arpmak dnmn T gibi bir zamanla geciktirilmi haline karlk gelir (3.Blme baknz). z-dnmnde rnekleme periyodu T kadar bir zaman gecikmesi, bunun z-1 ile arplmasn ierir. Bylece denklem [38] aadaki gibi yazlabilir:

)(1)1()( 1 sG

szzG p nin z dnm [39]

ekil 10.4 Bir tesisle seri olan ZOH rnek olarak, 1/s(s + 1) transfer fonksiyonuna sahip bir tesisle seri olan ZOHy dnn. Denklem [39] kullanlrsa, sistem aadaki transfer fonksiyonuna sahiptir:

)1(1)1()(

21

sszzG nun z dnm


274

ksmi kesirleri kullanarak bu denklemi aadaki gibi yazabiliriz:

1111)1()(

21

ssszzG nun dnm

Tezz

zz

zTzz

1)1()1( 2

1

Kapal-dng sistemin transfer fonksiyonu ekil 10.5te gsterilen kapal-dng sistemi dnn. )(sH elementinden kan sinyal H(s)Y*(s)tir. Bu sinyal [H(s)Y*(s)]* = H*(s)Y*(s)i vermesi iin rneklenir. )(sG ye giren hata sinyali, bylece X*(s)-H*(s)Y(s)tir. )(sG 'nin kts )(sY tir. Bylece: )()()()()( sYsHsXsGsY ve bu rneklenirse: )()()()()( sYsHsXsGsY )()()()()( sYsHsGsXsG Bu denklemin z-dnmn alrsak aadaki denklemi elde ederiz: )()()()()()( zYzHzGzXzGzY ve bu nedenle sistemin toplam darbe transfer fonksiyonu aadaki gibi olacaktr:

)()(1)(

)()()(

zHzGzG

zXzYzT [40]

ekil 10.5 Kapal-dng sistem Bir baka kapal-dng sistem formunu dnn (Figr 10.6).

)(sG in girdisi rneklenmi E*(s) sinyalidir ve kts Y(s), bundan


275

dolay )()()( sEsGsY dir. H(s)ten kan sinyal )()( sYsH tir. Hata sinyali E(s) bylece aadaki gibidir: )()()()()()()()( sEsHsGsXsYsHsXsE

ekil 10.6 Kapal-dng sistem Bu hata rneklendii zaman aadaki denklem elde edilir: )()()()()( sEsHsGsXsE Bu denklemin z-dnmn alrsak, aadaki denklemi elde ederiz: )()()()( zEzGHzXzE ve bu nedenle sistemin darbe transfer fonksiyonunu aadaki gibi yazabiliriz:

)(1)(

)()()(

zGHzG

zXzYzT [41]

rnek olarak, transfer fonksiyonu 1/s(s + 1) olan tesise sahip Figr 10.7de gsterilen kapal-dng sistemi dnn. ZOH eleman ile tesisin arasnda rnekleyici bulunmadndan )()()( sGsGsG pZOH dir ve bu nedenle:

)1(11)(

sssesG

Ts

Ksmi kesirler kullanlarak, bu denklemi aadaki gibi yazabiliriz:


276

1

111)1()( 2 sssesG Ts [42]

Bundan dolay:

Tezz

zz

zzzzG

1)1()1()( 2

1 [43]

rnekleme periyodu T = 1 s alnrsa, aadaki denklem elde edilir:

37.037.126.037.0)( 2

zz

zzG [44]

1)( sH olduundan, denklem [42]yi de kullanarak

11111)()( 2 sssesHsG Ts [45]

ekil 10.7 Kontrol sistemi ve bundan dolay:

Tezz

zz

zzzzGH

1)1()1()( 2

1 [46]

rnekleme periyodu T = 1 s alnrsa, aadaki denklem elde edilir:


277

37.037.1

26.037.0)( 2 zz

zzGH [47]

Denklem [41] kullanlarak aadaki denklem elde edilir:

63.026.037.0)( 2

zzzzT [48]

Sisteme bir birim darbe girdisi olduunu varsayalm. Birim darbenin z-dnm 1 olduundan kt Y(z) aadaki gibidir:

63.026.037.0)( 2

zzzzY

Uzun blme kullanarak, bu denklemi aadaki gibi yazabiliriz: ...25.040.063.037.0)( 5321 zzzzzY [49] Bundan dolay ters dnm aadaki ayrk zamanl seriyi verir: 0, 0.37, 0.63, 0.40, 0, -0.25, ... Buna ramen, kt bir ZOH elemanndan sonra yer aldndan, dzeltilecektir ve adml bir kt verecektir (Figr 11.8).

ekil 10.8 kt zdzlemiDarbe transfer fonksiyonu, genelde, aadaki gibi ifade edilebilir:


278

n

n

mm

zazaazbzbbzG

......)(

10

10 [50]

Bu denklemin kkleri aadaki gibidir: 0...10 nnzazaa [51] ve sfrlar aadaki gibidir: mm zbzbb ...10 [52] rnek olarak, )2)(1/( zzz darbe transfer fonksiyonunu veren bir sistem, z = 0da bir sfra ve z = 1 ve z = 2de iki kutba sahiptir (ekil 10.9(a)). )52)(1/( 2 zzzz darbe transfer fonksiyonunu veren bir sistem, z = 0da bir sfra ve z = 1 ve 21 jz de kutba sahiptir (ekil 10.9(b)).

ekil 10.9 (a) z/(z-1)(z-2), (b) z/(z-1)(z2-2z+5) Kutup konumu ve geici tepki G(z) = 1/(z - 2) darbe transfer fonksiyonuna sahip bir sisteme bir birim darbe girdisinin uygulandn dnn. kt bylece aadaki gibidir: 1

21)()()( zzXzGzY


279

Uzun blme kullanlarak aadaki denklemi yazabiliriz: ...842)( 4321 zzzzzY Bu denklemin tersi 1, 2, 4, 8, ... serisini verir. Yukardaki rnek reel eksen zerinde z = 2de bir kutba sahip bir sistem iindi. Genelde, eer reel eksen zerinde z = ada bir kutbumuz varsa, kt, birim darbe fonksiyon girdisi olduu zaman aadaki gibidir: kaaaaa ,.....,,,,1 432 [53] Farkl a deerleri iin ktnn formunu dnn: 1 a pozitif ve 1den kkse, kt zamanla bozunur, kCaky (Figr

11.10). rnek olarak, 21a iin, kt, 1, 0.5, 0.25, 0.0625,..dr. 2 a = 1 ise, darbe sabittir, yani 1, 1, 1, 1,1, ...dr (ekil 10.11). 3 a birden bykse, kt zamanla byr, kCaky (ekil 10.12).

rnek olarak, a = 2 iin, kt, 1, 2, 4, 8, ...dr. 4 a negatif ve 1den kkse, kt salnm yapar ve zamanla

bozunur, kaCky )( (Figr 10.13). rnek olarak, 21a iin, kt, 1, -0.5, 0.25, -0.0625, ...dr.

5 a = -1 ise darbe deiimli sabittir, yani 1, -1, 1, -1, 1, -1, ...dr (ekil 10.14).

6 a, -1den bykse, kt salnm yapar ve zamanla artar, kaCky )( (ekil 10.15). rnek olarak, a = -2 iin, kt, 1, -2, 4, -

8, ...dr.

ekil 10.10 Bozunan seri


280

ekil 10.11 Sabit seri

ekil 10.12 Genileyen seri

ekil 10.13 Bozunan salnml seri

ekil 10.14 Sabit salnml seri


281

ekil 10.15 Genileyen salnml seri imdi de, sistem bir ift kompleks elenik kutba sahipse; bu sistemin bir darbeye tepkisini dnelim. Eer kutuplar, r yarapna, asna sahipse (ekil 10.16) z = ejdr. Bir birim darbe girdisi olduu zaman, kt aadaki gibidir: kjkj reCreCky 21 [54] Bu denklem aadaki gibi yazlabilir: )cos()( 21 kArreCreCrky kkjkjk [55] Tepki bylece, bir sinzoittir ve rnekler arasndaki zaman T olduundan, frekans T/ dir.

ekil 10.16. Karmak/kompleks elenik kutup


282

Tepki, kompleks elenik kklerin konumuna baldr: 1 r, 1den kkse ve kkler dzlemin sa tarafnda ise; tepki

snmlemeli sinzoidal bir seridir ekil 10.17). 2 r, 1 ise ve kkler dzlemin sa tarafnda ise, tepki sabit genlikli

sinzoidal bir seridir (ekil 10.18). 3 r, 1den bykse ve kkler dzlemin sa tarafnda ise, tepki

genileyen sinzoidal bir seridir (ekil 10.19). 4 r, 1den kkse ve kkler dzlemin sol tarafnda ise, tepki

snmlemeli sinzoidal deiimli bir seridir (ekil 10.20). 5 r, 1 ise ve kkler dzlemin sol tarafnda ise, tepki sabit genlikli

bir sinzoidal deiimli bir seridir (ekil 10.21). 6 r, 1den bykse ve kkler dzlemin sol tarafnda ise, tepki

genileyen sinzoidal deiimli bir seridir (ekil 10.22).

ekil 10.17 r < 1 iin snmlemeli sinzoidal seri

ekil 10.18 r = 1 iin sabit genlikli sizzoidal seri


283

ekil 10.19 Genileyen sinzoidal seri

ekil 10.20 Snmlemeli deiimli sizzoidal seri

ekil 10.21 Sabit genlikli deiimli sinzoidal seri

ekil 10.22 Genileyen sinzoidal seri


284

z-blgesinde kararllk ekil 10.10dan 10.15e kadar ve ekil 10.17den 10.22ye kadar olan ekillerden de anlalaca zere, ayrk zamanl bir sistemin kararl olabilmesi ve bir darbenin bozunan bir geici kt vermesi iin, kutup z-dzleminin orijininin 1.0 yarap dahilinde olmaldr (ekil 10.23). Yarap 1 olan bir kutup, marjinal olarak kararl olan bir sistem verir. Yarap 1.0dan byk olan bir kutup kararsz bir sistem verir.

ekil 10.23 z-dzleminin kararllk blgesi

rnek olarak, aadaki darbe transfer fonksiyonlarna sahip rneklem-verili kapal-dng kontrol sistemini dnn: 1 )7.0/(2)( zzzG

nk sistem z = 0.7de bir kutba sahiptir ve birim yarapl emberin iine der; bu sistem kararldr.

2 )25.0)(25.0()( 22 zzzG payda, j0.5)-zj0.5)(z ( olarak yazlabilir. Bylece, bu denklem,

0.25z de bir ift kompleks elenik kutbuna sahiptir. Hepsi de birim yarapl emberin iine dtnden, sistem kararldr.

3 )12 z4z/(3zG(z) 2 Karakteristik denklem aadaki kkleri verir: 33.0

61242 z

-1.00 kk birim yarapl ember zerine der ve bu nedenle sistem marjinal olarak kararldr.

4 )25.12)(5.0()( 2 zzzzG Karakteristik denklem aadaki kkleri verir:


285

j0.5z 00.12

542

kkn birinin radyal uzunluu 1.15.0 2 2(1.00 olduundan sistem kararszdr.

sdzlemiilezdzlemiarasndakiiliki z, sTe olarak tanmlanr, bylece, s, js ifadesi ile tanmlanabileceinden, aadaki denklem yazlabilir: TiT eez [56] Bylece, z, Te byklne ve T faz asna sahip kompleks bir niceliktir. Sabit izgileri s-dzlemindeki dikey izgiler (ekil 10.24(a)), deiirken, sabit deerlerine sahiptir. Z-dzleminde, denklem [56]da gsterildii gibi bu tip izgiler, deiirken sabit bykle sahiptir ve bu nedenle orijinde bulunan dairelerdir (ekil 10.24(b)). S-dzlemi iin, dzlemin sol yars ile sa yarsnn birbirine blm, 0 izgisine karlk gelir. Z-dzlemi iin, 0 olduu zaman 1Te dir ve bu nedenle birim yarapl ember bu blmn edeeridir. s-dzleminde kararllk iin, btn kutuplar dzlemin sol tarafnda yer almaldr. s-dzleminin sol tarafnn tamam, z-dzleminde birim yarapl emberin i alanna karlk geldiinden, btn z-dzlemi kutuplar, kararllk iin, birim yarapl emberin iinde yer almaldr.

ekil 10.24 (a) s-dzlemindeki dikey izgiler ve (b) bunlarn z-dzlemindeki karlklar


286

Sabit snmleme frekans izgileri s-dzlemindeki yatay izgiler (ekil 10.25(a)), sabit snm frekans ye sahip bir izgidir. z-dzlemi zerinde, denklem [56]nn belirttii gibi, sabit bir snm frekansnn anlam, sabit bir faz as demektir ve bylece orijin zerinde dorusal bir izgi ile gsterilir (ekil 10.25(b)), reel eksene olan alar T dir. rnekleme frekans Ts /2 dir ve bu nedenle sabit faz as ya sahip bir izgi iin, sT /2 tir. 0 iin, 0 dr ve bu nedenle noktalar pozitif reel eksen zerinde yer alr. 4/s iin, 0902/ dir ve bu nedenle noktalar pozitif sanal eksen zerinde yer alr. 2/s iin, 0180 dir ve bu nedenle noktalar negatif reel eksen zerinde yer alr. 4/3 s iin, 02702/3 dir ve bu nedenle noktalar negatif sanal eksen zerindedir. s iin,

03602 dir ve noktalar yine pozitif reel eksen zerindedir.

ekil 10.25 (a) s-dzlemindeki yatay izgiler ve (b) bunlarn z-dzlemindeki karlklar

Sabit snmleme oran izgileri Sabit bir snmleme oran iin, s-dzleminde sabit al radyal bir izgi vardr (ekil 10.26). = cos olduundan (Blm 7.ye baknz), eer dik al bir gen kullanrsak ve Pisagor teoremini kullanrsak, aadaki denklemi elde ederiz:

21

tan [57]

Sabit bir snmleme deeri s-dzlemindeki radyan izgi iin, sabit bir gradyan verdiinden, /tan dir.


287

ekil 10.26 s-dzlemindeki sabit snmleme oran izgileri

z-dzleminde T [58] ve (denklem [56]) znin bykl Ter olduundan: T

rln [59] ve bu nedenle aadaki denklemleri yazabiliriz:

21/)(ln

/ Tr

T

21

ln

r [60]

Bylece, z-dzleminde, sabit snmleme oran izgileri, logaritmik spirallerdir (Figr 11.27). Bu spiraller Jury konturlar olarak adlandrlr.

ekil 10.27 z-dzlemindeki sabit snmleme oran izgileri


288

Sabit doal frekans izgileri S-dzleminde, sabit doal frekans a yer erisi, merkezleri orijinde bulunan ve yaraplar a olan emerkezli dairelerdir (Blm 7ye baknz ekil 10.28).

ekil 10.28 s-dzleminde farkl sa / deerleri iin sabit a yer erisi z-dzleminde, a yer erisi zerindeki noktalar iin, aadaki denklemi yazabiliriz: TjsT eez )( [61] Fakat (8.Blmde, denklem [32] yi hatrlarsak): 222 n [62] Bylece, s-dzleminin sol tarafndaki noktalara karlk gelen noktalar iin, aadaki denklemi yazabiliriz:

Tjnez )2( [63]

ekil 10.29, z-dzleminde, sabit az yer erilerinin bazlarn gsteriyor. yer erileri gerekte her yerde sabit snmleme faktrne yer erilerine ortogonaldr, yani dik aldr.


289

ekil 10.29 z-dzleminde farkl sa / deerleri iin sabit a yer erisi zblgesindekararllktestleri Ayrk zamanl sistemlerde kararllk iin, karakteristik denklemin btn kkleri z-dzleminde birim yarapl emberin iinde yer almaldr. Bunun sonucunda, kararllk iin, srekli zaman sistemleri iin kullanlan Routh-Hurwitz testi, bu test sistemin btn kklerinin s-dzleminin sol yarsnda yer alp almadn belirlemek iin dizayn edildiinden; z-dzlemindeki kkler iin dorudan uygulanamaz. Bi-lineer dnm metodu Buna ramen, eer zyi aadaki ifadeyle yer deitirirsek, Routh-Hurwitz testini ayrk zamanl sistemler iin uygulayabiliriz:

wwz

11 [64]

Bunu yapmakla, btn z-kklerinin birim yarapl ember iinde yer alma koulu, btn kklerin w-dzleminin sol yarsnda yer almas kouluna dnr, bu nedenle test, s-dzlemi iin kullanlan Routh-Hurwitz ile ayn formata dnr. Bir rnek olarak, ayrk zamanl bir sistem dnn:

1.04.012)( 2

zz

zzG

Denklem [64] kullanarak zler yer deitirirse, aadaki denklem elde edilir:


290

1.0)1/()1(4.0)1)(1(1)1/()1(2)( 2

wwww

wwwG

25.02.23.1)1)(3(ww

ww

Bu karakteristik denklem iin, aadaki Routh tablosu oluturulabilir:

3.12.2

3.15.0

0

1

2

www

lk kolonda iaret deiimi olmadndan, wnin kutuplarnn tamam w-dzleminin solunda yer alr. Bunun sonucunda, znin kutuplar birim yarapl emberi iinde yer alr ve sistem kararldr. Jury testi Bir darbe transfer fonksiyonunun btn kklerinin birim ember iinde yer alp yer almadn belirlemek iin kullanlan bir baka test, Jury testidir. Bu test iin, karakteristik denklem aadaki formdadr:

0...)( 221

10

0 kk zazazazazF [65] Bu durumda, aadaki formda bir tablo oluturulur.

Sra

1 0a 1a 2a 3a ... 1na na 2 na 1na 2na 3na ... 1a 0a 3 0b 1b 2b 3b ... 1nb nb 4 nb 1nb 2nb 3nb ... 1b 0b 5 0c 1c 2c 3c ... 1nc nc 6 nc 1nc 2nc 3nc ... 1c 0c 7 0d 1d 2d 3d ... 1nd nd 8 nd 1nd 2nd 3nd ... 1d 0d v.b. 1 Birinci satr, alnan karakteristik denklemin katsaylarn ierir.


291

2 kinci satr, ayn katsaylara sahiptir fakat ters olarak sralanr. 3 nc satr, srayla alnm b katsaylarna sahiptir ve aadaki

determinant yardmyla belirlenir:

kn

knk aa

aab 0 [66]

4 Drdnc satr, bu b katsaylarnn ters olarak sralanmasyla

oluur. 5 Beinci satr, srayla alnm c katsaylarna sahiptir ve aadaki


kn

knk bb

bbc

1

10

[67]

6 Altnc satr, bu c katsaylarnn ters olarak sralanmasyla

oluur. 7 Yedinci satr, srayla alnm d katsaylarna sahiptir ve aadaki


kn

knk cc

ccd

2

20

[68]

8 Sekizinci satr, bu d katsaylarnn ters olarak sralanmasyla

oluur. Bu prosedr, satr, sayl bir satra indirgenene kadar devam eder. Jury testi, karakteristik denklemin kklerinin, sadece ve sadece aadaki koullar salandnda, z-dzleminde birim ember iinde yer alacan ifade eder: 0)1( F [69] 0)1()1( Fn [70] Denklem [70], aadaki koula karlk gelir: 0)1( F [71]


292

0)1( F [72] Bununla birlikte, aadaki koullar da salanmaldr:

naa 0 10 nbb 20 ncc 30 ndd [73] Bunu rneklendirmek iin, aadaki karakteristik denkleme sahip bir darbe transfer fonksiyonu dnn: 07.09.12)( 23 zzzzF Denklem [69]la salamas yaplrsa, aadaki sonu elde edilir: 6.57.09.121)1( F bu nedenle, F(1), 0dan byktr ve dolaysyla kararlln salanmas olanak dahilindedir. Denklem [70]le salamas yaplrsa, aadaki sonu elde edilir: 2.07.09.121)1( F bu nedenle 2.0)1()1( 3 F dir ve bylece 0dan byktr. Kararllk bylece olanakldr. Yukarda salanan koullarla, katsay tablosunu oluturarak kararlln kontrol edebiliriz. Balamak iin, birinci ve ikinci satr aadaki gibi yazabiliriz: Sra 1 0.7 1.9 2.0 1.0 2 1.0 2.0 1.9 0.7 Daha sonra nc satr iin olan katsaylar hesaplarz: 51.0

7.00.10.17.0

0 b 67.09.10.10.27.0

1 b 5.00.20.19.17.0

2 b

Oluan tablo aadaki gibidir: Sra 1 0.70 1.90 2.00 1.00 2 1.00 2.00 1.90 0.70 3 -0.51 -0.67 -0.50


293

eriinin kontrol edilmesi, bizi aadaki sonulara ulatrr: 0.7 < 1.0 olduundan naa 0 |-0.51| < |-0.50| olduundan 10 nbb Bylece, btn gereklilikler salandndan, z-dzleminde, birim ember dnda hibir kk yoktur. Ayrkzamanlsistemlerinkararlhalhatalar ekil 10.30da gsterilen ayrk zamanl kontrol sistemini dnn. hata sinyal e*(t) aadaki gibidir: )()()( tytxte [74] veya rneklemenin baz zamanlarnda t = kT olduundan, bu denklemi aadaki gibi yazabiliriz: )()()( kTykTxkTe [75] rnekleme anlarndaki, kararl-hal hatas aadaki gibidir: )(lim)(lim kTetee

ktss [76]

z-dnmnn son deer teoremini kullanlrsa aadaki denklem elde edilir: )()1(lim 1

1zEze

sss

[77]

)()()()()()()()()( sEsGsGsHsXsYsHsXsE ZOHp olduundan, darbeler iin

sistemi dnrsek, )(**)()()()(*)( sEsGsGsHsXsE ZOHp elde edilir ve bu nedenle tekrar dzenlendiinde ve dnm alndnda aadaki denklem elde edilir. )(1 )()( zGHG zXzE ZOHp [78]

ekil 10.30 Ayrk zamanl kontrol sistemi


294

Bylece, denklem [77] aadaki gibi yazlabilir:

)(1)()1(lim 1

1 zGHGzXzeZOHpz

ss [79]

Bir adm girdisi iin kararl-hal hatas Sistemin girdisi, bir birim adm fonksiyonu olduu zaman,

)1/()( zzzX dir. Sadeletirmek iin, birim geri besleme durumunu varsayalm; denklem [79] aadaki denklemi verir:

11 )(lim1

1)(1

1lim

zZOHpZOHpz

ss zGGzGGe [80]

Adm-hata katsaysn aadaki gibi tanmlanrsa: )(lim

1* zGGK ZOHp

zp [81]

aadaki denklem elde edilir: ** 1

1

pss K

e [82]

Tesisin transfer fonksiyonu aadaki gibi yazlabilir:

))...()(())...()(()(

21

21

n

mp pspsps

zszszsKsG [83]

Eer orijinde a tane sfr ve b tane kutup varsa denklem [83], abj olmak zere, aadaki gibi yazlabilir:

))...()(())...()(()(

21

21

bnj

amp pspspss

zszszsKsG

[84]

Darbe transfer fonksiyonu )(sGG ZOHp bylece aadaki gibidir:

se

pspspsszszszsKsGG

Ts

bnj

amZOHp

1

))...()(())...()(()(

21

21

ve bylece:

se

pspspsszszszsK

zzGGTs

bnj

am

ZOHp

1))...()((

))...()((

)1()(

211

21

1

nin z-dnm

[85] Tip 0 olan bir sistem iin, j = 0dr ve bu nedenle denklem [85] aadaki forma dnr:


295

se

pspspsszszszsK

zzGGTs

bnj

am

ZOHp

1))...()((

))...()((

)1()(

21

21

1

nin z-dnm

[86] Ksmi kesirler kullanlrsa, denklem [86]y aadaki gibi yazabiliriz:

sKzzGG ZOHp )1()( 1 + sfr olamayan kutuplar iin gerekli terimlerin

z-dnm:

1

)(1( 1zKzz sfr olamayan kutuplar iin gerekli terimler

z

zK 1 sfr olamayan kutuplar iin gerekli terimler

[87] Sfr olmayan kutuplar iin gereken terimler, paydalarnda (z - 1) iermeyeceinden, denklem [81]le verilen adm hata katsays aadaki gibi olacaktr: KK p * [88]

)1/(1 K birim adm iin, bylece bir kararl-hal hatas vardr. Tip 1 olan bir sistem, transfer fonksiyonunun paydasnda s2 terimini ierir, bundan dolay darbe transfer fonksiyonunda 2)1( z terimini ierir. Bunun sonucunda, adm-hata katsays sonsuzdur ve kararl-hal hatas yoktur. Bir rampa girdisi iin kararl-hal hatas Girdi birim rampa fonksiyonu olduu zaman, yani x(t) = t, denklem [79], birim geri beslemeyle, aadaki kararl-hal hatasn verir:

))(1)(1(lim

1*

zGGzTe

ZOHpzss

)(1lim

1

1zGG

Tz

ZOHpz

[89]

Rampa-hata katsaysn aadaki gibi tanmlarz: )(1lim

1* zGG

TzK ZOHp

zv

[90]


296

ve bu nedenle: **

1

ssss K

e [91]

nceki blmde adm girdisinde olduu gibi, rampa-hata katsaysn farkl tip numaral tesisler iin belirleyebiliriz. Tip 0 olan bir tesis iin, rampa-hata katsays 0dr ve bu nedenle kararl-hal hatas sonsuzdur; tip 1 olan bir tesis ile, rampa-hata katsays Kdr ve bu nedenle kararl-hal hatas 1/Kdr, daha yksek bir tip numaral tesisler iin, rampa-hata katsaylar sonsuzdur ve bu nedenle kararl-hal hatas sfrdr. Parabolik bir girdi iin kararl-hal hatas Parabolik bir girdi iin, x(t) = t2, denklem [79], birim geri beslemeyle, aadaki kararl-hal hatasn verir:

))(1()1()1(lim 2

2

1*

zGGzzTe

ZOHpzss

[92]

)()1(

2lim

2

21zGG

Tz

ZOHpz

Parabolik-hata katsaysn aadaki gibi tanmlarz: )()1(lim 2

2

1* zGG

TzK ZOHpza [93]

ve bu nedenle: **

2

ssss

Ke [94]

Adm girdi blmnde olduu gibi, parabolik-hata katsaysn farkl tip numaral tesisler iin belirleyebiliriz. Tip 0 ve tip 1 olan tesisler iin, parabolik-hata katsays 0dr ve bu nedenle kararl-hal hatas sonsuzdur, tip 2 olan bir tesis ile, parabolik -hata katsays Kdr ve bu nedenle kararl-hal hatas 1/Kdr; daha yksek bir tip numaral tesisler iin, parabolik-hata katsaylar sonsuzdur ve bu nedenle kararl-hal hatas sfrdr. Ayrkzamanlbirsisteminfrekanstepkisi nceki blmlerde anlatlan frekans blgesi analiz metotlar, ayrk-zamanl kontrol sistemleri iin geniletilebilir. Ayrk zamanl


297

sistemlerin frekans tepkilerini belirlemek iin, rnekleme periyodu T ile bir sinzoidi rnekleyerek elde edilen ayrk zamanl bir girdi kullanabiliriz. Srekli zaman sistemlerin frekans tepkisi, transfer fonksiyonunda, s yerine j yazlarak elde edilebilir. sTez olduundan, ayrk zamanl bir sistemin frekans tepkisi, darbe transfer fonksiyonunda, z yerine Tje yazlarak elde edilebilir. rnek olarak, darbe transfer fonksiyonu )25.0)(25.0( 22 zz olan bir sistemi dnn. z yerine Tje yazlrsa, aadaki darbe frekans tepkisi elde edilir:

25.025.0

2

2

Tj

TjTj

eeeG

Daha sonra, basit biimde tjte tj sincos olarak yazlan Euler denklemini kullanabiliriz ve bylece yukardaki denklemi aadaki gibi yazabiliriz:

TjTTjTeG Tj

2sin25.02cos2sin25.02cos

Tepkinin bykl ve faz as daha sonra olaan yollardan belirlenebilir.


298

11.Bilgisayarkontrolsistemleri Bilgisayarkontrol Aadakiler, bilgisayar kontrol sistemlerini tanmlamada kullanlan baz terimlerdir: 1 Dorudan dijital kontrol

Bu terim, tesisi kontrol etmek iin altrclara uygulanan kontrol sinyalini hesaplamak iin, kontrol sistemlerinde dijital bilgisayar kullanmn aklar.

2 Gerek-zamanl sistemler Gerek-zamanl bilgisayar kontrol: bilgisayarn, tesisten girdileri okuyup, bilgisayar sistemi yerine tesisin operasyon bilgilerine gre belirlenen zamanlarda kontrol sinyali gnderdii durumdur. Bilgisyar tarafndan yrtlen ilem, harici ilemcilerin zaman leklerine dayanr.

3 Yerleik bilgisayarlar Yerleik terimi, bilgisayarn tek bana deil; bir gerek zamanl kontrol sisteminin bir eleman olduunu anlatr. Bilgisayar, kontrol sistemine yerletirilmitir.

Dorudan dijital kontrol kural dizayn Dorudan dijital kontrol kurallar iki temel yoldan belirlenebilir: 1 Srekli blge dizayn

Bir srekli zaman kontrol sistemi iin srekli bir kontrolr dizayn edin ve daha sonra bunu bir ayrk zaman kontrol yasasna yaknsatn. Bu kontrolr iin G(s)i bulmay ve daha sonra dijital kontrol dizaynn tamamlamak iin sonucun ayrk hale getirilmesini ierir.

2 Dijital dizayn Sistemi dorudan ayrk zamanl bir kontrol sistemi olarak dnn ve dijital bir kontrolr dizayn edin. Kontrolrn G(z)sini dorudan elde etmek iin sistemin ayrk zaman


299

modellemesini ierir ve bunun sonucunda dijital kontrol dizayn tamamlanr.

Srekli zaman kontrolrlerinin dijital implamantasyonu Kullanlabilecek bir metot, Ziegler ve Nicholstur. Onlar, bir tesisin bir zaman gecikmesiyle birinci-derece bir elemann seri gsterimi eklinde ifade edilebileceini savunurlar ve bu nedenle aadaki transfer fonksiyonu ile T zaman gecikmesi ve zaman sabiti olmak zere, ifade edilebileceini savunurlar:

sTp es

KsG 1)( [1] PID kontrol iin, kontrolr aadaki transfer fonksiyonuna sahiptir (denklem [28], 8. Blm):

sT

sTKsG d

ipc

11)( [2]

Ziegler ve Nichols pK , iT ve dT deerlerinin, bir sistemin bi birim adma girdiye verdii tepkiden belirlenebilmesini (Tablo 8.2ye baknz) salamak iin veya denklem [1]de verilen transfer fonksiyonuna sahip bir sistem tahmini yaplabilmesi iin bir takm kurallar oluturdular. ekil 11.1deki L denklem [1]deki zaman gecikmesi Tyi veriyor, ekildeki T denklem [1]deki zaman gecikmesi y veriyor ve figrdeki M denklem [1]deki kazan Ky veriyor.

ekil 11.1 Birim adm tepkisi


300

O halde, denklem [2]yi ayrk edeerine dntrmek iin, dolaysyla dijital kontrolr tarafndan oluturulacak algoritmay bulmak iin, 9.Blmde verilen treve ve integraller iin yaknsamalar kullanabiliriz. Srekli zaman kuralnn yaknsamas Ziegler ve Nichols metoduna bir alternatif metod olarak, kontrolr iin gerekli olan transfer fonksiyonunun, kontrol sisteminin istenilen karakteristikleri, yani gerekli ykselme miktar ve yerleme zamann vermesi iin dzenlenmesidir ve daha sonra transfer fonksiyonunun G(z)ye dntrlmesidir. Bu daha sonra dijital bilgisayar iin gerekli algoritmaya dntrlebilir. rnek olarak, ekil 11.2de gsterilen rneklem verili sistemi dnn. Her rnekleme annda bilgisayar, tesis ktsndan, analog-dijital dntrc (ADC) yardmyla rnek alyor ve rneklenmi kt deerini oluturuyor. Daha sonra bu deerler, ayrk girdi deerleri ile birlikte, bilgisayar tarafndan, gerekli kontrol kurallarna gre istenilen dzeltme sinyalinin vermesi iin, ileme sokuluyor ve bu sinyal tesisin srlmesi iin dijital-analog dntrc yardmyla (DAC) tesise gnderiliyor.

ekil 11.2 rneklem-verili kontrol sistemi

Tesisin birinci-derece, zaman gecikmesi olmayan bir sistem olduunu varsayalm, yani:

ssG p 11)( [3]

Bu, DAC ile seri baldr ve transfer fonksiyonu bir ZOHnin transfer fonksiyonu olarak dnlebilir, yani (1 e-Ts)/s. Bu ikilinin darbe transfer fonksiyonu bylece aadaki gibidir:

)1(

1)( ssezG

Tsnin z-dnm


301

)1(1)1( 1 ssz nin z-dnm

))(1(

)1(1/

/

T

T

ezzez

zz

[4]

1 slik bir zaman sabiti ve 0.25 slik bir rneklem periyodumuz olduunu var sayalm. O zaman:

779.0221.0)( zzG [5]

Orantl kazanc K olan bir srekli zaman kontrol ile edeer bir kontrolr verecek bir ayrk zamanl kontrolr kullanmak istediimizi dnn. Sistemin kapal-dng darbe transfer fonksiyonu T(z) aadaki gibidir:

KzK

zKGzKGzT

221.0779.0221.0

)(1)()( [6]

Sistem sadece bir kutba sahiptir ve bu kutbun yeri aadaki gibidir:

Kz 221.0779.0 [7] K deerinin seilmesiyle, bu kutbun z-dzleminin reel ekseninin neresinde bulunduunu belirleyebiliriz. ekil 11.3 kk yer erisini gsteriyor. Kutup, bir darbe girdisi iin, 0 ile 0.79 arasnda ise, sistem kararldr ve zamanla bozunan bir darbe serisi verir, kutup 0da ise, K = 0.779/0.221 =3.52dir. Sistem kararl olacaktr ve T(s) = 0.779/z eklinde bir darbe transfer fonksiyonuna sahiptir. Bu, sadece bir rnek gecikmeli bir sistemi tanmlar. Bylece bir darbe girdisi iin, sadece bir tane rnek periyotlu gecikmi darbe kts olacaktr. Bu tip bir tepki, deadbeat (l vurulu) olarak adlandrlr. Kutup 0 ile -1 arasnda ise, sistem hala kararldr. Buna ramen, kutup -1de ise, sistem marjinal olarak kararl duruma dnecektir. Bu durum, -1 = 0.779 0.221K olduu zaman gerekleir ve bu nedenle K = 8.05tir. bu deerin stndeki bir kazan art, kutbun -1in gerisine dmesine sebep olur ve bu nedenle kararszlkla sonulanr.


302

ekil 11.3 Kk yer erisi izimi

Dijitalkontrolrtasarm Herhangi bir srekli zaman kontrolr kuralna dayanmayan bir dijital kontrolr tasarmn dnn: 1 Bir birim adm girdisi iin gerekli kapal-dng tepkisini

belirleyin. 2 z-dnmn elde edin. 3 Birim adm girdisi iin, bu kty salayacak kapal-dng darbe

transfer fonksiyonunu belirleyin. 4 Dolaysyla kontrolrn darbe transfer fonksiyonunu belirleyin. Deadbeat kontrolr Yukardakine bir rnek olarak, l darbe, l vuru tepkisini verecek bir kontrolr tasarmn dnelim. Bu tip bir tepki, ktnn birim adm girdisini tam olarak takip ettii tepkidir fakat bir rnekleme periyodu gecikmi haldedir. kt Y(z) bylece aadaki gibidir:

11

1)( 1

z

zz

zzY [8]

Bu kty verecek, kapal-dng darbe transfer fonksiyonu T(z) bylece aadaki gibidir:


303

zzzz

zXzYzT 1

)1/()1/(1

)()()(

[9]

T(z) aadaki gibi olduundan:

)()(1)()()(zGzG

zGzGzTc

c

o zaman:

)()(1 )()( zGzT zTzGc [10] ve bu nedenle, denklem [9] kullanlrsa:

)(11)( zGzzG [11] rnek olarak, eer aadaki fonksiyona sahipsek (denklem [5]e baknz):

779.0221.0)( zzG

o zaman:

)1(221.0779.0)(

z

zzGc [12]

Yukardaki rnek, rnekleme zamanlar arasnda istenmeyen geici salnmlara yol aan bir kontrolr dizayn olabilir. rnekleme noktalar arasnda sistem ak dng altndan, geici salnmlar, sistemin ak-dng transfer fonksiyonundan bulunabilir. Yksek dereceli srekli-zaman ak-dng fonksiyonu olan, birinci-derece kapal-dng darbe transfer fonksiyonuna sahip bir sistem elde edebiliriz; bunun sebebi, darbe transfer fonksiyonunun kutuplar ve sfrlar iptal etmesidir. Dahlin kontrolr Dahlin kontrolr, bir adm girdisine stel bir tepki reten deadbeat kontrolrnn bir modifikasyonudur ve bu nedenle istenmeyen geici salnmlar yok edilerek daha dzgn bir tepki verir. Sistemin bir birim adm girdisine verdii tepki bylece, a bir sabit olmak zere, y(t) = (1 - eat)dir. Bylece:

)1)(()1()(

zezzezY aT

aT [13]


304

Kapal-dng darbe transfer fonksiyonu bylece aadaki gibidir: z

zzez

zezXzYzT aT

aT 1)1)((

)1()()()(

aT

aT

eze

1 [14]

T(z) aadaki gibi olduundan:

)()(1)()()(zGzG

zGzGzTc

c

o zaman:

)()(1 )()( zGzT zTzGc [15] ve bu nedenle:

)(11)( zGz ezGaT

c

[16]

Kalman kontrolr Kalman kontrolr, deadbeat kontrolrnn bir baka modifikasyonudur. Kalman, eer bir sistemin derecesi birden bykse ve sistemin bir rnekleme aralnda yerlemesinin mmkn olmad durumlarda; sistemin daha byk fakat sonlu sayda aralklarda yerletirilebilmesinin mmkn olduunu ve gerekli olan aralk says sistemin derecesine eit olduunu syler. Aadaki gibi bir birim adm girdisi olduunu dnn:

)1/(1)1/()( 1 zzzzX [17] kinci-derece bir sistem dnn, gerekli tepki Y(z), iki ardk rnekleme aralndan sonra birim deere ulaan bir tepkidir. Bylece, bu tepki 0da balayacak, bir rnekleme aralndan sonra bir a deerine ulaacak ve iki rnekleme aralndan sonra birim deere ulaacaktr, bylece,

...110)( 321 zzazzY [18] Kapal-dng transfer fonksiyonu bylece denklem [17] ve [18]le verildii gibi olacaktr: ...))(1(

)()()( 3211 zzazz

zXzYzT [19]

4324321 ... zzazzzzaz 21 )1( zaaz [20]


305

Kontrolr kts U(z) aadaki gibi olmaldr: ....)( 321 zzzzU [21]

Denklem [17] ve [21], aadaki denklemi verir:

..))(1()()( 3211 zzzz

zXzU

....... 321321 zzzzzz 21 )1()( zz [22]

Bunu Q(z) olarak gsterelim. Ak-dng transfer fonksiyonu veya tesisin transfer fonksiyonu, birim geri beslemeli olduunda, aadaki gibidir:

)()(

)()(

)()(

)()()(

zQzT

zUzX

zXzY

zUzYzG [23]

2121

)1()()1(

zzzaaz

[24]

a, ve deerleri bylece denklem [24]teki katsaylarla tesisin gerek darbe transfer fonksiyonundaki katsaylar karlatrlarak belirlenebilir. Denklem [24]n pay payndaki katsaylarn bir olduuna dikkat edin ve bylece, gerek darbe transfer fonksiyonu uygun bir faktrle leklendirilmelidir, bylece bu katsaylar da bire eitlenmelidir. rnek olarak, aadaki darbe transfer fonksiyonuna sahip birim geri beslemeli bir sistem dnn:

)2.0)(1.0(22.05.0)(

zz

zzG

Bu denklem, aadaki gibi yazlabilir:

)02.03.0(5.022.0

02.03.022.05.0)( 22

21

2

zzzzz

zzzzG

Katsaylar, pay katsaylarnn toplamnn tersiyle arpm yaplarak leklendirilmelidir; yani 1/0.72. Bylece:

21

21

028.0417.039.1695.0305.0)(

zzzzzG

Denklem [24] ile karlatrldnda, 305.0 , 39.1 ve 972.0 dir. T(z), aadaki gibi olduundan:

)()(1)()()(zGzG

zGzGzTc

c

o zaman:


306

)()(1 )()( zGzT zTzGc [25] ve bu nedenle:

)(1 )()()(1 )()()( zTzQzTzT zQzTzGc [26] 21

21

)1(1)1()(

zz

zz

[27]

Dolaysyla, yukardaki rnek iin:

21

21

695.00305.01028.0417.039.1)(

zzzzzGc dir

Ayrkkontrolrtransferfonksiyonlarnnprogramaevrilmesi Ayrk kontrolr darbe transfer fonksiyonu sabit arpanlar ve birim gecikmeler ieren bir fark denklemine dntrlmelidir; fark denklemi, daha sonra programa dntrlebilir (9.blm bunu rnekliyor). zel bir transfer fonksiyonu bir takm alternatif gsterime sahip olabilir. Kullanlabilecek metotlar aadaki gibidir: 1 Direk Metot

z-1de iki polinomun oran eklinde ifade edilebilen kontrolr girdisi Y(z) ve kts E(z) aadaki gibi oranlanabilir:

nJ jj

n

j

jj

zb

za

zEzYzG

1

0

1)()()( [28]

Eer, denklem [28]i dzenlersek, aadaki denklemi elde ederiz:

n

J

jj

n

j

jj zazEzbzY

01)(1)(

n

j

jj

n

j

jj zbzYzazEzY

10)()()(

ve dolaysyla aadaki fark denklemi elde edilir:

n

j

n

jjijjiji ybeay

0 1 [29]

rnek olarak, aadaki fonksiyona sahipsek:


307

111

)()()( zzE

zYzGc

Direk metodunu uygularsak aadaki denklemi elde ederiz:

)()()(

)()1)((1

1

zYzzEzY

zEzzY

ve bu nedenle, z-1 ile arpmak, birim zaman gecikmesi demek olduundan, fark denklemi aadaki biime dnr:

1 iii yey Daha ileri bir rnek iin, elimizde aadaki fonksiyon varsa:

21

21

695.0305.01028.0417.039.1)(

zzzzzGc

denklem [29] uygulanrsa aadaki denklem elde edilir:

2121 695.0305.0028.0417.039.1 iiiiii yyeeey

2 Ara deikenle direk metot z-1de iki polinomun oran eklinde ifade edilebilen kontrolr girdisi Y(z) ve kts E(z) aadaki gibi oranlanabilir:

n

j

jj

n

j

jj

zb

za

zEzYzG

1

0

1)()()( [30]

P(z) gibi yardmc bir deikeni aadaki gibi yazarsak:

nj

jj zazP

zY

1)()( [31]

Denklem [30], aadaki gibi yazlabilir:

n

j

jj zb

zEzP

11

1)()( [32]

Denklem [31]de verilen fark denklemi, aadaki gibidir:

n

jjiji pay

0 [33]

ve denklem [32] ile, aadaki elde edilir:

n

ijjijii pbep [34]


308

rnek olarak, eer aadaki fonksiyona sahipsek:

21

21

695.0305.01028.0417.039.1)(

zzzzzGc

iki fark denklemi aadaki gibidir:

21 028.0417.039.1 iiii pppy 21 695.0305.0 iiii ppep

3 Paralel metodu

Bu metotla, darbe transfer fonksiyonu, ksmi kesirlerine ayrlr ve her bir kesir iin fark denklemi bulunur. Bu fark denklemleri, toplam ktnn, her bir daldan gelen ktnn toplanmasyla elde edildii an paralel kollarna karlk gelir. Bylece, eer Gc(z) iin, A(z), B(z) ve C(z) ksmi kesirlerine sahipsek; a, ekil 11.4te verildii gibidir.

ekil 11.4 Paralel A

rnek olarak, aadaki darbe transfer fonksiyonuna sahip bir kontrolr dnn:

)5.01)(4.01(4.11)( 11

1

zzzzGc

Bu fonksiyon aadaki ksmi kesirleri verir:

11 5.011

4.012)( zzzGc

ve dolaysyla fark denklemleri aadaki gibidir:

iii

i

i

baybebaea

111

111

5.04.02


309

4 Seri metodu

Eer, darbe transfer fonksiyonu, bileenlerine ayrlrsa, bu fonksiyon birbirine seri bir sra elemanlarla gsterilebilir, ounlukla bu gsterim, kaskat olarak tanmlanr. Bylece, eer, Gc(z) = A(z)B(z)C(z) ise, Gc(z)yi ifade eden a, ekil 11.5te gsterildii gibidir.

ekil 11.5 Seri a

rnek olarak, aadaki darbe transfer fonksiyonuna sahip bir kontrolr dnelim:

)4.01)(5.01()1(4)( 11

1

zzzzGc

Bunu, drt seri eleman olarak dnebiliriz:

1

1

1

4.011)(

5.011)(

1)(

4)(

zzD

zzC

zzB

za

a, b, c ve d, bu bloklarn ktlar ise, kontrolr girdisi e ve kontrolr girdisi y ile bu denklemler aadaki gibi yazlabilir:

ii ea 4

1

1

5.0

iii

iii

cbcaab

14.0 iii dcd veya 14.0 iii ycy rneklemearalnnseimi Uzun bir rnekleme aral semek demek, lmler arasndaki zaman arttndan, lmleme yknn azaltlmas anlamna gelir. Bu, ayn zamanda hzl bir analog-dijital dntrc gereksinimini


310

azaltr. Buna ramen, rnekleme aralndaki bir art, rnekler arasndaki bolukta ileme sokulmayan girdi deiimleri olabileceinden dolay, kararszla, bilgi kaybna ve sistemin algoritmasnda doruluk kaybna yol aabilir. Srekli zaman formundan elde edilen bir kontrol algoritmasnda, rnekler arasndaki zaman, ne kadar bykse, ayrk rneklerin srekli zaman formunu tekrar etmesinin doruluu o kadar az olur. Eer rnekleme aral, azaltlrsa ve ok kk yaplrsa, komu rnekler arasndaki fark, ok kk olur. Buna ramen dijital sistemler, sonlu sayda bir kelime uzunluuna sahiptir ve bu nedenle ve sinyalin zmlenebilecei fark iin bir limit vardr. Bylece, eer rnekleme aralnn azaltlmasnn yararl etkileri dnlrse, dijital sistemin kelime uzunluunu arttrmak gerekir. rnekleme araln belirlemek iin deneysel kurallar rnekleme araln belirlemek iin, kullanlan deneysel kurallar aadaki gibidir: 1 Dominant tesis zaman sabiti

rnekleme aral, baskn tesis zaman katsaysnn onda biri byklnde seilir.

2 Ziegler-Nichols tesis modeli varsaym T zaman gecikmesi ve zaman sabit olmak zere, tesisin aadaki ak-dng transfer fonksiyonuna sahip olduu dnlr:

sesG

sT

1)(

Genelde, rnekleme periyodunun 0.05T ve 0.03T arasnda olmas nerilir ve ounlukla 0.25T kullanlr.

3 Kapal-dng performans gereklilikleri Eer, kapal-dng bir kontrol sistemin yerleme zamannn Ts olmas isteniyorsa, rnekleme aral Ts/10dan kk olmaldr. Eer sistemin doal frekansnn n olmas isteniyorsa, rnekleme aral 2/10 nden byk olmaldr, yani rnekleme frekans doal frekanstan 10 kat byk olmaldr.


311

Kontroldngsndekimikroilemci ekil 11.6, kontrolr iin bir mikroilemci kullanld bir tesis kontrol sisteminin temel zelliklerini gsteriyor.

ekil 11.6 Bir mikroilemci ieren kontrol dngs Sensrler, termokuplr (slift), voltmetre (gerilimler), scaklk resistans (diren) elemanlar tarznda gzlenen deikenin byklne bal sinyal veren bir aygttr. Bu tip aygtlar iin sinyal koulu bir ilemsel amplifikatrle oluturulan Wheatstone kprs gibi bir devredir. Sinyaller analogtan dijitale ADC ile dntrlmelidir. Birden fazla sensr bulunduu zaman, ayr bir ADC kullanmak yerine bir oklama/multipleks kullanmak daha uygundur ve bylece, oklayc/multipleksern girdi kanallar, ADCye sinyal verecek biimde seilir. ekil 11.7, bu ilemin temel yaplandrmasn gsteriyor.


312

ekil 11.7 Analog girdi sistemi Baz sensrler ak veya kapal olan devre anahtar olabilir. Bu durumda, sinyaller, mikroilemci tarafndan seilmeden nce iinde depoland bir yazmaca gnderilmelidir. ekil 11.8, bu dzenlemeyi gsteriyor.

ekil 11.8 Dijital girdi sistemi


313

Analog altrclar kullanldnda, yani motor veya stma eleman, mikroilemci kts dijital olduundan, kty analoa dntrmek iin bir DAC kullanlmaldr. Daha sonra sinyal koullamas olarak, altrcy iletmek iin, belki, analog sinyal yeterli biimde ykseltgenebilir. ekil 11.9 analog altrc sistemlerin temel elemanlarn gsteriyor. altrclar, yani rleler, kullanld zaman, sistemin temel formu ekil 11.10da gsterildii gibidir.

ekil 11.9 Analog kt sistemi

ekil 11.10 Dijital kt sistemi


314

Programlanabilir lojik/mantk kontrolrleri Programlanabilir mantk kontrolrleri (PLC), komutlar depolamak ve tesisi kontrol etmede, mantk, sralama, zamanlama, sayma ve aritmetik gibi fonksiyonlarn uygulamas iin programlanabilir bir hafza kullanan mikroilemci-tabanl bir kontrolrdr. Mantk ve devre anahtar ilemleri uygulamalarnda, programlama temel alndndan, mantk terimi kullanlmtr. rnekleme amacyla: A girii aldnda, A kndan sinyal alnacaktr; A veya B girii aldnda, B k gzlenir; A girii aldnda, A kts kapanmadan nce 10 sliine alr; A kts 10 defa aldnda; A kts gzlenir gibi kontrol ilemlerini gerekletirmek iin kullanlr. ekil 11.11 bir PLC sisteminin temel formunu gsteriyor.

ekil 11.11 PLC sistemi

PLCleri programlamada yaygn olarak kullanlan metod, ladder (merdiven) diyagramlarn kullanmaktr. Bir program yazmak, paralel g hatlar arasnda, her biri kontrol operasyonunun bir ilemini belirtmek zere, merdiven ebekesi basamaklarnda yer alan bir dizi devre anahtar iin devre izmekle edeerdir. PLC, bu basamaklar, soldan saa okur ve batan sona inceler. En alt utaki basamaa geldiinde, merdiven ebekesinin en stne geri dner. Her bir basamak, bir girdi veya girdilerle balar ve en azndan bir ktyla sona erer. Girdilerin, ift balantlarla gsterildii dnlebilir ve normal konumlarnda gsterilirler. Bu nedenle bir giri, normalde kapal olan bir giri, ak balantyla gsterilebilir ve


315

normalde ak olan bir giri de kapal balantlarla gsterilebilir. ekil 11.12 kullanlan temel sembolleri gsteriyor.

ekil 11.12 Temel merdiven ebeke program sembolleri

ekil 11.13 kt, A ve B girii aldnda oluur.

ekil 11.14 kt, A girdisi aldnda, B girdisi kapandnda oluur.

ekil 11.15 kt, A veya B girdilerinden biri aldnda oluur.


316

ekil 11.16 A girdisi, geici olarak aldnda, A kts oluur ve kendisiyle ilgili balantlar aar; bu nedenle sonuta girdiyi kilitleyerek A girdisi kapatlsa bile k ak kalr

ekil 11.17 IR bir i rle olarak grev yapar. Bylece, A ve B girdisi aldnda; ara rle alr. Bunun sonucunda, rlenin ilgili balantlar kapanr ve C girdisi ald zaman, A kndan bir kt gzlenir.

ekil 11.18 A Girdisi aldnda, zamanlayc almaya balar. Zamanlaycnn nceden ayarlanan zaman dolduunda, zamanlayc balantlar kapanr ve A kndan sinyal alnr.


317

ekil 11.19 A girii aldnda, saya sfrlanr. B girii aldnda, saya saymaya balar. Saya, nceden ayarland deere geldiinde saya balantlar kapanr ve A kts gzlenir.


318

12.SSTEMDURUMMODELLER Matrisnotasyonveterminolojisi Bir matris, dikdrtgen biiminde, satr ve stunlardan olaan say dizisidir. Elemanlar ve matris arasnda aritmetik bir balant yoktur ve bir btn olarak, matris, nmerik bir deere sahip deildir. Diziler keli [ ] parantez iine yazlr. Bir matrisin boyutu, ierdii satr ve stun saysna gre belirlenir, p satr ve q stuna sahip bir dizinin boyutu p x q matrisi olarak tanmlanr. Ayn satr ve stun saysna sahip bir matris, yani:

43

21

kare matris olarak tanmlanr; kare matrisler iin kuvvet terimi ounlukla stun says olarak kullanlr. Sadece bir stuna ve birden fazla satra sahip bir matris, yani:

41

stun matrisi veya stun vektr olarak tanmlanr. Sadece bir satra sahip bir matris, yani:

52 satr matrisi veya satr vektr olarak tanmlanr. Genelde, satr ve stun vektrlerini gstermek iin kk harfler kullanlmasna ramen, matrisleri belirtmek iin kaln byk harfler kullanlr. Kaln olmayan kk harfler, matrislerin girdilerini; girdinin matristeki yerini belirtmek iin alt son ekle birlikte kullanlr, sonekler girdinin bulunduu satr ve stun yerini belirtir, yani:


319

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

Ana kegen, matrisin sol st kesinden balar ve kegen boyunca aaya saa doru devam eder. Ana kegen elemanlar kegen elemanlar olarak tanmlanr ve bylece, yukardaki matriste bu elemanlar, a11, a22, a33 ve a44tr. Birim matris veya zde matris terimi sembol I ile gsterilir ve ana kegen zerindeki btn girdileri 1dir ve dier btn girdileri 0dr, yani:

100010001

Bir sfr matrisi, sembol 0, btn girdileri sfr olan matristir , yani:

000000000

Durumuzaymodeli Bir sistemin transfer fonksiyonu sistemin balang deerleri sfr olduu zamanki girdi ve ktlarn ilikilendirir ve bir sistem girdisi ve bir sistem kts olmas esasna dayanr. Bir durum uzay modeli, sistem girdi ve kts arasndaki iliki yerine; sistemin ara durumlarn modeller ve oklu girdi ve ktya sahip balang deeri sfr olmayan sistemler ile ilgilenir. Durum deikenleri, sistemin anlk durumunu, durum deikenleri arasndaki ilikiyi tanmlamada durum denklemlerini kullanarak, tanmlamak iin kullanlr. Durum deikenleri tek deildir; buna ramen, ounlukla el altndaki probleme ilikin durum deikenleri alnr, yani kt ve ktnn trevleri. Bir sistemi modellemek iin gerekli durum deikenlerinin ve durum denklemlerinin says sistemin kuvvetine eittir. ekil 12.1(a) ok deikenli sistem prensibini gsteriyor ve ekil 12.1(b), bunu bir yol zerinde hareket eden araba ile rnekliyor. ki girdi gsterilmitir: yolda takip edilen yn ve hz limiti ve iki kt bulunmaktadr: arabann kat ettii yn ve hz.


320

ekil 12.1 ok deikenli sistemler Durum denklemleri Genelde, ninci dereceden bir diferansiyel denklem, n tane birinci derece diferansiyel denkleme ayrlabilir.

ekil 13.2 Yay-amortisr-ktle sistemi Bir yay-amortisr-ktle sistemi iin yazlan ikinci-derece diferansiyel denklemini dnn (denklem [12]-ekil12.2):

2

2

dtydm

dtdyckyF [1]

ki deiken daha setiimiiz varsayalm, x1 ve x2, yer deiim miktar kts ve dieri, ktnn birinci-derece trevi, yani ktnn hz:

dtdyxve yx 21 [2]


321

Seilen deikenleri diferansiyel denklemde yerine koyarsak, yeni deikenlere sahip bir denklem elde edilir:

mFx

mcx

mk

dtdx 212 [3]

ve denklem [2] yardmyla aadaki denklemi elde ederiz:

21 x

dtdx [4]

ikinci-derece diferansiyel denklem [1], bylece iki tane e zamanl birinci-derece denklem [3] ve [4] ile yer deitirdi; birinci-derece denklemler, durum denklemleridir ve bu denklemle ilikilendirilen iki deiken x1 ve x2 durum deikenleridir. Benzer biimde nc-derece diferansiyel denklem, tane bir diferansiyel denklemle, drdnc-derece bir diferansiyel denklem, drt tane birinci-derece diferansiyel denklemle ifade edilebilir. kinci-derece bir diferansiyel denklem yerine geen iki durum denklemi [3] ve [4], matris formunda aadaki gibi yazlabilir.

Fmx

x

mc

mk

dtdxdtdx

1010

2

1

2

1

[5]

ve bu matris durum denklemleri aadaki gibi yazlabilir:

)()()( tButAxdt

tdx [6] x durum vektr ve u(t) sistem girdisi, bu durumda kuvvet F, olarak adlandrlr. A durum matrisidir ve B girdi matrisidir. kt denklemleri terimi, kt deikeninin durum deikenleri, girdiler ve olas zaman ile cebirsel olarak ifade edilmesi durumu iin kullanlr. Genelde, bir sistem kts, durum vektrleri ve girdilere bal bir fonksiyondur ve aadaki forma sahip bir matris, kt denklemi ile ifade edilir:

)()()( tDutCxty [7] C kt matrisi olarak, D direk gei matrisi olarak adlandrlr. D, sistem girdisi ve sistem kts arasnda direk bir iliki verir ve ounlukla sfr matrisine eittir; yani btn elemanlar sfrdr. Yukardaki rnek iin, matris kt denklemi aadaki gibidir:


322

2

101yy

y [8]

ve dolaysyla, y = x1dir, kt matrisi C [1 0 ]dr ve direk aktarm matrisi, sfr matrisidir. Durum denklemlerinin gelitirilmesine ynelik daha ileri bir rnek iin, ekil 12.3te gsterilen hidrolik sistemini dnn:

ekil 12.3 Hidrolik sistem ki-girdili ve iki-ktl bir sisteme sahibiz. Tank 1 iin:

dtdhAqqq oi 1111 [9]

Rqgh o11 [10] ve aadaki denklem ile qRghgh 21 [11] Tank 2 iin,

dtdhAqqq oi 2222 [12]

Rqgh o22 [13] denklem [10]daki q1oyu ve denklem [11]deki qyu denklem [9]da yerine koyarsak, aadaki durum denklemini elde ederiz.

1

12

11

1

1 2Aqh

RAgh

RAg

dtdh i [14]

Benzer biimde, ikinci durum denklemini elde etmek iin denklem [12]yi kullanabiliriz:


323

2

22

21

2

2 2Aqh

RAgh

RAg

dtdh i [15]

Denklem [14] ve [15]i matris denklemi olarak aadaki gibi yazabiliriz:

ii qqA

A

hh

RAg

RAg

RAg

RAg

dtdhdtdh

y

21

2

1

2

1

22

112

1

10

01

2

2

01

[16]

Denklem [10] ve denklem [13] kt denklemlerini verir ve dolaysyla:

2

1

2

1

0

0

hh

Rg

Rg

qq

o

o

[17]

Durum denkl

Documents

Kontrol Sistemleri