36

Pin

igø

stu

dij

os

20

06

/1 �

M

ate

ma

tin

ë e

ko

no

mik

a

Remigijus Leipus

Vilniaus universitetasNaugarduko g. 24LT-03225 VilniusEl. p. remigijus.leipus@maf.vu.lt

Mantas Valuþis

Vilniaus universitetasNaugarduko g. 24LT-03225 VilniusEl. p. mvaluzis@gmail.com

Straipsnio tikslas yra supaþindinti su kredito rizikos teorija ir, pasitelkus klasikines pasirinkimo sandoriams

taikomas matematines priemones, matematiðkai pagrásti kredito rizikos kaip pasirinkimo sandorio

interpretacijà taikant struktûrinius kredito rizikos modelius, taip pat apskaièiuoti ámonës turto dabartinæ

vertæ keliø susijusiø paskolø atveju.

Pagrindiniai þodþiai: paskola, kredito rizika; ásipareigojimø neávykdymo tikimybë; pasirinkimo sandoris;

ámonës turto vertë.

Ávadas

Vienas ið aktualiausiø ir sudëtingiausiø komercinio banko vykdomos kreditavimo veiklosaspektø yra kredito rizika ir jos valdymas. Nors komerciniai bankai susiduria ir su kitokiørûðiø rizika – rinkos (valiutos kurso, palûkanø normø, nuosavybës vertybiniø popieriøkainø pokyèio), likvidumo ar operacine – teikiant paskolas pati svarbiausia yra kreditorizika. Bankui, teikianèiam paskolà, iðkyla ateities neapibrëþtumo problema, jis rizikuojalaiku ar apskritai neatgauti paskolintø lëðø bei suderëtø palûkanø. Todël reikalaujama,kad klientas (ámonë) uþtikrintø paskolos gràþinimà, nustatoma kredito rizikos priemokair pan. Bankui svarbi ne tik atskiros paskolos, bet ir viso paskolø portfelio rizika, taigi kylaporeikis apskaièiuoti ar statistinëmis priemonëmis ávertinti bendràjà rizikà.

Glaustai kredito rizikà galima apibrëþti kaip finansinæ rizikà, atsirandanèià dël sandorioðalies, ásipareigojusios gràþinti paskolà, nesugebëjimo ar nenoro tai padaryti sutartyjenumatytomis sàlygomis. Kredito rizika bûdinga ir daugeliui kitø finansiniø priemoniø(skolos vertybiniams popieriams, pasirinkimo, iðankstiniams sandoriams, garantijoms),bet ðiame straipsnyje daugiausia nagrinëjama kredito rizika, susijusi su skolininkui suteiktapaskola. Vertinant jà kiekybiðkai ir skaièiuojant kapitalo bei specialiøjø atidëjiniø poreikákomerciniame banke, svarbu nustatyti vienà pagrindiniø tokià rizikà apibûdinanèiø ro-dikliø – ásipareigojimø neávykdymo (toliau – nemokumo) tikimybæ. Ji nustatoma, ámonësturto vertës kitimà apraðius kaip atsitiktiná procesà ir radus laiko momento, kai ámonëpirmà kartà tampa nemoki, t. y. stabdymo momento, tikimybiná skirstiná. Þinant ðá skirstináir paskolos likutá, skaièiuojama arba ávertinama ne tik nemokumo tikimybë, bet ir kitiiðvestiniai kredito rizikos rodikliai: tikëtinas nuostolis, nuostolis nemokumo atveju, kreditorizikos priemoka ir t. t.

� Remigijus Leipus – profesorius, fiziniø mokslø habilituotas daktaras, Vilniaus universiteto Matematikos irinformatikos fakulteto Ekonometrinës analizës katedra, Matematikos ir informatikos instituto vyriausiasismokslo darbuotojas.Veiklos sritys: laiko eiluèiø analizë, finansø ekonometrika, finansø matematika. Darbas ið dalies remiamasLietuvos valstybinio mokslo ir studijø fondo pagal programà „Lietuvos ekonomikos matematiniai modeliaimakroekonominiams procesams prognozuoti“ (registracijos Nr. C-03004).

� Mantas Valuþis – Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikos fakulteto Ekonometrinës analizëskatedros doktorantas.Veiklos sritys: finansø matematika, kredito rizika, bankø sektoriaus sisteminë rizika.

KREDITO RIZIKA KAIP PASIRINKIMO SANDORIS

37

R.

Le

ipu

s, M

. V

alu

þis

Kre

dit

o ri

zik

a k

aip

p

asi

rin

kim

o sa

nd

ori

s

Matematiniai kredito rizikos modeliai iðsamiai nagrinëti buvo pradëti prieð trisdeðimtmeèius. Paprastai jie skirstomi á struktûrinius ir redukuotuosius. Struktûriniai kreditorizikos modeliai nuo pat pradþiø turëjo aiðkià kryptá – apibendrinti klasikinæ pasirinkimosandorio Black-Scholes formulæ. Sukurta ir tokiø modeliø, kurie rizikos problemà leidþiasuvokti plaèiau: nagrinëjama ne tik kredito rizika, bet ir palûkanø normø pokyèiai (rinkosrizika). Redukuotieji kredito rizikos modeliai atsirado kaip alternatyva struktûriniams,siekiant praplësti modeliavimo galimybes naudojantis kredito rinkos, o ne ámonës veiklosfinansiniais duomenimis. Aiðkiai suvokus kredito rizikos aktualumà, padidëjus jos reikðmeiir atsiradus poreikiui tiksliau ávertinti jos rodiklius, kredito rizikos modeliavimas tapo vienaið sparèiausiai besivystanèiø finansø inþinerijos srièiø. Struktûriniai ir redukuotieji modeliaiplëtojami ir apibendrinami toliau, pavyzdþiui, nagrinëjama, kokio dydþio turi bûti paskolair jos terminas, kad ámonës veikla bûtø optimali.

Lietuvoje kredito rizikos modeliavimas yra aktualus tiek bankø sektoriaus finansiniostabilumo, tiek jos veiksmingo valdymo komerciniuose bankuose poþiûriu, bet mate-matiðkai ði tema beveik nebuvo nagrinëta. Ðiuo metu Lietuvoje kredito rizikos modeliaitaikomi tik ið dalies, tai rodo ir pastaruoju metu pasirodæ keli moksliniai straipsniai (þr.Jasevièienë, Valvonis 2003; Kamienas, Valvonis 2004; Valvonis 2004; Mackevièius, Rakð-telienë 2005). Vienas ið ðio straipsnio tikslø – supaþindinti su kai kuriais stochastiniaismodeliais, nagrinëjamais kredito rizikos teorijos darbuose, ir aptarti klasikiná kredito rizikosmodeliavimo bûdà – Merton modelá. Darbe taip pat siûlomas bûdas, kaip apskaièiuotiámonës turto vertæ susijusiø rizikingø paskolø atveju.

Šio darbo pirmojoje dalyje pateikiama kredito rizikos kaip pasirinkimo sandorio inter-pretacija. Antrojoje dalyje apþvelgiami struktûriniai ir redukuotieji kredito rizikos modeliai,iðsamiau nagrinëjamas Merton modelis. Treèiojoje dalyje pateikiama formulë, kaip ap-skaièiuoti vienos paskolà paëmusios ámonës turto vertæ, kai negràþinama kitos kokiunors bûdu su pastaràja susijusios ámonës paimta paskola. Straipsnio pabaigoje pateikiamosiðvados ir nurodomos galimos ðios temos nagrinëjimo kryptys.

1. Kredito rizika kaip pasirinkimo sandoris

Ðiame skyriuje pateikiama ámonës finansiniø ásipareigojimø matematinë samprata irpagrindþiama, kodël kredito rizikà galima interpretuoti kaip tam tikrà pasirinkimo sandorá.Árodoma, kad kredito rizikos esmæ atskleidþia paþeidþiamasis pasirinkimo sandoris. Taippat atskleidþiama, kaip naudojant paþeidþiamojo pasirinkimo sandorio ávertinimo metodikàgalima apskaièiuoti ámonës nemokumo tikimybæ.

1.1. Sutartinis þymëjimas, sàvokos ir prielaidos

Kreditoriaus skolininkui (ámonei) suteikta paskola laiko momentu 0≥t þymima Dt

(kai kuriais atvejais tariama, kad paskola yra konstanta). Paskola Dt gali bûti interpre-

tuojama kaip obligacija laiko momentu t, nes ekonominiu poþiûriu tiek paskolos sutei-kimas, tiek obligacijos ásigijimas reiðkia analogiðkus dviejø ûkio subjektø – kreditoriaus irskolininko – santykius. Paskolos gràþinimo (obligacijos iðpirkimo) terminas þymimas T.Straipsnyje tariama, kad paskolà paëmusios (obligacijø iðleidusios) ámonës turto rinkosvertë* aprašoma kaip atsitiktinis procesas }0,{ ≥tV

t, kai µ – vidutinë gràþa, teigiamas

skaièius V

σ – kintamumas, }0),({ ≥ttW – Wiener procesas (þr. 1.3 sk.).Tariama, kad D

t = D, o pradiniu laiko momentu galioja sàlyga V

0 > D. Tuomet atsitiktinis

dydis }:0inf{ DVtt=≥=τ ( ∞=τ , jei DV

t≠ visiems t) yra pirmasis laiko momentas, kai

paskola D ir ámonës turto vertë Vt tampa lygios ir reiðkia ámonës nemokumà (þr. 1 pav.).

Ið paveikslo matyti, kad, ámonei tapus nemokiai atsitiktiniu laiko momentu �, kreditoriuiiðkyla pavojus iki paskolos gràþinimo termino pabaigos neatgauti jos likuèio, kuris ðiuoatveju yra lygus ámonës turto vertei.

Ðiame straipsnyje remiamasi pagrindinëmis kredito rinkos prielaidomis, taikomomissudarant daugumà struktûriniø kredito rizikos modeliø: rinka yra tobula, bearbitraþë; yrabent vienas nerizikingas vertybinis popierius; skolininkø ir kreditoriø elgsena yra racio-nali; kiekvienas rinkos dalyvis skolinasi tiek, kiek nori, ir tai neturi jokios átakos paskolø

*Trumpumo dëlei toliau teksteði sàvoka bus vadinama ámonësturto verte.

38

Pin

igø

stu

dij

os

20

06

/1 �

M

ate

ma

tin

ë e

ko

no

mik

a

palûkanø normoms; prekyba rinkoje vyksta nuolat (tolydaus laiko prielaida); nëra jokiøbankroto, operacijø ir tarpininkavimo sànaudø; rinkoje nëra informacijos asimetrijos, t. y.visiems rinkos dalyviams prieinama vienoda informacija ir t. t. (þr. Leipus, Norvaiša 2003).

1 pav. Ámonës turto vertës kitimas jos nemokumoatveju

Šaltinis: sudaryta autoriø.

1.2. Ámonës turto vertë ir jos finansiniø ásipareigojimø struktûra

Nemokumo tikimybës bet kuriuo laiko momentu ávertinimo pagrindas – ámonës turtovertæ apraðanèio proceso sàlyginio vidurkio atitinkamø praeities duomenø atþvilgiuapskaièiavimas. Kaip matyti, ávertinti nemokumo tikimybæ galima turint informacijà apiesuteiktà paskolà bei ámonës turto vertæ. Kad bûtø galima ávertinti kitus kredito rizikàapibûdinanèius rodiklius (tikëtinà nuostolá nemokumo atveju, negràþintà paskolos likutáir kt.), reikia iðspræsti kredito rizikai aktualø pasirinkimo sandoriø teorijoje keliamà uþdavi-ná – apskaièiuoti pasirinkimo sandorio (kaip paaiðkës vëliau – ámonës turto) kainà betkuriuo laiko momentu.

Ámonës finansiná balansà sudaro turtas ir ásipareigojimai akcininkams bei kreditoriams.Tarkime, kad ámonës skola yra lygi jos finansiniams ásipareigojimams. Ámonë laikomanemokia, kai jos ásipareigojimai kreditoriams tampa didesni nei ámonës turto vertë. Nor-muotas skirtumas tarp turto vertës ir ásipareigojimø kreditoriams vadinamas nemokumonuotoliu (distance to default). Jis rodo dviejø dydþiø skirtumà, nuo kurio kitimo priklausonemokumo tikimybë. Taigi ámonei svarbu stebëti, kada toks skirtumas tampa neigiamoþenklo, t. y. kuriuo laiko momentu ámonë tampa nemoki.

Apskritai esama tam tikro skirtumo tarp ámonës vertës ir ámonës turto vertës (þr. 2 pav.).Bet kuriuo laiko momentu t < T ámonës turto vertë lemia didesnæ jos vertæ, iðskyrusatvejus, kai ji yra nemoki, todël kredito rizikos modelius reikëtø taikyti bûtent ámonësturto vertei modeliuoti.

2 pav. Ámonës vertës ir turto vertës sàryðis

Šaltinis: P. J. Crosbie, J. R. Bohn (1997–2001).

Ðiø verèiø skirtingumas* rodo ámonës akcininkø pasirinkimo galimybæ: laukti, kol ámonësturto kaina pakils, arba nelaukiant paskolos gràþinimo termino T likviduoti ámonæ, gràþintipaskolà ir taip iðlaikyti likutinæ turto vertæ. Jeigu ámonë yra likviduojama, dalis jos turto

*Matematiniame modelyje ne-mokumo momentu � ámonësvertë nëra teigiamo þenklo, o josturto vertë visada yra teigiamoþenklo.

39

R.

Le

ipu

s, M

. V

alu

þis

Kre

dit

o ri

zik

a k

aip

p

asi

rin

kim

o sa

nd

ori

s

prarandama, todël ámonës turto vertë nemokumo atveju turëtø bûti tikslinama. Ámonësfinansiniai ásipareigojimai bûna sudëtingos struktûros (juos sudaro paskolos, obligacijos,prekybos kreditai, naudojimasis ilgalaikës nuomos paslaugomis ir pan.), mokëjimo pe-riodiðkumas ir kitos skolos sàlygos – ávairios, kreditoriø pirmenybë atgauti paskolintaslëðas – skirtinga, todël rasti ámonës skolos vertæ bet kuriuo laiko momentu t tiksliai api-bûdinanèià paskolà D

t nëra paprasta. Dël to kredito rizikos modelius sunku taikyti prak-

tiðkai. Vienas ið ámonës finansinës bûklës kokybës matø, taikomø sudarant struktûriniuskredito rizikos modelius, yra ámonës paskolos vertës ir jos turto vertës santykis (leverage

asset): kuo jis maþesnis, tuo maþesnë kredito rizikos priemoka. Be to, ji priklauso ir nuoámonës turto vertës kintamumo – kuo jis didesnis, tuo didesnë kredito rizikos priemoka.

Ámonës turto vertës ir finansiniø ásipareigojimø kitimas bei ið jo kylanti rizika gali bûtiinterpretuojama kaip tam tikras pasirinkimo sandoris. Tokiu atveju pasirinkimo sandorioávykdymo kaina suprantama kaip paskolos vertë. Tariama, kad paskolos vertë yra konstanta(tai rodytø, kad paskola gràþinama vienu kartu laikotarpio pabaigoje). Kreditoriaus irskolininko pelno kitimà, kai ámonës veiklai finansuoti išleidþiamos akcijos E, o kreditoriaussuteikta paskola atitinka sàlygà D > E, galima pavaizduoti tokia diagrama (þr. 3 pav.):

3 pav. Kreditoriaus ir skolininko pelno kitimas

Šaltinis: sudaryta autoriø.

Kaip matyti, skolininko pozicija atitinka pasirinkimo pirkti sandorio pirkëjo pozicijà,kreditoriaus pozicija – pasirinkimo parduoti sandorio pardavëjo pozicijà.

Matematiniame modelyje skolininko pelnas gali bûti neaprëþtai didelis: paëmæs paskolàir sutartu laiku jà gràþinæs kartu su palûkanomis, skolininkas ágyja teisæ á tam tikrà ámonësturto dalá. Taigi skolininkas gali bûti laikomas pirkëju, sudaranèiu pasirinkimo pirkti sandorá:jeigu gràþinant paskolà jos vertë D nëra didesnë uþ ámonës turto vertæ V

T, skolininkas

padengia paskolà ir sumoka palûkanas, taip iðlaikydamas likutinæ ámonës turto vertæ.Prieðingu atveju skolininkas negauna jokios iðmokos – ji yra lygi 0. Tokià iðmokø struktûrà,analogiðkà iðmokø struktûrai pagal europietiðkàjá pasirinkimo pirkti sandorá*, galimauþrašyti šia lygtimi:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−

≤=−=

.,

,,0)0,max()(

DVDV

DVDVTf

TT

T

T

Atsiþvelgiant á galimø iðmokø struktûrà, kreditoriaus uþimama pozicija laikytina par-davëjo pagal pasirinkimo parduoti sandorá pozicija: jeigu sutartu paskolos gràþinimo laikuámonës turto vertë bûtø maþesnë uþ suteiktos paskolos likutá, kreditoriui atitektø ámonësturtas, o jeigu paskolos vertë bûtø maþesnë uþ ámonës turto vertæ, kreditorius atgautøpaskolà. Vadinasi, jeigu paskolà paëmusios ámonës turto vertë taptø maþesnë uþ paskoloslikutá, kurá ji turi gràþinti kreditoriui, ámonë negràþintø paskolos, ir jos turtas bûtø perleistasbankui. Remiantis ðiais samprotavimais, kreditoriaus atgaunama suma uþraðoma taip:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤==

.,

,,),min()(

DVD

DVVDVTF

T

TT

T

*Europietiðkojo pasirinkimopirkti sandorio pirkëjas ágyja tei-sæ nustatytu laiko momentu fik-suota kaina pirkti norimà prekæ,o pardavëjas ásipareigoja jà par-duoti, jeigu to pareikalautø pir-këjas.

40

Pin

igø

stu

dij

os

20

06

/1 �

M

ate

ma

tin

ë e

ko

no

mik

a

Taèiau aptartos pozicijos laiko atþvilgiu nesutampa su pozicijomis pagal iðmokø struk-tûrà: skolininko pozicija yra trumpa (pardavëjo), o kreditoriaus – ilga (pirkëjo). Taigi laikoatþvilgiu rizikinga paskola visiðkai gali bûti interpretuojama kaip pasirinkimo sandoris, kurioiðmoka yra min(V

T, D): tokiu atveju kreditorius yra pirkëjas, turintis sandorio ávykdymo

reikalavimo teisæ, o skolininkas – sandorá pasiraðantis pardavëjas, kuris ásipareigoja tà rei-kalavimà patenkinti. Kitaip tariant, kredito rizika – tai pasirinkimo sandoris, kai kreditoriuságyja teisæ, suëjus paskolos gràþinimo terminui T, reikalauti išmokos (V

T, D) ir suderëtø

palûkanø. Skolininko pozicija bûtø (VT – D, 0). Ðiuo atveju pasirinkimo sandorio vertë ir jo

ávykdymo kaina yra ta pati, t. y. lygi kreditoriaus suteiktai paskolai – D. Taigi kreditoriaus irskolininko gaunamø iðmokø sàryðis apraðomas lygybe min(V

T, D) = V

T– max(V

T – D, 0).

Ðià analogijà 1973 m. pirmieji áþvelgë Fischer Black ir Myron Scholes, o 1974 m. darlabiau iðplëtojo Robert C. Merton. Bûtent R. C. Merton (1974) pasiûlytu struktûriniumodeliu daþnai remiamasi taikant ávairias kredito rizikos rodikliø nustatymo metodikas.

Paskolos gràþinimo priklausomybë nuo ámonës turto vertës ir jos nemokumo pavaiz-duota 4 paveiksle.

4 pav. Kreditoriaus pozicija ir jo gaunamø iðmokøstruktûra

Šaltinis: Ch. Bluhm ir kt. (2003).

Pasirinkimo pirkti sandorio sàþiningoji kaina (fair price) – tai tikëtinas sandorio pirkëjopelnas. Vertinant pagal kredito rizikà, ði kaina yra lygi skolininkui tenkanèiai vidutineilikutinei turto vertei E(V

T – D)+ = Emax(V

T – D, 0), o tai reiðkia, kad abi sandorio ðalys

prisiima tam tikrà rizikà, kad uþdirbtø pelno (kreditorius – ne tik rizikà dël skolininkonemokumo, bet ir rinkos rizikà). Kaip matyti ið pastarosios formulës, pasirinkimo pirktisandorio sàþiningoji kaina priklauso nuo paskolos likuèio ir ámonës turto vertës. Taèiaukredito rizikos kontekste arbitraþo strategija, su kuria yra susijusi ði sàvoka, nëra tiesiogiaiinterpretuotina kaip pasirinkimo sandoriø teorijoje.

1.3. Pasirinkimo sandoriø metodologijos taikymas esant nemokumo rizikai

Paþeidþiamojo pasirinkimo sandorio (vulnerable call option) matematinis modelis yrabendresnis ir universalesnis nei klasikinio pasirinkimo sandorio modelis, todël, vertinantámonës nemokumo rizikà, nagrinëjamas paþeidþiamasis pasirinkimo pirkti sandoris. Jis ási-galioja laiko momentu T, jei tik skolininko kredito kokybë (kreditingumas) A(t) atitinkakritiná lygá K(t), kai 0≥t . Tariama, kad pradiniu laiko momentu galioja sàlyga A(0) > K(0).Jeigu skolininkas laiko momentu )}()(:0inf{ tKtAt

A≤≥=τ , kai T

A≤τ , tampa nemo-

kus, kreditorius gauna tam tikro dydþio iðmokà. Atsitiktiniai procesai }0),({ ≥ttA ,}0),({ ≥ttK ir }0),({ ≥ttV apraðomi tokiomis stochastinëmis diferencialinëmis lygtimis:

)),()(()( tdWdttAtdAAAA

σµ +=

)),()(()( tdWdttKtdKKKK

σµ +=

)).()(()( tdWdttVtdVV

σµ +=

41

R.

Le

ipu

s, M

. V

alu

þis

Kre

dit

o ri

zik

a k

aip

p

asi

rin

kim

o sa

nd

ori

s

Be to, tariama, kad Wiener procesø }0),({ ≥ttWA

ir }0),({ ≥ttWK

koreliacija yra

AKρ , t. y. [ ] ttWtWE

AKKAρ=)()( , o Wiener procesø pora }0),(),({ ≥ttWtW

KA ir procesas

}0),({ ≥ttWA

yra nekoreliuoti.Don R. Rich (1996) išnagrinëjo pasirinkimo sandorio vertinimo uþdaviná, kai skolinin-

kas tampa nemokus atsitiktiniu laiko momentu. Ðiame straipsnyje, apibendrinanèiameBlack-Scholes (1973) formulæ, pabrëþiama, kad paþeidþiamojo pasirinkimo pirkti sandorio,kurio padengimo norma (recovery rate) ámonës nemokumo atveju yra lygi 0, t. y. R(�

A) = 0,

kaina aprašoma tokia formule:

{ } { }].1)[()(]1)[(TTTTT

AA

DVEDVEDVE≤

++

>

+−−−=−

ττ(1)

(1) lygybæ galima interpretuoti taip: paþeidþiamojo pasirinkimo pirkti sandorio dabartinëvertë yra lygi Black-Scholes pasirinkimo pirkti sandorio dabartinës vertës ir ámonësnemokumo rizikos priemokos skirtumui. Paþymëtina, kad tokia priemoka yra lygipasirinkimo pirkti sandorio pirkëjo pozicijai nemokumo atveju.

Nemokumui prieðingo ávykio tikimybë }{1}{ TPTPAA≤−=> ττ rodo, kad skolininkas

iki paskolos gràþinimo termino T pabaigos išliks mokus:

),(Φ)0(

)0()(Φ}{

32y

A

KyTP

A

γ

τ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=> (2)

èia .)(2

12 22

2⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−−=

KAKAσσµµ

σγ

,

)(2

1

)0(

)0(ln

22

2

T

TK

A

yKAKA

σ

σσµµ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−−+

=

T

TK

A

yKAKA

σ

σσµµ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−−+−

=

)(2

1

)0(

)0(ln

22

3, kai

KAAKKAσσρσσσ 2

222−+= ,

èia dyexx y

∫∞−

−

=

2

2

2

1)( Φ

π

yra standartinio normaliojo atsitiktinio dydþio pasiskirstymo

funkcija. (2) formulë árodoma priedo 1 skyriuje. Remiantis (1) lygybe, paþeidþiamojo pa-sirinkimo pirkti sandorio kaina aprašoma taip:

}.{)(]1)[( }{ TPDVEDVEATTT

A

>−=−+

>

+

ττ

(3)

Paþymëtina, kad (1) ir (2) formulës yra teisingos visais atvejais, o (3) formulë – tik tada,jeigu nëra koreliacijos tarp ðiø Wiener procesø: }0),(),({ ≥ttWtW

KA ir }0),({ ≥ttW .

Kita vertus, ið (3) formulës iðplaukia, kad ámonës nemokumo tikimybë yra lygi nemo-kumo rizikos priemokos ir Black-Scholes pasirinkimo pirkti sandorio dabartinës vertëssantykiui. Taigi ji rodo ámonës turto vertës ir jos mokumo tikimybës priklausomybæ nuokitø geometriniu Wiener procesu apraðomø atsitiktiniø veiksniø. Pavyzdþiui, (2)–(3)formulëmis apraðoma tikimybë, kad komercinis bankas iðliks mokus net tuo atveju, kaivisø jo skolininkø kredito kokybë pasieks kritiná lygá. Ðias formules galima apibendrinti irtuo atveju, jei }0),({ ≥ttA ir }0),({ ≥ttK yra aritmetiniai Wiener procesai. Tokiu atveju(2)–(3) formules galima interpretuoti kaip mokumo tikimybës priklausomybæ nuo makro-ekonominiø ar kitø rodikliø, galinèiø ágyti ir neigiamas reikðmes, kitimo.

Analogiðka struktûra, kaip pasirinkimo pirkti sandorio kaina, pasiþymi ir rizikingøobligacijø vertë. Rizikingos obligacijos ir paþeidþiamojo pasirinkimo sandorio padengimonorma yra tokia pati, todël apskritai galima nekreipti dëmesio á jø vertæ. Atsiþvelgiant á(1) lygybæ, galima tokia analogija:

- rizikingos obligacijos dabartinë vertë yra lygi nerizikingos obligacijos dabartinës vertësir nemokumo rizikos priemokos skirtumui;

42

Pin

igø

stu

dij

os

20

06

/1 �

M

ate

ma

tin

ë e

ko

no

mik

a

- nemokumo tikimybë yra lygi nemokumo rizikos priemokos ir nerizikingos obligacijosdabartinës vertës santykiui.

Sprendþiant kredito rizikos uþdavinius, pasirinkimo sandoriø teorijà vertëtø taikytiapdairiai, nes dël kredito rizikos kitaip suprantama arbitraþo galimybë, taip pat skiriasipasirinkimo pirkti ir pasirinkimo parduoti sandoriø kainø pariteto (put-call parity) prasmë.Kaip jau minëta, iðmokø struktûros atþvilgiu skolininkas uþima pasirinkimo pirkti sandorásudaranèio pirkëjo, o kreditorius – pasirinkimo parduoti sandorá sudaranèio pardavëjopozicijà. Jeigu rinkoje egzistuotø nerizikinga investicija, tai pirkimo–pardavimo paritetasnusakytø paskolos vertës ir ámonës vertës, atitinkanèiø skolininko ir kreditoriaus pozicijaspasirinkimo pirkti sandoriø atveju, tapatybæ, bet ne sandorio kainas, kuriø elgsena apra-ðoma geometriniu Wiener procesu (ámonës turto vertës atveju) ir þinoma ið anksto kaipkonstanta arba kaip determinuotoji funkcija (paskolos atveju). Nagrinëjant kredito rizikàarbitraþas irgi gali bûti interpretuojamas kitaip – jis reiðkia ne galimybæ gauti pelnà apskritainerizikuojant, bet strategijø, kurios ámanomos neprisiimant papildomos rizikos dël savaimerizikingø finansiniø priemoniø, t. y. paskolø (pvz., konkurencinës ar panaðios prigimties),taikymo galimybæ. Tokios strategijos paprastai gali bûti rengiamos, tariant, kad palûkanønormos gali padidëti.

Vienas ið kredito rizikos kaip pasirinkimo sandorio interpretacijos trûkumø yra tai, kadjo kaina labiau priklauso nuo kredito rinkos bûklës, o ne nuo sandorá pasiraðiusiø ðaliøelgsenos (rinka apima ir abi sandorio puses). Tai yra svarbus kokybinio pobûdþio veiksnys –labiau ekonominis, o ne matematinis (já bûtø sunku interpretuoti sudarant modelá). Mo-deliuojant kredito rizikà, á toká veiksná vertëtø atsiþvelgti, nors nëra atsiþvelgiama á kitàveiksná – uþstatà. Jis turi svarbià ekonominæ reikðmæ, bet matematiniø problemø ið esmësnesukelia. Á uþstatà atsiþvelgiama nustatant pasirinkimo pirkti sandorio kainà – paskolosvertæ D, t. y. uþstato vertë gali bûti arba pridedama prie ámonës turto vertës, arba atimamaið jos skolos. Kita vertus, kredito rizikos atveju pasirinkimo sandorio ávykdymas (t. y.,ámonës nemokumas) yra atsitiktinis dydis, nors praktikoje toks sandoris sudaromas tamtikram apibrëþtam laikotarpiui. Todël modeliuojant kredito rizikà pasirenkami apibendrintisandoriai, bûtent paþeidþiamieji pasirinkimo sandoriai su atsitiktiniu vertybinio popieriausiðpirkimo terminu. Be to, kredito rinka turëtø bûti efektyvi. Joje gali susiklostyti ir tokiapadëtis: kreditorius, suteikdamas paskolà skolininkui, kurio kredito rizika didesnë, nustatoir didesnæ tokios rizikos priemokà. Taip jis pats dar padidina tikimybæ, kad skolininkasneávykdys savo ásipareigojimø. Kita vertus, neaiðku, kodël kreditorius turëtø skolinti didesnenemokumo rizika pasiþyminèiam klientui – juk jis elgiasi racionaliai ir galëtø suteikti paskolàkitam, ne tokiam rizikingam skolininkui. Kyla netobulos rinkos problema, todël viena iðiðeièiø bûtø padaryti prielaidà, kad ir tarp kreditoriø, ir tarp skolininkø konkuruojama(kad bûtø ámanoma susitarti dël paskolø sàlygø).

Kredito rizikos vertinimo ir modeliavimo tikslas – surasti atsitiktinio ámonës nemokumomomento �, kai skolos vertë pirmà kartà tampa lygi ámonës turto vertei arba uþ jà didesnë,tikimybiná skirstiná. Ekonominë tokio uþdavinio prasmë irgi aiðki: apskaièiuoti ámonësnemokumo tikimybæ laiko intervale [0, T]. Be to, þinant nemokumo tikimybiná skirstiná,galima rasti tikëtinà nemokumo momentà E�, kuris gali bûti taikomas prognozuojantámonës nemokumà.

2. Trumpa kredito rizikos modeliø apþvalga

Kredito rizikos modeliai, kaip ðiuolaikinës finansø matematikos, pagrástos stochastiniødiferencialiniø lygèiø technika, dalis, skirstomi á dvi pagrindines grupes: struktûrinius irredukuotuosius*. Robert A. Jarrow ir Stuart M. Protter straipsnyje (2004) nurodoma, kadðie modeliai yra ekvivalentûs, tik skiriasi jø sudarymo prielaidos ir modeliavimui reikalingøduomenø pobûdis. Taikant struktûrinius ir redukuotuosius modelius galima nustatytipaskolos vertæ, ámonës turto vertæ ar net sumodeliuoti jos nemokumà. Tiek struktûriniø,tiek redukuotøjø modeliø yra ávairiø atmainø. Vieni nuo kitø skiriasi tuo, kad struktûriniaimodeliai dël ámonës turto vertæ apraðanèio atsitiktinio proceso tolydumo leidþia modeliuotijos nemokumà, o redukuotiesiems modeliams tai nepasiekiama dël netikëtø tokios vertës

*Iðsamesnë informacija apiestruktûrinius ir redukuotuosiusmodelius pateikiama J. R. Bohn(2000).

43

R.

Le

ipu

s, M

. V

alu

þis

Kre

dit

o ri

zik

a k

aip

p

asi

rin

kim

o sa

nd

ori

s

pokyèiø. Bet svarbiausias ðiø modeliø skirtumas yra tai, kad struktûriniai modeliai yrapagrásti vidaus informacija apie ámonës finansus, o redukuotieji modeliai – informacija,prieinama visiems rinkos dalyviams. Kitas svarbus skirtumas – taikant struktûriniusmodelius, skolos padengimas modeliuojamas remiantis informacija apie ámonës finansiniøásipareigojimø struktûrà, o taikant redukuotuosius modelius jis laikomas egzogeniniukintamuoju. Kredito rizikos priemokos poþiûriu, struktûriniai modeliai geriau paaiðkina,kodël ámonë tampa nemoki, nors dël empiriniø stebëjimø redukuotieji modeliai yra tikslesniuþ struktûrinius. Svarbiausias redukuotøjø modeliø nagrinëjimo objektas yra ámonësnemokumo tikimybë, kuri yra svarbi nustatant kredito rizikos priemokà. Palyginti neseniaiatsirado ir tokiø kredito rizikos modeliø, kurie pasiþymi ypatybëmis, bûdingomis tiekstruktûriniams, tiek redukuotiesiems modeliams – tai mišrieji modeliai (hybrid models)*.Pagal ðiuos modelius ámonës nemokumas nëra „numatomas“, bet laikoma, kadnemokumo tikimybë didëja, kai ámonës turto vertë artëja prie paskolos vertës.

2.1. Struktûriniai modeliai

Struktûriniais kredito rizikos modeliais vadinami tokie tolydaus laiko modeliai, kai ámonësturto vertës kitimas apraðomas kaip stochastinis difuzinis procesas. Tokiu atveju kreditorizika suprantama kaip ámonës turto vertës ir finansiniø ásipareigojimø kitimo pasekmë.Ðie modeliai leidþia nustatyti ámonës turto vertæ, kredito rizikos priemokà ir paskolosvertæ. Jie taikomi darant prielaidà, kad galioja Modigliani-Miller teorema, kuri reiðkia, jogámonës turto vertë, esant nuliniams mokesèiø tarifams, nepriklauso nuo jos finansøstruktûros. Þinant pastaràjà informacijà, t. y. informacijà apie ámonës skolinius ásiparei-gojimus ir akciná kapitalà, skaièiuojama jos nemokumo tikimybë. Pagal struktûrinius mo-delius ámonës nemokumas yra laikomas numatomu, t. y. egzistuoja tokia stabdymo mo-mentø seka ...,,

21ττ , kad

1−≥

nnττ , be to, ττ <

n visiems n ir ττ =

nlim , kai ∞→n

beveik tikrai.Svarbiausi struktûriniø kredito rizikos modeliø kintamieji yra ðie: ámonës turto vertë,

kapitalo struktûra, paskolos terminas ir jos suteikimo sàlygos, nerizikingo skolos vertybiniopopieriaus palûkanø norma r, koreliacija tarp nerizikingo skolos vertybinio popieriauspalûkanø normos ir ámonës turto vertës. Paprastumo dëlei sudarant daugumà struktûriniømodeliø paskolos likutis laikomas konstanta, t. y. nepriklausanèiu nuo laiko.

Nemaþai kredito rizikos modeliø yra sukurta, remiantis klasikiniu Merton (1974)modeliu. Taikant ðá modelá, siekiama ávertinti nemokumo rizikà ir kartu paaiðkinti, kokiosprieþastys já lemia, t. y. nustatyti struktûrinius ryðius tarp nemokumo ir já lemianèiø veiksniø(todël jis ir vadinamas struktûriniu modeliu). Tariama, kad ámonë yra iðleidusi dviejø rûðiøvertybiniø popieriø: skolos (obligacijø) ir nuosavybës (akcijø), todël jos turto vertë laikomomentu t yra lygi sumai: ),(),( uVfuVFV

ttt+= , èia ),( uVF

t – skolos, o ),( uVf

t –

akcijø vertæ apibrëþianti funkcija, tTu −= . Be to, t

F

u

F

∂

∂−=

∂

∂. Ámonë ásipareigoja

kreditoriui padengti paskolà ir sumokëti palûkanas laiko momentu T.Merton modelis yra idealizuotas, jam reikalingos gana grieþtos prielaidos (iðdëstytos

1.1 sk.). Ámonës turto vertë Vt, kuri apskritai nëra stebimas procesas, aprašoma difuzinio

tipo stochastine diferencialine lygtimi )()( tdWVdtCVdVtVtt

σµ +−= , èia }0),({ ≥ttW –Wiener procesas, µ – tikëtina gràþos norma, C – iðmoka per tam tikrà laikotarpá. Ámonëmoka iðmokas akcininkams (dividendai) ar kreditoriams (palûkanos), kai C > 0, ámonëskolinasi, kai C < 0, ámonë nemoka iðmokø ir negauna áplaukø, kai C = 0.

Ámonës turto vertës modelis sudaromas taip: apibrëþiamas kiekvienas jos turto vertæV

t apraðantis rizikingas skolos vertybinis popierius, kurio rinkos vertë momentu t apraðoma

funkcija, priklausanèia nuo ámonës turto vertës ir laiko, t. y. ),( tVFYtt

= . Ði funkcijatenkina stochastinæ diferencialinæ lygtá )()( tdWYdtCYdY

YtYYtYtσµ +−= , èia µ

Y – rizi-

kingo skolos vertybinio popieriaus vidutinë gràþos norma, CY – iðmoka per tam tikrà laiko-

tarpá, Y

σ – vertës kintamumas. Sudaromas investicijø portfelis, t. y. numatoma apsidraudimonuo rizikos (hedging) strategija, susidedanti iš w

1 – portfelio dalies, investuotos á ámonës*Apie vienà ðios grupës modeliø

þr. D. Duffie ir D. Lando (2001).

44

Pin

igø

stu

dij

os

20

06

/1 �

M

ate

ma

tin

ë e

ko

no

mik

a

akcijas, w2 – portfelio dalies, investuotos á skolos vertybinius popierius, ir nerizikingos skolos

w3, tenkinanèios sàlygà w

3 = –(w

1 + w

2). Tokiam portfeliui reikia nulinës vertës grynøjø

investicijø, todël atsiranda nerizikingos strategijos 021

=+YV

ww σσ ir bearbitraþës rinkos

sàlygos 0)()(21

=−+− rwrwY

µµ , kurios išpildomos tada ir tik tada, kai Y

Y

V

rr

σ

µ

σ

µ −

=

−

.

Remiantis ðia sàlyga ir pritaikius Ito formulæ lygybei ),( tVFYtt

= , funkcijai F gali bûti

pritaikyta parabolinë daliniø iðvestiniø lygtis YttV

Ct

FrF

V

FCrV

V

FV +

∂

∂+−

∂

∂−+

∂

∂= )(2

10

2

2

22σ .

Ðià lygtá turi tenkinti bet kuris skolos vertybinis popierius, kurio kaina priklauso nuoámonës turto vertës ir laiko. Funkcija F priklauso nuo nerizikingo skolos vertybinio popie-riaus palûkanø normos r, ámonës turto vertës kintamumo V

σ , iðmokos (ámonës dividendømokëjimo ir skolinimosi politikos) C, bet nepriklauso nuo tikëtinos skolos vertybinio popie-riaus gràþos normos µ. Ði funkcija apraðo skolos vertybiniø popieriø kainà, todël anksèiau

pateikta parabolinë lygtis galëtø bûti supaprastinta iki 02

1

2

2

22=

∂

∂−−

∂

∂+

∂

∂

u

FrF

V

FrV

V

FV

ttVσ .

Lygtá supaprastinti leidþia tai, kad nëra skolos vertybiniø popieriø atkarpos mokëjimø irtariama, kad ámonë neprisiima jokiø kitø finansiniø ásipareigojimø.

Funkcijos F ir f gali ágyti tik neneigiamas reikðmes, todël reikalingos dvi kraðtinës sàlygosámonës turto vertës atþvilgiu 0),0(),0( == ufuF . Taip pat pagrásta tarti, kad ámonësskolos vertë yra ne didesnë uþ jos turto vertæ. Ið èia gaunama reguliarumo sàlyga

.1),(≤

t

t

V

uVF

Akcijø vertæ ),(),( uVFVuVfttt

−= apraðanti parabolinë diferencialinë lygtis yra analo-

giðka: 02

1

2

2

22=

∂

∂−−

∂

∂+

∂

∂

u

frf

V

frV

V

fV

ttVσ , esant kraðtinei sàlygai )0,max()0,( DVVf

TT−= .

Laiko momentu T, didëjant rizikai neatgauti paskolintø lëðø, ámonës skolos vertë yratokia: ).,min()0,( DVVF

TT= Taigi, skaièiuojant paskolos vertæ ir ámonës turto vertæ,

tikslinga taikyti matematines priemones, naudojamas pasirinkimo sandoriams. Pagal ið-plëtotà Merton teorijà ámonës turto vertë bet kuriuo laiko momentu t apibrëþiama kaipskoliniø ásipareigojimø ),( uVF

tir akcinio kapitalo ),( uVf

tsuma, todël galimi keli ekviva-

lentûs jos atskirø dëmenø nagrinëjimo variantai. Taikant Black-Scholes formulæ, ámonësakcijø vertë laiko momentu t aprašoma funkcija )(Φ)exp()(Φ),(

21xruDxVuVf

tt−−= ,

èia u

urD

V

x

V

V

t

σ

σ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

=

2

1

2

1ln

, kai uxxV

σ−=12 ir tTu −= .

Remiantis lygybe ),(),( uVfVuVFttt

−= , ámonës skolos vertë uþraðoma ðia lygtimi:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= )),((Φ

1)),((Φ)exp(),( 2

1

2

2udh

dudhruDuVF

Vt

t

Vttσσ ,

èia t

ru

t

V

Ded

−

= , ud

du

udh

t

tV

Vt

log2

1

),(

2

2

1

−

≡

σ

σ ir ud

du

udh

t

tV

Vt

log2

1

),(

2

2

2

+

≡

σ

σ .

Iš pastarosios lygties gaunama tokia kredito rizikos priemokos, atitinkanèios rizikingoskolos vertybinio popieriaus pajamingumà, iðraiðka:

,)),((Φ1

)),((Φln1

),,(),,(2

1

2

2

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=−≡ udhd

udhu

rudGudHVt

t

VtVtVtσσσσ

èia D

uVFuudG

T

Vt

),(}),,(exp{ 2=− σ , o ),,(

2

VtudG σ – rizikingo skolos vertybinio popie-

riaus pajamingumas esant sàlygai, kad skolininkas nebankrutuos. Nerizikinga investa-vimo strategija bearbitraþës rinkos sàlygomis reiðkia, kad rizikingo vertybinio popieriausperteklinio pajamingumo ir ámonës bendro perteklinio pajamingumo santykis yra lygus

45

R.

Le

ipu

s, M

. V

alu

þis

Kre

dit

o ri

zik

a k

aip

p

asi

rin

kim

o sa

nd

ori

s

rizikingo skolos vertybinio popieriaus vertës kintamumo ir ámonës turto vertës kintamumosantykiui, apraðomam tokia funkcija:

.

)),(( Φ1

)),(( Φ

)),(( Φ

),(

),(

:),(2

1

2

2

2

1

tVt

t

Vt

Vt

t

t

t

V

YY

t

dudhd

udh

udh

uVFV

uVFV

r

rTdg

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=∂

∂

==−

−=

σσ

σ

σ

σ

µ

µ

Kaip matyti ið daliniø iðvestiniø, kredito rizikos priemokos ),,(2

VtudH σ savybës pri-

klauso nuo funkcijos g:

0),(),,(

2

>=∂

∂

ud

Tdg

d

udH

t

tVtσ

ir ,0)),(( Φ2

)),((),(),,(2

1

2

1

2

2

>=∂

∂

udhT

udhTdgudH

Vt

Vtt

V

Vt

σ

σϕ

σ

σ

èia .2

1)( 2

–

2x

ex

π

ϕ = Vadinasi, kuo didesnis ámonës turto vertës kintamumas V

σ ir skolos

vertë, tuo didesnë kredito rizikos priemoka. Be to, ji priklauso nuo likusio paskolosgràþinimo termino u bei skolos vertës ir ámonës turto vertës santykio d

t :

.0)),(( Φ

)),((),(

2)),(( Φ

1)),(( Φln

),,(2

2

1

2

12

1

2

22

≠

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=∂

∂

u

udh

udhTdg

Tudh

dudh

u

udH Vt

Vt

tVt

t

Vt

Vtσ

σϕσσ

σ

Jeigu ,1

–

≥=

t

ru

t

V

Ded , t. y. ámonës turto vertë maþesnë uþ diskontuotà paskolos vertæ

laiko momentu t, tai kredito rizikos priemoka laikui bëgant didëja, t. y. 0),,(

2

<∂

∂

u

udHVt

σ ,

taip atskleisdama kreditoriaus lûkesèius, susijusius su skolininko bûklës neapibrëþtumu

ateityje. Be to, 0),(),,(),,(

22

<−=∂

∂⋅

∂

∂= Tdg

r

d

d

udH

dr

uddHt

vtvtσσ

. Taigi ði nelygybë

leidþia daryti tokià iðvadà: kuo didesnë nerizikingo skolos vertybinio popieriaus palûkanønorma, tuo maþesnë kredito rizikos priemoka (maþëjanti funkcija r atþvilgiu).

Skolos vertæ apraðanti funkcija F, kuri priklauso nuo ámonës turto vertës Vt ir jos

kintamumo V

σ , likusio paskolos gràþinimo termino u, suteiktos paskolos D ir nerizikingoskolos vertybinio popieriaus palûkanø normos r, yra ágaubta V

t ir D atþvilgiu. Be to, funkcija

F yra didëjanti Vt ir D atþvilgiu bei maþëjanti u,

Vσ ir r atþvilgiu.

Vienas ið pagrindiniø Merton modelio trûkumø yra tai, kad modeliuojant kredito rizikàneatsiþvelgiama á skirtingà paskolø terminà. Be to, modelio netinka taikyti tuo atveju, kaiámonë tampa nemoki ne determinuotu, o atsitiktiniu laiko momentu. Todël ieðkota bend-resniø struktûriniø kredito rizikos modeliø. Paþymëtina, kad ta pati iðmokø skolininkui irkreditoriui struktûra iðlieka ir esant ámonës nemokumui atsitiktiniu laiko momentu T≤τ .

Vieni ið pirmøjø apibendrinti struktûriná Merton modelá pabandë Fisher Black ir John C.Cox (1976). Jie sukûrë modelá, kai ámonës akcijoms (ar obligacijoms) nustatomi du kainørëþiai – virðutinis ir apatinis, kurie gali bûti numatyti kreditoriaus ir skolininko sutartyjearba gaunami endogeniðkai kaip optimizavimo uþdavinio dalis. Sudarant modelá, siektaámonës nemokumo laiko momentu T prielaidà, kuria pagrástas Merton modelis, pakeistigrieþtesne prielaida: ámonë tampa nemoki atsitiktiniu laiko momentu �. Be to, nagrinëjamasudëtingesnë finansiniø ásipareigojimø struktûra – apraðoma keliø paskolø elgsenaatsiþvelgiant á tris svarbiausias kredito rizikos valdymo priemones: jø gràþinimo pirmumà,kreditoriaus apsaugos priemones (safety covenant) – sutartyje numatytà kreditoriaus teisædalyvauti reorganizuojant ámonæ arba pagreitinti bankrotà jos nemokumo atveju, taippat – finansavimo apribojimus palûkanø ir dividendø mokëjimams. Sudarant Black-Cox

modelá, palûkanø norma laikoma pastoviu dydþiu.Francis A. Longstaff ir Eduardo S. Schwartz (1995) sukurtas dviejø kintamøjø – kredito

rizikos ir palûkanø normø – pokyèio modelis yra Black-Cox modelio apibendrinimas, kaipalûkanø norma r

t yra su ámonës turto verte koreliuotas atsitiktinis procesas, apraðomas

46

Pin

igø

stu

dij

os

20

06

/1 �

M

ate

ma

tin

ë e

ko

no

mik

a

Vasicek modeliu )()( tdWdtrcadrrrtt

σ+−= (èia }0),({ ≥ttWr

– Wiener procesas, ati-tinkantis palûkanø normos kitimà), ir kreditoriø pirmenybë atgauti paskolà nëra grieþtaiapibrëþta. Tariama, kad obligacija turi atkarpà (kredito rizikos atveju ji atitinka periodinápalûkanø mokëjimà). Nors pastarosios lygties sprendinys, esant teigiamo þenklo tikimybei,gali ágyti neigiamas reikðmes, ði lygtis daþnai taikoma, nes neigiamos palûkanø normosreikðmës ágijimo tikimybë yra maþa. Be to, pradinë teigiamos palûkanø normos reikðmëbûtinai lemia teigiamà vidutinæ palûkanø normos reikðmæ bet kuriuo laiko momentu.Pagal Longstaff-Schwartz modelá ámonës turto vertë yra apraðoma stochastine diferen-cialine lygtimi ).(tdWdtVdV

Vttσµ += Be to, tariama, kad paskolos likutis visà laikotarpá

nekinta. Svarbu tai, kad ámoniø, kuriø nemokumo rizika panaði, kredito rizikos priemokagali priklausyti nuo ámonës turto vertës ir palûkanø normos pokyèio. Ið ðio modelio paaið-këja, kodël turinèiø panaðius kredito reitingus, bet priklausanèiø skirtingiems ûkio sek-toriams ámoniø kredito rizikos priemoka yra skirtinga.

Kitas bandymas – Briys-de Varenne modelis (1997) taip pat apima dvejopà (kredito irpalûkanø normø pokyèio) rizikà. Jis leidþia iðvengti kitiems modeliams bûdingo trûkumo,kad iðmoka kreditoriui gali bûti didesnë uþ ámonës turto vertæ. Sudarant ðá modelá, paskoloslikutis yra laikomas priklausanèiu nuo laiko bei interpretuojamas kaip rizikingas skolosvertybinis popierius. Taip pat atsiþvelgiama á keliø paskolø gràþinimo eiliðkumà ir praktikojedaþnai pasitaikantá absoliuèios pirmenybës taisyklës (absolute priority rule) paþeidimà.Ámonës nemokumo atveju kreditorius atgauna paskolà, kuri yra lygi likusiai jos turtodaliai. Palûkanø normos elgsena rizikai neutralaus tikimybinio mato Q atþvilgiu aprašomastochastine diferencialine lygtimi )()())()(( tdWtdtrtbtadr

rrttσ+−= , èia a(t) ir b(t), kai

0≥t – determinuotos funkcijos. Tuo atveju, kai a(t) ir b(t) yra konstantos, palûkanønormos elgsenai ávertinti taikomas Vasicek modelis.

Beveik visi nagrinëjamø stochastiniø diferencialiniø lygèiø sprendiniai yra tolydþiosfunkcijos, taigi netikëto ámonës bankroto numatyti beveik neámanoma. Taip pat nustatyta,kad rizikingos obligacijos priemoka yra pernelyg didelë, kad bûtø galima taikyti difuziniusprocesus. Be to, tokios obligacijos padengimo normos dispersija nepriklauso nuo ámonësturto vertës nemokumo momentu (iðskyrus Merton modelá). Vienas ið bandymø spræstiðias problemas – Chunsheng Zhou (1997) sukurtas modelis, kai ámonës turto vertë apraðo-

ma ðuolinës difuzijos (jump-diffusion) procesu: )()1()()( tdJtdWdtV

dVV

t

t−++−= Πσλνµ ,

èia 0}),({ ≥ttJ – homogeninis Poisson procesas, kurio intensyvumo parametras yra �,

0>Π – ámonës turto vertës ðuolis, kurio vidurkis yra 1+v , kai 0,, >vµλ . Taikant ðámodelá ámonës turto vertës kitimui modeliuoti, atsiþvelgiama á galimus tokios vertës ðuolius,kurie rodo rinkoje pasirodanèià informacijà apie ámonës veiklà ir su tuo susijusiusinvestuotojø lûkesèius. Todël sudarant ðá modelá numatoma, kad dël ámonës turto vertësðuolio yra galimas net staigus jos bankrotas. Be to, paskolos padengimo normos dispersijayra endogeniðkai generuota. Papildoma ámonës turto vertës ðuolá apraðanti komponentëðá metodà daro panaðø á redukuotuosius modelius, bet pagal sandarà ðis modelis yrastruktûrinis.

Esama ir tokiø modeliø, kurie kredito rizikos problematikà leidþia iðnagrinëti plaèiau.Vienas ið jø – Hayne E. Leland ir Klaus B. Toft (1996) sukurtas modelis. Sudarant ðá dviejøkintamøjø modelá atsiþvelgiama á mokesèius ir ámonës bankroto sànaudas. Atsitiktinispaskolos likutis taip pat yra randamas endogeniðkai. Ðio modelio pagrindinë ypatybë yrata, kad jis sudaromas optimaliai paskolai ir optimaliam jos gràþinimo terminui rasti.Laikoma, kad ámonës nemokumas priklauso tiek nuo paskolos vertës, tiek nuo jos termino.Be to, ámonës nemokumas nëra egzogeninis veiksnys – jos turto vertei nustatomos

endogeninës bankroto sàlygos yra uþraðomos formule )()),(( tdWdttVV

dVVt

t

t σδµ +−= ,

èia ),( tVµ yra vidutinë ámonës turto gràþa, δ – pastovi ámonës turto vertës dalis, perio-

diðkai iðmokama kreditoriams.

47

R.

Le

ipu

s, M

. V

alu

þis

Kre

dit

o ri

zik

a k

aip

p

asi

rin

kim

o sa

nd

ori

s

Apibendrintai struktûriniai modeliai pateikiami 1 lentelëje:

1 lentelë

Struktûriniø modeliø endogeniniai kintamieji

Modelis Endogeniniai kintamieji

Merton (1974) Skolos vertë, ámonës turto vertë, kredito rizikos priemoka

Black-Cox (1976) Skolos vertë, ámonës turto vertë

Longstaff-Schwartz (1995) Rizikingos fiksuotosios (ar kintamosios) palûkanø normos

obligacijos vertë

Briys-de Varenne (1997) Rizikingos obligacijos vertë, kredito rizikos priemoka

Zhou (1997) Rizikingos fiksuotosios (ar kintamosios) palûkanø normos obligacijos

vertë, nemokumo tikimybë

Leland-Toft (1996) Rizikingos obligacijos vertë, kredito rizikos priemoka

Šaltinis: sudaryta autoriø.

Struktûriniai modeliai pasiþymi kai kuriais trûkumais, turinèiais átakos modeliuojant irekonomiðkai interpretuojant kredito rizikà:

1. Taikant struktûrinius modelius, ámonës turto vertë paprastai yra nustatoma pagalakcijø vertæ rinkoje. Atsitiktinis procesas }0,{ ≥tV

t, kuriuo apraðoma ámonës turto vertë,

nëra stebimas, dël to atsiranda sunkumø nustatant tokios vertës kintamumà. Kad bûtøgalima apskaièiuoti pasirinkimo sandorio kainà pagal Black-Scholes formulæ, reikia þinotiámonës turto vertæ, jos kintamumà, nerizikingo vertybinio popieriaus palûkanø normà,paskolos dydá ir laikotarpá iki sandorio galimo ávykdymo (kredito rizikos atveju jis daþniausiaibûna atsitiktinis dydis). Taèiau nei ámonës turto vertë, nei ðios vertës kintamumas, neipaskolos vertë nëra stebimi kintamieji. Todël sudarant modelius tenka naudoti áverèius, one tikràsias kintamøjø reikðmes.

2. Sudarant matematiná modelá, kai vienam skolininkui suteikiamos kelios paskolos,turi bûti nurodyta ir jø gràþinimo pirmenybë. Paþymëtina, kad ðiuo metu taikomuosestruktûriniuose kredito rizikos modeliuose, iðskyrus Black-Cox ir Briys-de Varenne modelius,kai atsiþvelgiama á paskolø gràþinimo eiliðkumà vertinant kredito rizikà, ði taisyklëdaþniausiai paþeidþiama.

3. Ámonës turto vertës kitimas apraðomas kaip tolydus difuzinis procesas. Vadovaujantisstruktûrinio modelio logika, ámonës negali iðtikti netikëtas bankrotas, bet empiriniaiduomenys rodo, kad rizikingø trumpalaikiø skolos vertybiniø popieriø rizikos priemoka,palyginti su tokiais struktûriniø modeliø áverèiais, yra didelë, todël negalima atmestiprielaidos, kad ámonë gali tapti nemoki staiga. Siekdamas iðtaisyti ðá trûkumà, C. Zhou(1997) ámonës turto vertæ apraðantá tolydøjá procesà papildë ðuoliniu Poisson procesu.

Þinomesni struktûriniai modeliai, taikomi kredito rizikai vertinti, yra KMV’s Portfolio

Manager, Moody’s RiscCalc.

2.2. Redukuotieji modeliai

Ámonës turto vertæ ir jos kintamumà laiko atþvilgiu galima ávertinti tik apytikriai, todëlsudarant struktûrinius modelius bûtina naudoti áverèius, o ne tikràsias reikðmes. Toks struk-tûriniams kredito rizikos modeliams bûdingas trûkumas paskatino kurti modelius, pagrástuskitokio pobûdþio informacija. Taip struktûriniai kredito rizikos modeliai buvo iðplëtoti ikiredukuotøjø. Redukuotieji modeliai pirmà kartà buvo apraðyti Robert A. Jarrow ir Stuart M.Turnbull (1992). Jø teigimu, tokie modeliai neleidþia nustatyti ryðio tarp ámonës turto vertësir jos nemokumo. Redukuotieji modeliai yra bendresni nei struktûriniai ir labiau pritaikytiámonës nemokumui prognozuoti. Juos taikant daroma prielaida, kad egzogeninis atsitiktinisprocesas lemia ámonës nemokumà ir kad nemokumo tikimybë bet kuriame laiko intervaleyra lygi 0. Ðiam tikslui á modelius yra átraukiama Poisson proceso intensyvumo komponentë.Taikant tokius modelius, mëginama apskaièiuoti ne tik paskolà paëmusios ámonës turtodabartinæ vertæ, bet ir paèios paskolos dabartinæ vertæ. Modeliuojant ámonës nemokumotikimybæ, taikomi intensyvumo procesai (intensity processes) ir daugiau dëmesio skiriamaámonës nemokumo pasekmëms, o ne prieþastims. Redukuotuosiuose modeliuose apibrëþtas

48

Pin

igø

stu

dij

os

20

06

/1 �

M

ate

ma

tin

ë e

ko

no

mik

a

stabdymo momentas laikomas nepasiekiamu, t. y. kiekvienu numatomu stabdymo momentuS teisinga lygybë 0})()(:{ =∞<= ωωτω SQ , èia Q – ekvivalentusis martingalinis matas.Intuityviai suvokiama, kad toks stabdymo momentas nëra „nuspëjamas“.

Redukuotøjø modeliø pagrindinis stebimas reiðkinys yra visiems finansø rinkos dalyviamsprieinama informacija, t. y. filtracija F

t),,( tsZ

s<= τσ , generuojama ámonës nemokumo

atvejø (stabdymo momentø) ir atitinkamø bûsenø vektoriaus (state variable) Zt, kuris

modeliuojamas kaip difuzinis procesas. Remiantis ðia informacija, bandoma nuspëti ámonësturto vertæ ir kitus kredito rizikos rodiklius nemokumo atveju. Ámonës nemokumas, kaipstabdymo momentas, generuojamas taikant Cox procesà:

⎩⎨⎧

>

≤==

≤

t

tN

tt

τ

τ

τ

,0

,11: }{ su intensyvumo procesu }0),({ ≥tZ

ttλ . Intensyvumo procesas

}0,{ ≥tt

λ yra toks, kad ∫−t

utduN

0

λ yra martingalas mato Q atþvilgiu. Nehomogeninio

Poisson proceso su atsitiktiniu intensyvumu )(tt

Zλ pirmas šuoliukas iki tam tikro nustatyto

lygio ir reikðtø ámonës nemokumà, o intensyvumo procesas }0,{ ≥tt

λ kaip tik nusakoðio ðuoliuko atsiradimo intensyvumà laiko momentu t mato Q atþvilgiu.

Svarbi redukuotøjø kredito rizikos modeliø ypatybë yra ta, kad ámonës nemokumo atvejuintensyvumo parametrai gali kisti laiko atþvilgiu, o tai reiðkia, kad ámonës veiklai turi átakosverslo ciklai ir pan. Modelius patogu taikyti praktiðkai – keièiant ámoniø nemokumo atvejøintensyvumà lengviau modeliuoti paskolø portfelio netolygø kitimà. Redukuotiesiemsmodeliams sudaryti reikia maþiau informacijos apie ámonës turtà ir jos finansiniusásipareigojimus, nes naudojami visiems rinkos dalyviams prieinami duomenys, jei rinkoje jøyra. Be to, sudarant redukuotuosius modelius, daroma prielaida, kad finansiniø ásipareigojimøstruktûra nëra nuolat stebimas procesas, nors skolos padengimas yra stebimas procesas.

Vienas ið didþiausiø redukuotøjø modeliø trûkumø yra tas, kad esant didelei ámonësnemokumo tikimybei galima suklysti nustatant jos nemokumo momentà �, nes ámonësbankrotas trunka tam tikrà laikà. Taikant tipiná redukuotàjá kredito rizikos modelá, bandomaávertinti rizikingà paskolà ið turimos informacijos apie jos padengimo lygá, nerizikingøobligacijø kainos ar ið kredito reitingø pokyèiø tikimybiø. Rizikai neutralus tikimybinisnemokumo matas gali bûti interpretuojamas kaip pakoreguota tikimybë nemokumorizikos atþvilgiu. Sudarant redukuotuosius modelius naudojamasi nemokumo atvejø inten-syvumo funkcija, o paskolos padengimo norma nepriklauso nuo paskolos likuèio vertës.

Sudarant Jarrow-Turnbull (1995) diskretaus laiko dviejø periodø ir tolydaus laikoiðvestiniams vertybiniams popieriams pritaikytus kredito rizikos modelius, bandoma rastianalogijà su binominiais prekybos valiuta modeliais. Skiriamos dvi su kredito rizika susijusiosaplinkybës: modeliuojama padëtis, kai turto, kuriam sudaromas sandoris, vertë yra lygi 0,ir kai pasiraðæs vertybiná popieriø skolininkas tampa nemokus. Taip pat apibrëþiamos dviturto grupës – rizikingi ir nerizikingi skolos vertybiniai popieriai. Rizikingo vertybinio po-pieriaus vertë skaièiuojama darant prielaidà, kad palûkanø norma yra atsitiktinis procesas.Tariama, kad pagal ðio modelio sandarà uþsienio valiutos kursui ekvivalenti iðmokos normair palûkanø norma yra nepriklausomi procesai.

Jarrow-Lando-Turnbull (1997) diskretaus ir tolydaus laiko modeliai leidþia tiksliainustatyti ryðá tarp rizikingø obligacijø kainos ir rizikai neutraliø nemokumo ar kreditoreitingø pokyèio tikimybiø. Ðiam modeliui, pagrástam tolydaus laiko Markov grandine subûsenø, atspindinèiø kredito reitingus, aibe, naudojamà informacijà sudaro nemokumoir kredito reitingø pokyèiø praeities duomenys. Tariama, kad ámonës nemokumas nepri-klauso nuo palûkanø normø kitimo. Tuomet }{ TP

t≤τ – sàlyginë nemokumo tikimybë

praeities duomenø iki laiko momento t atþvilgiu – apskaièiuojama ið tokios formulës:

,),(

),(1

1

1}{ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=≤

TtB

TtD

RTP

tτ

èia D(t, T) – nulinës atkarpos rizikingos obligacijos, kurios iðpirkimo terminas T, vertëlaiko momentu t, B(t, T) – nulinës atkarpos nerizikingos obligacijos, kurios iðpirkimoterminas T, vertë laiko momentu t, R – rizikingos obligacijos padengimo norma.

Sudarant Lando (1998) modelá, tariama, kad rinkos rizikos veiksniai ir kredito rizika

49

R.

Le

ipu

s, M

. V

alu

þis

Kre

dit

o ri

zik

a k

aip

p

asi

rin

kim

o sa

nd

ori

s

yra priklausomi atsitiktiniai dydþiai. Praeities duomenys apie nemokumo tikimybës ir kreditoreitingø pokyèius naudojami esant prielaidai, kad kredito rizikos priemoka net ir taislaikotarpiais, kai skolininko kredito reitingai nesikeièia, yra atsitiktinis dydis. Be to, pagalðá modelá apskaièiuojama rizikingos obligacijos ir kitø iðvestiniø finansiniø priemoniø vertëapibendrinto Markov modelio atveju.

Duffie-Singleton (1999) modelis leidþia apskaièiuoti rizikingos obligacijos vertæ, kaiskolininkas tampa nemokus. Rizikai neutrali sàlyginë nemokumo iki ∆+t tikimybë in-formacijos F

t atþvilgiu, jei nebuvo nemokumo iki laiko momento t, apytikriai lygi ∆λ

t,

kai laikotarpis 0>∆ pakankamai trumpas. Tam naudojamasi intensyvumo }0,{ ≥tt

λ irtikëtinos nuostolio dalies (expected fractional loss) }0,{ ≥tL

t procesais, t. y. sudaromas

rizikai neutralus „vidutinës nuostolio normos“ procesas }0,{ ≥tLt

. Pradinë ðio uþdavinio

sàlyga yra ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫

T

s

QdsRXED

0

00exp , èia Q

E0

– sàlyginis vidurkis, atitinkantis rizikai

neutralø tikimybiná matà Q pradiniu laiko momentu, X – finansinis ieškinys (contingent

claim), išmokamas laiko momentu T, jei ámonë iki to laiko nebankrutavo. Rizikingosobligacijos ar paskolos vertë bet kuriuo laiko momentu apskaièiuojama panaðiai:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫

T

t

s

Q

tt dsRXED exp , èia ssssLrR λ+= , D

t – obligacijos (paskolos) vertë laiko mo-

mentu t, QE0

– sàlyginis vidurkis �-algebros Ft atþvilgiu, atitinkantis rizikai neutralø matà

Q. Kai ámonës nemokumo momentu � iðmoka yra atsitiktinis dydis, iðmokos dabartinë

vertë apraðoma formule ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫

τ

t

s

Q

tt dsRXED exp , kai τ<t . Sudarant ðá modelá, taip

pat tariama, kad nemokumo tikimybë ir palûkanø norma yra koreliuoti atsitiktiniai procesai.Skolos padengimo norma gali bûti atsitiktinis dydis, jis gali priklausyti nuo ávairiø veiksniø –pradedant paskolos verte ir baigiant ámonës nemokumu. Taèiau sudarant ðá modelá negalibûti naudojama informacija apie kredito reitingø pokyèius.

Sudarant Madan-Unal (1998) diskretaus laiko modelá, skiriama dvejopa – ámonës ne-mokumo ir nuostolio nemokumo atveju – rizika. Taip pat iðplëtojant modelá tobulomsbearbitraþëms rinkoms atsisakoma daugumai modeliø bûdingo terminø struktûros (term

structure) modeliavimo. Ámonës bankrotas paprastai trunka tam tikrà laikà, todëlMadan-Unal modelyje atsisakoma formalaus ir grieþto jos nemokumo apibrëþimo, onemokumo momento � tikimybinis tankis priklauso nuo suminio akcijø perteklinës gràþosindekso (cumulated excess equity return index); perteklius yra susijæs su pinigø rinkojeegzistuojanèiu nerizikingu vertybiniu popieriumi. Taip apibrëþta nuosavybë suprantamakaip rinkos nusakyta kredito rizikai pakankama statistika. Taip pat bandoma ávertintisàlyginá rizikai neutralø paskolos likuèio tikimybiná tanká esant prielaidai, kad ámonësnemokumas ir paskolos padengimo norma nepriklauso nuo palûkanø normos. Be to,atsiþvelgiama á paskolø gràþinimo pirmenybæ.

Apibendrintai redukuotieji modeliai pateikiami 2 lentelëje:

2 lentelë

Redukuotøjø modeliø endogeniniai kintamieji

Modelis Endogeniniai kintamieji

Jarrow-Turnbull (1995) Rizikingos obligacijos, paþeidþiamojo pasirinkimo sandorio ir kitø

iðvestiniø finansiniø priemoniø vertë, nemokumo tikimybë

Jarrow-Lando-Turnbull (1997) Kredito reitingai, nemokumo tikimybë

Lando (1998) Rizikingos obligacijos vertë ir kitø iðvestiniø finansiniø priemoniø vertë,

kredito rizikos priemoka, nemokumo tikimybë

Duffie-Singleton (1999) Rizikingø obligacijø ir kitø rizikingø iðvestiniø finansiniø priemoniø vertë

Madan-Unal (1998) Rizikingos obligacijos vertë, nemokumo tikimybë

Šaltinis: sudaryta autoriø.

50

Pin

igø

stu

dij

os

20

06

/1 �

M

ate

ma

tin

ë e

ko

no

mik

a

Vieni ið daþniau taikomø redukuotøjø kredito rizikos modeliø yra CreditRisk+, KPMGLoan Analysis System ir Kamakura Risk Manager.

2.3. Apie kredito reitingams nustatyti taikomus modelius

Siekiant suteikti reitingà paskolai arba skolininkui, taikomi struktûriniai ir redukuotiejimodeliai, taip pat jis nustatomas ekspertiðkai. Kad bûtø ávertinta su suteikta skolininkuipaskola susijusi kredito rizika, turi bûti randama ne tik jà paëmusios ámonës turto vertë,bet ir tokios paskolos vertë skolininko nemokumo atveju. Nesant galimybës gauti duomenøapie ámonës turto vertæ ir paskolos vertæ bei jø kintamumà tiesiogiai ið finansø rinkos,taikomi netiesioginiai bûdai ðiø rodikliø áverèiams apskaièiuoti. Kredito reitingui nustatytitaikomø modeliø ávesties duomenys – tai esamas skolininko reitingas ir tikimybë, kad jispasikeis (t. y. Markov grandinës perëjimo ið vienos bûsenos á kità tikimybës), o rezultatas –kredito reitingà atitinkanèios paskolø vertës apskaièiavimas. Ðiam tikslui yra sudaromoskredito reitingø matricos, o kiekvienam reitingui priskiriama kredito rizikos priemoka.Nerizikingo vertybinio popieriaus pajamingumo kreivë, kaip ir daugelis kitø kintamøjø,tiesiogiai nesusijusiø su konkreèia paskola, nusakomi egzogeniðkai. Taip pat bûtina ap-skaièiuoti tikëtinà kreditoriaus atgautinà paskolos likutá nemokumo atveju. Didþiausiasðiø modeliø trûkumas yra tai, kad pagal juos apskaièiuotø kredito rizikos rodikliø pati-kimumas priklauso nuo suteiktø reitingø tikslumo ir susigràþinamo paskolos likuèio ne-mokumo atveju. Vienas ið ðios metodikos taikymo pavyzdþiø – JP Morgan’s CreditMetrics

modelis, kai nemokumo tikimybë vertinama remiantis palyginamaisiais faktiniais duo-menimis ir kredito reitingø matrica, nurodanèia tikimybes, kad bet kurios paskolos (obli-gacijos) reitingas pasikeis per vienerius metus. Taikomi tokie kredito reitingø pokyèiømodeliai, kaip KMV’s PortfolioView, CreditRisk+, McKinsey‘s CreditPortfolioView.

3. Ámonës turto vertë dviejø susijusiø paskolø atveju

Teikdamas paskolas komercinis bankas ne tik rizikuoja dël atskiros paskolos negrà-þinimo, bet ir prisiima papildomà sisteminæ rizikà (bûdingà paskolø portfeliui), atsirandanèiàdël paskolø tarpusavio sàsajos, t. y. kai kelias paskolas sieja ta pati ekonominës veiklosrûðis, paskolas gavusios ámonës priklauso tam paèiam akcininkui ir kt. Tokia rizika yrareikðminga visos kredito rizikos dalis. Dël to valdant paskolø portfelio rizikà kyla poreikisjá diversifikuoti. Nustatyti priklausomybæ tarp atskirø ámoniø bankroto – sudëtingas uþ-davinys (labiau ekonominis, nei matematinis) dël tam reikalingø duomenø trûkumo, juolabiau kad keliø susijusiø ámoniø bankrotas vienu metu yra itin retas ávykis.

Remiantis klasikine Black-Scholes formule ir darant atitinkamas prielaidas, galimaapskaièiuoti vienos ámonës, kuriai suteikta paskola, turto dabartinæ vertæ pradiniu laikomomentu. Ekonominë tokio uþdavinio prasmë yra akivaizdi: gana daþnai pasitaiko atvejø,kad, vienai ámonei patyrus sunkumø ir dël to nebevykdant skoliniø ásipareigojimø, taiatsiliepia ir kitai kaip nors su ja susijusiai ámonei. Ðiuo atveju nagrinëjama, kaip vienosámonës nemokumo tikimybë ir jai suteiktos paskolos vertë priklauso nuo kitos su ja susi-jusios ámonës nemokumo, todël ðis uþdavinys gali bûti interpretuojamas kaip dviejø su-sijusiø (koreliuotø) pasirinkimo sandoriø ávertinimo uþdavinys. Taigi koreliacija suprantamakaip atsitiktiniø procesø }0),({ ≥ttV

i, kai i = 1, 2, apibrëþianèiø kiekvienos ámonës turto

vertæ, charakteristika (suprantama tikimybiø teorijos sàvoka), o ne kaip dviejø ávykiø, t. y.dviejø ámoniø bankroto vienu metu, priklausomybë. Ámonës turto vertei susijusiø paskoløatveju nustatyti taikomas toks modelis:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥+=

+=

=

,0)),()(()(

)),()(()(

,)(

22222

11111

ttdWdttVtdV

tdWdttVtdV

etBrt

σµ

σµ

èia }0),(),({21

≥ttWtW – koreliuotas dvimatis Wiener procesas. Tariama, kad Wiener pro-cesø }0),({

1≥ttW ir }0),({

2≥ttW tarpusavio koreliacija yra lygi ρ , t. y. [ ] ttWtWE ρ=)()(

21,

51

R.

Le

ipu

s, M

. V

alu

þis

Kre

dit

o ri

zik

a k

aip

p

asi

rin

kim

o sa

nd

ori

s

kai 2,1, =ii

σ yra i-tosios ámonës turto vertës kintamumas, abiejø pasirinkimo sandoriøkaina (paskolø vertë) – D

i, kai i = 1, 2, T – paskolø gràþinimo terminas. Šio uþdavinio

schema yra tokia: V1(t) ir V

2(t), kai 0≥t , yra dviejø tarpusavyje kokiu nors bûdu susijusiø

ámoniø turto vertës, t. y. koreliuoti atsitiktiniai procesai, ir B(t), kai 0≥t – nerizikingoskolos vertybinio popieriaus, kurio metinë palûkanø norma yra r, vertë laiko momentu t.Antrosios ámonës dabartinë turto vertë apskaièiuojama tuo atveju, kai pirmoji ámonëtampa nemoki atsitiktiniu laiko momentu })(:0inf{

11DtVt =≥=τ . Toks modelis pato-

gus taikyti, nes leidþia nustatyti tam tikrà kriterijø – konstantà D2, kuris turëtø bûti ne

maþesnis uþ atitinkamà paskolos likutá tam tikru laiko momentu. Ði galimybë leistø ban-kams pagal grieþtesnius kriterijus valdyti paskolos kredito rizikà. Tokiu atveju, jei

22)( DtV ≤ ,

kai ],0[ Tt ∈ , bûtø laikoma, kad antroji ámonë yra nemoki. Nors retai bûna, kad susijusiosámonës taptø nemokios vienu metu, valdant kredito rizikà jø tarpusavio priklausomybæávertinti yra aktualu. Tariama, kad pradiniu laiko momentu pirmosios ámonës turto vertëyra didesnë uþ jai suteiktà paskolà:

11)0( DV > .

Geometriniu Wiener procesu apraðomos abiejø ámoniø turto verèiø stochastinës lygtysyra transformuojamos á aritmetiniu Wiener procesu perteikiamas lygtis. Uþdavinys yrasurasti tikimybiná skirstiná },)({

22TDVP << ττ ir ávertinti paskolà paëmusios antrosios

ámonës turto dabartinæ vertæ esant sàlygai, kad paskolà paëmusi pirmoji ámonë tampanemoki, t. y. T≤τ . Paskolà paëmusios antrosios ámonës turto dabartinë vertë pradiniulaiko momentu apraðoma taip:

.2

)0(ln

Φ

2

)0(ln

Φ2

)0(ln

exp)0(

]1)([

1

1

2

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

22

1

2

1

1

2

}{2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−+

+

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

==≤

−

Tr

T

V

D

Tr

T

V

D

rV

D

V

VeEvT

r

σ

σρσ

σ

σ

σρσ

σ

σ

σρσ

σ

ττ

τ

(4)

Ði formulë árodoma priedo 2 skyriuje. Atskiru atveju, kai koreliacija tarp dviejø susijusiøpaskolø yra 0=ρ , ið pastarosios formulës matyti, kad paskolà paëmusios antrosios ámonësturto dabartinë vertë nepriklauso nuo jos kintamumo, taèiau vis tiek priklauso nuopirmosios ámonës turto dabartinës vertës kintamumo. Kai ∞=T , t. y., kai paskola suteiktaneribotam laikui, esant sàlygai, kad paskolà paëmusi pirmoji ámonë tapo nemoki atsitiktiniulaiko momentu �, paskolà paëmusios antrosios ámonës turto dabartinë vertë nepriklausonei nuo pirmosios ámonës turto dabartinës vertës, nei nuo laiko ir lygi antrosios ámonësturto pradinei vertei )0()]([

22

–VVeE

r

=ττ .

Pastarasis rezultatas gaunamas tik tuo atveju, kai pirmajai ámonei suteikta paskola D1

yra maþesnë uþ ámonës turto vertæ pradiniu laiko momentu V1(0). Be to, pirmosios ámonës

turto vertæ apraðanèio atsitiktinio proceso }0),({1

≥ttV kintamumas 1

σ turi priklausytiintervalui ))21(),21((

22rr +− ρσρσ . Turto vertës pokyèio priklausomybë nuo jà

apraðanèiø kintamøjø pokyèiø aptarta priedo 3 skyriuje. Be to, (4) formulës taikymopavyzdys nagrinëjamas 3 lentelëje. Joje pateiktos antrosios ámonës turto dabartinës vertësreikðmës pradiniu laiko momentu, kai nerizikingo skolos vertybinio popieriaus metinëpalûkanø norma r = 5 procentai, o antrajai ámonei suteiktos paskolos vertë pradiniu laikomomentu V

2(0) = 100.

52

Pin

igø

stu

dij

os

20

06

/1 �

M

ate

ma

tin

ë e

ko

no

mik

a

3 lentelë

Paskolà paëmusios antrosios ámonës turto dabartinës vertës v reikðmës

V1(0)

D1

�1

�2

� T �

1,025 0,10 0,30 +0,25 0,25 92,581656

1,05 0,10 0,30 +0,25 0,50 80,253757

1,05 0,15 0,30 –0,25 0,50 102,89897

1,05 0,10 0,30 +0,25 0,75 61,567374

1,05 0,10 0,30 +0,50 0,75 59,690016

1,05 0,10 0,30 –0,50 0,75 83,782041

1,10 0,25 0,50 +0,75 0,75 56,032269

1,10 0,25 0,50 +0,25 0,75 103,04523

1,10 0,50 0,50 +0,25 0,50 110,06850

1,10 0,10 0,30 +0,25 1,00 107,26428

Šaltinis: autoriø skaièiavimai.

Ið lentelës matyti, kad antrosios ámonës turto dabartinë vertë v gali bûti ir didesnë, irmaþesnë uþ jos pradinæ reikðmæ V

2(0). Darytina iðvada, kad paskolø susietumas gali turëti

átakos antrosios ámonës turto dabartinei vertei. Á tai turi bûti atsiþvelgiama ámonei suteikiantpaskolà ir nustatant jos kredito rizikos priemokà. Bûtø teisinga kredito rizikos priemokàlaikyti proporcinga ámonës turto pradinës vertës V

2(0) ir jos vertës v, kai paskolos susijusios,

skirtumui, jei v < V2(0). Priešingu atveju, jei v � V

2(0), tokia priemoka turëtø bûti lygi 0.

(4) formulæ galima nesunkiai apibendrinti ir tuo atveju, kai paskolos bûtø nusakomosne kaip konstantos, o kaip eksponentinës funkcijos ar geometriniai Wiener procesai.

Išvados

Straipsnyje aiðkinama kredito rizikos matematinë teorija, pagrindþiant, kodël kredito rizika,atsirandanti dël banko kliento nemokumo, pagal struktûrinius modelius gali bûti inter-pretuojama kaip pasirinkimo sandoris. Atskleidþiama, kaip, vertinant su suteikta skolininkuipaskola susijusià kredito rizikà, galima taikyti pasirinkimo sandoriø vertinimo modelius irapskaièiuoti ámonës turto vertæ naudojant paþeidþiamiesiems pasirinkimo sandoriams suatsitiktiniu ávykdymo momentu pritaikytas stochastines diferencialines lygtis. Taip patnagrinëjamas klasikinis struktûrinis Merton modelis, nusakantis ámonës kredito rizikosesmæ. Parodoma, kaip taikant struktûrinius ir redukuotuosius modelius nustatoma kreditorizikos priemoka, paskolos dydis bei ámonës turto vertë. Straipsnyje apraðytos pagrindiniøstruktûriniø, redukuotøjø modeliø ypatybës, privalumai ir trûkumai.

Lietuvos finansø rinka silpnai iðplëtota, jai bûdingas duomenø trûkumas, o tai apsunkinatiek struktûriniø, tiek redukuotøjø kredito rizikos modeliø taikymà. Vienas ið bûdø taikytistruktûrinius modelius – naudotis vertybiniø popieriø birþos duomenimis apie joje listin-guojamø bendroviø kapitalizacijà. Vis dëlto tokiu atveju kiltø papildoma efektyvios rinkosir adekvataus bendroviø akcijø kainø vertinimo problema. Taigi kredito rizikai vertintitikslinga taikyti redukuotuosius modelius – remiantis turimais duomenimis, bûtø galimamodeliuoti ámonës nemokumà, t. y. apskaièiuoti paskolos dydá, ámonës turto vertæ, nemo-kumo tikimybæ, nuostolá nemokumo atveju ir kitus kredito rizikos rodiklius.

Straipsnyje taip pat iðvesta formulë, skirta apskaièiuoti paskolà paëmusios vienos ámonësturto dabartinæ vertæ esant sàlygai, kad kita kaip nors su ja susijusi ir paskolà paëmusiámonë tapo nemoki. Taikant ðià formulæ, nustatyta, kad paskolà paëmusios antrosiosámonës dabartinë turto vertë priklauso nuo abiejø ámoniø (ið jø ir pirmosios ámonës) turtoverèiø kintamumo, paskolø susietumo ir jø gràþinimo termino. Skaièiavimais parodyta,kad dël paskolø susietumo ir kitø veiksniø antrosios ámonës turto dabartinë vertë galibûti ir didesnë, ir maþesnë uþ jos pradinæ reikðmæ, todël atitinkamai turëtø bûti vertinamatokios ámonës kredito rizika bei nustatoma jos priemoka.

53

R.

Le

ipu

s, M

. V

alu

þis

Kre

dit

o ri

zik

a k

aip

p

asi

rin

kim

o sa

nd

ori

s

Priedas

1. Ámonës nemokumo tikimybës apskaièiavimas

Tariama, kad Cr – paþeidþiamojo pasirinkimo pirkti sandorio, kurio ávykdymo kaina yra D,

dabartinë vertë, CBS

– nerizikingo Black-Scholes pasirinkimo pirkti sandorio, kurio ávykdymokaina yra D, dabartinë vertë, P

r – kredito rizikos priemoka. Árodoma, kad teisinga straipsnio

1.3 skyriaus (2) lygybë.Kiti skaièiavimuose naudojami þymenys: A(t) – ámonës kredito kokybës mato reikðmë,

K(t) – ámonës kredito kokybës mato minimalaus kriterijaus reikðmë, V(t) – ámonës turtovertë laiko momentu t. Ðie procesai apraðomi stochastinëmis diferencialinëmis lygtimis,pateiktomis 1.3 skyriuje.

Tariama, kad pradiniu laiko momentu galioja sàlyga A(0) > K(0). Tegul :0inf{ ≥= tA

τ

)}()( tKtA = ir ∞=A

τ , jei )()( tKtA ≠ visiems t, bûna pirmasis laiko momentas, kai pasi-

rinkimo pirkti sandorio pirkëjas tampa nemokus. Paprastumo dëlei laikoma, kad ámonë,kurios turto vertë apraðoma atsitiktiniu procesu }0),({ ≥ttV , nemoka jokiø dividendø.Ámonës nemokumui }{ T

A≤τ prieðingo ávykio tikimybæ }{ TP

A>τ galima apskaièiuoti

keliais bûdais. Remiantis paþeidþiamojo pasirinkimo pirkti sandorio ávertinimo formule (þr.Rich 1996), gaunama, kad tokio sandorio dabartinë vertë C

r, kai � = 0, yra uþrašoma taip:

),0;,(Φ)0(

)0()0;,(Φ

)0(

)0()0(

)0;,(Φ)0;,(Φ)0(),);0(),0(),0((

312312

212212

yTyA

KDeyy

A

KV

yTyDeyyVTDKAVC

V

rT

V

rT

r

σ

σ

γγ

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−−−=

−

−

èia T

TrD

V

y

V

V

σ

σµ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−+

=

2

1

2

1)0(ln

, o �, y2, y

3 apibrëþti 1.3 skyriuje. Kadangi standartinio

dvimaèio normaliojo skirstinio su nuline koreliacija atveju yra teisinga lygybë

)(Φ)(Φ2

exp2

10);,(Φ

2112

2

2

2

1

212

1 2

yydxdxxx

yyy y

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−= ∫ ∫

∞− ∞−π

, tai

[ ]

,)( Φ)0(

)0()( Φ),);0((

)(Φ)( Φ)( Φ)( Φ)0()0(

)0(

)( Φ)( Φ)(Φ)( Φ)0(),);0(),0(),0((

32

3131

2121

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

=−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−−−=

−

−

yA

KyTDVC

yTyDeyyVA

K

yTyDeyyVTDKAVC

BS

V

rT

V

rT

r

γ

γ

σ

σ

èia )(Φ)(Φ)0(),);0((11

TyDeyVTDVCV

rT

BSσ−−=

− yra europietiðkojo pasirinkimo pirkti

sandorio kaina (klasikinë Black-Scholes formulë). Ið èia gaunama, jog tikimybë, kadskolininkas iki paskolos gràþinimo termino T išliks mokus, yra tokia:

)(Φ)0(

)0()(Φ}{

32y

A

KyTP

A

γ

τ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=> . (5)

Antra vertus, ðià formulæ galima gauti ir tiesiogiai ið geometriniø Wiener procesø, ap-raðytø straipsnio 1.3 skyriuje pateiktomis pirmosiomis dvejomis stochastinëmis diferen-cialinëmis lygtimis:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

,0,)(2

1exp)0()(

)(2

1exp)0()(

2

2

ttWtKtK

tWtAtA

KKKK

AAAA

σσµ

σσµ

54

Pin

igø

stu

dij

os

20

06

/1 �

M

ate

ma

tin

ë e

ko

no

mik

a

ir ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−−= )()()(

2

1exp)0(

)0(

)(

)( 22tWtWt

K

A

tK

tA

KKAAKAKAσσσσµµ ,

t. y. gaunamas naujas procesas )(

)()(

tK

tAtS =

, kuris dar gali bûti uþraðytas ir taip:

( )( ))()()(2

)()( 2

2

tdWdttStdWdttStdSSKAAKKKAS

σσσρσµµσσ

ς +−+−=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= , (6)

èia )(2

1 22

KAKAσσµµς −−−= , )(:)()( tWtWtW

SKKAAσσσ =− ,

KAAKKAσσρσσσ 2

222−+= ,

o WS(t) – Wiener procesas.

(6) lygties sprendinys yra { } ,)0()(exp)0()( )(tZ

SeStWtStSσ

σς =+= èia σ

ςν = , Z(t) = �t +

+ Ws(t) yra aritmetinis Wiener procesas. Tariama, kad pirmasis laiko momentas, kai pasi-

rinkimo pirkti sandorio pirkëjas tampa nemokus, apibrëþiamas kaip

{ } ,)(:0inf)0(

1ln

1)(:0inf}1)(:0inf{ )(α

τα

σ

τZS

tZtS

tZttSt ==>=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=>==>=

èia )0(

1ln

1

Sσ

α = . Taikant atspindþio principà minimumui (praleidþiant technines detales)

ir esant sàlygai, kad pradiniu laiko momentu A(0) > K(0), gaunama tokia lygybë:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=≥−=<=<

T

Te

T

TmPTPTP

Z

TZS

αννα

αττναα

Φ Φ}{1}{}{2)(

,

èia }),(inf{ TssZmZ

T≤= . Ið pastarosios lygybës randama ámonës mokumo tikimybë

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=>=>

T

Te

T

T

T

Te

T

TTPTP

v

SA

αναναννα

ττναα

Φ Φ ΦΦ1}{}{22 .

Ið èia ir gaunama (5) lygybë, kurià reikëjo árodyti, turint galvoje, kad:

γ

σ

ν

να ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==

)0(

)0()0(

1ln2

2

A

Kee

S ,

T

TK

A

T

Ty

KAKA

σ

σσµµαν

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−−+

=−

=

)(2

1

)0(

)0(ln

22

2,

.

)(2

1

)0(

)0(ln

22

3

T

TK

A

T

Ty

KAKA

σ

σσµµαν

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−−+−

=+

=

Pagal (5) lygybæ ámonës nemokumo tikimybë yra tokia:

)( Φ)0(

)0()( Φ}{

32y

A

KyTP

A

γ

τ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−=≤ .

2. Ámonës turto dabartinës vertës skaièiavimas

Ðio priedo skyriuje pateikiamas (4) formulës árodymas. Ámonës turto dabartinë vertëskaièiuojama pagal tikimybinio tankio },)({

2dtdcVP ∈∈ ττ iðraiðkà, kuri gaunama

diferencijuojant tikimybæ },)({2

TcVP ≤< ττ . Gaunama:

{ }∫ ∈=≥=≤≥=≤≥

T

dtPtxXPTxXPTcVP

0

222}{)(},)({},)({ τττττττ ,

55

R.

Le

ipu

s, M

. V

alu

þis

Kre

dit

o ri

zik

a k

aip

p

asi

rin

kim

o sa

nd

ori

s

èia { } { }btXtV

DtXtDtVt =≥=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=≥==≥= )(:0inf)0(

log)(:0inf)(:0inf1

1

1

111τ ,

)0(ln

1

1

V

Db = ir

)0(ln

2V

cx = .

Iðsprendus pradines stochastines diferencialines lygtis, apraðanèias dviejø ámoniø turtodabartines vertes geometriniais Wiener procesais, gaunama:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥=

=

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

.0,)0()(

)0()(

)(2

22

)(2

11

22

2

2

1

11

2

1

1

teVtV

eVtV

tWt

tWt

σσ

µ

σσ

µ

Ðias lygtis galima transformuoti á tokius aritmetinius Wiener procesus:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

.0),(2)0(

)(ln)(

)(2)0(

)(ln)(

22

2

2

2

2

2

2

11

2

1

1

1

1

1

ttWtV

tVtX

tWtV

tVtX

σσ

µ

σσ

µ

Þymima )()( tWttXiiii

ση += , èia 2

i

ii

σµη −= , kai i = 1, 2. Remiantis Wiener procesø

pokyèiø nepriklausomumu, gaunama:

{ }

{ } , Φ)(

},)(,)()()()({

)(

2

1

2

1

1

1

1

2

11

1

11

1

2

1

11

1

22

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=−≥=

=<∀≠=−≥−=

==≥

−

−−

−−−−

uttbxtYP

tsbsXbtXtXxtXtXP

txtXP

ησρσ

σρσσρσ

τ

(7)

èia 1

11

1

22)()()(

−−

−= σρσ tXtXtY , kurio dispersija uþrašoma taip:

).1())()(())()(()(22

12

2ρρ −=−=−= ttWtWEtEYtYEtDY

Be to, 2

1

1

2

2

1)(

)(

ρ

σ

ηρ

σ

η

η

−

−

==

ttDY

tEY ir .

12

12

ρ

σρ

σ

−

−

=

bx

u

Aritmetiniø Wiener procesø stabdymo momento � tikimybinio tankio išraiška yra to-kia (þr. Borodin, Salminen 1996):

.}{ 2

1

1

21

2

1

1

2

2

3

1

1dtttbtbdtP ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=∈ −

−

−

−

−

σησϕστ (8)

Remiantis (7) ir (8) formulëmis, gaunama:

{ }

( ) .)( 2

2

1

}{)(},)({

2

1

2

1

2

1

2

111

11

1

1

1

1

0

22

1

1

11

2

1

1

1

2

3

1

1

0

22

∫

∫ ∫

∫

∞

−−−−−

−

∞−

−

−

−

−

−

−

−

−

−−=

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

=∈=>=≤>

T

T utt z

T

dtuttttbb

dzdtettbtb

dtPtcVPTcVP

ησησϕσ

π

σησϕσ

τττττ

η

Φ

56

Pin

igø

stu

dij

os

20

06

/1 �

M

ate

ma

tin

ë e

ko

no

mik

a

Ið èia gaunama:

.1

},)({ 2

1

2

1

2

1

1

11

2

1

1

12

2

21

1

2dcdtuttttb

c

tbdtdcVP ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−=∈∈

−

−

−

−

−−

ηϕσησϕ

ρσ

σττ

Antrosios ámonës turto dabartinë vertë, kai paskolos likutis D2 = 0 (antraip toliau pa-

teikiama formulë bûtø gaunama kitokiu bûdu ir bûtø dar sudëtingesnë) ir galioja sàlyga,kad paskolà paëmusi pirmoji ámonë tapo nemoki, apraðoma taip:

[ ]

( ) }

.2

2exp

2

1

2exp)0(2

1

2exp

2

1

)0()0(

1

},)({1)(

2

1

2

11

2

2

2

1

1

2

22

1

2

1

1

2

1

2

1

2

3

22

2

1

1

2

22

12

1

2

1

12

1

2

0

2

1

1

12

1

0 0

2

1

2

1

2

1

1

112

1

1

1

2

2

21

0 0

2}{2

dy

yr

ybrb

Vb

dttt

trtttb

V

DV

b

dcdtuttttbteb

dcdtdcVcPVeEv

T

T

r

T

rt

T

T

r

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

∞

−−

−

−−−−−+

∞−

−−

−−−

∞

≤

−

−

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

−⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

=−+

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−=

=∈∈==

σ

σρσσ

π

σ

σρσ

σσ

ρσ

σ

ηρ

σ

ησ

σησ

πσ

ηϕσησϕ

ρσσ

τττ

σσ

ρσ

τ

τ

Pastaroji lygybë gaunama, atlikus keitiná 2

1−

= ty . Taikant formulæ

( ) ( ) ( )[ ]112

1

Φ Φ2

22

−−−

∞+−

+−+−−=∫−

zzezzedte

z

tt

βαβαα

π αβαββα

, kai 0>α ir

0>β , antrosios ámonës turto dabartinë vertë uþraðoma taip:

,2

Φ

2 Φ

2exp)0(

2

1

1

1

2

2

1

1

2

1

1

1

2

2

1

1

2

1

1

22

1

2

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−+

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

−

−

Tr

Tb

Tr

Tbrb

Vv

σ

σρσ

σ

σ

σρσ

σ

σ

σρσ

σ

jeigu 1

σ priklauso intervalui ( ) ( )( )rr 21,2122

+− ρσρσ . Ði formulë tampa paprastesnë,

jei paskolos gràþinimo terminas yra neriboto laiko:

∞=T , t. y. [ ] ).0(2

exp)0(

)0()(2

1

1

2

1

2

1

1

1

22

2

11

2

Vrb

V

DVVeEv

r

r =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

−+

−σ

σρσ

στ

σσ

ρσ

τ

3. Ámonës turto dabartinës vertës dalinës iðvestinës

Šiame priedo skyriuje pateikiamos kai kurios antrosios ámonës turto dabartinës vertësdaliniø iðvestiniø iðraiðkos, kurios rodo ðios vertës „jautrumà“ tam tikrø parametrø poky-èiams. Pokytis paskolos trukmës atþvilgiu apraðomas taip:

.22

)0(

22

1

22exp)0(

2

1

1

1

2

2

3

1

2

2

1

1

1

2

2

3

1

1

1

22

1

2

2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+++

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

∂

∂

−−

−−

Tr

Tb

V

Tr

Tbrb

VT

v

σ

σρσ

σ

σ

σρσ

σ

σ

σρσ

σ

57

R.

Le

ipu

s, M

. V

alu

þis

Kre

dit

o ri

zik

a k

aip

p

asi

rin

kim

o sa

nd

ori

s

Pokytis nerizikingos paskolos palûkanø normos atþvilgiu apraðomas taip:

.22

exp)0(

22exp)0(

2 Φ

2exp)0(

2

1

1

1

2

2

1

11

2

1

1

1

22

1

2

2

2

1

1

1

2

2

1

11

2

1

1

1

22

1

2

2

2

1

1

1

2

2

1

1

1

1

22

1

2

3

1

2

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

∂

∂

−

−

−

Tr

TbTrb

V

Tr

TbTrb

V

Tr

Tbrbb

Vr

v

σ

σρσ

σϕ

σ

σ

σρσ

σ

σ

σρσ

σϕ

σ

σ

σρσ

σ

σ

σρσ

σ

σ

σρσ

σσ

Pokytis susijusiø ámoniø turto verèiø atþvilgiu apraðomas taip:

.2

)0(2

exp)0(

2 Φ

2exp)0(

2

1

1

1

2

2

1

1

2

1

22

2

1

2

1

1

22

1

2

2

2

1

1

1

2

2

1

1

1

1

22

1

2

22

1

2

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

∂

∂

−

−

Tr

Tb

TVTrb

V

Tr

Tbrbb

Vv

σ

σρσ

σϕσσ

σ

σρσ

σ

σ

σρσ

σ

σ

σρσ

σσ

σρ

Pokytis pirmosios ámonës turto vertës kintamumo atþvilgiu apraðomas taip:

.2

)0(

22exp)0(

2 Φ

2exp

2

1

22)0(

2

1

1

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

1

2

2

1

1

2

1

1

1

22

1

2

2

2

1

1

1

2

2

1

1

1

1

22

1

2

2

1

2

1

1

1

23

1

2

2

1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−+

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⎥⎥

⎦

⎤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−=

∂

∂

−

−

−

Tr

Tb

TV

Tr

Tb

Trb

V

Tr

Tbrbrb

rbV

v

σ

σρσ

σϕρ

σ

σρσ

σϕ

σ

σρσ

σ

σ

σρσ

σ

σ

σρσ

σσσ

σ

σρσ

σσ

Pokytis antrosios ámonës turto vertës kintamumo atþvilgiu apraðomas taip:

.2

)0(

22exp)0(

2 Φ

2exp)0(

2

1

1

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

1

2

2

1

1

2

1

1

1

22

1

2

2

2

1

1

1

2

2

1

1

1

1

22

1

2

2

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−+

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

∂

∂

−

−

−

Tr

Tb

TV

Tr

Tb

Trb

V

Tr

Tbrb

Vv

σ

σρσ

σϕρ

σ

σρσ

σϕ

σ

σρσ

σ

σ

σρσ

σρ

σ

σρσ

σσ

58

Pin

igø

stu

dij

os

20

06

/1 �

M

ate

ma

tin

ë e

ko

no

mik

a

Literatûra

Black F., Cox J. 1976: Valuing Corporate Securities: Some Effects of Bond Indenture Provisions. –Journal of Finance 31, 351–367.

Black F., Scholes M. 1973: The Pricing of Options and Corporate Liabilities. – Journal of PoliticalEconomy 81, 637–654.

Blum Ch., Overbeck L., Wagner C. 2003: An Introduction to Credit Risk Modeling. New York:Chapman&Hall.

Bohn J. R. 2000: A Survey of Contingent-Claims Approaches to Risky Debt Valuation. – The Journalof Risk Finance 1, 53–78.

Borodin A. N., Salminen P. 1996: Handbook of Brownian Motion. Birkhäuser, Basel.

Briys E., Varenne F. de 1997: Valuing Risky Fixed Rate Debt: An Extension. – Journal of Financialand Quantitative Analysis 32, 239–248.

Crosbie, P. J., Bohn J. R. 1997: Modeling Default Risk. San Francisco, California: KMV LLC.

Duffie D., Lando D. 2001: Term Structures of Credit Spreads with Incomplete Accounting Infor-mation. – Econometrica 69, 633–664.

Duffie D., Singleton K. 1999: Modeling Term Structures of Defaultable Bonds. – Review of Finan-cial Studies 12, 687–720.

Jarrow R. A., Lando D., Turnbull S. M. 1997: A Markov Model for the Term Structure of CreditRisk Spreads. – Review of Financial Studies 10, 481–523.

Jarrow R. A., Protter P. 2004: Structural Versus Reduced Form Models: a New Information BasedPerspective. – Journal of Investment Management 2, 1–10.

Jarrow R. A., Turnbull S. M. 1995: Credit Risk: Drawing the Analogy. – Risk Magazine 50, 53–85.

Jarrow R. A., Turnbull S. M. 1995: Pricing Derivatives on Financial Securities Subject to CreditRisk. – Journal of Finance 50, 53–85.

Jasevièienë F., Valvonis V. 2003: Paskolø vertinimas: tarptautinë ir Lietuvos praktika. – Pinigøstudijos 1, 23–49.

Kamienas I . , Valvonis V. 2004: Paskolø registro naudojimas kredito rizikai valdyti. – Pinigø studijos1, 5–30.

Lando D. 1998: On Cox Processes and Credit Risky Securities. – Review of Derivatives Research 2,99–120.

Leland H. E., Toft K. B. 1996: Optimal Capital Structure, Endogenous Bankruptcy, and the TermStructure of Credit Spreads. – Journal of Finance 51, 987–1019.

Leipus R., Norvaiša R. 2003: Finansø rinkos teorijos pagrindai. – Pinigø studijos 4, 5–28.

Longstaff F. A., Shwartz E. S. 1995: A Simple Approach to Valuing Risky Fixed and FloatingRate. – Journal of Finance 50, 789–819.

Mackev iè ius J . , Rakðte l ienë A. 2005: Altman modeliø taikymas Lietuvos ámoniø bankrotuiprognozuoti. – Pinigø studijos 1, 24–42.

Madan D., Unal H. 1998: Pricing the Risks of Default. – Review of Derivatives Research 2, 121–160.

Merton R. C. 1974: On the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates. –Journal of Finance 29, 449–470.

Rich D., Leipus R. 1997: An Option-Based Approach to Analyzing Financial Contracts with Mul-tiple Indenture Provisions. – Advances in Futures and Options Research 9, 1–36.

Rich D. 1996: The Valuation and Behavior of Black-Scholes Options Subject to Intertemporal De-fault Risk. – Review of Derivatives Research 1, 25–59.

Valvonis V. 2004: Kredito rizikos valdymas banke. – Pinigø studijos 4, 57–82.

Zhou C. 1997: A Jump-Diffusion Approach to Modeling Credit Risk and Valuing Defaultable Secu-rities. Working Paper of the Federal Reserve Board.

Gauta 2006 m. kovo mën.

Priimta spaudai 2006 m. geguþës mën.

Summary

Remigijus Leipus, Mantas Valuþis

In recent years, credit growth in Lithuania and in other emerging markets was very fast,so there is strong demand for the application of adequate credit risk management tools,which have not been well investigated in Lithuania. This paper is a response to theaugmented interest in credit risk management in Lithuanian financial markets and ban-kers because the growing credit boom and credit risk in banks are very important for thefinancial stability of the banking system and for well-developed credit risk management.Since credit risk is one of the most important sources of systemic risk, this article might

CREDIT RISK AS AN OPTION

59

R.

Le

ipu

s, M

. V

alu

þis

Kre

dit

o ri

zik

a k

aip

p

asi

rin

kim

o sa

nd

ori

s

be useful for interpreting the correlation of firm assets not only in the context of creditrisk but also as a source of financial contagion in financial or gross corporate markets.

One of the most important and basic tasks in credit risk management is estimation ofthe default probability. It can be evaluated defining the evolution of firm asset value bya corresponding stochastic process and by finding the distribution function of randomhitting time. Next, knowing the debt value and this distribution, it is possible to estimateother credit risk indicators: expected loss, loss given default, credit risk spread, etc.

Drawing on theoretical literature, in this paper we analyse the basics of understan-ding the corporate credit risk as an option. We explain why credit risk and the probabilityof default can be interpreted as an option, and present a detailed description of theclassical Merton’s approach. Also, the relationship between the present values ofdefaultable options and risky bonds and the probability of default is given in this paper.We give a short overview of the structural, credit migration and reduced-form (or inten-sity) credit risk models. Structural models are used when internal information on a firm’sfinancial situation is known. Structural credit risk models are used for the constructionof some popular credit risk management systems. Reduced-form credit risk models arebased on intensity (Cox) processes and are often used to calculate the probability of thecredit rating migration of different economical subjects. These models are used in caseswhen the information concerning a firm’s financial situation is available for all marketparticipants.

The final part of the paper considers the case of several correlated loans. The correla-tion in a credit portfolio is very important for estimating the whole credit risk of theportfolio. The closed-form formula for the estimation of a firm’s correlated value, as ageneralization of the classical Black-Scholes formula, is established. The main result ofthis paper is a formula by which it is possible to calculate the current value of a firm’sassets in case of correlated loans in the structural credit risk approach. We show howthe methods of pricing barrier risky option with random exercise time could be used inthe analysis of the credit risk of loans.

Due to the undeveloped Lithuanian and other emerging countries’ financial marketsand lack of data, the use of both structural and reduced-form credit risk models in creditrisk assessment implementation is complicated. The application of these models is pos-sible using the data on the listed companies’ capitalization from stock exchange marketsdespite the fact that there exists the problem of market efficiency or adequate valuationof the companies’ stock price. On the other hand, the alternative way of evaluation forreduced-form models should be credit risk analysis by the Monte Carlo simulation of theintensity process.