Korelacje

Korelacje

Współczynnik: Pearsona, Spearmana, Czuprowa

Dr Dariusz Chojecki, Instytut Historii i Stosunków Międzynarodowych US

Korelacja dodatnia

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 10 20 30 40 50

X

Y


Korelacja ujemna

0

5

10

15

20

25

30

35

0 10 20 30 40

X

Y


Korelacja krzywoliniowa

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 20 40 60 80 100

X

Y


Brak korelacji

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50

X

Y


Zmienna X;Y – przykład idealnej korelacji dodatniej

X Y Para X;Y X Y

10 30 1 30 10

20 40 2 40 20

50 70 3 70 50

30 50 4 50 30

40 60 5 60 40

Wraz ze wzrostem (spadkiem) zmiennej X rośnie (maleje) zmienna Y.

Współzależność symbolizowana wartością współczynnika równą „+1”


Zmienna X;Y – przykład idealnej korelacji ujemnej

X Y Para X;Y X Y

10 50 1 50 10

20 40 2 40 20

50 10 3 10 50

30 30 4 30 30

40 20 5 20 40

Wraz ze wzrostem (spadkiem) zmiennej X maleje (rośnie) zmienna Y.

Współzależność symbolizowana wartością współczynnika równą „−1”


Zmienna X;Y – przykład zupełnego braku korelacji

X Y Para X;Y X Y

10 30 1 30 10

20 40 2 40 20

50 40 3 40 50

30 30 4 30 30

40 20 5 20 40

Wraz ze wzrostem (spadkiem) zmiennej X maleje (rośnie) zmienna Y.

Współzależność symbolizowana wartością współczynnika równą „0”


Współczynnik korelacji a regresja

Współczynnik korelacji mierzy siłę zależności między badanymi zmiennymi.

Analiza regresji wskazuje na to, jakiej zmiany średniej wartości zmiennej zależnej należy oczekiwać przy zmianie wartości zmiennej niezależnej o jednostkę


PKB A TFR w wybranych krajach

Kraje PKB TFR

Arabia Saudyjska 8,5 4,10

Australia 26,5 1,75

Austria 31,2 1,40

Gabon 4,2 4,00

Gujana Franc. 9,7 3,40

Gwatemala 2,0 4,60

Izrael 18,1 2,90

Japonia 33,8 1,33

Kamerun 0,8 4,60

Niemcy 29,1 1,30


Diagram korelacyjny

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

0 5 10 15 20 25 30 35

PKB

TF

R


Wyznaczanie linii regresji metodą średnich połówkowych

PKB TFR

0,8 4,60

2,0 4,60

4,2 4,00

8,5 4,10

9,7 3,40

18,1 2,90

26,5 1,75

29,1 1,30

31,2 1,40

33,8 1,33

7,1

7,27

1,4

0,5

9,13

2

2

1

1

TFR

PKB

TFR

PKB

PKB

Y

X

Y

X

Me

I

II


Linia regresji i funkcja regresji

y = -0,1061x + 4,6774

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

0 5 10 15 20 25 30 35

PKB

TF

R

Przykład:

gdy x=15, to y=3,1


Współczynnik korelacji liniowej Pearsona

N

nyyxxxyyx

N

yyxxxyyx

ysxs

yxrr

ij

k

ij

r

ii

i

n

ii

yxxy

1 1

1

)()(),cov(),cov(

)()(),cov(),cov(

)()(

),cov(

100

1,12

xy

yxxy

r

rr rxy <= 0,3 to korelacja niewyraźna

0,3 < rxy<= 0,5 to korelacja średnia

rxy > 0,5 to korelacja wyraźna

=pearson(zmienna X;zmienna Y)

dane indywidualne

dane pogrupowane


Obliczenia wsp. korelacji Pearsona - dane indywidualne

%6,971009879,0

9879,031,123,12

87,15

87,1510

70,158),cov(

31,1

23,12

94,2

39,16

2

xy

xy

TFR

PKB

TFR

PKB

r

r

yx

S

S

x

x

Kraje PKB TFR 1a 1b 2

Arabia Saudyjska 8,5 4,10 -7,89 1,16 -9,17

Australia 26,5 1,75 10,11 -1,19 -12,01

Austria 31,2 1,40 14,81 -1,54 -22,78

Gabon 4,2 4,00 -12,19 1,06 -12,95

Gujana Franc. 9,7 3,40 -6,69 0,46 -3,09

Gwatemala 2,0 4,60 -14,39 1,66 -23,92

Izrael 18,1 2,90 1,71 -0,04 -0,06

Japonia 33,8 1,33 17,41 -1,61 -28,00

Kamerun 0,8 4,60 -15,59 1,66 -25,91

Niemcy 29,1 1,30 12,71 -1,64 -20,82

Razem -158,70

Razem/N -15,87

iloczyn odchyleń 16,06


Współczynnik korelacji kolejnościowej (rang) Spearmana

2

21

2

100

11

)1(

61

s

s

n

ii

s

r

r

nn

dr


Rangowanie proste

lp Ocena X Ocena Y Ranga X Ranga Y

1 2 3 1 1

2 3 4 2 3

3 3,5 3,5 3 2

4 5 5 5 5

5 4 4,5 4 4


Rangowanie złożone

lp Ocena X Ocena Y Ranga X Ranga Y

1 3,5 3 2,5 1

2 3 4 1 3

3 3,5 4 2,5 3

4 5 5 5 5

5 4 4 4 3


Diagram korelacyjny

Ocena stabilności państw

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

ONZ

adm

inis

trac

ja U

SA


Obliczenia wsp. korelacji Spearmana

ONZadmini-

stracja USA1 1a 2 2a 3 4

A 8 9 2 2 1 1 0 0B 10 10 4 4 2,5 2 0,5 0,25C 9 8 4 5 2,5 3 -0,5 0,25D 5 6 5 6 4 4 0 0E 9 9 8 9 5,5 8,5 -3 9F 4 4 8 7 5,5 5 0,5 0,25G 8 7 9 8 8 6,5 1,5 2,25H 2 2 9 9 8 8,5 -0,5 0,25I 9 8 9 8 8 6,5 1,5 2,25J 4 5 10 10 10 10 0 0

razem 14,5

nota obliczenia pomocniczepaństwa

91,0)110(10

5,1461

2

sr

%8391,0100 2


Współczynnik korelacji Czuprowa

kolumn liczba -

wierszyliczba -

obserwacji liczba -

kwadrat-chi statystyka -

:gdzie

)1)(1(

2

2

k

w

n

kwnTxy


Stosunek studentów do przedmiotu Statystyka (skrajny wariant pesymistyczny)

Płeć

Stosunek do przedmiotu Statystyka Razem

lubią nie lubią

mężczyźni − 60 60

kobiety − 60 60

Razem − 120 120

Brak asocjacji – skojarzenia cech – symbolizowany wartością współczynnika równą zero (statystyka chi-kwadrat równa zero).


Stosunek studentów do przedmiotu Statystyka (umiarkowany wariant optymistyczny)

Płeć


lubią nie lubią

mężczyźni 20 40 60

kobiety 20 40 60

Razem 40 80 120

Tu też brak asocjacji – skojarzenia cech – symbolizowany wartością współczynnika równą zero (statystyka chi-kwadrat równa zero).


Stosunek studentów do przedmiotu Statystyka (skrajny wariant optymistyczno-pesymistyczny)

Płeć


lubią nie lubią

mężczyźni − 60 60

kobiety 60 − 60

Razem 60 60 120

Idealna asocjacja – skojarzenie cech – symbolizowana wartością współczynnika równą jeden (w tym wypadku statystyka chi-kwadrat równa 120).


Stosunek studentów do przedmiotu Statystyka (umiarkowany wariant optymistyczno-pesymistyczny)

Płeć


lubią nie lubią

mężczyźni 20 40 60

kobiety 40 20 60

Razem 60 60 120

Umiarkowana asocjacja – skojarzenie cech – symbolizowana wartością współczynnika mieszczącą się w przedziale od więcej niż 0 do mniej niż 1 (w tym wypadku statystyka chi-kwadrat równa 13,33).


Obliczanie wartości statystyki chi-kwadrat

n

nnn ji

ij

.

Zmienne X oraz Y mogą być dowolne (jakościowe, ilościowe).

Zmienna x Zmienna y ni .

y1 y2 ... yk

x1 n11 n12 ... n1k n1.

x2 n21 n22 ... n2k n2.

: : : ... : :

xw nw1 nw2 ... nwk nw.

n.j n.1 n.2 ... n.k n

gdzie: w – liczba wierszy; k – liczba kolumn.


Orientacja w polityce a wykształcenie (wielkości empiryczne – obserwowane)

Orientacja w polityce międzynarodowej

Wykształcenie słabaDostate-

czna dobrabardzo dobra Razem

podstawowe 115 30 10 5 160

średnie 10 25 30 20 85

wyższe 10 20 55 70 155

Razem 135 75 95 95 400


Obliczanie liczebności teoretycznych – oczekiwanych


Wykształcenie słaba dostateczna dobra bardzo dobra

podstawowe 54,0 30,0 38,0 38,0

średnie 28,7 15,9 20,2 20,2

wyższe 52,3 29,1 36,8 36,8

160*135/400

20*75/400

85*95/400


Obliczanie statystyki chi-kwadrat

w

i

k

j ij

ijij

n

nn

1 1

2


Obliczanie wartości chi-kwadrat

Σ Σ = 216,24


Wykształcenie słaba dostateczna dobra bardzo dobra

podstawowe 68,9 0,0 20,6 28,7

średnie 12,2 5,2 4,8 0,0

wyższe 34,2 2,8 9,0 29,9

(115-54)^2/54

(20-29,1)^2/29,1

(20-20,2)^2/20,2


Obliczanie współczynnika Czuprowa

542,0)14()13(400

24,216

xyT


Documents

Korelacje