RapportKraft p strmfrende lederi statisk magnetfelt1

Kristian S Sagmo

ved Institutt for fysikk, NTNU, N-7491 Trondheim, Norge4. april 2011

SammendragVi underskte magnetiske krefter i et homogent magnetfelt ved et oppsett sominkluderte en elektromagnetisk vekt, en permanentmagnet og strmfrende leder ellerspole. Ved enkeltvis endring av parametrene lengde l, strmstyrke I og vinkel mellom lederretning og magnetfeltlinjene, underskte vi hvordan kraftutslaget endret seggjennom endringen av en eektiv masse M mlt p vekta. Det ble funnet en tilnrmetliner sammenheng mellom resultantkraften og henholdsvis endring av lengden, strmstyrken og sinusfunksjonen til vinkelen. Vi fant at kraften p lederen fra magnetfeltetvil ke proporsjonalt med disse, og unngikk dermed falsisere ligning (4) som varutgangspunktet for de empiriske underskelsene. Sentrale resultat fra forsket er stigningstallene a1 og b1 til lineregresjonen av mlepunktene fra henholdsvis kraft somfunksjon av strmstyrke I og kraft som funksjon av lederlengde l. De teoreitske verdiene for samme betingelser gitt i a01 og b01 .a01 = (0.2856 0.0001)g/A, a1 = (0.2864 0.0001)g/Ab01 = (30.7 0.1)g/m, b1 = (28.8 0.3)g/m

1

InnledningMagnetisk kraft utgjr sammen med elektrisk kraft en av de re fundamentale kraftvirkningene fysikere opererer med i dag; elektromagnatisk kraft. Begge to er knyttet til ladninger og forklares som en utveksling av fotoner. Kraften p lederen vi observerer oppstr som flge av vekselvirkningen mellom elektronene som passerer gjennom lederenog magneten. Utgangspunktet for magnetisk kraft som inngr i det totale uttrykketfor elektisk og magnetisk kraft, kalt Lorentzkraft, som beskrevet i likning (1). Spesieltfor den magnetiske kraftkomponenten er som tydelig kommer frem at en bevegelse erndvendig, jf. hastighetsvektoren ~v som inngr i den generelle likningen (2).Hensikten med rapporten er fremstille underskelsen av magnetisk kraft gjennom tre delforsk angende magnetisk kraft og vurdere resultatene opp i mot kjentelikninger. Det teoretiske grunnlaget er alts kjente tidligere observerte sammenhengermellom magnetisk kraft og ladde partikler. Dette blir gjort ved frst se p likning(2) i teoridelen, som er det faktiske grunnlaget for likning (5) som danner basis forden direkte sammenlikningen.Vektorligningen (2) danner alts, kronologisk sett, grunnlaget for en magnetiskekrefter og ble i sin nvrende form presentert av den engelske naturvitenskapsmannen Oliver Heaviside i 1880 - rene. Det skal legges til at forskningen p elektriskladde partikler strekker seg tilbake i tid til medio 1700- tallet. Konsekvenser av eksistensen av vekselvirkningen virkningen er selvsagt er observert mye tidligere enn dette,eksempelvis gjennom kompassbruk.

TeoriMed utgangspunkt i Lorentzkraften gitt i likning (1) skal det vises hvordan denne kanomskrives til en form som passer bedre for underskelser utfrt p en kjent leder.~ + q~v B~F~ = Eq

(1)

Ettersom det elektriske feltet inne i en leder netto er lik 0 fr vi kun et magnetiskkraftbidrag gitt ved uttrykket i likning (2). Der ser vi at kraften F er en funksjon av~.ladningen q , ladningens hastighet ~v , og magnetfeltet B~F~ = q~v B

(2)

Ettersom hastigheten ~v ikke er triviell mle og kontrollere i seg selv er en omskrivning av likningen nskelig. Frst kan vi ta i bruk at vi har en leder og omdenereq og ~v . Vi kan da skrive at ladningen qe = nAl, der n er elektrontetthet, A er ettverrsnitt og ~l er lengde av lederen i strmretning. Vi ser p netto driftsfart langslederen og skriver derfor v~d for ~v . Ligningen tar dermed formen~l.~F~ = qe (v~d B)nA

(3)

Strmstyrke I er en skalar strrelse som kan reguleres med en strmforsyning ogmles nyaktig p et ampremeter, og det vil derfor vre fordelaktig f inn I somparameter. Bruker at I , per denisjon, er ladninger som passerer et tverrsnitt persekund og fr dermed omskrevet ligningen til uttrykket~F~ = I~l B.

(4)

Deretter er det bare bruke at kryssproduktet av to vektorer er lik lengden ogsinus til vinkelen mellom dem som girF = IlB sin.

2

(5)

Denne likningen (5) vil videre vre utgangspunktet for teoretiske beregninger,og inneholder alle parametrene som skal varieres; Strmmen I , lederens lengde l og~ . Vi ser at den er proporsjonal medsinusfunksjonen til vinkelen, sin, mellom ~l og Balle disse for et konstant magnetfelt.For kunne mle kraft taes en elektromagnetisk vekt i bruk. Skalarformen av Newtonsandre lov for tyngdekraften p stedet,likning (6), viser at denne er proporsjonal medden eektive massen M .(6)

F = M g,

der g , som kjent, er tyngdeakselerasjonen p stedet. Ved sette inn at magnetiskkraft er lik tyngdekraft (7), som den vil vre nr masseutslaget er i likevekt, fr vi etuttrykk for den eektive massen som funksjon av vre denerte parametre,M=

IlBsin.g

(7)

Dette betyr at vi kan bruke det at massen er lik en konstant, det vil si de konstante parametrene, ganger det vi varierer. Konstanten blir da lik stigningstallet tillinerregresjon av mlingene i MATLAB, og uttrykkes teoretisk veda01 =

lB,g

(8)

b01 =

IB,g

(9)

samt

for henholdsvis variabel strm I og variabel lederlengde l.Videre har en funnet det ndvendig denere de aktuelle lederlengdene l som(10)

l = l0 t,

der l0 er lederlengden mlt fra ytterpunkt til ytterpunkt og t er lederens bredde.Dette burde bli mer korrekt enn g utifra l = l0 ettersom en m annta at elektroneneer fordelt inne i lederen, snarere enn p overaten. Nrmere forklaring p dette kreveregentlig mer komplisert atom-teori, som en ikke vil g nrmere innp her. Likevel kanen ogs kort nevne at enkle kaos-teori prinsipper tilsier at det er mer sannsylig foret antall elektrone utnytte rom, enn at alle skal benne seg p samme punkt innei/utenp lederen. Videre, tilsier prinsippet om minste motstands vei at elektronene vilflge en kortere bane enn ytter banen i lederen. Hva denne denisjonen av l vil ha si for forsksresultatene vil bli tatt opp under diskusjons-seksjonen.I forsket skal det underskes om a01 og b01 stemmer overens med a1 samt b1 gittav mleseriene. Usikkerheten i de aktuelle parametrene for beregning av de teoretiskeverdiene vil pvirke sammenligningsgrunnlaget, og ved hjelp av Gauss' feilforplantningslov kan det vises at vi fr utrykketa01

s=

ll

2

II

2

BB

2

BB

2

+

a01 ,

(11)

for usikkerheten i a01 , samtb01

s=

+

b01 ,

(12)

for usikkerheten i b01 . Det forutsettes her at g er sikker, relativt til andre strrelser,og vil eventuelt inng som en systematisk feil. Dette omtales nrmere i diskusjonen.

3

Metode og apparaturI forsket var det nskelig se p tre forskjellige sammenhenger. Disse vil bli presentert i rekkeflgen de ble utfrt.

Figur 1: Figuren viser det generelle oppsettet for alle tre delforsk. Armen som holder kretskortet

er s koblet i serie til type Delta strmforsyning, via et multimeter til mling av strm i kretsen.

Ved underskelse av kraftutslag som funksjon av strm ble det montert en lederbane av type 1, vist i gur 2, normalt p et statisk magnetfelt. Her ligger det enutfordring i f kortet og lederlengden til st s normalt som mulig p B-feltet, noesom kan munne ut i en systematisk feil. For danne magnetfeltet ble det brukt entype permanent magnet. Denne var montert p en digital vekt av typen; Mettler, modell PM480, usikkerhet 1 mg. Deretter mltes vektutslag som funksjon av variendelikestrm (se Fig 4, resultater). Vektutslaget er som kjent proporsjonalt med kraftutslaget og danner et godt bilde over sammenhengen. Vekten ble nullstillt til magnetensegenmasse og mler dermed kun vekten utgjort av kraften som magnetfeltet utverp lederbiten.Nr en s skulle se p lederlengdens betydning for kraftutslag ble det montert ulikestrmbanekort av overnevnte type (Fig 2) og registrert vektutslag ved konstant strm.Se resultatene i tabell 2 og gur 6. Mleteknisk oppstr her et problem i deneringav lederens lengde (illustrert i Fig 2), men dette taes nrmere opp under diskusjonen.Ved forsket ble likevel lederens lengde l0 mlt fra ytterpunkt til ytterpunkt, samt enbredde t av de respektive banene og utfra dette funnet en midlere lengde l.Ved begge disse to del-forsk ble samme hesteskoformede permanentmagnet brukt(Fig 1), der magnetens feltstyrke ble mlt med et gauss-meter via en Hallprobe.Mleteknisk skal det her nevnes at ettersom magnetens statiske magnetfelt ikke eruniformt ligger det en utfordring i f registrert en representativ verdi for feltetsukstetthet.Siste del av forsket bestod i montere en dreibar spole i en ksert hyde overen litt bredere type hesteskomagnet (se Fig. 3). Spolen ble montert med gradskiveog vektutslag som funksjon av vinkelutslag er listet under resultater i tabell 3 medtilhrende gur 8.Spesikt er det absoluttverdien av kraften som skal mles og dermed er det foretattfortegnskifte p en serie av data for masse M kunne gi et bedre sammenlikningsgrunnlag ved ha alle deriverte som positive. Dette gjelder for tabell 3.4

Figuren viser et par eksempler p hvordan kretskortene er utformet, samt en indikasjonp lederlengden l som er tatt opp under diskusjonen. En ser problemet i denere lengden slikillustrert, da det er lite sannsynlig at elektronene vil flge ytterpunktene til lederbanen, somomtalt i diskusjonen.Figur 2:

Her er oppsett for tredje del av forsket, kraftutslag som flger av vinkel mellom lederog magnetfelt. En prinsippskisse er inkludert for klarhet (sett oventifra).

Figur 3:

5

Sentralt i beregningene var et regresjonsskript med tilhrende funksjoner skreveti programmerinssprket MATLAB, for matematikkprogrammet av samme navn. Derble minste kvadraters metode benyttet for lage en regresjonlinje mellom mlepunktetene og dermed ville avviket fra linja fortelle oss hvordan den faktiske lineritetentil mlepunktene vre var.

6

ResultaterResultatene vil bli presentert som tabeller og grafer produsert utifra dataene gitt der.Rekkeflgen i seksjonsteksten er som i fremgangsmten presentert kronologisk.For ha et sammenlikningsgrunnlag har vi kommet frem til teoretiske stigningstall somgitt i likningene for teoretisk a1 (8) og teoretisk b1 (9), med usikkerheter fra henholdsvis(11) og (12). Disse gir oss da a01 = (0.2856 0.0001)g/A og b01 = (28.8 0.03)g/m.a01 sammenliknet med stigningstallet fra MatLab - regresjonen a1 = (0.28640.0001)g/A,se gur 4, plottet p bakgrunn av tabell 1 ser vi at vi har et avvik strrelsesmessig, ogusikkerhetsintervallet ir ikke overlappende. Verdiene m alts vre skilt av en systematisk feil. Usikkerheten, eller avviket i plottet er begge av samme lave strrelsesordenog tilnrmet ser det dermed at vi har en god linerisering for masse og dermed kraftsom funksjon av strm. Usikkerheten viser som vist i gur 5 ingen trend. Det kannevnes at to av 28 punkt skiller seg ut negativt.b01 sammenliknet med stigningstallet fra MatLab - regresjonen b1 = (28.80.03)g/m

, se gur 6 ser vi at vi har et avvik strrelsesmessig, det heller ikke her overlapp mellom usikkerhetsintervallene. Verdiene m alts vre skilt av en systematisk feil. Viser likevel en tydelig linerisering. Usikkerheten er her mye strre i mlingene en denteoretisk beregnede. Det er et tegn p en variabel strrelse det ikke er tatt hensyn til.Se gur 7 for avviksplot.Til sist er resultatverdier for kraft som funksjon av vinkel listet i tabell 3 medtilhrende sinusregresjon, samt en linerregresjon av sin(). Alle vinkler er i kurvediagrammene konvertert til radianer fra grader.

7

Tabell 1: Mlte data for Masse

M

ved variabel strm

I

ved

l = (0, 0418 0, 0005)m

og

B = (0, 0671 0, 00022)TI

M

(A)

(g)

0,000

0,000

0,098

0,027

0,202

0,058

0,301

0,085

0,405

0,116

0,503

0,144

0,706

0,202

0,908

0,260

1,101

0,314

1,306

0,373

1,501

0,429

1,708

0,489

1,901

0,542

2,103

0,602

2,311

0,661

2,511

0,719

2,714

0,776

2,916

0,835

3,104

0,889

3,301

0,945

3,515

1,006

3,706

1,061

3,904

1,118

4,101

1,174

4,309

1,234

4,500

1,287

4,731

1,355

4,909

1,406

Tabell 2: Mlte data for masse

M

t og ytre dimensjon l0 ,B = (0, 0671 0, 0002)T

gitt i ligning (10). Mlt ved

bredde

l

ved variabel lengde l, beregnet fra korresponderende

l0

M

t

(A)

(g)

(m)

(m)

0,0122

0,352

0,0102

0,0020

0,0220

0,664

0,0200

0,0020

0,0321

0,969

0,0302

0,0019

0,0640

1,862

0,0622

0,0018

0,0840

2,438

0,0821

0,0019

8

I = (4, 500 0, 0005)A

og

Tabell 3: Mlte data for Masse

M

ved variabel vinkel og den mlte vinkelen

M

(A)

( )

-0,253

-90

-0,328

-85

-0,332

-75

-0,308

-65

-0,228

-45

-0,118

-25

-0,008

-5

0,110

15

0,230

35

0,336

55

0,397

75

0,403

95

.

DiskusjonUnder resultatene er det listet en svrt liten a1 regnet utifra regresjonen og en kandermed med god sikkerhet pst liner sammenheng mellom strm i leder og magnetisk kraftutslag. Eventuelt feil vil her srlig kunne ligge i verdiene for mlte masseav magnet, ettersom det under eksperimentet foregikk en del rystninger i laboratorietsom kunne gi feilutslag p vekten p opptil 0.2 g.Feilkilder i g , B og l vil her halite si, ettersom det kan antaas at disse er de samme, relativ til hver mle verdi, ogvil kun kunne forskyve lineriseringen noe. Dette kan s resultere i at lineriseringen ikke krysser y-akse i origo, slik den egentlig burde i henhold til teorien, likning (4).For delforsk 2, kraft som funksjon av lengde, observeres en strre usikkerhet istigningsgraden for linjen, 4b, enn i 4a. Dette er naturlig da det foreligger frremlepunkter som regresjonen kan ta utgangspunkt i, i tillegg til at de relative usikkerhetene er strre. Dette ettersom hver gang et lederbanekort byttes ut og plasseres pnytt i magnetfeltet kan en komme til plassere det noe ulikt. Slik oppstr en varierende eektiv verdi for B lederbiten blir pvirket av, ettersom magnetfeltet ikke erhomogent. En forskyvning av lineriseringen vil kunne oppst som flge av feil valgteektiv lengde l av lederbit i magnetfeltet. Denne lengden m kunne oppfattes somgjennomsnittlig elektronbanelengde i lederretning. Da er det problematisk at lederensgrenser til feltet er i to svinger slik at den blir fysisk lengre enn de este elektronbanene. Fordi elektronene har lik ladning vil de frastte hverandre. Samtidig vil de gkorteste vei pga bevegelse etter hyeste potensial. Uten kunne vurdere den faktiskebevegelsen kvantitativt synes det som en god tilnrmelse anta at elektronene i snittbenner seg i midten av lederen til enhver tid. Det medfrer at lengden m kortes nedmed en verdi ekvivalent med lederens bredde t, som forutsettes konstant, illustrert ilikning (10).Nr en ser p gur 6 ser en at regresjonslinjen krysser y-aksen litt over origo. Detbetyr at vi eektivt sett har en lengde som er lengre enn midlere leder lengde l. Mleresultatene ser alts ut til anntyde at l eektivt sett er nrmere lengden av lederenmlt fra ytterpunkt til ytterpunkt enn midlere lengde. Dette er oppsiktsvekkende. Andre feilkilder som kan forskyve linriseringen er vekten. Dersom vekten viser et utslagsom er over null nr det ikke gr noe strm i lederen ville dette kunne forklart atlinjen ikke krysser origo men viser positiv masse for en leder med lengde lik 0. Somnevnt under seksjonen for metode og apparatur var det mye forstyrrelser i rommet9

1.61.41.2

Masse M (g)

10.8

MlingRegresjon

0.60.40.20-0.2

0

1

23Strm I (A)

4

5

Masse M som funksjon av strm I , samt regresjon med a1 = 0.2856 g/A somstigningstall.

Figur 4:

-3

1

x 10

0.5

Masse M (g)

0

Mling

-0.5

-1

-1.5

-2

0

1

23Strm I (A)

4

10

5

2.5

2

Masse M (g)

1.5MlingRegresjon1

0.5

0

Figur 6:

ingstall.

0

0.02

0.040.06Lengde l (m)

0.08

0.1

Masse M som funksjon av strm I , og regresjon med med 1 = 28.8g/A som stign

0.0250.020.015

Masse M (g)

0.010.005Mling

0-0.005-0.01-0.015-0.02-0.025

Figur 7:

0

0.02

0.040.06Lengde l (m)

0.08

0.1

Avvik i masse M som funksjon av lengde l.Dette illustrerer at b1 = 0.3)g/m.

11

0.50.40.3

Masse M (g)

0.20.1

MlingRegresjon

0-0.1-0.2-0.3-0.4-2

-1

0Vinkel (rad)

Figur 8: Masse

M

1

2

som funksjon av vinkel

.

0.50.40.3

Masse M (g)

0.20.1

MlingRegresjon

0-0.1-0.2-0.3-0.4-1

-0.500.5Sinusfunksjon av vinkel sin (1)

Figur 9: Masse

M

1

som funksjon av sinusfunksjonen til vinkel, sin .

12

under forsket, og selv om det er tvilsomt kan det hende at vekten konsekvent visteen hyere verdi for massen M enn den egntlige.Videre er det en del usikkerhet knyttet til kalibreringen av mlevekten som mkunne nevnes som en mulig systematisk feil. Ettersom det ikke var mulig oppdrivenoe konkret verdi for g som vekten var kalibrert etter, er det blitt antatt en g -verdilik tabellverdien, avrundet lik 9.8066 m/s2 . Dette vil ha noks mye si for sammenligning av teoretisk a01 og mlt a1 , som en ser av likning (8). Hadde en i motsetningtatt utgangspunkt i en kalibrerings verdi for g lik den p stedet, avrundet lik 9.82142m/s2 vil dette gjre et utslag allerede i andre desimal i verdien for a01 .

13

KonklusjonUt fra grask vurdering av data, samt usikkerhetsanalysen, ser det denitivt ut til atformelen for magnetisk kraft, som i likning (5) p en strmfrende leder er korrekt,etter som vi p ingen mte har kunnet falsisere den, p tross av mindre avvik.

14

Referanser1 TFY4155 Elektrisitet og magnetisme, laboratoriekurs, V2011, Gruppe 6,Utfrt av Sigurd Norem Slettmo og Kristian Sagmo, 21. mars 2011.

2 Laboratoriehefte i Mekanisk fysikk TFY4145/FY1001, NTNU, H2010

15