KOMPUTEROWE SYSTEMY STEROWANIA I WSPOMAGANIA DECYZJI

Krzepkie sterowanie adaptacyjne MRAC (ang. Model Reference Adaptive Control)

Opracował dr inż. Jarosław Tarnawski na podstawie

Gang T. (2003) Adaptive Control Design and Analysis

Wiley-Interscience, A John Wiley & Sons Inc. Publication

Rozpatrzmy liniowy, stacjonarny obiekt opisany równaniem różnicowym

(1)

gdzie:

y(t) - wyjście obiektu, wielkość regulowana, sygnał dostępny z pomiaru

u(t) - wyjście regulatora, sygnał sterujący przykładany na wejście obiektu

d(t) - nieznane zakłócenie

a operatory z i z-1 realizują odpowiednio operacje: oraz

Obiekt (1) może być także opisany przez:

Zadaniem regulacji MRAC jest wypracowanie takiego sygnału sterującego u(t) dla obiektu (1) o

nieznanej postaci G(z), aby wszystkie sygnały w pętli zamkniętej były ograniczone oraz wyjście

obiektu y(t) nadążało możliwie blisko za zadaną trajektorią ym(t). Trajektoria zadana (model

referencyjny) ym(t) może być zadana przez:

gdzie:

Wm(z) - jest stabilną transmitancją dyskretną,

r(t) - jest ograniczonym sygnałem.

Na G(z) oraz d(t) nałożone są następujące założenia.

Założenia:

(Z1): Z(z) to stabilny wielomian,

(Z2): stopień n wielomianu P(z) jest znany,

(Z3): znak kp, czyli sign[kp] jest znany i |kp|≤ kp0 dla pewnej znanej stałej kp

0 > 0, (Z4): stopień względności wielomianów n* = n - m > 0 jest znany,

(Z5): zakłócenie d(t) jest ograniczone.

Z założenia Z4 możemy przyjąć w trajektorii zadanej tak, że .

Przyjęto następującą strukturę regulatora

(2)

Postać regulatora przedstawiono na rys 1.

Rys. 1 - Struktura regulatora MRAC

Lemat 1

Istnieją stałe parametry takie że

Twierdzenie 1

Istnieją takie które spełniają równanie z lematu 1 a wraz z regulator (2)

zapewnia ograniczoność sygnałów w pętli sprzężenia oraz błąd śledzenia trajektorii zadanej

gdzie: jest ograniczone.

Wersja adaptacyjna

Jeśli G(z) nie jest znane, potrzebna jest adaptacyjna wersja regulatora, w której

zostaną zastąpione przez i będą

uaktualniane za pomocą estymatorów. Adaptacyjna wersji regulatora przyjmuje postać:

(3)

Wektory

Wprowadzamy błąd estymacji

gdzie:

Wersja regulatora adaptacyjnego dla d=0

Dla d=0 prawa estymacji parametrów przyjmują postać:

Twierdzenie 2

Wszystkie sygnały w pętli zamkniętej systemu sterowania z obiektem (1), w którym d=0, regulatorem

(3), trajektorią zadaną i powyższymi prawami estymacji są ograniczone oraz

.

Wersja regulatora adaptacyjnego dla d(t)<>0

Dla d<>0 prawa estymacji parametrów przyjmują postać:

Są to prawa estymacji zawierające modyfikację krzepkościową o nazwie rzutowanie, polegającą na

utrzymywaniu wartości parametrów w zadanych a priori zakresach zatem musimy wyznaczyć albo

założyć zakres dopuszczalny dla parametrów.

Mechanizmy rzutowania do dopuszczalnych zakresów poszczególnych parametrów dane są przez:

Idea modyfikacji rzutowanie przedstawiona jest na rys.2

Rys. 2 - Zasada działania modyfikacji krzepkościowej projekcji (rzutowania)

Twierdzenie 3

Wszystkie sygnały w systemie złożonym z obiektu (1) z ograniczonym d(t), trajektorią referencyjną

, regulatorem (3) oraz powyższymi prawami estymacji z modyfikacją krzepkościową

rzutowania są ograniczone oraz

dla pewnych stałych .

Zadania

Dokonaj syntezy regulatora MRAC dla przypadku d=0 oraz d<>0.