Konvolusi Dan Transformasi FourierMateri pertemuan ke 4Eri Prasetyo W

Teori KonvolusiKonvolusi dua buah fungsi f(x) dan g(x) didefinisikan sebagai berikut :

Integral dari tak hingga sampai tak terhinggaUntuk fungsi diskrit , konvolusi didefinisikan sebagaig(x) disebut dengan kernel konvolusi (filter) , kernel g(x) merupakan jendela yang dioperasikan secara bergeser pada sinyal masukan f(x) hasil konvolusi dinyatakan dengan keluaran h(x)Perhitungan hasil konvolusi diperlihatkan pada gambar a f, dan hasil konvolusi ditunjukkan pada gambar gf(x) * g(x) = x/2 , 0

Ilustrasi proses konvolusi

121/2xf(x)*g(x)(g)Contoh ilustrasi konvolusi lain adalah impulseFungsi ImpulseFungsi Delta Dirac pada domain kontinue dan Fungsi Delta Kronecker pada domain diskrit d(x) yang mempunyai nilai 1 pada suatu x dan mempunyai nilai 0 pada x lainnya.1x d(x)

Impulse ResponseImpulse ResponseMenurut teori filtering, pada sistem yang ideal, sinyal yang masuk (impulse) sama dengan sinyal yang keluar (impulse response). Hal tersebut dapat digambarkan dengan transfer function dalam bentuk fungsi Delta Dirac.Sistem yang ideal f(x) d(x) f(x)*d(x)proses konvolusi

POINT SPREAD FUNCTION (PSF)(FUNGSI SEBARAN TITIK)Sistem yang tidak idealPada sistem yang tidak ideal, sinyal yang masuk mengalami degradasi atau penurunan kwalitas.Blurring f(x) g(x) f(x)*g(x)an impulse is a point of light g(x) blurs the point (optical phenomenon yang disebut point spread function - PSF)g(x) juga disebut sebagai impulse response function

proses konvolusi

Konvolusi pada fungsi DwimatraFungsi malar

Fungsi diskritFungsi penapis g(x,y) disebut juga convolution filter, convolution mask, convolution kernel atau template.Dalam bentuk diskret kernel konvolusi dinyatakan dalam bentuk matriks, misal 2x2, 3x3, 2x1 atau 1x2

Ilustrasi konvolusiF(i,j)=Ap1+Bp2+Cp3+Dp4+Ep5+Fp6+Gp7+Hp8+Ip9Contoh: misal citra f(x,y) yang berukuran 5x5 dan sebuah kernel dengan ukuran 3x3, matriks sebagai berikut :4 4 3 5 40 -1 06 6 5 5 2g(x,y)=-1 4 -1F(x,y)=5 6 6 6 2 0 -1 06 7 5 5 33 5 2 4 4

Operasi konvolusi antara citra f(x,y) dengan kernel g(x,y),F(x,y)*g(x,y)

Menghitung hasil konvolusi

Menempatkan kernel pada sudut kiri atas , kemudian hitung nilai pixel pada posisi (0,0) dari kernel :hasil = 3Geser kernel satu pixel ke kanan ,kemudian hitung nilai pixel pada posisi (0,0) dari kernel:hasil = 0Selanjutnya dengan cara yang sama geser ke kanan, dstGeser kernel satu pixel ke bawah, lakukan perhitungan seperti diatasNilai pixel citra tepi tidak berubah

4 4 3 5 46 3 0 2 25 0 2 6 2 = hasil konvolusi6 6 0 2 33 5 2 4 4

Transformasi FourierMengapa perlu transformasi ?Setiap orang pada suatu saat pernah menggunakan suatu teknik analisis dengan transformasi untuk menyederhanakan penyelesaian suatu masalah [Brigham,1974]Contoh: penyelesaian fungsi y = x/zAnalisa konvensional : pembagian secara manualAnalisa transformasi : melakukan transformasi log(y) = log(x) log(z)look-up table pengurangan look-up table

Transformasi juga diperlukan bila kita ingin mengetahui suatu informasi tertentu yang tidak tersedia sebelumnyaContoh : jika ingin mengetahui informasi frekuensi kita memerlukan transformasi FourierJika ingin mengetahui informasi tentang kombinasi skala dan frekuensi kita memerlukan transformasi waveletTransformasi citra, sesuai namanya, merupakan proses perubahan bentuk citra untuk mendapatkan suatu informasi tertentuTransformasi bisa dibagi menjadi 2 :Transformasi piksel/transformasi geometris:Transformasi ruang/domain/spaceTransformasi Citra

Transformasi PixelTransformasi piksel masih bermain di ruang/domain yang sama (domain spasial), hanya posisi piksel yang kadang diubahContoh: rotasi, translasi, scaling, invers, shear, dll.Transformasi jenis ini relatif mudah diimplementasikan dan banyak aplikasi yang dapat melakukannya (Paint, ACDSee, dll)

Transformasi RuangTransformasi ruang merupakan proses perubahan citra dari suatu ruang/domain ke ruang/domain lainnya, contoh: dari ruang spasial ke ruang frekuensiMasih ingat istilah ruang ? Ingat-ingat kembali pelajaran Aljabar Linier tentang Basis dan Ruang Contoh : Ruang vektor. Salah satu basis yang merentang ruang vektor 2 dimensi adalah [1 0] dan [0 1]. Artinya, semua vektor yang mungkin ada di ruang vektor 2 dimensi selalu dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari basis tersebut.

Ada beberapa transformasi ruang yang akan kita pelajari, yaitu :Transformasi Fourier (basis: cos-sin)Transformasi Hadamard/Walsh (basis: kolom dan baris yang ortogonal)Transformasi DCT (basis: cos)Transformasi Wavelet (basis: scaling function dan mother wavelet)

Pada tahun 1822, Joseph Fourier, ahli matematika dari Prancis menemukan bahwa: setiap fungsi periodik (sinyal) dapat dibentuk dari penjumlahan gelombang-gelombang sinus/cosinus.Contoh : Sinyal kotal merupakan penjumlahan dari fungsi-fungsi sinus berikut (lihat gambar pada halaman berikut)Transformasi Fourierf(x) = sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7 + sin(9x)/9

Hasil dalam transformasi fourier Cobakan juga program matlab berikut untuk melihat sampai batas n berapa fungsi yang dihasilkan sudah berbentuk fungsi kotak.

function kotak(n)t = 0:pi/200:8*pi;kot = sin(t);for i = 3 : 2: n kot = kot + (sin(i*t))/i;endplot(kot)Fungsi kotak sebagai penjumlahan fungsi-fungsi sinus

Gambar a) n = 1, b) n =3, c) n = 7, d) n = 99(a)(c)(d)(b)

FT - MotivasiJika semua sinyal periodik dapat dinyatakan dalam penjumlahan fungsi-fungsi sinus-cosinus, pertanyaan berikutnya yang muncul adalah:Jika saya memiliki sebuah sinyal sembarang, bagaimana saya tahu fungsi-fungsi cos sin apa yang membentuknya ?Atau dengan kata lainBerapakah frekuensi yang dominan di sinyal tersebut ?Pertanyaan di atas dapat dijawab dengan menghitung nilai F(u) dari sinyal tersebut. Dari nilai F(u) kemudian dapat diperoleh kembali sinyal awal dengan menghitung f(x), menggunakan rumus:

Rumus FT 1 dimensiRumus FT kontinu 1 dimensiRumus FT diskret 1 dimensiContoh berikut diambil dari Polikar (http://engineering.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html)

Misalkan kita memiliki sinyal x(t) dengan rumus sbb:x(t) = cos(2*pi*5*t) + cos(2*pi*10*t) + cos(2*pi*20*t) + cos(2*pi*50*t)Sinyal ini memiliki empat komponen frekuensi yaitu 5,10,20,50

Contoh FT 1 dimensiContoh berikut diambil dari Polikar (http://engineering.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html)

Misalkan kita memiliki sinyal x(t) dengan rumus sbb:x(t) = cos(2*pi*5*t) + cos(2*pi*10*t) + cos(2*pi*20*t) + cos(2*pi*50*t)Sinyal ini memiliki empat komponen frekuensi yaitu 5,10,20,50

Contoh sinyal 1 Dimensi x(t)Gambar sinyal satu dimensi dengan rumusx(t)= cos(2*pi*5*t) + cos(2*pi*10*t) + cos(2*pi*20*t) + cos(2*pi*50*t)

(Sumber: Polikar)

FT dari sinyal tersebutFT dari sinyal tersebut.Terlihat bahwa FT dapat menangkap frekuensi-frekuensi yang dominan dalam sinyal tersebut, yaitu 5,10, 20, 50

(nilai maksimum F(u) berada pada angka 5,10, 20, 50)

Contoh Penghitungan FT 1 dimensi (Gonzalez hlm 90-92)

Contoh Penghitungan FTHasil penghitungan FT biasanya mengandung bilangan real dan imajinerFourier Spectrum didapatkan dari magnitude kedua bilangan tersebut shg|F(u)| = [R 2(u) + I 2(u)]1/2Untuk contoh di halaman sebelumnya, Fourier Spectrumnya adalah sebagai berikut:

|F(0)| = 3.25|F(1)| = [(-0.5)2+(0.25)2]1/2 = 0.5590|F(2)| = 0.25|F(3)| = [(0.5)2+(0.25)2]1/2 = 0.5590

Rumus FT 2 dimensiRumus FT 2 dimensi

Contoh FT 2 Dimensi Sumber: http://www.icaen.uiowa.edu/~dip/LECTURE/LinTransforms.htmlUntuk menampilkan nilai FT suatu citra, karena keterbatasan display, seringkali digunakan nilai D(u,v)= c log [1 + |F(u,v)|]