KUANTOR - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/132310890/pendidikan/LOGIKA... · Puppy adalah seekor kucing ... ¾Lawan dari kalimat tunggal adalah kalimat umum. ¾Kalimat

KUANTIFIKASI

Nur Insani, M.Sc

Logika & Himpunan 2013

Nur Insani - [email protected] Universitas Negeri Yogyakarta

2

Pada validitas :Banyak argumen va l id , namunvaliditasnya tak dapat diuji dengana l a t u j i v a l i d i t a s y a n g a d a .



3

Bagaimana Validitas Argumen ini ?

Semua kucing adalah hewan menyusui (pr)Pussy adalah seekor kucing (pr)Jadi, Pussy adalah hewan menyusui (kon)

Validitas argumen tersebut tergantungpada tafsiran pernyataan tunggalnya.

Apakah Pussy nama seekor kucing ?



4

Cara lain adalah validitas yang didasarkanpada hubungan kalimat (kaitan antaras u b y e k d a n p r e d i k a t ) .Contoh :

Puppy adalah seekor kucingPuppy - SubyekSeekor kucing - Predikat

Hubungan antara subyek dan predikat akanmemberikan tafsiran terhadap benart i d a k n y a k a l i m a t .



5

Untuk memudahkan analisis, dibuat simbolkalimat tunggal yang memuat komponens u b y e k - p r e d i k a t .Pussy adalah seekor kucing

Pussy adalah hewan menyusuiS P

PS



6

Bila :Pussy disimbolkan dengan ………………. PSeekor kucing disimbolkan dengan… KHewan menyusui disimbolkan dengan H

Bila :Predikat disimbolkan dengan huruf besarSubyek disimbolkan dengan huruf kecil

Maka :Pussy adalah seekor kucing = KpPussy adalah hewan menyusui = Hp



7

Contoh lain :Yusuf = yAli = aUmar = uManusia = M

Yusuf adalah manusia MyAli adalah manusia MaUmar adalah manusia Mu

Lambang umumnya Mx



8

My,Ma,Mu adalah merupakan kalimat deklaratif.

M x B u k a n m e r u p a k a n p e r n y a t a a n .

Mx d i sebut sebaga i fungs i p ropos i s i .

Fungsi proposisi Mx akan menjadi pernyataanbila variabel individualnya (x) diganti/disubtitusid e n g a n k o n s t a n t a i n d i v i d u a l .

Instant ias i : ada lah suatu cara untukmensubtitusi variabel individual dengan kontantai n d i v i d u a l .



9

Mx dikenal juga sebagai kalimat tunggal.Lawan dari kalimat tunggal adalah kalimatumum.Kalimat umum adalah generalisasi.Ciri dari kalimat yang general adalahmenggunakan kata : semua, untuk setiapKalimat general disebut dengan Kuantor.

Kuantor Umum / UniversalKuantor Khusus / Eksistensial



10

Contoh Kalimat tunggalManusia adalah fana = Fm

Contoh kalimat generalSemua manusia adalah fanaUntuk setiap manusia, maka manusia ituadalah fana

Ada manusia yang fanaPaling sedikit ada satu manusia yang fana

Kuantor Universal

Kuantor Eksistensial



2

Pendahuluan

• Dumbo adalah seekor gajah. dapat ditulis : G(d) Notasi diatas dibaca : “gajah Dumbo”. • Disebut fungsi proposional. • Badu seorang mahasiswa. dapat ditulis : M(b) • Perlu diingat: predikat ditulis dengan huruf

besar, variabel atau konstanta atau objek ditulis huruf kecil.



3

• Persoalan muncul pada variabel-variabel yang sering atau kadang-kadang muncul, atau bersifat umum serta yang tidak bersifat khusus, seperti “manusia”, “binatang” dsb. Contoh : 1. Semua gajah mempunyai belalai. 2. Beberapa mahasiswa mengambil mata kuliah

logika matematika. 3. Setiap mahasiswa harus belajar dari buku teks. 4. Ada penduduk kota Jayakarta yang terkena Flu

Burung.



4

Kuantor Universal Definisi: Jika A suatu ekspresi logika dan x adalah

variabel, maka jika ingin menentukan bahwa A adalah bernilai benar untuk semua nilai yang dimungkinkan untuk x akan ditulis ( x)A. Disini x disebut kuantor universal, dengan A adalah scope dari kuantor. Variabel x disebut terikat (bound) dengan kuantor. Simbol menggantikan kata “untuk semua”.

∀ ∀

∀



5

Semua gajah mempunyai belalai. Dapat ditulis: G(x)→B(x) Dibaca: “Jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai ” Selanjutnya, ditulis: ( x)(G(x) → B(x)) Dibaca: “Untuk semua x, jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai ”

∀



11

Notasi Kuantor

ContohSemua manusia adalah fanaUntuk setiap obyek, maka obyek itu adalahfanaUntuk setiap x maka x adalah fanaUntuk setiap x, Fx

( x), FxUntuk setiap x, maka x mempunyai sifat FUntuk setiap x berlakulah Fx

A



6

Simbol adalah kuantor yang menggunakan kata “semua” atau kata apa saja yang artinya sama dengan “semua”, misalnya “setiap”. disebut kuantor universal (universal quantifier). Kuantor universal mengindikasikan bahwa sesuatu bernilai benar untuk semua individual- individualnya.

∀

∀



7

Setiap mahasiswa harus belajar dari buku teks. Selanjutnya, ditulis: ( x)(M(x) → B(x)) Dibaca: “Untuk semua x, jika x adalah mahasiswa, maka x harus belajar dari buku teks ”

∀



8

Setiap bilangan prima adalah ganjil. Selanjutnya, ditulis: ( x)(P(x) → O(x)) Dimana P mengganti “bilangan prima”, sedangkan O mengganti ganjil (odd). Dibaca: “Untuk semua x, jika x adalah bilangan prima, maka x adalah ganjil”

∀



9

Langkah untuk melakukan pengkuantoran universal :

• Perhatikan pernyataan berikut ini : “Semua mahasiswa harus rajin belajar” • Untuk melakukan pengkuantoran universal pada

pernyataan tersebut maka dilakukan langkah-langkah seperti berikut :

1. Carilah lingkup (scope) dari kuantor universalnya,

yaitu : “Jika x adalah mahasiswa, maka x harus rajin

belajar”. Selanjutnya akan ditulis : mahasiswa(x) → harus rajin belajar(x)



10

2. Berilah kuantor universal di depannya ( x)(mahasiswa(x) → harus rajin belajar(x))

3. Ubahlah menjadi suatu fungsi : ( x)(M(x) → B(x))

∀

∀



11

Contoh: 1. ”Semua tanaman hijau membutuhkan air untuk

tumbuh ”. • Jika x adalah tanaman hijau, maka x membutuhkan

air untuk tumbuh Tanaman hijau(x) → membutuhkan air untuk

tumbuh(x) • ( x) (Tanaman hijau(x) → membutuhkan air untuk

tumbuh(x)) • ( x)(T(x) → A(x))

∀

∀



12

2. ”Semua artis adalah cantik”. • Jika x adalah artis, maka x cantik, • Artis(x) → cantik(x). • ( x)( Artis(x) → cantik(x)) • ( x)(A(x) → C(x))

∀∀



13

Kuantor Eksistensial Definisi: Jika A suatu ekspresi logika dan x adalah

variabel, maka jika ingin menentukan bahwa A adalah bernilai benar untuk untuk sekurang-kurangnya satu dari x, maka akan ditulis (Ǝx)A. Disini Ǝx disebut kuantor eksistensial, dengan A adalah scope dari kuantor. Variabel x disebut terikat (bound) dengan kuantor. Simbol Ǝ menggantikan kata “ada”, “beberapa” atau “tidak semua”.



14

Ada bilangan prima yang genap. Selanjutnya, ditulis: (Ǝx)(P(x) Λ E(x)) Dimana P mengganti “bilangan prima”, sedangkan E mengganti genap (even). Dibaca: “Ada x, yang x adalah bilangan prima dan x adalah genap”



12

ContohAda paling sedikit satu manusia yang fanaAda paling sedikit satu x, sedemikiansehingga Fx

( x), FxE



15

Ǝ adalah kuantor yang menggunakan kata “ada” atau kata apa saja yang artinya sama dengan “tidak semua” atau “beberapa”. Ǝ disebut kuantor universal (universal existential). Kuantor universal mengindikasikan bahwa sesuatu kadang-kadang bernilai benar untuk individual- invidualnya.



16

Langkah untuk melakukan pengkuantoran eksistensial :

• Perhatikan pernyataan berikut ini : “Ada pelajar yang memperoleh beasiswa

berprestasi ” • Untuk melakukan pengkuantoran eksistensial pada

pernyataan tersebut maka dilakukan langkah-langkah seperti berikut :

1. Carilah lingkup (scope) dari kuantor eksistensialnya, yaitu :

“Ada x yang adalah pelajar, dan x memperoleh beasiswa berprestasi”.

Selanjutnya akan ditulis : Pelajar(x) Λ memperoleh beasiswa berprestasi(x)



17

2. Berilah kuantor eksistensial di depannya (Ǝx) (Pelajar(x) Λ memperoleh beasiswa

berprestasi(x)) 3. Ubahlah menjadi suatu fungsi : (Ǝx)(P(x) Λ B(x))



18

Contoh: 1. ”Beberapa orang rajin beribadah”. • ”Ada x yang adalah orang, dan x rajin beribadah • (Ǝx)(Orang(x) Λ rajin beribadah(x)) • (Ǝx)(O(x) Λ I(x))



19

2. ”Ada binatang yang tidak mempunyai kaki”. • “Terdapat x yang adalah binatang, dan x tidak

mempunyai kaki”. • (Ǝx)(binatang(x) Λ tidak mempunyai kaki(x)) • (Ǝx)(B(x) Λ ¬K(x))



20

Perlu diingat bahwa jangan mengabaikan tanda kurung untuk fungsi dibelakang kuantor karena mempengaruhi proses manipulasinya.

Perhatikan dua contoh di bawah yang

kelihatannya sama tetapi berbeda: ( x)(M(x)→B(x)) ( x)M(x) → B(x)

∀∀



21

Dari berbagai contoh di sebelumnya, dapat kita simpulkan bahwa :

• Jika pernyataan memakai kuantor universal ( ),

maka digunakan perangkai implikasi (→), yaitu “Jika semua......maka.....”

• Jika pernyataan memakai kuantor eksistensial (Ǝ), maka digunakan perangkai konjungsi (Λ), yaitu “Ada...yang...dan....”.

∀



22

Negasi (Ingkaran) Kuantor • Ingkaran kalimat ”semua x bersifat p(x)”

adalah ”Ada x yang tidak bersifat p(x)” • Ingkaran kalimat ”Ada x yang bersifat q(x)”

adalah ”Semua x tidak bersifat q(x)”



23

Ingkaran Kuantor Universal • Ingkaran dari kuantor universal adalah

kuantor ekstensial :

• Ingkaran dari “semua (setiap) ……..” ≡ ada (beberapa) …….yang tidak ……..

P(x)~x)(x)P(x)(~ ∃≡∀



24

Misalkan : • p : semua bilangan bulat adalah positif ( x)(B(x)→P(x)) ~p : ada bilangan bulat yang tidak positif (Ǝx)(B(x) Λ ~P(x))

• q : semua bilangan asli adalah positif ( x)(A(x)→P(x)) ~q : beberapa bilangan asli yang tidak positif (Ǝx)(A(x) Λ ~P(x))

∀

∀



25

Ingkaran Kuantor Eksistensial

• Ingkaran dari kuantor ekstensial adalah kuantor universal :

• Ingkaran dari “ada (beberapa / terdapat) ………”

≡ semua (setiap) ….. tidak ……..

P(x)~x)(x)P(x)(~ ∀≡∃



26

Misalkan : • p : Ada bilangan prima adalah bilangan

genap (Ǝx)(P(x) Λ G(x))

~p : semua bilangan prima bukan bilangan genap

( x)(P(x)→~G(x))

• q : Ada wanita yang menyukai sepak bola (Ǝx)(W(x) Λ B(x))

~q : semua wanita tidak menyukai sepak bola ( x)(W(x)→ ~B(x)) ∀

∀



Documents

KUANTOR - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/132310890/pendidikan/LOGIKA... · Puppy adalah seekor kucing ... ¾Lawan dari kalimat tunggal adalah kalimat umum. ¾Kalimat