KULIAH 5ANALISIS DIMENSIONAL DAN KESERUPAAN HIDRAULIK5.1. PENDAHUANTeori matematis dan data percobaan telah menghasilkan jawaban praktis atas soal-soal hidraulik. Bangunan-bangunan hidraulik yang penting sekarang dirancang dan hanya dibangun setelah mengadakan studi model yang luas. Penggunaan dimensional dan keserupaan hidraulik memungkinkan para teknik sipil meng-organisasikan dan menyederhanakan percobaan-percobaan serta mengalisis hasil-hasilnya.5.2. ANALISIS DIMENSIONALAnalisis dimensional adalah matematika dimensi-dimensi besaran dan merupakan alat lain yang berguna dari mekanika fluida modern. Dalam suatu persamaan yang menunjukkan sebuah hubungan fisik antara besaran-besaran, harus ada kesamaan dimensional dan numerik yang mutlak. Pada umumnya, semua hubungan fisis seperti itu dapat disederhanakan menjadi besaran-besaran dasar yang terdiri dari gaya F, panjang L, dan waktu T (atau massa M, panjang L, dan waktu T). Penggunaan meliputi :1. Mengubah satu sistem satuan kesistem satuan lain

2. Mengembangkan persamaan-persamaan

3. Mengurangi banyaknya variabel yang diperlukan dalam suatu program percobaan

4. Menyatakan prinsip rancangan model.

Prosedur yang harus diikuti bila Teorama Pi Buckingham dipergunakan, yaitu bilamana banyaknya besaran atau variabel fisis sama dengan empat atau lebih, Teorama Pi Buckingham memberi sebuah alat yang baik sekali di mana besaran-besaran ini dapat dikumpulkan menjadi jumlah terkecil yang berarti, pengelompokan-pengelompokan tak beridmensi, di mana sebuah persamaan dapat dievaluasi. Pengelompokan-pengelompokan tak berdimensi itu disebut suku-suku Pi. Ditulis dalam bentuk matematis, jika ada n besaran fisis q (seperti kecepatan, kekentalan, tekanan dan luas) dan k dimensi dasar (seperti gaya, panjang dan waktu atau massa, panjang dan waktu), maka secara matematis :

pernyataan ini dapat digantikan oleh persamaan :

di mana sembarang suku tergantung pada tak lebih dari (k + 1) besaran fisis q dan tiap suku tak berdimensi, independen, fungsi pangkat atau dari besaran q.Misalkan sebuah persamaan untuk jarak yang ditempuh oleh sebuah benda jatuh bebas dalam waktu T, dengan menganggap jarak tersebut tergantung pada berat benda tersebut, percepatan gravitasi dan waktunya.Jarak

s = f (W, g, T)

s = K Wa gb TcDi mana K adalah koefisien tak berdimensi, yang umumnya ditentukan berdasarkan percobaan. Dimensi persamaan ini harus homogen, pangkat dari tiap besaran-besarannya harus sama pada tiap ruas persamaan, dan kita tulis :F0 L1 T0 = (Fa) (Lb T -2b) (Tc)

Dengan menyamakan masing-masing pangkat dari F, L dan T, diperoleh 0 = a, 1 = b dan 0 = - 2b + c, di mana a = 0, b = 1 dan c = 2 dimasukkan pada persamaan :s = K W0 g T2 atau s = K g T2pangkat W adalah nol, menandakan bahwa jarak tersebut bebas dari beratnya. Faktor K harus ditentukan oleh analisis fisis dan atau percobaan.

Dari pemisalan di atas bila menggunakan langkah-langkah teorama Pi Buckingham, dapat dinyatakan dengan menetapkan bahwa suatu fungsi jarak s, berat W, percepatan gravitasi g, dan waktu T sama dengan nol, ditulis secara matematis

f1 (s, W, g, T) = 0Langkah 1 : tulis besaran-besaran dan satuan-satuannya

s = panjang L, W = gaya F, g = percepatan L/T2, T = waktu Tada 4 besaran fisis dan 3 satuan dasat, jadi (4 3) ata suku-suku .Langkah 2 : pilih s, W, dan T sebagai besaran fisis yang memberikan 3 dimensi dasar F, L, dan T.

Langkah 3 : karena besaran-besaran fisis yang berdimensi tak serupa tidak dapat dijumlah atau dikurangi, suku tersebut dinyatakan sebagai hasil kali, seperti berikut ini :

1 = (sx1) (Wy1) (Tz1) (g)dengan menggunakan kesamaan dimensional menghasilkan :

F0 L0 T0 = (Lx 1) (Fy 1) (Tz 1) (L T -2)

Dengan menyamakan pangkat dari F, L dan T, diperoleh 0 = y1, 0 = x1 + 1, 0 = z1 2 di mana x1 = - 1 , y1 = 0 , z1 = 2. Dimasukkan pada rumus di atas, menjadi :

Jawaban untuk s dan mengikat bahwa 1/1 = K, diperoleh s = K g T25.3. MODEL-MODEL DIDRAULIK

Pada umumnya, model-model hidraulik bisa berupa model yang sesungguhnya atau bisa juga model yang diubah. Model-model yang sesungguhnya memiliki semua ciri penting dari prototif yang dibuat berukuran asli (serupa secara geometris) dan memenuhi persyaratan rancangan (keserupaan kinematik dan dinamik). Perbandingan-perbandingan prototif model telah memperlihatkan dengan jelas bahwa persesuaian tingkah laku seringkali jauh melampaui batas-batas yang diharapkan, seperti yang telah dibuktikan dalam operasi yang berhasil dari banyak bangunan yang dirancang dari pengujian model.5.4. KESERUPAAN GEOMETRIK

Keserupaan geometrik terdapat diantara model dan prototip jika perbandingan dari semua dimensi masing-masing model dan prototifnya sama. Perbandingan-perbandingan seperti itu dapat dituliskan :

5.5. KESERUPAAN KINEMATIK

Keserupaan kinematik terdapat di antara model dan prototif, yaitu :

1. Jika lintasan partikel-partikel yang bergerak bersamaan serupa secara geometris dan

2. Jika perbandingan kecepatan partikel yang bersamaan itu adalah sama.

Berikut ini beberapa perbandingan yang berguna :

5.6. KESERUPAAN DINAMIK

Keserupaan dinamik terdapat di antara sistem-sistem yang serupa kinematis dan dinamis jika perbandingan dari semua gaya-gaya yang mirip dalam model dan prototif sama. Syarat-syarat yang diperlukan untuk keserupaan yang sempurna dikembangkan dari hukum gerak kedua Newton, F = M ax. Gaya-gaya yang bekerja itu bisa satu, atau gabungan beberapa gaya, seperti berikut ini : gaya kental, gaya tekanan, gaya berat, gaya tarikan permukaan dan gaya elastisitas. Hubungan di antara gaya-gaya yang bekerja pada model dan prototif menjadi :

Perbandingan Gaya Inersia dikembangkan menjadi :

Persamaan ini menyatakan hukum umum keserupaan dinamik antara model dan prototif dan dipandang sebagai persamaan Newton.Perbandingan gaya inersia dengan tekanan (bilangan Euler) memberikan hubungan dengan menggunakan T = L/V

Perbandingan gaya inersia dengan kekentalan (bilangan Reynold) diperoleh dari

Perbandingan gaya inersia dengan berat diperoleh dari :

Perbandingan gaya inersia dengan elastisitas (bilangan Cauchy) diperoleh dari :

Perbandingan gaya inersia dengan tarikan permukaan (bilangan Weber) diperoleh dari

5.7. PERBANDINGAN-PERBANDINGAN WAKTU

Perbandingan-perbandingan waktu dinyatakan untuk pola-pola aliran yang pada hakekatnya diatur masing-masing oleh kekentalan, berat, tarikan permukaan, dan oleh elastisitas adalah :

Den Priyan 5 - 5