8. KRIGING81 8.1 Kriging dan Automatik Contouring KrigingIstilah kriging diambil dari nama seorang ahli, yaitu D.G. Krige, yang perg g g ,y g , y g perp tama kali menggunakan korelasi spasial dan estimator yang tidak bias. Istilah kriging diperkenalkan oleh G. Matheron untuk menonjolkan metometode khusus dalam moving average terbobot (weighted moving average) yang meminimalkan varians dari hasil estimasi. Metode kriging menghasilkan estimator tidak bias terbaik (the best unbiased estimator, BLUE) dari variabel yang ingin diketahui nilainya.

Automatic contouringSampel data dalam geosains biasanya diambil di tempat yang tidak beraturan. beraturan Komputer akan bekerja hanya dengan data digital yang teratur (misal kalau akan menggambar konturnya). Untuk itu perlu dibuat jejala (grid) yang teratur dimana sampel data teratur, harus ditempatkan untuk bisa diproses oleh komputer.

Automatic Contouring (lanjutan)Masalahnya adalah bagaimana memperkirakan (mengestimasikan) sampel data pada titik-titik grid yang ada dari data sampel yang tersebar titiksecara tidak teratur. Banyak cara untuk mengestimasi nilai data di titik grid tersebut, yang pada umumnya menggunakan korelasi spasial, antara lain adalah kriging. Bila di semua titik telah diestimasi nilai datanya (teratur), berarti data untuk automatic contouring dengan computer sudah siap pakai.

Moving average (perata-ratan bergerak) (perataKriging menggunakan metode khusus dalam proses perata-rataan perataberjalan terbobot (weighted moving average). Metode moving average biasanya digunakan pada proses penghalusan sinyal (data) untuk mengecilkan peranan gangguan (noise). Dalam bahasa (noise) penyaringan / penapisan (filtering), penghalusan termasuk tapis lolos rendah. Prinsip moving average adalah merata-ratakan nilai data yang berada meratapada jendela (window) yang berjalan. Jendela tsb mempunyai lebar tertentu dan tingginya =1 (tak terbobot).

Moving average (lanjutan)Rumus estimasi untuk moving average adalah: umus st mas untu mo ng a rag a a ah Dengan xj = deret data input yi = deretan data outputW n w fungsi Window : fung kotak tinggi=1 berjalan kekanan

Contoh: x:

5

7

4

3

2

3

4

5

7

2

6

Y:

5.3 53

47 4.7

30 3.0

27 2.7

30 3.0

40 4.0 (3+4+5) / 3 = 4

(5+7+4) / 3=5.3

Kalau windownya bukan fungsi kotak, tetapi sembarang, pererataan harus dikalikan dengan tinggi window (terboboti) weighted moving average

Estimasi nilai variabel teregionalisasiAndaikan kita mempunyai data teregionalisasi (tak teratur) z(xi) Kita ). akan mengestimasi nilai data teregionalisasi lain (teratur) pada titik grid tertentu, yaitu z(vi). Bila nilai estimasinya atau estimatornya adalah z* (vi) maka ralat z ), estimasinya adalah: (8.1) Karena variabel teregionalisasi dianggap sebagai variabel random, maka baik Z (xi) maupun R(vi) dianggap pula sebagai variabel random. Varians ralat estimasi (estimation variance) nya adalah: (8.2) Estimator z* (vi) dihitung dengan memakai kombinasi linear dari variabel yang diketahui z(xi), yang harus memenuhi prinsip: sederhana (perhitungan mudah) dan tidak bias, dalam arti expected value ralatnya = 0, atau: bias 0 (8.3)

Estimasi nilai variabel teregionalisasi (lanjutan)Persamaan yang paling sederhana untuk memenuhi prinsip tersebut y p p p adalah combinasi linear rerata terbobot (weighted average linear combination), yaitu: (8.4) (8 4) Dengan aj ( j = 1, N) adalah faktor bobot yang membuat varians estimasi ) (estimation variance) nya minimum minimum. Faktor bobot tersebut secara teoritis dapat dihitung dari persamaan: (8.5) Dgn:Kovarians dari data pada titik vi dan data pada titik xi Kovarians dari data pada lokasi xi dan xj

Estimasi nilai variabel teregionalisasi (lanjutan)Penerapan prinsip optimasi pada persamaan (8.5) menghasilkan persamaan lain yang lebih praktis, yaitu: (8.6)

Adalah Covarians antara 2 variabel random adalahFaktor bobot yang dicari. y Adalah Covarians antara 2 titik, yaitu titik rata dan titik yang ingin dihitung nilai estimasinya.

adalah pengali Lagrange yang harus dicari

8.2. Macam-macam kriging MacamBerdasarkan cara estimasi dan proses perhitungannya, kriging dapat p p y p dibedakan menjadi beberapa macam, yaitu: Point kriging, Block kriging, Co-kriging, Universal kriging, dsb Co-

8.2.1. Point krigingIni adalah kriging yang paling sederhana, sehingga disebut sbg simple kriging. kriging Ini juga sering disebut sbg ordinary kriging atau punctual kriging. Point kriging memungkinkan kita untuk menghitung nilai harapan data di suatu titik yang tidak ada data pengukurannya berdasarkan nilai-nilai nilaidata disekitarnya yang diketahui. Besarnya pengaruh titik-titik data disekitarnya terhadap nilai estimasi titikdinyatakan dalam bentuk nilai bobotnya Dalam menghitung nilai bobot ini bobotnya. menggunakan norma MVUE (minimum variance unbiased estimate). Nilai bobot tersebut adalah ai , dengan i = 1, n. Nilai ini harus memenuhi persamaan: (8.7) ai = fungsi peluang

Contoh perhitungan point krigingAndaikan nilai variabel di 2 titik x1 dan x2 diketahui. Hitunglah nilai estimasi di titik x0 , yang berada di antara x1 dan x2 , bila posisinya adalah sbb: x1

x0

x2

30 ft

50 ft

Nilai variabel di x1, Z(x1)=10, Nilai di x2, Z(x2)=20 Nilai variabel di x0 akan dicari dengan menggunakan point kriging. Rumus yang dipakai estimasi nilai variabel di titik x0 adalah:

NilaiNilai-nilai komponen matrix tsb dapat dicari sbb: y Andaikan variogram yang cocok untuk combinasi data tersebut variogram model exponensial: Nilai h yang mungkin adalah: 30 50, dan 80 ft. Nilai variogramnya adalah: 30, 50 ft

Nilai komponen matrix, C dapat dihitung dengan menggunakan rumus p p g g gg C(0) = nilai sill variogram, yaitu = 100 (nilai max variogram exponensial). Hasil perhitungan nilai komponen matrix, C mendapatkan: C(x1,x1) = C(0) = 100 C(x2,x2) = C(0) = 100 C(x1, x2) = C(80) = C(0)-(80) = 10090.93 = 9.07 C(x1,x0) = C(30) = C(0)-(30) = 100-58.34 = 40.66 C(x2,x0) = C(50) = C(0)-(50) = 100-77.69 = 22.31

Bila komponen-komponen matrix dimasukkan dalam persamaan matrixnya komponenakan diperoleh:

Apabila persamaan matrix ini diselesaikan akan diperoleh: a2 = 0.3991, dan a1 = 0.6009, Jadi nilai estimasi data di titik x0 adalah:

= 23.05

Ralat varians yang merupakan indikator derajad ketidakpastian dari hasil estimasi adalah:

Catatan: Nilai estimasi data di x0, k l dihitung d C t t Nil i ti id t kalau dihit dengan i t interpolasi akan l i k diperoleh: V*(x0) = 10 + (30/80) (20-10) = 13.76

8. 2. 2. Block krigingBlock kriging: Estimasi nilai data di titik-titik x0j dlm suatu blok berdatitikberdaj sar set data di titik-titik xi yang berada disekitar blok (neighborhood). titikJadi dalam block kriging, yg dicari adalah estimasi nilai di suatu blok. Dalam gambar diperlihatkan blok dgn ukuran V yang didalamnya ada 16 titik grid yang akan dicari nilai estimasinya. x01

x04

Perhitungan dalam block kriging mig g g mirip dg perhitungan pd point kriging. Kovarians antara titik xi dan x0j j yang ada di dalam blok dapat didituliskan sbb:

xi2

x013

x016

xi1Dgn

xi3

Dg C(xi, x0j) = Kovarians antara titik xi dan x0j nb = banyak titik di dalam blok b k d l bl k CV(xi, x0) = mean (perhitungan arithmatik ratarata) dari semua kovarians terhitung.

Block kriging (lanjutan)Jumlah titik yang dianggap sepadan di dalam blok untuk mewakili CV adalah: nb = 16 untuk blok 2 D, dan nb = 64 untuk blok 3D. Block kriging dipakai untuk mencari nilai estimasi suatu blok. Ini sangat g g p g bermanfaat untuk memperkirakan sifat-sifat statis suatu blok, misalnya sifatporositas dan saturasi. Untuk sifat dinamis seperti permeabilitas, block kriging tidak dianjurkan untuk dipakai, karena adanya perhitungan ratag g j p , y p g ratarata.

8. 2. 3. Co-kriging CoCo- g g (p Co-kriging (point co-kriging) adalah teknik khusus dalam interpolasi co- g g) p dengan memakai 2 variabel yang berbeda, tetapi secara spasial berhubungan. Dengan memanfaatkan hubungan spasial ini, nilai-nilai suatu nilaidiketahui. variabel dapat diestimasi dari variabel lain yang sampelnya diketahui Dalam hal posisi sample yang tersebar terserak (sparse), co-kriging p p y g ( p ) co- g g dianggap dapat mengurangi ketidakpastian hasil estimasi Dalam co-k l co-kriging, variabel yang akan diestimasi nilainya dinamakan b l k d l d k variabel utama (principal variable), sedang variabel yang dipakai untuk mengestimasi disebut co-variabel. g coKita dpt menambahkan co-variabel baru (selain yang sudah ada) selama cohubungan spasial antara co-variabel b h b l cob l baru d dengan variabel utama cukup b l k kuat

Proses perhitungan dalam co-kriging coAndaikan kita ingin mengestimasi nilai suatu variabel di titik x0 dari variabel lain xi yang diketahui, maka hasil estimasinya adalah:

Dengan ai = faktor bobot, V(xi) = nilai-nilai sampel di titik xi , ak = faktor bobot untuk variabel Vk(xj), Vk(xj) = nilai-nilai sampel variabel Vk pada posisi xj, k = jumlah total co-variabel, dan m = jumlah sampel. Selanjudnya diambil keadaan khusus dalam bentuk hubungan antara satu covariabel d satu prncipal variabel, sehingga pers di t b i b l dan t i l i b l hi diatas berubah menjadi: b h j di

Dengan ai = faktor bobot untuk variabel V(x), b = faktor bobot untuk variabel W(x), V(xi) = principal variabel, W(xj) = co-variabel, V*(x0) = estimator d i V di titik x0, m adalah jumlah titik sampel covariai dari i ik d l h j l h i ik l i bel, dan n = jumlah titik sampel principal variabel.

CoCo-kriging (lanjutan)Hubungan antara ai dan bi sesuai dengan persyaratan MVUE (minimum variance unbiased estimate) adalah:

Selanjutnya dengan menggunakan pengali Lagrange (Lagrange multiplier) dapat dihasilkan persamaan matrix:

Dgn

CoCo-kriging (lanjutan)

dan

dan

Dalam hal ini: x1, x2, ., xn =lokasi titik-titik sampel principal variabel l k i i ik i ik l i i l i b l x1, x2, ., xm = lokasi titik-titik sampel co-variabel CV(xi, xj) = kovarians antara xi dan xj dari variabel V CV(xi, xj) = kovarians antara xi dan xj dari variabel W CVW(xi, xj) = kovarians silang (cross covariance) dari variabel V dan W )

8.2.4. Universal krigingUniversal kriging adalah kriging dari data yang mempunyai kecenderukecenderungan (trend) tertentu, misalnya nilai permeabilitas yang berkurang karena lokasinya yang menjauh dari channel sand. gg p g g Bila ada trend, maka anggapan bahwa fungsi teregionalisasi adalah random tidak berlaku lagi, sehingga pendekatan untuk melakukan kriging perlu diubah. Dalam hal ini variabel regionalisasi ybs perlu diubah menjadi: j

Dengan V(x) = nilai variabel teregionalisasi terukur, D(x) = Drift atau nilai harapan dari V(x) yaitu nilai trend nya, dan R(x) = Residual (tanpa trend, random). Jadi variabel yang harus dikriging adalah yang residual, yaitu:

Salah satu cara yang mudah untuk mencari nilai variabel D(x) adalah dengan memakai moving window atau moving average